За повного прискорення точки м дорівнює. Визначення траєкторії, швидкості та прискорення точки при векторному способі завдання руху. Визначення швидкості та прискорення точки при координатному способі завдання руху
Дано основні формули кінематики матеріальної точки, їх виведення та виклад теорії.
ЗмістДив. також: Приклад розв'язання задачі (координатний спосіб завдання руху точки)
Основні формули кінематики матеріальної точки
Наведемо основні формули кінематики матеріальної точки. Після чого дамо їх висновок та виклад теорії.
Радіус-вектор матеріальної точки M у прямокутній системі координат Oxyz:
,
де - поодинокі вектори (орти) у напрямі осей x, y, z.
Швидкість точки:
;
.
.
Одиничний вектор у напрямку точки до траєкторії точки:
.
Прискорення точки:
;
;
;
;
;
Тангенційне (дотичне) прискорення:
;
;
.
Нормальне прискорення:
;
;
.
Одиничний вектор, спрямований до центру кривизни траєкторії точки (вздовж головної нормалі):
.
.
Радіус вектор і траєкторія точки
Розглянемо рух матеріальної точки M. Виберемо нерухому прямокутну систему координат Oxyz із центром у деякій нерухомій точці O . Тоді положення точки M однозначно визначаються її координатами (x, y, z). Ці координати є компонентами радіусу-вектора матеріальної точки.
Радіус-вектор точки M - це вектор проведений з початку нерухомої системи координат O в точку M .
,
де - Поодинокі вектори в напрямку осей x, y, z.
При русі точки координати змінюються з часом . Тобто вони є функціями від часу. Тоді систему рівнянь
(1)
можна як рівняння кривої, заданої параметричними рівняннями. Така крива є траєкторією точки.
Траєкторія матеріальної точки - це лінія, вздовж якої відбувається рух точки.
Якщо рух точки відбувається в площині, можна вибрати осі і системи координат так, щоб вони лежали в цій площині. Тоді траєкторія визначається двома рівняннями
У деяких випадках з цих рівнянь можна виключити час . Тоді рівняння траєкторії матиме залежність виду:
,
де – деяка функція. Ця залежність містить лише змінні та . Вона не містить параметра.
Швидкість матеріальної точки
Швидкість матеріальної точки – це похідна її радіус-вектора за часом.Відповідно до визначення швидкості та визначення похідної:
Похідні в часі, в механіці, позначають точкою над символом. Підставимо сюди вираз для радіусу-вектора:
,
де ми явно окреслили залежність координат від часу. Отримуємо:
,
де
,
,
- Проекції швидкості на осі координат. Вони виходять диференціюванням за часом компонент радіус-вектора
.
Таким чином
.
Модуль швидкості:
.
Щодо траєкторії
З математичної точки зору систему рівнянь (1) можна розглядати як рівняння лінії (кривої), заданої параметричними рівняннями. Час , у разі розгляді, грає роль параметра. З курсу математичного аналізувідомо, що напрямний вектор для дотичної до цієї кривої має компоненти:
.
Але це компоненти вектора швидкості точки. Тобто швидкість матеріальної точки спрямована щодо дотичної до траєкторії.
Все це можна продемонструвати безпосередньо. Нехай у момент часу точка знаходиться в положенні з радіусом-вектором (див. малюнок). А в момент часу – у положенні з радіус-вектором. Через крапки і проведемо пряму. За визначенням, дотична - це така пряма , якої прагне пряма при .
Введемо позначення:
;
;
.
Тоді вектор спрямований вздовж прямої.
При прагненні пряма прагне до дотичної, а вектор - до швидкості точки в момент часу:
.
Оскільки вектор спрямований уздовж прямої, а пряма при вектор вектор швидкості спрямований уздовж дотичної.
Тобто вектор швидкості матеріальної точки спрямований уздовж траєкторії.
Введемо напрямний вектор дотичної одиничної довжини:
.
Покажемо, що довжина цього вектора дорівнює одиниці. Справді, оскільки
, то:
.
Тоді вектор швидкості точки можна подати у вигляді:
.
Прискорення матеріальної точки
Прискорення матеріальної точки – це похідна її швидкості за часом.Аналогічно попередньому отримуємо компоненти прискорення (проекції прискорення на осі координат):
;
;
;
.
Модуль прискорення:
.
Тангенційне (дотичне) та нормальне прискорення
Тепер розглянемо питання про напрям вектора прискорення по відношенню до траєкторії. Для цього застосуємо формулу:
.
Диференціюємо її за часом, застосовуючи правило диференціювання твору:
.
Вектор спрямований по траєкторії. В яку сторону спрямована його похідна за часом?
Щоб відповісти на це питання, скористаємося тим, що довжина вектора постійна та дорівнює одиниці. Тоді квадрат його довжини теж дорівнює одиниці:
.
Тут і далі два вектори в круглих дужках позначають скалярний добуток векторів. Продиференціюємо останнє рівняння за часом:
;
;
.
Оскільки скалярний добуток векторів і дорівнює нулю, ці вектори перпендикулярні одне одному. Так як вектор спрямований щодо дотичної до траєкторії, то вектор перпендикулярний до дотичної.
Першу компоненту називають тангенціальним або дотичним прискоренням:
.
Другу компоненту називають нормальним прискоренням:
.
Тоді повне прискорення:
(2)
.
Ця формула є розкладання прискорення на дві взаємно перпендикулярні компоненти - дотичну до траєкторії і перпендикулярну до дотичної.
Оскільки , то
(3)
.
Тангенційне (дотичне) прискорення
Помножимо обидві частини рівняння (2)
скалярно на:
.
Оскільки, то. Тоді
;
.
Тут ми поклали:
.
Звідси видно, що тангенціальне прискорення дорівнює проекції повного прискорення напрямок дотичної до траєкторії чи, що саме, напрям швидкості точки.
Тангенціальне (дотичне) прискорення матеріальної точки - це проекція її повного прискорення на напрям дотичної до траєкторії (або напрям швидкості).
Символом позначаємо вектор тангенціального прискорення, спрямований уздовж дотичної до траєкторії. Тоді - це скалярна величина, що дорівнює проекції повного прискорення на напрям дотичної. Вона може бути як позитивною, так і негативною.
Підставивши , маємо:
.
Підставимо у формулу:
.
Тоді:
.
Тобто тангенціальне прискорення дорівнює похідній за часом від модуля швидкості точки. Таким чином, тангенціальне прискорення призводить до зміни абсолютної величини швидкості точки. При збільшенні швидкості тангенціальне прискорення позитивне (або спрямоване вздовж швидкості). При зменшенні швидкості, тангенціальне прискорення негативне (або протилежно спрямоване швидкості).
Тепер досліджуємо вектор.
Розглянемо одиничний вектор щодо траєкторії. Помістимо його початок на початок системи координат. Тоді кінець вектора буде на сфері одиничного радіусу. При русі матеріальної точки, кінець вектора переміщатиметься цією сферою. Тобто він обертатиметься навколо свого початку. Нехай - миттєва кутова швидкість обертання вектора на момент часу. Тоді його похідна – це швидкість руху кінця вектора. Вона спрямована перпендикулярно вектору. Застосуємо формулу для руху, що обертається. Модуль вектор:
.
Тепер розглянемо положення точки для двох близьких моментів часу. Нехай у момент часу точка знаходиться в положенні, а в момент часу – у положенні. Нехай і - одиничні вектори, спрямовані щодо траєкторії в цих точках. Через точки і проведемо площини, перпендикулярні до векторів і . Нехай – це пряма, освічена перетином цих площин. З точки опустимо перпендикуляр на пряму. Якщо положення точок досить близькі, то рух точки можна розглядати як обертання по колу радіуса навколо осі, яка буде миттєвою віссю обертання матеріальної точки. Оскільки вектори перпендикулярні площинам і , то кут між цими площинами дорівнює куту між векторами і . Тоді миттєва швидкість обертання точки навколо осі дорівнює миттєвій швидкості обертання вектора:
.
Тут - відстань між точками та .
Таким чином ми знайшли модуль похідної за часом вектора:
.
Як ми вказали раніше, вектор перпендикулярний вектору. З наведених міркувань видно, що він спрямований у бік миттєвого центру кривизни траєкторії. Такий напрямок називається головною нормаллю.
Нормальне прискорення
Нормальне прискорення
спрямовано вздовж вектора. Як ми з'ясували, цей вектор спрямований перпендикулярно дотичній у бік миттєвого центру кривизни траєкторії.
Нехай одиничний вектор, спрямований від матеріальної точки до миттєвого центру кривизни траєкторії (вздовж головної нормалі). Тоді
;
.
Оскільки обидва вектори мають однаковий напрям - до центру кривизни траєкторії, то
.
З формули (2)
маємо:
(4)
.
З формули (3)
знаходимо модуль нормального прискорення:
.
Помножимо обидві частини рівняння (2)
скалярно на:
(2)
.
.
Оскільки, то. Тоді
;
.
Звідси видно, що модуль нормального прискорення дорівнює проекції повного прискорення напрям головної нормалі.
Нормальне прискорення матеріальної точки - це проекція її повного прискорення напрям, перпендикулярне до дотичної до траєкторії.
Підставимо. Тоді
.
Тобто нормальне прискорення викликає зміну напрямку швидкості точки, і воно пов'язане з радіусом кривизни траєкторії.
Звідси можна знайти радіус кривизни траєкторії:
.
І наприкінці зауважимо, що формулу (4)
можна переписати в наступному вигляді:
.
Тут ми застосували формулу для векторного творутрьох векторів:
,
в яку підставили
.
Отже, ми отримали:
;
.
Прирівняємо модулі лівої та правої частин:
.
Але вектори і взаємно перпендикулярні. Тому
.
Тоді
.
Це відома формула диференціальної геометрії для кривизни кривої.
Нехай тепер відома функція. На рис. 5.10 
і 
вектори швидкості точки, що рухається в моменти tта t. Щоб отримати приріст вектора швидкості 
перенесемо паралельно вектор 
в точку М:
Середнім прискоренням крапки за проміжок часу t
називається відношення збільшення вектора швидкості 
до проміжку часу t:
Отже, прискорення точки в даний момент часу дорівнює першій похідній за часом від вектора швидкості точки або другої похідної радіус-вектора за часом
.
(5.11)
Прискорення точки це векторна величина, що характеризує швидкість зміни вектора швидкості часу.
Побудуємо годограф швидкості (рис.5.11). p align="justify"> Годографом швидкості за визначенням є крива, яку викреслює кінець вектора швидкості при русі точки, якщо вектор швидкості відкладається з однієї і тієї ж точки.
Визначення швидкості точки при координатному способі завдання її руху
Нехай рух точки заданий координатним способом у декартовій системі координат
х = x(t), y = y(t), z = z(t)
Радіус-вектор точки дорівнює
.
Так як поодинокі вектори 
постійні, то за визначенням
. (5.12)
Позначимо проекції вектора швидкості на осі Ох, Оуі Ozчерез V x , V y , V z
(5.13)
Порівнюючи рівності (5.12) та (5.13) отримаємо
(5.14)
Надалі похідну за часом позначатимемо точкою зверху, тобто.
.
Модуль швидкості точки визначається формулою
. (5.15)
Напрямок вектора швидкості визначається напрямними косинусами:
Визначення прискорення точки координатного способу завдання її руху
Вектор швидкості в декартовій системі координат дорівнює
.
За визначенням
Позначимо проекції вектора прискорення на осі Ох, Оуі Ozчерез а x , а y , а zвідповідно і розкладемо вектор швидкості по осях:
.
(5.17)
Порівнюючи рівності (5.16) та (5.17) отримаємо
Модуль вектора прискорення точки обчислюється аналогічно до модуля вектора швидкості точки:
, (5.19)
а напрям вектора прискорення - напрямними косинусами:
Визначення швидкості та прискорення точки при природному способі завдання її руху
|
|
При цьому способі використовуються природні осі з початком у поточному положенні точки Мна траєкторії (рис.5.12) та одиничними векторами |
Одиничний вектор 
направлений по дотичній до траєкторії у бік позитивного відліку дуги, одиничний вектор 
спрямований по головній нормалі траєкторії у бік її увігнутості, одиничний вектор 
спрямований по бінормалі до траєкторії у точці М.Орти 
і 
лежать у площині, що стикається, орти 
і 
в нормальної площини, орти 
і 
в спрямовуючою площиною.
Отриманий тригранник називається природним.
Нехай заданий закон руху точки s = s(t).
Радіус вектор 
крапки Мщодо якоїсь фіксованої точки буде складною функцією часу 
.
З диференціальної геометрії відомі формули Серре-Френе, що встановлюють зв'язки між одиничними векторами природних осей та вектор-функцією кривої
де радіус кривизни траєкторії.
Використовуючи визначення швидкості та формули СерреФрене, отримаємо:
. (5.20)
Позначаючи проекцію швидкості на дотичну 
та враховуючи, що вектор швидкості спрямований по дотичній, маємо
. (5.21)
Порівнюючи рівності (5.20) і (5.21), отримаємо формули для визначення вектора швидкості за величиною та напрямом
Величина 
позитивна, якщо точка Мрухається у позитивному напрямку відліку дуги sі негативна у протилежному випадку.
Використовуючи визначення прискорення та формули СерреФрене, отримаємо:
Позначимо проекцію прискорення точки 
на дотичну 
, головну нормаль та бінормаль 
відповідно.
Тоді прискорення одно
З формул (5.23) і (5.24) випливає, що вектор прискорення завжди лежить у площині, що стикається, і розкладається за напрямками 
і 
:
(5.25)
Проекція прискорення на дотичну 
називається дотичнимабо тангенціальним прискоренням. Воно характеризує зміну величини швидкості.
Проекція прискорення на головну нормаль 
називається нормальним прискоренням. Воно характеризує зміну вектора швидкості за напрямом.
Модуль вектора прискорення дорівнює 
.
Якщо 
і 
одного знака, рух точки буде прискореним.
Якщо 
і 
різних знаків, то рух точки буде сповільненим.
Розглянуто приклад розв'язання задачі зі складним рухом точки. Крапка рухається по прямій вздовж пластини. Пластина обертається довкола нерухомої осі. Визначається абсолютна швидкість та абсолютне прискорення точки.
ЗмістУмова задачі
Прямокутна пластина обертається навколо нерухомої осі згідно із законом φ = 6 t 2 - 3 t 3. Позитивний напрямок відліку кута показано на малюнках дуговою стрілкою. Вісь обертання OO 1 лежить у площині пластини (пластина обертається у просторі).
По пластині вздовж прямої BD рухається точка M. Задано закон її відносного руху, тобто залежність s = AM = 40(t - 2 t 3) - 40(s – у сантиметрах, t – у секундах). Відстань b = 20 см. На малюнку точка M показана у положенні, у якому s = AM > 0 (при s< 0 точка M знаходиться з іншого боку від точки A).
Знайти абсолютну швидкість та абсолютне прискорення точки M у момент часу t 1 = 1 с.
Вказівки. Це завдання – на складний рух точки. Для її вирішення необхідно скористатися теоремами про складання швидкостей та складання прискорень (теорема Коріоліса). Перш ніж робити всі розрахунки, слід за умовами завдання визначити, де знаходиться точка M на пластині в момент часу t 1 = 1 с, і зобразити точку саме у цьому становищі (а чи не в довільному, показаному малюнку завдання).
Рішення задачі
Дано: b = 20 см, φ = 6 t 2 - 3 t 3, S = | AM | = 40(t - 2 t 3) - 40, t 1 = 1 c.
Знайти: v абс, a абсВизначення положення точки
Визначаємо положення точки на момент часу t = t 1 = 1 c.
s = 40(t 1 - 2 t 1 3) - 40 = 40 (1 - 2 · 1 3) - 40 = -80 см.
Оскільки s< 0
то точка M ближче до точки B, ніж до D.
|AM| = |-80 | = 80 див.
Робимо малюнок.
Відповідно до теореми про складання швидкостей, абсолютна швидкість точки дорівнює векторної сумивідносної та переносної швидкостей:
.
Визначення відносної швидкості точки
Визначаємо відносну швидкість. Для цього вважаємо, що пластина нерухома, а точка M робить заданий рух. Тобто точка M рухається прямою BD . Диференціюючи s за часом t, знаходимо проекцію швидкості на напрямок BD:
.
На момент часу t = t 1 = 1 с,
см/с.
Оскільки , то вектор спрямований у протилежному напрямку BD . Тобто від точки M до точки B. Модуль відносної швидкості
v від = 200 см/с.
Визначення переносної швидкості точки
Визначаємо переносну швидкість. Для цього вважаємо, що точка M жорстко пов'язана із пластиною, а пластина здійснює заданий рух. Тобто пластина обертається навколо осі OO1. Диференціюючи φ за часом t знаходимо кутову швидкість обертання пластини:
.
На момент часу t = t 1 = 1 с,
.
Оскільки вектор кутової швидкості спрямований у бік позитивного кута повороту φ , тобто від точки O до точки O 1 . Модуль кутової швидкості:
ω = 3 з -1.
Зображаємо вектор кутової швидкості пластини малюнку.
З точки M опустимо перпендикуляр HM на вісь OO1.
При переносному русі точка M рухається коло радіуса |HM| з центром у точці H .
|HM| = | HK | + | KM | = 3 b + | AM | sin 30° = 60 + 80 · 0,5 = 100 см;
Переносна швидкість:
v пер = ω | HM | = 3 · 100 = 300 см / с.
Вектор спрямований по відношенню до кола у бік обертання.
Визначення абсолютної швидкості точки
Визначаємо абсолютну швидкість. Абсолютна швидкість точки дорівнює векторній сумі відносної та переносної швидкостей:
.
Проводимо осі нерухомої системи координат Oxyz. Вісь z направимо вздовж осі обертання пластини. Нехай в даний момент часу вісь x перпендикулярна пластині, вісь y лежить в площині пластини. Тоді вектор відносної швидкості лежить у площині yz. Вектор переносної швидкості спрямований протилежно до осі x . Оскільки вектор перпендикулярний вектору, то за теоремою Піфагора, модуль абсолютної швидкості:
.
Визначення абсолютного прискорення точки
Відповідно до теореми про складання прискорень (теорема Коріоліса), абсолютне прискорення точки дорівнює векторній сумі відносного, переносного та коріолісова прискорень:
,
де
- коріолісове прискорення.
Визначення відносного прискорення
Визначаємо відносне прискорення. Для цього вважаємо, що пластина нерухома, а точка M робить заданий рух. Тобто точка M рухається прямою BD . Двічі диференціюючи s за часом t, знаходимо проекцію прискорення на напрямок BD:
.
На момент часу t = t 1 = 1 с,
см/с 2 .
Оскільки , то вектор спрямований у протилежному напрямку BD . Тобто від точки M до точки B. Модуль відносного прискорення
a від = 480 см/с 2.
Зображуємо вектор на малюнку.
Визначення переносного прискорення
Визначаємо переносне прискорення. При переносному русі точка M жорстко пов'язані з пластиною, тобто рухається коло радіуса |HM| з центром у точці H . Розкладемо переносне прискорення на дотичне до кола та нормальне прискорення:
.
Двічі диференціюючи φ за часом t знаходимо проекцію кутового прискорення пластини на вісь OO 1
:
.
На момент часу t = t 1 = 1 с,
з -2.
Оскільки вектор кутового прискорення спрямований у бік, протилежний позитивного кута повороту φ , тобто від точки O 1 до точки O. Модуль кутового прискорення:
ε = 6 з -2.
Зображаємо вектор кутового прискорення пластини малюнку.
Переносне дотичне прискорення:
a τ пер = ε | HM | = 6 · 100 = 600 см / с 2.
Вектор спрямований по відношенню до кола. Оскільки вектор кутового прискорення спрямований у бік, протилежний до позитивного кута повороту φ , то спрямований у бік, протилежний позитивному напрямку повороту φ . Тобто спрямований у бік осі x.
Переносне нормальне прискорення:
a n пер = ω 2 |HM| = 3 2 · 100 = 900 см/с 2.
Вектор спрямований до центру кола. Тобто у бік, протилежний осі y .
Визначення коріолісового прискорення
Коріолісове (поворотне) прискорення:
.
Вектор кутової швидкості спрямований уздовж осі z. Вектор відносної швидкості спрямований вздовж прямої | DB | . Кут між цими векторами дорівнює 150 °. За якістю векторного твору,
.
Напрямок вектора визначається за правилом свердла. Якщо ручку свердла повернути з положення в положення , то гвинт свердла переміститься в напрямку, протилежному осі x .
Визначення абсолютного прискорення
Абсолютне прискорення:
.
Спроектуємо це векторне рівняння на осі xyz системи координат.
;
;
.
Модуль абсолютного прискорення:
.
Абсолютна швидкість;
абсолютне прискорення.
Формули швидкості (прискорення) точок твердого тіла, виражені через швидкість (прискорення) полюса та кутову швидкість (прискорення). Висновок цих формул із принципу, що відстані між будь-якими точками тіла при його русі залишаються постійними.
ЗмістОсновні формули
Швидкість і прискорення точки твердого тіла з вектором радіус визначаються за формулами:
;
.
де - Кутова швидкість обертання, - Кутове прискорення. Вони рівні всім точок тіла і можуть змінюватися з часом t .
і - швидкість і прискорення довільним чином обраної точки A з вектором радіус . Таку точку часто називають полюсом.
Тут і далі твори векторів у квадратних дужках означають векторні твори.
Висновок формули для швидкості
Виберемо прямокутну нерухому систему координат Oxyz. Візьмемо дві довільні точки твердого тіла A та B . Нехай (x A, y A, z A)і (x B, y B, z B)- Координати цих точок. При русі твердого тіла є функціями від часу t . Їхні похідні за часом t є проекціями швидкостей точок:
,
.
Скористаємося тим, що під час руху твердого тіла, відстань | AB|між точками залишається постійним, тобто не змінюється з часом t. Також постійним є квадрат відстані
.
Продиференціюємо це рівняння за часом t, застосовуючи правило диференціювання складної функції.
Скоротимо на 2
.
(1)
Введемо вектори
,
.
Тоді рівняння (1)
можна подати у вигляді скалярного твору векторів:
(2)
.
Звідси випливає, що вектор перпендикулярний вектору. Скористайтеся властивістю векторного твору. Тоді можна уявити у вигляді:
(3)
.
де - деякий вектор, який ми вводимо лише для того, щоб автоматично виконувалась умова (2)
.
Запишемо (3)
у вигляді:
(4)
,
Тепер займемося вивченням властивостей вектора. Для цього складемо рівняння, яке не містить швидкості точок. Візьмемо три довільні точки твердого тіла A, B та C . Запишемо для кожної пари цих точок рівняння (4)
:
;
;
.
Складемо ці рівняння:
.
Скорочуємо суму швидкостей у лівій та правій частині. В результаті отримуємо векторне рівняння, що містить лише досліджувані вектори:
(5)
.
Легко помітити, що рівняння (5)
має рішення:
,
де - якийсь вектор, що має рівне значення для будь-яких пар точок твердого тіла. Тоді рівняння (4)
для швидкостей точок тіла набуде вигляду:
(6)
.
Тепер розглянемо рівняння (5) з математичної точки зору. Якщо записати це векторне рівняння за компонентами на осі координат x, y, z, то векторне рівняння (5)
є лінійною системою, що складається з 3-х рівнянь з 9-ма змінними:
BAx , BAy , BAz , CBx , CBy , CBz ,ω ACx , ω ACy , ω ACz .
Якщо рівняння системи (5)
лінійно не залежні, їх загальне рішення містить 9 - 3 = 6
довільних постійних. Тож ми знайшли не всі рішення. Існують ще якісь. Щоб їх знайти помічаємо, що знайдене рішення повністю визначає вектор швидкості . Тому додаткові рішення не повинні призводити до зміни швидкості. Зауважимо, що векторний добуток двох рівних векторів дорівнює нулю. Тоді, якщо в (6)
до вектора додати член, пропорційний, то швидкість не зміниться:
.
Тоді загальне рішення системи (5)
має вигляд:
;
;
,
де C BA , C CB , C AC - постійні.
Випишемо загальне рішення системи (5)у явному вигляді.
ω BAx = ω x + C BA (x B - x A)
ω BAy = ω y + C BA (y B - y A )
ω BAz = ω z + C BA (z B - z A)
ω CBx = ω x + C CB (x C - x B)
ω CBy = ω y + C CB (y C - y B)
ω CBz = ω z + C CB (z C - z B)
ω ACx = ω x + C AC (x A - x C)
ω ACy = ω y + C AC (y A - y C )
ω ACz = ω z + C AC (z A - z C)
Це рішення містить 6 довільних постійних:
ω x , ω y , ω z , C BA , C CB , C AC.
Як і має бути. Таким чином ми знайшли всі члени загального рішення системи (5)
.
Фізичний зміст вектора
Як зазначалося, члени виду впливають на значення швидкостей точок. Тому їх можна опустити. Тоді швидкості точок твердого тіла пов'язані співвідношенням:
(6)
.
Це вектор кутової швидкості твердого тіла
З'ясуємо фізичний сенс вектора .
Для цього покладемо v A = 0
. Це завжди можна зробити якщо вибрати систему відліку, яка в момент часу, що розглядається, рухається відносно нерухомої системи зі швидкістю . Початок системи відліку O помістимо до точки A . Тоді r A = 0
. І формула (6)
набуде вигляду:
.
Ось z системи координат направимо вздовж вектора.
За властивістю векторного твору вектор швидкості перпендикулярний векторам і . Тобто він паралельний площині xy. Модуль вектора швидкості:
v B = ω r B sin θ = ω | HB |,
де θ - це кут між векторами та ,
|HB| - Це довжина перпендикуляра, опущеного з точки B на вісь z.
Якщо вектор не змінюється з часом, то точка B рухається коло радіуса |HB| зі швидкістю
v B = | HB | ω.
Тобто ω - це кутова швидкість обертання точки B навколо точки H.
Таким чином, ми приходимо до висновку, що це вектор миттєвої кутової швидкості обертання твердого тіла.
Швидкість точок твердого тіла
Отже, ми виявили, що швидкість довільної точки B твердого тіла визначається за формулою:
(6)
.
Вона дорівнює сумі двох членів. Точку A часто називають полюсом. Як полюс зазвичай вибирають нерухому точку або точку, що здійснює рух з відомою швидкістю. Другий член є швидкість обертання точок тіла щодо полюса A .
Оскільки точка B – це довільна точка, то у формулі (6)
можна зробити підстановку. Тоді і швидкість точки твердого тіла з вектором радіус визначаються за формулою:
.
Швидкість довільної точки твердого тіла дорівнює сумі швидкості поступального руху полюса A та швидкості обертального руху щодо полюса A .
Прискорення точок твердого тіла
Тепер виведемо формулу для прискорення точок твердого тіла. Прискорення – це похідна швидкість за часом. Диференціюємо формулу для швидкості
,
застосовуючи правила диференціювання суми та добутку:
.
Вводимо прискорення точки A
;
та кутове прискорення тіла
.
Далі зауважуємо, що
.
Тоді
.
Або
.
Тобто вектор прискорення точок твердого тіла можна подати у вигляді суми трьох векторів:
,
де
- прискорення довільно обраної точки, яку часто називають полюсом;
- обертальне прискорення;
- загострення прискорення.
Якщо кутова швидкість змінюється тільки за величиною і не змінюється у напрямку, то вектори кутової швидкості та прискорення спрямовані вздовж однієї прямої. Тоді напрямок обертального прискореннязбігається чи протилежно напрямку швидкості точки. Якщо кутова швидкість змінюється за напрямом, то обертальне прискорення та швидкість можуть мати різні напрямки.
Загострювальне прискореннязавжди направлено в бік миттєвої осі обертання так, що перетинає її під прямим кутом.
Швидкість точки.
Перейдемо до вирішення другого основного завдання кінематики точки - визначення швидкості та прискорення за вже заданим векторним, координатним або природним способом руху.
1. Швидкістю точки називається векторна величина, що характеризує швидкість та напрямок переміщення точки. У системі СІ швидкість вимірюється м/с.
a) Визначення швидкості при векторному способі завдання руху .
Нехай рух точки заданий векторним способом, тобто. відоме векторне рівняння (2.1): .
Рис. 2.6. До визначення швидкості точки
Нехай за час Dtрадіус-вектор точки Мзміниться на величину. Тоді середньою швидкістюкрапки Мза час Dtназивається векторна величина
Згадуючи визначення похідної, укладаємо:
Тут і надалі знаком будемо позначати диференціювання за часом. При прагненні Dtдо нуля вектор , а, отже, і вектор , повертаються навколо точки Мі в межі збігаються з дотичною траєкторії в цій точці. Таким чином, вектор швидкості дорівнює першій похідній від радіус-вектора за часом і завжди спрямований по траєкторії до точки руху.
б) Швидкість точки при координатному способі завдання руху.
Виведемо формули визначення швидкості при координатному способі завдання руху. Відповідно до виразу (2.5), маємо:
Так як похідні від постійних за величиною та напрямком одиничних векторів дорівнюють нулю, отримуємо
Вектор, як і будь-який вектор, може бути виражений через свої проекції:
Порівнюючи вирази (2.6) і (2.7) бачимо, що похідні координат за часом мають цілком певний геометричний зміст - є проекціями вектора швидкості на координатні осі. Знаючи проекції, легко обчислити модуль та напрямок вектора швидкості (рис. 2.7):
Рис. 2.7.До визначення величини та напрямки швидкості
в) Визначення швидкості за природного способу завдання руху.
Рис. 2.8. Швидкість точки при природному способі завдання руху
Згідно (2.4) ,
де – одиничний вектор дотичної. Таким чином,
Величина V=dS/dtназивається алгебраїчною швидкістю. Якщо dS/dt>0, то функція S = S(t)зростає і точка рухається у бік збільшення дугової координати S,тобто. точка рухається в позитивному напрямку Якщо ж dS/dt<0 точка рухається в протилежному напрямку.
2. Прискорення точки
Прискоренням називається векторна величина, що характеризує швидкість зміни модуля та напрямки вектора швидкості. В системі СІприскорення вимірюється в м/с 2 .
a) Визначення прискорення при векторному способі завдання руху .
Нехай крапка Му момент часу tперебуває в положенні М(t)і має швидкість V(t),а в момент часу t + Dtперебуває в положенні М(t + Dt)і має швидкість V(t + Dt)(Див. рис. 2.9).
Рис. 2.9. Прискорення точки при векторному способі завдання руху
Середнім прискоренням за проміжок часу Dtназивається відношення зміни швидкості до Dt,тобто.
Межа при Dt ® 0називається миттєвим (або просто прискоренням) точки Му момент часу t
Згідно (2.11), прискорення при векторному способі завдання руху дорівнює похідної векторної від швидкості за часом.
б).У скоріння при координатному способі завдання руху .
Підставляючи (2.6) у (2.11) та диференціюючи твори у дужках, знаходимо:
Враховуючи, що похідні від одиничних векторів дорівнюють нулю, отримуємо:
Вектор може бути виражений через свої проекції:
Порівняння (2.12) і (2.13) показує, що похідні від координат за часом мають цілком певний геометричний зміст: вони рівні проекціям повного прискорення на координатні осі, тобто.
Знаючи проекції, легко обчислити модуль повного прискорення та напрямні косинуси, що визначають його напрямок:
в). Прискорення точки при природному способі завдання руху
Наведемо деякі відомості з диференціальної геометрії, необхідні визначення прискорення при природному способі завдання руху.
Нехай крапка Мрухається деякою просторовою кривою. З кожною точкою цієї кривої пов'язані три взаємно ортогональні напрямки (дотична, нормаль і бінормаль), що однозначно характеризують просторову орієнтацію нескінченно малого елемента кривої поблизу даної точки. Нижче наводиться опис процесу визначення зазначених напрямів.
Для того щоб провести дотичну до кривої в точці М, проведемо через неї та прилеглу точку М 1січну ММ 1.
Рис. 2.10. Визначення дотичної до траєкторії руху точки
Стосовно кривої в точці Мвизначається як граничне положення сіючої ММ 1при прагненні точки М 1до точки М(Рис. 2.10). Одиничний вектор дотичної прийнято позначати грецькою літерою.
Проведемо поодинокі вектори, що стосуються траєкторії в точках. Мі М 1. Перенесемо вектор у крапку М(рис. 2.11) і утворюємо площину, що проходить через цю точку та вектори та . Повторюючи процес утворення аналогічних площин при прагненні точки М 1до точки М, ми отримуємо в межі площину, звану стикається площиною.
Рис. 2.11. Визначення площини, що стикається
Очевидно, що для плоскої кривої площина, що стикається, збігається з площиною, в якій лежить сама ця крива. Площина, що проходить через точку Мі перпендикулярна дотичній у цій точці, називається нормальною площиною. Перетин стикається та нормальної площин утворює пряму, звану головною нормаллю (Рис. 2.12).
Завантаження...