Zavdannya, ce înțelegi integrală cu sârmă.

Este acceptabil ca funcția elementelor să fie atribuită și notează suma

așa cum se numește integrală.

Î: Sub integrala sing (o.i.) ca funcție și ca alegere

Desemnare:

Numerele se numesc integrate (după Rіman) pe .

T. іsnuvannya: Pentru mintea ta, sho.

Vіdpovіdno până la numirea lui o.i. este semnificativ faptul că integrala poate fi depusă în formă

Vіdpovіdno până la cl.17.1.1 și 17.1.2 și o. notăm formulele pentru aria trapezului curbiliniu: , forțe robotice

pe:

Înțelegerea sumelor sub-integrale, integrale.

Baza integralei cu fir, astfel încât suma interintegrală pentru data este evidentă, deoarece granița dă volumul unui corp cilindric. Cu toate acestea, tse mirkuvannya nu є suvorim. În cursurile superioare de întărire, este necesar să se ridice și să se numească teorema pe baza integralei subverticale.

Teorema іsnuvannya. Fie că este o funcție, fără întrerupere într-o zonă închisă, unde pot măsura a, există o sub-integrală, astfel încât să existe o sumă inter-integrală cu o creștere nerestricționată a numărului de maidanchik-uri mici pentru minte, că pielea din ele este trasă într-o pată. Granița Tsya nu poate fi depusă în modul de rupere a regiunii, ci pe de o parte, nu în alegerea punctelor.

Nadalі mi vzglyaditimemo nicio funcție, fără întrerupere în sfera integrării.

Din teorema fundației, putem, de exemplu, împărți regiunea în dreptunghiuri mici cu laturile drepte paralele cu axele de coordonate (Fig. 230). Când tsimu. Vibirayuchi potim la nivelul pielii rectului mic prin puncte pe care le putem scrie, zgіdno z denumiri ale integralei subverticale

Pentru a susține că integrala subiacentă poate fi câștigată, ca între suma minții, numele semnului vicorist este și semnul

Viraz se numește element al unui pătrat în coordonate carteziene și un pătrat suplimentar al unui dreptunghi cu laturile paralele cu axele de coordonate.

Este important ca, atunci când geanta integrală este pliată, maidanele, care se învecinează cu inter-regiune, să nu formeze dreptunghiuri. Cu toate acestea, se poate aduce că grațierea pentru înlocuirea unor astfel de maidanchik-uri cu pătrate între pătrate va fi redusă la zero.

Puterea integralelor subordonate

Dominanța sub-integralei (acel yogo visnovok) este analogă cu dominația integralei cântând o singură dată.

1°. Aditivitatea. Care este funcția f(X, y) integrat în regiune Dși ca zonă D pentru curba de ajutor G zona zero este împărțită în două verigi și nu atenuează punctele interne înalte ale regiunii D 1 ta D 2, apoi funcția f(X, y) integrate în zonele pielii D 1 ta D 2, de altfel

2°. Putere liniară . Ce functii f(X, y) acea g(X, y) integrarea în zonă D, A α і β - fie că este vorba de numere de vorbire, apoi funcția [ α · f(X, y) + β · g(X, y)] este de asemenea integrat în regiune D, în plus

3°. Ce functii f(X, y) acea g(X, y) integrarea în zonă D, apoi funcții suplimentare ale acestor funcții sunt integrate în D.

4°. Ce functii f(X, y) acea g(X, y) integrarea ofensivă în regiune Dși peste tot în galeria mea f(X, y) ≤ g(X, y), apoi

5°. Care este funcția f(X, y) integrat în regiune D, acele funcții | f(X, y)| integrat în regiune D, în plus

(Desigur, cu integrare | f(X, y)| în D nu arată integrare f(X, y) în D.)

6°. Teorema valorii medii. Ce funcție jignitoare f(X, y) acea g(X, y) integrarea în zonă D, funcție g(X, y) este invizibil (nepozitiv) peste tot în această galerie, Mі m- limitele superioare și inferioare exacte ale funcției f(X, y) în regiunea D, apoi există un număr μ care satisface nervozitatea m ≤ μ ≤ Mși astfel încât formula să fie valabilă

Zocrema, ca o funcție f(X, y) este neîntreruptă în D, și zona D zv'yazkova, atunci în această galerie există un astfel de punct ( ξ , η ), ce μ = f(ξ , η ), iar formula (11) arată ca

MIȘCAREA INTEGRALLOR

prelegerea 1

Integrale susținute.Scopul integralei subcurentului este acela al puterii. Integrari repetate. Legături dintre integralele inferioare și cele repetate. Plasarea între integrare. Calculul integralelor subiacente ale sistemului de coordonate carteziene.

Sub-integrala este o aprofundare a înțelegerii integralei sing în diferite funcții a două variabile. În acest fel, inversul integrării va fi prezent ca o figură plată.

Haide D- Dejaka este o zonă închisă, mărginită și f(X y) - o funcție suficientă, a fost marcată de această galerie. Să presupunem că între regiuni D se adună din ultimul număr de curbe, sarcinile de la colegi minte y=f(X) sau X=g( y), de f(X) acea g(y) sunt funcții neîntrerupte.

regiunea Rozib'ёmo D rang decent pe n parte. zonă i-ї delyanki are semnificație prin simbolul D s i. Pe piele dilyantsi, destul de un vibe este un punct Pi,și lăsați-l să iasă în be-yak_y fixând coordonatele maє ale sistemului cartezian ( x i ,y i). Sklademo suma integrală pentru functie f(X y) pe regiune D, pentru care valoarea funcției este cunoscută în toate punctele Pi, înmulțind їх cu aria parcelelor duble Ds iȘi presupunem că toate rezultatele sunt luate:

Nazvemo diam(G) zone G cea mai mare distanță dintre punctele de limită ale regiunii.

Integral funcții f(X y) în zona D se numește graniță, în ce măsură șirul sumelor integrale (1.1) cu o creștere nerestricționată a numărului de pauze n (la cine). Scrieți așa

Este demn de remarcat faptul că, aparent, suma integrală pentru o funcție dată și o anumită zonă de integrare este să se încadreze în calea extinderii ariei D pentru a selecta punctul Pi. Prote yakshcho podviyny іsnuє іsnuє, înseamnă că între sumele vіdpovіdny іntegrаlny nu este posibil să se situeze între chinnikіv desemnat. În ordine(sau, după cum se pare, funcția generală f(X y) este integrat în domeniul D), este suficient ca funcția integrală a boolului neîntreruptă la integrarea galeriei de sarcini.

Hai la funcție f(X y) integrat în regiune D. Fragmentele dintre sumele cumulate pentru astfel de funcții nu pot fi acumulate prin metoda de împărțire a zonei de integrare, împărțirea poate fi efectuată cu ajutorul liniilor verticale și orizontale. Todі mai mulți oameni de afaceri din regiune D Matime cu aspect drept, zona unui astfel de dorivnyu D s i=D x i D y eu. Prin urmare, diferența de suprafață poate fi scrisă ca ds=dxdy. Otzhe, în sistemul de coordonate carteziene sub integrale poti nota la vedere

Respect. Ca și funcția integrand f(X y)º1, atunci subintegrala zonei regiunii de integrare este:

În mod semnificativ, acele integrări subliniate pot fi de aceeași putere, precum și integrate individual. Faptele lor sunt semnificative.

Puterea integralelor subordonate.

1 0 .Putere liniară. Integrală a sumei funcțiilor celeilalte sume a integralelor:

iar multiplicatorul constant poate fi acuzat pentru semnul integralei:

2 0 .Putere aditivă. Deoarece zona de integrare D este împărțită în două părți, atunci subintegrala este mai completă decât suma integrărilor peste partea pielii:

3 0 .Teorema mediei. Care este funcția f( X y)este continuă în regiunea D, atunci există un astfel de punct în galerie(x, h) , ce:

În continuare după nutriție: cum se calculează subintegralele? Yogo poate fi virahuvati aproximativ, cu această metodă este rupt metode eficiente sume îndoite ale sumelor cumulate, care sunt apoi calculate numeric cu EOM suplimentară. Cu un calcul analitic al subintegralelor, acestea sunt reduse la două integrale.

Integrale suspendate pentru ceainice

Această lecție introduce marea temă a integralelor multiple, din care studenții vor scoate un alt curs. Mută ​​asta prin integrale triple puteți zalyakate tapițeria nu mai sus, mai jos diferențiale egale la acel vіdrazu, să aruncăm o privire la mâncare: bine, ce este? Zvichayno, deakim va fi coerent și, sincer, am defăimat puțin cu statisticile de numire - pentru a învăța cum să virishuvati podvіynі іntegrali, este necesar mama deyakі novice. În primul rând, dacă te ocupi de integrări, atunci, evident, va trebui să te integrezi. Logică. Otzhe, pentru dezvoltarea de aplicații, trebuie să știți integrale nesemnificative acel număr integrale liniare bi fierbinte la nivelul mijlociu. O noutate bună este faptul că prin forțe puternice s-au integrat în vipadkiv mai mare pentru a o face simplu.

Cine devine greu? am inteles in dreapta. Tim, care a băut multă bere în primele semestre. Cu toate acestea, studenții normali pot fi copleșiți - pe site există toate materialele pentru a completa golurile sau de neînțeles. Se întâmplă să petreci mai mult de o oră. Possilannya pe acelea, yakі a alunecat vyvchiti sau repetă, dodavatimutsya pіd ora statti.

La lecția introductivă, pas cu pas, se vor discuta următoarele momente de bază:

– Înțelegerea integralei curente de curent

– Zona de integrare. Ordinea de ocolire a regiunii de integrare. Cum se schimbă ordinea bypass-ului?

După aceea, deoarece înțelegeți BINE toată Asia, puteți merge la articol Cum se calculează integrala subestimată? Aplicați soluția. În plus, există o sarcină mai largă de calculul integralei de rulare în coordonate polare acel supliment tipic despre semnificație pentru centrul de greutate al unei figuri circumscrise plate.

Să începem cu mâncarea obscure - ce este?

Înțelegerea integralei curente

Integrala subvariantă a persoanei ignorante se scrie astfel:

Să aruncăm o privire asupra termenilor și definițiilor:
- Icoana integralei verticale;
- Zona de integrare (cifră plată);
- Funcția integrală a două variabile, adesea este simplă;
- Ecusoane ale diferențialelor.

Ce înseamnă să calculezi integrala subestimată?

Calculați integrala de bază - tse înseamnă stiu KILO. Cel mai simplu număr:

І vkray bazhano cunoaște corect yogo =)

Rezultatul (numărul) poate fi negativ. Și zero poate fi introdus cu ușurință. În special zupinivsya pentru un moment dat, studenții oskolki chimalo au fost neliniștiți, dacă ieși "altceva minunat."

Bagato care își amintește acel „superb” integrala valorica- Numărul Tezh. Cam așa e aici. Integrala cu sârmă are іsnuє i vіdminny zmist geometric, Ale despre tse pіznіshe, usumu svіy hour.

Cum se calculează integrala subestimată?

Pentru a calcula integrala de bază, este necesar să o apelăm la următoarele repetăm ​​integralele. Zrobiti tse posibil doua feluri. Cea mai mare extensie a metodei ofensive:

Adjunctul aprovizionării cu alimente este necesar să se înființeze între integrare. Mai mult decât atât, semnele nutriționale ale integralei exterioare sunt singure - tse numere, iar subfirele semnelor nutritive ale integralei interioare sunt funcții odnієї zminnoї , scho a depune sub formă de „iks”.

Luați stelele între integrare? Duhoarea este să se întindă într-un v_d tsgogo, ca și pentru mintea capului zonei date. Zona este o figură plată splendidă, cu care v-ați lipit în mod repetat, de exemplu, când zone numerotate ale cifrelor plate sau calculul volumului de ambalaj corporal. Nezabar știi să plasezi corect granițele integrării.

După aceea, pe măsură ce se decide trecerea la integralele repetate, se efectuează următorul calcul fără intermediar: se ia mai întâi integrala interioară, apoi cea exterioară. Unul dupa altul. Numele Zvіdsi - integrale iterative.

Aproximativ, sarcina este de a număra până la calculul a două integrale cântătoare. Cum totul nu este atât de coerent și înfricoșător și cum ai dat de integrala cântară „singulară”, de ce ai nevoie pentru a fi separat de două integrale?!

O altă modalitate de a trece la integrale iterate este mai simplă:

Ce s-a schimbat? Ordinea integrării s-a schimbat: acum integrala interioară este luată pentru „ix”, iar cea exterioară - pentru „iplayer”. Între integrare, marcat cu stele - fi diferit! Una câte una stelele integralei exterioare - tse numere, iar stelele subiacente ale integralei interioare sunt functii de intoarcere, scho a minți sub formă de „igrok”.

Care bi mi nu a ales calea de tranziție la integrări repetate, sunet rezidual de obov'yazkovo viide că în sine:

Vă rog, amintiți-vă importanța puterii, deoarece este posibil să vikoristovuvati, zokrema, pentru re-verificarea soluției.

Algoritm pentru rezolvarea subintegralei:

Sistematizăm informațiile: în ce ordine ar trebui să priviți sarcina?

1) Este necesar să visconezați scaunul. Fără fotoliu, sarcina este să nu rupi. Mai precis, nu vei câștiga, dar va fi similar cu un joc în cecuri. Pe fotoliu, descrieți zona ca o figură plată. De cele mai multe ori, figura este simplă și înconjurată de linii, parabole, hiperbole etc. Competent că shvidku tekhnіku pobudovі koslene poate fi stăpânit în lecții Grafice și puteri de bază ale funcțiilor elementare, transformarea geometrică a graficii. Otzhe, prima etapă este vikonatia fotoliului.

2) Configurați între integrări și treceți la integrări repetate.

3) Luați integrala interioară

4) Luați integrala curentă și scădeți diferența (numărul).

Zona de integrare. Ordinea de ocolire a regiunii de integrare.
Cum se schimbă ordinea bypass-ului?

În acest paragraf, putem vedea cea mai importantă alimentație - cum să mergem la integrări repetate și să plasăm corect între integrări. După cum s-a spus mai multe, puteți proceda astfel:

Îmi place asta:

În practică, sarcina cea mai stângace duce la cele mai multe dificultăți, iar elevii se pierd adesea în procesul de integrare. Să ne uităm la un exemplu concret:

fundul 1

Soluţie: Să vizualizăm zona de integrare pe fotoliu:

Zvichayna silueta plată și nimic special.

Acum voi vedea un instrument de îngrijire a pielii pentru tine - un băț de săpat, un indicator laser. Sarcina este de a scana punctul de piele al zonei umbrite:

Promin laserul să treacă de zona de integrare strict la vale, atunci trebuie să finalizați comanda inferior figuri plate. Promin să intri în regiune prin toată abscisa, așa cum ești rugat de egali și să ieși din regiune printr-o parabolă (săgeată roșie). Pentru a lumina întreaga regiune, ai nevoie ascuţit furios la dreapta trage o vkazіvka vzdovzh osі vіd 0 la 1 (săgeată verde).

Otzhe, ce sa întâmplat:
„Іgrek” se schimbă de la 0 la ;
„ix” se schimbă de la 0 la 1.

Pentru sarcini, se spune că cele de mai sus sunt scrise în caz de neconcordanțe:

Denumiți datele de inconsecvență ocolind galeria integrării sau doar ordinea integrării

După ce am rezolvat ordinea de ocolire, putem trece de la integrala subcurent la integralele iterate:

Jumătate din sarcină este finalizată. Acum este necesar să trecem la integralele iterate într-un mod diferit. Pentru cine ar trebui să cunoașteți funcțiile esențiale. Cine este familiarizat cu un alt paragraf al lecției Impachetare corporală de volum asta va fi mai usor. Privind funcțiile care definesc zona . Este și mai simplu, apoi mergi la funcțiile de întoarcere, ceea ce înseamnă să spui „iksi” prin „igreeks”. O singură funcție, de є i "iks" și "iplayer", є.

Yakscho, deci, mai mult:
funcția de inversare setează partea dreaptă a parabolei;
Funcția de inversare setează colțul din stânga al parabolei.

Nu este neobișnuit să dai vina pe sumniv, axa, de exemplu, funcția de a semna stânga sau dreapta parabolei? Rezumarea diferențelor este și mai simplă: luați un punct parabolic, de exemplu, (din acul din dreapta) și setați coordonatele într-o linie dreaptă, de exemplu, aceeași linie:

Egalitatea corectă este eliminată, de acum înainte, funcția este atribuită la mâna dreaptă a parabolei, dar nu la stânga.

Mai mult decat atat reverb tsyu(gânduri abo în negru) petrece seara după aceea, deoarece ați trecut la funcțiile de returnare. Nu voi împrumuta nimic pentru o oră, dar voi cânta iertare pe coastă!

Regiunea de integrare este ocolită în alt mod:

Acum putem tăia indicatorul laser levoruch vizualizați integrarea galeriei. Zona de trecere laser Promin ascuţit furios la dreapta. La la acest tip anume Intrați în regiune prin acul parabolic și ieșiți din regiune printr-o linie dreaptă, așa cum este stabilit de egal (săgeata roșie). Pentru a scana întreaga zonă cu un laser, este necesar să se efectueze o axă vzdovzh strict la vale introduceți 0 la 1 (săgeată verde).

În acest mod:
„iks” se modifică de la până la 1;
„Іgrek” se schimbă de la 0 la 1.

Procedura de ocolire a zonei de lângă înregistrarea ca nereguli:

Apoi, trecerea la integrări repetate este următoarea:

Vidpovid se poate scrie asa:

Încă o dată, voi ghici că rezultatul rezidual nu poate fi calculat, în funcție de ordinea de ocolire a regiunilor a fost aleasă (egalitatea este stabilită pentru aceasta). Cu toate acestea, este încă departe de rezultatul final, acum sarcina noastră nu mai este să plasăm corect interintegrarea.

fundul 2

Danemarca este subintegrală cu regiunea de integrare. Accesați integrările repetate și extindeți-vă între integrări în două moduri.

Acesta este un exemplu de soluție independentă. Trezește cu competență scaunul luați o linie dreaptă pe ocolire(stele și unde să strălucești cu un indicator laser). Zrazok design fin ca o lecție.

Cel mai sarcini tipice trociurile sunt zbârcite într-o formulă diferită:

fundul 3

Induceți zona de integrare

Soluţie: Pentru minte, a fost dat primul mod de a ocoli regiunea. Deciziile încep din nou de la scaun. Aici regiunea nu se află pe un platou de argint cu un oblyamіvkoy blaky, ci pentru a vă încuraja să nu creați dificultăți speciale. Pe dosul mâinii funcţionează „knіmaєmo” din interintegrare: , . Funcția, în mod arbitrar, stabilește o linie dreaptă, dar ce stabilește funcția? Să її troch schimbare:
- în apropierea centrului pe cobul coordonatelor razei 2. Funcția w stabilește linia superioară (nu uitați, dacă o însumați, atunci puteți seta oricând un punct care se află pe linia superioară sau inferioară).

Ne întrebăm între integrala exterioară: „ix” se schimbă de la -2 la 0.

Fotolii Vikonaemo:

Pentru a fi precis, am indicat cu săgeți prima modalitate de a ocoli regiunea, care, la rândul său, spune integralele iterative ale minții: .

Acum este necesar să schimbăm ordinea de ocolire a regiunii, pentru care vom merge la funcțiile de rotire (adică „iksi” prin „іgreki”):

Nu cu mult timp în urmă, am rearanjat funcția la nivelul mizei, să spunem „iks”:
Prin urmare, sunt necesare două funcții esențiale:
- Semnarea pivkolo dreapta;
- Leva pіvkolo semnificativă.
Știu la fel, ca și cum ar fi învinuit sumniv, ia un punct de miză și spune, de stânga și de dreapta.

Schimbați ordinea de ocolire a zonei:

Zgidno cu altă cale, promin laser introduce spre regiune levoruch prin leul pivkolo i mergi cu mana dreapta printr-o linie dreaptă (săgeată roșie). La aceeași oră inserarea laserului se efectuează pe axa ordonatelor în sus introduceți 0 la 2 (săgeată verde).

În această ordine, ordinea de a ocoli zona:

Zagal poate fi scris aluzie:

fundul 4

Acesta este un exemplu de soluție independentă. Fundul nu mai este pliabil, dar respectă procedura de a ocoli o mână de sarcini într-un mod diferit! De ce să lucrezi într-un astfel de vipadkah? În primul rând, dând vina pe dificultățile scaunelor, cioburile scaunului fac ca programul funcției hemoragice să mă insinueze brusc. Recomand următoarea comandă diy: în primul rând, luăm funcția „primară” (spunem „gravets” prin „iks”). Vă vom oferi un program pentru funcția „extremă” (vă puteți răsfăța oricând dacă doriți să krapkovo). În mod similar, putem folosi o funcție liniară simplă mai mare: putem „grava” și conduce o linie dreaptă.

Analizăm golurile de interintegrare: intrăm în regiunea de mijloc prin i și ieșim prin . Când faceți totul corect, puteți trece la netezimea „greacă” de la -1 la 0. Deoarece ați desemnat o zonă de integrare pe scaun, schimbați ordinea de a merge în jurul depozitului de dificultăți speciale. Zrazok a conceput o soluție pentru o lecție.

Un fund asemănător îl voi rezolva puțin mai târziu.

Navіt yakscho ai înțeles totul bine, fii amabil, nu te grăbi, mergi drept înainte până la calculul integralei de rulare. Ordinea ocolului este bogată și e important să pui mâna pe unele capete, mai mult, încă nu m-am uitat la tot!

În fundurile chotyroh frontale, zona de integrare a fost văzută ca un întreg în sferturile de coordonate 1, 2, 3 și 4. De ce să aștepți așa? Nu, evident.

fundul 5

Schimbați ordinea integrării

Soluţie: Este ca un scaun, cu care graficul funcției este de fapt o parabolă cubică, pur și simplu nu se va „întinde pe o parte”:

Ordinea de ocolire a regiunii, care instruiește integralele iterate , marcat cu săgeți. Ar trebui să fie venerat că, în cursul vikonaniei scaunului, a fost pictată încă o figură conturată (levoruch în axa ordonatelor). Prin urmare, ar trebui să respectăm integrarea regiunii - pentru regiune puteți ierta cifra greșită.

Să trecem la funcțiile de returnare:
- avem nevoie de capul drept al unei parabole;

Să schimbăm ordinea de ocolire a regiunii. După cum vă amintiți, cu un alt mod de a ocoli zona, este necesar să scanați zona cu un comutator laser spre dreapta. Ale aici posterіgaєtsya cіkava rіch:

Cum se repara in situatii similare? În astfel de cazuri, împărțiți zona de integrare în două părți, iar pentru partea pielii, adăugați integrarea repetată:

1) Dacă „gravitația” se schimbă de la -1 la 0 (săgeată verde), atunci vă rugăm să introduceți regiunea printr-o parabolă cubică și să ieșiți printr-o linie dreaptă (săgeata roșie). Prin urmare, ordinea de a ocoli zona va fi următoarea:

2) Dacă „gravitația” se schimbă de la 0 la 1 (săgeata maro), atunci intrați prompt în zonă prin acul parabolic și ieșiți prin acea linie foarte dreaptă (săgeata purpurie). Apoi, ordinea de a ocoli zona va fi următoarea:

Am repetat integralele repetate:

Cântarea și integralele multiple au o anumită putere aditivitatea astfel încât să poată fi pliate, care într-un mod dat și mai departe să crească:
- Și axa și ne plimbăm în jurul regiunii într-un mod diferit, privind suma a două integrale.

Vidpovid scrie asa:

Ce ordine de eludare este cea mai evidentă? Zvichayno cel, care scrisoare este dată în mintea unei sarcini - veți număra de două ori mai puțin!

fundul 6

Schimbați ordinea integrării

Acesta este un exemplu de soluție independentă. La cel nou există un pivkol, a cărui analiză se pare că a fost revizuită în Anexa 3. Soluția a fost întocmită ca o lecție.

Și imediat, obіtsyane zavdannya, dacă o listă de sarcini este o altă modalitate de a ocoli regiunea:

fundul 7

Schimbați ordinea integrării

Soluţie: Dacă procedura de ocolire a sarcinilor într-un mod diferit, înainte de scaunul de trezire, este necesar să mergeți la funcțiile „superioare”. La care cap la cap, există doi pacienți pentru transformare: i.
Cu o funcție liniară, totul este simplu:

Graficul funcției este o parabolă cu pretenție de canonicitate.

Virazimo „iplayer” prin „ix”:

Luăm doi ace de parabolă: i. Yaku de la ei vibrati? Cel mai simplu este să vezi viconatul fotoliului. Dacă ați uitat materialul geometriei analitice despre o parabolă, atunci o insultă poate fi făcută lui krapkovo:

Încă o dată, respect faptul că pe acest fotoliu era o stropire de figuri plate și este important să alegeți o siluetă! La alegerea figurilor, care glumesc, ele vă vor ajuta între integrarea celorlalte integrale:
, moment în care nu uitați ce setează funcția de inversare toate parabolă.

Săgețile, care indică ocolul figurilor, indică exact limitele integrării integrărilor .

Dosit shvidko înveți să faci o astfel de analiză în mintea ta și să cunoști nevoia unei zone de integrare.

Dacă se găsește figura, partea finală a soluției este și mai simplă, schimbăm ordinea de ocolire a zonei:

Funcțiile de returnare sunt deja cunoscute și procedura necesară pentru ocolirea zonei:

Sugestie:

Exemplul final al unui paragraf pentru dezvoltare independentă:

fundul 8

Schimbați ordinea integrării

În exterior, soluția este că este similară cu lecția.

Să începem prin a ne uita la procesul de calcul al integralei subvariante și să o cunoaștem cu complexitate geometrică.

Sub-integrala este numeric superioară aria unei figuri plate (regiuni de integrare). Cea mai simplă formă a subintegralei, dacă funcția a două schimbătoare este: .

Ne putem uita în ceafă la privirea infamă. În același timp, te miști, totul este cu adevărat simplu! Calculați aria figurilor plate, înconjurat de linii. Pentru a cânta, este important să aveți un vіdrіzku. Zonele figurilor sunt numeric mai avansate:

Înfățișăm zona de pe fotoliu:

Alegeți prima modalitate de a ocoli zona:

În acest mod:

І un truc tehnic important: pot fi introduse integrale repetate. În primul rând, integrala interioară, apoi integrala exterioară. Recomand cu căldură drumul danez acelor ceainice.

1) Calculați integrala internă, cu care se realizează integrarea pentru schimbarea „gravet”:

Integrală nesemnificativă iată cea mai simplă, și mai învingătoare, formula banală a lui Newton-Leibnitz, cu aceeași diferență, că între integrări nu sunt numere, ci funcții. Partea din spate a capului a fost pusă în limita superioară „igrok” (funcția originală), apoi în limita inferioară

2) Rezultatul, scăzând din primul punct, trebuie adăugat la integrala curentă:

O înregistrare compactă mai mare a întregii soluții arată astfel:

Formula Otriman - aceasta este exact o formulă de lucru pentru calcularea ariei unei figuri plate pentru ajutorul integralei cântând „extremă”! Uimește-te de lecție Calculul ariei pentru ajutorul integralei sing, Iată-l pe croci piele!

Tobto, sarcina de a calcula suprafața pentru ajutorul integralei cu sârmă putini oameni le pasa pentru ajutorul integralei cântătoare! De fapt, este la fel!

În mod clar, nu este de vină pentru nicio dificultăți! Voi arunca o privire la fundurile mici, la cioburi de tine, de fapt, de mai multe ori lipite împreună cu aceste sarcini.

fundul 9

Pentru ajutorul integralei cu sârmă, calculați aria figurii plate, înconjurată de linii,

Soluţie:Înfățișăm zona de pe fotoliu:

Aria figurii este calculată cu ajutorul integralei subverticale pentru formula:

Alegeți următoarea ordine pentru a ocoli zona:

Aici și mai departe, nu mă opresc asupra modului de a privi în jur, cioburile din primul paragraf au fost aduse și mai clar.

În acest mod:

După cum am menționat deja, este mai ușor pentru cetățeni să calculeze integralele repetate mai rapid, pe care le voi adăuga la metodă:

1) Rândurile din spatele spatelui formulelor Newton-Leibniz sunt analizate cu integrala internă:

2) Rezultatul, scăzând primul croc, este înlocuit cu integrala existentă:

Punctul 2 - de fapt, respingerea zonei poziției plate cu ajutorul integralei sing.

Sugestie:

Axa este atât de rău și naїvne zavdannya.

Muc de Cicavi pentru cireș independent:

fundul 10

Pentru ajutorul integralei cu sârmă, calculați aria figurii plate, înconjurată de linii,

O privire asupra unei soluții finale de proiectare pentru o lecție.

În Prikladakh 9-10, este semnificativ mai important să câștigi primul mod de a ocoli regiunea, de a bea mai multă lectură, înainte de a vorbi, poți schimba ordinea de ocolire și de a calcula zona într-un alt mod. Dacă nu ierți, atunci, în mod natural, vei vedea propria ta zonă semnificativă.

1.1 Determinarea integralei verticale

1.2 Dominanța subintegralei

Dominanța sub-integralei (acel yogo visnovok) este analogă cu dominația integralei cântând o singură dată.

1°. Aditivitatea. Dacă funcția f(x, y) este integrată în domeniul D și dacă domeniul D dincolo de curba suplimentară Г zona zero este împărțită în două verigi și nu poate avea puncte interne comune ale domeniului D 1 și D 2, atunci funcția f(x, y) este integrată în piele din zonele D 1 și D 2, de altfel

2°. Putere liniară. Cum sunt integrabile funcțiile f(x, y) și g(x, y) în spațiul D, nu? eu? - fie că este vorba de numere de vorbire, atunci funcția [? f (x, y) + ? g (x, y)] este, de asemenea, integrat în domeniul D

3°. Deoarece funcțiile f(x, y) și g(x, y) sunt integrabile în domeniul D, atunci funcțiile suplimentare ale acestor funcții sunt integrabile în D.

4°. Cum pot fi integrate funcțiile f(x, y) și g(x, y) în domeniul D și traversează f(x, y)? g(x, y), atunci

5°. Deoarece funcția f(x, y) este integrată de domeniul D, atunci funcția a |f(x, y)| integrat în regiunea D, de altfel

(În mod evident, integrarea lui | f (x, y) | D nu arată integrarea lui f (x, y) în D.)

6°. Teorema valorii medii. Deși funcțiile ofensive f(x, y) și g(x, y) sunt integrate în domeniul D, funcția g(x, y) este invizibilă (nepozitivă) peste tot în această regiune, M și m sunt exacte. limitele superioare și inferioare ale funcției f( x, y) în regiunea D, atunci există un număr care satisface neuniformitatea lui m? ? ? M i astfel încât formula să fie validă

Sokrema, deoarece funcția f(x, y) este continuă D, iar domeniul D este conexat, atunci în acest domeniu există un astfel de punct (?, ?), Ce? = f(?, ?), iar formula arată ca

7°. Putere geometrică importantă. zona de locuit D

Fie ca corpul T (Fig. 2.1) să fie dat spațiului, sub zona D, fiarei - un grafic al unei funcții neîntrerupte și invizibile) z \u003d f (x, y,) așa cum este atribuit spațiului D, din laturi - o suprafață cilindrică, una directă є între zona D și sunt paralele cu axa Oz. Un corp de acest tip se numește corp cilindric.

1.3 Interpretarea geometrică a integralei verticale

1.4 Înțelegerea integralei verticale a unui dreptunghi

Fie ca o funcție suficientă f(x, y) să fie atribuită peste tot dreptunghiului R = ? (div. Fig. 1).

Rozmarin segment a? X? b cu n segmente parțiale dincolo de punctul auxiliar a = x 0< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.

Tsomu razbittya pentru ajutorul liniilor drepte, axe paralele Ox і Oy împarte dreptunghiul R în n · p dreptunghiuri parțiale R kl = ? (k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Indicat prin împărțirea dreptunghiului R, este semnificativ prin simbolul T. I-am dat o împărțire sub termenul „dreptunghi” pentru a înțelege dreptunghiul cu laturile paralele cu axele de coordonate.

Pe pielea dreptunghi chastkovy Rkl, alegem un punct întreg (?k,?l). După ce a pus ?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1, este semnificativ prin ?R kl a aria dreptunghiului R kl . Evident, ?R kl = ?x k ?y l .

se numește suma integrală a funcției f(x, y), care dă o distribuție dată T a unui dreptunghi R și o alegere dată de puncte intermediare (? k, l) pe dreptunghiuri parțiale ale unei distribuții T.

Diagonala se numește diametrul dreptunghiului R kl . Un simbol? În mod semnificativ, cel mai mare dintre diametrele tuturor rectocuturilor comune R kl .

Numărul I se numește granița sumelor integrale (1) la? > 0, cum poate fi un număr pozitiv? poti sa spui asa Data?, Ce la?< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство

| ? - eu |< ?.

Funcția f(x, y) se numește integrată (după Riemann) pe dreptunghiul R, deoarece există o limită finită între sumele I integrale ale funcției la? >0.

Limita desemnată I se numește subintegrală a funcției f(x, y) de către dreptunghiul R și este notă cu unul dintre următoarele simboluri:

Respect. Deci, la fel ca pentru o integrală unică, se stabilește că funcția f(x, y) este integrată pe dreptunghiul R și este circumscrisă acestui dreptunghi.

Acest lucru oferă posibilitatea de a privi mai departe de granița funcțiilor f(x, y).

Sub-integrala are puterea, analogă cu puterea integralei sing. Semnificativ mai puțin decât cele principale:

1. Care sunt funcțiile
integrare în regiune
, atunci integrarea în ele este suma și diferența, de altfel

2. Multiplicatorul constant poate fi acuzat pentru semnul integralei subvariante:

3. Yakscho
integrat în regiune
, iar această zonă este împărțită în două zone care nu se suprapun і
, apoi

.

4. Yakscho
і
integrare în regiune
, în yakіy

, apoi

.

5. Ce este în zonă
funcţie
mulțumit de neconcordanțe


de
і
 acte dіysnі numere, apoi

,

de – zona regiunii
.

Demonstrațiile acestor puteri sunt analoge cu demonstrația teoremei a doua pentru integrala simplă.

Calculul integralei verticale în coordonate carteziene dreptunghiulare

Să fie necesar să se calculeze integrala de bază
, de area - Dreptunghiular, care se caracterizează prin nereguli ,.

Să presupunem că
neîntrerupt în același dreptunghi și nabuvay în noua valoare necunoscută, chiar dacă integrala volumului corpului cu baza , franjuri cu fiara deasupra
, din laturi - apartamente
,
,
,
:

.

De cealaltă parte, o astfel de cifră poate fi calculată cu ajutorul integralei sing:

,

de
- aria de traversare a acestui corp cu un plan care trece printr-un punct și perpendicular pe axă
. Cioburi de analiză încrucișate cu un trapez curbiliniu
, înconjurat de fiară cu un grafic al funcției
, de fix, și , apoi

.

Z tsikh triokh egalități vyplivaє, scho

.

De acum înainte, calculul integralei de bază a fost calculul celor două integrale sing; la calcularea „integralei interne” (scrisă în arcade) a fi imuabil.

Respect. Puteți explica că restul formulei este corectă când
, precum și dintr-o privire, dacă funcția
schimba semnul dreptunghiului indicat.

Drepturile părții formulei se numesc integrală iterată și sunt desemnate după cum urmează:

.

În mod similar, se poate demonstra că

.

Mai presus de ceea ce s-a spus, te plângi

.

Egalitatea rămasă înseamnă că rezultatul integrării ar trebui să cadă în ordinea integrării.

Pentru a arunca o privire la cea mai adâncă pantă, să introducem înțelegerea zonei standard. Zona standard (sau corectă) dată direct axei se numește o astfel de zonă, pentru care ar trebui să fie dreaptă, paralelă cu centrul axei, intercalate între zona nu mai mult, mai joasă în două puncte. Altfel, se pare, răsturnând regiunea în sine, că cordonul її este doar o briză dreaptă.

Este acceptabil ca regiunea să fie înconjurată

care este înconjurat de fiară cu un grafic al funcției
, în partea de jos - graficul funcției
. Hai R ( ,) - dreptunghi minim, în care este așezată regiunea
.

Mergeți în zonă
acea funcție neîntreruptă este atribuită
. Să introducem o nouă funcție:

,

similar puterilor integralei cu fir

.

Eu, mai târziu,

.

Oskіlki vіdrіzok
pentru a acoperi zona
apoi, mai târziu,
la


, dar se află într-o poziție vіdrіzkom, atunci
.

Cu fix putem scrie:

.

Prima și a treia integrală din partea dreaptă se adună la zero, atunci

.

Otzhe,

.

De ce este necesar să folosiți formula pentru calcularea integralei de rulare pe aria axei standard
prin link-ul către integrala repetată:

.

Regiunea Yakscho
є axa dreaptă y standard
ea apare ca neconcordanțe ,

, la fel, se poate dovedi că

.

Respect. Pentru regiune
, axe drepte standard y
і
, vor fi viconi

Pentru această formulă, există o modificare a ordinii integrării și a orei de calcul a integralei subliniare.

Respect. De îndată ce aria de integrare încetează să fie standard (corectă) la ambele axe de coordonate, її se împarte la suma ariilor standard și reprezintă integrala ca suma integrărilor din aceste zone.

fundul. Calculați integrala rulantă
pe regiune
, înconjurat de linii:
,
,
.

Soluţie.

Zona Tsya є axa standard yak schodo
, deci eu
.

Calculăm integrala, ținând cont de aria axei standard
.

.

Respect. Cum se calculează integrala, ținând cont de aria axei standard
, luăm același rezultat:

.

fundul. Calculați integrala rulantă
pe regiune
, înconjurat de linii:
,
,
.

Soluţie.În mod reprezentativ, regiunea de integrare este dată celui mic.

Zona Tsya є axa schodo standard
.

.

fundul. Modificați ordinea integrării pentru integrarea repetată:

Soluţie. Să ne imaginăm regiunea integrării.

Din liniile de interintegrare, cunoaștem liniile care încadrează zona de integrare: ,
,
,
. Pentru a schimba ordinea integrării, putem ca funcţii în și știm punctele de trecere:

,
,
.

Deci, pe unul dintre intervale, funcția se exprimă prin două virase analitice, atunci zona de integrare trebuie împărțită în două zone, iar integrala repetată a impozitului este suma a două integrări.

.