Середній вектор швидкості та середній вектор прискорення. Швидкість, Вектор швидкості та траєкторія, Складання швидкостей. Співвідношення між одиницями швидкості

Швидкість - векторна величина, що характеризує як швидкість руху частинки по траєкторії, а й напрям, у якому рухається частка у кожен час.

Середня швидкість за час від t 1 до t 2дорівнює відношенню переміщення цей час до проміжку часу , протягом якого це переміщення мало місце:

Той факт, що це саме середня швидкість ми відзначатимемо, укладаючи середню величину в кутові дужки:<...>як це зроблено вище.

Наведена вище формула для середнього вектора швидкості є прямим наслідком загального математичного визначення середнього значення<f(x)> довільної функції f(x)на проміжку [ a,b]:

Дійсно

Середня швидкість може виявитися дуже грубою характеристикою руху. Наприклад, середня швидкість за період коливань завжди дорівнює нулю, незалежно від характеру цих коливань , з тієї простої причини, що за період - за визначенням періоду - тіло, що коливається, повернеться у вихідну точку і, отже, переміщення за період завжди дорівнює нулю. З цієї та низки інших причин вводиться миттєва швидкість - швидкість в даний момент часу. Надалі, маючи на увазі миттєву швидкість, будемо писати просто: "швидкість", опускаючи слова "миттєва" або "в даний момент часу" завжди, коли це не може призвести до непорозумінь. Для отримання швидкості в момент часу tтреба зробити очевидну річ: обчислити межу відношення при прагненні проміжку часу t 2 – t 1нанівець. Зробимо перепозначення: t 1 = tі t 2 = t +і перепишемо верхнє співвідношення у вигляді:

Швидкість у момент часу tдорівнює межі відношення переміщення за час до проміжку часу, за який це переміщення мало місце, при прагненні останнього до нуля

Рис. 2.5. Визначення миттєвої швидкості.

На даний момент ми не розглядаємо питання про існування цієї межі, припускаючи, що вона існує. Зазначимо, що якщо є кінцеве переміщення і кінцевий проміжок часу, то й - їх граничні величини: нескінченно мале переміщення і нескінченно малий проміжок часу. Так що права частина визначення швидкості

є ніщо інше як дріб - приватне від поділу на , тому останнє співвідношення може бути переписано і часто використовується у вигляді

За геометричним змістом похідної, вектор швидкості в кожній точці траєкторії спрямований по дотичній до траєкторії в цій точці її бік руху.

Відео 2.1. Вектор швидкості спрямований по траєкторії. Експеримент із точилом.

Будь-який вектор можна розкласти по базису (для одиничних векторів базису, іншими словами, одиничних векторів, що визначають позитивні напрямки осей OX,OY,OZвикористовуємо позначення , , або відповідно). Коефіцієнтами такого розкладання є проекції вектора відповідні осі. Важливо таке: в алгебрі векторів доведено, що розкладання базисом єдине. Розкладемо по базису радіус-вектор деякої матеріальної точки, що рухається.

Враховуючи сталість декартових одиничних векторів , , , продиференціюємо цей вираз за часом

З іншого боку, розкладання по базису вектора швидкості має вигляд

оставлення двох останніх виразів, з урахуванням єдиності розкладання будь-якого вектора за базисом, дає наступний результат: проекції вектора швидкості на декартові осі дорівнюють похідним за часом від відповідних координат, тобто

Модуль вектора швидкості дорівнює

Отримаємо ще один, важливий вираз для модуля вектора швидкості.

Вже зазначалося, що з величина || дедалі менше відрізняється від відповідного шляху (див. рис. 2). Тому

та в межі (>0)

Іншими словами, модуль швидкості - це похідна пройденого шляху за часом.

Остаточно маємо:

Середній модуль вектора швидкості, визначається так:

Середнє значення модуля вектора швидкості дорівнює відношенню пройденого шляху до часу, протягом якого цей шлях був пройдений:

Тут s(t 1 , t 2)- шлях за час від t 1до t 2і відповідно, s(t 0 , t 2)- шлях за час від t 0до t 2і s(t 0 , t 2)- шлях за час від t 0до t 1.

Середній вектор швидкості або просто середня швидкість, як зазначено вище, дорівнює

Зазначимо, що перш за все це вектор, його модуль - модуль середнього вектора швидкості не слід плутати із середнім значенням модуля вектора швидкості. У випадку вони не рівні: модуль середнього вектора зовсім не дорівнює середньому модулю цього вектора . Дві операції: обчислення модуля та обчислення середнього, у випадку, переставляти місцями не можна.

Розглянемо приклад. Нехай точка рухається в один бік. На рис. 2.6. показаний графік пройденого нею шляху sвід часу (за час від 0 до t). Використовуючи фізичний сенс швидкості, знайти за допомогою цього графіка момент часу, в який миттєва швидкість дорівнює середній дорожній швидкості за перші секунди руху точки.

Рис. 2.6. Визначення миттєвої та середньої швидкості тіла

Модуль швидкості в даний момент часу

будучи похідною шляху за часом, дорівнює кутовому коефіцієнту коливальної до графіка залежності точки, що відповідає моменту часу. t*. Середній модуль швидкості за проміжок часу від 0 до t*є кутовий коефіцієнт січної, що проходить через точки того ж графіка, що відповідають початку t = 0і кінцю t = t*тимчасового інтервалу. Нам треба знайти такий момент часу t*, коли обидва кутові коефіцієнти збігаються. Для цього через початок координат проводимо пряму, що стосується траєкторії. Як видно з малюнка точка торкання цієї прямої графіки s(t)і дає t*. У нашому прикладі виходить

Для характеристики швидкості руху запроваджується поняття швидкості.

Визначення: Середньою швидкістю руху точки за інтервал часу від до
називається векторна величина дорівнює відношенню збільшення радіус-вектора точки за цей проміжок часу до його тривалості
.

- Середня швидкість.

Визначення: Швидкість (або миттєва швидкість) точки називається векторна величина, що дорівнює першій похідній за часом від радіус-вектора.

Вектор швидкості характеризує рух як за величиною, так і за напрямом. Вектор швидкості завжди спрямований щодо траєкторії у бік руху.

Визначення: Модуль швидкості дорівнює першій похідній часу від пройденого шляху.

Розкладемо вектор швидкості за базисом прямокутної декартової системи координат:

, де V x , V y , V z проекції вектора швидкості на відповідну вісь, які відповідно дорівнюють:

де
- це іксова проекція радіус-вектора матеріальної точки.

У координатному поданні вектор швидкості має вигляд:

Модуль вектора швидкості в координатному поданні:

Зворотне співвідношення.

Представимо радіус вектор швидкості за допомогою певного та невизначеного інтеграла:

де t, t 0 - Початковий і кінцевий момент часу.

Подання пройденого шляху через модуль швидкості за допомогою певного та невизначеного інтеграла.

§4. Вектор прискорення.

Для характеристики швидкості зміни вектора швидкості точки у механіці вводиться поняття прискорення.

Визначення: Середнє прискорення за інтервал часу від до
називається векторна величина, що дорівнює відношенню збільшення вектора швидкості точки за даний інтервал часу до його величини.

Визначення: Прискорення (або миттєве прискорення) точки називається векторна величина, чисельно рівна першій похідній за часом від швидкості точки, що розглядається або, що те ж саме, друга похідна за часом від радіус-вектора цієї точки:

Прискорення можна ввести через межу середнього прискорення:

Два введені записи прискорення є еквівалентними.

Розкладемо вектор прискорення за базисом прямокутної декартової системи координат:

де a x, a y, a z - проекції вектора прискорення на вісь.

Координатна вистава модуля вектора прискорення:

Зворотні співвідношення:

;

Розглянемо рух матеріальної точки вздовж плоскої кривої. Прискорення завжди спрямоване усередину увігнутості кривої або траєкторії. Введемо два одиничні вектори: , який спрямований по дотичній до траєкторії та - спрямований перпендикулярно траєкторії до центру кривої.

;

Розкладемо вектор прискорення за заданими напрямками.

- Дотичне прискорення.

Визначення: Дотичне прискорення – векторна величина, що характеризує швидкість зміни вектора швидкості за модулем.

- Векторні подання.

- скалярне уявлення.

- Нормальне прискорення.

Визначення: Нормальне прискорення характеризує швидкість зміни вектора швидкості за напрямом та обчислюється за формулою:

-де R-радіус кривизни траєкторії в точці М

Якщо траєкторія – коло, то R – радіус кола.

У скалярному поданні:

З властивостей складових повне прискорення випливає, що повне прискорення спрямоване убік увігнутості траєкторії.

Модуль повного прискорення дорівнює:

Аналогічно для вектора повного прискорення:

Термін «швидкість» використовують у науці й у сенсі, розуміючи під ним швидкість зміни будь-якої величини (не обов'язково радіус-вектора) залежно від інший (частіше маються на увазі зміни у часі, але й у просторі чи будь-який інший). Так, наприклад, говорять про кутову швидкість, швидкість зміни температури, швидкість хімічної реакції, групову швидкість, швидкість з'єднання і т. д. Математично «швидкість зміни» характеризується похідною аналізованої величини.

Розширення поняття швидкості є чотиривимірна швидкість, або швидкість в релятивістської механіки узагальнених координатах.

Швидкість точки у класичній механіці

де τ → ≡ d r → / d s (\displaystyle (\vec (\tau ))\equiv \mathrm (d) (\vec (r))/\mathrm (d) s)- одиничний вектор дотичної , що проходить через поточну точку траєкторії (він спрямований у бік зростання дугової координати s (\displaystyle s)рухомої точки), а v τ ≡ s ˙ (\displaystyle v_(\tau )\equiv (\dot (s)))- проекція вектора швидкості на напрямок згаданого одиничного вектора, що дорівнює похідній дуговій координати за часом і називається алгебраїчною швидкістюточки. Відповідно до наведених формул, вектор швидкості точки завжди спрямований уздовж дотичної, а швидкість алгебри крапки може відрізнятися від модуля v (\displaystyle v)цього вектора лише знаком. При цьому:

Не слід змішувати дугову координату та пройдений точкою шлях. Шлях , пройдений точкою за проміжок часу від до t (\displaystyle t), може бути знайдено так:

лише у випадку, коли алгебраїчна швидкість точки весь час невід'ємна, зв'язок шляху та дугової координати досить проста: шлях збігається з збільшенням дугової координати за час від t 0 (\displaystyle t_(0))до t (\displaystyle t)(якщо ж при цьому початок відліку дугової координати збігається з початковим положенням точки, що рухається, то s ~ (\displaystyle (\tilde (s)))буде збігатися з s (\displaystyle s)).

Якщо швидкість алгебри точки не змінюється з часом (або, що те ж саме, модуль швидкості постійний), то рух точки називається рівномірним(алгебраїчне дотичне прискорення s ¨ (\displaystyle (\ddot (s)))при цьому тотожно дорівнює нулю).

Припустимо, що s ¨ ⩾ 0 (\displaystyle (\ddot (s))\geqslant (0)). Тоді при рівномірному русі швидкість точки (алгебраїчна) дорівнюватиме відношенню пройденого шляху s ~ (\displaystyle (\tilde (s)))до проміжку часу t − t 0 (\displaystyle t-t_(0)), за який цей шлях був пройдений:

У загальному випадку аналогічні відносини

визначають відповідно середню швидкістькрапки та її середню швидкість алгебри; якщо терміном «середня швидкість» користуються, то про величини і s ˙ (\displaystyle (\dot (s)))говорять (щоб уникнути плутанини) як про миттєвихшвидкостях.

Ілюстрація середньої та миттєвої швидкості

Не слід змішувати два введені вище поняття середньої швидкості. По перше, v → c p (\displaystyle (\vec (v))^(\,\,\mathrm (cp) ))- Вектор, а s ˙ c p (\displaystyle (\dot (s))^(\,\mathrm (cp) ))- Скаляр. По-друге, ці величини можуть збігатися по модулю. Так, нехай точка рухається рухається гвинтовою лінією і за час свого руху проходить один виток; тоді модуль середньої швидкості цієї точки дорівнюватиме відношенню крокугвинтової лінії (тобто відстані між її витками) на час руху, а модуль середньої алгебраїчної швидкості - відношенню довжини витка на час руху.

Для тіла протяжних розмірів поняття швидкості (тіла як такого, а не однієї з його точок) не може бути визначено; виняток становить випадок миттєво-поступального руху. Кажуть, що абсолютно тверде тіло здійснює миттєво-поступальний рух, якщо в даний момент часу швидкості всіх складових його точок рівні; тоді можна, зрозуміло, покласти швидкість тіла рівної швидкості будь-якої його точок. Так, наприклад, рівні швидкості всіх точок кабінки оглядового колеса (якщо, звичайно, знехтувати коливаннями кабінки).

У загальному випадку швидкості точок, що утворюють тверде тіло, не рівні між собою. Так, наприклад, для колеса, що котиться без прослизання, модулі швидкостей точок на обід відносно дороги приймають значення від нуля (у точці дотику з дорогою) до подвоєного значення швидкості центру колеса (у точці, діаметрально протилежній точці дотику). Розподіл швидкостей точок абсолютно твердого тіла описується кінематичною формулою Ейлера.

У декартових координатах

В той же час r = x i + y j + z k , (\displaystyle \mathbf(r) =x\mathbf(i)тому

Таким чином, координати вектора швидкості - це швидкість зміни відповідної координати матеріальної точки:

У циліндричних координатах

Швидкість у полярних координатах

V φ (\displaystyle v_(\varphi))носить назву поперечної швидкості, v R (\displaystyle v_(R))- радіальної.

У сферичних координатах

Узагальнення

Узагальненнями поняття швидкості є чотиривимірна швидкість, або швидкість релятивістської механіки, і узагальнена швидкість, або швидкість в узагальнених координатах.

Чотиривимірна швидкість

Чотиривимірний вектор швидкості є часоподібним вектором, тобто лежить усередині світлового конуса.

В узагальнених координатах

Слід розрізняти координатну та фізичну швидкості. При введенні криволінійних чи узагальнених координат положення тіл описується їхньою залежністю від часу. Похідні від координат тіла за часом називаються координатними швидкостями.

Перетворення швидкості

У класичній механіці Ньютона швидкості перетворюються під час переходу з однієї інерційної системи відліку в іншу згідно з перетвореннями Галілея. Якщо швидкість тіла у системі відліку S (\displaystyle S)дорівнювала v → (\displaystyle (\vec (v))), а швидкість системи відліку S′ (\displaystyle S") S (\displaystyle S)дорівнює то швидкість тіла при переході в систему відліку S′ (\displaystyle S")буде рівна

Для швидкостей, близьких до швидкості світла, перетворення Галілея стають несправедливими. При переході із системи S (\displaystyle S)у систему S′ (\displaystyle S")необхідно використовувати перетворення Лоренца для швидкостей:

у припущенні, що швидкість u → (\displaystyle (\vec (u)))спрямована вздовж осі x (\displaystyle x)системи S (\displaystyle S). Легко переконатися, що межі нерелятивістських швидкостей перетворення Лоренца зводяться до перетворень Галілея.

Пов'язані поняття

Ряд понять класичної механіки виражаються через швидкість.

де U μ (\displaystyle U^(\mu ))- Узагальнена чотиривимірна швидкість.

де m (\displaystyle \ m)- маса тіла, v (\displaystyle \v)- Швидкість центру мас тіла, I (\displaystyle (\mathcal (I)))- момент інерції тіла, ω → (\displaystyle (\vec (\omega )))- Кутова швидкість тіла.

Зміна швидкості за часом характеризується прискоренням. Прискорення відображає зміну швидкості як за величиною (тангенціальне прискорення), так і за напрямом (прискорення доцентрового) :

де r (\displaystyle \ r)- Радіус кривизни траєкторії точки.

У релятивістській механіці кут між дотичної до світової лінії частки і віссю часу в базовій системі відліку носить назву швидкості (позначається θ (\displaystyle \theta)). Швидкість виражається формулою:

де A r t h x (\displaystyle \mathrm (Arth) \,x)- Ареатангенс, або гіперболічний арктангенс. Швидкість прагне нескінченності коли швидкість прагне швидкості світла. На відміну від швидкості, на яку необхідно користуватися перетвореннями Лоренца, швидкість адитивна, тобто

де θ 0 (\displaystyle \theta _(0))- швидкість системи відліку S′ (\displaystyle S")щодо системи відліку S (\displaystyle S).

Деякі швидкості

Космічні швидкості

Швидкість світла

Швидкість гравітації

• Радіани на секунду, прийнята в системах СІ та СГС. Фізична розмірність 1/с.
• Оберти за секунду (в техніці)
• градуси за секунду, гради за секунду

Співвідношення між одиницями швидкості

• 1 м/с = 3,6 км/год
• 1 вузол = 1,852 км/год = 0,514 м/с
• Мах 1 ~ 330 м/c ~ 1200 км/год (залежить від умов, у яких знаходиться повітря)
• c= 299 792 458 м/с

Історичний нарис

Дві стадії руху кинутого тіла за теорією Авіценни: відрізок АВ – період «насильницького прагнення», відрізок ВС – період «природного прагнення» (падіння вертикально вниз)

В 1328 побачив світ «Трактат про пропорції або про пропорції швидкостей при русі» Томаса Брадвардіна, в якому він знайшов невідповідність у фізиці Аристотеля і зв'язку швидкості з діючими силами. Брадвардін зауважив, що за словесною формулою Аристотеля якщо рушійна сила дорівнює опору, то швидкість дорівнює 1, тоді як вона має дорівнювати 0. Він також представив свою формулу зміни швидкості, яка хоч і була не обґрунтована з фізичної точки зору, але представляла є першою функціональною залежністю швидкості від причин руху. Брадвардін називав швидкість «кількістю руху». Вільям Хейтсбері, в трактаті «Про місцевий рух», ввів поняття миттєвої швидкості. У 1330-1340 роках він та інші учні Брадвардіна довели так зване «мертонське правило», яке означає рівність шляху при рівноприскореному русі та рівномірному русі із середньою швидкістю.

Будь-яка широта руху, що уніформно купується або втрачається, відповідає своєму середньому градусу, так що стільки ж точно буде пройдено завдяки цій широті, що купується, скільки і завдяки середньому градусу, якби тіло рухалося весь час з цим середнім градусом.

У 1609 року у роботі «Нова астрономія» Кеплер сформулював закон площ, за яким секторна швидкість планети (площа, описувана відрізком планета - Сонце, за одиницю часу) стала . У «Початках філософії» Декарт сформулював закон збереження кількості руху, яке у його розумінні є добуток кількості матерії на швидкість, при цьому Декарт не брав до уваги той факт, що кількість руху має не лише величину, а й напрямок. Надалі поняття «кількість руху» розвивав Гук, який розумів його як «ступінь швидкості, властивої певній кількості речовини». Гюйгенс, Валліс і Рен додали до цього визначення напрямок. У такому вигляді у другій половині XVII століття кількість руху стала важливим поняттям у динаміці, зокрема у роботах

Положення матеріальної точки в просторі в даний момент часу визначається по відношенню до будь-якого іншого тіла, яке називається тілом відліку.

З ним зв'язується система відліку- Сукупність системи координат і годин, пов'язаних з тілом, по відношенню до якого вивчається рух будь-яких інших матеріальних точок. Вибір системи відліку залежить від завдань дослідження. При кінематичних дослідженнях усі системи відліку рівноправні (декартова, полярна). У задачах динаміки переважну роль відіграють інерційні системи відліку, По відношенню до яких диференціальні рівняння руху мають більш простий вигляд.

У декартовій системі координат положення точки Ав даний момент часу по відношенню до цієї системи визначається трьома координатами х, уі z, чи радіусом-вектором (рис. 1.1). При русі матеріальної точки її координати з часом змінюються. Загалом її рух визначається рівняннями

або векторним рівнянням

=(t). (1.2)

Ці рівняння називаються кінематичними рівняннями рухуматеріальної точки.

Виключаючи час tу системі рівнянь (1.1), отримаємо рівняння траєкторії рухуматеріальної точки. Наприклад, якщо кінематичні рівняння руху точки задані у формі:

те, виключаючи t, Отримаємо:

тобто. точка рухається у площині z= 0 по еліптичній траєкторії з півосями, рівними aі b.

Траєкторією рухуматеріальної точки називається лінія, що описується цією точкою у просторі. Залежно від форми траєкторії рух може бути прямолінійнимі криволінійним.

Розглянемо рух матеріальної точки вздовж довільної траєкторії АВ(Рис. 1.2). Відлік часу почнемо з моменту, коли точка перебувала в положенні А (t= 0). Довжина ділянки траєкторії АВ, пройденого матеріальною точкою з моменту t= 0, називається довжиною шляхуі є скалярною функцією часу. Вектор , проведений з початкового положення точки, що рухається в положення її в даний момент часу, називається вектор переміщення. При прямолінійному русі вектор переміщення збігається з відповідною ділянкою траєкторії та його модуль дорівнює пройденому шляху.

Швидкість- це векторна фізична величина, введена визначення швидкості руху та її напрями на даний час.

Нехай матеріальна точка рухається криволінійною траєкторією і в момент часу tїй відповідає радіус-вектор. (Рис. 1.3). Протягом малого інтервалу часу точка пройде шлях і отримає нескінченно мале переміщення. Розрізняють середню та миттєву швидкості.

Вектор середньої швидкостіназивається відношення збільшення радіуса-вектора точки до проміжку часу:

Вектор спрямований так само, як . При необмеженому зменшенні середня швидкість прагне до граничного значення, яке називається миттєвою швидкістюабо просто швидкістю:

Таким чином, швидкість - це векторна величина, що дорівнює першій похідній радіусу-вектора точки, що рухається за часом. Так як січуча в межі збігається з дотичною, вектор швидкості спрямований по дотичній до траєкторії в бік руху.

У міру зменшення довжина дуги все більше наближається до довжини хорди, що стягує її, тобто. чисельне значення швидкості матеріальної точки дорівнює першій похідній довжини її шляху за часом:

Таким чином,

З виразу (1.5) отримуємо Інтегруючи за часом від до, знайдемо довжину шляху, пройденого матеріальною точкою за час:

Якщо напрямок вектора миттєвої швидкості під час руху матеріальної точки не змінюється, це означає, що точка рухається траєкторією, дотичні до якої у всіх точках мають один і той же напрямок. Такою властивістю мають лише прямолінійні траєкторії. Отже, аналізований рух буде прямолінійним.

Якщо напрям вектора швидкості матеріальної точки змінюється з часом, точка описуватиме криволінійнутраєкторію.

Якщо чисельне значення миттєвої швидкості точки залишається під час руху постійним, такий рух називається рівномірним. В цьому випадку

Це означає, що з довільні рівні проміжки часу матеріальна точка проходить шляху рівної довжини.

Якщо за довільні рівні проміжки часу точка проходить шляхи різної довжини, чисельне значення її швидкості з часом змінюється. Такий рух називається нерівномірним. У цьому випадку користуються скалярною величиною, яка називається середньою швидкістю нерівномірного рухуна даній ділянці траєкторії. Вона дорівнює чисельному значенню швидкості такого рівномірного руху, при якому на проходження шляху витрачається той же час, що і за заданого нерівномірного руху:

Якщо матеріальна точка одночасно бере участь у кількох рухах, то закону незалежності рухівїї результуюче переміщення одно векторної сумипереміщень, що здійснюються нею за той самий час у кожному з рухів окремо. Тому швидкість результуючого руху як векторна сума швидкостей всіх тих рухів, у яких матеріальна точка бере участь.

У природі найчастіше спостерігаються рухи, у яких швидкість змінюється як у величині (модулю), і у напрямку, тобто. доводиться мати справу із нерівномірними рухами. Для характеристики зміни швидкості таких рухів запроваджується поняття прискорення.

Нехай за час точка, що рухається, перейшла зі становища Ау становище У(Рис. 1.4). Вектор задає швидкість точки у положенні А. У положенні Уточка придбала швидкість, відмінну від як за величиною, так і за напрямом і стала рівною . Перенесемо вектор у крапку Аі знайдемо.

Середнім прискореннямнерівномірного руху в інтервалі часу від до називається векторна величина, що дорівнює відношенню зміни швидкості до інтервалу часу:

Очевидно, що вектор збігається у напрямку вектора зміни швидкості .

Миттєвим прискореннямабо прискореннямматеріальної точки на момент часу буде межа середнього прискорення:

Таким чином, прискорення є векторна величина, що дорівнює першій похідній швидкості за часом.

Розкладемо вектор на дві складові. Для цього з точки Аза напрямом швидкості відкладемо вектор, за модулем рівний. Тоді вектор, рівний, визначає зміну швидкості за модулем(величині) під час , тобто. . Друга складова вектора характеризує зміна швидкості на час у напрямку - .

Складова прискорення, що визначає зміну швидкості за величиною, називається тангенціальної складової. Чисельно вона дорівнює першій похідній за часом від модуля швидкості:

Знайдемо другу складову прискорення, яка називається нормальною складовою. Припустимо, що точка Удосить близька до точки Атому шлях можна вважати дугою кола деякого радіусу. r, мало відрізняється від хорди АВ. З подоби трикутників АОВі ЄАДвипливає, що

звідки У тому друга складова прискорення дорівнює:

Вона за напрямом і спрямована до центру кривизни траєкторії за нормаллю. Її називають також доцентровим прискоренням.

Повне прискореннятіла є геометрична сума тангенціальної та нормальної складових:

З рис. 1.5 слід, що модуль повного прискорення дорівнює:

Напрямок повного прискорення визначається кутом між векторами та . Очевидно, що

Залежно від значень тангенціальної та нормальної складових прискорення рух тіла класифікується по-різному. Якщо (величина швидкості не змінюється за величиною), рух є рівномірним. Якщо > 0, рух називається прискореним, якщо< 0 - уповільненим. Якщо = const0, то рух називається рівнозмінним. Зрештою, у будь-якому прямолінійному русі (немає зміни напрямку швидкості).

Таким чином, рух матеріальної точки може бути наступним видом:

1) - прямолінійний рівномірний рух ();

2) - прямолінійний рівнозмінний рух. При такому виді руху

Якщо початковий час , а початкова швидкість , то, позначивши і , отримаємо:

звідки. (1.16)

Проінтегрувавши цей вираз у межах від нуля до довільного моменту часу, отримаємо формулу для знаходження довжини шляху, пройденого точкою при рівнозмінному русі:

3) - прямолінійний рух із змінним прискоренням;

4) – швидкість по модулю не змінюється, звідки видно, що радіус кривизни має бути постійним. Отже, цей рух по колу є рівномірним;

5) - рівномірний криволінійний рух;

6) - криволінійний рівнозмінний рух;

7) - криволінійний рух із змінним прискоренням.

Кінематика обертального руху твердого тіла

Як зазначалося, обертальним рухом абсолютно твердого тіла навколо нерухомої осі називається такий рух, у якому всі точки тіла рухаються у площинах, перпендикулярних до нерухомої прямої, званої віссю обертання, і описують кола, центри яких лежать цієї осі.

Розглянемо тверде тіло, що обертається довкола нерухомої осі (рис. 1.6). Тоді окремі точки цього тіла описуватимуть кола різних радіусів, центри яких лежать на осі обертання. Нехай деяка точка А рухається по колу радіусу R. Її положення через проміжок часу задамо кутом.

Кутовою швидкістюобертання називається вектор, чисельно рівний першій похідній кута повороту тіла за часом і спрямований уздовж осі обертання за правилом правого гвинта:

Одиниця виміру кутової швидкості радіан за секунду (рад/с).

Таким чином, вектор визначає напрямок та швидкість обертання. Якщо , то обертання називається рівномірним.

Кутова швидкість може бути пов'язана з лінійною швидкістю довільної точки А. Нехай за час точка проходить по дузі кола довжину шляху. Тоді лінійна швидкість точки дорівнюватиме:

При рівномірному обертанні його можна охарактеризувати періодом обертання Т- часом, протягом якого точка тіла робить один повний оборот, тобто. повертається на кут 2π:

Число повних оборотів, що здійснюються тілом при рівномірному русі по колу, в одиницю часу називається частотою обертання:

Для характеристики нерівномірного обертання тіла запроваджується поняття кутового прискорення. Кутовим прискоренням називається векторна величина, що дорівнює першій похідній кутової швидкості за часом:

При обертанні тіла навколо нерухомої осі вектор кутового прискорення спрямований уздовж осі обертання у бік вектора кутової швидкості (рис. 1.7); при прискореному русі вектор спрямований у той самий бік, як і , й у протилежну бік при уповільненому обертанні .

Висловимо тангенціальну та нормальну складові прискорення крапки Атіла, що обертається через кутову швидкість і кутове прискорення:

У разі рівнозмінного руху точки по колу ():

де початкова кутова швидкість.

Поступальний і обертальний рухи твердого тіла є лише найпростішими типами його руху. У випадку рух твердого тіла може бути дуже складним. Однак у теоретичної механікидоводиться, що будь-яке складне рух твердого тіла можна як сукупність поступального і обертального рухів.

Кінематичні рівняння поступального та обертального рухів зведені в табл. 1.1.

Таблиця 1.1

Короткі висновки:

Частина фізики, що вивчає закономірності механічного рухуі причини, що викликають або змінюють цей рух, називається механікою. Класична механіка (механіка Ньютона-Галілея) вивчає закони руху макроскопічних тіл, швидкості яких малі порівняно зі швидкістю світла у вакуумі.

- Кінематік- Розділ механіки, предметом вивчення якого є рух тіл без розгляду причин, якими цей рух обумовлено.

В механіці для опису руху тіл в залежності від умов конкретних завдань використовуються різні фізичні моделі : матеріальна точка, абсолютно тверде тіло, абсолютно пружне тіло, абсолютно пружне тіло

Рух тіл відбувається у просторі та у часі. Тому для опису руху матеріальної точки треба знати, в яких місцях простору ця точка перебувала і в які часи вона проходила те чи інше положення. Сукупність тіла відліку, пов'язаної з ним системи координат та синхронізованих між собою годинників називається системою відліку.

Вектор , проведений з початкового положення точки, що рухається в положення її в даний момент часу називається вектор переміщення. Лінія, що описується рухомою матеріальною точкою (тілом) щодо обраної системи відліку називається траєкторією руху. Залежно від форми траєкторії розрізняють прямолінійнеі криволінійнерух. Довжина ділянки траєкторії, пройденої матеріальною точкою за цей проміжок часу, називається довжиною шляху.

- Швидкість- це векторна фізична величина, яка характеризує швидкість руху та його напрямок на даний момент часу. Миттєва швидкістьвизначається першою похідною радіуса-вектора рухомої точки за часом:

Вектор миттєвої швидкості спрямований до траєкторії в бік руху. Модуль миттєвої швидкості матеріальної точки дорівнює першій похідній довжини її шляху за часом:

- Прискорення- Векторна фізична величина для характеристики нерівномірногоруху. Вона визначає швидкість зміни швидкості за модулем та напрямом. Миттєве прискорення- Векторна величина, що дорівнює першій похідній швидкості за часом:

Тангенційна складова прискоренняхарактеризує швидкість зміни швидкості за величиною(Спрямована по дотичній до траєкторії руху):

Нормальна складова прискоренняхарактеризує швидкість зміни швидкості у напрямку(Спрямована до центру кривизни траєкторії):

Повне прискоренняпри криволінійному русі - геометрична сума тангенційної та нормальної складових:

3. Що таке система відліку? Що називається вектором переміщення?

4. Який рух називається поступальним? Обертальним?

5. Що характеризують швидкість та прискорення? Дайте визначення середньої швидкості та середнього прискорення, миттєвої швидкості та миттєвого прискорення.

6. Складіть рівняння траєкторії руху тіла, кинутого горизонтально зі швидкістю v 0 з деякою висоти. Опір повітря не враховувати.

7. Що характеризують тангенціальна та нормальна складові прискорення? Які їхні модулі?

8. Як можна класифікувати рух залежно від тангенційної та нормальної складових прискорення?

9. Що називається кутовою швидкістю та кутовим прискоренням? Як визначаються їхні напрямки?

10. Якими формулами пов'язані між собою лінійні та кутові характеристики руху?

Приклади розв'язання задач

Завдання 1. Нехтуючи опором повітря, визначити кут, під яким тіло кинуто до горизонту, якщо максимальна висота підйому тіла дорівнює 1/4 дальності його польоту (рис. 1.8).

Швидкість

Середня швидкість частки характеризує швидкість руху за кінцевий проміжок часу. Необмежено зменшуючи цей проміжок, ми прийдемо до фізичної величини, що характеризує швидкість руху на даний момент часу. Така величина називається миттєвою швидкістю або просто швидкістю:

позначає математичну операцію початку межі. Під цим символом записується умова, у якому виконується даний граничний перехід; в даному випадку це прагнення до нуля проміжку часу. При обчисленні швидкості за цим правилом ми переконаємося, що зменшення проміжку часу призводить до того, що на деякому етапі отримані чергові значення середньої швидкості все менше і менше відрізнятимуться один від одного. Тому на практиці при знаходженні швидкості можна зупинитися на кінцеве значення, Достатньо малому для отримання необхідної точності значення швидкості.

Вектор швидкості та траєкторії.

Розглянутий граничний перехід має ясний геометричний зміст. Оскільки вектор переміщення спрямований по хорді, що з'єднує дві точки траєкторії, то при зближенні цих точок, що відбувається при, він приймає положення, що відповідає траєкторії в даній точці. Це означає, що вектор швидкості спрямований по траєкторії. Так буде у будь-якій точці траєкторії (рис. 14). При прямолінійній траєкторії руху вектор швидкості спрямований уздовж цієї прямої.

Швидкість проходження шляху.

Аналогічним переходом визначається миттєва швидкість проходження шляху:

Для плавної кривої, якою є траєкторія будь-якого безперервного механічного руху, довжина дуги тим менше відрізняється від довжини хорди, що стягує її, чим коротше ця дуга. У межі ці довжини збігаються. Тому можна вважати, що. Це означає, що швидкість проходження шляху дорівнює модулю миттєвої швидкості. Рух, у якому модуль швидкості залишається незмінним, називається рівномірним. У разі прямолінійної траєкторії при рівномірному русі вектор швидкості постійний, а у разі криволінійної траєкторії змінюється лише його напрямок.

Складання швидкостей.

Якщо тіло одночасно бере участь у кількох рухах, його швидкість дорівнює векторної сумі швидкостей кожного з цих рухів. Це безпосередньо випливає з правила складання переміщень: оскільки, то після поділу на отримуємо

Іноді буває зручно уявити деяке складне рух як суперпозицію, т. е. накладання двох простих рухів. У цьому випадку рівність (3) можна трактувати, як правило, розкладання вектора швидкості на складові.

Завдання.

Переправа через річку. Швидкість течії у річці з паралельними берегами скрізь однакова і дорівнює. Ширина річки (рис. 15). Катер може пливти зі швидкістю щодо води. На яку відстань s знесе катер вниз за течією річки, якщо при переправі ніс катера спрямувати поперек берегів?

Катер бере участь одночасно у двох рухах: зі швидкістю, спрямованою впоперек течії, і разом із водою зі швидкістю, яка спрямована паралельно березі. Відповідно до правила складання швидкостей повна швидкість катера щодо берегів дорівнює векторній сумі (рис. 16). Очевидно, що рух катера відбувається по прямій, спрямованій уздовж вектора. Відстань s, на яку знесе катер при переправі, можна знайти з подоби трикутника, утвореного векторами швидкостей:

Це завдання легко вирішити і не вдаючись до складання векторів швидкостей. Вочевидь, що відстань s дорівнює добутку швидкості течії тимчасово протягом якого катер перетинає річку. Цей час можна знайти, розділивши ширину річки на швидкість руху катера поперек річки. Отже, знаходимо Мал. 16. Складання швидкостей при переправі через. Однак вже при невеликому ускладненні умови завдання стають чітко видно переваги першого способу, що базується на складання векторів швидкостей.

2. Переправа впоперек річки. Припустимо, що тепер нам потрібно переправитися на катері через ту ж річку точно впоперек, тобто потрапити до точки В, що лежить навпроти початкової точки А (рис. 17). Як направити ніс катера при переправі? Скільки часу займе така переправа? Рішення. У цьому випадку повна швидкість v катера щодо берегів, рівна векторної сумі швидкостей повинна бути спрямована впоперек річки.

З рис. 17 відразу видно, що вектор, вздовж якого і дивиться ніс катера, повинен відхилятися на деякий кут вгору по течії річки від напрямку. Синус цього кута дорівнює відношенню модулів швидкостей течії та катера щодо води. Переправа впоперек річки без знесення можлива тільки в тому випадку, коли швидкість катера щодо води більша за швидкість течії. Це відразу видно з трикутника швидкостей на рис. 17 (гіпотенуза завжди більше катета), або з формули (синус кута повинен бути менше одиниці). Час переправи знайдемо, розділивши ширину річки на повну швидкість катера по теоремі Піфагора.

3. Знесення при швидкій течії.

Припустимо тепер, що швидкість катера щодо води менша за швидкість течії: У такому разі переправа без зносу неможлива. Як слід спрямувати ніс катера під час переправи, щоб знесення вийшло мінімальним? На яку відстань це знесе катер? Рішення. Повна швидкість щодо берегів у всіх випадках дається формулою. Однак тепер наочніше виконати додавання векторів і за правилом трикутника (рис. 18) першим зображаємо століття гір для якого ми знаємо модуль напрямок, а потім до його кінця прибудовуємо початок вектора відомий тільки модуль, напрямок ще потрібно вибрати. Цей вибір потрібно зробити так, вектор результуючої швидкості якнайменше відхилявся від напрямку поперек річки.

Рис. 19. Визначення курсу (напрям вектора) переправи мінімальним знесенням 18. Складання швидкостей переправі Кінець будь-якому напрямку повинен лежати на колі радіуса центр якого збігається кінцем вектора. Це коло показано Так умові завдання то точка відповідна початку лежить поза цим колом. З малюнка видно, що утворює прямий найменший кут тоді, коли він спрямований дотичній. Отже, перпендикулярний вектору прямокутний трикутник. Таким чином, направляти вгору течії під кутом лінії Синус цього кута дасть вираз Траекторія спрямована вздовж вектора, тобто. вона перпендикулярна до напрямку, в якому дивиться катери. Це означає, що своєю траєкторією катер рухається боком. другому березі річки причалить точці, доки знайти з подоби трикутників. Модуль знаходиться в теоремі Піфагора. результаті отримуємо

4. Човен трос. Човен підтягують за прив'язаний носу трос, намотуючи барабан Барабан, що рівномірно обертається, встановлений високому березі. якою швидкістю човен той момент, трос горизонтом? Трос вибирається барабаном швидкістю.

Рішення.

Крапка троса, де він прив'язаний до човна, рухається з тією ж швидкістю, як і човен. Ця швидкість спрямована горизонтально. Щоб зв'язати її зі швидкістю вибирання троса, потрібно збагнути, що рух троса зводиться до повороту навколо точки, де він стосується барабана, і ковзання вздовж власного напрямку, тобто прямий. Тому природно розкласти швидкість точки на дві складові, спрямовані вздовж і впоперек троса (рис. 21). Швидкість, спрямована упоперек, пов'язана з поворотом троса. Модуль швидкості спрямованої вздовж троса - це і є дане за умови завдання значення швидкості.

У міру наближення човна до берега кут стає більше. Це означає, що cos а зменшується і шукана швидкість зростає. Завдання для самостійного вирішення Людина знаходиться в полі на відстані прямолінійної ділянки шосе. Зліва від себе він помічає автомобіль, що рухається по шосе. В якому напрямку слід бігти до шосе, щоб вибігти на дорогу попереду автомобіля і якнайдалі від нього? Швидкість автомобіля і швидкість людини.

Поясніть, чому вектор швидкості завжди спрямований по траєкторії.

У деяких випадках траєкторія руху частки може мати злами. Наведіть приклади таких рухів. Що можна сказати про напрямок швидкості в точках, де траєкторія має злам?

У разі безперервного механічного руху вектор швидкості не відчуває стрибків ні за модулем, ні за напрямом. Поява стрибків швидкості завжди пов'язані з деякою ідеалізацією реального процесу. Які ідеалізації були присутні у наведених вами прикладах траєкторій із зламами?

Знайдіть помилку в наведеному нижче розв'язанні задачі 4. Розкладемо швидкість, точки троса на вертикальну та горизонтальну складові (рис. 22). Горизонтальна складова і є шукана швидкість човна. Тому і (неправильно!).

Швидкість як похідна.

Повернемося до виразу (1) для миттєвої швидкості. При русі частинки її радіус-вектор г змінюється, тобто є деякою функцією часу. Переміщення Дг за проміжок часу At є різницею радіусів-векторів в моменти часу. Тому формулу (1) можна переписати у вигляді У математиці таку величину називають похідною від функції за часом Для неї використовують такі позначення. Останнє позначення (крапка над літерою) характерне саме для похідної за часом. Зазначимо, що в даному випадкупохідна є вектором, оскільки виходить в результаті диференціювання векторної функції за скалярним аргументом. Для модуля миттєвої швидкості відповідно до справедливого виразу на початку статті.