Sub-integrala are puterea, analogă cu puterea integralei sing. Semnificativ mai puțin decât cele principale:

1. Care sunt funcțiile
integrare în regiune
, atunci integrarea în ele este suma și diferența, de altfel

2. Multiplicatorul constant poate fi acuzat pentru semn integrală cu sârmă:

3. Yakscho
integrat în regiune
, iar această zonă este împărțită în două zone care nu se suprapun і
, apoi

.

4. Yakscho
і
integrare în regiune
, în yakіy

, apoi

.

5. Ce este în zonă
funcţie
mulțumit de neconcordanțe


de
і
 acte dіysnі numere, apoi

,

de – zona regiunii
.

Demonstrațiile acestor puteri sunt analoge cu demonstrația teoremei a doua pentru integrala simplă.

Calculul integralei verticale în coordonate carteziene dreptunghiulare

Să fie necesar să se calculeze integrala de bază
, de area - Dreptunghiular, care se caracterizează prin nereguli ,.

Să presupunem că
neîntrerupt în același dreptunghi și nabuvay în noua valoare necunoscută, chiar dacă integrala volumului corpului cu baza , franjuri cu fiara deasupra
, din laturi - apartamente
,
,
,
:

.

De cealaltă parte, o astfel de cifră poate fi calculată cu ajutorul integralei sing:

,

de
- aria de traversare a acestui corp cu un plan care trece printr-un punct și perpendicular pe axă
. Cioburi de analiză încrucișate cu un trapez curbiliniu
, înconjurat de fiară cu un grafic al funcției
, de fix, și , apoi

.

Z tsikh triokh egalități vyplivaє, scho

.

De acum înainte, calculul integralei de bază a fost calculul celor două integrale sing; la calcularea „integralei interne” (scrisă în arcade) a fi imuabil.

Respect. Puteți explica că restul formulei este corectă când
, precum și dintr-o privire, dacă funcția
schimba semnul dreptunghiului indicat.

Drepturile părții formulei se numesc integrală iterată și sunt desemnate după cum urmează:

.

În mod similar, se poate demonstra că

.

Mai presus de ceea ce s-a spus, te plângi

.

Egalitatea rămasă înseamnă că rezultatul integrării ar trebui să cadă în ordinea integrării.

Pentru a arunca o privire la cea mai adâncă pantă, să introducem înțelegerea zonei standard. Zona standard (sau corectă) dată direct axei se numește o astfel de zonă, pentru care ar trebui să fie dreaptă, paralelă cu centrul axei, intercalate între zona nu mai mult, mai joasă în două puncte. Altfel, se pare, răsturnând regiunea în sine, că cordonul її este doar o briză dreaptă.

Este acceptabil ca regiunea să fie înconjurată

care este înconjurat de fiară cu un grafic al funcției
, în partea de jos - graficul funcției
. Hai R ( ,) - dreptunghi minim, în care este așezată regiunea
.

Mergeți în zonă
acea funcție neîntreruptă este atribuită
. Să introducem o nouă funcție:

,

similar puterilor integralei cu fir

.

Eu, mai târziu,

.

Oskіlki vіdrіzok
pentru a acoperi zona
apoi, mai târziu,
la


, dar se află într-o poziție vіdrіzkom, atunci
.

Cu fix putem scrie:

.

Prima și a treia integrală din partea dreaptă se adună la zero, atunci

.

Otzhe,

.

De ce este necesar să folosiți formula pentru calcularea integralei de rulare pe aria axei standard
prin link-ul către integrala repetată:

.

Regiunea Yakscho
є axa dreaptă y standard
ea apare ca neconcordanțe ,

, la fel, se poate dovedi că

.

Respect. Pentru regiune
, axe drepte standard y
і
, vor fi viconi

Pentru această formulă, există o modificare a ordinii integrării și a orei de calcul a integralei subliniare.

Respect. De îndată ce aria de integrare încetează să fie standard (corectă) la ambele axe de coordonate, її se împarte la suma ariilor standard și reprezintă integrala ca suma integrărilor din aceste zone.

fundul. Calculați integrala rulantă
pe regiune
, înconjurat de linii:
,
,
.

Soluţie.

Zona Tsya є axa standard yak schodo
, deci eu
.

Calculăm integrala, ținând cont de aria axei standard
.

.

Respect. Cum se calculează integrala, ținând cont de aria axei standard
, luăm același rezultat:

.

fundul. Calculați integrala rulantă
pe regiune
, înconjurat de linii:
,
,
.

Soluţie.În mod reprezentativ, regiunea de integrare este dată celui mic.

Zona Tsya є axa schodo standard
.

.

fundul. Modificați ordinea integrării pentru integrarea repetată:

Soluţie. Să ne imaginăm regiunea integrării.

Din liniile de interintegrare, cunoaștem liniile care încadrează zona de integrare: ,
,
,
. Pentru a schimba ordinea integrării, putem ca funcţii în și știm punctele de trecere:

,
,
.

Deci, pe unul dintre intervale, funcția se exprimă prin două virase analitice, atunci zona de integrare trebuie împărțită în două zone, iar integrala repetată a impozitului este suma a două integrări.

.

1.1 Determinarea integralei verticale

1.2 Dominanța subintegralei

Dominanța sub-integralei (acel yogo visnovok) este analogă cu dominația integralei cântând o singură dată.

1°. Aditivitatea. Dacă funcția f(x, y) este integrată în domeniul D și dacă domeniul D dincolo de curba suplimentară Г zona zero este împărțită în două verigi și nu poate avea puncte interne comune ale domeniului D 1 și D 2, atunci funcția f(x, y) este integrată în piele din zonele D 1 și D 2, de altfel

2°. Putere liniară. Cum sunt integrabile funcțiile f(x, y) și g(x, y) în spațiul D, nu? eu? - fie că este vorba de numere de vorbire, atunci funcția [? f (x, y) + ? g (x, y)] este, de asemenea, integrat în domeniul D

3°. Deoarece funcțiile f(x, y) și g(x, y) sunt integrabile în domeniul D, atunci funcțiile suplimentare ale acestor funcții sunt integrabile în D.

4°. Cum pot fi integrate funcțiile f(x, y) și g(x, y) în domeniul D și traversează f(x, y)? g(x, y), atunci

5°. Deoarece funcția f(x, y) este integrată de domeniul D, atunci funcția a |f(x, y)| integrat în regiunea D, de altfel

(În mod evident, integrarea lui | f (x, y) | D nu arată integrarea lui f (x, y) în D.)

6°. Teorema valorii medii. Deși funcțiile ofensive f(x, y) și g(x, y) sunt integrate în domeniul D, funcția g(x, y) este invizibilă (nepozitivă) peste tot în această regiune, M și m sunt exacte. limitele superioare și inferioare ale funcției f( x, y) în regiunea D, atunci există un număr care satisface neuniformitatea lui m? ? ? M i astfel încât formula să fie validă

Sokrema, deoarece funcția f(x, y) este continuă D, iar domeniul D este conexat, atunci în acest domeniu există un astfel de punct (?, ?), Ce? = f(?, ?), iar formula arată ca

7°. Putere geometrică importantă. zona de locuit D

Fie ca corpul T (Fig. 2.1) să fie dat spațiului, sub zona D, fiarei - un grafic al unei funcții neîntrerupte și invizibile) z \u003d f (x, y,) așa cum este atribuit spațiului D, din laturi - o suprafață cilindrică, una directă є între zona D și sunt paralele cu axa Oz. Un corp de acest tip se numește corp cilindric.

1.3 Interpretarea geometrică a integralei verticale

1.4 Înțelegerea integralei verticale a unui dreptunghi

Fie ca o funcție suficientă f(x, y) să fie atribuită peste tot dreptunghiului R = ? (div. Fig. 1).

Rozmarin segment a? X? b cu n segmente parțiale dincolo de punctul auxiliar a = x 0< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.

De ce împărțirea cu ajutorul unor drepte, paralele cu axele Ox і Oy, este împărțirea dreptunghiului R în n · p dreptunghiuri parțiale R kl = ? (k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Indicat prin împărțirea dreptunghiului R, este semnificativ prin simbolul T. I-am dat o împărțire sub termenul „dreptunghi” pentru a înțelege dreptunghiul cu laturile paralele cu axele de coordonate.

Pe pielea dreptunghi chastkovy Rkl, alegem un punct întreg (?k,?l). După ce a pus ?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1, este semnificativ prin ?R kl a aria dreptunghiului R kl . Evident, ?R kl = ?x k ?y l .

se numește suma integrală a funcției f(x, y), care dă o distribuție dată T a unui dreptunghi R și o alegere dată de puncte intermediare (? k, l) pe dreptunghiuri parțiale ale unei distribuții T.

Diagonala se numește diametrul dreptunghiului R kl . Un simbol? În mod semnificativ, cel mai mare dintre diametrele tuturor rectocuturilor comune R kl .

Numărul I se numește granița sumelor integrale (1) la? > 0, cum poate fi un număr pozitiv? poti sa spui asa Data?, Ce la?< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство

| ? - eu |< ?.

Funcția f(x, y) se numește integrată (după Riemann) pe dreptunghiul R, deoarece există o limită finită între sumele I integrale ale funcției la? >0.

Limita desemnată I se numește subintegrală a funcției f(x, y) de către dreptunghiul R și este notă cu unul dintre următoarele simboluri:

Respect. Deci, la fel ca pentru o integrală unică, se stabilește că funcția f(x, y) este integrată pe dreptunghiul R și este circumscrisă acestui dreptunghi.

Acest lucru oferă posibilitatea de a privi mai departe de granița funcțiilor f(x, y).

Puterea integralelor subordonate.

O parte din puterea sub-integralelor fără mijloc izvorăște din sensul căruia înțelegerea puterii integralelor se însumează, dar ea însăși:

1. Care este funcția f(x, y) integrat in D, apoi kf(x, y) tezh este integrat în acest galusi, în plus (24.4)

2. Ce este în zonă D functii de integrare f(x, y)і g(x, y), atunci acele funcții sunt integrate în această galerie f(x, y) ± g(x, y), eu la

3. Cum să te integrezi în regiune D funcții f(x, y)і g(x, y) nerіvnist f(x, y)≤g(x, y), apoi

(24.6)

Să adăugăm mai multă putere sub-integralului:

4. Zona Yakscho Dîmpărțit în două regiuni D 1 ta D 2 fără puncte interne strălucitoare și funcție f(x, y) neîntrerupt în regiune D, apoi

(24.7) Aducând . Suma integrală pe regiune D puteți vedea dintr-o privire:

de diviziune a regiunii D efectuate în aşa fel încât între D 1 ta D 2 este construit între părți ale bătăliei. Transpirația la graniță, în timp ce elimină egalitatea (24.7).

5. În momentul integrării pe D funcții f(x, y) această funcție este integrată în galusul meu | f(x, y) |, și maє mistse nerіvnіst

(24.8)

Aducând.

stele pentru ajutor la punctul de trecere a frontierei în caz de nervozitate posesă (24.8)

6. de S D– zona regiunii D. Dovada cărei aserțiune este luată, înlocuind suma integrală f(x, y)≡ 0.

7. Încă integrat în regiune D funcţie f(x, y) satisface nervozitatea

m ≤ f(x, y) ≤ M,

apoi (24.9)

Aducând.

Dovada este realizată printr-o tranziție de graniță de la denivelări evidente

Consecinţă.

Cum să slăbiți toate părțile nervozității (24.9). D, puteți lua așa-numita teoremă a valorii medii:

Zokrema, pentru mintea funcției neîntrerupte fîn D există un astfel de punct în regiune ( x 0, y 0), în yakіy f(x 0, y 0) = μ , apoi

-

O altă formulare a teoremei valorii medii.

Zmist geometric integrala inferioară.

Să vedem corpul V, înconjurat de o suprafață parțială, ceea ce se cere de egali z = f(x, y), proiecție D tsієї suprafață pe plan hu o suprafață cilindrică tabulară, decupată de cele verticale, care leagă punctele dintre suprafețe cu proiecțiile lor.

z = f(x, y)

V

y P i D Fig.2.

Shukatimemo volumul corpului ca între suma volumelor cilindrilor, ale căror baze sunt părțile Δ Si regiuni D, și după înălțimi - vіdrіzki zavdovka f(Pi), de puncte Pi minciună Δ Si. Trecerea la hotar cu, otrimaemo, scho

(24.11)

care se află sub influența integralei așa-numitului cilindru, înconjurat de fiară la suprafață z = f(x, y), iar dedesubt - zona D.

Calculul integralei de subliniere prin traseul link-ului yoga către a doua.

Zona de perspectivă D, mărginite de linii x=a, x=b(A< b ), de φ 1 ( X) și φ 2 ( X) fără pauză pe [ a, b]. Apoi fiți drept, paralel cu axa de coordonate lași trece prin punctul interior al zonei D, traversând cordonul regiunii în două puncte: N 1 ta N 2 (Fig. 1). Să numim această zonă corect in pe-

la axa corectă O la. În mod similar, este

y=φ 2 (X) există o zonă care este drept în linie dreaptă

N 2 axe O X. Regiunea, corectă în direct-

Nії ambele axe de coordonate, vom face

D spune-i bine. De exemplu,

Zona corectă este prezentată în Fig.1.

y=φ 1 (X) N 1

O a b x

Hai la funcție f(x, y) neîntrerupt în regiune D. Uită-te la Viraz

, (24.12)

rang dvorazovym integral tip de funcție f(x, y) pe regiune D. Să calculăm integrala internă (stând la brațe) prin schimbare la, în ciuda X postiynim. Ca rezultat, vedem funcție neîntreruptă vedere X:

Functia Otrimanu este integrabila pt X intre A inainte de b. Drept urmare, luăm numărul

Aducem puterea importantă a integralei în funcție de curte.

Teorema 1. Regiunea Yakscho D, corectează drept înainte la, împărțit în două zone D 1 ta D 2 drepte, axa paralela Pro la pe axa O X, apoi integrala dvorazovy peste regiune D mai multe sume ale acelorași integrale pe regiuni D 1 ta D 2:

Aducând.

a) Mergeți drept înainte x = c pauze D pe D 1 ta D 2, drept înainte la. Todi

+

+

b) Mergeți drept înainte y=h pauze D pe dreapta drept înainte la regiuni D 1 ta D 2 (Fig. 2). Semnificativ prin M 1 (A 1 , h) acea M 2 (b 1 , h) puncte ale liniei transversale a dreptei y=h din cordon L regiuni D.

y Regiune D 1 înconjurat de linii neîntrerupte

y=φ 2 (X) 1) y=φ 1 (X);

D 2 2) curba DAR 1 M 1 M 2 La, egal cu ceea ce scriem noi

h M 1 M 2 y=φ 1 *(X), de φ 1 *(X) = φ 2 (X) la a ≤ x ≤ a 1 ta

A 1 D 1 Bb 1 ≤ x ≤ b, φ 1 *(X) = h la A 1 ≤ x ≤ b 1 ;

3) drept x = a, x = b.

Regiune D 2 înconjurat de linii y=φ 1 *(X),

Ay= φ 2 (X),A 1 ≤ x ≤ b 1 .

y=φ 1 (X) Putem demonstra integralei interioare teorema despre

depășirea integrării:

O a a 1 b 1 b

+

Să dăm un alt s otrimanih іntegraіv v vyglyadі sumi:

+ + .

Oskilki φ 1 *(X) = φ 2 (X) la a ≤ x ≤ a 1 ta b 1 ≤ x ≤ b, Prima și a treia iau integralele și egalează la zero. Otzhe,

I D = , apoi .

Puterea principală a subintegralei

Dominanța sub-integralei (acel yogo visnovok) este analogă cu dominația integralei cântând o singură dată.

1°. Aditivitatea. Care este funcția f(X, y) integrat în regiune Dși ca zonă D pentru curba de ajutor G zona zero este împărțită în două verigi și nu atenuează punctele interne înalte ale regiunii D 1 ta D 2, apoi funcția f(X, y) integrate în zonele pielii D 1 ta D 2, de altfel

2°. Putere liniară. Ce functii f(X, y) acea g(X, y) integrarea în zonă D, A α і β - fie că este vorba de numere de vorbire, apoi funcția [ α · f(X, y) + β · g(X, y)] este de asemenea integrat în regiune D, în plus

3°. Ce functii f(X, y) acea g(X, y) integrarea în zonă D, apoi funcții suplimentare ale acestor funcții sunt integrate în D.

4°. Ce functii f(X, y) acea g(X, y) integrarea ofensivă în regiune Dși peste tot în galeria mea f(X, y) ≤ g(X, y), apoi

5°. Care este funcția f(X, y) integrat în regiune D, acele funcții | f(X, y)| integrat în regiune D, în plus

(Desigur, cu integrare | f(X, y)| în D nu arată integrare f(X, y) în D.)

6°. Teorema valorii medii. Ce funcție jignitoare f(X, y) acea g(X, y) integrarea în zonă D, funcție g(X, y) este invizibil (nepozitiv) peste tot în această galerie, Mі m- limitele superioare și inferioare exacte ale funcției f(X, y) în regiunea D, apoi există un număr μ care satisface nervozitatea m ≤ μ ≤ Mși astfel încât formula să fie valabilă

MIȘCAREA INTEGRALLOR

prelegerea 1

Integrale susținute.Scopul integralei subcurentului este acela al puterii. Integrari repetate. Legături dintre integralele inferioare și cele repetate. Plasarea între integrare. Calculul integralelor subiacente ale sistemului de coordonate carteziene.

Sub-integrala este o aprofundare a înțelegerii integralei sing în diferite funcții a două variabile. În acest fel, inversul integrării va fi prezent ca o figură plată.

Haide D- Dejaka este o zonă închisă, mărginită și f(X y) - o funcție suficientă, a fost marcată de această galerie. Să presupunem că între regiuni D sunt însumate din numărul final de curbe, dat de egalii minții y=f(X) sau X=g( y), de f(X) acea g(y) sunt funcții neîntrerupte.

regiunea Rozib'ёmo D rang decent pe n parte. zonă i-ї delyanki are semnificație prin simbolul D s i. Pe piele dilyantsi, destul de un vibe este un punct Pi,și lăsați-l să iasă în be-yak_y fixând coordonatele maє ale sistemului cartezian ( x i ,y i). Sklademo suma integrală pentru functie f(X y) pe regiune D, pentru care valoarea funcției este cunoscută în toate punctele Pi, înmulțind їх cu aria parcelelor duble Ds iȘi presupunem că toate rezultatele sunt luate:

Nazvemo diam(G) zone G cea mai mare distanță dintre punctele de limită ale regiunii.

Integral funcții f(X y) în zona D se numește graniță, în ce măsură șirul sumelor integrale (1.1) cu o creștere nerestricționată a numărului de pauze n (la cine). Scrieți așa

Cu drag, scho, vzagali aparent, suma integrală pentru setați funcțiiși zona dată de integrare D pentru a selecta punctul Pi. Prote yakshcho podviyny іsnuє іsnuє, înseamnă că între sumele vіdpovіdny іntegrаlny nu este posibil să se situeze între chinnikіv desemnat. În ordine(sau, după cum se pare, funcția generală f(X y) este integrat în domeniul D), este suficient ca funcția integrală a boolului neîntreruptă la integrarea galeriei de sarcini.

Hai la funcție f(X y) integrat în regiune D. Fragmentele dintre sumele cumulate pentru astfel de funcții nu pot fi acumulate prin metoda de împărțire a zonei de integrare, împărțirea poate fi efectuată cu ajutorul liniilor verticale și orizontale. Todі mai mulți oameni de afaceri din regiune D Matime cu aspect drept, zona unui astfel de dorivnyu D s i=D x i D y eu. Prin urmare, diferența de suprafață poate fi scrisă ca ds=dxdy. Otzhe, în sistemul de coordonate carteziene sub integrale poti nota la vedere

Respect. Ca și funcția integrand f(X y)º1, atunci subintegrala zonei regiunii de integrare este:

În mod semnificativ, acele integrări subliniate pot fi de aceeași putere, precum și integrate individual. Faptele lor sunt semnificative.

Puterea integralelor subordonate.

1 0 .Putere liniară. Integrală a sumei funcțiilor celeilalte sume a integralelor:

iar multiplicatorul constant poate fi acuzat pentru semnul integralei:

2 0 .Putere aditivă. Deoarece zona de integrare D este împărțită în două părți, atunci subintegrala este mai completă decât suma integrărilor peste partea pielii:

3 0 .Teorema mediei. Care este funcția f( X y)este continuă în regiunea D, atunci există un astfel de punct în galerie(x, h) , ce:

În continuare după nutriție: cum se calculează subintegralele? Yogo poate fi virahuvati aproximativ, cu această metodă este rupt metode eficiente sume îndoite ale sumelor cumulate, care sunt apoi calculate numeric cu EOM suplimentară. Cu un calcul analitic al subintegralelor, acestea sunt reduse la două integrale.