Λύση σειρών μήτρας. Μαθηματικά για τσαγιέρες Πίνακες και οι κυριότερες από πάνω τους. Λειτουργία μεταφοράς μήτρας

Η μεθοδική βοήθεια της Δανίας θα σας βοηθήσει να μάθετε πώς να κερδίζετε dії με πίνακες: προσθήκη (αφαίρεση) πινάκων, μεταφορά πινάκων, πολλαπλασιασμός πινάκων, σημασία του πίνακα περιστροφής. Όλα τα υλικά των καταθέσεων είναι σε απλές και προσιτές μορφές, γίνονται με τον ίδιο τρόπο, σε μια τέτοια κατάταξη, ένας απροετοίμαστος μπορεί να μάθει πώς να δουλεύει με μήτρες. Για αυτοέλεγχο και αυτοεπαλήθευση, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την αριθμομηχανή matrix >>> χωρίς κόστος.

Προσπαθώ να ελαχιστοποιήσω τις θεωρητικές υποκατηγορίες, αν μπορείτε να εξηγήσετε «στα δάχτυλα» αυτούς τους μη επιστημονικούς όρους. Λάτρεις της θεωρίας του εδάφους, να είστε ευγενικοί, μην ασκείτε κριτική, το καθήκον μας είναι μάθετε πώς να μάθετε πώς να χρησιμοποιείτε πίνακες.

Για επιφανειακή προετοιμασία για το θέμα (ποιος "καίει") - ένα εντατικό μάθημα pdf Matrix, vyznachnik εκείνη την αίθουσα!

Η μήτρα είναι ένα ορθογώνιο τραπέζι, είτε πρόκειται στοιχεία. Στο yakost στοιχείαμπορούμε να δούμε τους αριθμούς, δηλαδή τους πίνακες αριθμών. ΣΤΟΙΧΕΙΟ- Τσε τερματικό. Ο όρος πρέπει να θυμόμαστε, τα κρασιά είναι συχνά μουντζούρα, δεν βικορίσταβ για αυτό το όραμα με έντονους χαρακτήρες.

Ονομασία:οι μήτρες ακούγονται με υπέροχα λατινικά γράμματα

Βαρέλι:Ας ρίξουμε μια ματιά στον πίνακα δύο προς τρία:

Αυτός ο πίνακας αποτελείται από έξι στοιχεία:

Όλοι οι αριθμοί (στοιχεία) στη μέση του πίνακα μπορούν να βρεθούν μόνοι σας, επομένως δεν μπορείτε να βρείτε τίποτα σχετικά με αυτό:

Είναι απλά ένας πίνακας (σετ) αριθμών!

Οπότε είμαστε σπίτι μην αναδιατάξετεαριθμός, ο οποίος δεν αναφέρεται στις επεξηγήσεις. Ο αριθμός δέρματος έχει τη δική του θέση σήψης και είναι αδύνατο να τα ανακατέψετε!

Εξετάζεται ο πίνακας, έχει δύο σειρές:

και τρεις πυλώνες:

ΠΡΟΤΥΠΟ: αν μιλάμε για την επέκταση του πίνακα, τότε στο στάχυυποδεικνύουν τον αριθμό των σειρών και, στη συνέχεια, τον αριθμό των στηλών. Σιγά σιγά τακτοποίησαν τη μήτρα «δύο με τρία» με πινέλα.

Εάν ο αριθμός των σειρών και των στηλών του πίνακα είναι zbіgaєtsya, τότε ο πίνακας ονομάζεται τετράγωνο, για παράδειγμα: - μήτρα τρία προς τρία.

Όπως σε μια μήτρα μια γραμμή ή μια σειρά, αυτοί οι πίνακες ονομάζονται επίσης φορείς.

Γνωρίζουμε πραγματικά τους πίνακες από τα σχολεία, ας δούμε, για παράδειγμα, ένα σημείο με συντεταγμένες "iks" και "iplayer": . Στην πραγματικότητα, οι συντεταγμένες του σημείου γράφονται σε πίνακα ένα προς δύο. Πριν από την ομιλία, ο άξονας προς εσάς είναι ένα παράδειγμα, γιατί η σειρά των αριθμών μπορεί να είναι σημαντική: i - tse δύο διαφορετικά σημεία του επιπέδου.

Τώρα ας προχωρήσουμε χωρίς προβλήματα στο γάμο diy από μήτρες:

1) Diya persha. Το σφάλμα του μείον από τον πίνακα (εισαγωγή του μείον στον πίνακα).

Ας στραφούμε στη μήτρα μας . Όπως θυμηθήκατε, η μήτρα μου έχει πάρα πολλούς αρνητικούς αριθμούς. Είναι ακόμα πιο άβολο με το βλέμμα του σκαρίφημα των μικρών με τη μήτρα, την αχειροποίητη γραφή των μείον νότων, ότι κάποιος φαίνεται απλώς άσχημος στο σχέδιο.

Κατηγορούμε το μείον για τους ενδιάμεσους πίνακες, αλλάζοντας το πρόσημο του στοιχείου SKIN της μήτρας:

Στο μηδέν, όπως γνωρίζετε, το πρόσημο δεν αλλάζει, μηδέν - κρασί και μηδέν στην Αφρική.

Zvorotny πισινό: . Κοιτάζω συγκαταβατικά.

Εισάγουμε ένα μείον στη μήτρα, αλλάζοντας το πρόσημο του στοιχείου SKIN της μήτρας:

Λοιπόν, άξονας, πλούσια συμπαθητική veyshlo. Εγώ, naygolovnіshe, θα είναι ΠΙΟ ΕΥΚΟΛΟ να νικήσεις το matrix. Γιατί είναι τόσο μαθηματικό λαϊκά prikmeta: τα περισσότερα μειονεκτήματα - τόσο περισσότεροι απατεώνες και συγχωροχάρτια.

2) Dia φίλη. Πολλαπλασιάζοντας έναν πίνακα με έναν αριθμό.

Βαρέλι:

Είναι απλό, για να πολλαπλασιάσετε τον πίνακα με έναν αριθμό, χρειάζεστε δέρμαπολλαπλασιάστε το στοιχείο του πίνακα επί ολόκληρος ο αριθμός. Στο στον συγκεκριμένο τύπο- Τρεις.

Ένας ακόμα καφέ πισινός:

– πολλαπλασιασμός πίνακα με ντριμπ

Στο πίσω μέρος του κεφαλιού, κοιτάμε αυτούς που είναι robiti ΔΕΝ ΑΠΑΙΤΕΙΤΑΙ:

Η εισαγωγή drіb στη μήτρα ΔΕΝ ΑΠΑΙΤΕΙΤΑΙ, κατά πρώτον τρόπο, είναι πιο εύκολο να το διπλώσεις πιο μακριά από τη μήτρα, με διαφορετικό τρόπο, απλοποιεί την εκ νέου επαλήθευση της λύσης από το vikladach (ειδικά, το yakscho - Υπολειμματική επίταξη).

Τιμ περισσότερο, ΔΕΝ ΑΠΑΙΤΕΙΤΑΙδιαστάσεις του στοιχείου δέρματος της μήτρας κατά μείον sіm:

Τρία στατιστικά Μαθηματικά για ανδρείκελα ή γιατί αλλιώς, το θυμόμαστε δεκαδικά κλάσματαμε τους οποίους όλοι οι άλλοι μαθηματικοί προσπαθούν να είναι μοναδικοί.

Ενα πράγμα bagan robiti στην αίτησή σας - tse προσθέστε ένα μείον στον πίνακα:

Και από το yakby ΟΛΑΤα στοιχεία μήτρας διαιρέθηκαν με 7 χωρίς υπερβολή, Τότε μπορείτε (και πρέπει!) Boulo b podіlit.

Βαρέλι:

Προς ποια κατεύθυνση μπορώ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΗπολλαπλασιάστε όλα τα στοιχεία του πίνακα με , έτσι ώστε όλοι οι αριθμοί του πίνακα να διαιρεθούν με το 2 χωρίς υπερβολή.

Σημείωση: θεωρητικά ανώτερα μαθηματικάδεν υπάρχει κανένας μαθητής που να κατανοεί το "podіl". Αντί για τη φράση "μην προσθέτετε σε αυτό" μπορείτε πάντα να πείτε "πολλαπλασιάστε με περισσότερο". Tobto podіl - tse okremia vpadok πληθυντικός αριθμός.

3) Diya τρίτη. Μεταφορά μήτρας.

Για τη μεταφορά του πίνακα, είναι απαραίτητο να γράψετε γραμμές στις στήλες του μετατιθέμενου πίνακα.

Βαρέλι:

Μεταφέρετε έναν πίνακα

Υπάρχει μόνο μία σειρά εδώ και, σύμφωνα με τον κανόνα, είναι απαραίτητο να τη γράψετε στη στήλη:

είναι ο μετατιθέμενος πίνακας.

Ο μετατιθέμενος πίνακας υποδεικνύεται από έναν δείκτη εκθέτη ή ένα χτύπημα ενός δεξιόχειρα χελιού.

Κάλυμμα πισινό:

Μεταφέρετε έναν πίνακα

Στο πίσω μέρος, ξαναγράφουμε την πρώτη σειρά στο πρώτο βήμα:

Ας ξαναγράψουμε μια άλλη σειρά σε μια άλλη σειρά:

І, nareshti, ξαναγράψτε την τρίτη σειρά στις τρίτες εστίες:

Ετοιμος. Χονδρικά, η μετατόπιση σημαίνει την πλάγια περιστροφή της μήτρας.

4) Diya τέταρτο. Πίνακας αθροίσματος (λιανικής)..

Το άθροισμα των πινάκων diya είναι άβολο.
ΔΕΝ ΜΠΟΡΟΥΝ ΝΑ ΔΙΠΛΩΘΟΥΝ ΟΛΕΣ ΟΙ ΜΗΤΡΕΣ. Για τις πτυσσόμενες μήτρες vykonannya (vіdnіmannya), είναι απαραίτητο η δυσοσμία των μπουλών να είναι ίδια ΓΙΑ ROZMIROM.

Για παράδειγμα, εάν δοθεί ένας πίνακας "δύο με δύο", τότε μπορείτε να τον προσθέσετε μόνο στον πίνακα "δύο προς δύο" και με οποιονδήποτε άλλο τρόπο!

Βαρέλι:

Διπλώστε τις μήτρες і

Για να διπλώσετε τις μήτρες, είναι απαραίτητο να διπλώσετε τα απαιτούμενα στοιχεία τους:

Για διαφορετικούς πίνακες, ο κανόνας είναι παρόμοιος, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τη διαφορά μεταξύ διαφορετικών στοιχείων.

Βαρέλι:

Γνωρίστε τη διαφορά των πινάκων ,

Και πώς μπορείτε να κάνετε αυτόν τον πισινό πιο απλό, για να μην χαθείτε; Μην διστάσετε να προσθέσετε τα μείον, για τα οποία θα προσθέσουμε ένα μείον στον πίνακα:

Σημείωση: θεωρητικά, δεν υπάρχει κατανόηση των μαθηματικών στο γυμνάσιο. Αντί για τη φράση «ό,τι βλέπετε» μπορείτε πάντα να πείτε «να προσθέσετε έναν αρνητικό αριθμό». Tobto vіdnimannya - tse okremy vipadok διπλωμένο.

5) Diya p'yata. Αναπαραγωγή πινάκων.

Ποιοι πίνακες μπορούν να πολλαπλασιαστούν;

Έτσι ώστε ο πίνακας να μπορεί να πολλαπλασιαστεί με τον πίνακα όπως απαιτείται, έτσι ώστε ο αριθμός των στηλών στον πίνακα να είναι ίσος με τον αριθμό των σειρών του πίνακα.

Βαρέλι:
Μπορείτε να πολλαπλασιάσετε έναν πίνακα με έναν πίνακα;

Και πάλι, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε αυτούς τους πίνακες.

Και από τον ίδιο πίνακα, αναδιατάξτε τις αποστολές, τότε με αυτόν τον τρόπο, ο πολλαπλασιασμός είναι ήδη αδύνατος!

Otzhe, vikonati πληθυντικός είναι αδύνατο:

Δεν είναι τόσο συχνά που οι εργασίες ξεγελιούνται με κόλπα, εάν ένας μαθητής ενθαρρύνεται να πολλαπλασιάσει πίνακες, ο πολλαπλασιασμός των οποίων είναι προφανώς αδύνατος.

Η διαφάνεια δείχνει ότι ένας αριθμός μεταβλητών μπορεί να πολλαπλασιάσει πίνακες і so, і so.
Για παράδειγμα, για πίνακες, το i μπορεί να πολλαπλασιαστεί, έτσι θα πολλαπλασιαστεί

Ο ορθογώνιος πίνακας επέκτασης mxn είναι το άθροισμα των αριθμών mxn, που είναι διατεταγμένοι σε έναν ορθογώνιο πίνακα, προκειμένου να εκδικηθούν σειρές m και n στηλών. Θα γράψουμε її εν όψει

Διαφορετικά, όταν εξετάζουμε το A = (a i j) (i = ; j = ), οι αριθμοί a i j ονομάζονται στοιχεία її. ο πρώτος δείκτης δείχνει στον αριθμό της σειράς, ο άλλος - στον αριθμό της σειράς. Τα A \u003d (a i j) και B \u003d (b i j) του ίδιου μεγέθους ονομάζονται ίσα, αφού τα στοιχεία είναι ίσα σε ζεύγη, επομένως στέκονται στα ίδια σημεία, μετά A \u003d B, άρα a i j \u003d b i j.

Ένας πίνακας που διπλώνεται από μια γραμμή ή μια στήλη ονομάζεται διάνυσμα γραμμής ή στήλης. Τα διανύσματα στοιβασίας και τα διανύσματα σειρών ονομάζονται απλώς διανύσματα.

Ένας πίνακας που έχει έναν αριθμό αντιστοιχίζεται σε αυτόν τον αριθμό. Ένα rozmіru mxn, όλα τα στοιχεία που είναι ίσα με μηδέν, ονομάζονται μηδέν και εκχωρούνται μέσω του 0. Τα στοιχεία με τους ίδιους δείκτες ονομάζονται στοιχεία της διαγωνίου κεφαλής. Εάν ο αριθμός των σειρών είναι ίσος με τον αριθμό των στρωμένων, τότε m = n, τότε ο πίνακας ονομάζεται τετράγωνη τάξη n. Οι τετράγωνοι πίνακες, που έχουν μηδέν ή περισσότερα στοιχεία της διαγώνιου της κεφαλής, ονομάζονται διαγώνιοι και γράφονται ως εξής:

.

Αν όλα τα στοιχεία a i i αθροιστούν διαγώνια σε 1, τότε λέγεται μονό και συμβολίζεται με το γράμμα Ε:

.

Μια τετράγωνη μήτρα ονομάζεται tricot, επειδή όλα τα στοιχεία που βρίσκονται ψηλότερα (ή χαμηλότερα) από τη διαγώνιο της κεφαλής, είναι ίσα με μηδέν. Μια μεταφορά ονομάζεται τέτοιος μετασχηματισμός, όταν οι σειρές και οι στήλες αλλάζουν κατά θέσεις στην αποταμίευση των αριθμών τους. Υποδεικνύεται από το εικονίδιο μεταφοράς T στο επάνω μέρος.

Αφού στην (4.1) μπορούμε να αναδιατάξουμε τις σειρές με στήλες, τότε παίρνουμε

,

σαν να μεταφέρεται από τον A. Zokrem, κατά τη μεταφορά του vector-stovptsya, θα εμφανιστεί το row-vector και το navpacki.

Υποσυνιστώσα Και ο αριθμός b ονομάζεται πίνακας, τα στοιχεία του οποίου προέρχονται από τα δεύτερα στοιχεία του Α για να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό b: b A = (b a i j).

Το άθροισμα A = (a i j) και B = (b i j) μιας διάστασης ονομάζεται C = (c i j) της ίδιας διάστασης, τα στοιχεία της οποίας αποδίδονται στον τύπο c i j = a i j + b i j .

Το Dobutok AB σχετίζεται με την αποδοχή, επομένως ο αριθμός των στηλών Α είναι ίσος με τον αριθμό των σειρών U.

Dobutkom AB, de А = (a i j) і B = (b j k), de i = , j = , k = , που εκχωρείται στην εκχωρημένη σειρά AB, που ονομάζεται C = (c i k), τα στοιχεία εκχωρούνται σε έναν τέτοιο κανόνα:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)

Διαφορετικά, φαίνεται ότι το στοιχείο της δημιουργίας ΑΒ έχει εκχωρηθεί με την ακόλουθη σειρά: το στοιχείο της i-ης σειράς και της k-ης στήλης είναι το πιο όμορφο άθροισμα των δημιουργικών στοιχείων της i-ης σειράς A στην τα εξαρτημένα στοιχεία της k-ης στήλης Β.

πισινό 2.1. Γνωρίστε το doboot AB i.

Λύση. Μάιος: A rozmіru 2x3, rozmіru 3x3, στη συνέχεια dobutok AB \u003d C іsnuє і στοιχεία С ίσα

Z 11 = 1x1 +2x2 + 1x3 = 8, Z 21 = 3x1 + 1x2 + 0x3 = 5, Z 12 = 1x2 + 2x0 + 1x5 = 7,

s 22 = 3x2 + 1x0 + 0x5 = 6, s 13 = 1x3 + 2x1 + 1x4 = 9, s 23 = 3x3 + 1x1 + 0x4 = 10 .

και το tvir BA δεν είναι αλήθεια.

πισινό 2.2. Ο πίνακας δείχνει τον αριθμό των μεμονωμένων προϊόντων που λαμβάνονται καθημερινά στα γαλακτοκομεία 1 και 2 στα καταστήματα M 1, M 2 και M 3, επιπλέον, η παράδοση ενός μόνο προϊόντος από το skin dairy στο κατάστημα M 1 κοστίζει 50 den. ένα, προς το κατάστημα M 2 - 70, και M 3 - 130 den. ένας. Pіdrakhuvat schodennі βυρσοδεψείο μεταφοράς vitrati.

γαλακτοκομείο

Λύση. Σημαντικά μέσω μιας μήτρας, που μας δόθηκε για κατανόηση, και μέσω
Β - μια μήτρα που χαρακτηρίζει τη μεταβλητότητα της παράδοσης ενός μόνο προϊόντος του καταστήματος, tobto,

,

Todo matrix vitrate στο μεταφερόμενο matima φαινόταν:

Επίσης, το πρώτο εργοστάσιο βιτρώ κοστολογείται αυτή τη στιγμή στα 4.750 grosz. το ένα, το άλλο - 3680 den.

πισινό 2.3. Η επιχείρηση ραπτικής ετοιμάζει χειμωνιάτικα παλτό, παλτό ντεμί εποχής και αδιάβροχα. Η προγραμματισμένη απελευθέρωση για μια δεκαετία χαρακτηρίζεται από το διάνυσμα X = (10, 15, 23). Vykorivuyutsya υφάσματα chotirioh τύπους T1, T2, T3, T4. Στον πίνακα, οι νόρμες του vitrati ιστών (μέτρα) για τη δόνηση του δέρματος. Ο φορέας С = (40, 35, 24, 16) υποδεικνύει τη μεταβλητότητα του μετρητή του ιστού του τύπου δέρματος και ο φορέας P = (5, 3, 2, 2) - τη διακύμανση του μεταφερόμενου μετρητή του ιστού δερματικού τύπου.

	Υφάσματα Vitrata
Χειμερινό παλτό
Παλτό demi-season

Γραμμική άλγεβρα

Πίνακες

μήτρα rozmіru m x n - tse ευθύγραμμος πίνακας αριθμών, για εκδίκηση m σειρών και n stoptsіv. Οι αριθμοί που συνθέτουν έναν πίνακα ονομάζονται στοιχεία μήτρας.

Οι πίνακες χαρακτηρίζονται με μεγάλα λατινικά γράμματα και τα στοιχεία - με τα ίδια, μικρά γράμματα με ευρετηρίαση κάτω από σύρμα.

Για παράδειγμα, ας δούμε τον πίνακα Α με διαστάσεις 2 x 3:

Αυτός ο πίνακας έχει δύο σειρές (m = 2) και τρεις σειρές (n = 3), δηλαδή. won αποτελείται από έξι στοιχεία ένα ij de i - αριθμός σειράς, j - αριθμός σειράς. Με αυτό, η τιμή είναι 1 προς 2, και η τιμή ενός είναι μέχρι τρία (καταγράφεται). Ζόκρεμα, α 11 = 3; a12 = 0; a 13 = -1; a 21 = 0; a 22 = 1,5; α 23 = 5.

Καλούνται οι πίνακες Α και Β ίδιου μεγέθους (m x n). ίσος, ώστε η δυσωδία να είναι στοιχείο-στοιχείο zbіgayutsya, tobto. a ij = b ij για , τότε. για οποιοδήποτε i και j (μπορείτε να γράψετε "i, j").

μήτρα σειρών- η ίδια μήτρα που διπλώνεται από μια σειρά και μήτρα-σφραγίδα- Tse matrix που διπλώνεται από ένα stovptsya.

Για παράδειγμα, είναι ένας πίνακας σειρών και .

τετράγωνη μήτραστην ν-η σειρά - ο πίνακας, μέχρι μια γραμμή μέχρι τον αριθμό των στηλών και μέχρι n.

Για παράδειγμα, ένας τετραγωνικός πίνακας διαφορετικής τάξης.

Διαγώνιοςστοιχεία μήτρας – στοιχεία στόχου, για τα οποία ο αριθμός σειράς είναι ίσος με τον αριθμό της στήλης (a ij, i = j). Τα στοιχεία Qi ικανοποιούν κύρια διαγώνιομήτρες. Στο μπροστινό άκρο, η κύρια διαγώνιος αποτελείται από στοιχεία a 11 = 3 και a 22 = 5.

Διαγώνιος πίνακας- Αυτός είναι ένας τετράγωνος πίνακας, στον οποίο όλα τα στοιχεία εκτός διαγώνιου είναι ίσα με μηδέν. Για παράδειγμα, - Διαγώνιος πίνακας τρίτης τάξης. Εάν ναι, όλα τα διαγώνια στοιχεία είναι ίσα με ένα, τότε ο πίνακας καλείται μονήρης(Οι ήχοι δηλώνονται με το γράμμα Ε). Για παράδειγμα, - Μόνος μήτρα τρίτης τάξης.

Ο πίνακας ονομάζεται μηδένέτσι ώστε όλα τα στοιχεία її ίσα με μηδέν.

Ο τετραγωνικός πίνακας ονομάζεται πλεκτόάρα όλα τα στοιχεία κάτω (ή πάνω) από τη διαγώνιο της κεφαλής είναι ίσα με μηδέν. Για παράδειγμα, - Tricut matrix τρίτης τάξης.

Πράξεις σε πίνακες

Οι ακόλουθες λειτουργίες μπορούν να εκτελεστούν σε πίνακες:

1. Πολλαπλασιάζοντας έναν πίνακα με έναν αριθμό. Ο πρόσθετος πίνακας για τον αριθμό l είναι ο πίνακας B = lА, τα στοιχεία του οποίου είναι b ij = la ij για οποιοδήποτε i i j.

Για παράδειγμα, το yakscho, λοιπόν .

2. Προσθήκη πινάκων. Το άθροισμα δύο πινάκων A і ίδιου μεγέθους m x n ονομάζεται πίνακας C \u003d A + B, τα στοιχεία του οποίου είναι ij \u003d a ij + b ij για "i, j.

Για παράδειγμα, όπως έπειτα

.

Είναι σημαντικό ότι μέσω της μετωπικής επέμβασης είναι δυνατό να οπτική μήτραίδιο μέγεθος: διαφορά Α-Β\u003d A + (-1) * Άρθ.

3. Αναπαραγωγή πινάκων. Ο πρόσθετος πίνακας A που επεκτάθηκε m x n στον εκτεταμένο πίνακα n x p ονομάζεται ένας τέτοιος πίνακας C, το στοιχείο δέρματος του οποίου s ij συμπληρώνει το άθροισμα των στοιχείων της i-ης σειράς του πίνακα A στα ορατά στοιχεία του j-ου στήλη της μήτρας, tobto. .

Για παράδειγμα, όπως

, τότε η επέκταση της δημιουργίας μήτρας θα είναι 2 x 3 και προσέξτε τη μητέρα:

Με αυτόν τον τρόπο, ο πίνακας Α ονομάζεται στενός πίνακας.

Με βάση την πράξη πολλαπλασιασμού για τετραγωνικούς πίνακες, η πράξη συνδέσμους στα πόδια. Το θετικό σκαλί A m (m > 1) του τετραγωνικού πίνακα A ονομάζεται πρόσθετοι m πίνακες ίσοι με A, tobto.

Ας πούμε, ότι η πρόσθεση (αντικατάσταση) και ο πολλαπλασιασμός των πινάκων δεν προορίζονται για δύο πίνακες, αλλά μόνο για το τραγούδι των περισσότερων, που ευχαριστεί, στον δικό του βαθμό. Για znakhodzhennya sumi chi rіznitі πίνακες їх rozmіr obov'yazkovo μπορεί να είναι το ίδιο. Για τη δημιουργία πινάκων, ο αριθμός των στηλών στην πρώτη μπορεί να αυξηθεί κατά τον αριθμό των σειρών στην άλλη (τέτοιοι πίνακες ονομάζονται παρακαλώ ζενιμι).

Ας δούμε τις δυνάμεις των πράξεων που εξετάζονται, ανάλογες με τις δυνάμεις των πράξεων στους αριθμούς.

1) Ανταλλαγή (μετατόπιση) νόμος αναδίπλωσης:

Α + Β = Β + Α

2) Συνειρμικός (χαρούμενος) αναδιπλούμενος νόμος:

(Α + Β) + Γ = Α + (Β + Γ)

3) Κατανεμητικός (εξάπλωση) νόμος πολλαπλασιασμού πώς να διπλώσετε:

l(A + B) = lA + lB

A(B+C) = AB+AC

(A + B) C = AC + BC

5) Συνειρμικός (χαρούμενος) νόμος πολλαπλασιασμού:

l (AB) \u003d (lA) B \u003d A (lB)

A(BC) = (AB)C

Υποστηρίζεται ότι ο μεταβαλλόμενος νόμος πολλαπλασιασμού για πίνακες δεν αλλάζει προς την αντίθετη κατεύθυνση, δηλαδή. AB ¹ BA. Επιπλέον, από τη βάση ΑΒ, η βάση ΒΑ δεν προφέρεται απαραιτήτως (οι πίνακες μπορεί να μην είναι αποδεκτοί, και ακόμη και οι ίδιες dobuts δεν εκχωρούνται, όπως στην περίπτωση του επαγόμενου άκρου, το πλήθος των πινάκων). Ale navіt yakscho do offence, do it, βρωμάει βρυχηθμός raznі.

Με καλό τρόπο, ο αντιμεταθετικός νόμος μπορεί να προσθέσει έναν τετράγωνο πίνακα Α σε έναν μόνο πίνακα της ίδιας τάξης, επιπλέον, αυτό αθροίζεται στο Α (ο πολλαπλασιασμός με έναν μόνο πίνακα εδώ είναι παρόμοιος με τον πολλαπλασιασμό με ένα κατά τον πολλαπλασιασμό αριθμών):

ΑΕ = ΕΑ = Α

Αληθής,

Προσθέτουμε μια ακόμη πολλαπλότητα πινάκων σε πολλαπλασιασμούς αριθμών. Μπορούν να προστεθούν περισσότεροι αριθμοί είτε στο μηδέν, είτε λιγότεροι από αυτό, εάν θέλετε ένας από αυτούς να είναι ίσος με μηδέν. Είναι αδύνατο να πούμε για πίνακες, tobto. επιπλέον μη μηδενικοί πίνακες μπορούν να προστεθούν σε μηδενικούς πίνακες. Για παράδειγμα,

Ας ρίξουμε μια ματιά στις πράξεις σε πίνακες.

4. Μεταφορά μήτραςє λειτουργία μετάβασης από τον πίνακα A στην επέκταση m x n στον πίνακα A T στην επέκταση n x m, στις ίδιες σειρές και στήλες μνημονεύτηκαν με κενά:

%.

Η ισχύς της πράξης μεταφοράς:

1) Επιλέξαμε τα εξής, για να μεταφερθεί ο πίνακας σε δύο, θα στραφούμε στον πίνακα εξόδου: (AT) T = A.

2) Ο σταθερός πολλαπλασιαστής μπορεί να κατηγορηθεί για το πρόσημο μεταφοράς: (lА) T = lА T .

3) Μεταφορά κατανεμητικά πολλαπλασιαζόμενων πρόσθετων πινάκων: (AB) T = B T A T i (A + B) T = B T + A T .

Πίνακες

Για τον τετράγωνο πίνακα του δέρματος A, πληκτρολογήστε τον αριθμό |A| vyznachnik. Η Innodi yoga συμβολίζεται με το γράμμα D.

Tse є σημαντικό στην κορυφή των χαμηλών πρακτικών εργασιών. Σημαντικά η γιόγκα μέσω της μεθόδου υπολογισμού.

Για έναν πίνακα πρώτης τάξης її το μοναδικό στοιχείο |А| = D1 = a11.

Για έναν πίνακα διαφορετικής τάξης її, ένας αριθμός ονομάζεται σημαίνον, καθώς υπολογίζεται μετά τον τύπο |A| \u003d D 2 \u003d a 11 * a 22 - a 21 * a 12

Για έναν πίνακα Α τρίτης τάξης її ο αριθμός ονομάζεται σημαίνον, όπως υπολογίζεται μετά τον τύπο

Αντιπροσωπεύει το άθροισμα της άλγεβρας, το οποίο αποτελείται από 6 προσθήκες, στο δέρμα των οποίων εισάγεται ακριβώς ένα στοιχείο από τη σειρά του δέρματος και η μήτρα της μήτρας δέρματος. Για την απομνημόνευση της φόρμουλας του vyznachnik, συνηθίζεται να επιταχύνετε τον λεγόμενο κανόνα των τεχνασμάτων ή τον κανόνα του Sarrus (Εικ. 6.1).

Στο μικρό 6.1, εμφανίζεται το σχέδιο του κακού, πώς να επιλέξετε στοιχεία για προσθήκες με σύμβολο συν, - η δυσοσμία είναι perebuvayut στη διαγώνιο της κεφαλής και στις κορυφές των ίσων μηριαίων τρικούτνικ και τα βάζετε παράλληλα. Το σχέδιο του zlіva vikoristovuєtsya για dodankіv zі σημάδι "μείον"? σε αυτό, ο αναπληρωτής της διαγώνιας κεφαλής λαμβάνεται λεγόμενη πλευρά.

Οι αρχηγοί των υψηλότερων τάξεων υπολογίζονται με αναδρομικό τρόπο, tobto. διάδοχος τέταρτης τάξης μέσω διαδόχου τρίτης τάξης, διάδοχος πέμπτης τάξης μέσω διαδόχου τέταρτης τάξης κ.λπ. Για να περιγράψουμε τη μέθοδο, είναι απαραίτητο να εισαγάγουμε την έννοια του ελάσσονος αυτού του αλγεβρικού συμπληρωματικού στοιχείου του πίνακα (είναι πιο σημαντικό ότι η ίδια η μέθοδος, η οποία θα εξεταστεί περαιτέρω, είναι κατάλληλη για την τρίτη και άλλη σειρά).

Ανήλικος M ij στοιχείο ένας πίνακας ij της n-ης τάξης ονομάζεται το αρχικό του πίνακα της (n-1)-ης τάξης, που λαμβάνεται από τον πίνακα A και την αντιστοίχιση της i σειράς i της j-ης στήλης.

Η μήτρα δέρματος της ν-ης τάξης είναι n2 ελάσσονα στην (n-1)-η τάξη.

Αλγεβρικές προσθήκεςΈνας πίνακας ij στοιχείου ij της νης τάξης ονομάζεται yogo minor, λαμβάνοντας το σύμβολο zі (-1) (i + j) :

A ij \u003d (-1) (i + j) * M ij

Z vznachennya viplivaє, scho A ij \u003d M ij, που είναι το άθροισμα των αριθμών στη σειρά και στη στήλη του ζεύγους, і A ij \u003d -M ij, που δεν είναι ζευγαρωμένο.

Για παράδειγμα, όπως , έπειτα ; και τα λοιπά.

Τρόπος υπολογισμού του κεφαλαίου polygaє στην επίθεση: το σημαίνον του τετραγωνικού πίνακα είναι πιο προχωρημένο το άθροισμα των δημιουργιών των στοιχείων με οποιαδήποτε σειρά (stovptsya) στις προσθήκες τους στην άλγεβρα:

(διάταξη σύμφωνα με i-ο στοιχείασειρές? )

(Η διάταξη για τα στοιχεία της j-ης στήλης;).

Για παράδειγμα,

Είναι σημαντικό ότι στην αρχή το αρχέγονο μοτίβο της μήτρας τρίκο είναι πιο προηγμένο από τα στοιχεία της διαγώνιας κεφαλής.

Ας διατυπώσουμε τις κύριες εξουσίες των δικαστών.

1. Εάν υπάρχει μια σειρά ή εάν ο πίνακας αποτελείται μόνο από μηδενικά, τότε ο διαιτητής είναι ίσος με 0 (ακολουθεί τη μέθοδο rozrahunka).

2. Εάν πολλαπλασιάσετε όλα τα στοιχεία κάποιου είδους σειράς (stowptsya) του πίνακα με τον ίδιο αριθμό, τότε ο ίδιος αριθμός πολλαπλασιάζεται με τον ακέραιο αριθμό).

Σημείωση: για το πρόσημο του σημαίνοντος, μπορείτε να κατηγορήσετε τον καυτό πολλαπλασιαστή της ίδιας της σειράς (για το πρόσημο του πίνακα, για το πρόσημο του οποίου μπορείτε να κατηγορήσετε τον καυτό πολλαπλασιαστή των στοιχείων). Για παράδειγμα, , .

3. Όταν μετατίθεται ο πίνακας її, το σημαίνον δεν αλλάζει: | A T | = | A | (Η απόδειξη δεν θα πραγματοποιηθεί).

4. Κατά την αναδιάταξη των διαστημάτων δύο σειρών (stowptsiv) της μήτρας, ο διαιτητής αλλάζει το πρόσημο του prolege.

Για να επιβεβαιωθεί η τιμή του cob, είναι αποδεκτό να αναδιατάσσονται δύο διαδοχικές σειρές του πίνακα: i-th και (i + 1)-th. Για rozrahunka vyznachnika vyhіdnoj matrix εγώ ρίχνω, και για τον νέο πίνακα (με αναδιαταγμένες σειρές) - κατά (i + 1) - ου (όπως στο niy είναι το ίδιο, άρα μετακινείται στοιχείο προς στοιχείο). Στη συνέχεια, όταν το άλλο πρόσημο διευρυνθεί, το δέρμα συμπληρώνει το αλγεβρικό μάθημα με το πρόσημο, οπότε το (-1) θα μειωθεί όχι στα βήματα (i + j), αλλά στα βήματα (i + 1 + j), και σε άλλο τύπο, οι τύποι δεν θα προστεθούν. Με αυτόν τον τρόπο, το πρόσημο του πρωτεύοντος μετατρέπεται σε πρωτείκο.

Τώρα είναι αποδεκτό ότι δεν αναδιατάσσονται τα γήπεδα, αλλά δύο ακόμη σειρές, για παράδειγμα, i-th και (i + t)-th. Μια τέτοια μετάθεση είναι δυνατή ως επακόλουθη μετατόπιση της i-ης σειράς κατά t σειρές προς τα κάτω και της (i + t)-ης σειράς - κατά (t-1) προς τα πάνω. Για τους οποίους το πρόσημο του πρωτεύοντος αλλάζει (t + t - 1) = 2t - 1 τον αριθμό των φορών, δηλαδή. ασύζευκτος αριθμός φορών. Otzhe, άσε τα κλήματα να αλλάξουν τα υπόλοιπα.

Παρόμοιος κατοπτρισμός μπορεί να αλλάξει για stovptsiv.

5. Εάν ο πίνακας πρόκειται να αντικαταστήσει δύο όμοιες σειρές (stowptsya), η επόμενη είναι ίση με 0.

Είναι αλήθεια ότι αν οι ίδιες σειρές (stovptsі) αναδιαταχθούν από αποστολές, τότε αυτός ο ίδιος ο πίνακας θα αφαιρεθεί από τους ίδιους διορισμένους. Στην άλλη πλευρά, πίσω από τις μπροστινές φλέβες yakistyu, μπορείτε να αλλάξετε το σύμβολο, tobto. D = -D D = 0.

6. Εφόσον τα στοιχεία δύο σειρών (stowptsіv) του πίνακα είναι ανάλογα, τότε ο αριθμός ένα είναι ίσος με 0.

Αυτή η ισχύς βασίζεται στην μπροστινή ισχύ αυτού του κρασιού για τον δεσμό του πολλαπλασιαστή της κεφαλής (εάν το κρασί για τον δεσμό του συντελεστή αναλογίας στη μήτρα θα είναι οι ίδιες σειρές των abo stovpts, και ως αποτέλεσμα, ο συντελεστής θα πολλαπλασιαστεί με το μηδέν).

7. Το άθροισμα των δημιουργικών στοιχείων οποιασδήποτε σειράς (stowptsya) του πίνακα στην αλγεβρική πρόσθεση των στοιχείων της επόμενης σειράς (stowptsya) του ίδιου πίνακα θα είναι πάντα 0: για i 1 j.

Για να φέρουμε ισχύ, αρκεί να αντικαταστήσουμε την j-η σειρά στον πίνακα A με την i-η σειρά. Θα υπάρχουν δύο ίσες σειρές στον συντομευμένο πίνακα, στον οποίο ο επόμενος διαιτητής είναι ίσος με 0. Από την άλλη πλευρά, μπορεί να υπολογιστεί από τα στοιχεία της j-ης σειράς: .

8. Ο δείκτης του πίνακα δεν αλλάζει, απλώς στα στοιχεία της σειράς ή στον πίνακα, προσθέστε τα στοιχεία της επόμενης σειράς (στοιβάδα), πολλαπλασιαζόμενα με τον ίδιο αριθμό.

Σωστά, επιτρέψτε μου να προσθέσω στα στοιχεία της i-ης σειράς j-ο στοιχείοσειρές πολλαπλασιαζόμενες επί l. Θα εμφανιστούν στοιχεία Todi της νέας σειράς i-th
(a ik + la jk , "k). Ας υπολογίσουμε το πρόσημο της νέας διάταξης πίνακα μετά τα στοιχεία της i-ης σειράς (είναι σημαντικό ότι οι αλγεβρικές προσθήκες των στοιχείων її δεν αλλάζουν όταν αλλάζουν):

Καταργήσαμε ότι αυτό το πρωτεύον δεν μοιάζει με το πρωτεύον της εξωτερικής μήτρας.

9. Σημαντικοί πίνακες dobutku ακριβότεροι dobutku їх vyznachnіv: | ΑΒ | = | A | * |U| (Η απόδειξη δεν θα πραγματοποιηθεί).

Κοίταξαν περισσότερες αυθεντίες των βιζναχνικών και των βικορίστων για χάρη της συγχώρεσης του υπολογισμού τους. Zzvichay namagayutsya για να ξαναφτιάξετε τη μήτρα σε μια τέτοια μορφή, έτσι ώστε είτε πρόκειται για εστίες είτε για μια σειρά εκδίκησης να είναι περισσότερο από το μηδέν. Είναι εύκολο να γνωρίζουμε τον επόμενο διαιτητή για την τοποθέτηση της πρώτης σειράς ή της άλλης.

μήτρα αντιστροφής

Ο πίνακας A-1 ονομάζεται αναστρεπτόςσύμφωνα με την αναλογία προς τον τετράγωνο πίνακα Α, ακόμα κι αν ο πίνακας πολλαπλασιαστεί με τον πίνακα Α, είναι δεξιόστροφος, οπότε βγαίνει ο απλός πίνακας: A -1 * A = A * A -1 = E.

Από αυτό προκύπτει ότι ο αντίστροφος πίνακας είναι ένας τετράγωνος πίνακας της ίδιας τάξης με τον πίνακα Α.

Μπορεί να φανεί ότι η κατανόηση του πίνακα περιστροφής είναι παρόμοια με την κατανόηση του αριθμού περιστροφής (ο ακέραιος αριθμός, όπως όταν πολλαπλασιάζεται με έναν δεδομένο αριθμό δίνει ένα: a*a -1 = a*(1/a) = 1).

Οι αριθμοί με μουστάκι, μηδέν, μπορούν να τυλίξουν αριθμούς.

Για να μάθετε τη δύναμη, ποιος είναι ο τετραγωνικός πίνακας της επιστροφής, είναι απαραίτητο να γνωρίζετε τον διαιτητή. Εάν ο πίνακας είναι ίσος με μηδέν, τότε ονομάζεται ένας τέτοιος πίνακας ιογενής, ή ειδικά.

Απαραίτητη αρκετό μυαλόΗ βάση της μήτρας ορού: η μήτρα ορού είναι η ίδια και μόνο εάν δεν χρησιμοποιείται η μήτρα nevirogen.

Θα φέρουμε την ανάγκη. Έστω ότι ο πίνακας είναι ο αντίστροφος πίνακας A -1, λοιπόν. A -1 * A \u003d E. Todi | A -1 * A | = | Α -1 | * |Α| = | E | = 1. Αργότερα,
|Α| ¹0.

Φέρνουμε την επάρκεια. Για να το αναδείξουμε, είναι απαραίτητο να περιγράψουμε απλώς τη μέθοδο υπολογισμού της μήτρας ορού, η οποία μπορεί πάντα να γίνει για τη μη παρθένα μήτρα.

Otzhe, έλα | A | ¹ 0. Μεταφέρετε τη μήτρα A. Για το στοιχείο δέρματος А Т Έλα(Αμοιβαία, συμμαχικά):.

Γνωρίζουμε την πραγματικότητα του ληφθέντος πίνακα και της εξόδου. Πάρε μακριά . Με αυτή τη σειρά, ο πίνακας είναι διαγώνιος. Στη διαγώνιο κεφαλής її υπάρχουν τα σημάδια του πίνακα εξόδου και οι γραμμές των στοιχείων είναι μηδενικά:

Ομοίως, μπορείτε να το δείξετε.

Εάν διαιρέσετε όλα τα στοιχεία του πίνακα σε |A|, τότε θα αφαιρέσετε τον μοναδικό πίνακα Ε.

Τέτοια κατάταξη , έπειτα. .

Φέρνουμε την ενότητα του pivot matrix. Ας πούμε, ο κύριος αντίστροφος πίνακας για το A, η προεπιλογή είναι A -1 . Σημαντικά її X. Todi А * Х = Е.

A -1 * A * X \u003d A -1 * E

Η ενότητα έφερε.

Επίσης, ο αλγόριθμος για τον υπολογισμό του pivot matrix αποτελείται από τα επόμενα βήματα:

1. Γνωρίστε τον διαιτητή της μήτρας | A | . Yakscho |A| = 0, τότε η μήτρα Α είναι ιογόνο και η αντίστροφη μήτρα δεν μπορεί να είναι γνωστή. Yakscho |A| ¹ 0, μετά πηγαίνετε στο βελονάκι.

2. Ενθαρρύνετε τη μεταφορά του πίνακα AT.

3. Γνωρίστε τα αλγεβρικά συμπληρωματικά στοιχεία του μετατιθέμενου πίνακα και επάγετε τον δεδομένο πίνακα.

4. Υπολογίστε την περιτυλιγμένη μήτρα διαιρώντας την λαμβανόμενη μήτρα σε |A|.

5. Μπορείτε να αντιστρέψετε την ορθότητα του υπολογισμού του πίνακα περιστροφής με σωστό τρόπο στο σημείο: A -1 * A = A * A -1 = E.

1. Ας μάθουμε τον αριθμό ένα της μήτρας πίσω από τον κανόνα των κόλπων:

Ας παραλείψουμε την επανεγγραφή.

Μπορείτε να φέρετε τους ακόλουθους πίνακες σε ισχύ:

1) | Α-1 | = 1 / | A |

2) (Α -1) -1 = Α

3) (A m) -1 = (A -1) m

4) (ΑΒ) -1 = Β -1 * Α -1

5) (A -1) T \u003d (AT) -1

Κατάταξη μήτρας

Μικρή k-η τάξηστον πίνακα m x n για να ονομάσετε το πρόσημο του τετραγώνου πίνακα της k-ης τάξης, όπως λαμβάνεται από τον πίνακα A για να ταιριάζει αν υπάρχουν γραμμές και στήλες.

Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι η σειρά του ανηλίκου δεν υπερτερεί της μικρότερης, tobto. k £ min (m; n). Για παράδειγμα, από τους πίνακες A 5x3 είναι δυνατό να αφαιρεθούν τετράγωνοι υποπίνακες της πρώτης, άλλης και τρίτης τάξης (είναι δυνατή η επέκταση των δευτερευουσών παραγγελιών).

τάξηόνομα πίνακες βρίσκοντας τάξημε τη μορφή μηδενικών στα ελάσσονα του πίνακα (δείτε το εύρος A, ή r(A)).

Ουάου

1) η κατάταξη του πίνακα επιλέγεται από το μικρότερο s її razmiriv, tobto.
r(A) £ min (m; n);

2) r(A) = 0 και, στη συνέχεια, εάν ο πίνακας είναι μηδέν (όλα τα στοιχεία του πίνακα είναι ίσα με μηδέν), τότε. r(A) = 0 A = 0;

3) για τετράγωνο πίνακα νης τάξης, r(A) = n και, στη συνέχεια, εάν ο πίνακας A είναι μη ιογενής, τότε. r(A) = n | | ¹0.

Για ποιον μάλιστα αρκεί να υπολογίσει κανείς παραπάνω από ένα τέτοιο ανήλικο (αυτό που αφαιρέθηκε από την ανάσταση της τρίτης στήλης (γιατί θα υπάρχει μηδέν τρίτη στήλη στο resht και σε αυτό θα προστεθεί και η δυσοσμία στο μηδέν).

Πίσω από τον κανόνα του tricot = 1*2*(-3) + 3*1*2 + 3*(-1)*4 – 4*2*2 – 1*(-1)*1 – 3*3*(-3) = -6 +6 – 12 – 16 + 1 +27 = 0.

Τα θραύσματα όλων των ανηλίκων τρίτης τάξης είναι μηδέν, r(А) £ 2. Τα θραύσματα έχουν μη μηδενικό ελάσσονα διαφορετικής τάξης, για παράδειγμα,

Είναι προφανές ότι το vikoristani από εμάς αποδέχεται (μια ματιά στα διάφορα ανήλικα) δεν είναι κατάλληλο για την υψηλότερη βαθμίδα στις πιο σύνθετες τάσεις μέσω μεγάλης εργασίας. Ηχήστε το σημάδι της κατάταξης της μήτρας νικηφόρες πράξεις μεταμόρφωσης, όπως αποκαλούν στοιχειώδης:

ένας). V_dkidannya μηδέν σειρές (stovpts_v).

2). Αναπαραγωγή όλων των στοιχείων μιας γραμμής ή ενός πίνακα με έναν αριθμό, χωρίς να υπολογίζεται το μηδέν.

3). Αλλαγή της σειράς των σειρών (stovptsiv) του πίνακα.

τέσσερα). Προσθήκη στο στοιχείο δέρματος μιας σειράς (stovptsya) των ίδιων στοιχείων της επόμενης σειράς (stovptsya), πολλαπλασιαζόμενη με έναν αριθμό.

5). Μεταθέτω.

Καθώς ο πίνακας Α λαμβάνεται από τους πίνακες Β με στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, αυτοί οι πίνακες ονομάζονται ισοδύναμοςδηλώνω Α~Β.

Θεώρημα. Οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί του πίνακα δεν αλλάζουν την κατάταξη.

Η απόδειξη του θεωρήματος είναι εμφανής από την κυριαρχία του πίνακα. Στην πραγματικότητα, κατά τη διάρκεια αυτών των μετασχηματισμών, οι τετράγωνοι πίνακες είτε αποθηκεύονται είτε πολλαπλασιάζονται με έναν αριθμό που δεν είναι ίσος με το μηδέν. Μέσα από τον πόλεμο, η μεγαλύτερη σειρά των αρχικών μηδενικών των ανηλίκων της εξωτερικής μήτρας αφήνεται από μόνη της, δηλαδή. її η κατάταξη δεν αλλάζει.

Για τη βοήθεια των στοιχειωδών μετασχηματισμών, η μήτρα μεταφέρεται στη λεγόμενη σταδιακή εμφάνιση (επεξεργασμένη σε μήτρα βημάτων), έπειτα. Υποτίθεται ότι ο ισοδύναμος πίνακας κάτω από τη διαγώνιο κεφαλής είχε μόνο μηδενικά στοιχεία και η διαγώνιος κεφαλής είχε μη μηδενικά στοιχεία:

Η κατάταξη του πίνακα συχνότητας βήματος είναι ίση με r, τα θραύσματα της διασταύρωσης από αυτόν σταματούν, ξεκινώντας από το (r + 1) και μακριά, μπορείτε να πάρετε τον πίνακα τριών νομισμάτων r-ης τάξης, το Η κλιμακωτή θα είναι ίδια με το μηδέν, η ου σειρά, όχι ίση με το μηδέν):

βαρέλι. Βρείτε την κατάταξη ενός πίνακα

ένας). Εάν είναι 11 \u003d 0 (όπως στην περίπτωσή μας), τότε με την αναδιάταξη των σειρών και του stovptsіv είναι εφικτό το 11 ¹ 0. Εδώ θυμόμαστε την 1η και τη 2η σειρά του πίνακα:

2). Είναι 11 τώρα; 0. Στοιχειώδεις μεταμορφώσεις Dob'єmosja, shchob shta elementіv στο πρώτο stovptsi doіvnyuvali μηδέν. Η άλλη σειρά έχει 21 = 0. Η τρίτη σειρά έχει 31 = -4. Λυγμός (-4) στάσιμος 0, προσθέτοντας στην τρίτη σειρά την πρώτη σειρά, πολλαπλασιασμός επί 2 (tobto με (-a 31 / a 11) \u003d - (-4) / 2 \u003d
= 2). Ομοίως, στην τέταρτη σειρά, προσθέστε την πρώτη σειρά (πολλαπλασιασμοί επί ένα, μετά κατά (-a 41 / a 11) = - (-2) / 2 = 1).

3). Στον αφαιρετικό πίνακα a 22 ? 0 (yakbi bulo a 22 = 0, τότε μπορείτε να αναδιατάξετε ξανά τις σειρές). Ας βεβαιωθούμε ότι οι διαγώνιοι κάτω από την άλλη πλευρά ήταν μηδέν. Για το ου στην 3η και 4η σειρά, προσθέστε μια άλλη σειρά, πολλαπλασιάζοντας με -3 ((-a 32 / a 22) \u003d (-a 42 / a 22) \u003d - (-3) / (-1) \u003d - 3):

τέσσερα). Στον συντομευμένο πίνακα, δύο υπόλοιπες σειρές είναι μηδέν και το їх μπορεί να απορριφθεί:

Αφαιρέθηκε η μήτρα βημάτων, η οποία διπλώνεται σε δύο σειρές. Επίσης, r(A) = 2.

Tse κατανόηση, scho zagalnyu є όλες τις πιθανές πράξεις, yakі viroblyayutsya με πίνακες. Μαθηματικός πίνακας στοιχείων. Σχετικά με έναν τέτοιο πίνακα, ντε Μ rowkіv ta n stoptsіv, φαίνεται ότι η μήτρα μπορεί να είναι rozmirnіst Μστο n.

Η φωτεινή εμφάνιση του matrix:

Για μήτρα λύσηςείναι απαραίτητο να κατανοήσουμε τι είναι η μήτρα και να γνωρίζουμε τις κύριες παραμέτρους. Τα κύρια στοιχεία του πίνακα:

• Διαγώνιος κεφαλής, που αποτελείται από στοιχεία a 11, a 22 ..... a mn.
• Πλευρική διαγώνιος, η οποία αποτελείται από στοιχεία ένα 1n, ένα 2n-1 …..a m1.

Κύριοι τύποι μήτρας:

• Τετράγωνο - ένας τέτοιος πίνακας, αριθμός γραμμών = αριθμός στηλών ( m=n).
• Μηδέν - όλα τα στοιχεία του πίνακα = 0.
• Μεταφερόμενος πίνακας - μήτρα Στο, yak bula otrimana από την εξωτερική μήτρα ΕΝΑμε μια διαδρομή, αντικαταστήστε τις σειρές στις κολόνες.
• Μόνοι - όλα τα στοιχεία της κεφαλής διαγώνιος = 1, γραμμή = 0.
• Ένας αντίστροφος πίνακας είναι ένας πίνακας, όταν πολλαπλασιάζεται με έναν αντίστροφο πίνακα, δίνει ως αποτέλεσμα έναν μοναδικό πίνακα.

Η μήτρα μπορεί να είναι συμμετρική τόσο στην κεφαλή όσο και στις πλευρικές διαγώνιες. Tobto, yakscho a 12 = a 21, a 13 = a 31, .... a 23 = a 32 .... a m-1n = a mn-1τότε ο πίνακας είναι συμμετρικός κατά μήκος της κύριας διαγωνίου. Περισσότεροι από τετράγωνοι πίνακες μπορεί να είναι συμμετρικοί.

Μέθοδοι πινάκων rozvyazannya.

Mayzhe όλα μέθοδος μετασχηματισμού μήτραςξαπλώστε στο διάσημο її vyznachnik nη σειρά και περισσότερα από αυτά να κάνουν δυσκίνητη. Για να γνωρίσετε το πρωτεύον της 2ης και 3ης τάξης, υπάρχουν άλλοι, πιο λογικοί τρόποι.

Znakhodzhennya vyznachnikі στη 2η τάξη.

Για τον υπολογισμό του πίνακα ΑΛΛΑ 2η σειρά, είναι απαραίτητο για τη δημιουργία στοιχείων στη διαγώνιο της κεφαλής να προστεθούν επιπλέον στοιχεία στην πλευρική διαγώνιο:

Μέθοδοι γνώσης 3ης τάξης.

Παρακάτω αναφέρονται οι κανόνες για τη γνώση της 3ης τάξης.

Ο κανόνας trikutnik έχει απλοποιηθεί, όπως ένας μέθοδοι μήτρας κερασιού, μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:

Με άλλα λόγια, η λήψη στοιχείων από τον πρώτο διαιτητή, σαν να ήταν ευθεία, λαμβάνεται με το σύμβολο "+"? ακριβώς έτσι, για τον 2ο υπάλληλο - οι πιο σημαντικές δημιουργίες λαμβάνονται με το σύμβολο "-", έτσι για ένα τέτοιο σχέδιο:

Στο επίλυση πινάκων με τον κανόνα Sarrus, δεξιόχειρας, προς την κατεύθυνση του υπογράφοντος, προσθέστε τις 2 πρώτες στήλες και δημιουργήστε τα πιο σημαντικά στοιχεία στη διαγώνιο της κεφαλής και στις διαγώνιες, όπως η ιη παράλληλος, πάρτε το 3 με το σύμβολο "+". αλλά δημιουργήστε δύο στοιχεία πλευρικών διαγωνίων και διαγωνίων, όπως παράλληλες, με το πρόσημο "-":

Razkladannya vyznachnik με σειρά αριθμού stovptsyu pіd ώρα vіrіshennya πίνακες.

Το vyznachnik είναι ένα καλύτερο άθροισμα των δημιουργιών των στοιχείων μιας σειράς του vyznachnik στις προσθήκες της άλγεβρας τους. Καλέστε για να επιλέξετε αυτή τη σειρά / εστίες, με τρόπο που να είναι μηδέν. Μια σειρά ή μια σειρά, σύμφωνα με την οποία εκτελείται η διάταξη, θα χαρακτηριστεί ως βέλος.

Φέρνοντας το πρωτεύον σε μια ματιά tricot στην ώρα των μητρών κερασιού.

Στο μήτρα λύσηςΜε τη βοήθεια του να φέρετε τον υπάλληλο σε μια εμφάνιση tricot, δουλέψτε ως εξής: με τη βοήθεια των απλούστερων μετασχηματισμών στις σειρές των ψαλμωδιών, το πρωτεύον γίνεται ένα τρίκο βλέμμα και το ίδιο νόημα, προφανώς στη δύναμη του υπαλλήλου, στοιχεία dobutku , σαν να στέκεσαι στο κεφάλι διαγώνιο.

Το θεώρημα του Laplace για την τελειότητα των πινάκων.

Βλέποντας τους πίνακες πίσω από το θεώρημα του Laplace, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε το ίδιο το θεώρημα χωρίς μέση λύση. Θεώρημα Laplace: Έλα Δ - tse vyznachnik nη σειρά. Vibiraemo στο νέο be-yakі κ rowkiv (abo stovptsiv), για το μυαλό κ≤ n - 1. Ένας τέτοιος χρόνος έχει ένα άθροισμα έργων κη σειρά, τι να εκδικηθεί τον επιλεγμένο κσειρές (stowptsyah), στις αλγεβρικές τους προσθήκες στο vyznachnik.

Matrix Virishennya.

Ακολουθία για διάλυμα της μήτρας ορού:

1. Κατανοήστε ότι δίνεται ένας τετραγωνικός πίνακας. Σε περιόδους αρνητικής γνώμης, γίνεται σαφές ότι η μήτρα του σάλιου δεν μπορεί να είναι.
2. Υπολογισμός προσθηκών στην άλγεβρα.
3. Δημιουργούμε μια συμμαχική (αμοιβαία, ελάτε) μήτρα ντο.
4. Προσθήκη αντίστροφου πίνακα με προσθήκες στην άλγεβρα: όλα τα στοιχεία του δεδομένου πίνακα ντο dilimo on the cob matrix. Ο πίνακας υπο-αθροίσματος θα είναι ένας τυχαία καθορισμένος πίνακας περιστροφής.
5. Ελέγχουμε το ρομπότ vikonan: πολλαπλασιάζουμε τον πίνακα pochatkov και παραλείπουμε τον πίνακα, το αποτέλεσμα μπορεί να είναι ένας ενιαίος πίνακας.

Πίνακες συστημάτων Virishennya.

Για λύσεις για συστήματα matrixΗ πιο διαδεδομένη μέθοδος είναι η μέθοδος Gauss.

Η μέθοδος Gauss είναι ο τυπικός τρόπος εξαγωγής συστημάτων γραμμικών ευθυγραμμίσεων της άλγεβρας (SLAE) και του vin polygaє, καθώς, με τη σειρά, οι αλλαγές ενεργοποιούνται, έτσι, για πρόσθετες στοιχειώδεις αλλαγές, το σύστημα ευθυγραμμίσεων φέρεται στο ισοδύναμο (πίσω τον αριθμό) γνωρίζουν το στοιχείο δέρματος του συστήματος.

Μέθοδος Gausє το πιο καθολικό και καλύτερο εργαλείο για την επίλυση πινάκων. Ακριβώς όπως το σύστημα έχει μια απρόσωπη λύση ή το σύστημα δεν είναι συνοπτικό, έτσι είναι αδύνατο να παραβιαστεί ο κανόνας του Cramer και η μέθοδος matrix.

Η μέθοδος μεταφοράς Gauss είναι επίσης άμεση (μειώνοντας τη διευρυμένη μήτρα σε μια κλιμακωτή εμφάνιση, έτσι ώστε τα μηδενικά να αφαιρούνται κάτω από τη διαγώνιο της κεφαλής) και αντίστροφη (τα μηδενικά αφαιρούνται πάνω από τη διαγώνιο κεφαλής της διευρυμένης μήτρας) βόλτα. Η άμεση επικεφαλίδα είναι η μέθοδος Gauss, η αντίστροφη - η μέθοδος Gauss-Jordan. Η μέθοδος Gauss-Jordan είναι παρόμοια με τη μέθοδο Gauss, εκτός από την ακολουθία αλλαγών.

Ραντεβού 1. Matrix Α στον κόσμοΜ nένας ορθογώνιος πίνακας καλείται με m σειρές και n στήλες, ο οποίος αθροίζεται με αριθμούς ή άλλες μαθηματικές μεταβλητές (τάξεις στοιχείων πίνακα), i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3 , ..., n.

, ή

Ραντεβού 2. Δύο πίνακες
і
ονομάζονται ίδιο μέγεθος ίσος, τα οποία ταξινομούνται στοιχείο προς στοιχείο, δηλαδή. =, i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3, ..., n.

Για πρόσθετους πίνακες, είναι εύκολο να γράψετε τις πράξεις των οικονομικών καταθέσεων, για παράδειγμα, πίνακες κατανομής πόρων σύμφωνα με τα τμήματα της οικονομίας.

Ραντεβού 3. Έτσι, ο αριθμός των σειρών στον πίνακα είναι ​​zbіgaєtsya από її stovptsіv, έτσι. m = n, τότε καλείται ο πίνακας τετράγωνη σειράn, και με διαφορετικό πρίσμα ευθύγραμμο.

Ραντεβού 4. Μετάβαση από τον πίνακα A στον πίνακα A t, στον οποίο οι σειρές και οι στήλες απομνημονεύονταν από μέρη από τη σειρά αποθήκευσης, ονομάζονται μετάθεσημήτρες.

Δείτε τον πίνακα: τετράγωνο (μέγεθος 33) -
,

ευθύγραμμο (μέγεθος 25) -
,

διαγώνιος -
, single -
, μηδέν -
,

σειρά μήτρας -
, matrix-stowpets -.

Ραντεβού 5. Στοιχεία τετραγώνου πίνακα τάξης n με τους ίδιους δείκτες ονομάζονται στοιχεία της διαγώνιας κεφαλής, δηλαδή. στοιχεία ce:
.

Ραντεβού 6. Στοιχεία τετραγώνου πίνακα τάξης n ονομάζονται στοιχεία πλευρικής διαγωνίου, αφού οι δείκτες τους είναι n + 1, δηλαδή. Στοιχεία: .

1.2. Πράξεις σε πίνακες.

1 0 . σουμόγιου δύο πίνακες
і
το ίδιο μέγεθος ονομάζεται ο πίνακας С = (з ij), τα στοιχεία του οποίου είναι ίσα με ij = a ij + b ij (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,… , n).

Η ισχύς της λειτουργίας των πτυσσόμενων πινάκων.

Για μπε-γιακά πίνακες A,B,Cένα rozіru vykonuyutsya rivnostі:

1) A + B = B + A (ανταλλαγή),

2) (A + B) + C \u003d A + (B + C) \u003d A + B + C (συνειρμότητα).

2 0 . Tvorom μήτρες
ανά αριθμό  ονομάζεται μήτρα
ίδιας διάστασης με το i είναι ο πίνακας A, επιπλέον b ij =  (i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3, ..., n).

Η ισχύς της πράξης πολλαπλασιασμού ενός πίνακα με έναν αριθμό.

(А) = ()А (πολλαπλασιαστική συσχέτιση);

(А+В) = А+В (κατανομή της πολλαπλότητας των τυχαία αναδιπλούμενων πινάκων);

(+)А = А+А (κατανεμητικότητα πολλαπλασιασμού τυχαίας αναδίπλωσης αριθμών).

Ραντεβού 7. Γραμμικός συνδυασμός πινάκων
і
το ίδιο μέγεθος ονομάζεται με τη μορφή A + B, de  και  - επαρκείς αριθμοί.

3 0 . Dobutcom Α  Πίνακες A і vіdpovіdno razmіrіv mn і nk ονομάζεται πίνακας 3 і mk, έτσι ώστε το στοιχείο z ij είναι το άθροισμα των δημιουργικών στοιχείων στην i-η σειρά του πίνακα A і j-η στήλη του η μήτρα Β, tobto. h ij = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + ... + a ik b kj .

Το Dobutok AB χρησιμοποιείται, μόνο σε αυτήν την περίπτωση, καθώς ο αριθμός των στηλών του πίνακα A ποικίλλει ανάλογα με τον αριθμό των γραμμών του πίνακα.

Η ισχύς της πράξης πολλαπλασιασμού πινάκων:

(АВ)С = А(ВС) (συνειρμότητα);

(А+В)С = АС+ВС (κατανομή τυχαίας αναδίπλωσης πινάκων).

А(В+С) = АВ+АС (κατανομή τυχαίας αναδίπλωσης πινάκων).

АВВА (όχι ανταλλακτική).

Ραντεβού 8. Οι πίνακες Α και Β, για τους οποίους ΑΒ = ΒΑ, ονομάζονται commuting ή commuting.

Η αναπαραγωγή ενός τετραγωνικού πίνακα, ανεξάρτητα από τη σειρά σε έναν διαφορετικό μοναδικό πίνακα, δεν αλλάζει τον πίνακα.

Ραντεβού 9. Στοιχειώδεις μεταμορφώσειςΟι πίνακες ονομάζονται τέτοιες πράξεις:

Αντικατάσταση δύο σειρών (stovptsiv) με τις αποστολές.

Αναπαραγωγή του στοιχείου δέρματος μιας σειράς (stovptsya) με έναν αριθμό, όχι ίσο με το μηδέν.

Προσθήκη στα στοιχεία μιας σειράς (stowptsya) της δεύτερης σειράς στοιχείων της επόμενης σειράς (stowptsya).

Ραντεβού 10. Matrix, otrimana από πίνακες Και για τη βοήθεια των στοιχειωδών μετασχηματισμών ονομάζεται ισοδύναμος(υπογραφή BA).

πισινό 1.1.Γνωρίστε τον γραμμικό συνδυασμό πινάκων 2A-3B, όπως

,
.

,
,

.

βαρέλι 1.2. Γνωρίστε το doboot matrix
, σαν

.

Λύση: ο αριθμός των στηλών στον πρώτο πίνακα αλλάζει από τον αριθμό των σειρών σε έναν άλλο πίνακα και, στη συνέχεια, χρησιμοποιείται ο πρόσθετος πίνακας. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε μια νέα μήτρα
, ντε

Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε
.

Διάλεξη 2. Διοριζόμενοι. Υπολογισμός του vyznachniki σε άλλη, τρίτη σειρά. Η εξουσία των διοριστέωνnη σειρά.