Το υπο-ολοκλήρωμα έχει τη δύναμη, ανάλογη με τη δύναμη του ολοκληρώματος τραγουδιού. Σημαντικά λιγότερα από τα κύρια:

1. Ποιες είναι οι λειτουργίες
ένταξης στην περιοχή
, τότε η ενσωμάτωση σε αυτά είναι το ποσό και η διαφορά, επιπλέον

2. Ο σταθερός πολλαπλασιαστής μπορεί να κατηγορηθεί για το πρόσημο ολοκλήρωμα κάτω καλωδίου:

3. Yakscho
ενσωματωθεί στην περιοχή
, και αυτή η περιοχή χωρίζεται σε δύο περιοχές που δεν επικαλύπτονται і
, έπειτα

.

4. Yakscho
і
ένταξης στην περιοχή
, στο yakіy

, έπειτα

.

5. Τι υπάρχει στην περιοχή
λειτουργία
ικανοποιημένος με τις ασυνέπειες


de
і
 πράξεις αριθμοί dіysnі, έπειτα

,

de – περιοχή της περιοχής
.

Οι αποδείξεις αυτών των δυνάμεων είναι ανάλογες με την απόδειξη των δεύτερων θεωρημάτων για το απλό ολοκλήρωμα.

Υπολογισμός του κατακόρυφου ολοκληρώματος σε ορθογώνιες καρτεσιανές συντεταγμένες

Ας είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το υποκείμενο ολοκλήρωμα
, de περιοχή - Ορθογώνιο, το οποίο χαρακτηρίζεται από ανωμαλίες ,.

Ας υποθέσουμε ότι
είναι αδιάλειπτη στο ίδιο ορθογώνιο και διογκώνεται στη νέα άγνωστη τιμή, παρόλο που το ολοκλήρωμα του όγκου του σώματος με τη βάση , κρόσσια με το θηρίο από πάνω
, από πλαϊνά - φλατ
,
,
,
:

.

Από την άλλη πλευρά, ένας τέτοιος αριθμός μπορεί να υπολογιστεί για τη βοήθεια του ολοκληρώματος τραγουδιού:

,

de
- η περιοχή διέλευσης αυτού του σώματος με ένα επίπεδο που διέρχεται από ένα σημείο και κάθετα στον άξονα
. Θραύσματα ανάλυσης διασταυρώνονται με καμπυλόγραμμο τραπέζιο
, που περιβάλλεται από το θηρίο με ένα γράφημα συνάρτησης
, ντε σταθερό, και , έπειτα

.

Z tsikh triokh ισότητες vyplivaє, scho

.

Στο εξής, ο υπολογισμός του βασικού ολοκληρώματος ήταν ο υπολογισμός των δύο ολοκληρωμάτων sing. κατά τον υπολογισμό του "εσωτερικού ολοκληρώματος" (γραμμένο σε τόξα) να είναι αμετάβλητο.

Σεβασμός.Μπορείτε να εξηγήσετε ότι ο υπόλοιπος τύπος είναι σωστός όταν
, καθώς και με μια ματιά, εάν η λειτουργία
αλλάξτε το πρόσημο του υποδεικνυόμενου ορθογωνίου.

Τα δικαιώματα του τμήματος του τύπου ονομάζονται επαναλαμβανόμενο ολοκλήρωμα και ορίζονται ως εξής:

.

Ομοίως, μπορεί να αποδειχθεί ότι

.

Πάνω από αυτά που ειπώθηκαν, γκρινιάζεις

.

Η παραμονή της ισότητας σημαίνει ότι το αποτέλεσμα της ολοκλήρωσης πρέπει να εμπίπτει στη σειρά ολοκλήρωσης.

Για να ρίξουμε μια ματιά στη βαθύτερη κλίση, ας εισαγάγουμε την κατανόηση της τυπικής περιοχής. Η τυπική (ή σωστή) περιοχή που δίνεται απευθείας στον άξονα ονομάζεται μια τέτοια περιοχή, για την οποία θα πρέπει να είναι ευθεία, παράλληλη προς το κέντρο του άξονα, διάσπαρτη μεταξύ της περιοχής όχι περισσότερο, χαμηλότερη σε δύο σημεία. Διαφορετικά, φαίνεται, ανατρέποντας την ίδια την περιοχή, ότι ο її κλοιός είναι μόνο ένα αεράκι ευθεία.

Είναι αποδεκτό ότι η περιοχή είναι περικυκλωμένη

που περιβάλλεται από το θηρίο με ένα γράφημα συνάρτησης
, στο κάτω μέρος - γράφημα της συνάρτησης
. έλα R ( ,) - ελάχιστο ορθογώνιο, στο οποίο τοποθετείται η περιοχή
.

Πήγαινε στην περιοχή
εκχωρείται αυτή η αδιάλειπτη λειτουργία
. Ας εισάγουμε μια νέα συνάρτηση:

,

παρόμοια με τις δυνάμεις του ακέραιου υποσύρματος

.

Εγώ αργότερα,

.

Oskіlki vіdrіzok
να καλύψει την περιοχή
τότε μετά,
στο


, αλλά ξαπλώστε σε μια θέση vіdrіzkom, τότε
.

Με σταθερό μπορούμε να γράψουμε:

.

Το πρώτο και το τρίτο ολοκληρώματα στη δεξιά πλευρά της ολοκλήρωσης αθροίζονται στο μηδέν

.

Otzhe,

.

Γιατί είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθεί ο τύπος για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος που τρέχει στην περιοχή του τυπικού άξονα
μέσω του συνδέσμου προς το επαναλαμβανόμενο ολοκλήρωμα:

.

περιοχή Yakscho
є τυπικός ευθύς άξονας y
εμφανίζεται ως ασυνέπειες ,

, ομοίως, μπορεί κανείς να το αποδείξει αυτό

.

Σεβασμός.Για την περιοχή
, τυπικοί ευθύγραμμοι άξονες y
і
, θα υπάρχουν βίκον

Για αυτόν τον τύπο, υπάρχει αλλαγή στη σειρά ολοκλήρωσης και στην ώρα υπολογισμού του υπογραμμικού ολοκληρώματος.

Σεβασμός.Μόλις η περιοχή ολοκλήρωσης πάψει να είναι τυπική (σωστή) και στους δύο άξονες συντεταγμένων, її χωρίζεται στο άθροισμα των τυπικών περιοχών και αντιπροσωπεύει το ολοκλήρωμα ως το άθροισμα των ενοποιήσεων σε αυτές τις περιοχές.

βαρέλι. Υπολογίστε το τρέχον ολοκλήρωμα
ανά περιοχή
, που περιβάλλεται από γραμμές:
,
,
.

Λύση.

Tsya area є standard yak schodo axis
, και 'γώ το ίδιο
.

Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα, λαμβάνοντας υπόψη την περιοχή του τυπικού άξονα
.

.

Σεβασμός.Πώς να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα, λαμβάνοντας υπόψη την περιοχή του τυπικού άξονα
, παίρνουμε το ίδιο αποτέλεσμα:

.

βαρέλι. Υπολογίστε το τρέχον ολοκλήρωμα
ανά περιοχή
, που περιβάλλεται από γραμμές:
,
,
.

Λύση.Αντιπροσωπευτικά, η περιοχή της ένταξης δίνεται στον μικρό.

Περιοχή Tsya є τυπικός άξονας schodo
.

.

βαρέλι. Αλλάξτε τη σειρά ενσωμάτωσης για την επαναλαμβανόμενη ενσωμάτωση:

Λύση.Ας φανταστούμε την περιοχή της ολοκλήρωσης.

Από τις γραμμές διασύνδεσης, γνωρίζουμε τις γραμμές που περικλείουν την περιοχή ολοκλήρωσης: ,
,
,
. Για να αλλάξουμε τη σειρά ολοκλήρωσης, μπορούμε ως λειτουργίες σε και γνωρίζουμε τα σημεία διέλευσης:

,
,
.

Έτσι, σε ένα από τα διαστήματα, η συνάρτηση εκφράζεται με δύο αναλυτικές ρίζες, τότε η περιοχή ολοκλήρωσης πρέπει να χωριστεί σε δύο περιοχές και το επαναλαμβανόμενο ολοκλήρωμα του φόρου είναι το άθροισμα δύο ενοποιήσεων.

.

1.1 Προσδιορισμός του κατακόρυφου ολοκληρώματος

1.2 Κυριαρχία του υποολοκληρώματος

Η κυριαρχία του υπο-ολοκληρώματος (αυτό το yogo visnovok) είναι ανάλογη με την κυριαρχία του εφάπαξ τραγουδιστικού ολοκληρώματος.

1°. Προσθετικότητα. Εάν η συνάρτηση f(x, y) είναι ενσωματωμένη στον τομέα D και εάν το πεδίο ορισμού D πέρα ​​από την πρόσθετη καμπύλη Г, η περιοχή μηδέν διαιρείται σε δύο συνδέσμους και δεν μπορεί να έχει κοινά εσωτερικά σημεία του τομέα D 1 και D 2, τότε το Η συνάρτηση f(x, y) είναι ενσωματωμένη στο δέρμα από τις περιοχές D 1 και D 2, επιπλέον

2°. Γραμμική ισχύς. Πώς μπορούν να ολοκληρωθούν οι συναρτήσεις f(x, y) και g(x, y) στο διάστημα D, ε; Εγώ? - είτε είναι αριθμοί ομιλίας, τότε η συνάρτηση [? f (x, y) + ? Το g (x, y)] είναι επίσης ενσωματωμένο στον τομέα D, επιπλέον

3°. Εφόσον οι συναρτήσεις f(x, y) και g(x, y) είναι ενσωματώσιμες στον τομέα D, τότε οι πρόσθετες συναρτήσεις αυτών των συναρτήσεων μπορούν να ολοκληρωθούν στο D.

4°. Πώς μπορούν οι συναρτήσεις f(x, y) και g(x, y) να ενσωματωθούν στο πεδίο ορισμού D και διασταύρωση f(x, y); g(x, y), στη συνέχεια

5°. Εφόσον η συνάρτηση f(x, y) ενσωματώνεται στο πεδίο ορισμού D, τότε η συνάρτηση ου |f(x, y)| ενσωματωμένο στην περιοχή Δ, εξάλλου

(Προφανώς, η ολοκλήρωση του | f (x, y) | D δεν δείχνει την ολοκλήρωση του f (x, y) στο D.)

6°. Το θεώρημα της μέσης τιμής. Αν και οι επιθετικές συναρτήσεις f(x, y) και g(x, y) είναι ενσωματωμένες στον τομέα D, η συνάρτηση g(x, y) είναι αόρατη (μη θετική) παντού σε αυτήν την περιοχή, τα M και m είναι τα ακριβή άνω και κάτω όρια της συνάρτησης f( x, y) στην περιοχή D, τότε υπάρχει ένας αριθμός; που ικανοποιεί την ανομοιομορφία του m; ? ? M i ώστε να ισχύει ο τύπος

Sokrema, αφού η συνάρτηση f(x, y) είναι συνεχής D, και το πεδίο ορισμού D είναι συνδεδεμένο, τότε σε αυτό το πεδίο ορίζεται ένα τέτοιο σημείο (?, ?), Τι; = f(?, ?), και ο τύπος μοιάζει

7°. Σημαντική γεωμετρική ισχύς. καθιστικός χώρος Δ

Αφήστε το σώμα T (Εικ. 2.1) να δοθεί στο χώρο, κάτω από την περιοχή D, στο θηρίο - ένα γράφημα μιας αδιάκοπης και αόρατης συνάρτησης) z \u003d f (x, y,) όπως έχει εκχωρηθεί στο διάστημα D, από τις πλευρές - μια κυλινδρική επιφάνεια, μια άμεση є μεταξύ της περιοχής D, και είναι παράλληλες με τον άξονα Oz. Ένα σώμα αυτού του τύπου ονομάζεται κυλινδρικό σώμα.

1.3 Γεωμετρική ερμηνεία του κατακόρυφου ολοκληρώματος

1.4 Κατανόηση του κατακόρυφου ολοκληρώματος ενός ορθογωνίου

Έστω μια επαρκής συνάρτηση f(x, y) να αντιστοιχιστεί παντού στο ορθογώνιο R = ? (διαιρ. Εικ. 1).

Δενδρολίβανο τμήμα α; Χ? b κατά n επιμέρους τμήματα πέρα ​​από το βοηθητικό σημείο a = x 0< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.

Γιατί η διάσπαση για τη βοήθεια ευθειών, παράλληλων προς τους άξονες Ox і Oy, είναι η διαίρεση του ορθογωνίου R σε n · p μερικά ορθογώνια R kl = ; (k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Υποδεικνύεται από τη διαίρεση του ορθογωνίου R, είναι σημαντικό με το σύμβολο T. Το δώσαμε μια διαίρεση με τον όρο "ορθογώνιο" για να κατανοήσουμε το ορθογώνιο με πλευρές παράλληλες στους άξονες συντεταγμένων.

Στο δέρμα chastkovy ορθογώνιο Rkl, επιλέγουμε ένα πλήρες σημείο (?k,?l). Έχοντας βάλει ?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1, είναι σημαντικό μέσω ?R kl του εμβαδού του ορθογωνίου R kl . Προφανώς, ?R kl = ?x k ?y l .

ονομάζεται το ολοκληρωτικό άθροισμα της συνάρτησης f(x, y), που δίνει μια δεδομένη κατανομή T ενός ορθογωνίου R και μια δεδομένη επιλογή ενδιάμεσων σημείων (? k, l) σε μερικά ορθογώνια μιας κατανομής T.

Η διαγώνιος ονομάζεται διάμετρος του ορθογωνίου R kl . Ενα σύμβολο? Σημαντικά η μεγαλύτερη από τις διαμέτρους όλων των κοινών ορθοτομών R kl .

Ο αριθμός I ονομάζεται όριο των ολοκληρωτικών αθροισμάτων (1) στο; > 0, πώς μπορεί να είναι οποιοσδήποτε θετικός αριθμός; μπορείς να το πεις ημερομηνία?, σε τι;< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство

| ? - Εγώ |< ?.

Η συνάρτηση f(x, y) ονομάζεται ολοκληρωμένη (σύμφωνα με τον Riemann) στο ορθογώνιο R, επειδή υπάρχει ένα τελικό όριο μεταξύ των I ολοκληρωτικών αθροισμάτων της συνάρτησης στο; >0.

Το καθορισμένο όριο I ονομάζεται υποολοκλήρωμα της συνάρτησης f(x, y) από το ορθογώνιο R και συμβολίζεται με ένα από τα ακόλουθα σύμβολα:

Σεβασμός. Έτσι, ακριβώς όπως για ένα ολοκλήρωμα τραγουδιού μίας χρήσης, διαπιστώνεται ότι η συνάρτηση f(x, y) είναι ενσωματωμένη στο ορθογώνιο R και περιγεγραμμένη σε αυτό το ορθογώνιο.

Αυτό δίνει την ευκαιρία να κοιτάξετε πιο μακριά από τα όρια των συναρτήσεων f(x, y).

Ισχύς των δευτερευόντων ολοκληρωμάτων.

Ένα μέρος της δύναμης των υποολοκληρωμάτων χωρίς μέση φλέγεται από το νόημα του οποίου η κατανόηση αυτής της δύναμης των ολοκληρωμάτων αθροίζει, αλλά τον εαυτό του:

1. Ποια είναι η λειτουργία f(x, y)ενσωματωμένο σε ρε, έπειτα kf(x, y) tezh είναι ενσωματωμένο σε αυτό το galusi, επιπλέον (24.4)

2. Τι υπάρχει στην περιοχή ρελειτουργίες ολοκλήρωσης f(x, y)і g(x, y), τότε αυτές οι λειτουργίες ενσωματώνονται σε αυτήν τη συλλογή f(x, y) ± g(x, y), εγώ στο

3. Πώς να ενσωματωθεί στην περιοχή ρελειτουργίες f(x, y)і g(x, y) nerіvnіst f(x, y)≤g(x, y), έπειτα

(24.6)

Ας προσθέσουμε περισσότερη δύναμη στο under-integral:

4. Περιοχή Yakscho ρεχωρίζεται σε δύο περιοχές ρε 1 τα ρε 2 χωρίς λαμπερές εσωτερικές κουκκίδες και λειτουργία f(x, y)αδιάκοπα στην περιοχή ρε, έπειτα

(24.7) Φέρνοντας . Ολοκληρωμένο άθροισμα ανά περιοχή ρεμπορείτε να δείτε με μια ματιά:

διαίρεση της περιοχής ρεπραγματοποιείται με τέτοιο τρόπο ώστε μεταξύ ρε 1 τα ρεΤο 2 δημιουργείται ανάμεσα σε μέρη της μάχης. Περνώντας ιδρώτα στα σύνορα, αφαιρώντας παράλληλα την ισότητα (24,7).

5. Κατά τη στιγμή της ένταξης στις ρελειτουργίες f(x, y)αυτή η λειτουργία είναι ενσωματωμένη στο galus μου | f(x, y) |, και maє mistse nerіvnіst

(24.8)

Φέρνοντας.

αστέρια για βοήθεια στο συνοριακό πέρασμα σε περίπτωση νευρικότητας (24.8)

6. de Σ Δ– περιοχή της περιοχής ΡΕ.Η απόδειξη του οποίου ο ισχυρισμός αφαιρείται, αντικαθιστώντας το ακέραιο άθροισμα f(x, y)≡ 0.

7. Ακόμα ενσωματωμένο στην περιοχή ρελειτουργία f(x, y)ικανοποιεί τη νευρικότητα

m ≤ f(x, y) ≤ M,

έπειτα (24.9)

Φέρνοντας.

Η απόδειξη πραγματοποιείται με μια μετάβαση των ορίων από την εμφανή ανομοιομορφία

Συνέπεια.

Πώς να υποτάξετε όλα τα σημεία της νευρικότητας (24.9) στις ρε, μπορείτε να πάρετε το λεγόμενο θεώρημα μέσης τιμής:

Ζόκρεμα, για το μυαλό της αδιάλειπτης λειτουργίας φάσε ρευπάρχει ένα τέτοιο σημείο στην περιοχή ( x 0, y 0), στο yakіy φά(x 0, y 0) = μ , έπειτα

-

Μια άλλη διατύπωση του θεωρήματος της μέσης τιμής.

Γεωμετρικός ζμιστήςκατώτερο ολοκλήρωμα.

Ας δούμε το σώμα V, που περιβάλλεται από μια μερική επιφάνεια, αυτό που ζητείται από ίσους z = f(x, y),προβολή ρε tsієї επιφάνεια ανά επίπεδο huμια πλάκα κυλινδρική επιφάνεια, αποκομμένη από τις κάθετες, που συνδέει τα σημεία μεταξύ των επιφανειών με τις προεξοχές τους.

z = f(x, y)

V

y Πι ΔΕικ.2.

Shukatimemo ο όγκος του σώματος μεταξύ του αθροίσματος των όγκων των κυλίνδρων, οι βάσεις των οποίων είναι τα μέρη Δ Σιπεριφέρειες ρε, και κατά ύψη - vіdrіzki zavdovka φά(Πι), de points Πιψέμα Δ Σι. Περνώντας στα σύνορα με, otrimaemo, scho

(24.11)

που βρίσκεται υπό την επίδραση του ολοκληρώματος του λεγόμενου κυλίνδρου, που περιβάλλεται από το θηρίο στην επιφάνεια z = f(x, y), και κάτω - η περιοχή ρε.

Υπολογισμός του υπογραμμισμένου ολοκληρώματος από τη διαδρομή του συνδέσμου γιόγκα στο δεύτερο.

Περιοχή προοπτικής ρε, οριοθετείται από γραμμές x=a, x=b(ένα< b ), de φ 1 ( Χ) και φ 2 ( Χ) χωρίς διάλειμμα στις [ α, β]. Στη συνέχεια, να είναι ευθεία, παράλληλα με τον άξονα συντεταγμένων στοκαι περνούν από το εσωτερικό σημείο της περιοχής ρε, διασχίζοντας τον κλοιό της περιοχής σε δύο σημεία: Ν 1 τα Ν 2 (Εικ. 1). Ας ονομάσουμε αυτή την περιοχή σωστόςμέσα σε-

στοσωστός άξονας Ο στο. Ομοίως, είναι

y=φ 2 (Χ) υπάρχει μια περιοχή που είναι ακριβώς σε ευθεία γραμμή

Ν 2 άξονες Ο Χ. Περιοχή, σωστά σε απευθείας-

Nії και οι δύο άξονες συντεταγμένων, θα

ρεαπλά πείτε το σωστά. Για παράδειγμα,

Η σωστή περιοχή φαίνεται στο Σχ.1.

y=φ 1 (Χ) Ν 1

O a b x

Έλα λειτουργήστε f(x, y)αδιάκοπα στην περιοχή ρε. Κοιτάξτε το Viraz

, (24.12)

τάξη dvorazovym αναπόσπαστοτύπος λειτουργίας f(x, y)ανά περιοχή ρε. Ας υπολογίσουμε το εσωτερικό ολοκλήρωμα (στέκεται στους βραχίονες) αλλάζοντας στο, παρά Χ postiynim. Ως αποτέλεσμα, βλέπουμε αδιάλειπτη λειτουργίαθέα Χ:

Η λειτουργία Otrimanu είναι ενσωματωμένη για Χανάμεσα έναπριν σι. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε τον αριθμό

Φέρνουμε τη σημαντική δύναμη της αυλής αναπόσπαστο.

Θεώρημα 1. περιοχή Yakscho ρε, διορθώστε ευθεία στο, χωρίζεται σε δύο περιοχές ρε 1 τα ρε 2 ευθεία, παράλληλος άξονας Pro στοάξονας Abo Ο Χ, τότε το αναπόσπαστο dvorazovy πάνω από την περιοχή ρεπερισσότερα αθροίσματα των ίδιων ολοκληρωμάτων κατά περιοχές ρε 1 τα ρε 2:

Φέρνοντας.

α) Προχωρήστε ευθεία x = γφρένα ρεστο ρε 1 τα ρε 2, ευθεία στο. Todi

+

+

β) Προχωρήστε ευθεία y=hφρένα ρεδεξιά ευθεία στοπεριφέρειες ρε 1 τα ρε 2 (Εικ. 2). Σημαντικά μέσω Μ 1 (ένα 1 , η) ότι Μ 2 (σι 1 , η) σημεία της εγκάρσιας γραμμής της ευθείας y=hαπό τον κλοιό μεγάλοπεριφέρειες ρε.

yΠεριοχή ρε 1 που περιβάλλεται από αδιάκοπες γραμμές

y=φ 2 (Χ) 1) y=φ 1 (Χ);

ρε 2 2) καμπύλη ΑΛΛΑ 1 Μ 1 Μ 2 Στο, ίσο με αυτό που γράφουμε

η Μ 1 Μ 2 y=φ 1 *(Χ), δε φ 1 *(Χ) = φ 2 (Χ) στο α ≤ x ≤ α 1 τα

ΕΝΑ 1 ρε 1 ΒΒ 1 ≤ x ≤ β, φ 1 *(Χ) = ηστο ένα 1 ≤ x ≤ β 1 ;

3) ευθεία x = α, x = β.

Περιοχή ρε 2 που περιβάλλονται από γραμμές y=φ 1 *(Χ),

Ένα υ= φ 2 (Χ),ένα 1 ≤ x ≤ β 1 .

y=φ 1 (Χ) Μπορούμε να αποδείξουμε στο εσωτερικό ολοκλήρωμα το θεώρημα περί

ξεπερνώντας την ενσωμάτωση:

Ο α α 1 σι 1 σι

+

Ας δώσουμε ένα άλλο s otrimanih іntegraіv v vyglyadі sumi:

+ + .

Οσκίλκι φ 1 *(Χ) = φ 2 (Χ) στο α ≤ x ≤ α 1 τα σι 1 ≤ x ≤ β, Το πρώτο και το τρίτο αφαιρούν τα ολοκληρώματα και εξισώνονται στο μηδέν. Otzhe,

I D = , έπειτα .

Η κύρια δύναμη του υπο-ολοκληρώματος

Η κυριαρχία του υπο-ολοκληρώματος (αυτό το yogo visnovok) είναι ανάλογη με την κυριαρχία του εφάπαξ τραγουδιστικού ολοκληρώματος.

1°. Προσθετικότητα. Ποια είναι η λειτουργία φά(Χ, y) ενσωματωμένο στην περιοχή ρεκαι ως περιοχή ρεγια την καμπύλη βοήθειας σολη περιοχή μηδέν χωρίζεται σε δύο κρίκους και δεν φιμώνει τα υψηλά εσωτερικά σημεία της περιοχής ρε 1 τα ρε 2 και μετά η συνάρτηση φά(Χ, y) ενσωματώνεται σε περιοχές του δέρματος ρε 1 τα ρε 2, επιπλέον

2°. Γραμμική ισχύς. Ποιες λειτουργίες φά(Χ, y) ότι σολ(Χ, y) ένταξη στην περιοχή ρε, ένα α і β - είτε είναι αριθμοί ομιλίας, τότε η συνάρτηση [ α · φά(Χ, y) + β · σολ(Χ, y)] ενσωματώνεται επίσης στην περιοχή ρε, Εξάλλου

3°. Ποιες λειτουργίες φά(Χ, y) ότι σολ(Χ, y) ένταξη στην περιοχή ρε, τότε ενσωματώνονται πρόσθετες λειτουργίες αυτών των λειτουργιών ρε.

4°. Ποιες λειτουργίες φά(Χ, y) ότι σολ(Χ, y) επιθετική ολοκλήρωση στην περιοχή ρεκαι παντού στη γκαλερί μου φά(Χ, y) ≤ σολ(Χ, y), έπειτα

5°. Ποια είναι η λειτουργία φά(Χ, y) ενσωματωμένο στην περιοχή ρε, αυτές οι λειτουργίες | φά(Χ, y)| ενσωματωθεί στην περιοχή ρε, Εξάλλου

(Φυσικά, με ενσωμάτωση | φά(Χ, y)| σε ρεδεν δείχνει ενσωμάτωση φά(Χ, y) σε ρε.)

6°. Το θεώρημα της μέσης τιμής. Τι προσβλητική λειτουργία φά(Χ, y) ότι σολ(Χ, y) ένταξη στην περιοχή ρε, λειτουργία σολ(Χ, y) είναι αόρατο (μη θετικό) παντού σε αυτήν τη συλλογή, Μі Μ- ακριβή άνω και κάτω όρια της συνάρτησης φά(Χ, y) στην περιοχή ρε, τότε υπάρχει ένας αριθμός μ που ικανοποιεί τη νευρικότητα Μ ≤ μ ≤ Μκαι για να ισχύει ο τύπος

ΚΙΝΟΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

διάλεξη 1

Διατηρημένα ολοκληρώματα.Ο σκοπός του ολοκληρώματος υπόγειου ρεύματος είναι αυτός της ισχύος. Επαναλαμβανόμενες ενσωματώσεις. Σύνδεσμοι κατώτερων ολοκληρωμάτων με επαναλαμβανόμενα. Τοποθέτηση μεταξύ της ολοκλήρωσης. Υπολογισμός των υποκείμενων ολοκληρωμάτων του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων.

Το υπο-ολοκλήρωμα είναι μια εμβάθυνση της κατανόησης του ολοκληρώματος τραγουδιού σε διαφορετικές συναρτήσεις δύο μεταβλητών. Με αυτόν τον τρόπο, το αντίστροφο της ολοκλήρωσης θα είναι παρόν ως μια επίπεδη φιγούρα.

Ελα ρε- Η Dejaka είναι μια κλειστή, οριοθετημένη περιοχή και φά(x,y) - επαρκής λειτουργία, επισημάνθηκε από αυτήν τη συλλογή. Ας υποθέσουμε ότι μεταξύ περιοχών ρεαθροίζονται από τον τελικό αριθμό των καμπυλών, που δίνονται από τους ίσους του νου y=φά(Χ) ή Χ=g( y), δε φά(Χ) ότι σολ(y) είναι αδιάκοπες συναρτήσεις.

Περιοχή Rozib'ёmo ρεαξιοπρεπής κατάταξη nμέρος. περιοχή Εγώ-ї delyanki έχει νόημα από το σύμβολο D s i. Στο δέρμα ντιλυάντση, ένα αρκετά vibe είναι ένα σημείο Πι,και αφήστε το να βγει στο be-yak_y καθορίζοντας τις maє συντεταγμένες του καρτεσιανού συστήματος ( x i, y i). Σκλαδέμο αναπόσπαστο άθροισμαγια τη λειτουργία φά(x,y) ανά περιοχή ΡΕ,για την οποία η τιμή της συνάρτησης είναι γνωστή σε όλα τα σημεία Πι, πολλαπλασιάζοντας το їх με το εμβαδόν των διπλών οικοπέδων Ds ΕγώΚαι υποθέτουμε ότι όλα τα αποτελέσματα αφαιρούνται:

Nazvemo διάστ(σολ) περιοχές σολη μεγαλύτερη απόσταση μεταξύ των οριακών σημείων της περιοχής.

Αναπόσπαστο λειτουργίες f(x,y) στην περιοχή Δ λέγεται όριο, σε ποιο βαθμό η ακολουθία των ολοκληρωτικών αθροισμάτων (1.1) με απεριόριστη αύξηση του αριθμού των διαλειμμάτων n (σε ποιον). Γράψε έτσι

Αγαπητέ, scho, vzagali φαινομενικά, το αναπόσπαστο άθροισμα για ορίσετε λειτουργίεςκαι τη δεδομένη περιοχή ολοκλήρωσης ρεγια να επιλέξετε σημείο Πι. Προστατέψτε το yakshcho podviyny іsnuє іsnuє, tse σημαίνει, ότι μεταξύ των ολοκληρωμένων ποσών vіdpovіdny δεν είναι δυνατό να βρίσκεται μεταξύ των διορισμένων chinnikіv. Για να(ή, όπως φαίνεται, γενική συνάρτηση f(x,y) είναι ενσωματωμένη στον τομέα D), αρκεί η ολοκληρωτική συνάρτηση του bool αδιάκοποςστην ενσωμάτωση της συλλογής εργασιών.

Έλα λειτουργήστε φά(x,y) ενσωματωμένο στην περιοχή ρε. Τα θραύσματα μεταξύ των αθροιστικών ποσών για τέτοιες συναρτήσεις δεν μπορούν να συσσωρευτούν με τη μέθοδο διαχωρισμού της περιοχής ολοκλήρωσης, ο διαχωρισμός μπορεί να πραγματοποιηθεί για τη βοήθεια κάθετων και οριζόντιων γραμμών. Todі περισσότεροι επιχειρηματίες της περιοχής ρε matime straight-cut look, η περιοχή ενός τέτοιου dorivnyu D s i=Δ x iρε y i. Επομένως, η διαφορά επιφάνειας μπορεί να γραφτεί ως ds=dxdy. Otzhe, στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων κάτω από τα ολοκληρώματαμπορείτε να γράψετε στο θέαμα

Σεβασμός. Όπως η συνάρτηση ολοκληρώματος f(x,y)º1, τότε το υπο-ολοκλήρωμα της περιοχής της περιοχής ολοκλήρωσης είναι:

Είναι σημαντικό ότι οι υπογραμμισμένες ενσωματώσεις μπορεί να είναι ίδιας ισχύος, καθώς και μεμονωμένα. Οι πράξεις τους είναι σημαντικές.

Ισχύς των δευτερευόντων ολοκληρωμάτων.

1 0 .Γραμμική ισχύς. Ολοκλήρωμα του αθροίσματος των συναρτήσεων του άλλου αθροίσματος των ολοκληρωμάτων:

και σταθερός πολλαπλασιαστής μπορεί να κατηγορηθεί για το πρόσημο του ολοκληρώματος:

2 0 .Προσθετική ισχύς. Δεδομένου ότι η περιοχή ολοκλήρωσης D χωρίζεται σε δύο μέρη, τότε το υποολοκλήρωμα είναι πιο πλήρες από το άθροισμα των ενσωματώσεων στο τμήμα του δέρματος:

3 0 .Το θεώρημα του μέσου όρου. Ποια είναι η λειτουργίαφά( x,y)είναι συνεχής στην περιοχή D, τότε υπάρχει ένα τέτοιο σημείο στη γκαλερί(x, h) , τι:

Περαιτέρω μετά τη διατροφή: πώς υπολογίζονται τα υποολοκληρώματα; Το Yogo μπορεί να είναι virahuvati περίπου, με αυτή τη μέθοδο σπάει αποτελεσματικές μεθόδουςδιπλωμένα αθροίσματα αθροιστικών ποσών, τα οποία στη συνέχεια υπολογίζονται αριθμητικά με επιπλέον EOM. Με έναν αναλυτικό υπολογισμό των υποολοκληρωμάτων, μειώνονται σε δύο ολοκληρώματα sing.