Kentän algebrallinen laajennus. Anteeksi kastelun laajentaminen. Algebran kenttien varastolaajennus

algebrallisen kentän laajennus- — Tietosuojan aihe FI laajennuskenttä … Dovіdnik tekninen käännös

Kenttä E, jolle annetaan kenttä K alikenttään. Tyyppilaajennus Algebralaajennuksen laajennus, kaikki tällaisen є algebrallisen elementit K:n yläpuolelle, eli tällainen є:n elementti on rikkaan termin f (x) c juur ... Wikipedia

Kentän EÉ K algebrallinen laajennus, joka on normaali ja erotettavissa. Tsikh-mieleille E tulee olemaan suurimman määrän automorfismeja K:n sijaan (koska E on ainutlaatuinen, niin automorfismien määrä on myös merkittävä ja edistyneempi laajenemisaste).

Nap_vugroup A nap_vgroup S, scho revenge Av yak p_demigroup. Kuulostaa A-ryhmän nimien laajentamisesta, Atemin yhdistämisestä muiden mielien kanssa. Edistyksellisin teoria ihanteellisesta R. nap_vgroupista (nap_vgroup, mitä kostaa Av yak ......) Matemaattinen tietosanakirja

Yhtä kuin n:nnen vaiheen de rich -termi yhden tai useamman muutoksen muodossa. A. sisään yhdellä tuntemattomalla äänellä. yhtä kuin mieli: Ei ole numeroa, ääntä. kertoimet ovat yhtä suuret ja є danimi, hnaz. nevidomim ja є… Matemaattinen tietosanakirja

Kentät k algebrallinen. kentän k laajennus, joka on suljettu algebrallinen kenttä. Tällainen laajennus mille tahansa kentälle on määritetty yksilöllisesti isomorfismiin asti. A. h. kentät päivän numerotє kenttä kompleksiluvut(Divisioona…… Matemaattinen tietosanakirja

Kentän EÉ K normaalisti laajennettu algebrallinen laajennus mille tahansa redusoitumattomalle rikkaalle termille f(x) yli K, jolla voi olla yksi juuri E, voidaan laajentaa E:ssä lineaarisiksi kertoimille. Vastaavat nimitykset: Yakscho KÌ EÌ K *, de K * ... ... Wikipedia

Erotettavissa olevista elementeistä koostuvan kentän algebrallisen laajennuksen erotettava laajennus siten, että sellaiset elementit ovat α, on K:n yläpuolella oleva pienin kumoamistekijä f(x), jolle ei ole useita juuria. Pokhіdna f (x) voi buti varten vishchevkazanim ... ... Wikipedia

Kentän laajentaminen siten, että E, on hienoa K jakin yli vektoriavaruus. Vektoriavaruuden E laajenemista K:n yli kutsutaan laajenemisasteeksi ja se on merkitty. Viimeisten laajennusten voima ... ... Wikipediassa

Kentät ovat L-kentän K algebrallinen laajennus, joka tyydyttää yhden etenevän ekvivalenttimielen: 1) onko kenttä L upotettu algebralliseen kenttään. kentän sulkeminen є kentän L automorfismilla; 2) Tietyn polynomiperheen L järjestelykenttä s ... ... Matemaattinen tietosanakirja

Algebrallinen kenttien laajennus

Johdanto.

Pedagogiset yliopistot ovat käynnistäneet ohjelman algebran ja lukuteorian yhtenäiskurssille. Metakurssin päällikkönä on algebran perusjärjestelmien kehittäminen ja algebrallisen kulttuurin kehittäminen, mikä on välttämätöntä tulevalle opettajalle matematiikan pääkurssin tavoitteiden ja tehtävän syvälliseen ymmärtämiseen sekä koulun valinnaiset kurssit.

Mielestämme merkittävin johdatus koulun opetussuunnitelmaan on nykyajan abstraktin algebran elementit.

1900-luvulla alkanutta matematiikan algebrallistamisprosessia ei hyväksytä, vaan se on pikemminkin pakotettu yrittämään algebran perusteiden ymmärtämistä koulun matematiikan koulutuksessa.

Matemaattinen syvyys ja äärimmäisen laaja kenttätiheys yhdistetään perussäännösten yksinkertaisuuteen - kenttien ymmärtämiseksi voidaan muotoilla ja tuoda esiin useita tärkeitä lauseita, jotka usein esiintyvät moninkertaisuusteorian universumissa. Siksi kenttäteoria soveltuu paremmin näyttämään koululaisille näkemystä modernista matematiikasta.

Lisäksi alan teorian elementtien kehittäminen on tuttua koululaisille, mikä vauhdittaa heidän älyllistä kasvuaan, mikä ilmenee heidän mielensä, ominaisuuksiensa ja ominaisuuksiensa eri puolien rikastuneiden kehittymisenä sekä tutkijoiden kehittymisenä. , luonnontieteitä ja matematiikkaa.

1. Yksinkertainen kenttäalgebran laajennus.

1.1. Laajenna vain kenttää.

Olkoon P[x] polynomien, kuten x, rengas kentän P päällä, missä P ovat kentän F osakenttiä. Oletetaan, että kentän F elementtiä a kutsutaan algebralliseksi kentän P yli, koska a on kentän P juuri. tällainen positiivisen askeleen P[x] polynomi.

Nimittäminen. Anna P< F и a0F. Простым расширением поля P с помощью элемента a называется наименьшее подполе поля F, содержащее множество Р и элемент a. Простое расширение P с помощью a обозначается через P (a), основное множество поля P (a) обозначается через Р(a).

Olkoon a0F, P [x] - polynomien rengas x i:ssä

P[x]=(f(a)*f0P[x]),

joten P [a] on persoonaton kaikista muodossa a 0 + a 1 a + ... + a n a n de a 0, a 1, ... a n 0P i n - on luonnollinen luku.

On helppo nähdä, että algebra +P[a], +, -, ., 1 on kentän P(a) - alikenttä - osakenttä; koko rengas on merkitty symbolilla P[a].

Lause 1.1. Olkoon P [x] - polynomien rengas x:ssä P:n ja P:n (a) päällä - kentän P yksinkertainen laajennus. Olkoon y - laajenna P [x] P [a]:lle siten, että y (f) = f ( a) be -th f іz P[x]. Todi:

(a) mille tahansa a z P y (a) = a;

(c) y on renkaan P[x] homomorfismi renkaassa P[a];

(d) Ker y = (f0P[x] * f(a) = 0);

(e) tekijä-ympyrä P[x]/Ker y, joka on isomorfinen renkaaseen P[a] nähden.

Tuominen. Väitteet (a) ja (b) huutavat ilman välittäjää y:n nimittämisestä lähtien. Y:n käyttöönotto tallentaa renkaan P[x] pääoperaatiot, joten mille tahansa f і g з P[x]

y(f + g)=f(a)+g(a), y(fg)= f(a)g(a), y(1)=1.

Kiinteys (d) leimahtaa esiin ilman jälkiä y:stä.

Jos rengas y on renkaan P[x] homomorfismi P[a]:lle, niin tekijärengas P[x]/Ker y on isomorfinen renkaan P[a] kanssa.

Viimeinen 1.2. Olkoon a transsendentaalinen alkio kentän P yli. Jos polynomirengas P[x] on isomorfinen renkaan P[a] kanssa.

Tuominen. Tarkastellaan taaksepäin yli P Kery=(0) ylittämistä. Siihen P[x]/(0) - P[a]. Lisäksi nollaideaalin takana oleva rengastekijä P[x] on isomorfinen P[x]:n kanssa. Myös P[x] - P[a].

1.2.Algebrallisen alkion minimipolynomi.

Olkoon P [x] polynomien rengas kentän P päällä.

Nimittäminen. Olkoon a algebrallinen alkio kentän P yli. Elementin a minimipolynomi P:n yli on P [x]:n pienimmän asteen arvopolynomi, jonka juuri on є a. Minimaalisen polynomin askelta kutsutaan elementin a askeleeksi P:n yli.

On helppo selvittää, että millä tahansa elementillä a, joka on algebrallinen P:n suhteen, on minimaalinen polynomi.

Ehdotus 1.3. Jos a on algebran alkio kentän P yli, ja g ja j ovat P:n pienin polynomi, niin g = j.

Tuominen. Minimaalisten polynomien g ja j vaiheet jätetään pois. Jos g ¹ j, niin elementti a (askel n yli P) on polynomin g - j juuri, jonka askel on pienempi kuin polynomin j askel (pienempi kuin n), mikä on mahdotonta. Myöhemmin g = j.

Lause 1.4. Olkoon a n-asteinen algebran alkio kentän P (aóP) yli ja g on P:n pienin polynomi.

(a) polynomi g ei indusoidu ympyrässä P [x];

(b) joten f (a) = 0, missä f 0 P[x], g jako f;

(c) tekijä-ympyrä P[x]/(g), joka on isomorfinen ympyrän P[a] kanssa;

(d) P [x]/(g) on ​​kenttä;

(e) rengas P [a] sovitetaan kentän P (a) kanssa.

Tuominen. Oletetaan, että polynomi g indusoituu ympyrässä P [x], niin P [x]:ssä voidaan määrittää sellaiset polynomit j ja h, että

g = jh, 1£deg j, deg h

Silloin g(a) = j(a)h(a) = 0. Koska P(a) on kenttä, niin j(a) = Pro tai h(a) = 0, mikä on mahdotonta, sirpaleet, mielen takana , askeleet elementti a yli P on enemmän p.

Oletetaan, että f 0 P[x] ja f(a) = 0. Mielelle g(a) = 0. Silloin f ja g eivät voi antaa toisilleen anteeksi. Jos polynomi g on redusoitumaton, niin g jakaa f.

Olkoon j renkaan P[x] homomorfismi renkaassa P[a] (y(f)=f(a) mille tahansa f ⊂ P[x]:lle Lauseen 2.1 huomioon ottaen. 3(b) homomorfismin y ydin koostuu polynomin g kerrannaisista, joten. Ker y = (g). Myös rengastekijä P = P[x]/(g) on ​​isomorfinen renkaaseen P[a] nähden.

Oskilki P[a]ÌP(a), sitten P[a] on eheysalue. Koska P @ P [a], niin osamäärä P on myös eheyden alue. Meidän on osoitettava, että mikä tahansa nollasta poikkeava alkio f P:stä voidaan pelkistää P:ksi. Olkoon f summaluokan f alkio. Oskilki f¹0, sitten f(a)¹0; Siksi polynomia g ei voida jakaa polynomilla f. Oskilkin polynomi g on redusoitumaton, tähdet ovat selkeitä, mutta polynomit f ja g ovat keskenään yksinkertaisia. Lisäksi Р[x] muodostaa sellaiset polynomit u ja v, että uf + vg=1. Arvo uf = 1 osoittaa, että elementti f on hirveästi P-renkaassa.

З (с) і (d) P [a] є kenttä ja tilavuus P(a)ÌP[a]. Toisella puolella ilmeisesti P[a]ÌP(a). Myös P[a] = P(a). Myös rengas P[a] sovitetaan kentän P(a) kanssa.

1.3. Budovin yksinkertainen kenttäalgebran laajennus.

Lause 1.5. Olkoon a positiivisen luokan n algebrallinen alkio kentän P yli. Mikä tahansa kentän P(a) elementti voidaan esittää yksiselitteisesti n elementin 1, a, ..., a n-1 lineaarisella yhdistelmällä kertoimilla Р.

Tuominen. Olkoon kentän P (a) b-be-yakie-alkio. Lauseen 1.4 mukaan P(a) = P[a]; myös P[x]:ssä polynomi f on sellainen, että

Olkoon g minimipolynomi yli P:lle; lauseen mukaan ensimmäinen askel on edistyneempi.

(2) f = gh + r, de r = 0 tai der r< der g = n , т. е. r=c 0 +c 1 x +…c n -1 x n -1 (c i 0P). Полагая в (2) x = а и учитывая равенство (1), имеем

(3) b = c 0 + c 1 a + ... cn-1 a n-1

On osoitettu, että elementti on yksiselitteisesti esitettävissä elementtien 1, a, ..., a n-1 lineaarisessa yhdistelmässä. Älä viitsi

(4) b = d 0 + d 1 a + ... d n -1 a n-1 (d i 0 P)

Be-yaké sellainen ilmentymä. Katsotaan polynomia j

j \u003d (s 0 - d 0) + (c 1 - d i .)x + . . . + (З n-1 -d n -1)x n -1

Vipadok, jos vaihe j on pienempi kuin n, mahdottomaksi, palovamma johtuu (3) і (4) j(a) = 0 і vaihe j on pienin vaiheen g tyyppi. Muutos on vähemmän mahdollista, jos j \u003d 0, niin s 0 \u003d d 0. . . Zn-1 = dp-1. Myös elementti b voidaan esittää yksiselitteisesti elementtien 1, a,…,a n-1 lineaarisena yhdistelmänä.

1.4 Algebrallisen irrationaalisuuden muodossa esiintyvä vaihtelu murto-osan bannerissa.

Tehtävä zvіlnennyasta algebran irrationaalisuuden muodossa askeleen murto-osan bannerissa. Olkoon a algebran alkio, jonka aste on n>1 kentän P yli; f і h - polynomit polynomien P[x] ja h(a) ¹0 ympyrästä. On tarpeen syöttää elementti f(a)/h(a)0P(a), kun kyseessä on elementin a vaiheiden lineaarinen yhdistelmä, jolloin j(a)

Tse vdannya virishuєtsya niin. Olkoon g minimipolynomi yli P. Oskilki, Lauseen 1.4 mukaan polynomi ei indusoidu yli P і h(a) ¹ 0, silloin g ei jaa h і, myös polynomit h і g ovat keskenään yksinkertainen. Siksi P[x]:llä on sellaiset polynomit u ja v, jotka

Oskіlki g(a) = 0, іz (1)

u(a)g(a) = 1, 1/h(a) = u(a).

Myös f(a)/h(a) = f(a)u(a), lisäksi f,u 0P[x] ja f(a)u(a)0P[a]. Otzhe, me zvіlnilis vіd іrrationalnosti f(a)/h(a) .

Kuulostaa irrationaalisuudesta bannermanissa

Rikkaat termit p(x) ja g(x)=-x 2 +x+1 ovat keskenään yksinkertaisia. Siksi on olemassa niin rikkaat termit j ja y, että

Vіdshukannya j і y zastosuemo Euklidinen algoritmi polynomeille p і g:

X 3 -2 -x 2 +x+1 -x 2 +x+1 2x-1

x 3 -x 2 -x -x-1 -x 2 +1/2x -1/2x+1/4

x 2 -x-1 1/2x-1/4

sellaisella tavalla,

p=g(-x-1)+(2x-1),

g=(2x-1)(-1/2x+1/4)+5/4.

Zvіdki tietää

(2x-1)=p+g(x+1),

5/4=g-(p+g(x+1))(-1/2x+1/4)

p1/5(2x-1)+g(4/5+1/5(2x2 +x-1))=1,

p1/5(2x-1)+g(2/5x2+1/5x+3/5)=1.

sellaisella tavalla,

y(x)= (2/5x2 +1/5x+3/5).

Otzhe

.

2. Kenttäalgebran taitettava jatke.

2.1. Kіntseve alan laajennus.

Olkoon P kentän F osakentät. Silloin voimme katsoa F:tä vektoriavaruudena P:n päällä, jolloin voimme tarkastella vektoriavaruutta +F, +, (w l ½l 0P),

de w l - F:n alkioiden kertominen skalaarilla l0P.

Nimittäminen. Kentän F laajenemista kutsutaan terminaaliksi, kuten F, vektoriavaruuden P yli, on mahdollista lopettaa laajennus. Tsya rozmirnіst merkitsi kautta.

Ehdotus 2.1. Jos a on algebrallinen alkio, jonka aste on n P:n yläpuolella, niin = n.

Tämä lause räikeästi räjähtää läpi Lauseen 1.5.

Nimittäminen. Kentän P laajennusta F kutsutaan algebralliseksi, koska F:n ihoelementti on algebrallinen P:n suhteen.

Lause 2.2. Onko kentän F äärellinen laajennus algebrallinen P:n suhteen.

Tuominen. Olkoon F n-tasainen P:n yli. Lause on ilmeisesti totta, koska n = 0. Oletetaan, että n>0. Jos F:n n+1 alkiota ovat lineaarisesti kesanto P. Sokreman, alkioiden 1, a, ..., a n lineaarisesti kesantojärjestelmän, yli, niin P sellaiset 0 , 1, ..., c n alkiot eivät ole kaikki yhtä suuria kuin nolla, s 0 × 1+ 1 a +…+c n a n = 0.

Elementti a on myös algebrallinen P:n suhteen.

On tärkeää, että kenttäalgebrassa on laajennuksia, jotka eivät ole terminaalilaajennuksia.

2.2. Algebran kentän varastolaajennus.

Kentän P laajennusta F kutsutaan kokoontaitettavaksi sellaisenaan

kasvava lansetin osakenttä L i kentän F siten, että

P = L 0 - L 1 - ... L k = F x k>1.

Lause 2.3. Olkoon F - kentän L і L - kentän P loppulaajennus. Sitten F - kentän P i loppulaajennus

=@[L:P].

Tuominen. Älä viitsi

(1) a 1 ,…,a m - kentän L kanta P yli (kuten vektoriavaruus) ja

(2) b 1 ..., b n - kentän F kanta L yli. Mikä tahansa elementti d F:stä voidaan ilmaista lineaarisesti kannan kautta:

(3) d = l 1 b 1 +...+l n b n (l k 0L).

Kerroin 1 k voidaan ilmaista lineaarisesti kannan (1) kautta:

(4) l k = p 1k a + ... + p mk a m ​​(p ik 0P).

Se on hyväksyttävää, kun kertoimet l k (3) korvataan pistemäärällä

d = p a a b k.

Tällä tavalla kentän F ihoelementti voidaan esittää kertoimen B elementtien lineaarisena yhdistelmänä, de

B = (a i b k½ (1, ..., m), k 0 (l, ..., n)).

Merkittävää on, että kertoja B summaa nm elementtejä.

Osoitetaan, että F on P:n kanta. Meidän on osoitettava, että kertoimen B alkiojärjestelmä on lineaarisesti riippumaton. Älä viitsi

(5) åc ik a i b k = 0,

de c ik 0 P. Koska järjestelmä (2) on lineaarisesti riippumaton L :n suhteen, niin (5) seuraa yhtälöä

(6) s 1 k a 1 +...+s mk a m ​​= 0 (k = 1,..., n).

Koska alkiot a 1 , ..., a m ovat lineaarisesti riippumattomia P:stä, niin (6) seuraa yhtälöä

c 1 k = 0, ..., c mk = 0 (k = 1, ..., n),

osoittamaan, että (5):n kertoimet ovat nolla. Siten elementtijärjestelmä B on lineaarisesti riippumaton ja on F:n perusta P:lle.

Otzhe, lisätty, scho = nm = ×. Myös F є kentän P viimeiset laajennukset і voi sekoittaa kaavan (I).

Nimittäminen. Kentän P laajennusta F kutsutaan taitettavaksi algebraksi, koska se on kentän P osakenttien kasvava lansi

P \u003d L 0 - L 1 - ... L k \u003d F і k> 1 (1)

niin, että i = 1,..., k kentille L i є laajennetaan vain kentän L i-1 algebraa. Lukua k kutsutaan dozhina lanceksi (1).

Viimeinen 2.4. Kentän P algebran F varastolaajennukset ovat kentän P päätelaajennuksia.

Todistus on helppo suorittaa induktiolla lanssin (1) takana Lauseen 2.3 perustelulle.

Lause 2.5. Olkoon a 1 ,..., ak algebrallinen kentän F elementtien kentän P yli. Sama kenttä P(a 1 ,..., ak) on kentän P viimeinen laajennus.

L 0 = P, L 1 = P, L 2 = P, ..., L k = P.

Tällöin L 1 = P on yksinkertainen laajennus kentän L 0 algebralle; L 2 on yksinkertainen laajennus kentän L 1 algebralle, koska

L 2 = P = (P) = L 1 = L 1 (a 2) jne.

sellaisella tavalla,

P = L 0 - L 1 - ... - L k = F

de L i = L i -1 (a i) kun i = 1, ..., k, niin Lanziukin skin-termi (2) on yksinkertainen laajennus Lanziukin etutermin algebralle. Myöhemmin kenttä F on kentän P algebran taitettava laajennus. Jälleen 2.4:n perusteella kenttä F on kentän P päätelaajennus.

Viimeisin 2.6. Kenttäalgebran varastolaajennus є algebrallisen kentän laajennus.

2.3. Kenttäalgebran varastolaajennuksen yksinkertaisuus.

Lause 2.7. Olkoon lukukenttä F kenttäalgebran P taitettava laajennus. Sitten F є yksinkertaistamme kentän P algebran laajennuksia.

Tuominen. Olkoon P - L - F lisäksi L = P (a), F = L (b) i, myös F = P (a, b).

Olkoot f ja g minimipolynomeja P:n yläpuolella, mikä pätee luvuille a ja b ja deg f = m, deg g = n. Polynomeja f і g ei voida asettaa päällekkäin P і:n päälle, joten se ei voi olla monijuuristen kompleksilukujen kentässä E. Älä viitsi

a = a 1 ,..., a m - polynomin f C i juuret

b = b 1 ,..., b n - polynomin g C juuri.

Katsotaanpa kіtsev bezlіch M:tä:

M = ((a i-a)/(b-b k)½i0(1,…,m), k0(2,…,n)).

Oskіlki P on numeerinen kertoja (i, siis ei ole rajoitettu), sitten P on luku c, vidminne kertoimen M, c0P elementeissä (M, cóM. Nehai

Todi vykonuyutsya spіvvіdnoshennia

(2) g 1 a i + cb k = (i0 (1, ..., m), k0 (2, ..., n)).

Totta, yhtäläisyyden aikoina a + cb = a i + cb k bulo b

h \u003d (a i -a) / (b-b k) 0 M

scho superchilo käytti luvun c valintaa.

Olkoon F 1 = P(g) ja F 1 - polynomirengas x:ssä. Olkoon h = f(g - cx) polynomi arvosta F 1 [x] (g, c0P(g) = F 1). Voidaan osoittaa, että x-b on polynomien h ja g suurin konsonantti renkaassa F 1 [x]. Asteikko g(b) = 0, sitten x-b jakaa g E[x]. Daly, johtuen (1)

h(b) = f(g-cb) = f(a) = 0.

Siihen x-b jaetaan polynomi h E[x]. Tässä järjestyksessä x-b on nukkuja h ja g renkaassa E[x].

On raportoitu, että g і h С ei ole juuria, vіdmіnkh vіd b. Sanotaan vaikka, että b k , k0(2 ,..., n) on sen villijuuri. Silloin h(b k) = f(g - сb k) = 0. Sitten on sellainen indeksi i0(1 ,..., m) ). Siksi on mahdollista, että x-b on g:n ja h:n suurin ratsastaja E[x]:ssä. Oskіlki x - b - normalisointipolynomi, silloin tähti on kirkas, scho x - b є suurin kuuma dilnik g ja h y kiltsi F 1 [x]. Tom

(x-b) 0 F 1 [x] ja b 0 F 1 = P(g).

Lisäksi a = g - cb 0 F1. sellaisella tavalla,

F = P(a, b) Ì F 1 , F 1 ÌF.

2.4. Ala algebralliset luvut.

Kompleksilukukentän alikenttien luokka on yksi tärkeimmistä - algebrallisten lukujen kenttä.

Nimittäminen. Algebrallista lukua kutsutaan kompleksiluvuksi, joka on rationaalisilla kertoimilla positiivisen asteen polynomin juuri.

Merkittävää on, että algebran luku, olipa se kompleksiluku, on algebrallinen kentän Q yli. Sokrema, onko se rationaaliluku, on algebrallinen.

Lause 2.8. Kaikkien algebrallisten lukujen persoonaton A on suljettu kompleksilukujen renkaaseen E = +C, +, -, 1. Algebra A = +А, +, -, , 1 on kenttä, kentän E osakenttä.

Tuominen. Olkoot a ja b A:n elementtejä. Viimeiselle 2.6:lle kenttä Q(a, b) on algebrallinen Q:n suhteen. Siksi luvut a + b, -a, ab, 1 ovat algebrallisia, joten A:n kerrannaiset ovat . , persoonaton A on suljettu syklin E pääoperaatioiden mukaisesti. Siksi algebra A on syklin E alisykli - on sykli.

Lisäksi, koska a on nollasta poikkeava elementti A:ssa, a -1 0 Q (a, b) ja että -1 ovat A:ssa. Taaskin algebra A on kenttä, kentän E osakentät.

Nimittäminen. Kenttää A = +A, +, -, , 1 kutsutaan algebrallisten lukujen kenttään.

Osoita, että luku a = algebrallinen.

Ratkaisu. Z a \u003d huutaa a-.

Loukkaavasti osia jäljellä olevasta vastaavuudesta kolmannessa vaiheessa:

a 3-3a 2 9a-3=2

a 3 +9a-2 = 3 (a 2 +1).

Nyt mustasukkaisuuden loukkaavat osat on tuotu uudelle tasolle:

a 6 +18a 4 +81a 2 -4a 3 -36a+4=27a 4 +54a 2 +27

a 6 -9a 4 -4a 3 +27a 2 -36a-23 = 0.

Tässä luokassa a є rikkaan termin juuri

f(x) = a 6 -9a 4 -4a 3 +27a 2 -36a-23 = 0

rationaalisista kertoimista. Ce tarkoittaa, että a on algebrallinen luku.

2.5. Algebran lukukentän algebrallinen sulkeminen.

Lause 2.9. Algebran lukukenttä on algebrallisesti suljettu.

Tuominen. Olkoon A [x] polynomien rengas x:ssä algebrallisten lukujen kentän A päällä. Älä viitsi

f = a 0 + a 1 x+... + a n x n (a 0 ..., a n 0 A)

Ole jokin positiivisen askeleen A[x] polynomi. Meidän on todistettava, että f voidaan juurtua A:een. Jos f0C[x] ja kenttä E on algebrallisesti suljettu, niin f voidaan juurtua E:hen niin, että sillä on sellainen kompleksiluku s, että f (c) = 0. Olkoon L = Q (a 0 , ... ja n) ja L(c) on yksinkertainen kentän L algebran laajennus c:n avun ulkopuolelle. Tällöin Q - L - L (c) on kentän L algebran päätelaajennus. Lauseen 2.2 mukaan L on kentän Q päätelaajennus. Lauseen 2.3 mukaan L (c) on kentän Q päätelaajennus. kenttä Q. kenttä L (c) on kentän Q i algebran jatke, joten c0A. Siten, jos positiivisen askeleen A A[x]:ssa on millä tahansa polynomilla, jolla voi olla juuri, niin kenttä A on algebrallisesti suljettu.

3. Erotettavat ja erottamattomat laajennukset.

Tule D - kenttä.

Varmasti, kuinka hajoamaton D[x]-polynomi voi olla usean juuren äiti?

Jotta f(x) olisi monijuuri, rikkaat termit f(x) ja fN(x) johtuvat äidin yhteisestä kaksoisvakiokertoimesta, joka voidaan laskea jo D[x]:ssä. Vaikka polynomi f(x) on hajoamaton, niin millään alemman asteen f(x) rikkaalla termillä se ei voi olla käsittämättömien globaalien kertoimien äiti, ja voi myös olla yhtälö f "(x) = 0.

f(x) =3a n x n fN(x) =3na n x n-1

Joten fN(x) = O, ihokerroin syyllistyy nollaan:

n = 0 (n = l, 2, ..., n).

Tärkeää on tähden ominaisnolla, että a n \u003d 0 kaikki n ¹ 0. Myös epäjohdonmukainen polynomi voi olla useiden juurien äiti. Ominaisuuden hetkellä p_tasaisuus na n \u003d 0 voi olla n ¹ 0, mutta se voi olla myös yhtä suuri

f(x) = a 0 + a p x p + a 2p x 2p +…

Takaisin: jos f(x) voi näyttää tältä, niin fN(x)=0.

Tällä vipadkalla voimme kirjoittaa:

Tim itse esitti väitteen: Ominaisen nollan tapauksessa rikas termi f (x) ei ole jaollinen D [x]:ssä, se voi olla vain yksinkertainen juuri, ominaisuuden p tapauksessa polynomi f ( x) (joka on myös sama kuin vakio) voi olla juuren kerrannainen, jos se on mahdollista näyttää polynomina j vіd x p.

Joskus on mahdollista, että j(x) on polynomi omalla tavallaan x p . Silloin f(x) on polynomi kuten x p 2 . Olkoon f(x) - rikas termi, kuten xpe

ale є polynomi vіd x pe +1 . Ymmärrettävästi polynomi y(y) on hajoamaton. Dali, y¢(y) ¹ 0, koska muuten y(y) näyttäisi c(y p) i:ltä, silloin f(x) näyttäisi c(x pe + 1), mikä korvaisi poisjätteen. Otzhe, y (y) voi olla vain yksinkertainen juuri.

Laajennetaan polynomia y laajentaaksemme pääkenttää lineaarisilla tekijöillä: m

y(y) = J(y-b i).

f(x) = J(x pe -b i)

Olkoon a i polynomin x pe - bi juuri. Sitten x i pe \u003d b i,

x pe - bi = x pe - a i pe = (x-a i) pe .

Myös a i є r e -polynomin x pe - b i monijuuri

f(x) = J(x-a i) p e.

Polynomin f(x) juuren viiksillä voi tällä tavalla olla sama p e:n monikerta.

Polynomin y askelta m kutsutaan polynomin f(x) (tai juuren a i) pelkistysaskeleeksi; Lukua e kutsutaan polynomin f (x) eksponenttiksi (tai juureksi a i) kentän D yli.

de m kalliimpi määrä polynomin f(x) eri juuria.

Jos q on polynomin juuri, joka ei hajoa ympyrässä D[x], joka voi olla yksinkertaisempi kuin juuret, niin q:ta kutsutaan erottavaksi alkioksi D:n yli tai ensimmäisen tyyppiseksi alkioksi D 1:n yli. Tämän avulla erottamaton rikas termi, jonka kaikki juuret ovat erotettavissa, kutsutaan erotettavaksi. Muuten algebrallista elementtiä q ja hajoamatonta rikasta termiä f(x) kutsutaan erottamattomaksi tai erilaiseksi elementiksi (kuten rikas termi). Nyt algebran S laajennusta, jonka kaikki elementit ovat erotettavissa D:n suhteen, kutsutaan erotettavaksi D:n suhteen, ja mitä tahansa muuta algebran laajennusta kutsutaan erottamattomaksi.

Tunnusomaisen nollan aikoina sanotaan, että iho ei ole hajoamaton rikas termi (ja siksi algebran ihon laajennus) on erotettavissa. Haluaisimme tietää, että suurin osa tärkeimmistä ja tärkeimmistä kenttien laajennuksista on erotettavissa ja että tiedämme kenttäluokan laadun, joten erottamattomat laajennukset (ns. ”valmis kenttä”) eivät ole mahdollisia. Z tsієї aiheuttaa kaikki pov'yazane erityisesti erottamattomilla laajennuksilla kirjoitettu eri fontilla.

Tarkastellaan nyt algebran laajennusta S = D (q). Jos askeleet n ovat yhtä suuria f(x) = 0, mikä tarkoittaa suurempaa, edistyneempää askelta (S:D), askeleiden m vähennys on yhtä suuri kuin kentän S isomorfismien lukumäärä etenevässä mielessä: we voi vain tarkastella näitä isomorfismeja [sähköposti suojattu]", jos alikentän D elementit on täytetty väkivallattomalla i:llä, niin S siirretään vastaavaan kenttään S" (kentän S isomorfismi kentän D yli) ja mikä tahansa kenttäkuva S "makaa yhdessä kentän S kanssa keskellä kenttää W. tsikh umovah maє mistse lause:

Sopivalla kentän W valinnalla laajennuksella S=D(q) voi olla täsmälleen m isomorfismia D:n suhteen, ja mille tahansa kentän W valinnalle kentällä S ei voi olla enempää kuin m tällaista isomorfismia.

Tuominen. D:n iho-isomorfismi on vastuussa elementin q muuntamisesta sen assosiaatioiksi elementin q" kanssa W:stä. Valitse W, jotta f(x) laajenee W:n yli lineaarisiksi kertojiksi; silloin näyttää siltä, ​​että elementillä q voi olla täsmälleen m esiintymää elementit q,q Jos näin on, kuten bi, kenttää W ei valittu, elementti q ei ole matima korkeintaan m tapauksessa. Nyt on kunnioitettavaa, että iho-isomorfismi D(q)@D(q") D:n yli on täysin riippuvainen q® q":n annetusta identiteetistä. Ilmeisesti, jos q siirtyy kohtaan q "ja kaikki elementit D:stä jätetään paikalleen, niin elementti

3a k q k (jakki 0D)

syyllinen mennä

ja cym tarkoittaa isomorfismia.

Sokrema, koska q on erotettava elementti, niin m = n і, joten isomorfismien lukumäärä pääkentän yli on tasaisemmin laajennettu.

Jos on, jos kenttä on kiinteä, joka voi kattaa kaikki tarkasteltavat kentät, joissa kaikki ihotasauksen f (x) = 0 juuret voivat sijaita (kuten esimerkiksi kompleksilukujen kentässä) , niin W:n ominaisuudessa voit ottaa kentän i lopullisesti. Lisää tähän kaikkiin isomorfismia koskeviin väittämiin "keskellä deaky W". Joten aloita teoreettisesti numeeristen kenttien korjaaminen. Haluamme muistuttaa, että abstrakteille kentille voit käyttää myös W-kenttää.

Lainattu lause on seuraava lause:

Kuinka laajentaa S:tä poistuaksesi D:stä myöhempään saapumiseen m

algebralliset elementit a 1 , ..., a m , lisäksi iho i , є juuren takana

ei-laajennettavissa D(a 1 , ..., a i-1) on yhtä suuri kuin pelkistetty vaihe n" i , jolloin

S:n laajennus voi olla täsmälleen ?n i ¢ isomorfismia D i:n yli samalla tavalla

ei laajennuksia suurempi määrä tällaiset kentän S isomorfismit.

Tuominen. Kun m = 1, lausetta on kehitetty edelleen. Oletetaan її voimassa laajennukselle S 1 = D(a 1 , ..., a m-1):

W 1 є täsmälleen n i ¢ kentän S isomorfismit D:n yli.

Olkoon S 1 ®S 1 yksi Õ n i ¢ isomorfismeista. Väitetään, että käänteisen kentän käänteisessä järjestyksessä W viiniä voidaan jatkaa isomorfismiin S = S 1 (am) @ S = S (am) enintään n_zh n m tavalla.

Alkuaine a m täyttää yhtälön f 1 (x) = 0 yli S 1 n¢ m eri juurilla. Lisäisomorfismin S 1 ® S 1 jälkeen rikas termi f 1 (x) voidaan kääntää toiseksi rikkaaksi termiksi f 1 (x). Ale todі f 1 (x) laajasti laajennetulla tavalla, mutta n m eri juuria eikä enempää. Olkoon m - yksi näistä juurista. Alkuaineen a m valintaa tarkasteltaessa isomorfismi S 1 @S 1 on kolme isomorfismia S (a m) @ S (am) a m ®a m:lle yhdellä ja vain yhdellä tavalla: käytännössä jatko saadaan kaavalla

åc k a m ​​​​k ®å c k a m ​​​​k

Esimerkkejä elementin a m valinnasta voidaan määritellä n "m" tavalla käyttämällä n" m jatkoa tällaiselle käänteiselle isomorfismille å 1 ®å 1

Oskilkeillä on oma linjansa, ja tämä isomorfismi voidaan muuntaa

Х n" i tapaa,

silloin kaikki on totta (se kenttä W, jossa kaikki yhtäläisten juuret, joita tarkastellaan) sijaitsevat)

Õ n" i × n" m = Õ n" i

S:n laajennuksen isomorfismit kentän D yli, mikä oli tarpeen tuoda.

Jos n i on elementin a i todellinen (pelistämätön) askel D:n yli (a 1 ,...,a i-1), niin n i enemmän kentän laajennuksen D (a 1 , ... , a i) askelta. D(a1,..., ai-1);

otzhe, askeleet (S: D) lisää

Kuinka sovittaa luku isomorfismien lukumäärään

Laajennuksen S = D(a 1 , ... , a m) isomorfismien lukumäärä D:n yli (millä tahansa tietyllä laajennuksella W) on lisäaskel (S: D), vaikka vain jos ihoelementti a i olisi erotettavissa kenttä D(a1, ..., ai-1). Jos haluat, että yksi elementti a i on erottamaton erillisessä kentässä, isomorfismien määrä on pienempi kuin laajennusaste.

Lauseen puolelta tulee heti esiin muutama tärkeä huomautus. Meille lause sanoo, että ihoelementin a i teho on erotettavissa etukentän yli, ja itse laajennuksen S teho on riippumaton elementtien valinnasta, jotka muodostavat a i:n. Koska kentän lisäelementti voidaan ottaa ensimmäisenä sukupolvena, elementti b näyttää olevan erotettavissa, koska kaikki a i ovat sellaisia. Isä:

Elementit a i , ... ,a n i lisätään peräkkäin kenttään D, ihoelementti a i näkyy erotettavissa kentän yli, poistamme viereiset etuelementit a 1, a 2 ,...,a i-1 laajennus

S = D(a 1 , ... ,a n)

erotettavissa D:stä.

Zokrema, suma, vähittäiskauppa, tvir että yksityisesti erotetut elementit ovat erotettavissa.

Lisäksi, koska b on erotettavissa S:stä ja kenttä S on erotettavissa D:stä, elementti b on erotettavissa D:stä. Tämä selittyy sillä, että b täyttää kertoimien lopullisen määrän a 1 , ... , a m з S i on jälleen erotettavissa D:stä (a 1, ..., a m). Tim itse erotettava laajennus

D (a 1, ..., a m, b).

Nareshti, voidaan antaa sama paikka: terminaalisen erotettavissa olevan laajennuksen S isomorfismien lukumäärä kentän D yli suurempaan laajennusasteeseen (S: D).

4. Rajoittamaton kastelun laajentaminen.

Ihokenttä tulee esiin yksinkertaisesta osakentästään ehtymättömän laajennuksen viimeisen chin avuksi. Tässä jaossa nähdään lukemattomia kenttien laajennuksia, ensin algebrallisia ja sitten transsendenttisia.

4.1. Algebrallisesti suljetut kentät

Tietyn kentän algebran laajentamisen joukossa tärkeä rooli on erityisesti algebran maksimilaajennuksella, jotta algebran laajeneminen ei ole mahdollista. Tällaisten pidennysten syyt tuodaan tähän kohtaan.

Jotta kenttä W olisi algebran maksimilaajennus, on välttämätöntä edistää mieltä: ympyrän W[x] ihopolynomi voidaan hajottaa lineaarisiin kertoimiin. Tsya mieli riittää. Todellakin, koska ihopolynomi kentässä W[x] jaetaan lineaarisiin kertoimiin, niin kaikki W[x]:n yksinkertaiset polynomit ovat lineaarisia ja minkä tahansa kentän W algebran W" laajennuksen ihoelementit näyttävät olevan minkä tahansa kentän juuri. lineaarinen rikas termi x - a kentässä W[x], eli se toimii kentän W varsinaisen elementin a kanssa.

Sillä damolla on sama kohtalo:

Kenttää W kutsutaan algebran sulkemiseksi, koska mikä tahansa polynomi W [x]:ssä voidaan hajottaa lineaarisiksi tekijöiksi.

Yhtä tärkeää on seuraava: kenttä W on algebrallisesti suljettu, joten W[x]:n polynomi voi olla erillinen polynomi kohdassa W[x] yhdellä juurilla, eli yhdellä lineaarisella kertoimella W[x]:ssä. .

Todellakin, sellaisena näppäränä vikonaanina ja melkoisena otoksena polynomi f (x) hajoaa tekijöiksi, jotka eivät hajoa, silloin kaikki haju on syypää, mutta lineaarista.

"Algebran peruslause" sanoo, että kompleksilukujen kenttä on algebrallisesti suljettu. Algebrallisesti suljetun kentän lähestyvä pusku voi olla kaikkien kompleksisten algebrallisten lukujen kenttä, joten persoonattomat kompleksiluvut ikään kuin tyytyisivät kaikenlaiseen yhtäläisyyteen rationaalisilla kertoimilla. Kompleksijuuri on yhtä suuri kuin algebran kertoimet є ja todella algebrallinen ei vain algebrallisten lukujen kentän, vaan myös kentän yli rationaalisia lukuja, eli itse ovat algebrallisia lukuja.

Tässä näytämme kuinka indusoidaan riittävän tietyn kentän P suljettu algebrallinen laajennus puhtaasti algebrallisella tavalla. Steinitz makaamaan tuolla tavalla

Päälause. Ihokentällä P on algebran W suljettu algebrallinen laajennus. Täsmälleen ekvivalenssiin asti laajennus on yksiselitteisesti määritelty: onko kentän P kaksi algebrallisesti suljettua algebrallista laajennusta W, W "ekvivalenttia.

Näiden lauseiden todistus johtuu lem:n ylijäämästä:

Lemma 1. Olkoon W kenttäalgebran P laajennus. Riittävä mieli jotta W olisi algebran sulkeuma, є laajennus minkä tahansa polynomin lineaarisiksi tekijöiksi P[x]:ssä renkaassa W[x].

Tuominen. Olkoon f(x) lisäpolynomi arvosta W[x]. Jos vin ei hajota lineaarisiin kertoimiin, voidaan ottaa th juuri a i ylempään superkenttään W. Elementti a on algebrallinen W:n yli ja W on kentän P algebran jatke; seuraava polynomi g(x) P[x]:ssä

Lemma 2. Jos kenttä P on holistisesti järjestetty, niin polynomien P[x] rengas voidaan järjestää kokonaisvaltaisesti ja siihen asti, että tämä järjestyskenttä P on kolminkertainen.

Tuominen. Muuta P[x]:n polynomien f(x) välistä järjestystä merkittävästi seuraavasti: olkoon f(x)

1) vaihe f(x) on pienempi tyyppinen vaihe g(x);

2) askel f(x) lisää vaihetta g(x) ja enemmän n, sitten.

f(x) = a 0 x n + ...+ a n , g (x) = b 0 x n + ... + b n

i seuraavalle indeksille k:

ja i = b i i:lle

a k

Jos näin on, niin polynomille 0 annetaan syyllisyys: sille on annettu askel 0. On selvää, että sellainen tapa tulla järjestyksessä on, jonka merkityksessä P [x] on täysin järjestetty. Se näytetään seuraavasti: rikkaiden segmenttien ei-tyhjässä monikossa on ei-tyhjiä pienimmän asteen rikkaita segmenttejä; olkoon niin hyvä. nimetyssä osakertoimessa є on oma rivilisäkerroin rikkaiden termien kanssa ensimmäisellä a 1 ja niin edelleen. minimnosti, jotka ovat peräkkäin voittaneita, valinnan mukaan); tämä polynomi on annetun kertoimen ensimmäinen alkio.

Lemma 3. Jos kenttä P on järjestetty kokonaisuutena, asteen n і n rikas termi f(x) symboloi a 1 ..., a n sitten kenttä P (a 1 ,..., a n), joka f(x) laajenee lineaarisilla kertoimilla

Õ(x-a i), on yksittäinen arvo ja kokonaisuus

Tilaus. Kenttä P in sensi tsiy є vіdrіzkom.

Tuominen. Lisäämme juuren a 1 ..., a n peräkkäin, jonka jälkeen P = P 0 voittaa peräkkäin kentät Р 1 , ..., Р n . Oletetaan, että R i-1 = P(a 1 ..., a i-1) - kenttä on jo indusoitu ja että P on sopimus R i-1:n kanssa; niin R i tulee olemaan niin.

Ennen tehtävää 2 polynomien rengas Р i-1 [x] on järjestetty kokonaisuudeksi. Polynomi f hajoaa jokaisessa kilossa erottamattomiksi tekijöiksi, joiden keskellä on ensimmäinen paikka x - a 1 ,..., x - a i-1 ; muiden monikoiden joukossa olkoon f i (x) ensimmäinen selkeän järjestyksen merkityksessä. Yhdessä symbolin a i kanssa, joka merkitsee rikkaan termin f i (x) juuria, merkitsemme kenttä P i = P i -1 summien kokonaisuutena.

de h on rikkaan termin f i (x) askel. Jos f i (x) on lineaarinen, niin tietysti kunnioitamme P i = P i -1; merkkiä a i ei tarvita. Kannusta koko kenttää tilaamaan lisää hyökkäysälyä: kentän ihoelementti

ehkä rikas jäsen

Ja kentän elementit on järjestetty samalla tavalla kuin niiden rikkaiden termien järjestys.

Ilmeisesti sama Р i-1 on suhteessa Рi:ään ja siihen і P - suhteessa Рi:ään.

Tim itse kentät P 1 ,..., P n ovat motivoituneita kokonaisuudesta. Kenttä Рn on haettavissa yksiselitteisesti ensimmäisellä kentällä P(a 1 ,..., a n).

Lemma4

Tuominen. Yhdistä mille tahansa kahdelle elementille a, b kaksi kenttää S a , S b korvataksesi a, b ja mistä tahansa ennen toista. Käheässä kentässä alkiot a + b ja a × b on kohdistettu ihokentän elementteihin, jotta a ja b voidaan kostaa, koska kaksi tällaista kenttää ovat toistensa edellä ja joogo-alikenttä. Esimerkiksi tuoda assosiatiivisuuden laki

ab g = a bg,

tunnemme keskikentät S a , Sb, S g ne, jotka kattavat kaksi muuta kenttää (suurimmat); missä kentässä on a, b ja g i uudessa assosiatiivisuuslaissa vikonano. Samalla tavalla uudistetaan yhdistyksen elementtien laskemisen reshta-sääntöjä.

Päälauseen todistus on jaettu osiin: osakenttä W ja ykseyden todistus.

Pobudov-kentät W. Lemma 1 osoittavat, että kentän P näennäisesti algebrallisesti suljetulle laajennukselle W riittää indusoimaan sellainen kentän P algebran laajennus, jotta P[x]:n polynomi voidaan laajentaa näiden laajennusten yli. lineaarisiin kertoimiin.

1. Kenttä P f є ob'ednannyam kenttä P і kaikki kentät S g for g

2. Kenttä P f on järjestetty siten, että P ja kaikki kentät S g, joissa on g

3. Kenttä S f tulee Rf:stä rikkaan termin f annettuihin juuriin lisäsymbolien a 1 ,..., a n jälkeen on voimassa lemi 3:aan asti.

On tarpeen todeta, että tällä tavalla kenttien Р f , S f koko järjestys voidaan nimenomaisesti osoittaa koko järjestyskentällä, samoin kuin kaikki eteenpäin suuntautuvat Р g , S g ovat jo useammin osoitettuja.

Yakshcho vikonano 3, sitten nasampered P f - vіdrіzok S f . Z ogo i vimogi 2 näemme, että kenttä P i ihokenttä S g (g

Р - vіdrіzok S h klo h

S g - kaksinkertainen S h g

Kuulostaa P i -kentiltä S h (h b, jakki voidaan tallentaa Pf. Sama järjestys on yksi ja sama kaikilla aloilla P abo S g yak yak yak a, joten ib, siihen kaikki ts kenttä є v_drіzkami yksi yhdestä. Otzhe, asettaminen tilaukseen on nimitetty. Täysin persoonattomien järjestetyt, tietenkin, koska iho ei ole tyhjä persoonaton x P f:ssä, kostaakseen ainakin yhden elementin deyakogo-kentän työstä S g, ja se on x x:n ensimmäinen elementti Ç Työ x Ç S g. Tämä elementti on yksi tunti є i ensimmäinen elementti x.

Kun katsot mieltäsi 3, polynomi f(x) hajoaa taas lineaarisiksi tekijöiksi kentässä S f . Lisäksi transfiniittisen induktion avulla osoitetaan, että S f on algebrallinen P:n suhteen. Itse asiassa oletetaan, että kaikki kentät S g (g

Nyt tallennetaan kaikkien kenttien Sf pooli W; zgіdno z lemoy 4 won є kenttä. Koko kenttä on algebrallisesti P:n päällä ja kaikki rikkaat termit f on laajennettu sen yli (pienet ihopolynomit f ovat jo laajennettu S f:n yli). Lisäksi kenttä W on algebrallisesti suljettu (Lema 1).

Kentän W yksikkö. Olkoon W ja W" kaksi kenttää, jotka ovat algebrallisia ja kentän P suljettuja algebrallisia laajennuksia. Tuodaan näiden kenttien ekvivalenssi. on myös yksi näistä argumenteista) osamultiple ¢ in W " ja jonkin verran isomorfismia

P(Â) @ P(¢).

Loppu toukokuussa ollaan tyytyväisiä tulevaan toistuvaan pomppimiseen.

1. Isomorfismi P(Â) @ P(¢) johtuu kentän P ihoelementin ehtymisestä kentällä.

2. Isomorfismi P(Â) @ P(¢), jossa on ÁÌ Â, voi olla isomorfismin P(Â) @ P(Á") laajennus.

3. Jos  on jäljellä oleva alkio a, niin että  = ÁÈ(a), ja jos a on rikkaan termin f(x) juuri, jota ei voida hajottaa P (Á), niin elementti a" on syyttää suvun P(Á) ensimmäistä juurta @ P(I"), polynomi f¢(x) hyvin järjestetyssä kentässä W".

On tarpeen osoittaa, että isomorfismi P(Â) @ P(¢) on tosiasiallisesti osoitettu samalla tavalla, vaikka viinit ovat jo määrityksiä kaikille ÁÌ Â:n etureunaille. Tässä on tarpeen erottaa kaksi kohtaa.

Ensimmäinen pudotus. Persoonaton  ei voi sisältää muuta elementtiä. Saman nahkaosan tulee olla lauluetuhousussa Á; siihen  є:n Á yhdistettyihin kasteluihin, tuohon P(Â) - arvon ÁÌ Â kumulatiivisiin kenttiin P(Á). Jos ihoelementit isomorfismeista P(Á) @P(Á") etenevät edellisistä, niin ihoelementille a kaikilla näillä isomorfismeilla annetaan vain yksi elementti a". Siksi on yksi ja useampi kuin yksi käänne P(Â) → P(¢), joka jatkaa kaikkia eteenpäin suuntautuvia isomorfismeja P(Á) → P(Á"), ja itse taivutus a®a". On selvää, että se on isomorfismi ja 1:n ja 2:n yhdistelmä.

Toinen pisara. Anonyymi jäljellä oleva elementti a; myös  = ÁÈ(a). Lopuksi elementtiin a liittyvä elementti a" on määritetty yksiselitteisesti. Koska a" kentän P(I") yläpuolella (analysoidun isomorfismin merkityksessä) täyttää "sama" epäjohdonmukaisesti yhtä kuin i a P(I:n kohdalla), sitten isomorfismi P(I) → P(I") (jos I on tyhjä, niin sama isomorfismi P®P) nousee isomorfismiin P(I, a) ®P(I", a¢ ), kun a ohittaa pisteen a". Ihon isomorfismi tunnistettiin yksiselitteisesti ihon ehdotuksella, joten rationaalinen ihofunktio j(a) yleisen kielen kertoimilla siirtyy funktioon j "(a") A:n vastaavilla kertoimilla. ) ® P(¢) vastaa ilmeisesti 1 ja 2.

Siten isomorfismin P(Â)→P(¢) substituutio on valmis. Merkittävästi W":n kautta kaikkien kenttien P(В¢) yleistys; silloin on olemassa isomorfismi P(W)®W" tai W®W", joka lisää kentän P elementin ihon tilaan. Koska kenttä W on algebrallisesti suljettu, niin voi myös Buti і W ", ja siihen W" yhdistetään vaaditulla kentällä W¢.

Tietyn kentän algebrallisesti suljetun laajennuksen merkitys on sama siinä mielessä, että ekvivalenssipisteeseen asti on mahdollista voittaa algebrallisen kentän mahdolliset laajennukset. Tarkemmin:

Jos W on algebrallisesti suljettu laajennus kentän P algebralle ja S on melko algebrallinen kentän P laajennus, niin W:n keskellä on S 0:n yleinen laajennus, joka vastaa S:n laajennusta.

Tuominen. Voimme laajentaa S:n tiettyyn suljettuun algebralliseen laajennukseen W". Se on algebrallinen ja yli P, ja siksi vastaa laajennusta W. Missä tahansa isomorfismissa, jotta W" muutetaan W:ksi, ottamalla P:n loukkaamaton ihoelementti, kenttä S siirtyy deakiksi, joka vastaa jooma-alikenttää S 0W.

4.2. Anna anteeksi transsendenttinen laajentuminen.

Iho on yksinkertaisesti kentän D transsendentaalinen jatke, joka ilmeisesti vastaa polynomirenkaan D[x] yksityisen D(x) kenttää. Siihen mi vivchimo tse yksityiselle kentälle

Kentän W elementit ovat rationaalifunktioita

Lause. Vaiheen n transsendentaalinen elementti h on yli D і kenttä D(x) on vaiheen n kentän D(h) algebran laajennus.

Tuominen. Lähetys h = f(x)/g(x) ei ole lyhytikäinen. Sama elementti x tyytyväinen

g(x) x h - f(x) = 0

kertoimilla D(h). Kertoimien lukumäärä ei voi olla nolla. Itse asiassa, jos kaikki haisevat olisivat yhtä suuret kuin nolla ja ak-kirjain bi samassa maailmassa x olisi polynomin g (x) nollasta poikkeava kerroin ja b k - polynomin f (x) nollasta poikkeava kerroin, niin se ei riitä, että äiti olisi tasa-arvoinen

tähdet h = b k / ak = const, mikä on taikauskoa. Jälleen elementti x on algebrallinen D(h) suhteen.

Jos elementti h on algebrallinen D:n suhteen, niin x on vaikkakin bi algebrallinen D:n suhteen, mikä ei kuitenkaan ole niin. Jälleen elementti h on transsendentaalinen D:n suhteen.

Elementti x on vaiheen n rikkaan termin juuri

renkaassa D(h)(z). Tämä polynomi on hajoamaton muodossa D(h)[z], sirpaleet ovat myös vin bouv bi voidaan hajottaa n kіlci D, і, vin:n sirpaleet ovat lineaarisia h:ssa, yksi maw bi:n kerrannaisista ei ole mahdollinen tallettaa h tai vähemmän z. Mutta sellainen kertoja ei voi olla, koska g(z) ja f(z) ovat keskenään yksinkertaisia.

Lisäksi elementti x on algebran n askel kentän D(h) yli. Tähdet ovat kiinteitä, joten (D(x) : D(h)) = n

Kurjalle on tärkeää, että rikas jäsen

ei ole kerrannaisia, jotka voivat sijaita vain lähellä z:tä (makaa lähellä D[z]). Tse kiinteytys ohitetaan, jos h korvataan sen arvoilla f (x) / g (x) ja kerrotaan bannerilla g (x), olemme itse polynomi.

g(z)f(x) - f(z)g(x)

kiltsya D ei ole kertoimia, pudota vain vіd z.

Edellä esitetyistä teoreemoista on kolme huomautusta.

1. Funktioaskel h - f(х)/g(х) tulee tallettaa vain kenttiin D(h) ja D(x), ei valittaessa toista x:n muodostavaa elementtiä.

2. Rivnist D(h) = D(x) on pienempi kuin sama, jos h on pienempi kuin 1, niin se on shot-lineaarinen funktio. Tse tarkoittaa: kentän yläelementti, elementin x crim, voi olla murto-lineaarinen funktio, kuten x ja vain tällainen funktio.

3. Mikä tahansa kentän D(x) automorfismi, joka jättää kentän D elementin kankaalle, on syyllinen siihen, että elementti x muunnetaan mille tahansa kentän elementille. Takaisin, jos x käännetään yläelementiksi x = (ax + b) / (cx + d) ja ihofunktioksi j (x) - y -funktioksi j (x), niin automorfismi syntyy, kun kaikki elementit D jätetään kohteen päällä. Otzhe,

Kaikki kentän D(x) automorfismit kentän D yli ovat shot-lineaarisia substituutioita

x = (ax+b)/(cx+d), ad – bc ¹ 0.

Tärkeää joidenkin geometristen saavutusten kannalta

Lurotin lause. Ihon välikenttä S, jolle DÌSID(x) on yksinkertainen transsendentaalinen laajennus: S = D(q).

Tuominen. Elementti x syyllistyy olemaan algebrallinen S:n suhteen, koska jos h - jos jokin S:n alkio ei kuulu kenttään D, niin, kuten osoitettiin, elementti x on algebrallinen D:n (h) suhteen ja vieläkin algebrallinen S:n suhteen. S [z] rikas termi vanhempi kertoimella 1 ja juuri x saattaa näyttää

f 0 (z) \u003d z n + a 1 z n -1 + ... + a n. (yksi)

Z'yasuєmo Budovin rikas jäsen.

Elementit a i є rationaaliset funktiot x. Nukkuvalla bannerilla kertomisessa їх voit käyttää sitä monien rationaalisten funktioiden kanssa ja lisäksi ottaa rikkaan termin, kuten x іz 1:n sijasta:

f(x, z) = b 0 (x) zn + b 1 (x) z n-1 + ... + b n (x).

Polynomin askeleet ovat merkitseviä m:ssä ja z:ssä n:n suhteen.

Kertoimet a i \u003d b i / b 0 z (1) eivät voi olla riippumattomia x:ssä, joten x muuten esiintyisi algebrallisena elementtinä D:n yläpuolella; joten yksi heistä, sano

q = a i = b i (x) / b 0 (x),

on itse asiassa syyllinen laskeutumiseen vіd x; Kirjataan jooga lyhyesti ylös:

Polynomien g(x) ja h(x) askelmat eivät ylitä m. Polynomi

g(z) - qh(z) = g(z) - (g(x)/h(x))h(z)

(joka ei ole sama nolla), jos juuri z = x, niin vin on jaollinen f 0:lla (z) renkaassa S[z]. Jos haluat siirtyä kolmesta rationaalisesta x rikkaasta termistä tsilih-arvoon x rikkaalla termillä zmist 1:n kanssa, sinun tulee tallentaa jaollisuutesi, niin otamme sen

h(x)g(z)-g(x)h(z) = q(x, z)f(x, z).

Tämän tasapuolisuuden vasemmassa osassa on askelmat x:tä pitkin, mutta se ei liiku t. Oikealla oleva Ale on jo f stupіn t:n rikas jäsen; otzhe, vasemman osan askeleet ovat täsmälleen vanhoja ja q(x, z) ei ole x:ssä. On kuitenkin mahdotonta tallettaa alle z-kertoimen vasemman osan jakamiseksi (jako enemmän); siihen q(x, z) on vakio:

h(x)g(z)-g(x)h(z) = qf(x, z).

Koska vakion q läsnäololla ei ole merkitystä, Budov-polynomi f(x, z) kuvataan täydellisesti. Polynomin f(x, z) vaiheet x:ssä ovat edistyneempiä (symmetrian symmetrialla), ja z:n askeleet ovat edistyneempiä, joten m = n. m, myöhemmin, i-funktio q johtuu äidistä askelista m x.

Tim itse, sirpaleet toiselta puolelta on asetettu tasa-arvoisiksi

(D(x):D(q)) = m,

ja loput - mustasukkaisuus

ne sirpaleet kostaaksesi D(q),

Visnovok.

Robotit näyttivät tältä, katso numerokentän P laajennus:

Yksinkertainen kenttäalgebran laajennus.

Algebran kentän varastolaajennus.

Erotettavat ja erottamattomat laajennukset.

Rajoittamaton kastelun laajentaminen.

Analysoimalla työtä, voit luoda deaky visnovki.

Z katsoi laajennuksen kahta ensimmäistä osaa, kuten:

yksinkertainen algebran laajentaminen;

loppuun laajentaminen;

algebran varastolaajennus.

Seuraavaksi, jos näet laajennukset zbіgayutsya і, zokrema, piirretään kentän P yksinkertaisilla algebrallisilla laajennuksilla.

Lista viittauksista

1. L.Ya. Kulikiv. Algebra ja lukuteoria. - M.: Vishch. Koulu, 1979.-528-538s.

2. B.L. Van der Waerden. Algebra. - M., 1976 - 138-151s., 158-167s., 244-253s.

3. E.F. Shmigiryov, S.V. Ignatovitš. Rikasten termien teoria. - Mosir 2002.

Tämän työn valmistelua varten keräsimme materiaalia sivustolta