Rengas- ja vektoriavaruusmatriisit. Lineaarinen vektoriavaruus: nimitys, auktoriteetti. Vektoriviivatila

Luento 6. Vektoriavaruus.

Perusravinto.

1. Vektori lineaarinen avaruus.

2. Perusteena on tilan laajeneminen.

3. Suuntautuminen avaruuteen.

4. Vektorin käyttöönotto perustan takana.

5. Vektorikoordinaatit.

1. Vektori lineaarinen avaruus.

Anonymiteetti, joka koostuu minkä tahansa luonteisista elementeistä, joissa on osoitettu lineaarisia operaatioita: kahden elementin lisääminen, jolloin elementin kertominen numerolla on ns. avoimet tilat, Ja їх elementtejä - vektorit th avaruus і on määritetty muodossa і, jak і vektorisuureet geometriassa: . Vektorit tällaisia ​​abstrakteja laajuuksia ei yleensä voida kuvitella suurimmilla geometrisilla vektoreilla. Abstraktien avaruuksien elementtejä voivat olla funktiot, lukujärjestelmät, matriisit jne. ja okreme-tapauksessa muuttujavektorit. Siksi on tapana nimetä vektori avoimet tilat .

vektoriavaruus, esimerkiksi, lukematon määrä ei-arvoisia vektoreita, jotka on ilmoitettu V1 , ilman koplanaarisia vektoreita V2 , mittava persoonaton vektori (tosi avaruus) V3 .

Tälle nimenomaiselle vipadkalle on mahdollista antaa ponnahduslauta vektorin laajuuteen.

Tapaaminen 1. Nimetöntä vektoria kutsutaan vektoriavaruus, Lineaarisena yhdistelmänä, onko kertoimessa vektoreita, se on myös tuon kertoimen vektori. Itse vektoreita kutsutaan elementtejä vektoriavaruus.

Se on tärkeämpää sekä teoreettisessa että sovelletussa perspektiivissä sekä abstraktimman (abstrakti) vektoriavaruuden ymmärtämisessä.

Tapaaminen 2. Bezlich R elementtejä, joissa kahdelle elementille ja summa määrätään ja mille tahansa elementille kutsutaan leveys="68". vektori(tai lineaarinen) avoin tila, kuten elementit - vektorit, kuten vektorien lisääminen ja vektorin kertominen luvulla tulevien mielien tyydyttämiseksi ( aksioomia) :

1) lisäys on kommutatiivista, joten gif-leveys = "184" korkeus = "25";

3) käytä sellaista elementtiä (nollavektoria), joka mihin tahansa https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45". 99" height="27">;

5) mille tahansa määrälle vektoreita, tällainen luku λ voi olla yhtä suuri;

6) mille tahansa vektorille ja mille tahansa numerolle λ і µ oikeudenmukaisuus https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" λ і µ reilua ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" .

Aksioomista, jotka merkitsevät vektoriavaruutta, huudahtaa yksinkertaisin todisteita :

1. Vektoriavaruudessa on enemmän kuin yksi nolla - elementti on nollavektori.

2. Vektoriavaruudessa on yksi vektori.

3. Jopa ihon elementti vykonuetsya tyyneyttä.

4. Mille tahansa päivänumerolle λ i nollavektorista.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> kutsutaan vektoriksi, joka täyttää tasa-arvon https://pandia.ru/ text/ 80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Otzhe, fiyno ja persoonaton kaikki geometriset vektorit є lineaarisessa (vektori)avaruudessa, joten joiden elementtien kertoja määrätään yhteen- ja kertolaskulle luvulla, mikä tyydyttää aksioomien muotoilun.

2. Perusteena on tilan laajeneminen.

Іstotnimi käsitteet vektoriavaruuden є ymmärrystä perusteella ja rozmіrnіst.

Nimittäminen. Lineaarisesti riippumattomien vektoreiden kokoelma laulujärjestyksestä perusta mikä tila. Vektori. Tilan varastopohja ns perusta .

Persoonattomat vektorit, jotka on levitetty dolnіy suoralle viivalle, voit käyttää yhtä kollineaarista suoraa vektoria .

Perusta koneeseen Nimetään kaksi ei-kollineaarista vektoria tässä tasossa, otettuna samassa järjestyksessä.

Jos kantavektorit ovat pareittain kohtisuorat (ortogonaaliset), niin kantaa kutsutaan ortogonaalinen, ja jos q vektorit voivat olla kaksinkertaisia, yhtä suuria kuin yksi, niin kantaa kutsutaan ortonormaali .

Suurin numero lineaarisesti riippumattomia vektoreita kutsutaan avaruudessa rauhaa että avaruus eli avaruuden laajeneminen kasvaa perusvektorien lukumäärän myötä tässä avaruudessa.

Otzhe, ilmeisesti kehuttu dagille:

1. Yhden maailman avaruus V1 on suora, ja kanta muodostetaan yksi kollineaarinen vektori https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39".

3. Suuri laajuus triviaalilla laajuudella V3 , jonka pohja muodostuu kolme ei-tasossa vektori_v.

Minusta näyttää siltä, ​​että kantavektoreiden määrä suoralla, tasolla, todellisessa avaruudessa vaihtelee sen mukaan, mitä geometriassa yleensä kutsutaan suoran, tason, avaruuden numeroksi. On luonnollista, että tämä johtaa räikeämpiin rangaistuksiin.

Nimittäminen. Vector avaruus R nimeltään n- rauhallinen, ei enää uudessa maailmassa n lineaarisesti riippumattomia vektoreita ja niille osoitetaan R n. Määrä n nimeltään rauhaa tilaa.

Vіdpovіdno asti rozmіrnostі avoin tila podіlyayutsya kіntsevіі rajoittamaton. Nolla-avaruuden avoimuus tapaamisten ulkopuolella katsotaan nollaksi.

Kunnioitus 1. Iho-avaruudessa voit määrittää, kuinka monta kantaa tarvitaan, mutta kaikki tämän tilan kantaluvut lasketaan yhteen samasta määrästä vektoreita.

Muistio 2. klo n- rauhalliseen vektoriavaruuteen kutsutaan kantaa riippumatta siitä, onko järjestys vai ei n lineaarisesti riippumattomia vektoreita.

3. Suuntautuminen avaruuteen.

varten tilan suuntaamiseksi on tarpeen asettaa tietty perusta ja ilmaista se positiivisesti .

Voidaan osoittaa, että avaruuden persoonattomat perusteet on jaettu kahteen luokkaan, että ne on jaettu kahteen osakerrokseen, että ne eivät mene päällekkäin.

a) kaikki emäkset, jotka kuuluvat yhteen osamoniaan (luokkaan), voivat kuitenkin suunta (saman valikon perusteella);

b) mitkä tahansa kaksi kantaa elämää p_dmnozhin (luokat), mayut protilezhnu suuntautuminen, ( eri perusta).

Jos toinen kahdesta emäsluokasta on positiivinen ja toinen on negatiivinen, näyttää siltä, ​​että laajennus suuntautunut .

Usein avaruuteen suuntautuessa kutsutaan yhtä kantaa hallita, ja інші - livimi .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> nimi sääntö, Kuitenkin, kun kolmas vektori on suojattu, ensimmäisen vektorin lyhin kierros on vuoden vastainen nuoli(Kuva 1.8, a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Riisi. 1.8 Oikea kanta (a) tuo vasen kanta (b)

Soita positiivisella pohjalla

Oikea (livy) perusta voidaan määrittää tilaan, ja lisäsääntöä varten "oikea" ("vasen") ruuvi tai kierretty.

Analogisesti cim:n kanssa otetaan käyttöön käsite oikea ja vasen kolmoset ei-yhteisöllisiä vektoreita, jotka johtuvat järjestyksestä (kuva 1.8).

Tällä tavalla villitrendissä kahdella järjestetyllä ei-suunnitellulla vektorilla voi olla sama suuntaus (sama) avaruudessa. V3 jos loukkauksen haju on oikea, tai jos se on loukkaavaa, se on vasen, ja päinvastainen suuntaus (erilainen), jos toinen on oikea ja toinen on vasen.

Samanlainen istuvuus ja tilaa V2 (neliöt).

4. Vektorin käyttöönotto perustan takana.

Peilaus voidaan yksinkertaisuuden vuoksi nähdä trivimir-vektoriavaruuden esimerkissä R3 .

Tule - dovіlny vektori tsgo tilaa.

VEKTORIAVARU (lineaariavaruus), yksi algebran perusymmärryksistä, joka helpottaa (vapaiden) vektoreiden kokonaisuuden ymmärtämistä. Vektoriavaruudessa vektorit otetaan huomioon, ovatko ne objekteja, jos ne voidaan laskea yhteen ja kertoa luvuilla; tarvittaessa niin, että algebrallisten operaatioiden pääpotenssit ovat samat kuin alkeisgeometrian vektoreilla. Tarkalla määrätyllä numerolla ne korvataan kentän K elementeillä. Kentän K yläpuolella olevaa vektoriavaruutta kutsutaan persoonattomaksi V:ksi, jossa yhdistetään elementit V:stä ja kerrotaan elementit V:stä kentän K elementeillä. , mikä voi johtaa valtaan:

x + y \u003d y + x onko x, y z V, jotta V voidaan taittaa Abelin ryhmään;

λ(x + y) = λ χ + λy mille tahansa λ z K x x, y z V:lle;

(λ + μ)х = λх + μх mille tahansa λ, μ z K і x z V:lle;

(λ μ)х = λ(μх) mille tahansa λ, μz K i x z V:lle;

1x \u003d x mille tahansa x:lle V:stä, tässä 1 tarkoittaa kentän K yksikköä.

Vektoriavaruuden pisteet є: kaikkien alkeisgeometrian vektorien kertoimet L 1 L 2 і L 3, ilmeisesti suoralla viivalla, tasot і avaruudessa erinomaisilla vektoreiden taittamisen ja luvulla kertomisen operaatioilla; koordinaattivektoriavaruus K n , jonka alkiot є kaikki rivit (vektorit) ovat n alkioilla kentästä K ja operaatiot annetaan kaavoilla

persoonaton F(M, K) kaikista kiinteään kertoimeen M osoitetuista funktioista ja ota arvot kentässä To, funktioiden tärkeimmät toiminnot:

Vektoriavaruuden e 1 ..., e n alkioita kutsutaan lineaarisesti riippumattomiksi, koska yhtälö λ 1 e 1 + ... n = 0 Є K. Vastakkaisessa suunnassa alkiot e 1 , e 2 , ·· ·> e n kutsutaan lineaarisesti kesannoiksi. Jos vektoriavaruudessa V on n + 1 alkiota e 1 ,..., e n+1 lineaarisesti määrittelemätöntä ja n lineaarisesti riippumatonta alkiota, niin V:tä kutsutaan n-maailman vektoriavaruudeksi ja n on vektoriavaruuden V ulottuvuus. Aivan kuten vektoriavaruutta V mille tahansa luonnolliselle n olemassa olevalle n lineaarisesti riippumattomalle vektorille, niin V:tä kutsutaan äärettömäksi vektoriavaruudeksi. Esimerkiksi vektoriavaruus L 1 , L 2 , L 3 і K n samalla tavalla 1-, 2-, 3- ja n-mіrnі; jos M on persoonaton, niin vektoriavaruutta F(M, K) ei ole rajoitettu.

Kentän K yli olevaa vektoriavaruutta V ja U kutsutaan isomorfiseksi, jolloin φ : V -> U on keskenään ainutlaatuinen, joten φ(x+y) = φ(x) + φ(y) joko x, y z V ja φ (λx) = λ φ(x) mille tahansa λ z K i x z V:lle. Isomorfiset vektoriavaruudet ovat algebrallisesti erottamattomia. Äärillisten vektoriavaruuksien luokittelu isomorfismiin asti on annettu niiden monimuotoisuuden perusteella: onko kentän Do päällä n-ulotteinen vektoriavaruus, on isomorfista koordinaattivektoriavaruuden Do n kanssa. Ihaile samaa Hilbertin laajuutta, lineaarista algebraa.

Olkoon R - kenttä. Elementit a, b, ... н R nimetään skalaarit.

Tapaaminen 1. luokkaa V kutsutaan objekteja (elementtejä) , , , ... riittävän luonteisia vektoriavaruus kentän Р päällä, ja luokan V alkioita kutsutaan vektorit vaikka V on suljettu, mutta operaatio "+" on P:n skalaarien kertomisoperaatio (eli mille tahansa , нV + н V; "aÎ R aÎV), ja vykonuyutsya joten muista:

A 1: Algebra - Abelin ryhmä;

A 2: onko a, bÎР, onko ÎV vai ei, a(b)=(ab)- relevantti assosiaatiolaki;

A 3: mille tahansa a, bÎP, mille tahansa ÎV, vikonuetsya (a+b)= a+ b;

A 4: mille tahansa a z P:lle, mille tahansa s V:lle, voitamme a(+)=a+a(lisääntyneet distributiiviset lait);

A 5: onko V voittoisa vai ei 1 = , de 1 - kentän ykseys P - unititeetin teho.

Kentän P alkioita kutsutaan skalareiksi ja kertoimen V alkioita vektoreiksi.

Kunnioittaminen. Vektorin kertominen skalaarilla ei ole binäärioperaatio kertoimella V, vaan skaalaus on PV®V.

Katsotaanpa vektoriavaruuksia.

esimerkki 1. Nolla (nolla-maailma) vektorin laajuus - laajuus V 0 =() - joka koostuu yhdestä nollavektorista.

Mitä tahansa aОР a=. Tarkastellaan uudelleen vektoriavaruuden aksioomien pätevyyttä.

Kunnioittavasti nollaulotteinen avaruus kentän R päällä. Siten nollaulotteinen avaruus kentän päällä rationaalisia lukuja minä kentän yläpuolella päivän numerot vvazhayutsya raznimi, hoch lasketaan yhteen yhdestä nollavektorista.

peppu 2. Kenttä P on itse vektoriavaruus kentän P päällä. Olkoon V=P. Tarkastellaan uudelleen vektoriavaruuden aksioomien pätevyyttä. Koska P on kenttä, niin P on additiivinen ryhmä ja A1 voittaa. Katse takaisin zdіysnennostі in R asociativnostі mnozhennja vykonuєtsya A 2 . Aksioomit A 3 ja A 4 voittavat, koska R on jakautuva ja kerrottu vapaasti. Sirpaleet kentässä R on yksittäinen elementti 1, yksikön teho A 5 . Tässä järjestyksessä kenttä P on vektoriavaruus kentän P yläpuolella.

esimerkki 3. Aritmeettinen n-ulotteinen vektoriavaruus.

Olkoon R - kenttä. Huomattavasti persoonaton V = P n = ((a 1, a 2, …, a n) ½ a i P, i = 1, ..., n). Esitellään kertoimella V vektorien yhteenlasku ja vektorin skalaari kertominen seuraavien sääntöjen mukaisesti:

"= (a 1 , a 2 , … , a n), = (b 1 , b 2 , … , b n) О V, "aО P += (a 1 + b 1, a 2 + b 2, … , a n) + mrd) (1)

a=(aa 1 , aa 2 , … , aa n) (2)

Alkiot ja kertoimet V kutsutaan n-maailman vektorit. Kahta n-maailman vektoria kutsutaan yhtäläisiksi, koska niiden kaksiulotteiset komponentit (koordinaatit) ovat yhtä suuret. Voidaan osoittaa, että V on vektoriavaruus kentän P yläpuolella. Koska operaatio vektorin taittamiseksi ja kertomiseksi skalaarilla tunnetaan, V on suljettu valinta näistä operaatioista. Koska elementtien lisäys V:stä pelkistyy kentän P elementtien lisäykseksi ja P on additiivinen Abelin ryhmä, niin і V on additiivinen Abelin ryhmä. Lisäksi = , de 0 on kentän Р, -= (-a 1, -a 2, ..., -a n) nolla. Tässä luokassa A1 voittaa. Alkion V kertoman skaalaus alkiolla P pelkistetään kentän P alkioiden kertolaskuksi, jolloin:

A 2 voittaa johtuen P:n kertoimen assosiatiivisuudesta;

A 3 ja A 4 ketjutetaan P:n taittamisen distributiivisella kertolaskulla;

Ja 5 voittoa, koska 1 P on neutraali elementti, joka voidaan kertoa R:llä.

Tapaaminen 2. Persoonatonta V = P n kaavoilla (1) ja (2) määritellyillä operaatioilla kutsutaan aritmeettiseksi n-ulotteiseksi vektoriavaruudeksi kentän Р yli.

Katsotaanpa toiminnan elementtien muodostamaa järjestystä yksinkertainen kenttä GF(q) (a^, a......a p). Tällaista sekvenssiä kutsutaan l-by

johdonmukaisuus kentän yli GF)