Reaalilukujen aksioomit. Lukuteorian aksioomien seuranta

Puhenumerot, jotka on merkitty läpi (ns. R ruban), lisätään operaatio ("+"), jotta ihon elementtipari ( x,y) persoonattomilla puhenumeroilla, jotka on asetettu vіdpovіdnіst-elementtiin x + y z tsієї w-kerroin, otsikot sumo xі y .

Moniarvoisuuden aksioomat

Kertolasku ("·") otetaan käyttöön, joten ihon elementtipari ( x,y) persoonattomille puhenumeroille, laita elementti (muuten lyhennetty, xy) s tsієї w -kerroin, luomisen otsikot xі y .

Zvyazok dodavannya tuo monikko

Aksioomit tilauksesta

Tehtävässä tilaus "" (vähemmän kuin yksi), sitten vedolle x, y vykonuєtsya haluavat olla yksi mielissä abo.

Zv'yazok jotta taitto

Zvyazok vіdnoshennia järjestys, että monikko

Jatkuvuuden aksiooma

Kommentti

Tämä aksiooma tarkoittaa sitä Xі Y- kaksi tyhjää reaalilukujen kertojaa siten, että siinä on jokin elementti Xälä kaada mitään elementtiä Y, voit lisätä puhenumeron niiden väliin. varten rationaalisia lukuja tämä aksiooma ei ole voittoisa; klassinen perse: tunnistettavasti positiivisia rationaalilukuja ja näkyvästi persoonallisuudelle X ne numerot, joiden neliö on pienempi kuin 2, ja muut - enintään Y. Todi mizh Xі Y ei voi lisätä rationaalilukua (ei rationaalilukua).

Tämä on keskeinen aksiooma, joka varmistaa turvallisuuden ja mahdollistaa siten matemaattisen analyysin. Sen tärkeyden havainnollistamiseksi haluan tuoda esille kaksi sen perustavaa laatua olevaa johtopäätöstä.

Aksioomien perintö

Ilman väliaksioomaa diakonit ovat tärkeitä nykypäivän lukujen voimalle, mm.

nollan ykseys,
proliferatiivisten ja virulenssielementtien yhtenäisyys.

Kirjallisuus

Zorich V. A. Matemaattinen analyysi. Osa I. M.: Fazis, 1997, osa 2.

Div. myös

Posilannya

Wikimedia Foundation. 2010 .

Katso myös "Reaalilukujen aksiomatiikka" muissa sanakirjoissa:

Puhe, joka on reaaliluku, on matemaattinen abstraktio, jonka vinikla z edellyttää tarvittavan maailman geometristen ja fysikaalisten suureiden käyttöä sekä sellaisten operaatioiden suorittamista, kuten juurien erottaminen, logaritmien laskeminen, ratkaisut.

Puhe, chi todelliset luvut on matemaattinen abstraktio, mitä palvella, zokrema, ilmentymä fyysisten määrien arvon samankaltaisuudesta. Tällainen luku voidaan intuitiivisesti esittää kuvaavan pisteen sijaintia suoralla.

Wikisanakirjassa on artikkeli "aksiooma" Axiom (kreikaksi ... Wikipedia

Aksiooma, koska sitä käytetään erilaisissa aksiomaattisissa järjestelmissä. Reaalilukujen aksiomatiikka Hilbertin euklidisen geometrian aksiomatiikka Kolmogorovin imovirnosti teorian aksiomatiikka ... Wikipedia

Numerojärjestelmä

Oletetaan, että luonnollinen sarja on ilmestynyt esineiden siirtoon. Mutta jos haluamme työskennellä objektien kanssa, tarvitsemme aritmeettisia operaatioita numeroille. Tobto, jos haluamme taittaa omenan tai jakaa kakun, meidän on käännettävä numeroiden määrä.

On häpeällistä kunnioitusta, että operaatioiden + і * käyttöönoton jälkeen luonnollisten lukujen kielellä on tarpeen lisätä aksioomia, jotka ilmaisevat näiden operaatioiden voimaa. Aletodes ja persoonattomat luonnolliset luvut tezh laajenee.

Ihmettelemme, kuinka persoonattomat luonnolliset luvut laajenevat. Yksinkertaisin operaatio, koska se oli välttämätöntä yhdelle ensimmäisistä - ce dodavannya. Jos haluamme määrätä lisäoperaation, on välttämätöntä nimetä siihen paluu - päätös. On totta, kuten tiedämme, että esimerkiksi 5 ja 2 lisäämisen seurauksena olemme syyllistyneet siihen, että lisäämme tyypin järjestykseen: mitä pitää lisätä 4:ään, jotta saadaan 11. vimagatimut vminnya viroblyat i zvorotnu diyu - vіdnіmannya. Ale, yakscho dodavannya luonnolliset numerot antavat uudelleen luonnollinen luku, silloin luonnollisten lukujen tarkastelu antaa tuloksen, joka ei sovi N:ään. Tarvitsemme lisää lukuja. Vastaavasti järkevän näkemyksen kanssa suurempi määrä pienempi boulo esitteli säännön vidnіmannya z pienempi suurempi - joten negatiivisten lukujen määrä ilmestyi.

Täydentämällä luonnollista sarjaa operaatioilla + і - mi, saamme persoonattomia kokonaislukuja.

Z=N+operaatiota(+-)

Rationaalilukujärjestelmä yak mov aritmetiikka

Katsotaan nyt tätä taitettavalle diu - monikkolle. Itse asiassa tämä on bagataraasin lisäys. І ylimääräinen kokonaislukumäärä täytetään kokonaisluvulla.

Ale, käänteinen operaatio useita - tse podіl. Mutta se ei aina anna hyvää tulosta. Ja taas olemme dilemman edessä - tai sitten hyväksyä ikään kuin tulosta ei voitaisi "ymmärtää" tai arvata uuden tyypin numero. Joten he syyttivät rationaalisia lukuja.

Otetaan kokonaislukujärjestelmä ja täydennetään sitä aksioomeilla, jotka määräävät kertolaskutoiminnon ja pohjan. Otamme pois rationaalilukujärjestelmän.

Q=Z+operaatiot(*/)

Isä, rationaalisten lukujen kieli sallii sinun työskennellä kaikki aritmeettiset operaatiot numeroiden yli. Luonnollisten lukujen kieli ei riittänyt.

Esitetään aksiomaattisesti rationaalilukujärjestelmä.

Nimittäminen. Persoonatonta Q:ta kutsutaan rationaalisten lukujen persoonallisuudeksi, kuten elementtejä - rationaalilukuja, mielien, otsikoiden etenevänä kompleksina kutsutaan rationaalisten lukujen aksiomatiikaksi:

Taittotoiminnan aksioomat. Tilattu veto x,y elementtejä K deyaky elementti x+yÎQ, sijoittuu summassa Xі klo. Kun voitat, ajattele näin:

1. (Isnuvannya nolla) Iznuє elementti 0 (nolla) siten, että mille tahansa XОQ

X+0=0+X=X.

2. Kaikille elementeille X Q Q pääelementti - XО Q (vastakohta X) sellaista

X+ (-X) = (-X) + X = 0.

3. (Kommutatiivisuus) Mitä tahansa x,yО Q

4. (Assosiatiivisuus) mille tahansa x, y, z Q:lle

x + (y + z) = (x + y) + z

Kertolaskuoperaation aksioomat.

Tilattu veto x, y varsinaiselle elementille osoitetut Q:n elementit huÎ Q, luomisen otsikot Xі y. Kun voitat, ajattele näin:

5. (Isnuvannya yksielementti) Iznuє elementti 1 Q sellainen, että mitä tahansa XО Q

X . 1 = 1. x = x

6. Kaikille elementeille X Q Q , ( X≠ 0) pääelementti X-1 ≠0 niin, että

X. x-1 = x-1. x = 1

7. (Assosiatiivisuus) Oleville asioille x, y, zО Q

X . (at . z) = (x . y) . z

8. (Kommutatiivisuus) Mitä tahansa x, yО Q

Axiom zv'azku kippasi ja kertoi.

9. (Jakelu) Mihin tahansa x, y, zО Q

(x+y) . z=x . z+y . z

Aksioomat ovat järjestyksessä.

Ole kuin kaksi elementtiä x, y, Q Q alkaa rivin lopusta ≤. Kun voitat, ajattele näin:

10. (X≤klo)L ( klo≤x) ó x=y

11. (X≤y) L ( y≤ z) => x≤z

12. For be-yakah x, yО Q tai x< у, либо у < x .

Asetus< называется строгим неравенством,

Suhde = kutsutaan Q-alkioiden yhtäläisyydeksi.

Axiom zv'yazku dodavannya että järjestys.

13. Jokaiselle x, y, z нQ, (x £ y) z x+z £ y+z

Axiom zv'yazku mnozhennya että järjestys.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) z (0 £ x´y)

Arkhimedesen ikuisuuden aksiooma.

15. Jos a > b > 0, meillä on m N ja n Q niin, että m ³ 1, n< b и a= mb+n.

*****************************************

Näin ollen rationaalilukujärjestelmä on Zemin aritmetiikka.

Prote, käytännön laskentatehtävien lisäksi elokuva ei riitä.

Aksiomaattinen menetelmä matematiikassa.

Luonnonsarjojen aksiomaattisen teorian perusymmärrys ja ymmärrys. Luonnollisen luvun nimittäminen.

Luonnollisten lukujen yhteenlasku.

Luonnollisten lukujen kasvu.

Luonnollisten lukujen kertoimen potenssi

Vіdnіmannya raspodіl luonnolliset numerot.

Aksiomaattinen menetelmä matematiikassa

Aksiomaattisella kehotuksella täydennetään jonkinlaista matemaattista teoriaa laulaa säännöt:

1. Deyakі ymmärtää teorian vibirayutsya kuten suuri hänet hyväksytään ilman lupaa.

2. Muotoiltu aksioomia, jotka nämä teoriat hyväksyvät ilman todisteita ja joilla on valta ymmärtää tärkeimmät.

3. Iho ymmärtää teorian, jotta se ei kostaa tärkeimpien luettelosta, se annetaan nimittäminen, uudelle, selitetään yogo zmist tärkeimpien avuksi ja tämän ymmärryksen eteen.

4. Teorian skin-ehdotus, jota ei voi jättää huomiotta aksioomien luettelosta, voidaan tuoda esiin. Tällaisia ehdotuksia kutsutaan lauseita ja tuoda ne aksioomien ja lauseiden perusteella, jotka on muokattava.

Aksioomijärjestelmä voi olla:

a) harkitsematon: olemme syyllisiä buti vpevnenі, scho, roblyachi raznі vysnovki z annettuun aksioomijärjestelmään, ei tule superechnosti;

b) riippumaton: mikään aksioomeista ei ole syyllinen seuraaviin järjestelmän muihin aksioomiin.

sisään) uudelleen, jopa näissä puitteissa on aina mahdollista tuoda yrityksen chi, jonka yogo on listattu.

Ensimmäinen todiste teorian aksiomaattisesta motivaatiosta on otettava huomioon Euclidin geometrian kirjassa Yogo "Cobs" (3. vuosisata e.). Merkittävä panos geometriaa ja algebraa inspiroivan aksiomaattisen menetelmän kehittämiseen kehitettiin N.I. Lobachevsky ja E. Galois. Esimerkiksi 19 st. Italialainen matemaatikko Peano hajotti aritmeettisen aksioomijärjestelmän.

Luonnollisen luvun aksiomaattisen teorian perusymmärrys ja ymmärrys. Luonnollisen luvun nimittäminen.

Pääasiallisena (ei-merkittävänä) ymmärryksenä deakіy moninaisuudesta N valita sulkija , ja navіt vikoristovuyutsya teoreettinen-useita ymmärrystä, і navіt logiikan sääntöjä.

Elementti, joka seuraa elementtiä keskeytyksettä a, merkitse a".

Näennäisesti "ilman välikäsiä" ovat tyytyväisiä tuleviin aksioomeihin:

Aksioomit Peano:

Aksiooma 1. Kasvottomissa N іsnuє elementti, ilman keskikohtaa ei loukkaavaa millekään elementille ei ole kertoimia. Kutsutaan joogaksi yksinäisyys jotka symboloivat 1 .

Aksiooma 2. Ihoelementille a h N yksittäinen peruselementti a" , etenee hellittämättä puolesta a .

Aksiooma 3. Ihoelementille a h Nіsnuє enintään yksi elementti, jolle se seuraa ilman välittäjää a .

Aksiooma 4. Ole kuin kertoja M kasvoton N spіvpadє z N , yakscho maє teho: 1) 1 kostaa sisään M ; 2) mistä a kostaa sisään M , seuraavaksi mitä minä a" kostaa sisään M.

Tapaaminen 1. Bezlich N , jonka elementteihin on asennettu suljin "Seuraa heti", joka täyttää aksioomit 1-4, kutsutaan bezlіchchu luonnolliset luvut ja jooga elementtejä - luonnolliset luvut.

Tällä nimitetyllä henkilöllä ei ole mitään sanottavaa kertoimen elementtien luonteesta N . Joten voit olla paikalla. Vibirayuchi kuin kasvoton N päivä on erityinen kerroin, jolle annetaan erityinen viittaus "ilman väliseurantaa", joka täyttää aksioomit 1-4, otamme sen tämän järjestelmän malli aksioomia.

Peanon aksioomajärjestelmän standardimalli on lukusarja, joka on peräkkäisen historiallisen kehityksen prosessin juuri: 1,2,3,4,... Luonnollinen sarja alkaa luvusta 1 (aksiooma 1). ); ihon luonnollisen luvun jälkeen seuraa välittömästi yksi luonnollinen luku (aksiooma 2); ihon luonnollinen luku seuraa enintään yhtä luonnollista lukua (aksiooma 3); alkaen luvusta 1 ja siirtymällä peräkkäin eteneviin luonnollisiin lukuihin, otetaan kaikki lukujen kertoimet (aksiooma 4).

Otzhe, kehitimme luonnollisten lukujen aksiomaattisen pobudov-järjestelmän pääluvun valinnalla vodnosiny "ilman välittäjää seuraa" tuo aksiooma joissakin voimajoogan kuvauksissa. Hieman pidemmälle pobudovin teoriasta, jossa tarkastellaan luonnollisten lukujen potenssien ja operaatioiden siirtämistä niistä. Haju voi olla rozkritі on nimitetty ja lauseet, tobto. käyttöön päivittäinen looginen polku "ilman keskimääräistä harkintaa" ja aksioomit 1-4.

Ensimmäinen asia, joka on ymmärrettävä, kuten esittelemme luonnollisen luvun nimeämisen jälkeen, on sulkija "välittömästi eteenpäin" , Yake usein vikoristovuyut tunnin ajan katsoa voimia luonnollisen sarjan.

Tapaaminen 2. Mikä on luonnollinen luku b seuraa ilman välittäjää luonnollinen luku a, tuo numero a nimeltään suoraan eteenpäin(muuten etuosa) numero b .

Vіdnoshennia "pereduє" maє viranomaisten vieressä.

Lause 1. Yksiköllä ei ole eteenpäin suuntautuvaa luonnollista lukua.

Lause 2. Iho on luonnollinen luku a, Vіdmіnne vіd 1, maє yksi eteenpäin numero b, mitä sitten b"= a.

Luonnollisten lukujen teorian aksiomaattista perustetta ei nähdä yläasteella eikä yläasteella. Prote dominion vіdnosinі "ilman välittäjäseuraa", kuten se oli Peanon aksioomissa, є tutkimusaihe matematiikan tähkäkurssissa. Jo ensimmäisellä luokalla on tunti katsoa kymmenen ensimmäisen numerot, se on selvää, sillä voit saada ihonumeron. Kenelle sanat "liuku" ja "ennen" ymmärretään. Iho on uusi numero jatkona luonnollisen numerosarjan kierteelle. Opi pohtimaan tsiom, scho skin-numerolla, se on sama, ja enemmän kuin yksi, että luonnollinen numerosarja on ehtymätön.

Luonnollisten lukujen yhteenlasku

Aksiomaattisen teorian kehottamisen sääntöjen, luonnollisten lukujen yhteenlaskemisen määrittelemiseksi, on suoritettava, sijainen, "seuraa heti", Ymmärrän "luonnollinen luku"і "edellinen numero".

Viperedimo vyznachennya taitettu etenemällä mirkuvannyami. Kuinka mihin tahansa luonnolliseen numeroon a lisää 1 ja ota sitten numero a", hellittämättä eteenpäin a, sitten. a+ 1= a" Ja sitten otamme säännön lisätä 1 mihin tahansa luonnolliseen lukuun. Ale jakki lisätä a luonnollinen luku b, vіdmіnne vіd 1? Nopeutamme tulevaa tosiasiaa: jos näemme, että 2 + 3 = 5, niin summa on 2 + 4 = 6, joka seuraa numeroa 5 ilman välikäsiä. Tässä järjestyksessä 2 + 4 = 2 + 3 " =(2+3)". Kuumassa näyttää ehkä, .

Tämä tosiasia on perusta luonnollisten lukujen nimeämiselle aksiomaattisessa teoriassa.

Tapaaminen 3. Luonnollisten lukujen lisääminen kutsutaan algebrallista operaatiota, joka voi olla tehokas:

Määrä a + b nimeltään lukujen summa aі b , ja itse numerot aі b - dodanki.

OMSKIN VALTION PEDAGOGINEN YLIOPISTO
OmDPU:n sivuliike lähellä G. TARIA
LBC työskentelee toimituksen ja julkaisun päätösten eteen
OmDPU:n 22. 73. haara lähellä Tarin metroa
Ch67

Suosituksia tunnustetaan pedagogisten yliopistojen opiskelijoille, koska he opettavat tieteenalaa "Algebra ja lukuteoria". Tämän tieteenalan puitteissa kehitetään 6. lukukaudella jakoa "Järjestelmän numerot". Nämä suositukset sisältävät materiaalia luonnollisten lukujärjestelmien (Peanon aksioomajärjestelmän), kokonaislukujärjestelmien ja rationaalilukujärjestelmien aksiomaattisista perusteista. Tsya-aksiomatiikka antaa sinun ymmärtää paremmin, mikä tällainen luku on, koska se on yksi tärkeimmistä koulun matematiikan kurssin ymmärtämisessä. Aineiston lyhyimmän omaksumisen vuoksi suositellaan asiaankuuluvien aiheiden esittelyä. Esimerkiksi suositukset ja suositukset, lausunnot, tehtävät.

Arvostelija: Ph.D., prof. Dalinger V.A.

Allekirjoitettu ystävälle - 22.10.98

Sanomalehtipaperi
Levikki 100 kappaletta.
Operatiivinen menetelmä toisilleen
OmDPU, 644099, Omsk, nab. Tukhachevsky, 14
filiya, 644500, Tara, st. Shkilna, 69

1. LUONNOLLINEN NUMERO.

Luonnollisten lukujen järjestelmän aksiomaattisessa päättelyssä on tärkeää ottaa huomioon kertoimen, sinisen, funktioiden ja muiden moniteoreettisten käsitysten ymmärtäminen.

1.1 Peanon aksioomijärjestelmä ja yksinkertaisimmat päätelmät.

Yleinen käsitys Peanon aksiomaattisessa teoriassa on persoonaton N (kuten sitä kutsutaan luonnollisten lukujen persoonallisuudeksi), erityisesti luku nolla (0) uudesta ja binäärisuhteesta "seuraa" N:ään, jota merkitään S ( a) (tai a ().
AXIOM:
1. ((a(N) a"(0 (Tämä on luonnollinen luku 0, joka ei seuraa mitään numeroa.))
2. a=b (a"=b"
3. a "=b" (a=b (ihon luonnollinen luku seuraa useampaa kuin yhtä numeroa.)
4. (induktion aksiooma) M(N ja M) kertojana tyydyttää kaksi mieltä:
A) 0 (M;
B) ((a(N) a(M® a)(M, sitten M=N).
Funktionaalisessa terminologiassa ze tarkoittaa, että S:N®N ei ole aktiivinen. Aksioomista 1 on selvää, että S:N®N-fermentaatio ei ole sur'aktiivista. Aksiooma 4 on perusta kovan työn todistamiselle "matemaattisen induktion menetelmällä".
Merkittäviä luonnollisten lukujen voimatoimia, jotka ilman välikäsiä huutavat aksioomia.
Teho 1. Skin on luonnollinen luku a(0 yhden ja useamman luvun perässä.
Tuominen. Merkittävästi M:n persoonattoman luonnollisen luvun, scho haihtuvan nollan ja kaikkien luonnollisten lukujen kautta, minkä tahansa seuraavan luvun iho. Riittää, kun osoitetaan, että M=N, yksikkö ilmenee aksioomista 3. Todistetaan induktion aksiooma 4:
A) 0(M - kehotekertoimella M;
B) jopa a(M, ne a"(M, enemmän a" seuraa a.
Keskiarvo aksioomista 4 M=N.
Teho 2. Kuten a (b, sitten a "(b").
Valta tuodaan menetelmällä "ei-hyväksyttävistä", vikoristi aksiooma 3. Samoin tällainen voima tuodaan 3, vikoristi aksiooma 2.
Teho 3. Kuten "(b", sitten a (b.)"
Potentti 4. ((a(N)a(a. (Sitä ei seuraa luonnollinen luku).)
Tuominen. Olkoon M=(x(x(N, x(x))). ) sellaisessa Umov A:n arvossa aksioomit 4 0(M - voittaa. Jos x(M, sitten x(x"), niin 2 x" ((x")" on vallassa, ja tse tarkoittaa, että Umov B) x ( M ® x"(M. Aletodisesti seuraa aksioomaa 4 M=N.")
Olkoon (- luonnollisten lukujen potenssien kaksikko. Se, että luvulla a on potenssi (, kirjoita ylös ((a)).
Tehtävä 1.1.1. Kerron teille, että persoonaton luonnollisten lukujen nimeämisen aksiooma 4 on lähempänä etenevää kovuutta: mille tahansa auktoriteetille (kuten ((0) i, siis).
Tehtävä 1.1.2. Unaarioperaatio (: a(=c, b(=c, c(=a))) määritellään tällä tavalla kolmielementtikertoimella A=(a,b,c).)
Tehtävä 1.1.3. Olkoon A \u003d (a) - yksialkioinen kertoja, a (= a) Yaki Peanon totuusaksioomeilla kertoimella A operaatiolla (?)
Tehtävä 1.1.4. N:n moninkertaisuudessa merkitsevästi unaarinen operaatio on merkittävä riippumatta siitä, kuka. Selitä, mikä pitää paikkansa operaation kannalta muotoilluissa Peanon aksioomissa.
Tehtävä 1.1.5. Älä viitsi. Todista, että A on suljettu käyttämällä operaatiota (. Käännä Peanon aksioomien totuus kertoimella A operaatiolla (.).
Tehtävä 1.1.6. Älä viitsi, . Merkittävästi A:ssa on kuitenkin unaarinen operaatio. Kuinka Peanon aksioomit pitävät paikkansa operaation kertoimella A?

1.2. Peanon aksioomajärjestelmän ei-superelektiivisyys ja kategoriallisuus.

Aksioomajärjestelmää kutsutaan ei-superable, koska її aksioomilla on mahdotonta saattaa lause T ja її poikittain (T. Ymmärrettiin, että supertehokkailla aksioomajärjestelmillä ei voi olla samaa arvoa matematiikassa, koska sellaisessa teoriassa on mahdollista tuoda kaikki, mikä Siksi aksioomijärjestelmän ylivoimaisuuden puute on ehdottoman välttämätöntä.
Jakshcho Aksіomatic Theoreetissa ei virittänyt lausetta t і ї ї ї ї ї ї ї ei tarkoita, aksijärjestelmä ei ole ylikuormitettu; siihen tosiasiaan, että aksioomajärjestelmän tulkinta ilmeisesti ei-superrequalable teoriassa S, sitten itse aksioomijärjestelmä on ei-supertasainen.
Peanon aksioomajärjestelmälle voidaan zbuduvat runsaasti erilaisia tulkintoja. Erityisen runsaasti moninkertaisuusteorian tulkintaa. Yksi tällainen tulkinta on merkittävä. Luonnollisilla luvuilla voimme ottaa kerrannaiset (, ((), ((()))), ((())),..., erottelemme nollan luvusta (. (M), joka on luvun ainoa elementti). sellainen ja sellainen M. Tässä järjestyksessä ("=(), (()"=((()) ja niin edelleen)). on pieni: se osoittaa, että Peanon aksioomajärjestelmä on vaikka kerrannaisteoria ei ole superlatiivi, mutta todiste kerrannaisteorian aksioomajärjestelmän ylivoimattomuudesta on vielä tärkeämpää.
Sellaista aksioomajärjestelmää, joka ei ole superlatiivi, kutsutaan itsenäiseksi, koska tämän järjestelmän iho-aksioomaa ei voida todistaa lauseeksi muiden aksioomien perusteella. Tuoda esille tuo aksiooma
(1, (2, ..., (n, (1))
riittää osoittamaan, että aksioomijärjestelmä ei ole ylivoimainen
(1, (2, ..., (n, ((2))
Se on totta, yakby (se oli mahdollista poiketa muista järjestelmän (1) aksioomeista, silloin järjestelmä (2) oli superälykäs, sen sirpaleet olisivat totta lauseessa (ja aksioomassa ((.)).
Myös aksioomien riippumattomuuden tuomiseksi (järjestelmän (1) muista aksioomeista) riittää kannustamaan aksioomijärjestelmän (2) tulkintaan.
Aksioomijärjestelmän riippumattomuus on suuri neobov'yazkova. Joskus "tärkeiden" lauseiden todistamisen välttämiseksi luomme ylimaailman (talletus) aksioomijärjestelmän. Kuitenkin "zayv"-aksioomit helpottavat aksioomien roolin näkemistä teoriassa sekä sisäisiä loogisia linkkejä eri teoriajakojen välillä. Lisäksi pobudova іinterpretatsіy kesantojärjestelmille aksioomien on huomattavasti taitettu, pienempi itsenäisille; vaikka sinun on harkittava uudelleen "zayvih"-aksioomien pätevyyttä. Kesantomaan ravinnon syistä muinaisten aksioomien joukossa annettiin ensimmäinen merkitys. Yritä saada aikaan se, että Eukleideen aksiomatian viides postulaatti "Se ei ole enempää kuin yksi suora, joka kulkee pisteen A läpi yhdensuuntaisesti suoran kanssa" (", є lauseen mukaan (makaa muissa aksioomeissa) ja johdettu Lobatševskin geometrian johtopäätökseen).
Ei-superskriptiivistä järjestelmää kutsutaan deduktiivisesti uudeksi, ikään kuin tietyn teorian väite A voidaan joko tuoda tai julistaa, niin joko A tai (A on tietyn teorian lause. aksioomaa kutsutaan deduktiiviseksi povnota - tezh not obov'yazkova vimoga, esimerkiksi ryhmäteorian aksioomijärjestelmä, alueteoria, kasteluteoria - ei pidä paikkaansa, sirpaleet perustuvat ja kіntsevі ja neskіnchennі ryhmiin, kіltsya, kentät, sitten näissä teorioita, joita et voi kysyä, et voi tuoda esitystä.: "Ryhmä (kiltse, kenttä) kostaa kiltse kilkistä elementtejä".
On huomattava, että rikkaissa aksiomaattisissa teorioissa (itse, ei-formalisoiduissa) persoonattomia väitteitä ei voida ottaa tarkasti huomioon, ja on mahdotonta tuoda sellaisen teorian aksioomajärjestelmän deduktiivista täydellisyyttä. Toista muutosta kutsutaan usein kategoriseksi. Aksioomijärjestelmää kutsutaan kategoriseksi, olkoon se sitten kaksi tulkintaa isomorfiseksi, niin että useiden tähkäobjektien ja muiden tulkintojen välillä on niin yksiselitteinen ero. Kategorisuus - tezh neobov'yazkova mieli. Esimerkiksi ryhmäteorian aksioomajärjestelmä ei ole kategorinen. Syynä on se, että Kintsev-ryhmä ei voi olla isomorfinen nyljetön ryhmä. Kuitenkin numeerisen järjestelmän teorian aksiomatisoinnin myötä obov'yazkovan kategorisuus; Esimerkiksi luonnollisia lukuja merkitsevän aksioomijärjestelmän kategorisuus tarkoittaa, että isomorfismiin asti luonnollisia sarjaa on vain yksi.
Otetaanpa Peanon aksioomajärjestelmän kategoriallisuus. Olkoon (N1, s1, 01) ja (N2, s2, 02) kaksi tulkintaa Peanon aksioomijärjestelmästä. On tarpeen osoittaa tällainen biektivne (keskinäisesti yksiselitteinen) lauseke f: N1®N2, jota sinun pitäisi ajatella:
a) f(s1(x)=s2(f(x)) mille tahansa x N1:lle;
b) f(01) = 02
Jos unaarioperaatioita s1 ja s2 loukkaa sama veto, niin umova a) kirjoita uudelleen
a) f(x()=f(x)(.
Merkittävästi kertoimella N1(N2)
1) 01f02;
2) kuinka xfy, x(fy(.
Muutetaan, mitä hyötyä on käymisestä N1:stä N2:ksi, sitten dermaaliselle x s N1:lle
(((y(N2)xfy(1)
Merkittävästi M1 persoonaton elementtien x N1 kautta, joillekin mielille (1) voittaa. Todi
A) 01 (M1z 1);
B) x(M1 ® x((M1 luvun 2 perusteella) ja 1 pisteen potenssi 1).
Siksi aksiooman 4 mukaan on mahdollista, että M1=N1, ja tse i tarkoittaa, että f є:n käyminen N1N2:lle. Kohdalla timu z 1) on selvää, että f (01) = 02. Umov 2) kirjoitetaan näin: f(x)=y, sitten f(x()=y(. Kuulostaa f(x()=f(x)(.). Ajattele myös f:n heijastusta varten )) ja b.
Merkittävästi M2:n kautta N2:n persoonattomia hiljaisia elementtejä, minkä tahansa niistä yhden ja vain yhden elementin muodossa N1, kun f näytetään.
Sirpaleet f(01)=02, sitten 02 є. Jos on x(N2 і x(01), niin teholle 1 kohta 1 x seuraa nykyistä elementtiä c z N1 і sitten f(x)=f(c()=f(c)((02. Keskiarvo, 02 f) yksittäisen elementin sijoitus 01, sitten 02 (M2.
Mene eteenpäin y(M2 і y=f(x), missä x on elementin y yksittäinen esikuva. Sitten a) perusteella y(=f(x)(=f(x()), sitten y( є elementin x kuva ) (. Olkoon c elementin y(, sitten f(c)=y(. Skіlki y((02, sitten c(01 і c)) esikuva elementistä, joka on merkityksellinen d:n kautta.)) Sitten y( =f( c)=f(d()=f(d)(, johtuen aksioomasta 3 y=f(d)). M2 ® y
Kaikella esikreikkalaisella matematiikalla on vähän empiiristä luonnetta. Kaikki teorian elementit hukkuivat käytännön tehtävien kehittämisen empiiristen lähestymistapojen massaan. Kreikkalaiset antoivat tämän empiirisen loogisen analyysin materiaalin, yrittivät löytää yhteyden erilaisten empiiristen tietojen välillä. Joille koko geometrian tajulla on suuri rooli Pythagoralla ja koululla (5. vuosisata jKr.). Aksiomaattisen menetelmän ajatukset ilmaantuivat selvästi Aristoteleen (4. vuosisadalla jKr.) teoksissa. Prote, Euclid toteutti näiden ajatusten käytännön kehittämisen jooga "Cobs" -tapahtumassa (3 vuosisataa jKr.).
Aksiomaattisten teorioiden muotoja voidaan nimetä kolme.
yksi). Zmistovna aksiomatiikka, ikään kuin se olisi ollut yksi viime vuosisadan puoliväliin asti.
2). Napіvformaalinen aksiomatiikka, scho vinyyli viime vuosisadan viimeisellä neljänneksellä.
3). Formaali (muuten formalisoitu) on aksiomatiikkaa, jonka syntymäpäiväksi voidaan ottaa 1904, jos D. Hilbert julkaisi kuuluisan ohjelmansa formalisoidun matematiikan perusperiaatteista.
Uusi ihomuoto ei ole tukkeutunut edestä, mutta kehitys ja selkeytys, sama pätee uuden ihomuodon kehittymiseen, alempana edessä.
Zmistovnan aksiomatiikalle on ominaista se, että ne voidaan ymmärtää intuitiivisesti selkeästi ennen aksioomien muotoilua. Joten Eukleideen "tähkissä" ymmärtämispisteen alla ne, jotka ovat intuitiivisesti itsestään selviä näiden ymmärrysten alla. Samaan aikaan on loistava kieli ja loistava intuitiivinen logiikka, joka on enemmän kuin Aristoteles.
Formaalisilla aksiomaattisilla teorioilla on myös vahva kieli ja intuitiivinen logiikka. Ensimmäiset ymmärtäjät eivät kuitenkaan luota samaan intuitiiviseen järkeen, heille on ominaista vain aksioomit. Tim itse liikuttaa ankaruutta, intuition sirpaleet laulumaailmalla valloittavat ankaruuden. Lisäksi uneliaisuus kasvaa, koska sellaiseen teoriaan tuotu ihoteoreema on oikeudenmukainen missä tahansa tulkinnassa. Selvästi muodollisen aksiomaattisen teorian muodossa - Hilbertin teoria, joka sisältyy kirjaan "Imagine Geometry" (1899). Nap_vformalnyh-teorioiden peput ovat myös kilettien ja muiden algebran aikana esitettyjen teorioiden teoriaa.
Formalisoidun teorian perässä on sanojen lukumäärän laskeminen, jota kehitetään matemaattisen logiikan aikana. Vіdmіnu vіd zmіstovnoї ja napіvformalії aksiomatiikassa teorian formalisointi voitti erityisen symbolisen movan. Teorian aakkoset on määrätty itselleen, joten se on joukko persoonattomia symboleja, joilla on sama rooli kuin alkuperäisen kielen kirjaimilla. Olipa se kіntseva symbolien sarjaa kutsutaan viraziksi tai sanaksi. Virusten joukossa on kaavojen luokka, ja tarkka kriteeri, joka mahdollistaa ihoviruksen tunnistamisen, on osoitettu kaavalla. Kaavoilla on sama rooli kuin suuren kielen puheella. Deyakі kaavat goloshuyutsya aksioomit. Lisäksi asetetaan loogiset näkösäännöt; Tällainen sääntö tarkoittaa, että kaavojen kokonaisuuden aikana koko kaava on ilman keskikohtaa. Itse lauseen todistus on kaavojen lantsin loppu, loput kaavasta on itse lause ja ihokaava on joko aksiooma tai lause on tuotu aikaisemmin, muuten se laulaa eteenpäin keskeltä lanssin kaavat yhden havaintosäännön mukaan. Tässä arvossa meidän ei pitäisi puolustaa todisteita todisteiden pätevyydestä: muuten tanskalainen lanciugє todiste tai є, ei ole ratkaisevia todisteita. Cim:n yhteydessä aksiomatiikka formalisoituu tottumaan pohjustuksen erityisen hienovaraisiin periaatteisiin matemaattisia teorioita, jos ilmeinen intuitiivinen logiikka voi johtaa armahduksiin, jotka ovat tärkein arvo suuren liikkeemme epätarkkuuksien ja moniselitteisyyden vuoksi.
Joten kuten ihovirazin teorian formalisoinnissa voidaan sanoa, että se on kaava, niin formalisoidun teorian persoonattomat ehdotukset voidaan ottaa huomioon. Tässä yhteydessä on periaatteessa mahdollista purkaa väittely deduktiivisen syyn todistamisesta, samoin kuin ei-pinnallisisuuden todistamisesta, ilman tulkintaa. Voit nähdä eron useilla yksinkertaisimmilla tavoilla. Esimerkiksi laskennan pinnallisuuden puute tehdään ilman tulkintaa.
Ei-formalisoiduissa teorioissa persoonattomia väitteitä ei ole määritelty selkeästi, joten syy ei-pinnallisisuuden osoittamiseen tulkintaan menemättä esitetään typerästi. Samat arvot ja ruokaa deduktiivisen povnotin todistuksesta. Kuitenkin, kun kuultiin sellainen ehdotus ei-muodollisesta teoriasta, koska sitä on mahdotonta tuoda tai kysyä, niin teoria on ilmeisesti deduktiivisesti epätarkka.
Aksiomaattinen menetelmä on pitkään vakiintunut paitsi matematiikassa, myös fysiikassa. Kokeile ensin suoraan, Aristoteles yritti tehdä sen, mutta hän myös korjasi oman aksiomaattisen menetelmänsä fysiikassa jättäen Newtonin robotit pois mekaniikasta.
Tieteiden myrskyisän matematisointiprosessin yhteydessä on myös aksiomatisoitumisprosessi. Mitään aksiomaattisista menetelmistä ei löydy biologian eri aloilta, esimerkiksi genetiikasta.
Aksiomaattisen menetelmän mahdollisuudet eivät ole loputtomat.
On tärkeää, että emme saa unohtaa teorioiden formalisointia jättämättä huomiotta intuitiota. Itse teoria on formalisoitu ilman minkäänlaista tulkintaa halutusta merkityksestä. Tästä syytetään vain formalisoidun teorian ja tulkinnan välistä yhteyttä. Lisäksi, kuten teorioiden formalisoinnissa, on kysymys aksioomijärjestelmän ei-superuudesta, riippumattomuudesta ja täydellisyydestä. Kaiken sellaisen ruoan kokonaisuudesta tulee toisen teorian ydin, kuten sitä kutsutaan formalisoidun teorian metateoriaksi. Formalisoidun teorian perusteella kielen metateoria on tärkein arkikieli, ja looginen peilaus suoritetaan luonnollisen intuitiivisen logiikan sääntöjen mukaan. Tällä tavalla intuitio, joka on jälleen otettu formalisoidusta teoriasta, ilmestyy uudelleen metateoriaan.
Mutta aksiomaattisen menetelmän suurin heikkous ei ole tsomassa. Aiemmin sitä ajateltiin jo D. Hilbertin ohjelmasta, koska se loi pohjan formalisoidulle aksiomaattiselle menetelmälle. Hilbertin pääideana on tehdä klassisesta matematiikasta formalisoitu aksiomaattinen teoria, tuoda ei-superkykyä. Ohjelma vaikutti kuitenkin pääkohdistaan utopistiselta. Vuonna 1931 kuuluisa itävaltalainen matemaatikko K. Gödel kehitti kuuluisat lauseensa, jotka tekivät selväksi, että Hilbertin asettamia päätehtäviä ei julkaistu. Yomu meni koodausmenetelmänsä ulkopuolelle oppiakseen formalisoidun aritmeettisen kaavojen avuksi ja toi avuksi metateorian, jonka mukaan nämä kaavat eivät näy aritmeettisen formalisoinnin yhteydessä. Tällä tavalla formalisoitu aritmetiikka vaikutti deduktiivisesti epätarkalta. Gödelin tuloksista kävi ilmi, että vaikka aksioomien määrään sisällytettäisiin todistamaton kaava, on olemassa toinen toistamaton kaava, joka ilmaisee saman oikean väitteen. Kaikki tämä tarkoitti, että ei vain kaikkea matematiikkaa, vaan myös aritmetiikkaa - yksinkertaisin osa on mahdotonta formalisoida. Zokrema, Gödel, joka on inspiroinut kaavan, joka vahvistaa väitteet "Formalisoitu aritmetiikka ei ole superkelpoinen" ja osoittanut, että kaavaa ei myöskään voida näyttää. Tämä tosiasia tarkoittaa, että formalisoidun aritmeettisen epätäydellisyyttä ei voida viedä itse aritmetiikkaan. Zrozumіlo, voit kannustaa vahvaa formalisoitua teoriaa ja її tuomalla formalisoidun aritmeettisen ei-superiteetti, ja samalla syyttää vielä tärkeämpää uuden teorian ei-superiteetti.
Gödelin tulokset osoittavat aksiomaattisen menetelmän validiteetin. Ja mikä tärkeintä, podstav varten pessimistinen visnovkіv tietoteoriassa joka ei tiedä totuutta, - ei. Se, että todetaan aritmeettisia totuuksia, joita ei voida saattaa aritmeettisen formalisoinnin piiriin, ei tarkoita totuuksien tietämättömyyden ilmentymistä eikä tarkoita ihmisen ajattelun hämäryyttä. Vin tarkoittaa vain sitä, että mielemme mahdollisuudet eivät rajoitu menettelyihin, että ne ovat formalisoituneempia ja että ihmisten on vielä testattava ja löydettävä uusia todistusperiaatteita.

1.3 Luonnollisten lukujen tallentaminen

Luonnollisten lukujen taitto- ja kertolaskuoperaatioita Peanon akselijärjestelmän avulla ei ole postuloitu, vaan operaatioiden sijasta.
Nimittäminen. Luonnollisten lukujen yhteenlaskua kutsutaan binäärialgebralliseksi operaatioksi + kertoimella N, joka voi olla voimakas:
1s. ((a(N)a+0=a);
2c. ((a, b (N) a + b (= (a + b)).
Ravitsemuksen syyllistäminen - mikä on tällainen operaatio, mutta jos on, niin mikä se on?
Lause. Luonnollisten lukujen lisääminen on välttämätöntä ja vain yksi.
Tuominen. Algebran binäärioperaatio multiplisiteettiin N on fermentaatio (:N(N®N. On tarpeen saada aikaan, että käyminen on vain yksi (:N(N®N, potenssit: 1)) ((x(N) ((x,0)= x ; 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y))). 0) )=x; ).
Merkittävästi kertoimella N, mielien binäärilauseke fx:
a) 0fxx;
b) kuinka yfxz, y(fxz(.
Muutetaan, mitä hyötyä on N:stä N:ksi, sitten iholle y z N
(((z(N) yfxz (1))
Merkittävää on, että M:n kautta on luonnollisten lukujen y kertoimella, jonka mielet (1) voittaa. Joten ajattele a) vyplyaє, scho 0 (M, a z um b) ja teho 1 p. ja tarkoittaa, että fx on N:n käyminen N:ksi. Ajattele minkä käymisen osalta:
1() fx(0) = x - s a);
2() fx((y)=fx(y() - b).
Tim itse toi syyt kippaamiseen.
Tuomme yhtenäisyyttä. Olkoon + i (- kuin kaksi algebran binaarioperaatiota joukoilla N potenssien 1c ja 2c kanssa. On tarpeen tuoda, että
((x, y(N) x + y = x(y)
Se on riittävän kiinteä luku x i on merkitsevä persoonallisten luonnollisten lukujen y S:n kautta, jolle tasaisuus
x+y=x(y (2)
voittaa. Skіlki zgіdno 1с x+0=x і x(0=x, sitten
A) 0(S
Olkoon nyt y(S, jotta yhtälö (2) voittaa. Joten x+y(=(x+y)(, x(y(=(x(y))(і x+y=x(y, then) ) aksioomit 2 x+y(=x(y(, niin että mieli voittaa)
B) y(S ® y((S.)
Eli aksioomalla 4 S=N, joka täydentää lauseen todistuksen.
Tuodaan viranomaiset dodavannyaan.
1. Luku 0 on summauksen neutraali alkio, joten a+0=0+a=a ihon luonnolliselle luvulle a.
Tuominen. Tasaisuus a+0=a huutaa mielestä 1s. Tuomme tasa-arvon 0+a=a.
Merkittävästi M persoonattoman numeron kautta, joka ei voita. Ilmeisesti 0+0=0 ja 0(M. Olkoon a(M, sitten 0+a=a.) Sitten 0+a(=(0+a)(=a(i, aka, a((M) ) Otzhe, M=N, miten ja on tarpeen tuoda.
Anna meille lema.
Lemma. a(+b=(a+b)(.
Tuominen. Olkoon M persoonaton luku kaikista luonnollisista lukuista b, joiden yhtälö on a(+b=(a+b)(tosi mille tahansa a:n arvolle):
A) 0(M, sirpaleet a(+0=(a+0)(;););
C) b(M ® b((M. Ehdottomasti, koska b(M ja 2c) on mahdollista)
a(+b(=(a(+b))(=((a+b)()(=(a+b()(,
joten b ((M. Keskiarvo, M = N, mitä minun pitää tuoda).
2. Luonnollisten lukujen yhteenlasku on kommutatiivista.
Tuominen. Olkoon M=(a(a(N(((b(N)a+b=b+a))) Kerro, että M=N. Ehkä:
A) 0 (M - hinta 1.
C) a(M® a((M)
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(.)).
Keskiarvo a((M, i aksioomasta 4 M=N).
3. Lisääminen assosiatiivisesti.
Tuominen. Älä viitsi
M=(c(c(N(((a,b(N))(a+b)+c=a+(b+c))
On tarpeen tuoda, että M=N. Joten (a+b)+0=a+b ja a+(b+0)=a+b, sitten 0(M. Olkoon s(M, sitten (a+b)+c=a+(b+c) ) .
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c())).
Keskiarvo c((M i aksioomalla 4 M=N).
4. a+1=a(, de 1=0(.
Tuominen. a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. Jos b(0), niin ((a(N)a+b(a)).
Tuominen. Olkoon M=(a(a(N(a+b(a)) 0+b=b(0, sitten 0(M)). 2 p.1 (a+b)((a(muuten a( +b) (a)) tarkoittaa a((M x M=N)).
6. Jos b(0, niin ((a(N)a+b(0))
Tuominen. Jos a=0, niin 0+b=b(0, jos a(0 і a=c(, sitten a+b=c(+b=(c+b))((0. Joten, y on mikä aika a) + b (0.
7. (Trikotomian taittumisen laki). Kaikille luonnollisille luvuille a ja b vain yksi ja vain yksi kolmesta samankaltaisuudesta on totta:
1) a = b;
2) b=a+u de u(0;
3) a=b+v de v(0.
Tuominen. Kiinnitetään tietty luku a ja se on M:n kautta merkitsevä kaikkien luonnollisten lukujen b kerroin, jolle yksi konnotaatioista 1), 2), 3) voittaa. On tarpeen tuoda, että M=N. Olkoon b = 0. Jos a=0, niin 1) ja jos a(0, vain 3), niin a=0+a. Otzhe, 0 (M.
Nyt on hyväksyttävää, että b(M, joten a:n käänteisarvo on yksi 1), 2), 3). Jos a=b, niin b(=a(=a+1, sitten b:lle(poikkeama 2 lasketaan).) Jos b=a+u, niin b(=a+u(, sitten b(poikkeama) lasketaan) 2 ) Jos a=b+v, niin kaksi deklinaatiota on mahdollista: v=1 ja v(1. Jos v=1, niin a=b+v=b", silloin b":lle käänteinen suhde 1 on otettu. ja v(1 , sitten v=c", de c(0 ja sitten a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c, de c(0, joten b:lle " meillä on käänteinen 3). Myöhemmin toimme, että b (M ® b "(M, i, myös M = N, joten halutaanko a:n ja b:n tapauksessa käyttää yhtä konsonansseista 1), 2), 3) niitä ei voi voittaa kerralla. spіvvіdnoshennia 2) ja 3), sitten pieni b a = (a + u) + v = a + + (u + v), mutta se on mahdotonta 5 ja 6 potenssilla. 7:n teho loppuu.
Tehtävä 1.3.1. Olkoon 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9))))). Kerro minulle 3+5 = 8, 2+4=6.

1.4. LUONNONLUKUJEN KERTOAMINEN.

Nimitys 1. Luonnollisten lukujen kertolaskua kutsutaan sellaiseksi binäärioperaatioksi (kertoimella N, jolle mieli lasketaan:
1u. ((x(N) x(0=0);
2v. ((x, y(N)x(y)=x(y+x).
Vahvistan ravitsemuksen jälleen - miksi tällainen leikkaus on ja miten se on, mikä sitten on ainoa asia?
Lause. Luonnollisten lukujen kertolasku on vain yksi.
Todistus voidaan suorittaa samalla tavalla kuin lisätodistaminen. On tarpeen tietää sellainen lauseke (:N(N®N), kuten
1) ((x(N)) ((x,0)=0;
2) ((x, y (N) ((x, y")) = ((x, y) + x).
Korjaamme melkoisen luvun x. Se on myös mahdollista iholle x(N іsnuvannya vіrazhennya fx: N®N s Authority
1") fx(0)=0;
2") ((y(N) fx(y")=fx(y)+x,
sitten funktio ((x,y), joka on yhtä suuri kuin ((x,y)=fx(y) ja tyydyttää mielet 1) ja 2).
Myöhemmin lauseen todistus nousee ihon x -funktioiden fx(y) potenssien 1") ja 2") yksikön perustan todistukseen. Asetetaan N-arvojen lukumäärä seuraavan säännön mukaan:
a) luku nolla on asetettu numeroksi 0,
b) koska luvulle y on annettu luku c, niin luku y (luku c + x on yhtä suuri).
Tarkastellaanpa uudelleen, että tällaisessa asetuksessa iholuku y voi olla yksittäinen kuva: ja on merkittävää, että N on mahdollista muuntaa N:ksi. Merkittävää on, että M:n kautta kaikkien luonnollisten lukujen y persoonallisuus voidaan muodostaa yksi kuva. Ajattele a) että aksiooma 1 on oikein, joten 0(M. Olkoon y(M. Ajattele b) ja aksiooma 2 ovat selviä, että y((M. Joten, M=N, joten todisteemme on N) N:ssä, on merkitsevä - jyrkästi fx:n suhteen, sitten fx(0)=0 a):n perusteella ja fx(y()=fx(y)+x - b).
Myöhemmin kertolaskuoperaation syy vahvistettiin. Haluan nyt (i (- olla kaksi binäärioperaatiota kertoimella N potenssien 1y ja 2y kanssa. Jäljelle jää, että ((x,y(N) x(y=x(y)) Korjaamme melkoisen luvun x ja älä))
S=(y?y(N(x(y=x(y))
Ohita 1y x(0=0 і x(0=0, sitten 0(S. Olkoon y(S), sitten x(y=x(y)))
x(y(=x(y+x=x(y+x=x(y(
i, sitten, y((S. Joten, S=N, alempi i, lauseen todistus päättyy).
Huomattavasti monet vallan diakonit.
1. Neutraali alkio on yleensä luku 1=0(, joten ((a(N) a(1=1(a=a))).
Tuominen. a(1=a(0(=a(0+a=0+a=a)) Tällä tavalla a(1=a) yhtälö on suoritettu. N) (1(a=a). Joten 1 (0=0, sitten 0(M. Olkoon a(M, sitten 1(a=a)). Sitten 1(a(=1(a+1=a +1=) a(, i, otzhe, a( (M. Eli aksioomista 4 M=N, joka oli tarpeen tuoda).
2. Messujen joukolle, oikeuden jakolaki siis
((a,b,c(N) (a+b)c=ac+bc).
Tuominen. Olkoon M=(c(c(N(((a,b(N))(a+b)c=ac+bc))). , sitten 0(M. Joten c(M, sitten (a+b)) c=ac+bc), sitten (a + b)(c(= (a + b)c +(a + b) = ac + bc +a+b=(ac+a)+(bc+b)= ac(+bc(.) Joten, c((M x M=N).
3. Luonnollisten lukujen kertolasku on kommutatiivista, eli ((a,b(N) ab=ba).
Tuominen. Tehdään se oikealle b:lle (N on 0 (b = b (0 = 0. Yhtä b (0 = 0) on selvä 1y.). Olkoon M = (b (b (N (0 (b = 0))) ) 0 =0, sitten 0(M. Joten b(M, sitten 0(b=0, sitten 0(b(=0(b+0=0))) i, myös, b((M. Joten, M= N, sitten yhtälö 0(b=b(0 tuotu kaikkiin b(N. Mennään pidemmälle) S=(a (a(N(ab=ba))). a) (S, sitten ab = ba. Sitten a (b) = (a + 1) b = ab + b = ba + b = ba (, sitten a ((S. Joten S = N), joka on tarpeen tuoda) .
4. Useita jakautuvia taitoksia. Tsya dominion viplivaє z dominion 3 ja 4.
5. Monikko on assosiatiivinen, eli ((a, b, c (N) (ab) c = a (bc)).
Todistus suoritetaan, kuten th varastossa, induktio s.
6. Jos a(b=0, sitten a=0 ja b=0, niin N:llä ei ole nollajakajia.
Tuominen. Olkoon b(0 і b=c(. Jos ab=0, niin ac(=ac+a=0, merkit seuraavat 6 kohdan 3 potenssia, joten a=0).
Tehtävä 1.4.1. Olkoon 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9))))). Kerro minulle, mikä 2(4) =8, 3(3=9.
Olkoon n, a1, a2, ..., an luonnollisia lukuja. Lukujen a1, a2,...,an summaa kutsutaan luvuksi, kuten sen kautta mieli ilmaisee; mille tahansa luonnolliselle luvulle k
Lukujen a1, a2,...,an osajoukko on luonnollinen luku, koska sitä merkitään i:llä ja mielessä: ; mille tahansa luonnolliselle luvulle k
Kuinka tämä numero ilmaistaan an.
Tehtävä 1.4.2. Tuo mitä
a);
b);
sisään);
G);
e);
e);
ja);
h);
і) .

1.5. LUONNOLLINEN NUMEROJÄRJESTELMÄN JÄRJESTELMÄ.

Lause "seuraa" on antirefleksiivinen ja antisymmetrinen, mutta ei transitiivinen eikä noudata tätä järjestystä. Muutamme järjestystä merkittävästi luonnollisten lukujen yhteenlaskennan varaan.
Ajanvaraus 1. a
Kohde 2. a(b (((x(N) b=a+x)).
Perekonaєmosya, scho vіdnoshennia Vіdznachimo deyaki vlastnostі luonnolliset luvut, povyazanih іz vіdnosinami іnоnostі і nerіvnostі.
1.
1.1 a=b (a+c=b+c).
1.2 a = b (ac = bc).
1.3a
1.4a
1,5 a+c=b+c (a=b).
1.6ac=bc(c(0(a=b).
1.7a+c
1.8ac
1.9a
1.10a
Tuominen. Dominanssi 1.1 ja 1.2 huokuu taitto- ja kertolaskutoimintojen ainutlaatuisuudesta. Yakscho a
2. ((a(N) a
Tuominen. Oskils a(=a+1, sitten a
3. Pienin alkio N on 0 ja pienin alkio N\(0) on luku 1.
Tuominen. Joten ((a(N) a=0+a, sitten 0(a, i, joten 0 on N:n pienin alkio.) Sitten, kuten x(N\(0), sitten x=y(, y( N ) , muuten x = y + 1. Vastaus on, että ((x (N \ (0)) 1 (x, joten 1 on N \ (0) pienin alkio).
4. Ehdotus ((a, b (N) ((n (N))) b (0 (nb> a)).
Tuominen. Ilmeisesti jokaiselle luonnolliselle a:lle on olemassa myös luonnollinen luku n, joka
a Sellainen luku є, esimerkiksi n = a (. Dahl, jos b (N \ (0), niin teholle 3
1(b(2)
Z (1) ja (2) potenssien 1.10 ja 1.4 perusteella ottavat aa.

1.6. LUONNOLLINEN NUMEROJÄRJESTELMÄN TODELLINEN JÄRJESTYS.

Nimitys 1. Järjestetyn kertoimen skin ei-tyhjänä alikertoimena (M; Harkitse uudelleen, että uusi järjestys on lineaarinen. Olkoon a ja b kaksi alkiota kokonaisesta järjestetystä kertoimesta (M; Lema) . 1) a
Tuominen.
1) a((b (b=a(+k, k(N))(b=a+k(, k((N\(0)))
2) a(b(b=a+k, k(N)(b(=a+k(, k((N\(0)))
Lause 1. Luonnollinen järjestys luonnollisten lukujen joukossa on korkeampi järjestys.
Tuominen. Olkoon M tyhjä persoonattomista luonnollisista luvuista, ja S on N:n alempien interlukujen immateriaalisuus, joten S = (x (x (N (((m (M))) x (m)). seuraava, 0(S) Yakby voitti ja muut Umovin aksioomit 4 n(S(n((S, then small b S=N)).
Lause 2. Jos persoonaton luonnollisten lukujen pedolla on ei-tyhjä raja, siinä voi olla suurin alkio.
Tuominen. Olkoon M ei-tyhjä raja persoonaton luonnollisten lukujen pedon välillä ja S on ylempien kordonien persoonallisuus, joten S=(x(x(N((m(M)) m(x)).) Merkittävästi x0:n kautta, y:n pienin alkio S. Jos m
Tehtävä 1.6.1. Tuo mitä
a);
b);
sisään).
Tehtävä 1.6.2. Tule (- luonnollisten lukujen ja k:n deak potenssi - enemmän kuin luonnollinen luku. Tuo mitä
a) olla kuin luonnollinen luku voi olla potenssi (kuten vain 0 voi olla potenssi mille tahansa n:lle (0
b) onko se luonnollinen luku, suurempi tai yhtä suuri kuin k, maє potenssi (, jos vain k maє tsyu potenssi i riippumatta n (k (n) s poissaolon, scho n maє potenssi (, seuraava, scho luku n + 1 myös Volodya tsієyu teho).
c) onko se luonnollinen luku, suurempi tai yhtä suuri kuin k, voi olla potenssi (koska vain k:llä voi olla potenssi ja mitä tahansa n (n>k) on sallitus, että kaikki luvut t, jotka on annettu mentaalisella k:llä (t

1.7. INDUKTIOPERIAATE.

Vikoristovuyuchi povryadkovannost luonnollisten lukujen järjestelmän, voit tuoda tällaisen lauseen, joka on yksi todistemenetelmien perusteista, otsikot matemaattisen induktion menetelmällä.
Lause (induktion periaate). Usі vyslovlyuvannya z peräkkäiset A1, A2, ..., An, ... є іstnymi, yakshcho vykonuyutsya mind:
1) A1 on tosi;
2) kuinka Ak:ta käytetään k:n kanssa
Tuominen. On sallittua olla hyväksymättä: ajattele 1) ja 2) voittaaksesi, mutta jos lause ei ole totta, emme salli є persoonatonta M = (m (N (N \ (0), Am - hibno)). elementti, joka on merkityksellinen n:n kannalta henkisesti 1) A1 on tosi, ja An on huono, niin 1(n, i, aka, 1)
Vahvistamiseksi induktiomenetelmällä voidaan nähdä kaksi vaihetta. Ensimmäisessä vaiheessa, jota kutsutaan induktion perustaksi, mielen mentaliteetti kaatuu 1). Lavan toiselta puolelta, jota kutsutaan induktiokrokkiksi, mieli tuodaan mieleen 2). Useimmiten vipadit ajetaan läpi, jos An:n totuuden todistamiseksi ei ole mahdollista käyttää Ak:n totuuden voittoa k:lla.
peppu. Tuo epätasaisuus Maksettava = Sk. On tarpeen tuoda johdon totuus Ak=(Sk Lauseen 1 kuvattu deduktiosekvenssi voi tulla predikaatista A(n), joka on osoitettu joukolle N tai :nnelle osajoukolle Nk=(x( x(N, x(k)), missä k on kiinteä luonnollinen luku.
Sokrema, jos k=1, niin N1=N(0), ja numerointi voidaan suorittaa lisäyhtälöille A1=A(1), A2=A(2), ..., An=A(n), .. Jos k(1, niin esiintymisjono voidaan ottaa lisätasoisuuksista A1=A(k), A2=A(k+1), ..., An=A(k+n-1), . .Vidpovidno sellaisiin arvoihin, Lause 1 voidaan muotoilla eri muodossa.
Lause 2. Predikaatti A(m) on totta myös kertoimella Nk, joten tiedät:
1) A(k) on tosi;
2) kuinka A(m):tä käytetään m:lle
Tehtävä 1.7.1. Kerron teille, että tällainen tasa-arvo ei tee päätöstä luonnollisten lukujen galleriassa:
a) x + y = 1;
b) 3x = 2;
c) x2 = 2;
d) 3x+2=4;
e) x2+y2=6;
f) 2x+1=2v.
Tehtävä 1.7.2. Tuo matemaattisen induktion voittoperiaate:
a) (n3+(n+1)3+(n+2)3)(9;
b);
sisään);
G);
e);
e).

1.8 VIDCHITANNYA I DELENNYA LUONNOLLINEN NUMERO.

Nimitys 1. Luonnollisten lukujen a ja b ero on sellainen luonnollinen luku x, että b+x=a. Luonnollisten lukujen a ja b eroa merkitään a-b:llä, ja erotuksen eron operaatiota kutsutaan erotukseksi. Vidnimannya ei ole algebran operaatio. Tse vyplyvaє iz nastupnoї lause.
Lause 1. Vähittäismyynti a-b on ainoa ero ja vain yksi, jos b(a. Jos eroa on, niin vain yksi).
Tuominen. Jos b(a, niin viittauksen nimeämiselle (jos se on luonnollinen luku x, niin b+x=a. Ale ce i tarkoittaa, että x=a-b. että b + x = a. Alece tarkoittaa, että b (a) .
Tuomme yhtenäisyyttä vähittäiskauppa a-b. Olkoon a-b=x ja a-b=y. Sama koskee tapaamisia 1 b+x=a, b+y=a. Zvіdsi b+x=b+y і, myös, x=y.
Kohde 2. Kahden luonnollisen luvun a ja b(0) murto-osaa kutsutaan luonnolliseksi luvuksi c siten, että a = bc.
Lause 2. Se on yksityisempi kuin yksi.
Tuominen. Tule = x että = y. Sama koskee tapaamisia 2 a=bx ja a=by. Zvіdsi bx=by і, myös x=y.
On syytä huomata, että tuolloin tehdyt leikkaukset voidaan laskea kirjaimellisesti samalla tavalla kuin kouluavustajien tapauksessa. Tse tarkoittaa, että kappaleissa 1-7, Peanon aksioomien perusteella, luotiin luonnollisten lukujen aritmeettisen perustan teoreettinen perusta, ja jatkokehitystä vahvistetaan myöhemmin matematiikan lukion kurssilla ja yliopiston kurssilla "Algebra ja luku". Teoria".
Tehtävä 1.8.1. Tuo tällaisten väitteiden oikeutta myöntämällä, että kaikki niiden kaavoissa esitetyt erot ovat selviä:
a) (a-b)+c=(a+c)-b;
b) (a-b) (c = a (c-b (c);
c) (a+b)-(c+b)=a-c;
d) a-(b+c)=(a-b)-c;
e) (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d);
e) (a-b)-(c-d) = a-c;
g) (a+b)-(b-c)=a+c;
h) (a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c);
i) a-(b-c)=(a+c)-b;
to) (a-b)-(c+d)=(a-c)-(b+d);
k) (a-b)(c+d)=(ac+ad)-(bc+bd);
l) (a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc);
m) (a-b)2=(a2+b2)-2ab;
o) a2-b2=(a-b)(a+b).
Tehtävä 1.8.2. On selvää, että tulevien vastoinkäymisten oikeudenmukaisuus myönnetään, että kaikki on yksityistä, että ne on ilmoitettu annetussa kaavassa.
a); b); sisään); G); e); e); ja); h); i); to); l); m); n); noin); P); R).
Tehtävä 1.8.3. Todistaaksesi, että kahden erilaisen luonnollisen ratkaisun äidit eivät voi olla yhtä tasa-arvoisia: a) ax2+bx=c (a,b,c(N); b) x2=ax+b (a,b(N); c) 2x= ax2 + b(a,b(N).
Tehtävä 1.8.4. Irrota luonnolliset luvut yhtä suuret:
a) x2+(x+1)2=(x+2)2; b) x + y = x (y; c); d) x2+2y2=12; e) x2-y2 = 3; e) x + y + z = x (y (z.
Tehtävä 1.8.5. Todistaaksesi, että luonnollisten lukujen pallolla ei ole tällaista yhtäläistä ratkaisua: a) x2-y2=14; b) x-y = xy; sisään); G); e) x2 = 2x+1; f) x2 = 2y2.
Tehtävä 1.8.6. Epätasaisuuden luonnollisten lukujen purkaminen: a) ; b); sisään); d) x+y2 Tehtävä 1.8.7. Kerro minulle, että luonnollisten lukujen alueella kiihtymisen alku on reilu: a) 2ab(a2+b2; b) ab+bc+ac(a2+b2+c2; c) c2=a2+b2 (a2+b2) +c2 1.9 KILKISNIY DEATH luonnolliset luvut.
Oikeastaan luonnolliset luvut pitäisi asettaa alkuaineiden rahunkan pääluokiksi ja kumpi pitää Peanon teoreettisesti sijoittaa luonnollisten lukujen laskentaan.
Kohde 1. Anonyymi (x(x(N, 1(x(n))) kutsutaan toisin kuin luonnollinen sarja) ja merkitään (1; n ()).
Nimitys 2. Kіntsevoj kertojaa kutsutaan, onko se kertoja, yhtä suuri kuin mikä tahansa luonnollisen sarjan laskuri, ja myös tyhjä kertoja. Bezlichiä, kuten ei є kіtsevim, kutsutaan nyljettömäksi.
Lause 1 märkään(Tobto podmnozhini, vіdmіny vіd A).
Tuominen. Kuinka A=(, lause on tosi, tyhjistä osakerroista ei ole tyhjiä sirpaleita. Olkoon A((і A yhtä kova (1,n((A((1,n()).))) Voimme todistaa lause induktiolla n:lle. Yakscho n= 1, sitten A((1,1(, silloin käytämme kertojan yksittäistä alikerrointa A on tyhjä kertoja). Oli selvää, että A(i, myös, jos n=1 , lause on totta. Oletetaan, että lause on tosi n=m, niin kaikki terminaalit kertoimet, yhtä vahvuudet tuulessa (1,m(, älä ajattele yhtä voimakkuutta tuulessa). käänteinen)) (1, m+1(A:ssa. Jos ((k) tunnetaan ak:lla, k=1,2,...,m+1, niin impersonaali A voidaan kirjoittaa muodossa A=(a1, a2, ...) ) , am, am+1) Tavoitteenamme on todistaa, että A:lla ei ole yhtä vahvoja potenssiosakertoja.
Katsotaan kertoimia A1 = A (am + 1) ja B1 = B (am + 1). Koska f(am+1)=am+1, niin funktio f zdіysnyuvatime näyttää bioaktiivisesti kertoimen A1, kertoimella B1. Tässä luokassa persoonaton A1 on yhtä suuri kuin sen voimakas osamonia B1. Ale oskіlki A1((1,m(, älä korvaa induktiota).
Johtopäätös 1. Luonnollisten lukujen puuttumista ei ole rajoitettu.
Tuominen. Peanon aksioomien perusteella on selvää, että S:N®N\(0), S(x)=x(objektiivisesti) on fermentoitu.
Johtopäätös 2. Jos kintsevin kertoja A ei ole tyhjä, se on yhtä suuri kuin yksi ja vain yksi luonnollisen sarjan vastine.
Tuominen. Olkoon A((1,m(і A((1,n(. Todі)) (1,m(((1,n(, Lauseen 1 johdosta se on selvä), joten m=n.)).
Viimeinen 2 antaa sinun syöttää nimityksen.
Nimitys 3. Kuten A((1,n(, silloin luonnollista lukua n kutsutaan kertoimen A alkioiden lukumääräksi), ja kertojien A ja (1,n) välisen keskinäisen yksiselitteisen samankaltaisuuden määrittäminen (kutsutaan numeroksi kertoimen A elementtien lukumäärä. Tyhjän kerrannaisen luonnollisten alkioiden määrä syötä) luku nolla.
Puhu Zayve rahunkan merkityksen suuruudesta käytännön elämän kannalta.
Kunnioittavasti, luonnollisen luvun laskentaa tuntemalla olisi mahdollista laskea kertolasku itse yhteenlaskulla:
.
Emme toistaiseksi lähettäneet tätä tietä osoittaaksemme, että itse aritmetiikkaa ei vaadita laskelmassa: luonnollisen luvun laskentatajua tarvitaan vain aritmetiikkaan lisäyksissä.

1.10. LUONNOLLINEN NUMEROJÄRJESTELMÄ ERILÄISEKSI KÄÄNTÖJÄRJESTELMÄSSÄ ON TÄÄLLÄ BAGATO.

Olemme osoittaneet, että persoonattomat luonnolliset luvut ovat yhteensopivia luonnollisen järjestyksen ja koko järjestyksen kanssa. Jos näin on, ((a(N) a
1. mille tahansa numerolle a(N іsnuє sudіdnє hänen jälkeensä 2. mille tahansa numerolle a(N \ (0) іsnuє suіdnє yoma edessäsi) Koko persoonaton (A;()) järjestys tehoilla 1 ja 2 kutsutaan muistio diskreetiksi sykliksi Näyttää siltä, että järjestys potenssien 1 ja 2 kanssa on luonnollisten lukujen järjestelmän karakteristinen potenssi.elementti i, myös aksiooma 1 Peano voittaa).
Joten se on kuin lineaarinen järjestys, jolloin mille tahansa elementille a on yksi elementti sen jälkeen eikä enempää kuin yksi eteenpäin sudidny-elementti. ajattele:
1) a0(M, missä a0 on A:n pienin alkio;
2) a(M (a((M.))
Oletetaan, että M=N. Hyväksyttävää ei hyväksytä, sitten A\M((. Merkittävästi, b:n kautta, pienin elementti A\M:ssä.
Toimme myös mahdollisuuden luonnollisten lukujen järjestelmän toiseen nimeämiseen.
Nimittäminen. Luonnollisten lukujen järjestelmää kutsutaan, onko monikerroin järjestetty kokonaisuudeksi, jolla mielet lasketaan:
1. minkä tahansa elementin takana on seuraava etenevä elementti;
2. minkä tahansa osan osalta vähiten näkyvä elementti, tärkein oikeudellinen elementti.
Іsnuyut іnshі pіdhodi määränpää järjestelmän luonnollisia lukuja, joista emme täällä zupinaєmosya.

2. TSILI JA rationaaliluvut.

2.1. NUMEROJÄRJESTELMÄN MERKITYS JA VOIMA.
Vaikuttaa siltä, että intuitiivisen mielen mielessä ei ole kokonaislukuja, ja rengas pystyy taittamaan tuon kertoimen, ja lisäksi rengas kostaa luonnolliset luvut. Ymmärrettiin, että kiltsі tsіlih numeroissa ei ole kiroilua, kuin se kostaisi kaikki luonnolliset luvut. Vallan qi näyttää olevan perustana numerojärjestelmän tiukkaan määrittelyyn. Kohdissa 2.2 ja 2.3 tuodaan esiin tällaisen merkinnän oikeellisuus.
Nimitys 1. Lukujärjestelmää kutsutaan algebralliseksi järjestelmäksi, jolle mieli on:
1. Algebrallinen järjestelmä є kiltse;
2. Luonnollisten lukujen anonyymius on otettava huomioon, ja lisäksi tuon kertolaskujen yhteenlasku osakerran kiltsissä on otettu tämän luonnollisten lukujen kertoimen lisäämisestä tobto
3. (umova minimaalisuus). Z on minimi, kun otetaan mukaan kertoja potenssilla 1 ja 2. Toisin sanoen luonnollisten lukujen kostamiseksi, niin Z0=Z.
Tapaamiselle 1 voidaan antaa aksiomaattinen luonne. Tämän aksiomaattisen teorian ensimmäiset käsitteet ovat:
1) Anonyymi Z, jonka alkioita kutsutaan kokonaisluvuiksi.
2) Erityinen kokonaisluku, kuten sitä kutsutaan nollaksi ja ilmaistaan nollan kautta.
3) Kolmiosainen vіdnosini + ta (.
N:n kautta, kuten tavallista, persoonattomia luonnollisia lukuja merkitään taitolla (ja kertolaskuilla (. Itse asiassa merkintään 1 asti kokonaislukujärjestelmää kutsutaan sellaiseksi algebrajärjestelmäksi) (Z; +, (, N) ), joista seuraavat aksioomit ovat voittajia):
1. (Kiltsyan aksioomit.)
1.1.
Tämä aksiooma tarkoittaa, että + є on algebran binäärioperaatio joukolla Z.
1.2. ((a,b,c(Z) (a+b)+c=a+(b+c)).
1.3. ((a, b (Z) a + b = b + a).
1.4. ((a(Z) a+0=a, joten numero 0 voidaan lisätä neutraaliksi alkioksi).
1.5. ((a(Z)((a((Z) a+a(=0), joten ihon kokonaisluvulla on vastakkainen luku a()).)).
1.6. ((a,b(Z))((! d(Z) a(b=d)).
Tämä aksiooma tarkoittaa, että kertolasku on algebran binäärioperaatio kertoimella Z.
1.7. ((a, b, c(Z)) (a(b)(c = a((b(c))).
1.8 ((a, b, c (Z) (a + b) (c = a (c + b (c, c ((a + b))) = c (a + c (b))
2. (Z:n ja luonnollisten lukujen välisen yhteyden aksioomit.)
2.1. N(Z.
2.2. ((a, b (N) a + b = a (b).
2.3. ((a, b(N)) a(b = a(b).
3. (Minimaalisuuden aksiooma.)
Jos Z0 on renkaan Z loppu ja N(Z0, niin Z0=Z.
Merkittäviä lukujärjestelmän voimatoimia.
1. Nahkojen lukumäärä voidaan esittää katsomalla kahden luonnollisen luvun eroa. Ulkonäkö on moniselitteinen, lisäksi z=a-b ja z=c-d, de a, b, c, d (N, molemmat ja vain jos a+d=b+c).
Tuominen. Merkittävää on, että Z0:n kautta kaikkien kokonaislukujen puuttuminen, minkä tahansa niistä, näyttää kahdelta luonnolliselta luvulta. Ilmeisesti ((a(N) a=a-0, i, aka, N(Z0).
Mennään x,y(Z0, sitten x=a-b, y=c-d, de a,b,c,d(N. Sitten x-y=(a-b)-(c-d)=(a+d)--(b + c )=(a(d)-(b(c)), x(y=(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)=(a(c(b(d))- ( a(d(b(c). Voidaan nähdä, että x-y, x(y(Z0 i, tästä eteenpäin Z0 on renkaan Z osajoukko), kostaakseen persoonattoman N.)).
2. Kokonaislukujen rengas on kommutatiivinen rengas, jossa on yksikkö, ja renkaan nolla on luonnollinen luku 0 ja renkaan yksikkö on luonnollinen luku 1.
Tuominen. Olkoon x,y(Z. Voimassa potenssille 1 x=a-b, y=c-d, de a,b,c,d(N.) Sitten x(y=(a-b)((c-d)=(ac+bd)- (ad) +bc)=(a(c(b(d))-(a(d(b(c)), y(x=(c-d))(a-b)=(ca+db)-(da+ cb) )=(c( a(d(b)-(d(a(c(b))).). Luonnollisten lukujen kertolaskujen kommutatiivisuudesta johtuen se sopii siis xy=yx. Kertolaskujen kommutatiivisuus) rengas Z on tuotu. 2 vyplyvayut hyökkäävistä ilmeisistä yhtälöistä, joissa 0:n ja 1:n kautta tunnetaan luonnolliset luvut nolla ja yksi: x+0=(a-b)+0=(a+(-b))+ 0=(a+0)+(-b) =(a(0)+ (-b) = a-b = x x (1 = (a-b) (1 = a (1-b (1 = a (1-b ()) 1 = a-b = x)))

2.2. ІSNUVANNYA SYSTEM CYLIKH NUMERO.

Lukujärjestelmä on määritetty 2.1:ksi minimiksi renkaan sisällyttämiselle, joka kostaa luonnolliset luvut. Vikaє pitanya - mikä on sama kiltse? Toisin sanoen aksioomijärjestelmä s 2.1 on superyksinkertainen. Jotta aksioomijärjestelmän ei-superiteetti saataisiin esiin, on välttämätöntä saada aikaan tulkinta selvästi ei-valvottavassa teoriassa. Tällainen teoria otetaan huomioon luonnollisten lukujen aritmetiikassa.
Jälleen on tarpeen selittää aksioomijärjestelmän tulkinta 2.1. Lähdetään persoonattomaan. Joille persoonaton ovat merkittävästi kaksi binääritoimintoa ja binääriasetus. Jos tuon parien kertolaskujen yhteenlasku vähennetään tuon luonnollisten lukujen kertolaskujen yhteenlaskuksi, niin luonnollisille lukuille tuo parien kertolasku on kommutatiivista, assosiatiivista, ja kertolasku on distributiivisesti samanlainen kuin yhteenlasku. Tarkastellaan uudelleen esimerkiksi parien lisäämisen kommutatiivisuutta: +===+.
Katsotaanpa vіdnoshennia ~ voimaa. Oskіlki a + b = b + a, sitten ~, sitten asettamalla ~ refleksiivisesti. Jos ~, niin a+b1=b+a1, sitten a1+b=b1+a, niin ~. Otzhe, asetus ~ symmetrisesti. Mene eteenpäin ~ minä ~. Myös yhtälöt a+b1=b+a1 ja a1+b2=b1+a2 ovat voimassa. Kun lasketaan yhteen yhtälöiden luvut, otetaan pois a + b2 = b + a2, sitten ~. Otzhe, asetus ~ myös transitiivisesti і, otzhe, є vastaava. Vastaavuusluokka, joka kostaa parin, määritetään. Tässä luokassa vastaavuusluokka voidaan määrittää omaksi pariksi ja sen kanssa
(1)
Kaikkien vastaavuusluokkien anonyymiys on merkittävää. Tehtävämme on osoittaa, että kertoja tietyn taitto- ja kertolaskuoperaation tapauksessa on aksioomijärjestelmän tulkinta kohdasta 2.1. Kasvottomien operaatioiden merkitys on tasa-arvo:
(2)
(3)
Jos i on, niin kertoimella N yhtälö a+b(=b+a(, c+d(=a+c(,))) pätee, yhtälö (a+c)+(b(+d() )=(b ) +d)+(a(+c(), joka kohdan (1) perusteella on hyväksyttävä, mikä. Tse tarkoittaa, että ekvivalenssi (2) merkitsee ainutlaatuista yhteenlaskutoimintoa kertoimella, joten ei valehdella parien valinnassa, mikä tarkoittaa lisäyksiä) ja luokkien kertolaskujen yksilöllisyyttä. Tällä tavalla algebran binäärioperaatioiden moninkertaisuuteen osoitetaan yhtäläisyydet (2) ja (3).
Oskіlki lisäys- ja kertoluokat voidaan rakentaa taitto- ja kertomispareihin, nämä operaatiot ovat kommutatiivisia, assosiatiiviset ja kertovat luokat ovat distributiivisesti helppoja taittaa. Tasa-arvoista todetaan, että luokka on taittotavan neutraali elementti ja skin-luokka on proliferatiivinen yksi luokka. Kerroin on siis ympyrä, joten ryhmän 1 aksioomat luvusta 2.1 lasketaan.
Katsotaanpa kiil'tsі podmnozhinaa. Jos a(b, niin kautta (1) , ja jos a
impersonaalissa binääri on merkitsevä (seuraa (; itse, seuraa luokkaa, seuraa luokkaa, de x (є luonnollinen luku, tulee x:n jälkeen. Luokka, tulee luonnollisesti merkitsevä kautta). luokka seuraa luokkaa i ennen sitä on vain yksi.
Katsotaanpa kuvaa. On selvää, että käymisen tarkoitus on biaktiivinen ja mieli f(0)= , f(x()==(=f(x)(.)). ;, () Toisin sanoen algebra (;, () on tulkinta Peanon aksioomajärjestelmästä. Se on johdettu isomorfisista algebroista, joten voit kunnioittavasti ajatella, että itse persoonaton N on alikerrottu. ) \u003d a + c, a (c \u003d ac, mikä tarkoittaa, että sen lisääminen Luonnollisten lukujen yhteen- ja kertolaskuihin on lisätty kertolasku alikertoimessa N. Siten asennetaan ryhmän 2 aksioomien yhteenlasku.
Tule Z0 - ole kuin kiltse pіdkіltse, scho kostaa persoonaton N i. Kunnioittavasti scho th, otzhe,. Ale oskіlki Z0 - kilo, niin ero näiden luokkien välillä voi olla myös kiltsu Z0. З yhtäläisyydet -= (= sovi, sho (Z0 і, aka, Z0=. Tuodaan kohdan 2.1 aksioomajärjestelmän ei-superiteetti).

2.3. NUMEROJÄRJESTELMÄN YKSITYISYYS.

Minulla on vain yksi lukujärjestelmä intuitiiviselle mielelleni. Tse tarkoittaa, että aksioomajärjestelmä, joka merkitsee lukujen lukuja, voi olla kategorinen, joten aksioomijärjestelmän tulkinta on isomorfinen. Kategorinen ja tarkoittaa, että isomorfismiin asti on vain yksi lukujärjestelmä. Perekonayemosya, scho tse totta niin.
Olkoon (Z1;+,(,N) ja (Z2;(,(,N)) kaksi tulkintaa kohdan 2.1.) aksioomajärjestelmästä, jotka on täytetty kurinalaisilla ja kermaisilla renkaan Z1 elementeillä x ja y oikeudenmukaisuus
(1)
. (2)
Kunnioittavasti sirpaleet N(Z1 ja N(Z2, sitten
, a(b=a(b. (3)
Olkoon x(Z1 і x=a-b, de a,b(N. Aseta elementti x=a-b elementiksi u=a(b, de) , tähdet z (3) a(d=b(c і, otzhe, a(b=c(d)) tse tarkoittaa, että kykymme pudota elementin x edustajana kahden luonnollisen luvun ja cim erotuksena näkyy f:ssä: Z1® Z2, f(a-b)=a(b). Ymmärtäen, että v(Z2 і v=c(d), sitten v=f(c-d).) lauseke f on sur'jektiivinen.
Jos x = a-b, y = c-d, de a, b, c, d (N і f (x) = f (y), niin a (b = c (d). Alethodі a (d = b (d, c) ) voima (3) a+d=b+c, eli a-b=c-d Olemme tuoneet, että x=y:n yhtäläisyys käy ilmi yhtälöstä f(x)=f(y), niin lauseke f ei ole aktiivinen.
Jos a(N, niin a=a-0 і f(a)=f(a-0)=a(0=a.) Luonnolliset luvut ovat siis väkivallattomia, kun f on liioiteltu. Kaukana, kuten x=a-b , y=c-d , de a, b, c, d (N, sitten x + y = (a + c) - i f (x + y) = (a + c) ((b + d) = (a (c) ) (( b (d)=(a(b)((c(d)=f(x)+f(y)). Tasa-arvon oikeudenmukaisuus (1) on todistettu. Käännettävä yhtäläisyys (2). Asteikot f( xy)=(ac+ bd) )((ad+bc)=(a(c(b(d))((a(d(b(c))), ja toisella puolella f(x)(f( y))=(a(b)((c(d)=(a(c(b(d)))((a(d(b(c))). Joten, f(xy)=f(x) (f(y)) , joka täydentää todistuksen aksioomijärjestelmän n kategoriallisuudesta.) 2.1.

2.4. RATIONAALILUKUJÄRJESTELMÄN ARVOT JA TEHO.

Anonyymit Q rationaaliset luvut annetussa intuitiivisessa rozumіnnі kentässä, joillekin persoonattomille Z-kokonaisluvuille є pіdkіltsem. Jos näin on, on selvää, että Q0 on kentän Q alikenttä lukujen kostamiseksi, niin Q0 = Q.
Nimitys 1. Rationaalilukujärjestelmä on sellainen algebrajärjestelmä (Q; +, (; Z), johon käytetään mieltä:
1. algebrallinen järjestelmä (Q; +, () є kenttä;
2. rengas Z kokonaisluku numerot є pіdkіltsem kenttä Q;
3. (minimi), jos kentän Q osakenttä Q0 kostaa osakentän Z, niin Q0=Q.
Lyhyesti sanottuna rationaalilukujärjestelmä on minimi sisällytetyn kentän kostamiseksi numeroiden lukumäärästä. Voit antaa lisää raportteja rationaalilukujärjestelmän aksiomaattisesta määritelmästä.
Lause. Skin rationaaliluku x voidaan esittää yksityisenä kaksina kokonaislukuna, joten
, de a, b (Z, b (0. (1))
Ulkonäkö on moniselitteinen, lisäksi de a, b, c, d (Z, b (0, d (0)).
Tuominen. Q0:n kannalta on merkittävää, että on olemassa persoonattomia rationaalilukuja, kuten näkyy kohdassa (1). Täsmäyksen loppuun saattamiseksi Q0 = Q. No, de a, b, c, d (Z, b (0, d (0). Sitten kentän potenssille on mahdollista: , ja c:lle). (0) Keskiarvo Q0 on suljettu nollasta poikkeavaan numeroon, i, sitten, є kentän Q alikenttään. Joten jos luku a on näkyvissä, niin Z (Q0. Johtuen siitä, että se on minimaalinen ja ilmeinen , Q0 = Q. Ilmeisen lauseen toisen osan todistus.

2.5. RATIONAALILUKUJÄRJESTELMÄN PERUSTA.

Rationaalilukujärjestelmä on määrätty minimikenttään, joka kostaa lukujen määrän. Zvichayno vinikaє pitanya - chi іsnuє tällainen kenttä, chi є є nesuperechivly järjestelmä aksioomia, scho vyznaє rationaaliset luvut. Ei-superuuden vahvistamiseksi on välttämätöntä saada aikaan tulkinta aksioomijärjestelmästä. Kenelle on mahdollista kiertää kokonaislukujärjestelmän perusta. Katsotaanpa Z(Z\(0) tulkintaa. Tällä kertoimella kaksi algebran binaarioperaatiota ovat merkittäviä
, (1)
(2)
tuo binääri
(3)
Dotsіlnіst sama tällaisen nimityksen toiminnan ja vіdnosinі ~ vіplivaє z että іy іyіnpretatsії, kuten aion olla, pari sanaa ovat yksityisempiä.
On helppo ajatella liikaa, että operaatiot (1) ja (2) ovat kommutatiivisia, assosiatiivisia ja kertovat distributiivisesti. Kaikkia voimavaroja kunnioitetaan tuon lukujen kertolaskujen suurempien voimien perusteella. Pereverimo esimerkiksi useiden parien assosiatiivisuus: .
Samoin harkitaan uudelleen, että ero on ~ є ekvivalentti, ja siten persoonaton Z(Z \ (0)) jaetaan ekvivalenssiluokkiin. Pareissa i mielen (3) perusteella otamme:
. (4)
Tehtävämme on nimetä toiminta, jossa kerroin taitetaan kertoimeksi niin, että se oli kenttä. Operaatioiden lukumäärä on yhtäläisyydellä merkittävä:
, (5)
(6)
No, sitten ab1=ba1 ja sitten cd1=dc1, sitten kertomalla yhtäläisyyden arvot, otamme (ac)(b1d1)=(bd)(a1c1), ja tse tarkoittaa, että Tse muuttaa meidät siitä, joka on yhtäläinen (6) ) tarkoittaa tehokkaasti yksiselitteistä toimintaa persoonattoman luokan suhteen, kuten iholuokan edustajien valinnassa. Vastaavasti toiminnon (5) ainutlaatuisuus tarkistetaan.
Koska luokkien lisääminen ja kertominen voidaan pelkistää taitto- ja kertomispariksi, operaatiot (5) ja (6) ovat kommutatiivisia, assosiatiivisia ja distributiivisia ja ne voidaan lisätä.
Tasa-arvoista määrätään, että luokka on täydennyksessä neutraali elementti ja iholuokassa käytetään prolla yoma -elementtiä. Samoin on selvää, että luokka on neutraali elementti monista ja iholuokka on korjaava luokka. Myös є toiminta-ala (5) ja (6); ensin Umov määrätyssä kohdassa 2.4 voittaa.
Katsotaanpa persoonatonta etäisyyttä. Ilmeisesti,. Persoonallisuus sulkeutuu näkemällä tuo monikko ja myöhemmin kentän pidkil. Oikea, . Katsotaanpa visiota, . Tämän ilmentymän surjektiivisuus on ilmeinen. Jos f(x)=f(y), niin x(1=y(1 tai x=y. Merkitys f ja injektiivinen. Lisäksi isomorfinen kiltsya, on mahdollista ymmärtää, että Z kiloce on kentän osakilce, joten mieli lyödään 2 määrätyssä lausekkeessa 2.4. kentät i,Älä viitsi. Bo, ah, sitten. Ale oskіlki - kenttä, sitten yksityiset tsikh-elementit tezh makaavat kentällä. Tim itse otti sen esiin, mikä se sitten on, tobto. Rationaalilukujärjestelmän perusta on valmis.

2.6. RATIONAALILUKUJÄRJESTELMÄN YKSITYISYYS.

Jos on olemassa vain yksi rationaalilukujärjestelmä nykyaikaisessa intuitiivisessa mielessä, niin rationaalilukujen aksiomaattinen teoria, kuten tässä näkyy, voi olla kategorinen. Kategorinen ja tarkoittaa, että isomorfismiin asti on olemassa vain yksi rationaalilukujärjestelmä. Osoitetaan, että se on totta.
Olkoon (Q1;+, (; Z) ja (Q2; (, (; Z)) - kuin kaksi rationaalilukujärjestelmää.
(1)
(2)
mille tahansa elementille x ja y kentästä Q1.
Yksityiset elementit a ja b kentässä Q1 merkitään ja kentässä Q2 - a:b. Koska Z є pіdkіltse kozhny s polіv Q1 і Q2, niin mille tahansa määrälle lukuja a і b ekvivalentti
, . (3)
Tule ja de, . Määritämme annetulle elementille x alkion y=a:b kentästä Q2. Jos yhtäläisyys on tosi kentässä Q1, silloin renkaan Z kohdan 2.4 lause voittaa yhtälön ab1=ba1, muuten (3) johdosta yhtäläisyys ja vastaavasti samalle lauseelle yhtälö a: b=a1:b1 on voimassa kentässä Q2. Tse tarkoittaa, että kohdistamalla kentän Q1 alkioon alkio y=a:b kentästä Q2, näytämme sen, .
Mikä tahansa alkio kentästä Q2 voidaan esittää muodossa a:b, de, otzhe, є alkion arvo kentästä Q1. Otzhe, vodobrazhennya f є sur'єktivnym.
Kyllä, sitten kentällä Q1 ja sama. Tällä tavalla käyminen f є bієktivnym ja kaikki tsіlі numerot tulevat kurittomaksi. On välttämätöntä tuoda oikeutta tasa-arvolle (1) ja (2). Sanotaan a,b,c,d(Z, b(0, d(0). Sitten i, merkit johtuen (3) f(x+y)=f(x)(f(y). Samoin ja tähdet.
(Q1; +, (; Z) ja (Q2; (, (; Z))) tulkintojen isomorfismi etenee.

VІDPOVIDI, VKAZIVKI, RISHENNYA.

1.1.1. Ratkaisu. Nehai Umovin aksiomia 4 on tosi (sellainen luonnollisten lukujen potenssi, että ((0) i. Tehdään se. Joten M täyttää aksiooman 4 potenssit, sirpaleita (0) (0(M i. Otzhe), M=N, joten ole luonnollinen) ).luku on voimakas (. Takaisin. On hyväksyttävää, että onko tehoa vai ei (tästä ((0) i, seuraava. Olkoon M N:n alikerroin, että 0(M i.). ) Näytetään, että M = N. Esitetään teho (, kunnioittavasti. Todi ((0), oskіlki, i.) Otzhe, M=N.
1.1.2. Tuomio: Todellinen väite Peanon 1. ja 4. aksioomista. Hibnen 2. aksiooman vahvistus.
1.1.3. Tuomio: Peanon 2,3,4 aksiooman totuudenmukainen väite. Hibnen 1. aksioomien vahvistus.
1.1.4. Oikeat väitteet 1, 2, 3 Peanon aksioomat. Lausuma Hibnen 4. aksioomista. Vkazіvka: tuoda, scho tyytyväinen aksiooman 4 mahdollisuuksiin, muotoiltu toiminnan kannalta, ale.
1.1.5. Vkazіvka: todistaa aksiooman 4 totuus katsomalla alikertojaa M z A, koska se tyydyttää mielet: a) 1 ((M, b) ja persoonaton.
1.1.6. Todellinen väite Peanon 1,2,3 aksioomista. Lausuma Peano Hibnen 4. aksioomista.
1.6.1. a) Päätös: Kerro minulle, jos kello on yksi yöllä. Takaisin. Tule am
1.6.2. a) Päätös: Hyväksyttävä. M:n kautta olemme merkittävästi persoonattomia kaikista luvuista, jotta emme olisi voimakkaita (. Oletuksena on, että M((. Lauseen 1 perusteella M:llä on pienin alkio n(0).) Onko luku x
1.8.1. f) Rasti p. e) ja p. c): (a-c)+(c-b)=(a+c)-(c+b)=a-b, myös (a-b)-(c-b)=a-c.
h) Voittovoima.
l) Rasti s. b).
l) Rastita kohdat b) ja p. h).
1.8.2. c) Maєmo, otzhe,. Isä,.
d) Maemo. Isä,.
ja).
1.8.3. a) Kuten (i (eri ratkaisu on ax2+bx=c), sitten a(2+b(=a(2+b(.))) . Täsmälleen ((. Kuitenkin (2=a(+b>a(, myös, (>a.))).
c) Nehai (i (- saman i:n eri juuret (>(. Todі 2((-()=(a(2+b))-(a(2+b))=a((-())( ( (+( ) Myöhemmin a((+()=2), mutta (+(>2), myöhemmin a((+()>2), mikä on mahdotonta).)).
1.8.4. a) x = 3; b) x = y = 2 c) x=y(y+2), y on luonnollinen luku; d) x = y = 2; e) x = 2, y = 1; f) Täsmälleen permutaatioihin x=1, y=2, z=3 asti. Ratkaisu: Sanotaan esimerkiksi x(y(z. Sitten xyz=x+y+z(3z, joten xy(3.) Joten xy=1, sitten x=y=1 і z=2+z, niin) Mahdoton : jos xy = 2, niin x = 1, y = 2. Missä tapauksessa 2z = 3 + z, niin z = 3. Jos xy = 3, niin x = 1, y = 3. Silloin 3z = 4+z , joten z=2, päällekkäin y(z.
1.8.5. b) Jos x=a, y=b on jako, niin ab+b=a, niin. a>ab, mikä on mahdotonta. d) Jos x=a, y=b on jako, niin b
1.8.6. a) x=ky, de k,y - tarpeeksi luonnollisia lukuja ja y(1. b) x - tarpeeksi luonnollista lukua, y=1. c) x on melko luonnollinen luku y=1. d) Ratkaisua ei ole. e) x1 = 1; x2=2; x3=3. f) x>5.
1.8.7. a) Jos a = b, niin 2ab = a2 + b2. No vaikkapa a

KIRJALLISUUS

1. Redkov M.I. Numeeriset järjestelmät. /Metodologiset suositukset kurssille "Numerojärjestelmät". Osa 1. - Omsk: OmDPІ, 1984. - 46s.
2. Ershova T.I. Numeeriset järjestelmät. / Metodinen kehitys käytännön otteeseen. - Sverdlovsk: SDPI, 1981. - 68s.