Hugasan ang perpendicularity ng dalawang tuwid na linya sa espasyo. Parallel lines, signs and minds of parallel lines. Maglakad mula sa punto hanggang sa tuwid na linya

KUT sa pagitan ng mga flat

Tingnan natin ang dalawang eroplanong α 1 at α 2 na gawain sa parehong paraan:

Pid cutom sa pagitan ng dalawang flat, isa sa dalawang mukha na kutіv, na binubuo ng mga flat na ito, ay naiintindihan. Malinaw na sa pagitan ng mga normal na vector at eroplano 1 at 2 ay katumbas ng isa sa mga pagtatalaga ng sum dihedral . Tom . kasi і , pagkatapos

puwit. Magtalaga ng isang hiwa sa pagitan ng mga flat x+2y-3z+4=0 at 2 x+3y+z+8=0.

Hugasan ang parallelism ng dalawang eroplano.

Dalawang eroplanong α 1 at α 2 ay parallel sa isa't isa at pareho lamang, kung sila ay normal na vectors at parallel, at gayundin .

Gayundin, ang dalawang eroplano ay parallel sa isa sa pareho at mas mababa sa pareho, kung ang mga coefficient para sa kaukulang mga coordinate ay proporsyonal:

Hugasan ang perpendicularity ng mga eroplano.

Malinaw na ang dalawang eroplano ay patayo at pareho, kung ang mga ito ay normal na vectors at patayo, alinman.

Sa ganoong paraan,

mag-apply.

DIREKTA SA SPACE.

VECTORNE RIVNYANNYA DIREKTA.

PARAMETRIC LEVELING DIRECT

Ang posisyon ng tuwid na linya sa espasyo ay ganap na nakadepende sa ibinigay na data, dahil mayroong її mga nakapirming puntos M 1 i vector , parallel sa tuwid na linya.

Vector, parallel line, ay tinatawag direkta tuwid ang vector.

Otzhe, hi straight l dumaan sa isang punto M 1 (x 1 , y 1 , z 1), na namamalagi sa isang tuwid na linya na kahanay sa vector.

Tingnan natin ang isang tiyak na punto M(x, y, z) sa isang tuwid na linya. Mula sa maliit ay makikita mo na .

Vectors at kolіnearnі, kaya mayroong ganoong numero t, sho , de multiplier t maaari mong kunin kung ito ay isang numerical na halaga sa fallow sa posisyon ng punto M sa isang tuwid na linya. Multiplier t tinatawag na parameter. Pagtatalaga ng radius-vector point M 1 ta M maliwanag sa pamamagitan ng i, otrimuemo. Tse equal ang tawag vector mga tuwid na linya. Ipinapakita nito ang halaga ng parameter sa balat t baguhin ang radius-vector ng deac point M, na nasa isang tuwid na linya.

Isulat natin ang pagkakasunud-sunod ng coordinate form. Magalang, sho, at mga bituin

Otrimani katumbas ay tinatawag parametric tuwid.

Kapag binabago ang parameter t pagbabago ng mga coordinate x, yі z namumula ako M lumipat sa isang tuwid na linya.

CANONIC RIVNYANNYA DIRECT

Halika na M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - isang punto na namamalagi sa isang tuwid na linya l, і - Її direktang vector. Dadalhin ko ito ng diretso sa buong punto M(x, y, z) Tumingin ako sa vector.

Malinaw na ang mga vector at collinear, na ang kani-kanilang mga coordinate ay maaaring proporsyonal,

– kanonikal mga tuwid na linya.

Paggalang 1. Sa paggalang, ang canonical alignment ng tuwid na linya ay maaaring alisin mula sa mga parametric sa pamamagitan ng pag-on sa parameter t. Totoo, mula sa parametric katumbas ito ay kinakailangan o .

puwit. Sumulat ng mga tuwid na linya parametric na hitsura.

Makabuluhan , mga bituin x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Tandaan 2. Hayaang ang tuwid na linya ay patayo sa isa sa mga coordinate axes, halimbawa, ang axis baka. Pagkatapos ay isang direktang vector ng mga linya ng perpendiculars baka, otzhe, m=0. Otzhe, parametric equalization ng direktang pag-asa

Kasama ang equalization parameter t, Alisin diretso sa paningin

Prote at sabay natin pormal na isulat ang canonical equalities ng direct yak . Sa ganitong pagkakasunud-sunod, kung mayroong zero sa banner ng isa sa mga fraction, nangangahulugan ito na ang tuwid na linya ay patayo sa dual coordinate axis.

Katulad nito, canonical equals ang tuwid na linya ay patayo sa mga palakol bakaі Ouch o parallel sa axis Oz.

mag-apply.

ZAHALNI RIVNYANNYA DIRECT, YAK LINE REVERSION NG DALAWANG EROPLO

Sa pamamagitan ng balat diretso sa bukas na espasyo upang dumaan sa isang impersonal na lugar. Maging dalawa sa kanila, na magkakaugnay, sila ay nagpapahiwatig sa kalawakan. Otzhe, kung mayroong dalawang pantay na flat, na tinitingnan nang magkasama, sila ay katumbas ng mga tuwid na linya.

Vzagali maging-tulad ng dalawa parallel na eroplano, itinakda ng masigasig na katumbas

magtalaga ng isang tuwid na linya. Qi katumbas ay tinatawag ligaw na selos tuwid.

mag-apply.

Prompt tuwid, itinakda ng mga kapantay

Upang hikayatin ang direktang ito ay sapat na upang malaman kung mayroong її puntos. Ang pinakamadaling paraan ay ang piliin ang mga crosspoint ng tuwid na linya na may mga coordinate na eroplano. Halimbawa, isang cross point na may eroplano xOy dumiretso tayo, vvazhuchi z= 0:

Virishivshi tsyu system, alam namin ang punto M 1 (1;2;0).

Katulad nito, magalang y= 0 xOz:

Mula sa itaas na mga antas ng tuwid na linya, maaari kang pumunta sa її canonical o parametric na mga antas. Para kanino ito ay kinakailangan upang malaman ang ilang mga punto M 1 sa isang tuwid na linya at isang direktang vector ay isang tuwid na linya.

Mga coordinate ng punto M Ang 1 ay kinuha mula sa gitna ng sistema ng equalization, na pinindot ang isa sa mga coordinate sa isang sapat na halaga. Para sa tanong ng isang direktang vector, nang may paggalang, ang vector ay dapat na patayo sa parehong mga normal na vector. і . Upang iyon para sa direktang vector l maaari kang kumuha ng vector witwear normal na mga vector:

puwit. Humantong nang diretso sa canon look.

Maghanap tayo ng isang punto na nasa isang tuwid na linya. Kung saan pipiliin lamang namin ang isa sa mga coordinate, halimbawa, y= 0 at hatiin ang equalization system:

Ang mga normal na vector ng mga eroplano, na tumutukoy sa isang tuwid na linya, ay tumutukoy sa mga coordinate. Samakatuwid, ang direktang vector ay magiging direkta

. Otzhe, l: .

KUT MIZH STRAIGHT

Kutom sa pagitan ng mga tuwid na linya sa puwang na tatawagin natin kung ang isa sa mga buod na kutiv, na ginawa ng dalawang tuwid na linya, na iginuhit sa isang tiyak na punto nang magkatulad, ibinibigay namin.

Hayaang magtakda ang espasyo ng dalawang tuwid na linya:

Malinaw na ang kut sa pagitan ng їх tuwid na linya ay maaaring kunin bilang kut sa pagitan ng їх direktang mga vector i . Kaya yak, pagkatapos ay para sa formula para sa cosine kuta sa pagitan ng mga vectors na kinukuha namin

Pagkahati V *. Equation ng mga tuwid na linya at flat malapit sa open space.

§ 70. Isipin ang parallelism at perpendicularity ng dalawang linya.

Mga tuwid na linya na may mga direktang vector a і b :

a) parallel pareho at hindi gaanong pareho, kung ang mga vectors a і b collinear;

b) patayo sa pareho at mas mababa sa pareho, kung ang mga vectors a і b patayo, kung gayon kung a b = 0.

Kinakailangang isaalang-alang ang kinakailangan at sapat na pag-unawa sa parallelism at perpendicularity ng dalawang tuwid na linya, na ibinigay ng canonical equalities.

Para diyan, straight

boule ay parallel, kailangan at sapat, upang ang isip ay manalo

Magkaroon ng vipadku, tulad ng ilan sa mga numero b 1 , b 2 , b 3 bumalik sa zero, pagkatapos ay nagkasala na ibalik sa zero ang ibang numero a 1 , a 2 , a 3 .

Para sa perpendicularity ng mga tuwid na linya, ito ay kinakailangan at sapat, upang ang isip

a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 0. (2)

Gawain 1. Sa pagitan ng sumusulong na mga pares ng mga tuwid na linya, ang mga taya ay parallel o patayo sa mga tuwid na linya:

a) Mga direktang vector a = (2; 4; -13) at b = (3; 5; 2) halatang hindi collinear. Otzhe, hindi direktang parallel. Balikan natin ang perpendicularity ng isip

a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 2 3 + 4 5 - 13 2 = 0.

Tuwid na patayo.

b) Ang direktang vector ng iba pang tuwid na linya ay maaaring iugnay b = (3; 2; 4). Para sa isang direktang vector, maaari muna akong kumuha ng vector complement ng mga normal na vector
n 1 = (2; -3; 0) at n 2 \u003d (4; -2; -2) na eroplano, kung paano i-set ang qiu nang tuwid:

Nanalo ang Umov (1), shards 6/3 = 4/2 = 8/4. Direktang parallel.

c) Direktang vector ng unang tuwid na linya maє coordinate a = (2; 3; 1). Madaling dalhin ang isa pang tuwid na linya hanggang sa isang canonical na hitsura.

Otzhe, b =(- 1 / 2 ; 1; 3 / 2) .

Mga vector a і b hindi parallel. Ang baho ay hindi patayo, ang mga shards

a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 2 (- 1 / 2) + 3 + 3 / 2 =/= 0.

Ang data ay tuwid, hindi parallel at hindi patayo.

Gawain 2. Alamin ang pagkakahanay ng tuwid na linya na dadaan sa puntong M 0 (2; -3; 4) patayo sa tuwid na linya

Tsya artikulo tungkol sa parallel lines at tungkol sa parallel lines. Ang pagtatalaga ng mga parallel na linya sa eroplano at malapit sa open space ay ibinibigay sa likod, ang pagtatalaga ay ipinakilala, at ang mga graphic na paglalarawan ng mga parallel na linya ay inilapat. Nagbigay sila ng mga palatandaan at naunawaan ang paralelismo ng mga tuwid na linya. Ang Visnovka ay nagpapakita ng mga solusyon ng mga gawaing katangian para sa pagpapatunay ng parallelism ng mga linya, pati na rin ang mga pagtatalaga ng naturang pagkakapantay-pantay ng isang tuwid na linya ng isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate sa isang eroplano at sa isang maliit na espasyo.

Navigation sa gilid.

Parallel direktang pangunahing tulay.

appointment.

Dalawang tuwid na linya sa eroplano ang tinatawag parallel bakit hindi ka mabaho mga hot spot.

appointment.

Dalawang tuwid na linya sa trivi-worldly space ang tinatawag parallel parang baho ng nakahiga sa isang flat at hindi natutulog sa sleeping points.

Igalang na ang babala na "na ang baho ay nasa parehong eroplano" sa mga itinalagang parallel na linya sa open space ay mas mahalaga. Ipaliwanag natin ang sandaling ito: ang dalawa ay tuwid sa isang trivi-worldly space, upang wala silang mga sleeping point at hindi nakahiga sa parehong eroplano, hindi parallel, ngunit cross.

Maglagay tayo ng ilang halimbawa ng parallel lines. Ang protilezhnі na mga gilid ng sheet zoshita ay nakahiga sa parallel na tuwid na mga linya. Diretso, sa likod kung saan ang patag ng dingding ng booth ay tumatawid sa patag ng stele at mga underlay, na parallel. Maaari mo ring makita kung gaano kapantay ang mga tuwid na linya sa isang pantay na talampakan.

Para sa kahulugan ng magkatulad na linya, ginagamit ang simbolo na "". Dahil ang tuwid na a at b ay magkatulad, maaari kang sumulat ng maikling a b.

Magpakita ng paggalang: dahil ang mga tuwid na linya a at b ay magkatulad, maaari mong sabihin na ang linya a ay parallel sa linya b, at maaari mong sabihin na ang linya b ay parallel sa linya a.

Matibay na matatag, na parang gumaganap ng mahalagang papel ng ilang magkatulad na linya sa eroplano: sa pamamagitan ng isang punto na hindi nakahiga sa ibinigay na linya, dumaan sa isang tuwid na linya, parallel sa ibinigay na linya. Ang assertion na ito ay tinatanggap bilang isang katotohanan (hindi ito maaaring patunayan sa batayan ng mga axioms ng planometry), at ito ay tinatawag na axiom ng parallel lines.

Ang sumusunod na theorem ay wasto para sa isang puwang sa isang espasyo: sa pamamagitan ng kung ang isang punto sa espasyo, na hindi nakahiga sa isang tuwid na linya, ay dumaan sa isang tuwid na linya, na kahanay sa ibinigay na isa. Ang Tsya theorem ay madaling madala sa tulong ng pagpapakilala ng mga axioms ng mga parallel na linya (її maaari mong malaman ang patunay mo mula sa handbook ng geometry 10-11 na klase, na ipinahiwatig sa artikulo sa listahan ng mga sanggunian).

Parallelism of straight lines - signs of that mind parallelism.

Tanda ng magkatulad na linya May sapat na katalinuhan para sa paralelismo ng mga tuwid na linya, upang ang gayong pag-iisip, na ginagarantiyahan ang paralelismo ng mga tuwid na linya. Sa madaling salita, vykonannya tsієї mag-isip ng sapat upang alamin ang katotohanan ng mga parallel na linya.

Gayundin, kinakailangan upang maitaguyod ang kinakailangan at sapat na pag-iisip ng paralelismo ng mga tuwid na linya sa eroplano at sa walang kuwentang espasyo.

Ito ay maliwanag na baguhin ang pariralang "na ang sapat na mental parallelism ng mga tuwid na linya ay kinakailangan".

Sa sapat na mental parallelism ng mga tuwid na linya, naayos na namin. At ano ito? kinakailangang isip paralelismo ng mga tuwid na linya? Sa likod ng pangalang "kailangan" ay naunawaan na ang vikonnannya tsієї isip ay kinakailangan para sa paralelismo ng mga linya. Sa madaling salita, kung ang parallelism ng mga linya ay hindi kinakailangan, kung gayon ang mga linya ay hindi parallel. sa ganoong paraan, kinakailangan na sapat na mental parallelism ng mga tuwid na linya- Tse isip, vykonannya bilang ito ay kinakailangan, kaya ito ay sapat na para sa paralelismo ng mga tuwid na linya. Iyon ay, mula sa isang panig ay may isang tanda ng paralelismo ng mga tuwid na linya, mula sa kabilang panig - integridad, na parang makikita ang mga parallel na linya.

Ang unang hakbang ay upang bumalangkas ng kinakailangang paralelismo ng mga tuwid na linya, sapat para sa isip, upang hulaan ang kaunting karagdagang mga palatandaan.

Tuwid na linya- Tse ay tuwid, na parang tumatawid kami sa balat sa dalawang tuwid na linya.

Kapag nagretiro, dalawang tuwid sichny utvoryuyuyutsya vіsіm hindi nasunog. Para sa pormularyo kinakailangan at sapat na paralelismo ng isip ng mga tuwid na linya ay kinukuha ang kapalaran ng tinatawag na baligtad na nakahiga, nakahigaі unilateral kuti. Ipakita ang mga ito sa armchair.

Teorama.

Bilang dalawang tuwid na linya sa eroplano ng intersection ng sichny, kung gayon para sa kanilang paralelismo ito ay kinakailangan at sapat, upang ang mga hiwa ay tumawid, sila ay nakahiga, sila ay pantay, o ang dalawang panig ay pantay, o ang kabuuan ng isa- Ang mga sided cut ay 180 degrees.

Magpakita tayo ng isang graphic na paglalarawan ng kinakailangan at sapat na parallelism ng isip ng mga tuwid na linya sa isang eroplano.

Makakahanap ka ng katibayan ng parallelism ng mga tuwid na linya mula sa mga katulong ng geometry para sa 7-9 na mga klase.

Mahalaga na sa tingin mo ay maaari kang magwagi at sa isang maliit na espasyo - isang smut, upang ang dalawang tuwid na linya ay nakahiga sa parehong eroplano.

Ipakilala natin ang ilan pang theorems, na kadalasang hinahamon para sa pagpapatunay ng paralelismo ng mga linya.

Teorama.

Kung ang dalawang linya sa eroplano ay parallel sa ikatlong linya, kung gayon ang baho ay parallel. Ang patunay na ang mga palatandaan ay maliwanag mula sa mga axiom ng magkatulad na linya.

Ito ay kahalintulad sa parallelism ng isip ng mga tuwid na linya sa walang kuwentang espasyo.

Teorama.

Tulad ng dalawang tuwid na linya sa espasyo parallel sa ikatlong tuwid na linya, ang lahat ng mga baho ay parallel. Patunay na ang mga palatandaan ay nakikita sa mga aralin sa geometry sa grade 10.

Ilarawan natin ang tunog ng theorem.

Ipinakilala namin ang isa pang teorama, na nagpapahintulot sa amin na dalhin ang paralelismo ng mga linya sa eroplano.

Teorama.

Tulad ng dalawang tuwid na linya sa isang eroplano na patayo sa pangatlong tuwid na linya, sila ay parallel.

Mayroong katulad na teorama para sa mga linya sa espasyo.

Teorama.

Tulad ng dalawang tuwid na linya sa isang maliit na kalawakan, patayo sa isang eroplano, ang baho ay parallel.

Imaginably maliliit, yakі vіdpovіdat zim theorems.

Ang lahat ng mga pormulasyon ng theorem, mga palatandaan at mga kinakailangang sapat na isip ay mahimalang angkop para sa pagpapatunay ng paralelismo ng mga tuwid na linya sa pamamagitan ng mga pamamaraan ng geometry. Kaya, upang dalhin ang parallelism ng dalawang mga gawain ng mga tuwid na linya, kinakailangan upang ipakita na sila ay parallel sa ikatlong tuwid na linya, o upang ipakita ang pagkakahanay ng mga hiwa, upang magsinungaling, at iba pa. Ang mga anonymous na katulad na gawain ay nilalabag sa unang oras ng mga aralin sa geometry sa isang hindi pamilyar na sekondaryang paaralan. Gayunpaman, dapat tandaan na sa mga rich vipads madaling gamitin ang paraan ng mga coordinate upang patunayan ang parallelism ng mga linya sa eroplano o sa walang kuwentang espasyo. Binubuo namin ang kinakailangang sapat na pag-unawa sa paralelismo ng mga linya, bilang isang gawain para sa isang hugis-parihaba na coordinate system.

Parallelism ng mga linya sa isang rectangular coordinate system.

Sa talatang ito, ang mga istatistika ay nabuo kinakailangan at sapat upang maunawaan ang paralelismo ng mga tuwid na linya sa isang rectilinear coordinate system, ito ay fallow sa anyo ng rіvnyan, na nangangahulugang tsі tuwid na linya, at gayundin kami ay magbuod ng mga ulat ng pamamahagi ng mga gawaing katangian.

Tandaan natin ang parallelism ng dalawang linya sa eroplano ng rectangular coordinate system na Oxy . Sa batayan ng yoga patunayan na kasinungalingan pagtatalaga ng direktang vector ng linyaі ang normal na vector ng tuwid na linya sa flat.

Teorama.

Para sa parallelism ng dalawang di-insidenteng linya sa eroplano, kinakailangan at sapat na ang mga direktang vector ng mga linyang ito ay collinear, o ang mga normal na vector ng mga linyang ito ay collinear, o ang direktang vector ng isang linya ng patayo sa normal. vector ng kabilang linya.

Malinaw, ang mental parallelism ng dalawang linya sa eroplano ay maaaring mabawasan sa (direktang mga vector ng mga linya o normal na mga vector ng mga linya) o sa (direktang vector ng isang linya ng normal na vector ng kabilang linya). Sa ganitong pagkakasunud-sunod, bilang i - direktang mga vector ng mga linya a і b at і - ang mga normal na vector ng mga tuwid na linya a at b ay tama, kung gayon kinakailangan na ang sapat na mental parallelism ng mga tuwid na linya a at b ay nakasulat bilang , o , o de t ay isang tunay na numero. Ang mga coordinate ng mga tuwid na linya at (o) mga normal na vector ng mga tuwid na linya a at b ay may sariling hanay ng mga coordinate sa likod ng mga ibinigay na linya ng mga tuwid na linya.

Zokrema, parang isang tuwid na linya a sa Oxy rectangular coordinate system sa eroplano tuwid na linya isip , at tuwid na linya b - pagkatapos ay ang mga normal na vectors ng tsikh tuwid na mga linya ay maaaring maging mga coordinate і vіdpovіdno, at ang parallelism ng Um ng mga linya a і b ay isusulat bilang .

Yakshcho direktang isang vіdpovіdaє pagkakahanay ng mga tuwid na linya na may cut coefficient isip , at ang linya b - , kung gayon ang mga normal na vector ng mga linyang ito ay maaaring may mga coordinate i , at ang mental parallelism ng mga linyang ito ay makikita . Gayundin, kahit na ang mga linya sa eroplano ng isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate ay parallel at maaaring itakda na katumbas ng mga linya na may mga apex coefficients, kung gayon ang mga apex coefficient ng mga linya ay magiging pantay. Una sa lahat: kahit na ang mga tuwid na linya, na hindi yumuko, sa isang eroplano sa isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate ay maaaring itakda ng mga tuwid na linya na may pantay na mga coefficient ng gilid, kung gayon ang mga tuwid na linya ay magkatulad.

Tulad ng tuwid na linya a at tuwid na linya b sa isang straight-line coordinate system canonical alignment ng mga tuwid na linya sa patag isip і , o parametric alignment ng isang tuwid na linya sa isang eroplano isip і malinaw naman, ang mga direktang vector ng mga linyang ito ay maaaring mga coordinate i , at ang mental parallelism ng mga linyang a at b ay nakasulat bilang .

Tingnan natin ang isang bilang ng mga aplikasyon.

puwit.

Chi parallel lines і?

Solusyon.

Muli nating isulat pagkakahanay ng mga tuwid na linya sa mga paikot-ikot sa paningin ng isang ligaw na tuwid na linya: . Ngayon ay makikita mo na ang scho ay isang normal na vector ng mga tuwid na linya , at ang normal na vector ay isang tuwid na linya. Ang mga vector ng Qi ay hindi collinear, dahil walang ganoon numero ng petsa t , kung saan tama ang pagkakapantay-pantay ( ). Samakatuwid, hindi kinakailangan na pagtagumpayan ang pangangailangan para sa sapat na mental parallelism ng mga tuwid na linya sa eroplano, ang mga gawain ng mga tuwid na linya ay hindi parallel dito.

Mungkahi:

Hindi, hindi direktang parallel.

puwit.

Sila ba ay tuwid at parallel?

Solusyon.

Navigable canonically equal diretso sa pantay na tuwid mula sa cut coefficient: . Ito ay malinaw na ang pagkakapantay-pantay ng mga tuwid na linya at pareho (para sa iba't ibang mga gawain, ang mga tuwid na linya ay maiiwasan) at ang kutovі coefficients ng direktang katumbas, gayundin, vihіdnі tuwid na mga linya ay parallel.