Axiomele numerelor reale. Urmărirea axiomelor teoriei numerelor

Numerele de vorbire, care sunt indicate prin (așa numitul R ruban), se introduce operația de adunare („+”), astfel încât perechea de elemente de piele ( X,y) cu numere de vorbire impersonale puse la elementul vіdpovіdnіst X + y z tsієї w multiplicator, titluri sumo Xі y .

Axiomele pluralității

Se introduce operația de înmulțire (“·”), astfel încât perechea de elemente de piele ( X,y) pentru numerele de vorbire impersonale, puneți un element (în caz contrar, prescurtat, Xy) s tsієї w multiplicator, titluri de creație Xі y .

Zvyazok dodavannya acel plural

Axiome la ordine

Pe sarcina ordinului "" (mai puțin de unul), apoi pentru pariu X y vykonuєtsya dorind să fie una dintre mințile abo.

Zv'yazok în scopul că plierea

Zvyazok vіdnoshennia ordonă acel plural

Axioma continuitatii

Comentariu

Această axiomă înseamnă că Xі Y- doi multiplicatori gol de numere reale astfel încât să existe orice element de X nu răsturna niciun element Y, apoi puteți introduce un număr de vorbire între ele. Pentru numere rationale această axiomă nu este învingătoare; fund clasic: numere raționale recunoscute pozitive și vizibil la impersonalitate X acele numere, al căror pătrat este mai mic de 2, iar celălalt - până la Y. Todi mizh Xі Y nu poate introduce un număr rațional (nu un număr rațional).

Aceasta este axioma cheie care asigură securitatea și, prin urmare, permite analiza matematică. Pentru ilustrare a importanței sale, permiteți-mi să subliniez două implicații fundamentale ale acestuia.

Moștenirea axiomelor

Fără axiomă intermediară, diaconii sunt importanți pentru puterea numerelor de astăzi, de exemplu,

unitate de zero,
unitatea elementelor proliferative şi virulenţei.

Literatură

Zorich V. A. Analiza matematică. Volumul I. M.: Fazis, 1997, partea 2.

Div. de asemenea

Posilannya

Fundația Wikimedia. 2010 .

Vezi și „Axiomatica numerelor reale” în alte dicționare:

Vorbirea, care este un număr real, este o abstracție matematică, pentru care vinikla z necesită utilizarea cantităților geometrice și fizice ale lumii necesare, precum și efectuarea unor operații precum extragerea rădăcinii, calculul logaritmilor, soluțiile.

Vorbirea, chi numerele reale este o abstractizare matematică, ce să servească, zokrema, manifestarea acelei asemănări a valorii mărimilor fizice. Un astfel de număr poate fi reprezentat intuitiv ca descriind poziția unui punct pe o dreaptă.

Wikționarul conține articolul „axiomă” Axiomă (în greacă ... Wikipedia

O axiomă, așa cum este folosită în diferite sisteme axiomatice. Axiomatica numerelor reale Axiomatica lui Hilbert a geometriei euclidiene Axiomatica teoriei lui Kolmogorov a imovirnosti ... Wikipedia

Sistemul numeric

Să presupunem că seria naturală a apărut pentru transferul de obiecte. Dar dacă vrem să lucrăm cu obiecte, atunci avem nevoie de operații aritmetice pe numere. Tobto, dacă vrem să împăturim un măr sau să împărțim o prăjitură, trebuie să traducem numărul de numere.

Este un respect rușinos că după introducerea operațiilor + і * în limbajul numerelor naturale este necesar să se adauge axiome care semnifică puterea acestor operații. Aletode și numere naturale impersonale tezh extinzându-se.

Ne minunăm de modul în care numerele naturale impersonale se extind. Cea mai simplă operațiune, deoarece a fost necesar pentru unul dintre primele - ce dodavannya. Dacă dorim să numim o operațiune suplimentară, este necesar să desemnăm o revenire la aceasta - o decizie. Este adevărat, după cum știm, că, ca urmare a adăugării, de exemplu, a 5 și 2, atunci suntem vinovați de a adăuga la ordinea tipului: ceea ce trebuie adăugat la 4, pentru a lua 11. vimagatimut vminnya viroblyat i zvorotnu diyu - vіdnіmannya. Ale, yakscho dodavannya numerele naturale dau din nou numar natural, atunci privind numerele naturale dă un rezultat care nu se încadrează în N. Avem nevoie de mai multe numere. Prin analogie cu o viziune sensibilă a număr mai mare boulo mai mic a introdus regula vidnіmannya z mai mic mai mare - așa că a apărut numărul de numere negative.

Completând seria naturală cu operații + і - mi, ajungem la numere întregi impersonale.

Z=N+operații(+-)

Sistem de numere raționale yak mov aritmetică

Acum să ne uităm la asta pentru plierea diu - plural. De fapt, acesta este un adaos de bagatarază. І un număr suplimentar de numere întregi este completat cu un număr întreg.

Ale, o operație inversă la un multiplu - tse podіl. Dar este departe de a da întotdeauna un rezultat bun. Și din nou ne confruntăm cu o dilemă - sau să acceptăm ca și cum rezultatul nu ar putea fi „înțeles”, sau să ghicim numărul unui nou tip. Așa că au dat vina pe numerele raționale.

Să luăm un sistem de numere întregi și să îl completăm cu axiome, care determină operația de înmulțire și de jos. Înlăturăm sistemul numerelor raționale.

Q=Z+operații(*/)

Părinte, limbajul numerelor raționale îți permite să lucrezi toate operatiile aritmetice peste numere. Limbajul numerelor naturale nu a fost suficient.

Să introducem axiomatic sistemul numerelor raționale.

Programare. Q impersonal se numește impersonalitatea numerelor raționale, la fel ca elementele - numerele raționale, ca complexul de avansare al minților, titlurile se numesc axiomatica numerelor raționale:

Axiomele operației de pliere. Pentru pariu ordonat X y elemente Q element deyaky x+yÎQ, ranguri în sumă Xі la. Când câștigi, gândește-te așa:

1. (Isnuvannya zero) Iznuє element 0 (zero) astfel încât pentru orice XОQ

X+0=0+X=X.

2. Pentru orice element X Q Q element principal - XО Q (opus X) astfel încât

X+ (-X) = (-X) + X = 0.

3. (Comutativitate) Pentru orice X yО Î

4. (Asociativitate) Pentru orice x, y, z Q

x + (y + z) = (x + y) + z

Axiomele operației de înmulțire.

Pentru pariu ordonat X y elemente ale lui Q atribuite elementului real huÎ Q, titluri de creație Xі y. Când câștigi, gândește-te așa:

5. (Isnuvannya singur element) Iznuє element 1 Q astfel încât pentru orice XО Î

X . 1 = 1. x = x

6. Pentru orice element X Q Q , ( X≠ 0) element principal X-1 ≠0 astfel încât

X. x -1 = x -1. x = 1

7. (Asociativitate) Pentru fii-lucruri x, y, zО Î

X . (la . z) = (x . y) . z

8. (Comutativitate) Pentru orice X yО Î

Axioma zv'azku împăturită și înmulțită.

9. (Distributiv) Pentru orice x, y, zО Î

(x+y) . z=x . z+y . z

Axiomele sunt în ordine.

Fii ca două elemente X y, Q Q începe la capătul liniei ≤. Când câștigi, gândește-te așa:

10. (X≤la)L ( la≤X) ó x=y

11. (X≤y) L ( y≤ z) => X≤z

12. Pentru be-yakah X yО Q sau x< у, либо у < x .

Setare< называется строгим неравенством,

Raport = numit egalitatea elementelor Q.

Axioma zv'yazku dodavannya acea ordine.

13. Pentru orice x, y, z нQ, (x £ y) z x+z £ y+z

Axioma zv'yazku mnozhennya acea ordine.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) z (0 £ x´y)

Axioma perpetuității lui Arhimede.

15. Dacă a > b > 0, avem m N și n Q astfel încât m ³ 1, n< b и a= mb+n.

*****************************************

Astfel, sistemul numerelor raționale este aritmetica lui Zem.

Prote, pe deasupra sarcinilor practice de numărare, filmul nu este suficient.

Metoda axiomatică în matematică.

Înțelegerea și înțelegerea de bază a teoriei axiomatice a seriei naturale. Numirea unui număr natural.

Adunarea numerelor naturale.

O creștere a numărului natural.

Puterea multiplicatorului numerelor naturale

Vіdnіmannya raspodіl numere naturale.

Metoda axiomatică în matematică

Cu îndemnul axiomatic, se completează un fel de teorie matematică canta regulile:

1. Deyakі înțelege teoria vibirayutsya ca major ea este acceptată fără mandat.

2. Formulat axiome, care sunt acceptate de aceste teorii fără dovezi, care au puterea de a le înțelege pe cele principale.

3. Pielea înțelege teoria, pentru a nu se răzbuna pe lista principalelor, i se dă programare, pentru unul nou, se explica yogo zmist pentru ajutorul celor principale si fata la aceasta intelegere.

4. Propunerea de piele a teoriei, care nu poate fi ratată de lista de axiome, poate fi scoasă la lumină. Astfel de propoziții sunt numite teoremeși aduceți-le pe baza de axiome și teoreme, care urmează să fie reelaborate.

Sistemul de axiome poate fi:

a) neconsiderat: suntem vinovați de buti vpevnenі, scho, roblyachi raznі vysnovki z dat sistem de axiome, nu veni la superechnosti;

b) independentă: niciuna dintre axiome nu se face vinovat de urmarirea altor axiome ale sistemului.

în) din nou, chiar și în acest cadru, este întotdeauna posibil să aducem chi-ul firmei, care yogo este listat.

Prima dovadă a motivației axiomatice a teoriei trebuie luată în considerare de cartea de geometrie a lui Euclid din Yogo „Cobs” (sec. III e.). O contribuție semnificativă la dezvoltarea metodei axiomatice care inspiră geometria și algebra a fost dezvoltată de N.I. Lobaciovski și E. Galois. De exemplu, 19 st. Matematicianul italian Peano a rupt un sistem de axiome pentru aritmetică.

Înțelegerea și înțelegerea de bază a teoriei axiomatice a numărului natural. Numirea unui număr natural.

Ca înțelegere principală (nesemnificativă) în multiplicitatea slabă N alege obturator și navіt vikoristovuyutsya înțelegere teoretică-multiple, în navigarea regulilor logicii.

Un element care urmează elementul fără întrerupere A, semnifica A".

Aparent, „fără intermediar urmărește” sunt mulțumiți de axiomele viitoare:

Axiome Peano:

Axioma 1. La cei fără chip N іsnuє element, fără mijloc nu ofensator nu există multiplicatori pentru niciun element. Să numim yoga singurătate care simbolizează 1 .

Axioma 2. Pentru elementul pielii A h N element unic de bază A" , înaintând neîncetat pentru A .

Axioma 3. Pentru elementul pielii A h Nіsnuє nu mai mult de un element, pentru care urmează fără intermediar A .

Axioma 4. Fii ca un multiplicator M fără chip N spіvpadє z N , yakscho maє putere: 1) 1 se răzbună în M ; 2) din ce A se răzbună în M , în continuare, ce eu A" se răzbună în M.

Numirea 1. Bezlich N , pentru elementele cărora este instalat un oblon „Urmăriți imediat„, care satisface axiomele 1-4, se numește bezlіchchu numere naturaleși elemente de yoga - numere naturale.

Această persoană desemnată nu are nimic de spus despre natura elementelor multiplicatorului N . Deci, poți fi acolo. Vibirayuchi ca un fără chip N ziua este un multiplicator specific, pe care se dă o referință specifică „fără urmari intermediare”, care satisface axiomele 1-4, o luăm modelul acestui sistem axiome.

Modelul standard al sistemului de axiome al lui Peano este o serie de numere, care este rădăcina procesului de dezvoltare istorică a succesiunii: 1,2,3,4,... Seria naturală începe de la numărul 1 (axioma 1). ); după numărul natural al pielii urmează imediat un număr natural (axioma 2); un număr natural de piele urmează nu mai mult de un număr natural (axioma 3); pornind de la cifra 1 si trecand in ordinea numerelor naturale care avanseaza unul dupa altul, luam toti multiplicatorii numerelor (axioma 4).

Otzhe, am dezvoltat sistemul axiomatic pobudov de numere naturale cu alegerea principalului vodnosiny „fără intermediar urmați pentru” axioma aceea, în unele descrieri ale yoga puterii. Un pic mai departe despre teoria lui Pobudov de a transfera o privire asupra puterilor numerelor naturale și a operațiilor din acestea. Duhoarea poate fi rozkritі la numit și teoreme, tobto. introdus de calea logică zilnică a introducerii „fără considerație de mijloc”, și axiomele 1-4.

Primul lucru de înțeles, așa cum îl introducem după desemnarea unui număr natural, este obturator "imediat inainte" , yake adesea vikoristovuyut timp de o oră pentru a se uita la puterile seriei naturale.

Numirea 2. Ce este un număr natural b urmează fără intermediar numar natural A, acel număr A numit direct înainte(in rest fata) numărul b .

Vіdnoshennia "pereduє" maє lângă autorități.

Teorema 1. Unitatea nu are un număr natural înainte.

Teorema 2. Pielea este un număr natural A, Vіdmіnne vіd 1, maє un număr înainte b,şi ce dacă b"= A.

Rațiunea axiomatică a teoriei numerelor naturale nu se vede nici la gimnaziu, nici la gimnaziu. Domini proteic vіdnosinі „fără urmărire intermediară”, așa cum a fost în axiomele lui Peano, є subiect de studiu în cursul cob de matematică. Deja la prima clasă, este o oră să te uiți la numerele primilor zece, este clar, deoarece poți obține un număr de piele. La care se înțeleg cuvintele „alunecat” și „înainte”. Pielea este un număr nou ca o continuare a răsucirii serii naturale de numere. Învață să reconsideri la tsiom, scho cu un număr de piele, este același, și mai mult decât unul, că seria naturală de numere este inepuizabilă.

Adunarea numerelor naturale

Pentru regulile de stimulare a teoriei axiomatice, care desemnează adăugarea numerelor naturale, este necesar să se efectueze, indirect, "urmeaza imediat", Am înțeles "numar natural"і "numar anterior".

Viperedimo vyznachennya pliat prin avansarea mirkuvannyami. Cum la orice număr natural A adăugați 1, apoi luați numărul A",înaintând neîncetat mai departe A, apoi. A+ 1= a"Și, apoi, luăm regula de a adăuga 1 la orice număr natural. Ale yak adauga la A numar natural b, vіdmіnne vіd 1? Accelerăm faptul care urmează: dacă vedem că 2 + 3 = 5, atunci suma este 2 + 4 = 6, care urmează fără intermediar numărul 5. În această ordine, 2 + 4 = 2 + 3 " =(2+3)". În cald arata ca poate, .

Acest fapt stă la baza desemnării numerelor naturale în teoria axiomatică.

Numirea 3. Adunarea numerelor naturale se numește o operație algebrică, care poate fi puternică:

Număr a + b numit suma de numere Aі b , și numerele în sine Aі b - dodanki.

UNIVERSITATEA PEDAGOGICĂ DE STAT OMSK
SUCURSALA OmDPU langa G. TARI
LBC lucrează pentru deciziile editoriale și editoriale
Sucursala 22 73 a OmDPU lângă metroul Tari
Ch67

Recomandările sunt recunoscute pentru studenții universităților pedagogice, deoarece predau disciplina „Algebră și Teoria numerelor”. În cadrul acestei discipline se dezvoltă în semestrul al VI-lea divizia „Numerele sistemului”. Aceste recomandări includ materiale despre raționamentul axiomatic pentru sisteme de numere naturale (sistemul de axiome al lui Peano), sisteme de numere întregi și numere raționale. Axiomatica Tsya vă permite să înțelegeți mai bine ce este un astfel de număr, ca unul dintre principalele pentru a înțelege cursul de matematică școlar. Pentru cea mai scurtă asimilare a materialului, se sugerează introducerea unor subiecte relevante. De exemplu, recomandări și recomandări, declarații, sarcini.

Referent: dr., prof. Dalinger V.A.

Semnat cu un prieten - 22.10.98

Hârtie de ziar
Tiraj 100 de exemplare.
Metodă operativă unul pentru celălalt
OmDPU, 644099, Omsk, nab. Tuhacevski, 14 ani
filiya, 644500, Tara, st. Shkilna, 69 de ani

1. NUMERE NATURALE.

Cu raționamentul axiomatic al sistemului de numere naturale, este important să se ia în considerare înțelegerea multiplicatorului, albastrul, funcțiile și alte înțelegeri multi-teoretice.

1.1 Sistemul de axiome al lui Peano și cele mai simple inferențe.

Înțelegerea comună în teoria axiomatică a lui Peano este impersonalul N (cum este numit impersonalitatea numerelor naturale), în special numărul zero (0) din relația nouă și binară „urmează” la N, care este notat cu S ( a) (sau un ().
AXIOMĂ:
1. ((a(N) a"(0 (Acesta este un număr natural 0, care nu urmează niciun număr.))
2. a=b (a"=b"
3. a „=b” (a=b (Numărul natural al pielii urmează mai mult de un număr.)
4. (axioma de inducție) Ca multiplicator M(N și M satisface două minți:
A) 0(M;
B) ((a(N)a(M®a)(M, apoi M=N).
În terminologia funcțională, ze înseamnă că S:N®N este inactiv. Din axiomele 1 este clar că fermentația S:N®N nu este suractivă. Axioma 4 este baza pentru a demonstra munca grea „prin metoda inducției matematice”.
Acte semnificative ale puterii numerelor naturale, care, fără intermediar, strigă după axiome.
Puterea 1. Pielea este un număr natural a(0 după unul și mai multe numere.
Aducând. Semnificativ prin M numere naturale impersonale, scho dispar zero și toate numerele naturale, pielea oricărui următor pentru orice număr. Este suficient să arătăm că M=N, unitatea este evidentă din axiomele 3. Să demonstrăm axioma de inducție 4:
A) 0(M - prin multiplicatorul prompt M;
B) chiar și a(M, acele a"(M, mai mult a" urmează a.
Media din axiome 4 M=N.
Puterea 2. Ca un (b, apoi un „(b”).
Puterea este adusă prin metoda „din inacceptabil”, axioma vicoristă 3. În mod similar, o astfel de putere este adusă 3, axioma vicoristă 2.
Puterea 3. Ca un „(b”, apoi un (b.)”
Puterea 4. ((a(N)a(a). (Nici un număr natural nu-i urmează).)
Aducând. Fie M=(x(x(N, x(x))). ) într-un astfel de rang al Umov A) axiomele 4 0(M - câștigă. Dacă x(M, atunci x(x"), atunci 2 x" ((x")" este la putere, iar tse înseamnă că Umov B) x ( M ® x"(M. Urmează aletodic axioma 4 M=N."
Fie (- deul puterii numerelor naturale. Faptul că numărul a are putere (, notează ((a))).
Sarcina 1.1.1. Permiteți-mi să vă spun că axioma 4 a desemnării numerelor naturale impersonale este mai aproape de duritatea în avans: pentru orice fel de autoritate (, ca ((0) i, atunci).
Sarcina 1.1.2. Operația unară (: a(=c, b(=c, c(=a)) este definită astfel pe multiplicatorul trielement A=(a,b,c).)
Sarcina 1.1.3. Fie A \u003d (a) - multiplicator cu un element, a (= a) Yaki cu axiomele adevărului lui Peano pe multiplicatorul A cu operația (?)
Sarcina 1.1.4. Pe o multiplicitate de N, o operație semnificativ unară este semnificativă, indiferent cine. Explicați ce va fi adevărat despre axiomele lui Peano formulate în termenii operației.
Sarcina 1.1.5. Haide. Demonstrați că A este închis folosind operația (. Inversați adevărul axiomelor lui Peano asupra multiplicatorului A cu operația (.).
Sarcina 1.1.6. Haide, . În mod semnificativ, pe A este însă o operație unară. Cum sunt adevărate axiomele lui Peano la multiplicatorul A al operației?

1.2. Non-superelectivitatea și categoricitatea sistemului de axiome al lui Peano.

Sistemul de axiome se numește nedepășibil, deoarece cu axiomele її este imposibil să se aducă teorema T și її transversal (T. S-a înțeles că sistemele supereficiente de axiome nu pot avea aceeași valoare în matematică, deoarece într-o astfel de teorie se poate aduce tot ceea ce Prin urmare, lipsa de superbetate a sistemului de axiome este absolut esentiala.
Yakshcho în Teoreta Aksіomatică nu a transmis teorema t і ї ї ї ї ї ї ї nu înseamnă, sistemul de aksi nu este copleșit; la faptul că interpretarea sistemului de axiome într-o teorie evident nesuperegalabilă S, atunci sistemul de axiome în sine este nesuperegal.
Pentru sistemul de axiome ale lui Peano, se pot zbuduvat diverse interpretări bogate. Mai ales bogat în interpretarea teoriei multiplicității. Una dintre astfel de interpretări este semnificativă. Prin numere naturale, putem lua multipli (, ((), ((())), (((())),..., vom distinge zero prin numărul (. (M), singurul element al cutare și cutare M. În această ordine, ("=((), (()"=((()) și așa mai departe)). este mic: arată că sistemul axiomelor lui Peano este chiar dacă teoria multiplilor nu este superlativ, dar este și mai importantă dovada nesupercității sistemului de axiome ale teoriei multiplilor.
Un sistem de axiome care nu este superlativ se numește independent, deoarece axioma de piele a acestui sistem nu poate fi demonstrată ca teoremă pe baza altor axiome. Pentru a scoate la lumină că axioma
(1, (2, ..., (n, ((1)))
suficient pentru a demonstra că sistemul de axiome este nedepășibil
(1, (2, ..., (n, (((2))))
Este adevărat, yakby (a fost posibil să se varieze de la celelalte axiome ale sistemului (1), apoi sistemul (2) a fost super-inteligent, fragmentele lui ar fi adevărate pentru teoremă (și axiomă ((.)).
De asemenea, pentru a aduce independența axiomelor (față de alte axiome ale sistemului (1), este suficient să încurajăm interpretarea sistemului de axiome (2).
Independența sistemului de axiome este o mare neobov'yazkova. Uneori, pentru a evita demonstrarea unor teoreme „importante”, vom crea un sistem de axiome supra-lume (depozit). Cu toate acestea, axiomele „zayv” fac mai ușor să vedem rolul axiomelor în teorie, precum și legăturile logice interne dintre diferitele diviziuni ale teoriei. În plus, pobudova іnterpretatsіy pentru sistemele de axiome în pârghie este semnificativ pliată, mai mică pentru cele independente; chiar dacă trebuie să reconsiderați validitatea axiomelor „zayvih”. Dintre motivele de nutriție a pârghiei, dintre axiomele de demult, s-a acordat prima importanță. Încercați să aduceți la vremea dumneavoastră că postulatul 5 din axiomatica lui Euclid „Nu este mai mult de o dreaptă care trece prin punctul A paralel cu dreapta” (”, є prin teoremă (a se afla în celelalte axiome) şi a adus la concluzia geometriei lui Lobaciovski).
Un sistem non-superscriptiv este numit deductiv nou, ca și cum propoziția A a unei teorii date poate fi fie adusă, fie proclamată, atunci fie A, fie (A este o teoremă a teoriei date. o axiomă se numește povnota deductivă - tezh nu obov'yazkova vimoga, de exemplu, un sistem de axiome ale teoriei grupurilor, teoria teritoriului, teoria udării - nu este adevărat, cioburi se bazează pe și kіntsevі și neskіnchennі grupuri, kіltsya, câmpuri, apoi în acestea teorii pe care nu le poți cere, nu poți aduce propunere.: „Grup (kіltse, field) to avenge kіltse kіlkіst elements”.
De remarcat că în teoriile axiomatice bogate (însele, în cele neformalizate) propozițiile impersonale nu pot fi luate în considerare cu exactitate și este imposibil să aducem completitudinea deductivă a sistemului de axiome al unei astfel de teorii. A doua modificare este adesea numită categorică. Sistemul de axiome este numit categoric, deci fie ele două interpretări izomorfe, astfel încât să existe o distincție atât de neambiguă între mai multe obiecte cob și alte interpretări. Categoricitate - tezh neobov'yazkova minte. De exemplu, sistemul de axiome al teoriei grupurilor nu este categoric. Motivul este că grupul Kintsev nu poate fi un grup izomorf fără piele. Cu toate acestea, odată cu axiomatizarea teoriei unui sistem numeric, natura categorială a obov'yazkova; De exemplu, natura categorială a sistemului de axiome, care semnifică numerele naturale, înseamnă că, până la izomorfism, există o singură serie naturală.
Să aducem categoricitatea sistemului de axiome al lui Peano. Fie (N1, s1, 01) și (N2, s2, 02) două interpretări ale sistemului de axiome al lui Peano. Este necesar să indicați o astfel de expresie biektivne (neambiguă) f: N1®N2, pentru care ar trebui să vă gândiți:
a) f(s1(x)=s2(f(x)) pentru orice x N1;
b) f(01) = 02
Dacă operațiile unare s1 și s2 sunt ofensate de aceeași lovitură, atunci umova a) rescrie
a) f(x()=f(x)(.
În mod semnificativ pe multiplicatorul N1(N2)
1) 01f02;
2) cum xfy, x(fy(.
Să schimbăm, la ce folosește fermentația N1 la N2, apoi pentru dermică x s N1
(((y(N2)xfy(1))
Semnificativ prin M1 elemente impersonale x N1, pentru unele minți (1) câștigă. Todi
A) 01 (M1z1);
B) x(M1 ® x((M1 în virtutea lui 2) și puterea lui 1 punct 1).
Prin urmare, conform axiomei 4, este posibil ca M1=N1, iar tse i înseamnă că introducerea fermentației f є a N1 N2. La tsimu z 1) este evident că f (01) = 02. Umov 2) se scrie astfel: f(x)=y, apoi f(x()=y(. Sună ca f(x()=f(x)(. De asemenea, pentru reflectarea lui f, gândiți-vă la un )) și b.
Semnificativ prin M2, elemente de liniște impersonale ale lui N2, pielea oricăruia dintre ele sub forma unui singur element de N1 când este afișat f.
Fragmente f(01)=02, apoi 02 є. Dacă da x(N2 і x(01), atunci pentru puterea 1 elementul 1 x urmează elementul curent c z N1 і atunci f(x)=f(c()=f(c)((02. Medie, 02 f) rangul unui singur element 01, apoi 02 (M2.
Continuați y(M2 і y=f(x), unde x este singura preimagine a elementului y. Apoi, în virtutea a) y(=f(x)(=f(x()), atunci y( є imaginea elementului x ) (. Fie c o pre-imagine a elementului y(, apoi f(c)=y(. Skіlki y((02, atunci c(01 і c) este elementul înainte, care are sens prin d.)) Atunci y( =f( c)=f(d()=f(d)(, datorită axiomei 3 y=f(d)). M2 ® y
Toată matematica pre-greacă are puțin caracter empiric. Toate elementele teoriei se înecau în masa abordărilor empirice ale dezvoltării sarcinilor practice. Grecii au dat acest material empiric de analiză logică, au încercat să găsească legătura între diferite date empirice. Pentru care întregul simț al geometriei îl joacă un mare rol Pitagora și școala її (secolul al V-lea d.Hr.). Ideile metodei axiomatice au fost exprimate clar în învățăturile lui Aristotel (secolul al IV-lea d.Hr.). Prote, o dezvoltare practică a acestor idei a fost realizată de Euclid la yoga „Cobs” (3 secole d.Hr.).
Pot fi denumite trei forme de teorii axiomatice.
unu). Zmistovna axiomatică, de parcă ar fi fost una până la mijlocul secolului trecut.
2). Napіvformal axiomatics, scho vinyl în ultimul sfert al secolului trecut.
3). Axiomatică formală (sau formalizată), data nașterii ei poate fi luată ca 1904, dacă D. Hilbert a publicat faimosul său program despre principiile de bază ale matematicii formalizate.
Noua forma de piele nu este blocata in fata, dar cu o dezvoltare si clarificare, acelasi lucru este valabil si pentru dezvoltarea noii forme de piele, mai jos in fata.
Axiomatica Zmistovna se caracterizează prin faptul că pot fi înțelese intuitiv clar înainte de formularea axiomelor. Deci, în „Cobs” lui Euclid, sub punctul de înțelegere, cei care sunt intuitiv de la sine înțeles sub aceste înțelegeri. În același timp, există un limbaj grozav și o logică intuitivă grozavă, care seamănă mai mult cu Aristotel.
Teoriile axiomatice formale au, de asemenea, un limbaj puternic și o logică intuitivă. Cu toate acestea, primii înțelegători nu se bazează pe același simț intuitiv, ei sunt caracterizați doar de axiome. Tim însuși mișcă strictitatea, cioburi de intuiție cu o lume cântătoare cucerește strictitatea. În plus, somnolența este în creștere, deoarece teorema pielii, adusă într-o astfel de teorie, va fi corectă în orice interpretare. Clar sub forma unei teorii axiomatice formale – teoria lui Hilbert, inclusă în cartea „Imagine Geometry” (1899). Punctele teoriilor nap_vformalnyh sunt, de asemenea, teoria kіlets și alte teorii, prezentate în cursul algebrei.
Scopul unei teorii formalizate este calculul vorbirii, care este dezvoltat în cursul logicii matematice. Pe vіdmіnu vіd zmіstovnoї napіvformalії аksiomatiki, vіdmіnu vіd zmіstovnoї ї napіvformalії aksiomatics, în formalіzirovanіy teorії vykoristovuєє simbol osoblіchva. Alfabetul teoriei este setat pentru el însuși, astfel încât este un duu de simboluri impersonale, care joacă același rol ca și literele din limba originală. Fie că este o secvență kіntseva de simboluri, se numește un viraz sau un cuvânt. Printre viruși, există o clasă de formule, iar criteriul exact care permite recunoașterea virusului pielii este indicat de formulă. Formulele joacă același rol ca și vorbirea marii limbi. Deyakі formule goloshuyutsya axiome. În plus, sunt stabilite reguli logice de viziune; O astfel de regulă înseamnă că din combinația reală de formule, întreaga formulă este fără mijloc. Dovada teoremei în sine este sfârșitul lanțului de formule, restul formulei este teorema în sine și formula pielii fie este o axiomă, fie teorema a fost adusă mai devreme, altfel cântă din mijlocul înainte. formule ale lancei pe una din regulile de observatie. În acest rang, nu ar trebui să susținem dovezile despre validitatea dovezilor: altfel lanciug danezє dovadă, sau є, nu există nicio dovadă sumnivnyh. La legătura cu cim, axiomatica este formalizată pentru a se obișnui cu capcanele deosebit de subtile ale amorsării teorii matematice, dacă logica intuitivă evidentă poate duce la grațieri, care sunt rangul principal prin inexactitățile și ambiguitatea marii noastre mișcări.
Deci, ca și în formalizarea teoriei despre skin viraz, se poate spune că este o formulă, atunci se pot lua în considerare propozițiile impersonale ale teoriei formalizate. În legătură cu aceasta, este posibil, în principiu, să se descompună argumentul despre dovedirea motivului deductiv, precum și despre proba nesuperficialității, fără a intra în interpretare. Într-un număr dintre cele mai simple moduri, puteți vedea diferența. De exemplu, lipsa de superficialitate a calculului se realizează fără interpretare.
În teoriile neformalizate, propozițiile impersonale nu sunt clar definite; prin urmare, motivul pentru a demonstra non-superficialitatea, fără a trece la interpretare, este pus prost. Aceleași valoare și mâncare despre dovada povnoti deductivă. Totuși, întrucât s-a auzit o astfel de propoziție a unei teorii neformalizate, deoarece este imposibil să o aducem sau să întrebați, atunci teoria, evident, este inexactă din punct de vedere deductiv.
Metoda axiomatică a fost stabilită de mult timp nu numai în matematică, ci și în fizică. În primul rând, încercați direct, Aristotel a încercat să o facă, dar și-a corectat și propria metodă axiomatică în fizică, excluzând roboții lui Newton din mecanică.
La legătura cu procesul turbulent de matematizare a științelor se află și procesul de axiomatizare. Niciuna dintre metodele axiomatice nu se găsește în diferite diviziuni ale biologiei, de exemplu, în genetică.
Posibilitățile metodei axiomatice nu sunt nesfârșite.
Este semnificativ că nu trebuie să uităm de formalizarea teoriilor pentru a ne pierde intuiția. Teoria în sine este formalizată fără nicio interpretare a sensului dorit. Vina pentru acest lucru este scăzută pe legătura dintre teoria formalizată și interpretare. În plus, ca și în teoriile formalizate, există o întrebare despre non-superabilitate, independență și completitudine a sistemului de axiome. Totalitatea tuturor acestor alimente devine esența unei alte teorii, așa cum este numită metateorie a unei teorii formalizate. Pe baza teoriei formalizate, metateoria limbajului este cel mai important limbaj cotidian, iar oglindirea logică este realizată de regulile logicii naturale intuitive. În acest fel, intuiția, care este din nou preluată din teoria formalizată, reapare în metateorie.
Dar principala slăbiciune a metodei axiomatice nu este în tsoma. Anterior, s-a gândit deja la programul lui D. Hilbert, deoarece a pus bazele unei metode axiomatice formalizate. Ideea principală a lui Hilbert este de a face matematica clasică ca o teorie axiomatică formalizată, de a aduce non-superabilitate. Cu toate acestea, programul în punctele sale principale părea a fi utopic. În 1931, faimosul matematician austriac K. Gödel și-a dezvoltat celebrele teoreme, care au arătat clar că, jignind principalele sarcini stabilite de Hilbert, nu au fost publicate. Yomu a mers dincolo de ajutorul metodei sale de codificare pentru a învăța cu ajutorul formulelor de aritmetică formalizată și pentru a aduce ajutorul metateoriei că aceste formule nu sunt vizibile în formalizarea aritmeticii. În acest fel, aritmetica formalizată a părut inexactă din punct de vedere deductiv. Din rezultatele lui Gödel, era evident că, chiar dacă o formulă nedemonstrabilă este inclusă în numărul de axiome, atunci există o altă formulă nedemonstrabilă care exprimă aceeași propoziție corectă. Toate acestea au însemnat că nu numai toate matematica, ci și pentru a învăța aritmetica - cea mai simplă parte, este imposibil de oficializat. Zokrema, Gödel, după ce a inspirat o formulă care confirmă propozițiile „Aritmetica formalizată nu este depășită”, și arătând că nici formula nu poate fi arătată. Acest fapt înseamnă că imperfecțiunea aritmeticii formalizate nu poate fi adusă la mijlocul aritmeticii în sine. Zrozumіlo, puteți încuraja o teorie formalizată puternică și її prin aducerea nesuperității aritmeticii formalizate și, de asemenea, să învinovățiți, mai important, nesuperitatea noii teorii.
Rezultatele lui Gödel indică validitatea metodei axiomatice. Și, mai important, podstav pentru visnovkіv pesimist în teoria cunoașterii celui care nu cunoaște adevărul, - nu. Faptul că se stabilesc adevăruri aritmetice, care nu pot fi aduse la formalizarea aritmeticii, nu înseamnă manifestarea necunoașterii adevărurilor și nu înseamnă obscuritatea gândirii umane. Vin înseamnă doar că posibilitățile minții noastre nu ar trebui reduse la proceduri, că vor fi mai formalizate și că oamenii mai trebuie să testeze și să găsească noi principii de probă.

1.3 Stocarea numerelor naturale

Nu se postulează operații de pliere și înmulțire a numerelor naturale prin sistemul axelor lui Peano, ci în loc de operații.
Programare. Adunarea numerelor naturale se numește operație algebrică binară + pe multiplicatorul N, care poate fi puternică:
1s. ((a(N)a+0=a);
2c. ((a, b (N) a + b (= (a + b)).
Învinovățirea nutriției - ce este o astfel de operație, dar dacă este, atunci ce este?
Teorema. Adunarea numerelor naturale este necesară și numai una.
Aducând. Operația binară a algebrei pe multiplicitatea N este fermentația (:N(N®N. Este necesar să se aducă că există o singură fermentație (:N(N®N cu puteri: 1)) ((x(N) ((x,0)= x; 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y))). 0) )=x; ).
În mod semnificativ pe multiplicatorul N, expresia binară fx de către minți:
a) 0fxx;
b) cum yfxz, y(fxz(.
Să schimbăm, la ce folosește N la N, apoi pentru pielea y z N
(((z(N) yfxz (1))
În mod semnificativ, prin M, multiplicatorul numerelor naturale y, pentru care mințile (1) este învingătoare. Deci gândiți-vă a) vyplyaє, scho 0 (M, a z um b) și puterea 1 p. și înseamnă că fx este fermentația de la N la N. Pentru care fermentație, gândiți-vă:
1() fx(0)=x - s a);
2() fx((y)=fx(y() - prin b).
Tim însuși a adus raționamentul plierii.
Aducem unitate. Fie + i (- să fie ca două operații binare de algebră pe mulțimi N cu puteri 1c și 2c. Este necesar să aducem că
((x, y(N) x + y = x(y)
Este suficient de fix numărul x i este semnificativ prin S al numerelor naturale impersonale y, pentru care ecuanimitate
x+y=x(y(2)
victorie. Skіlki zgіdno 1с x+0=x і x(0=x, atunci
A) 0(S
Acum să fie y(S, astfel încât egalitatea (2) să câștige. Deci x+y(=(x+y)(, x(y(=(x(y)))(і x+y=x(y, apoi) ) axiome 2 x+y(=x(y(, astfel încât mintea va câștiga)
B) y(S® y((S.)
Deci, prin axioma 4 S=N, care completează demonstrația teoremei.
Să aducem autoritățile la dodavannya.
1. Numărul 0 este elementul neutru al adunării, deci a+0=0+a=a pentru numărul natural de piele a.
Aducând. Ecuanimitatea a+0=a țipă din minte 1s. Aducem egalitatea 0+a=a.
Semnificativ prin M numere impersonale, care nu vor câștiga. Evident, 0+0=0 și 0(M. Fie a(M, apoi 0+a=a.) Apoi 0+a(=(0+a)(=a(i, aka, a((M) ) Otzhe, M=N, cum și este necesar să se aducă.
Dă-ne o lemă.
Lema. a(+b=(a+b)(.
Aducând. Fie M un număr impersonal al tuturor numerelor naturale b, pentru care egalitatea este a(+b=(a+b)(adevărat pentru orice valoare a lui a.):
A) 0(M, cioburi a(+0=(a+0)(;);
C) b(M ® b((M. Cu siguranță, deoarece b(M și 2c) este posibil)
a(+b(=(a(+b))(=((a+b)()(=(a+b()(,
deci b ((M. Medie, M = N, ce trebuie să aduc).
2. Adunarea numerelor naturale este comutativă.
Aducând. Fie M=(a(a(N(((b(N)a+b=b+a))) Spune-mi că M=N. Poate:
A) 0(M - cost 1.
C) a(M® a((M)
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(.)).
Media a((M, i din axioma 4 M=N).
3. Adăugarea asociativă.
Aducând. Haide
M=(c(c(N(((a,b(N)))(a+b)+c=a+(b+c))
Este necesar să aducem acel M=N. Deci (a+b)+0=a+b și a+(b+0)=a+b, apoi 0(M. Fie s(M, apoi (a+b)+c=a+(b+c) ) .
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c())).
Media c((M i prin axioma 4 M=N).
4. a+1=a(, de 1=0(.
Aducând. a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. Dacă b(0), atunci ((a(N)a+b(a)).
Aducând. Fie M=(a(a(N(a+b(a))) 0+b=b(0, apoi 0(M)). 2 p.1 (a+b)((a(altfel a( +b) (a)) înseamnă a((M і M=N)).
6. Dacă b(0, atunci ((a(N)a+b(0))
Aducând. Dacă a=0, atunci 0+b=b(0, dacă a(0 і a=c(, atunci a+b=c(+b=(c+b)))((0. Deci, y fi- care timpul a) + b (0.
7. (Legea plierii tricotomiei). Pentru orice numere naturale a și b, doar una și numai una dintre cele trei similitudini este adevărată:
1) a = b;
2) b=a+u de u(0;
3) a=b+v de v(0.
Aducând. Fixăm un anumit număr a și este semnificativ prin M multiplicatorul tuturor numerelor naturale b, pentru care una dintre conotațiile 1), 2), 3) este învingătoare. Este necesar să aducem acel M=N. Fie b = 0. Dacă a=0, atunci 1), și dacă a(0, doar 3), atunci a=0+a. Otzhe, 0 (M.
Acum este acceptabil ca b(M, astfel încât inversul lui a să fie unul dintre inversele lui 1), 2), 3). Dacă a=b, atunci b(=a(=a+1, atunci pentru b(decalajul 2 este numărat).) Dacă b=a+u, atunci b(=a+u(, atunci pentru b(decalajul 2). se numără) 2 ) Dacă a=b+v, atunci sunt posibile două declinații: v=1 și v(1. Dacă v=1, atunci a=b+v=b", atunci pentru b" raportul invers 1 este luate. și v(1 , apoi v=c", de c(0 și apoi a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c, de c(0, deci pentru b " avem un converse 3). Mai târziu, am adus că b (M ® b "(M, i, de asemenea M = N, deci dacă a și b, se dorește să se folosească una dintre consonanțele 1), 2), 3). nu pot fi învinși dintr-o dată. spіvvіdnoshennia 2) și 3), apoi mic b a = (a + u) + v = a + + (u + v), dar este imposibil prin puterea lui 5 și 6. Puterea lui 7 este adusă la capăt.
Sarcina 1.3.1. Fie 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9))))). Spune-mi 3+5 = 8, 2+4=6.

1.4. ÎN MULTIPLICAREA NUMERELOR NATURALE.

Numirea 1. Înmulțirea numerelor naturale se numește o astfel de operație binară (pe multiplicatorul N, pentru care se numără mintea:
1u. ((x(N) x(0=0);
2 ani. ((x, y(N)x(y)=x(y+x).
Reclam din nou nutriția - de ce este o astfel de operație și cum este, atunci care este singurul lucru?
Teorema. Operația de înmulțire a numerelor naturale este doar una.
Dovada poate fi efectuată în același mod ca și pentru dovada suplimentară. Este necesar să se cunoască o astfel de expresie (:N(N®N), ca
1) ((x(N)) ((x,0)=0;
2) ((x, y (N) ((x, y")) = ((x, y) + x).
Fixăm un număr destul de x. De asemenea, este posibil pentru pielea x(N іsnuvannya vіrazhennya fx: autoritatea N®N
1") fx(0)=0;
2") ((y(N) fx(y")=fx(y)+x,
apoi funcția ((x,y), care este egală cu ((x,y)=fx(y) și satisface mințile 1) și 2).
Mai târziu, demonstrarea teoremei merge până la demonstrarea bazei acelei unități pentru pielea x a funcției fx(y) cu puteri 1") și 2"). Să setăm numărul de N valori conform următoarei reguli:
a) numărul zero este setat la numărul 0,
b) întrucât numărului y i se dă numărul c, atunci numărul y (numărul c + x este egal).
Să reconsiderăm că într-o astfel de setare numărul pielii y poate fi o singură imagine: și este semnificativ că este posibil să se transforme N în N. Semnificativ, prin M impersonalitatea tuturor numerelor naturale y se poate forma o singură imagine. Gândiți-vă a) că axioma 1 este corectă, deci 0(M. Fie y(M. Gândiți-vă b) și axioma 2 sunt clare că y((M. Deci, M=N, deci demonstrația noastră este N) în N , este semnificativă - cantly în termeni de fx, atunci fx(0)=0 din cauza a) și fx(y()=fx(y)+x - din cauza lui b).
Ulterior, a fost confirmat motivul operației de înmulțire. Permiteți-mi acum (i (- să fie două operații binare pe multiplicatorul N cu puteri 1y și 2y. Rămâne să spunem că ((x,y(N)) x(y=x(y) Fixăm un număr destul de x și nu))
S=(y?y(N(x(y=x(y)))
Treci prin 1y x(0=0 і x(0=0, apoi 0(S. Fie y(S), apoi x(y=x(y)))
x(y(=x(y+x=x(y+x=x(y()
i, atunci, y((S. Deci, S=N, i mai jos, se termină demonstrația teoremei).
În mod semnificativ mulți diaconi ai puterii.
1. Elementul neutru este de obicei numărul 1=0(, deci ((a(N) a(1=1(a=a))).
Aducând. a(1=a(0(=a(0+a=0+a=a)) În acest fel, egalitatea lui a(1=a a fost completată. N) (1(a=a). Deci 1 (0=0, apoi 0(M. Fie a(M, apoi 1(a=a)). Atunci 1(a(=1(a+1=a +1=) a(, i, otzhe, a( (M. Deci, din axiomele 4 M=N, care era necesar să se aducă).
2. Pentru un ansamblu de târguri, o lege distributivă de drept, deci
((a,b,c(N) (a+b)c=ac+bc).
Aducând. Fie M=(c(c(N(((a,b(N)))(a+b)c=ac+bc))). , apoi 0(M. Deci c(M, apoi (a+b) c=ac+bc), atunci (a + b)(c(= (a + b)c +(a + b) = ac + bc +a+b=(ac+a)+(bc+b)= ac(+bc(.) Deci, c((M і M=N).
3. Înmulțirea numerelor naturale este comutativă, adică ((a,b(N) ab=ba).
Aducând. Să corectăm pentru b (N egal 0 (b = b (0 = 0. Egal b (0 = 0) este clar 1y. Fie M = (b (b (N (0 (b = 0))) ) 0 =0, apoi 0(M. Deci b(M, apoi 0(b=0, apoi 0(b(=0(b+0=0))) i, de asemenea, b((M. Deci, M= N, atunci egalitatea 0(b=b(0 adusă tuturor b(N. Să mergem mai departe) S=(a (a(N(ab=ba))). a) (S, apoi ab = ba. Apoi a (b) = (a + 1) b = ab + b = ba + b = ba (, apoi a ((S. Deci S = N), care este necesar să se aducă) .
4. Pliere distributivă multiplă. Tsya dominația viplivaє z dominația 3 și 4.
5. Pluralul este asociativ, adică ((a, b, c (N) (ab) c = a (bc)).
Dovada se efectuează, ca și la magazie, inducție pe s.
6. Dacă a(b=0, atunci a=0 și b=0, atunci N nu are divizori zero.
Aducând. Fie b(0 і b=c(. Dacă ab=0, atunci ac(=ac+a=0, semnele urmează puterea lui 6 elementul 3, deci a=0).
Sarcina 1.4.1. Fie 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9)))). Spune-mi ce 2(4)) =8, 3(3=9.
Fie n, a1, a2, ..., an numere naturale. Suma numerelor a1, a2,...,an se numește număr, așa cum este notat prin el de minți; pentru orice număr natural k
O submulțime a numerelor a1, a2,...,an este un număr natural, așa cum este notat cu i și este notat cu minți: ; pentru orice număr natural k
Cum este indicat acel număr printr-un.
Sarcina 1.4.2. Adu ce
A);
b);
în);
G);
e);
e);
și);
h);
і) .

1.5. ORDINEA SISTEMULUI NUMERELOR NATURALE.

Afirmația „urmează” este antireflexivă și antisimetrică, dar nu tranzitivă și nu urmează această ordine. Schimbăm în mod semnificativ ordinea, bazându-ne pe adăugarea numerelor naturale.
Numirea 1. a
Destinația 2. a(b (((x(N) b=a+x)).
Perekonaєmosya, scho vіdnoshennia Vіdznachimo deyaki vlastnostі numere naturale, povyazanih іz vіdnosinami іnоnostі і nerіvnostі.
1.
1,1 a=b (a+c=b+c).
1,2 a = b (ac = bc).
1.3a
1.4a
1,5 a+c=b+c (a=b).
1,6ac=bc(c(0(a=b).
1,7a+c
1,8ac
1.9a
1.10a
Aducând. Dominanța 1.1 și 1.2 emană din unicitatea operațiilor de pliere și înmulțire. Yakscho a
2. ((a(N) a
Aducând. Oskils a(=a+1, apoi a
3. Cel mai mic element N este 0, iar cel mai mic element N\(0) este numărul 1.
Aducând. Deci ((a(N) a=0+a, atunci 0(a, i, prin urmare, 0 este cel mai mic element al lui N.) Atunci, ca x(N\(0), atunci x=y(, y() N ) , în caz contrar x = y + 1. Răspunsul este că ((x (N \ (0)) 1 (x, deci 1 este cel mai mic element din N \ (0))).
4. Sugestie ((a, b (N) ((n (N)) b (0 (nb> a)).
Aducând. Evident, pentru orice a natural, există și un număr natural n, care
a Un astfel de număr є, de exemplu, n = a (. Dahl, dacă b (N \ (0), atunci pentru puterea 3)
1(b(2)
Z (1) și (2) pe baza puterilor 1.10 și 1.4 iau aa.

1.6. ORDINEA REALĂ A SISTEMULUI NUMERELOR NATURALE.

Numirea 1. Ca submultiplicator nevid al skinului multiplicatorului ordonat (M; Reconsiderați că noua ordine este liniară. Fie a și b două elemente din întregul multiplicator ordonat (M; Lema) . 1) a
Aducând.
1) a((b (b=a(+k, k(N))(b=a+k(, k((N\(0))))
2) a(b(b=a+k, k(N)(b(=a+k(, k((N\(0))))
Teorema 1. Ordinea naturală pe mulțimea numerelor naturale este de ordin superior.
Aducând. Fie M gol de numerele naturale impersonale, iar S este imaterialitatea interselor inferioare din N, deci S = (x (x (N (((m (M)) x (m))). Apoi, 0(S) Yakby a fost învingător și alte axiome ale lui Umov 4 n(S(n((S, apoi mic b S=N)).
Teorema 2. Dacă există o limită nevidă pentru fiara numerelor naturale impersonale, poate exista cel mai mare element.
Aducând. Fie M o graniță nevidă între fiara numerelor naturale impersonale, iar S este impersonalitatea cordoanelor superioare, deci S=(x(x(N((m(M)) m(x)).) În mod semnificativ, prin x0, cel mai mic element al lui y S. Dacă m
Sarcina 1.6.1. Adu ce
A);
b);
în).
Sarcina 1.6.2. Hai (- puterea slabă a numerelor naturale și k - mai mult decât un număr natural. Adu ce
a) fi-ca un număr natural poate fi putere (ca doar 0 poate fi putere pentru orice n (0
b) dacă este un număr natural, mai mare sau egal cu k, puterea maє (, dacă numai k maє tsyu puterea i pentru orice n (k (n) s omisiune, puterea scho n maє (, în continuare, numărul scho n + 1, de asemenea, puterea Volodya tsієyu).
c) dacă este un număr natural, mai mare sau egal cu k, poate avea putere (deoarece numai k poate avea putere și pentru orice n (n>k) este o alocație, că toate numerele t, atribuite prin mental k (t)

1.7. PRINCIPIUL INDUCȚIEI.

Vikoristovuyuchi povryadkovannost a sistemului de numere naturale, puteți aduce o astfel de teoremă, unul dintre fundamentele metodelor de demonstrare, titluri prin metoda inducției matematice.
Teorema (principiul inducției). Usі vyslovlyuvannya z succesiv A1, A2, ..., An, ... є іstnymi, yakshcho vykonuyutsya mind:
1) A1 este adevărat;
2) cum se folosește Ak cu k
Aducând. Este admisibil să nu acceptăm: gândiți 1) și 2) pentru a câștiga, dar dacă teorema nu este adevărată, atunci nu vom permite є impersonal M = (m (N (N \ (0), Am - hibno))). element, care are sens în termeni de n. mental 1) A1 este adevărat și An este rău, apoi 1(n, i, aka, 1)
Pentru confirmare prin metoda de inducție, pot fi văzute două etape. La prima etapă, care se numește baza inducției, mentalitatea minții este răsturnată 1). Din cealaltă parte a scenei, numită crock de inducție, se aduce în minte mintea 2). Cel mai adesea, vipad-urile sunt parcurse, dacă pentru a dovedi adevărul lui An, nu este posibil să se folosească victorietatea adevărului lui Ak la k
fundul. A aduce denivelări Plătibile = Sk. Este necesar să aducem adevărul constelației Ak=(Sk) Secvența consumurilor, așa cum este descrisă în teorema 1, poate proveni din predicatul A(n) atribuit mulțimii N sau submulțimii Nk=(x( x(N, x(k)), unde k este un număr natural fix.
Sokrema, dacă k=1, atunci N1=N(0), iar numerotarea poate fi efectuată pentru egalități suplimentare A1=A(1), A2=A(2), ..., An=A(n), .. Dacă k(1, atunci succesiunea de apariții poate fi luată din egalități suplimentare A1=A(k), A2=A(k+1), ..., An=A(k+n-1), . .Vidpovidno la astfel de valori, Teorema 1 poate fi formulată într-o formă diferită.
Teorema 2. Predicatul A(m) este adevărat și la multiplicatorul Nk, așa că știți:
1) A(k) este adevărată;
2) cum se folosește A(m) pentru m
Sarcina 1.7.1. Permiteți-mi să vă spun că acest tip de egalitate nu ia o decizie în galeria numerelor naturale:
a) x + y = 1;
b) 3x = 2;
c) x2 = 2;
d) 3x+2=4;
e) x2+y2=6;
f) 2x+1=2y.
Sarcina 1.7.2. Aduceți, principiul victorios al inducției matematice:
a) (n3+(n+1)3+(n+2)3)(9;
b);
în);
G);
e);
e).

1.8. VIDCHITANNYA I DELENNYA NUMERE NATURALE.

Denumirea 1. Diferența dintre numerele naturale a și b este un număr atât de natural x încât b+x=a. Diferența numerelor naturale a și b se notează prin a-b, iar operația de diferență a diferenței se numește diferență. Vіdnimannya nu este o operație de algebră. Tse vyplyvaє iz nastupnoї teorema.
Teorema 1. Retail a-b este singura diferență și numai una, dacă b(a. Dacă există o diferență, atunci doar una).
Aducând. Dacă b(a, atunci pentru desemnarea unei referințe (dacă este un număr natural x, atunci b+x=a. Ale ce i înseamnă că x=a-b. că b + x = a. Alece înseamnă că b (a) .
Aducem unitate vânzare cu amănuntul a-b. Fie a-b=x și a-b=y. Același lucru este valabil și pentru numirile 1 b+x=a, b+y=a. Zvіdsi b+x=b+y і, de asemenea, x=y.
Destinația 2. Fracția a două numere naturale a și b(0) se numește număr natural c astfel încât a = bc.
Teorema 2. Este mai privat decât unul.
Aducând. Hai = x care = y. Același lucru este valabil și pentru programările 2 a=bx și a=by. Zvіdsi bx=by і, de asemenea, x=y.
Este demn de remarcat faptul că operațiunile efectuate cu acea ocazie pot fi numărate literalmente la fel, ca și în cazul asistenților școlari. Tse înseamnă că în paragrafele 1-7, pe baza axiomelor lui Peano, s-a pus bazele teoretice ale aritmeticii numerelor naturale, iar dezvoltările ulterioare sunt stabilite ulterior în cursul de liceu de matematică și în cursul universitar „Algebră și număr. Teorie".
Sarcina 1.8.1. Aduceți dreptatea unor astfel de afirmații, admițând că toate diferențele care sunt enunțate în formulele lor sunt clare:
a) (a-b)+c=(a+c)-b;
b) (a-b) (c = a (c-b (c);
c) (a+b)-(c+b)=a-c;
d) a-(b+c)=(a-b)-c;
e) (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d);
e) (a-b)-(c-d)=a-c;
g) (a+b)-(b-c)=a+c;
h) (a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c);
i) a-(b-c)=(a+c)-b;
la) (a-b)-(c+d)=(a-c)-(b+d);
k) (a-b)(c+d)=(ac+ad)-(bc+bd);
l) (a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc);
m) (a-b)2=(a2+b2)-2ab;
o) a2-b2=(a-b)(a+b).
Sarcina 1.8.2. Pentru a aduce dreptatea greutăților viitoare, admițând că totul este privat, că sunt enunțate în formula dată, este clar.
A); b); în); G); e); e); și); h); i); la); l); m); n); despre); P); R).
Sarcina 1.8.3. Pentru a demonstra că mamele a două soluții naturale diferite nu pot fi atât de egale: a) ax2+bx=c (a,b,c(N); b) x2=ax+b (a,b(N); c) 2x= ax2 + b(a,b(N).
Sarcina 1.8.4. Dezlegați numerele naturale egale:
a) x2+(x+1)2=(x+2)2; b) x + y = x (y; c); d) x2+2y2=12; e) x2-y2 = 3; e) x + y + z = x (y (z.
Sarcina 1.8.5. Pentru a demonstra că nu există o astfel de soluție egală în sfera numerelor naturale: a) x2-y2=14; b) x-y = xy; în); G); e) x2=2x+1; f) x2 = 2y2.
Sarcina 1.8.6. Dezlegarea numerelor naturale ale denivelărilor: a) ; b); în); d) x+y2 Sarcina 1.8.7. Spune-mi că în domeniul numerelor naturale, debutul spiving este corect: a) 2ab(a2+b2; b) ab+bc+ac(a2+b2+c2; c) c2=a2+b2 (a2+b2) +c2 1.9.KILKISNIY DEATH numere naturale.
Într-adevăr, numerele naturale ar trebui să fie plasate ca rang de cap al rahunka a elementelor și care trebuie să fie plasate în calculul numerelor naturale teoretic de către Peano.
Destinația 1. Anonim (x(x(N, 1(x(n))) se numește spre deosebire de seria naturală) și se notează prin (1; n ()).
Numirea 2. Un multiplicator kіntsevoj se numește dacă este un multiplicator, egal cu orice numărător al seriei naturale și, de asemenea, un multiplicator gol. Bezlich, ca nu є kіtsevim, se numește nejupuit.
Teorema 1 la umed(Tobto podmnozhini, vіdmіny vіd A).
Aducând. Cum A=(, teorema este adevărată, nu există fragmente goale de submultipli goali. Să fim A((і A la fel de greu (1,n((A((1,n())).)) Putem demonstra că teoremă prin inducție pe n. Yaksho n= 1 , apoi A((1,1(, atunci folosim submultiplicatorul unic al multiplicatorului A este un multiplicator gol). Era clar că A(i, de asemenea, pentru n=1) , teorema este adevărată. Să presupunem că teorema este adevărată pentru n=m, atunci toate terminalele multiplicatoare, forțe egale în vânt (1,m(, nu vă gândiți la forțe egale în vânt). invers)) (1, m+1(în A. Dacă ((k) este cunoscut prin ak, k=1,2,...,m+1, atunci impersonalul A poate fi scris ca A=(a1, a2, ...) ) , am, am+1) Scopul nostru este de a demonstra că A nu are submultipli de putere la fel de puternici.
Să ne uităm la multiplicatorii A1 = A (am + 1) și B1 = B (am + 1). Deoarece f(am+1)=am+1, atunci funcția f zdіysnyuvatime afișează în mod bioactiv multiplicatorul A1, cu multiplicatorul B1. În acest rang, impersonalul A1 va fi egal cu puternicul său submultiplu B1. Ale oskіlki A1((1,m(, nu înlocuiește permisiunea de inducție).
Concluzie 1. Absența numerelor naturale nu este limitată.
Aducând. Din axiomele lui Peano, este clar că S:N®N\(0), S(x)=x(în mod obiectiv) este fermentat.
Concluzie 2. Dacă multiplicatorul A al lui kіntsev nu este gol, este egal cu unul și doar un omolog al seriei naturale.
Aducând. Fie A((1,m(і A((1,n(. Todі)) (1,m(((1,n(, datorită teoremei 1 este clar), deci m=n.)).
Ultimele 2 vă permit să introduceți o desemnare.
Denumire 3. Ca A((1,n(, atunci numărul natural n se numește numărul de elemente din multiplicatorul A), iar procesul de stabilire a similitudinii reciproce fără ambiguitate între multiplicatorii A și (1,n (numit număr) a elementelor din multiplicatorul A. Numărul de elemente naturale ale multiplului golului se introduce) numărul zero.
Despre măreția semnificației rahunka pentru o viață practică, vorbește zayve.
Cu respect, cunoscând calculul unui număr natural, ar fi posibil să se calculeze operația de înmulțire prin adunarea în sine:
.
Nu am trimis în acest fel deocamdată, pentru a arăta că aritmetica în sine nu este necesară în sensul de calcul: sensul de calcul al numărului natural este necesar doar în adăugiri la aritmetică.

1.10. SISTEMUL NUMERELOR NATURALE CA UN INVERS DISCRET ESTE BAGATO ORDINAT.

Am arătat că numerele naturale impersonale sunt compatibile cu ordinea naturală și cu întreaga ordonare. Dacă da, ((a(N) a
1. pentru orice număr a(N іsnuє sudіdnє care vine după el 2. pentru orice număr a(N \ (0) іsnuє suіdnє yoma în fața ta) Întreaga ordine a impersonalului (A;()) cu puterile 1 și 2 se numeste memo ciclu discret Se pare ca ordonarea cu puterile 1 si 2 este puterea caracteristica sistemului de numere naturale.elementul i, de asemenea, axioma 1 castiga Peano).
Deci este ca o ordine liniară, atunci pentru orice element a există un singur element care îl urmează și nu mai mult de un element sudidny înainte.
1) a0(M, unde a0 este cel mai mic element al lui A;
2) a(M (a((M.))
Să presupunem că M=N. Admisibil nu este acceptat, atunci A\M((. În mod semnificativ, prin b, cel mai mic element din A\M.
Am adus și posibilitatea unei alte denumiri a sistemului de numere naturale.
Programare. Sistemul numerelor naturale se numește dacă o multiplicitate este ordonată ca întreg, pe care se numără mințile:
1. pentru orice element, în spatele acestuia există un element care avansează;
2. pentru orice element, elementul cel mai puțin vizibil, elementul judiciar principal.
Іsnuyut іnshі pіdhodi destinația sistemului de numere naturale, pe care noi nu aici zupinaєmosya.

2. TSILI ȘI NUMERE RAȚIONALE.

2.1. SEMNIFICAȚIA ȘI PUTEREA SISTEMULUI DE NUMERE.
Se pare că nu există un număr de numere întregi în mintea unei minți intuitive, iar inelul este capabil să plieze acel multiplicator, în plus, inelul este să răzbune numerele naturale. S-a înțeles că nu există înjurături în numerele kіltsі tsіlih, așa cum ar răzbuna toate numerele naturale. Qi-ul puterii, se pare, poate fi pus ca bază pentru o desemnare strictă a unui sistem de numere. La paragrafele 2.2 și 2.3 se va aduce corectitudinea unei astfel de desemnări.
Numirea 1. Sistemul de numere se numește sistem algebric, pentru care mintea este:
1. Sistem algebric є kіltse;
2. Trebuie luat în considerare anonimatul numerelor naturale, în plus, adăugarea acelei înmulțiri în kіltsі pe submultiplu este luată din adunarea acelui multiplicator al numerelor naturale, tobto.
3. (umova minimalitate). Z este minimul pentru includerea multiplicatorului cu puterea 1 și 2. Cu alte cuvinte, pentru a răzbuna numerele naturale, atunci Z0=Z.
Numirea 1 poate primi un caracter axiomatic. Primele concepte din această teorie axiomatică vor fi:
1) Z anonim, ale cărui elemente se numesc numere întregi.
2) Un număr întreg special, așa cum se numește zero și este indicat prin 0.
3) Ternar vіdnosini + ta (.
Prin N, ca de obicei, numerele naturale impersonale sunt notate prin pliere (și înmulțiri (. De fapt, până la denumirea 1, sistemul de numere întregi se numește un astfel de sistem de algebră (Z; +, (, N). ), pentru care sunt victorioase următoarele axiome):
1. (Axiomele kіltsya.)
1.1.
Această axiomă înseamnă că + є este o operație binară a algebrei pe mulțimea Z.
1.2. ((a,b,c(Z) (a+b)+c=a+(b+c)).
1.3. ((a, b (Z) a + b = b + a).
1.4. ((a(Z) a+0=a, deci numărul 0 poate fi adăugat ca element neutru).
1.5. ((a(Z)((a((Z) a+a(=0), deci pentru întregul skin există numărul opus a()).
1.6. ((a,b(Z))((! d(Z) a(b=d)).
Această axiomă înseamnă că înmulțirea este o operație binară a algebrei pe multiplicatorul Z.
1.7. ((a, b, c(Z)) (a(b)(c = a((b(c))).
1.8. ((a, b, c (Z) (a + b) (c = a (c + b (c, c ((a + b))) = c (a + c (b))
2. (Axiomele legăturii dintre Z și sistemul numerelor naturale.)
2.1. N(Z.
2.2. ((a, b (N) a + b = a (b).
2.3. ((a, b(N)) a(b = a(b).
3. (Axioma minimalității.)
Dacă Z0 este capătul inelului Z și N(Z0, atunci Z0=Z.
În mod semnificativ actele de putere ale sistemului de numere.
1. Numărul de piei poate fi reprezentat privind diferența dintre două numere naturale. Aspectul este ambiguu, de altfel, z=a-b și z=c-d, de a, b, c, d (N, ambele și numai dacă a+d=b+c).
Aducând. În mod semnificativ, prin Z0, absența tuturor numerelor întregi, pielea oricăruia dintre ele, arată ca două numere naturale. Evident, ((a(N) a=a-0, i, alias, N(Z0).
Să mergem x,y(Z0, apoi x=a-b, y=c-d, de a,b,c,d(N. Atunci x-y=(a-b)-(c-d)=(a+d)--(b + c) )=(a(d)-(b(c)), x(y=(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)=(a(c(b(d))- ( a(d(b(c). Se poate observa că x-y, x(y(Z0 i, de acum înainte, Z0 este o submulțime a inelului Z, pentru a răzbuna impersonalul N.)).
2. Inelul numerelor întregi este un inel comutativ cu unitate, iar zeroul inelului este numărul natural 0, iar unitatea inelului este numărul natural 1.
Aducând. Fie x,y(Z. Valabil pentru puterea 1 x=a-b, y=c-d, de a,b,c,d(N.) Apoi x(y=(a-b)((c-d)=(ac+bd)- (ad) +bc)=(a(c(b(d))-(a(d(b(c))), y(x=(c-d))(a-b)=(ca+db)-(da+ cb )=(c( a(d(b)-(d(a(c(b)))). Prin urmare, datorită comutativității înmulțirii numerelor naturale, se potrivește că xy=yx. Comutativitatea înmulțirii în a fost adus inelul Z. 2 vyplyvayut din egalitățile evidente ofensive, în care, prin 0 și 1, sunt cunoscute numerele naturale zero și unu: x+0=(a-b)+0=(a+(-b))+ 0=(a+0)+(-b) =(a(0)+ (-b) = a-b = x x (1 = (a-b) (1 = a (1-b (1 = a (1-b) 1 = a-b = x)))

2.2. NUMĂRUL CYLIKH SISTEMUL ІSNUVANNYA.

Sistemul de numere este atribuit la 2.1 ca minim pentru includerea inelului, care răzbună numerele naturale. Vikaє pitanya - ce este același kіltse? Cu alte cuvinte, sistemul de axiome s 2.1 este super-simplist. Pentru a aduce nesuperitatea sistemului de axiome este necesar să se induce o interpretare într-o teorie clar nesupervizabilă. O astfel de teorie este luată în considerare de aritmetica numerelor naturale.
Din nou, este necesar să explicăm interpretarea sistemului de axiome 2.1. Să lăsăm la impersonal. Pentru care impersonalul sunt în mod semnificativ două operații binare și o setare binară. Dacă adunarea acelei înmulțiri de perechi se reduce la adunarea acelei înmulțiri de numere naturale, atunci pentru numerele naturale, adunarea acelei înmulțiri de perechi este comutativă, asociativă, iar înmulțirea este similară distributiv cu adunarea. Să reconsiderăm, de exemplu, comutativitatea adunării perechilor: +===+.
Să aruncăm o privire la puterea vіdnoshennia ~. Oskіlki a + b = b + a, apoi ~, apoi setând ~ în mod reflex. Dacă ~, atunci a+b1=b+a1, atunci a1+b=b1+a, atunci ~. Otzhe, stabilind ~ simetric. Mergi înainte ~ i ~. Sunt valabile și egalitățile a+b1=b+a1 și a1+b2=b1+a2. Adunând numerele de egalități, luăm a + b2 = b + a2, apoi ~. Otzhe, stabilind ~ de asemenea tranzitiv і, otzhe, є echivalent. Clasa de echivalență care răzbună un cuplu va fi determinată prin. În acest rang, clasa de echivalență poate fi atribuită să fie propriul tău cuplu și odată cu acesta
(1)
Anonimul tuturor claselor de echivalență este semnificativ. Sarcina noastră este să arătăm că multiplicatorul în cazul unei operații specificate de pliere și înmulțire va fi interpretarea sistemului de axiome din 2.1. Operațiile pe fără față sunt semnificative prin egalități:
(2)
(3)
Dacă i este, atunci pe multiplicatorul N este valabilă egalitatea a+b(=b+a(, c+d(=a+c(,)), egalitatea (a+c)+(b(+d() )=(b ) +d)+(a(+c(), care, în virtutea (1), este acceptabilă, ceea ce. Tse înseamnă că echivalența (2) înseamnă o operație unică de adunare pe un multiplicator, astfel încât a nu minți în alegerea perechilor, ceea ce înseamnă adiții) și unicitatea înmulțirii claselor În acest fel, egalităților (2) și (3) sunt atribuite multiplicității operațiilor binare ale algebrei.
Clasele de adăugare și înmulțire Oskіlki pot fi construite pentru plierea și înmulțirea perechilor, aceste operații sunt comutative, clasele asociative și de înmulțire sunt pliabile ușor din punct de vedere distributiv. Din egalități, se stabilește că clasa este un element neutru al modului de pliere, iar clasa de piele este clasa proliferativă. Deci, multiplicatorul este un cerc, deci se numără axiomele grupului 1 din 2.1.
Să aruncăm o privire la kіl'tsі podmnozhina. Dacă a(b, atunci prin (1) și dacă a
Pe impersonal, binarul este semnificativ (urmează (; însuși, după clasa, după clasa, de x (є număr natural, care vine după x. Clasă, care vine după semnificat natural prin). clasa urmează clasa i înaintea ei). este doar unul.
Să ne uităm la imagine. Este evident că scopul fermentației este biactiv și mintea f(0)= , f(x()==(=f(x)(.)). ;, () Cu alte cuvinte, algebră (;, () este o interpretare a sistemului de axiome al lui Peano. Derivând din algebre izomorfe, deci puteți considera cu respect că N-ul impersonal însuși este submultiplicat. ) \u003d a + c, a (c \u003d ac, ceea ce înseamnă că adăugarea acestuia înmulțirea în kіltsi pe submultiplu N se adaugă la adunările și înmulțirile numerelor naturale.Astfel, se instalează adăugarea axiomelor grupului 2.
Hai Z0 - fii ca un kіltse pіdkіltse, scho pentru a răzbuna pe impersonalul N i. Cu respect, scho th, otzhe,. Ale oskіlki Z0 - un kіlce, atunci diferența dintre aceste clase poate sta și cu un kіltsu Z0. З egalități -= (= potrivire, sho (Z0 і, aka, Z0=. Se aduce nesuperitatea sistemului de axiome de la punctul 2.1).

2.3. UNITATEA SISTEMULUI NUMERELOR.

Am un singur sistem de numere pentru mintea mea intuitivă. Tse înseamnă că sistemul de axiome, care semnifică numerele de numere, poate fi categoric, deci interpretarea sistemului de axiome este izomorfă. Categoric și înseamnă că, până la izomorfism, există un singur sistem de numere. Perekonayemosya, scho tse adevărat așa.
Fie (Z1;+,(,N) și (Z2;(,(,N)) două interpretări ale sistemului de axiome de la punctul 2.1.) sunt umplute cu indisciplinat și cremă pentru orice elemente x și y din inelul Z1 corectitudine
(1)
. (2)
Cu respect, cioburile N(Z1 și N(Z2, atunci
, a(b=a(b. (3))
Fie x(Z1 і x=a-b, de a,b(N. Setați elementul x=a-b la elementul u=a(b, de) , stelele z (3) a(d=b(c і, otzhe, a(b=c(d)) tse înseamnă că capacitatea noastră de a cădea ca reprezentant al elementului x ca diferență între două numere naturale și cim este prezentată în f: Z1® Z2, f(a-b)=a(b. Înțelegând că v(Z2 і v=c(d), atunci v=f(c-d).) expresia f este sur'jectivă.
Dacă x = a-b, y = c-d, de a, b, c, d (N і f (x) = f (y), atunci a (b = c (d). Alethodі a (d = b (d, c) ) forța (3) a+d=b+c, deci a-b=c-d Am adus, că egalitatea lui x=y este evidentă din egalitatea lui f(x)=f(y), atunci expresia lui f este inactiv.
Dacă a(N, atunci a=a-0 і f(a)=f(a-0)=a(0=a.) Deci, numerele naturale sunt non-violente atunci când f este exagerat. Departe, ca x=a-b , y=c-d , de a, b, c, d (N, apoi x + y = (a + c) - i f (x + y) = (a + c) ((b + d) = (a (c) ) (( b (d)=(a(b)((c(d)=f(x)+f(y)). S-a dovedit corectitudinea egalității (1). Egalitatea reversibilă (2). Scale f( xy)=(ac+ bd) )((ad+bc)=(a(c(b(d)))((a(d(b(c)))), iar pe cealaltă parte f(x)(f( y))=(a (b)((c (d)=(a(c(b(d)))((a(d(b(c))). Deci, f(xy)=f(x) (f(y)) , care completează demonstrarea categoricității sistemului de axiome n.) 2.1.

2.4. VALOAREA ȘI PUTEREA SISTEMULUI NUMERELOR RAȚIONALE.

Numerele raționale Q anonime în câmpul intuitiv rozumіnnі dat, pentru unele numere întregi Z impersonale є pіdkіltsem. Când este evident că Q0 este subcâmpul câmpului Q, pentru a ne răzbuna pe numere, atunci Q0 = Q.
Numirea 1. Un sistem de numere raționale este un astfel de sistem de algebră (Q; +, (; Z), pentru care se folosește mintea:
1. sistem algebric (Q; +, () є câmp;
2. inel Z numere întregi є pіdkіltsem câmp Q;
3. (minim) dacă subcâmpul Q0 al câmpului Q răzbune subcâmpul Z, atunci Q0=Q.
Pe scurt, sistemul de numere raționale este minimul pentru câmpul inclus pentru a răzbuna numărul de numere. Puteți da mai multe rapoarte despre definiția axiomatică a sistemului de numere raționale.
Teorema. Un număr rațional x poate fi reprezentat ca două numere întregi private, deci
, de a, b (Z, b (0. (1))
Aspectul este ambiguu, de altfel, de a, b, c, d (Z, b (0, d (0)).
Aducând. În mod semnificativ în ceea ce privește Q0, există numere raționale impersonale, așa cum se vede în (1). Pentru a termina reconcilierea, deci Q0 = Q. Haide, de a, b, c, d (Z, b (0, d (0). Atunci, pentru puterea câmpului, este posibil: , iar pentru c) (0) Media Q0 este închisă pe un număr diferit de zero, i, atunci, є subcâmp al câmpului Q. Deci dacă numărul a este reprezentabil la vedere, atunci Z (Q0. Datorită faptului că este minim și evident , Q0 = Q. Dovada celeilalte părți a teoremei evidente.

2.5. FUNDAREA SISTEMULUI NUMERELOR RAȚIONALE.

Sistemul numerelor raționale este desemnat ca câmp minim pentru a răzbuna numărul de numere. Zvichayno vinikaє pitanya - chi іsnuє un astfel de câmp, că chi є є nesuperechlivuyu sistem de axiome, scho vyznaє numere raționale. Pentru a confirma non-superitatea, este necesar să se induce o interpretare a sistemului de axiome. La care este posibil să spiraleze baza sistemului de numere întregi. Să luăm un moment pentru a interpreta Z(Z\(0) ca un număr imuabil. Două operații binare de algebră sunt semnificative pe multiplicator
, (1)
(2)
acel binar
(3)
Dotsіlnіst sama o astfel de denumire a operațiunilor și vіdnosinі ~ vyplyaє z că în іy іyіnpretatsії, așa cum voi fi, câteva cuvinte sunt mai private.
Este ușor să ne gândim prea mult că operațiile (1) și (2) sunt comutative, asociative și se înmulțesc distributiv. Toate puterile puterii sunt venerate pe baza puterilor superioare de adunare a acelei înmulțiri de numere. Pereverimo, de exemplu, asociativitatea perechilor multiple: .
În mod similar, se reconsideră faptul că diferența este ~ є echivalent și, prin urmare, impersonalul Z(Z \ (0)) este împărțit în clase de echivalență. în perechile i în virtutea minții (3) luăm:
. (4)
Sarcina noastră este să desemnăm operația de pliere a acelui multiplicator în multiplicator, astfel încât să fie un câmp. Numărul de operații este semnificativ prin egalități:
, (5)
(6)
Deci, atunci ab1=ba1 și apoi cd1=dc1, apoi înmulțind valorile egalității, luăm (ac)(b1d1)=(bd)(a1c1), iar tse înseamnă că Tse ne va schimba de cel care este egal (6) ) semnifică efectiv o operațiune fără ambiguitate asupra unei clase impersonale, cum ar fi să se afle în alegerea reprezentanților clasei de piele. În mod similar, unicitatea operației (5) este revizuită.
Deoarece adunarea și înmulțirea claselor pot fi reduse la plierea și înmulțirea perechilor, atunci operațiile (5) și (6) sunt comutative, asociative și distributive și pot fi adăugate.
Din punct de vedere al egalităților, se prevede că clasa este un element neutru atunci când este suplimentată, iar pentru clasa de piele se utilizează elementul protella yoma. În mod similar, este evident că clasa este un element neutru al pluralității și pentru clasa skin este clasa corectivă. De asemenea, є domeniul de operațiuni (5) și (6); primul Umov la punctul stabilit 2.4 câștigă.
Să ne uităm la distanța impersonală. Evident, . Impersonalitatea este închisă văzând acel plural și, mai târziu, prin pidkil-ul câmpului. Corect, . Să aruncăm o privire la viziune, . Sur'jectivitatea acestei manifestări este evidentă. Dacă f(x)=f(y), atunci x(1=y(1 sau x=y. Adică f și injectiv. În plus, kіltsya izomorfă, este posibil să înțelegem că Z kіlce este subkіlcem al câmpului, astfel încât mintea este bătută 2 la clauza stabilită 2.4. câmpurile i, Haide. Bo, ah, atunci. Ale oskіlki - câmpul, apoi elementele private tsikh tezh se află pe teren. Tim însuși a adus-o în discuție, ce este, atunci, tobto. Baza sistemului de numere raționale a fost completată.

2.6. UNITATEA SISTEMULUI NUMERELOR RAȚIONALE.

Dacă există un singur sistem de numere raționale în sensul intuitiv modern, atunci teoria axiomatică a numerelor raționale, așa cum apare aici, poate fi categorică. Categoric și înseamnă că, până la izomorfism, există un singur sistem de numere raționale. Să arătăm că este adevărat.
Fie (Q1;+, (; Z) și (Q2; (, (; Z)) - să fie ca două sisteme de numere raționale.
(1)
(2)
pentru orice elemente x și y din câmpul Q1.
Elementele private a și b din câmpul Q1 vor fi notate cu, iar în câmpul Q2 - cu a:b. Deoarece Z є pіdkіltse kozhny s polіv Q1 і Q2, atunci pentru orice număr de numere a і b echivalență
, . (3)
Haide și de, . Atribuim elementului dat x elementul y=a:b din câmpul Q2. Dacă egalitatea este adevărată în câmpul Q1, atunci, atunci, teorema elementului 2.4 din inelul Z câștigă egalitatea ab1=ba1, în caz contrar, datorită (3), egalității și, în mod similar, pentru aceeași teoremă, egalitatea a: b=a1:b1 este valabil în câmpul Q2. Tse înseamnă că atribuind elementului câmpului Q1 elementul y=a:b din câmpul Q2, îl vom afișa, .
Orice element din câmpul Q2 poate fi reprezentat ca a:b, de, otzhe, є rangul elementului din câmpul Q1. Otzhe, vodobrazhennya f є sur'єktivnym.
Da, atunci în câmpul Q1 și la fel. În acest fel, fermentația f є bієktivnym și toate numerele tsіlі devin indisciplinate. Este necesar să se facă dreptate egalităților (1) și (2). Să presupunem a,b,c,d(Z, b(0, d(0). Atunci i, semnele datorate (3) f(x+y)=f(x)(f(y). În mod similar, și stele.
Izomorfismul interpretărilor (Q1; +, (; Z) și (Q2; (, (; Z)) în avans.

VІDPOVIDI, VKAZIVKI, RISHENNIA.

1.1.1. Soluţie. Fie adevărate axiomele minții 4 (o astfel de putere a numerelor naturale care ((0) i. Să o facem. Dacă M satisface puterile axiomelor 4, cioburi ((0) (0(M i. Otzhe), M=N) , atunci fi-ca natural ).numărul este puternic (. Înapoi. Este acceptabil ca, indiferent dacă există sau nu putere (din acel ((0) i, în continuare. Fie M un submultiplicator al lui N, că 0(M) i.) Se va arăta că M = N. Să introducem puterea (, cu respect. Todi ((0), oskіlki, i.) Otzhe, M=N.
1.1.2. Verdict: Afirmarea adevărată a primei și a patra axiome a lui Peano. Confirmarea celei de-a doua axiome a lui Hibne.
1.1.3. Verdict: afirmare veridică a 2,3,4 axiome ale lui Peano. Confirmarea primelor axiome ale lui Hibne.
1.1.4. Afirmațiile adevărate 1, 2, 3 Axiomele lui Peano. Enunțul celei de-a patra axiome a lui Hibne. Vkazіvka: a aduce, scho mulțumit de posibilitățile axiomei 4, formulată în termenii operației, ale.
1.1.5. Vkazіvka: pentru a demonstra adevărul axiomei 4, aruncați o privire la submultiplicatorul M z A, deoarece satisface mințile: a) 1 ((M, b) și impersonal.
1.1.6. Afirmarea adevărată a axiomelor 1,2,3 ale lui Peano. Enunțul celei de-a patra axiome a lui Peano Hibne.
1.6.1. a) Decizie: vă rog să-mi spuneți dacă este 1 dimineața. Înapoi. Haide am
1.6.2. a) Decizie: acceptabilă. Prin M, toate numerele sunt semnificativ impersonale, astfel încât nu pot fi puternice (. Prin presupunere, M((. În virtutea teoremei 1, M are cel mai mic element n(0). Fie că este numărul x).
1.8.1. f) Bifați p. e) și p. c): (a-c)+(c-b)=(a+c)-(c+b)=a-b, de asemenea, (a-b)-(c-b)=a-c.
h) Câștigă putere.
l) Bifați p. b).
l) Bifați p. b) și p. h).
1.8.2. c) Maєmo, otzhe,. Tată, .
d) Maemo. Tată, .
și).
1.8.3. a) Ca (i (soluție diferită egală ax2+bx=c), apoi a(2+b(=a(2+b(.))) . Exact ((. Totuși (2=a(+b>a(,, de asemenea, (>a.))).
c) Nehai (i (- rădăcini diferite ale lui i egal (>(. Todі 2((-()=(a(2+b)))-(a(2+b))=a((-())( ( (+( ) Mai târziu, a((+()=2), dar (+(>2), mai târziu, a((+()>2), ceea ce este imposibil).
1.8.4. a) x = 3; b) x = y = 2 c) x=y(y+2), y este un număr natural; d) x = y = 2; e) x = 2, y = 1; f) Exact până la permutările x=1, y=2, z=3. Soluție: De exemplu, să spunem x(y(z. Atunci xyz=x+y+z(3z, deci xy(3.) Deci xy=1, apoi x=y=1 і z=2+z, deci) Imposibil : dacă xy = 2, atunci x = 1, y = 2. În acest caz 2z = 3 + z, atunci z = 3. Dacă xy = 3, atunci x = 1, y = 3. Atunci 3z = 4+z , deci z=2, pentru a suprapune alocația y(z.
1.8.5. b) Dacă x=a, y=b este o scindare, atunci ab+b=a, atunci. a>ab, ceea ce este imposibil. d) Dacă x=a, y=b este o divizare, atunci b
1.8.6. a) x=ky, de k,y - destule numere naturale și y(1. b) x - suficient număr natural, y=1. c) x este un număr destul de natural y=1. d) Nu există soluție. e) x1 = 1; x2=2; x3=3. f) x>5.
1.8.7. a) Dacă a = b, atunci 2ab = a2 + b2. Haide, de exemplu, a

LITERATURĂ

1. Redkov M.I. Sisteme numerice. /Recomandări metodologice la cursul „Sisteme numerice”. Partea 1. - Omsk: OmDPІ, 1984. - 46s.
2. Ershova T.I. Sisteme numerice. / Dezvoltare metodică pentru luare practică. - Sverdlovsk: SDPI, 1981. - 68s.