Aflați online toate rădăcinile raționale ale unui termen bogat. Ecuație în toată matematica.Rădăcina rațională a termenilor bogați. Schema lui Horner. Chi є tse număr rațional

Un termen bogat sub forma unei variabile x este numit într-un mod diferit: anxn + an-1 xn-1 +. . . +a 1 x+a 0 de n este un număr natural; an, an-1,. . . , a 1, a 0 - fie că sunt numere, numite coeficienți ai acestui polinom. Virazi anxn, an-1 xn-1,. . . , a 1 x, a 0 se numesc membri ai polinomului, iar 0 este numit membru arbitrar. an - coeficient la xn, an-1 - coeficient la xn-1 și așa mai departe. de exemplu, termenul bogat 0x2 + 0x + 0 este nul. Din înregistrarea polinomului, este clar că vin se adună din numărul de membri. Sună ca termenul „membru bogat” (membri bogați). Uneori, un termen bogat este numit polinom. Acest termen seamănă cu cuvintele grecești πολι - bogat și νομχ - membru.

Un membru bogat sub forma unei schimbări x se semnifică: . f (x), g (x), h (x) și așa mai departe, de exemplu, ca primii termeni care indică mai bogat în termeni de f (x), atunci puteți scrie: f (x) = x 4+2 x 3+ (- 3) x 2 + 3/7 x + √ 2. 1. Termenul bogat h (x) se numește cel mai mare dormitor dintre termenii bogați f (x) și g (x), deci este posibil a adauga f (x), g (x) si piele dilnik. 2. Termenul bogat f(x) cu coeficienți din câmpul P al pasului n se numește reductibil peste câmpul P, stabilindu-se astfel termenii bogați h(x), g(x) Î P[x] al pasului n astfel încât f(x) = h( x)g(x).

Acesta este termenul bogat f(x) = anxn+an-1 xn-1+. . . + a 1 x + a 0 і an≠ 0, atunci numărul n se numește stadiul termenului bogat f (x) (sau se pare: f (x) este etapa a n-a) și scrieți Art. f(x) = n. Și aici an se numește coeficientul senior, iar anxn este membrul senior al acestui polinom. De exemplu, dacă f (x) = 5 x 4 -2 x +3, atunci art. f(x) = 4, coeficient senior - 5, termen senior - 5 x4. Pasul polinom este cel mai mare dintre numerele coeficienților săi, principalele tipuri de zero. Termenii bogați ai pasului zero sunt numerele întregi, care sunt la fel cu zero. termenul bogat zero al pasului nu poate fi; termenul bogat f(x) = a, unde a este un număr, diferit de zero, pasul maxim este 0; pas bine fie un alt polinom, care este mai scump pentru cel mai mare indicator al pasului de schimbare x, coeficientul la următorul este zero.

Rivnist de bogat-membri. Doi termeni bogați f(x) și g(x) sunt considerați egali, chiar dacă coeficienții lor sunt egali cu aceleași trepte ale schimbării x și termeni liberi (egali їх în termeni de coeficienți). f(x) = g(x). De exemplu, termenii bogați f (x) \u003d x 3 + 2 x 2 -3 x + 1 і g (x) \u003d 2 x 23 x + 1 nu sunt egali, primul dintre ei are un coeficient la x3 mai egal la 1, iar celălalt are zero ( Cu inteligențe acceptate, putem scrie: g (x) \u003d 0 x 3+2 x 2 -3 x + 1. În acest caz: f (x) ≠ g (x) .x 2 -3 x + 5, s ( x) =2 x 2+3 x+5

Și axa termenului bogat f 1 (x) \u003d 2 x 5 + 3 x 3 + bx + 3 і g 1 (x) \u003d 2 x 5 + ax 3 -2 x + 3 în mod egal chiar dacă a = 3 , dar b = -2. Dați termenul bogat f(x) = anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 este un număr c. Numărul f(c) = ancn+an-1 cn-1+. . . +a 1 c+a 0 se numește valoarea polinomului f(x) la x = c. În acest fel, pentru a cunoaște f (c), este necesar să se fundamenteze x și să se efectueze calculele necesare. De exemplu, dacă f(x) = 2x3+3x2-x+5, atunci f(-2)=2(-2)3+(-2)2-(-2)+5=3. Un membru bogat cu valori diferite ale modificării x poate fi luat valori diferite. Numărul se numește rădăcina polinomului f (x), deci f (c) =0.

Este important să acordăm atenție diferenței dintre două afirmații: „termenul bogat f(x) este egal cu zero (în caz contrar, termenul bogat f(x) este zero)” și „valoarea polinomului f(x) la x=z este egal cu zero”. De exemplu, polinomul f (x) \u003d x 2 -1 nu este egal cu zero, vіn pot fi coeficienți nenuli, așa cum valoarea la x \u003d 1 este egală cu zero. f(x) ≠ 0 și f(1) =0. Între înțelegerile echivalenței termenilor bogați și sensul termenului bogat este aceeași relație strânsă. Dacă sunt date două polinoame egale f(x) și g(x), atunci їх sunt coeficienți egali egali și, prin urmare, f(c) = g(c) pentru numărul de piele с.

Operații pe polinoame Termenii bogați pot fi adăugați, văzuți și înmulțiți conform regulilor uzuale pentru extinderea arcului și reducerea termenilor similari. Prin urmare, intru din nou un membru bogat. Operațiile desemnate pot avea putere: f (x) + g (x) = g (x) + f (x), f (x) + (g (x) + h (x)) = (f (x) + g (x)) + h(x), f(x) g(x) = g(x) f(x), f(x)(g(x) h(x)) = (f(x) g( x)) h(x), f(x)(g(x) + h(x)) = f(x) g(x) + f(x) h(x).

Permiteți-mi să vă dau doi termeni bogați f(x) = anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, an≠ 0, i g(x)=bmxm+bm-1 xm-1+. . . +b 1 x+bm≠ 0. Era clar că art. f(x)=n, iar art. g(x) = m. Dacă înmulțiți qi două polinoame, veți ajunge la un termen bogat de forma f(x) g(x)=anbmxm+n+. . . +a 0 b 0. Oskilki an≠ 0 și bn≠ 0, apoi anbm≠ 0, de asemenea, art. (f(x)g(x))=m+n. Sunetele sunt puternice și importante.

Etape pentru adăugarea a doi termeni bogați non-zero la suma pașilor multiplicatorilor, art. (f(x)g(x)) = st. f(x) +st. g(x). Membrul senior (coeficientul) al creării a doi termeni bogați non-zero pentru a adăuga membrii seniori (coeficienții) multiplicatorilor. Un membru liber al creării a doi membri bogati este demn de crearea unor membri liberi ai multiplicatorilor comune. Pașii f(x), g(x) și f(x) ±g(x) bogat articulați sunt asociați cu viitoarea spivvіdnoshennia: art. (f (x) ± g (x)) ≤ max (st. f (x), st. g (x)).

Se numește suprapunerea mai multor termeni f(x) și g(x). termen bogat, care este notat cu f (g (x)), care poate intra și în polinomul f (x) în loc de x, înlocuiește polinomul g (x). De exemplu, dacă f(x)=x 2+2 x-1 і g(x) =2 x+3, atunci f(g(x))=f(2 x+3)=(2 x+3) 2 +2(2 x+3)-1=4 x 2+16 x+14, g(f(x))=g(x 2+2 x-1)=2(x 2+2 x-1) + 3=2x2+4x+1. Se poate observa că f(g(x)) ≠g(f(x)), adică o suprapunere de mai mulți termeni f(x), g(x) și o suprapunere de mai mulți termeni g(x), f( x) diferit. În acest fel, operația de suprapunere nu are puterea deplasării.

, Algoritm pentru subestimare și depășire Pentru dacă f(x), g(x) este clar q(x) (privat) și r(x) (surplus), astfel încât f(x)=g(x)q(x) )+ r(x), iar pașii r(x)

Dicționarele unui polinom Dicționarul unui termen bogat f(x) este un termen bogat g(x) astfel încât f(x)=g(x)q(x). Cel mai mare pat din două bogat segmentate Cel mai mare pat de bogat segmentate f(x) și g(x) este un astfel de pat dublu de d(x), care poate fi împărțit în orice alt pat al lor.

Algoritmul lui Euclidean (algoritmul ultimei subdiviziuni) de găsire a celui mai mare jurnal comun de termeni bogați f(x) și g(x) Todi este cel mai mare dilnik al f(x) și g(x).

Schimbați alții Soluție: Cunoaștem GCD-ul acestor termeni bogați, fixând algoritmul euclidian 1) х3 + 6 х2 + 11 х + 6 х3 + 7 х2 + 14 х + 8 1 - х2 - 3 х - 2 8 x3 + 3 x2 + 2 x - x2 - 3 x - 2 - x - 4 4 x2 + 12 x + 8 0 Otzhe, termen bogat (- x2 - 3 x - 2) Rezultatul este sub stindardul polinomului vidomiei.

Să știm rezultatul subdiviziunii numărului. x 3 + 6 x2 + 11 x + 6 - x2 - 3 x - 2 x3 + 3 x2 + 2 x - x - 3 3 x2 + 9 x + 6 0

Schema lui Horner de împărțire de la un termen prea bogat f(x) într-un termen bogat diferit de zero g(x) - ne înseamnă a dezvălui f(x) în perspectiva f(x)=g(x) s(x)+ r(x), de s(x) ) ) i r(x) - termeni bogați i sau r(x) = 0, sau st. r(x)

Segmente bogate, care stau în partea stângă și dreaptă a spіvvіdnoshennia sa, egale și, de asemenea, egale їhnі vіdpovіdni koefіtsіentsi. Este egal cu ei, după ce a deschis arcurile în față și a insuflat membre similare în partea dreaptă a liniei de ecuanimitate. Minus: a = bn-1, a-1 = bn-2 - cbn-1, a-2 = bn-3 - cbn-2, a 2 = b 1 - cb 2, a 1 = b 0 - cb 1, a 0 = r - cb 0 Virazimo їх іz otrimanih egalități: bn-1 = an, b n-2 = cbn-1 + an-1, b n-3 = cbn-2 + a n-2, b 1 = cb 2 + a 2, b 0 \u003d cb 1 + a 1, r \u003d cb 0 + a 0. Știam formulele care pot fi utilizate pentru a calcula coeficienții unui s privat impar (x) și excesul r. Cu aceasta, acuzațiile sunt întocmite în fața mesei; se numeşte schema lui Horner.

Tabelul 1. Coeficienți f(x) c an bn-1 an-1 bn-2=cbn-1+ an-1 an-2 bn-3 = cbn-2+an-2 … … a 0 r = cb 0 + a 0 Coeficienții s(x) sunt prea mulți. Pe alt rând, lângă prima celulă, notează numărul c. Reshta clitina din rând se completează, numărând, unul câte unul, coeficienții s-ului privat neliniar (x) și excesul r. La alt client, notează coeficientul bn-1, care, după cum am instalat, este mai scump an.

Coeficientul de a sta la peretele ofensiv al pielii se calculează după următoarea regulă: numărul c se înmulțește cu numărul de a sta la peretele din față, iar numărul se adaugă la rezultat, de a sta deasupra peretelui, de reținut. . Pentru a ne aminti, să zicem, cinci clitine, pentru a ști să stea la coeficientul ei, este necesar să înmulțim c cu numărul care se află în a patra clitină și să adaugi la rezultat numărul care stă deasupra celei de-a cincea clitine. Să împărțim, de exemplu, termenul bogat f (x) \u003d 3 x 4 -5 x 2 + 3 x-1 în x-2 іz prea mult, schema lui Horner. La completarea primului rând, numerele schemei nu pot fi uitate de coeficienții zero ai polinomului. Deci, coeficienții f(x) sunt valorile numerelor 3, 0, - 5, 3, - 1. Un alt lucru de reținut este că pasul unui privat incomplet este cu unul mai mic decât pasul de termenul bogat f(x).

De asemenea, pare să fi fost subdivizat conform schemei lui Horner: Tabelul 2. 2 3 3 0 6 -5 7 3 17 -1 33 Este important de reținut că privat s(x) =3 x 3+6 x 2+7 x+17 și surplusul r=33. Cu respect, am calculat valoarea polinomului f (2) =33. Acum să împărțim termenul foarte bogat f(x) în x + 2 іz prea mult. Am un vipadku cu = -2. opțional: Tabelul 3. -2 3 3 0 -6 -5 7 3 -11 -1 21 Ca rezultat, f(x) = (x+2) (3 x 3 -6 x 2+7 x-11) + 21 .

Rădăcina polinoamelor Nehai с1, с2, …, сm - Rădăcină diferită a polinomului f(x). Atunci f(x) este divizibil cu x-c1, atunci f(x) = (x-c1) s1(x). Să plătim pentru această ecuanimitate x=c2. Scădem f(c2) = (c2-c1) s1(c2) i, deci f(c2) =0, apoi (c2-c1) s1(c2) =0. Ale c2≠c1, apoi c2 -c1≠ 0, ceea ce înseamnă că s 1 (c 2) = 0. De asemenea, c2 este rădăcina polinomului s 1 (x). Arată că s1(x) este divizibil cu x-c2, deci s1(x) = (x-c2) s2(x). Imaginați-vă că scădeți virase pentru s 1 (x) y egal f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Mai f(x) = (x-c1) (x-c2) s2(x). După ce am introdus restul egalității x \u003d c3, pentru a fixa acel f (c 3) \u003d 0, c3 c1, c3 c2, presupunem că c3 este rădăcina polinomului s 2 (x). Deci, s 2 (x) \u003d (x-c 3) s 3 (x), apoi f (x) \u003d (x-c 1) (x-c 2) (x-c 3) s 3 (x) și așa mai departe. pentru rădăcini care au fost pierdute, c4, c5, ..., cm, mi, nareshti, f (x) = (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) sm (x) este luat, acesta este adus la o formulă inferioară.

Deoarece c1, c2, ..., cm este rădăcina diferită a polinomului f (x), atunci f (x) poate fi dată analizând f (x) \u003d (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) sm (x). Pare o consecință importantă. Deoarece c1, c2, ..., cm este rădăcina polinomului f (x), atunci f (x) se împarte la polinomul (x-c1) (x-c2) ... (x-cm). Numărul de rădăcini diferite ale polinomului diferit de zero f(x) nu este mai mare decât treapta inferioară. Adevărat, întrucât f(x) nu are rădăcină, este clar că teorema este corectă, mai mult Art. f (x) ≥ 0. Fie f (x) acum m rădăcini c1, c2, ..., cm, în plus, toate mirosurile sunt diferite. La fel cum f (x) este împărțit la (x-c1) (x-c2) ... (x-cm). Uneori art. f(x)≥st. ((X-C1) (X-C2) ... (X-Cm)) = st. (x-c1) + art. (X-C2) + ... + art. (x-cm) \u003d m, apoi st. f(x)≥m, iar m este numărul de rădăcini ale termenului bogat care poate fi luat în considerare. Și axa termenului zero bogat este infinit bogat în rădăcini, chiar dacă are un sens pentru orice x este mai frumos 0. Zokrema, de dragul de a-l provoca, și nu pedepsiți același pas cântând. Din teoreme bine dovedite, aceeași afirmație este evidentă.

Dacă polinomul f(x) nu este un multinom de pas, n mai mare, mai mic și poate fi n rădăcini mai mari, mai mici, atunci f(x) este un polinom zero. Într-adevăr, din mintea minții firmei, este clar că f (x) este un polinom zero, sau artă. f(x) ≤n. Presupunând că polinomul f(x) nu este zero, atunci art. f(x) ≤n, și atunci f(x) nu poate fi mai mult, sub n rădăcini. Ajungem la punctul superbului. Prin urmare, f(x) este un termen bogat diferit de zero. Fie f(x) și g(x) termeni bogați diferit de zero ai pasului, nu mai mare, inferior n. Dacă q polinoame capătă aceeași valoare pentru n + 1 valori ale modificării x, atunci f (x) = g (x).

Pentru demonstrație, să ne uităm la termenul bogat h(x) = f(x) – g(x). Mi-a dat seama că - fie h (x) = 0, fie st. h (x) ≤n, atunci h (x) nu este un termen bogat al etapei, mai mare decât, mai mic decât n. Să iau acum numărul astfel încât f (c) = g (c). Atunci h(c) = f(c) - g(c) = 0, atunci h este rădăcina polinomului h(x). De asemenea, termenul bogat h(x) are n+1 rădăcini, iar dacă, așa cum s-a făcut, h(x) = 0, atunci f(x) = g(x). Dacă f(x) și g(x) au aceleași valori pentru toate valorile variabilei x, atunci

Rădăcini multiple ale multinomului Deoarece numărul є este rădăcina multinomului f (x), acest polinom, aparent, este divizibil cu x-s. Este posibil ca f(x) să fie extins la pasul următor bugato-membru x-s, adică pe (x-c) k, k>1. Acest vipadka se numește rădăcină multiplă. Să formulăm mai clar numirea. Numărul se numește rădăcina multiplicității k (rădăcină k-fold) a polinomului f (x), deci polinomul este divizibil cu (x-c) k, k>1 (k este un număr natural), dar nu este divizibil cu ( x-c) k + 1. Dacă k=1, atunci se numește rădăcină simplă, iar dacă k>1, se numește rădăcină multiplă a polinomului f (x).

Deci polinomul f(x) poate fi reprezentat ca f(x)=(x-c)mg(x), m este un număr natural, vin este divizibil cu (x-c) m+1 și atunci dacă g(x) este divizibil cu x-c . Într-adevăr, dacă g(x) este divizibil cu x-c, atunci g(x)=(x-c)s(x), atunci f(x)=(x-c) m+1 s(x) și, de asemenea, f(x ) se împarte la (x-c) m+1. Înapoi, deoarece f(x) este divizibil cu (x-c) m+1, atunci f(x)=(x-c) m+1 s(x). Apoi (x-c) mg (x) \u003d (x-c) m + 1 s (x) și după scurtul timp pentru (x-c) m, se ia g (x) = (x-c) s (x). Se pare că g(x) este subdivizat în x-s.

Este clar, de exemplu, că chi este numărul 2 ca rădăcină a termenului bogat f(x) = x 5 -5 x 4+3 x 3+22 x 2 -44 x+24, iar dacă da, atunci îi cunoaștem multiplicitatea. Pentru a verifica prima sursă de alimentare, putem verifica schema Horner suplimentară, care împarte f(x) la x-2. poate fi: Tabelul 4. 2 1 1 -5 -3 3 -3 22 16 -44 -12 24 0 La fel ca Bachimo, excesul la împărțirea f(x) cu x-2 este mai mare decât 0, deci ar trebui împărțit la x-2. Prin urmare, rădăcina 2 a polinomului. În plus, am luat că f(x)=(x-2)(x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x-12). Acum este evident, chi є f (x) pe (x-2) 2. Tse să depună, cum a adus mi schoyno, având în vedere divizibilitatea polinomului g (x) \u003d x 4 -3 x 3 -3 x 2 + 16 x-12 pe x-2.

Din nou accelerarea prin schema lui Horner: Tabelul 5. 1 -3 -3 16 -12 2 1 -1 -5 6 0 -x2 -5x +6). Atunci f (x) \u003d (x-2) 2 (x 3 -x 2 -5 x + 6). De asemenea, f(x) este divizibil cu (x-2) 2, acum este necesar să spunem că f(x) este divizibil cu (x-2)3. Pentru care este reversibil faptul că h(x) \u003d x 3 -x 2 -5 x + 6 este împărțit la x-2: Tabelul 6. 1 -1 -5 6 2 1 1 -3 0 x-2, de asemenea, f(x) se împarte la (x-2) 3, i f(x)=(x-2)3(x 2+x-3).

Apoi, în mod similar, este posibil să se verifice dacă f(x) este împărțit la (x-2)4, astfel încât s(x)=x 2+x-3 este împărțit la x-2: Tabelul 7. 2 1 1 1 3 -3 3 Se știe că excesul atunci când s(x) este subdivizat la x-2 este egal cu 3, atunci s(x) nu este subdivizat la x-2. De asemenea, f(x) nu se subsumează pe (x-2) 4. În acest fel, f(x) se subsumează pe (x-2)3, dar nu se subsumează pe (x-2)4. De asemenea, numărul 2 este rădăcina multiplicității termenului bogat 3 f(x).

Sună reverba rădăcinii pentru multiplicitatea numărării mai puține la masă. Pentru această aplicație, tabelul poate arăta astfel: Tabelul 8. 1 -5 3 22 -44 -24 2 2 1 1 -3 -1 1 3 -3 -5 -3 3 16 6 0 -12 0 0 Horner a scăzut multinom f (x) cu x-2, pe alt rând eliminăm coeficienții polinomului g (x). Apoi, să luăm acest celălalt rând în primul rând al noului sistem Horner și să scădem g (x) cu x-2 și așa mai departe. În acest fel, multiplicitatea rădăcinii este egală cu numărul de surplusuri zero otrimanih. La rând, pentru a răzbuna surplusul rămas diferit de zero, există și coeficienți ai părții când f (x) este subdivizat la (x-2) 3.

Acum, vikoristovuyuchi schoyno proponovan schema de reverificare a rădăcinii pentru multiplicitate, se pare că sarcina vine. Pentru orice a și b, termenul bogat f(x) \u003d x 4 + 2 x 3 + ax 2 + (a + b) x + 2 poate fi numărul - 2 rădăcina multiplicității lui 2? Deci multiplicitatea rădăcinii - 2 se datorează să adunăm 2, apoi, după ce o subdivizăm cu x + 2 pentru schema proponată, trebuie să se dubleze pentru a lua excesul de 0, iar în al treilea - excesul, care este egal cu zero. Mai: Tabelul 9. -2 -2 -2 1 1 2 0 -2 -4 aa a+4 a+12 a+b -3 a+b-8 2 2 a-2 b+2

În acest rang, numărul - 2 є rădăcină a multiplicității lui 2 a termenului bogat expirator, atunci și numai atunci, dacă

Rădăcina rațională a polinomului Dacă termenul non-scurt l/m (l, m sunt numerele întregi ale numărului) este rădăcina termenului bogat f(x) cu coeficienți multipli, atunci cel mai mare coeficient al polinomului este divizibil cu m, iar termenul lung este divizibil cu 1. Adevărat, ca f (x )=anxn+an-1 xn-1+…+a 1 x+a 0, an≠ 0, de an, an-1, . . . , a 1, a 0 sunt numere întregi, atunci f(l/m) = 0, apoi an(l/m) n+an-1 (l/m) n-1+. . . +a 1 l/m+a 0=0. Înmulțiți părțile ofensive ale prețului de echivalență cu mn. Luați anln+an-1 ln-1 m+. . . +a 1 lmn-1+a 0 mn=0. Anln=m (-an-1 ln-1 -...- a 1 lmn-2 -a 0 mn-1) sunete.

Bachimo, întregul anln este divizibil cu m. Ale l/m este un drib non-scurt, deci numerele l și m sunt reciproc simple, dar, de asemenea, conform teoriei validității numerelor întregi, numerele ln și m sunt, de asemenea, reciproc simple. Otzhe, anln a fi împărțit în m și m este reciproc simplu de la ln, de asemenea, an a fi împărțit în m. Cunoaștem rădăcina rațională a termenului bogat f (x) \u003d 6 x 4 + 13 x 2 -24 x 2 -8 x + 8. Conform teoremei, rădăcina rațională a polinomului se găsește printre fracțiile nescurte sub forma l / m, de l este dilnikul termenului liber a 0 \u003d 8, iar m este dilnikul celui mai mare coeficient a 4 \u003d 6. dacă da, atunci l / m este negativ, atunci semnul „-” apare la cadranul numeric. De exemplu, - (1/3) = (-1)/3. De asemenea, putem spune că l este factorul numărului 8, iar m este factorul pozitiv al numărului 6.

Oscilatorii numărului 8 - tse ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, iar dilatatorii pozitivi ai numărului 6 vor fi 1, 2, 3, 6, atunci rădăcina rațională a termenului arătat bogat este printre numere ± 1, ± 1/2, ± 1 /3, ±1/6, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8/3. Presupun că am notat mai mult decât fracții scurte. În această ordine, este posibil să avem douăzeci de numere - „candidați” pentru rădăcini. A rămas doar să reconsidere pielea lor și să le aleagă pe acelea, parcă fidele la rădăcini. Urmează o teoremă care va ușura robotul. Atâta timp cât l/m este rădăcina termenului multiplu f(x) cu coeficienți multipli, atunci f(k) este împărțit la l-km pentru orice număr întreg k pentru minte, acel l-km≠0.

Pentru a demonstra teorema, împărțim f(x) în x-k іz prea mult. Scădem f(x)=(x-k)s(x)+f(k). Oskіlki f(x) este un termen bogat cu coeficienți qlimi, atunci un astfel de termen bogat este s(x), iar f(k) este un număr întreg. Fie s(x)=bn-1+bn-2+…+b 1 x+b 0. Atunci f(x)-f(k)=(x-k) (bnxn-1+bn-2 xn-2+ … +b1x+b0). Să plătim pentru această ecuanimitate 1 x=l/m. Dacă f(l/m)=0, atunci f(k)=((l/m)-k)(bn-1(l/m)n-1+bn-2(l/m)n-2+ …+b 1(l/m)+b 0). Înmulțiți partea infracțională a capitalului propriu rămas cu mn: mnf(k)=(l-km)(bn-1 ln-1+bn-2 ln-2 m+…+b 1 lmn-2+b 0 mn-1) . Este clar că numărul mnf (k) se împarte la l-km. Ale oskіlki l і m sunt reciproc simple, apoi mn і l-km sunt, de asemenea, reciproc simple, de asemenea, f (k) este împărțit la l-km. Teorema a fost finalizată.

Să ne întoarcem la fundul nostru și, după ce am demonstrat teorema, este și mai sonor despre sunetul rădăcinii raționale. Este necesar să se atribuie teorema pentru k=1 і k=-1, adică pentru că drіb l/m nescurt este rădăcina termenului f(x), apoi f(1)/(l-m), și f(-1)/(l + m). Este ușor de știut că în timpii f(1)=-5 și f(-1)=-15. Cu respect, în același timp, am dezactivat-o dintr-o privire ± 1. De acum înainte, rădăcina rațională a termenului nostru bogat este următorul număr de numere mijlocii ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2 , ± 2/3, ± 4/3, ± 8 /3. Să ne uităm la l/m=1/2. Atunci l-m=-1 și f(1)=-5 sunt împărțite la numărul întreg. Dalі, l+m=3 і f(1) =-15 deci însuși este împărțit la 3. Deci, drіb 1/2 este lăsat în mijlocul "candidaților" la rădăcină.

Lasă-mă acum lm=-(1/2)=(-1)/2. În acest caz, l-m=-3 і f(1) =-5 nu se împarte la - 3. Deci, drіb -1/2 nu poate fi rădăcina acestui termen bogat și îl putem dezactiva dintr-o vedere îndepărtată. Este necesar să se reconsidere pentru aplicarea pe piele a loviturilor, ținem cont că rădăcina se găsește printre numerele 1/2, ± 2/3, 2, - 4. În acest rang, pentru a termina același truc simplu, regiunea rădăcinilor raționale ale polinomului considerat suna semnificativ. Ei bine, pentru a verifica din nou numerele care sunt lăsate afară, putem folosi schema Horner: Tabelul 10. 6 13 -24 -8 8 1/2 6 16 -16 0

Bachimo, scho 1/2 este rădăcina termenului bogat f(x) și f(x) = (x-1/2) (6 x 3+16 x 2 -16 x-16) = (2 x-1) ) (3 x 3+8 x 2 -8 x-8). Era clar că celelalte rădăcini ale polinomului f(x) sunt luate din rădăcinile polinomului g(x) =3 x 3+8 x 2 -8 x-8, apoi, reverificarea ulterioară a „candidaților” în rădăcina poate fi realizată deja din același polinom. Știm: Tabelul 11. 3 8 -8 -8 2/3 3 10 -4/3 -80/9 Am înlăturat că excesul atunci când g(x) a fost subdivizat la x-2/3 este mai mare - 80/9 , apoi. 2/3 nu este o rădăcină a polinomului g(x), de asemenea, i f(x). În plus, știm că - 2/3 este rădăcina polinomului g (x) și g (x) \u003d (3 x + 2) (x 2 + 2 x-4).

Atunci f(x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). O verificare suplimentară poate fi efectuată pentru polinomul x 2+2 x-4, care este remarcabil mai simplu, mai mic pentru g (x) sau mai mare pentru f (x). Ca urmare, se ia în considerare faptul că numerele 2 i - 4 nu sunt înrădăcinate. De asemenea, termenul bogat f(x) =6 x 4+13 x 3 -24 x 2 -8 x+8 are două rădăcini raționale: 1/2 i - 2/3. Această metodă face posibilă cunoașterea doar a unei rădăcini raționale a unui termen bogat cu un număr mare de coeficienți. Tim este uneori un membru bogat al mamei și rădăcină irațională. Deci, de exemplu, când ne uităm la capătul unui termen bogat, există doar două rădăcini: - 1±√5 (aceste rădăcini ale unui termen bogat sunt x2 + 2 x-4). un polinom poate fi numit rădăcină rațională nematerială.

Când testați „candidați” la rădăcina termenului bogat f(x) după elaborarea ulterioară a altor teoreme, ar trebui să apelați stânga pentru candidați k=± 1. Cu alte cuvinte, dacă l/m este un „candidat” la rădăcina, atunci veți crede că f( 1 ) și f(-1) pe l-m și l+m sunt corecte. Dar ar putea fi, de exemplu, f(1) =0, adică 1 este rădăcina, atunci f(1) poate fi extins ca număr, iar reverificarea are sens. În acest caz, împărțiți f(x) la x-1, deci luați f(x)=(x-1)s(x) și testați polinomul s(x). Dacă uitați că o rădăcină a polinomului f(x)-x 1=1 - știam deja. Dacă „candidații” sunt inversați la rădăcină, care s-au pierdut după o altă teoremă despre rădăcina rațională, după schema lui Horner este posibil ca, de exemplu, l / m să fie rădăcina, atunci ar trebui să cunoașteți multiplicitatea acesteia. Dacă este mai scump, să spunem, k, atunci f(x)=(x-l/m) ks(x) și se poate face o reverificare suplimentară pentru s(x), ceea ce va scurta calculul.

Soluţie. După modificarea modificării y=2 x, să trecem la un polinom cu un coeficient egal cu unu pentru treapta cea mai înaltă. Pentru acest umăr, înmulțim virazul cu 4. Dacă funcția rădăcinii este îndepărtată, atunci duhoarea se găsește în mijlocul membrului liber. Inscriptibil ix: ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15±, ±20, ±30, ±60

Calculăm secvenţial valoarea funcţiei g(y) în aceste puncte până la zero. Tobto, y=-5 є rădăcină, otzhe, є rădăcină a funcției externe. Efectuat sub stovpchik (bobina) termenului bogat pe binom

Reverificarea lui dilnikov, care se pierde, ar trebui efectuată incomplet, astfel încât este mai ușor să așezați trinomul pătrat Otzhe în multiplicatori de scăderi,

Formule Vykoristannya de multiplicare rapidă și binomul lui Newton pentru extinderea unui termen bogat în factori Inodi aspect vechi polinom pentru a sugera despre metoda de răspândire a yoga pe multiplicatori. De exemplu, după transformări inconsistente, coeficienții de vishikovyvayutsya într-un rând din tricotul lui Pascal pentru coeficienții binomului lui Newton. fundul. Stabiliți termenul multiplicator.

Soluţie. O întoarcem la obiect: succesiunea coeficienților în sumă din brațe arată clar ce este. Din același, Acum, vom formula formula pentru diferența de pătrate: Viraz celălalt arc nu are rădăcini de acțiune, dar pentru termenul bogat din primul arc, formulăm încă o dată formula pentru diferența de pătrate.

Formulele lui Vieta exprimă coeficienții unui polinom prin rădăcina-a. Cu aceste formule, puteți corecta manual corectitudinea semnificației rădăcinii termenului bogat, precum și pentru plierea termenului bogat pentru rădăcini date. Formula Ca rădăcină a unui polinom, atunci coeficienții se manifestă prin termenii bogati simetrici ai rădăcinilor și

Cu alte cuvinte, ak suma dragă a tuturor creațiilor posibile din k rădăcini. Ca coeficient principal al polinomului, atunci este necesar să se împartă toți coeficienții într-un 0 înainte de formula Vieta. Din restul formulei, Vієta este puternică, ca și cum rădăcina membrului bogat este un întreg, atunci duhoarea este dilniks-ul membrului liber yogo, care este, de asemenea, întreg. Dovada se bazează pe punctul de vedere al echivalenței, eliminând aranjarea termenului bogat în funcție de rădăcini, vrakhovuchi, că a 0 = 1 Echivalarea coeficienților la aceleași niveluri de x este obsedat de formula Vієta.

Dezlegați alinierea x 6 – 5 x 3 + 4 = 0 Delegați. În mod semnificativ y \u003d x 3, chiar dacă este egal să se uite la y 2 - 5 y + 4 \u003d 0, altfel Y 1 \u003d 1; Y 2 \u003d 4. Otzhe, vyhіdne r_vnyannya este echivalentă cu căsătoria lui rіvnyan: x 3 \u003d 1 chi x 3 \u003d 4, adică X 1 \u003d 1 chi X 2 \u003d: Vidpo;

Teorema destinației Bezout 1. Un element se numește rădăcina unui termen bogat, deci f(c)=0. teorema lui Bezout. Excesul în subdiviziunea polinomului Pn(x) cu binomul (x-a) mărește valoarea polinomului la x = a. Aducând. În virtutea algoritmului, f(x)=(xc)q(x)+r(x), de sau r(x)=0, în caz contrar. Mai târziu, f(x)=(x-c)q(x)+r, mai târziu, f(c)=(c-c)q(c)+r=r și f(x)=(xc)q(x) + f(c).

Ultimul 1: Excesul în subdiviziunea polinomului Pn (x) cu binomul ax+b este mai valoros pentru polinomul la x = -b/a, atunci R = Pn (-b/a). Ultimul 2: Deoarece numărul a este rădăcina polinomului P (x), al cărui polinom este divizibil cu (x-a) fără exces. Lecția 3: Cum polinomul P(x) poate fi perechi diferite rădăcini a 1 , a 2 , … , an, vin împărțind la tvir (x-a 1) … (x-an) fără exces. Lecția 4: Un membru bogat al pasului n poate fi trei sau mai multe decât n rădăcini diferite. Lecția 5: Pentru orice polinom P(x) acel număr a este diferit (P(x)-P(a)) divizibil fără exces cu binomul (x-a). Lecția 6: Numărul a este rădăcina polinomului P(x) de grad nu mai mic decât primul și numai dacă P(x) se împarte la (x-a) fără exces.

Dispunerea unei fracții raționale pe cea mai simplă Să arătăm că dacă o fracție rațională corectă poate fi răspândită pe suma celor mai simple fracții. Să i se dea argumentul rațional corect (1).

Teorema 1. Fie x=а є rădăcina bannerului stilului k, atunci , de f(a)≠ 0, atunci aceeași fracție corectă poate fi dată la suma a altor două fracții regulate în ordinea următoare: ( 2) și F 1 (x) este un termen bogat, a cărui treaptă este mai mică decât treapta standardului

de richomember, treapta unui fel de treaptă inferioară a standardului. І în mod similar cu formula înainte poate fi luată: (5)

După cum am menționat deja, una dintre cele mai importante sarcini ale teoriei termenilor bogat definiți este sarcina de a le înțelege rădăcinile. Pentru îndeplinirea acestei sarcini, puteți câștiga metoda de selecție, tobto. luați un număr real și schimbați-l, care sunt rădăcinile acestui polinom.

Cu aceasta, puteți bea shvidko pe rădăcină sau nu o puteți ști deloc. Este imposibil ca aje să pervertize toate numerele, pentru cei prea bogați.

Râul Insha, yakby am reușit să sunăm regiunea pentru o glumă, de exemplu, pentru a ști care este rădăcina, să zicem, în mijlocul a treizeci de numere specificate. Și pentru treizeci de numere, puteți lucra și la o reverb. La legătura cu mustața, mai important spunem, și vedem o asemenea fermitate.

Atâta timp cât l/m (l,m - numere întregi ale numărului) este rădăcina termenului multiplu f(x) cu coeficienții întregi, atunci coeficientul mai mare al polinomului este divizibil cu m, iar termenul mai mare este divizibil de 1.

Într-adevăr, dacă f(x) = anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, an?0, de an, an-1,...,a1, a0 sunt numere întregi ale unui număr, atunci f (l /m) = 0, apoi an (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+...+a1l/m+a0=0.

Înmulțiți părțile ofensive ale prețului de echivalență cu mn. Luați anln+an-1ln-1m+... +a1lmn-1+a0mn=0.

Sunetele țipă:

anln=m (-an-1ln-1-... - a1lmn-2-a0mn-1).

Bachimo, întregul anln este divizibil cu m. Ale l / m - nu un drіb scurt, tobto. numerele l și m sunt reciproc simple, de asemenea, conform teoriei divizibilității numerelor întregi, numerele ln și m sunt, de asemenea, reciproc simple. Otzhe, anln a fi împărțit în m și m este reciproc simplu de la ln, de asemenea, an a fi împărțit în m.

Subiectul a fost abordat pentru a permite zonei să fie sunată în mod semnificativ prin căutarea unei rădăcini raționale a unui termen bogat cu coeficienți multipli. O vom demonstra pe o anumită aplicație. Cunoaștem rădăcina rațională a termenului bogat f(x) = 6x4+13x2-24x2-8x+8. Conform teoremei, rădăcina rațională a polinomului se găsește în mijlocul fracțiilor nescurte sub forma l / m, de l este dilnikul pe termen lung a0 = 8, iar m este dilnikul celui mai mare coeficient a4 = 6. dacă da, yakscho drіb l/m este negativ, atunci semnul "-" vodnosimeme la numeral. De exemplu, - (1/3) = (-1)/3. De asemenea, putem spune că l este factorul numărului 8, iar m este factorul pozitiv al numărului 6.

Oscilatorii numărului 8 - tse ±1, ±2, ±4, ±8, iar dilatatorii pozitivi ai numărului 6 vor fi 1, 2, 3, 6, atunci rădăcina rațională a termenului bogat examinat este mijlocul a numerelor ±1, ±1/2, ± 1 /3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3. Presupun că am notat mai mult decât fracții scurte.

În această ordine, este posibil să avem douăzeci de numere - „candidați” pentru rădăcini. A rămas doar să reconsidere pielea lor și să le aleagă pe acelea, parcă fidele la rădăcini. Dar, din nou, va trebui să fac o mulțime de refaceri. Și axa vine, teorema va face mai ușor pentru robot.

Atâta timp cât l/m este rădăcina termenului multiplu f(x) cu coeficienți multipli, atunci f(k) este împărțit la l-km pentru orice număr întreg k este, de exemplu, l-km?0.

Pentru a demonstra teorema, împărțim f(x) în x-k іz prea mult. Luați f (X) = (x-k) s (X) +f (k). Deoarece f(x) este un termen bogat cu coeficienți multipli, atunci un astfel de polinom este s(x), iar f(k) este un număr întreg. Fie s(x) = bn-1+bn-2+…+b1x+b0. Atunci f(x) - f(k) = (x-k) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+...+b1x+b0). Să plătim pentru această ecuanimitate x=l/m. Vrahovoyuchi, scho f (l / m) = 0, este posibil

f (k) = ((l/m) - k) (bn-1 (l/m) n-1+bn-2 (l/m) n-2+…+b1 (l/m) +b0) .

Înmulțiți partea jignitoare a geloziei rămase cu mn:

mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1+bn-2ln-2m+…+b1lmn-2+b0mn-1).

Este clar că numărul mnf (k) se împarte la l-km. Ale oskіlki l і m sunt reciproc simple, apoi mn і l-km sunt, de asemenea, reciproc simple, de asemenea, f (k) este împărțit la l-km. Teorema a fost finalizată.

Să ne întoarcem acum la fundul nostru și, după ce am demonstrat teorema, sună și mai tare când vine vorba de sunetul rădăcinii raționale. Este necesar să se atribuie teorema pentru k=1 і k=-1, deci. ca un drіb non-scurt l/m este rădăcina lui f(x), atunci f(1)/(l-m) și f(-1)/(l+m). Este ușor de știut că f(1) =-5 și f(-1) =-15. Cu respect, am oprit contagiunea dintr-o privire ±1.

De asemenea, rădăcina rațională a termenului nostru bogat este următoarea numerelor mijlocii ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3.

Să ne uităm la l/m=1/2. Atunci l-m=-1 și f(1)=-5 sunt împărțite la numărul întreg. Dalі, l+m=3 і f(1) =-15 deci însuși este împărțit la 3. Deci, drіb 1/2 este lăsat în mijlocul "candidaților" la rădăcină.

Permiteți-mi acum să lm = - (1/2) = (-1) / 2. În acest caz, l-m=-3 і f(1) =-5 nu se împarte la - 3. Deci, drіb - 1/2 nu poate fi rădăcina acestui termen bogat și îl putem dezactiva dintr-o vedere îndepărtată. Este necesar să se reconsidere pentru injecțiile cutanate, ținem cont că rădăcina se găsește printre numerele 1/2, ±2/3, 2, - 4.

În acest rang, pentru a termina același truc simplu, ei au sunat în mod semnificativ regiunea în căutarea unei rădăcini raționale a polinomului analizat. Ei bine, pentru a verifica din nou numerele, folosim schema lui Horner:

Tabelul 10

Au înlăturat că excesul atunci când g (x) a fost subdivizat la x-2/3 este egal cu 80/9, deci 2/3 nu este rădăcina termenului bogat g (x), ci înseamnă, i f (x) .

În plus, este ușor de știut că - 2/3 este rădăcina termenului multiplu g(x) și g(x) = (3x+2) (x2+2x-4). Atunci f(x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). O verificare suplimentară poate fi efectuată pentru polinomul x2+2x-4, care este evident mai simplu, mai mic g(x) sau mai mare f(x). Ca urmare, se ia în considerare faptul că numerele 2 i - 4 nu sunt înrădăcinate.

De asemenea, termenul bogat f(x) = 6x4+13x3-24x2-8x+8 are două rădăcini raționale: 1/2 i - 2/3.

Ghicind, mai multe descrieri ale metodei oferă posibilitatea de a cunoaște rădăcina rațională a termenului bogat cu mulți coeficienți. Tim este uneori un membru bogat al mamei și rădăcină irațională. Deci, de exemplu, când ne uităm la fundul unui membru bogat, există doar două rădăcini: - 1±v5 (aceste rădăcini ale unui membru bogat sunt x2 + 2x-4). Și, aparent, un membru bogat poate să nu fie mama unei rădăcini raționale.

Acum doamna este fericită.

Când încercați „candidați” la rădăcina termenului bogat f(x), după elaborarea mai multor teoreme, sunați la stânga pentru vipadkіv k=±1. Cu alte cuvinte, deoarece l/m este un „candidat” la rădăcină, este invers dacă f (1) și f (-1) pot fi împărțite în l-m și l+m evident. Dar s-ar putea ca, de exemplu, f (1) = 0, atunci 1 este rădăcina și apoi f (1) să poată fi împărțit la un număr, iar reverificarea noastră are sens. І aici următorul pas este împărțirea f (x) la x-1, deci. luați f(x) = (x-1) s(x) și testați polinomul s(x). Dacă nu uitați acea rădăcină a termenului bogat f(x) – x1=1 – știam deja. Ca și în cazul inversării „candidaților” la rădăcină, care s-a pierdut după o altă teoremă despre rădăcina rațională, după schema lui Horner este posibil ca, de exemplu, l / m să fie rădăcina, atunci ar trebui să cunoașteți multiplicitatea acesteia. Dacă este mai scump, să spunem, k, atunci f(x) = (x-l/m) ks(x) și se poate face o reverificare suplimentară pentru s(x), ceea ce va scurta calculul.

În acest rang, am învățat să cunoaștem rădăcina rațională a termenului bogat cu coeficienți mari. Se pare că noi înșine am învățat să cunoaștem rădăcina irațională a termenului bogat cu coeficienți raționali. De fapt, în măsura în care pot, de exemplu, un termen bogat f (x) \u003d x4 + 2 / 3x3 + 5 / 6x2 + 3 / 8x + 2, apoi, după ce a adăugat coeficienții la bannerul de dormit și adăugând yoga de brațe, luăm f (x) \u003d 1 /24 (24x4+16x3-20x2+9x+48). Era clar că rădăcinile polinomului f(x) sunt formate din rădăcinile termenului bogat, care stau la brațe, iar în noul coeficient - numerele. Să presupunem, de exemplu, că sin100 este un număr irațional. Accelerarea cu formula de acasă sin3?=3sin?-4sin3?. Stele sin300 = 3sin100-4sin3100. Privind înapoi la cele care sin300=0,5 și efectuând transformări incomode, putem presupune 8sin3100-6sin100+1=0. De asemenea, sin100 este rădăcina termenului f(x) = 8x3-6x+1. La fel cum shukatimemo rațional rădăcina acelui membru bogat, atunci noi perekaєmosya, nu le avem. Otzhe, rădăcina lui sin100 este un număr rațional, tobto. sin100 este un număr irațional.

Haide

- termenul bogat al pasului n ≥ 1 în valoarea efectivă a variabilei complexe z cu valoarea efectivă a coeficienţilor complexi a i . Să demonstrăm următoarea teoremă.

Teorema 1

Nivelare P n (z) = 0 Pot să vreau o rădăcină.

Hai să venim Lema.

Lema 1

Fie P n (z)- termenul bogat al pasului n, z 1 - rădăcina râului:
P n (z1) = 0.
Todi P n (z) poate fi dezvăluit într-un fel privind:
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z),
de P n- 1(z)- termenul bogat pasul n - 1 .

Aducând

Pentru a o demonstra, să facem o teoremă (div. Împărțirea unui termen multiplu la un termen multiplu printr-o pliu și un butuc), este posibil pentru oricare doi termeni bogați P n (z) eu Qk (z), pașii n și k, în plus, n ≥ k
P n (z) = P n-k (z) Q k (z) + U k-1 (z),
de P n-k (z)- termenul bogat al pasului n-k, U k- 1(z)- termenul bogat al pasului nu este mai mare de k- 1 .

Să punem k = 1 , Qk (z) = z - z 1 de asemenea
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z) + c,
de c - rapid. Imaginați-vă aici z = z 1 că vrahuєmo, scho P n (z1) = 0:
P n (z 1 ) = (z 1 - z 1 ) P n-1 (z 1 ) + c;
0 = 0 + c.
Zvіdsi c = 0 . Todi
P n ,
ce trebuia să aducă.

Extinderea termenului bogat în multiplicatori

De asemenea, pe baza teoremei 1, termenul bogat P n (z) Pot să vreau o rădăcină. În mod semnificativ yogo yak z 1 , P n (z1) = 0. La fel și pe standul lemy 1:
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z).
Dali, ca n > 1 , atunci polinomul P n- 1(z) deci pot să vreau o rădăcină, care are sens ca z 2 , Pn- 1(z2) = 0. Todi
Pn- 1 (z) = (z - z 2) P n-2 (z);
P n (z) = (z - z 1) (z - z 2) P n-2 (z).

Continuând acest proces, ajungem la concluzia că avem n numere z 1, z 2, ..., z n astfel încât
P n (z) = (z - z 1) (z - z 2) ... (z - z n) P 0 (z).
Ale P 0 (z)- tse postiyna. Echivalând coeficienții la z n , se știe că este mai scump a n . Drept urmare, suntem obsedați de formula de împărțire a unui termen bogat în multiplicatori:
(1) P n (z) = a n (z - z 1) (z - z 2) ... (z - z n).

Numerele z i є la rădăcinile termenului bogat P n (z).

La zagalny vpadku nu toate z i, scho să intre înainte (1) , Riznі. Printre ele pot fi aceleași valori. Cum să extinzi un termen bogat în multiplicatori (1) poti scrie la vedere:
(2) P n (z) = a n (z - z 1 ) n 1 (z - z 2 ) n 2 ... (z - z k ) n k;
.
Aici z i ≠ z j pentru i ≠ j. Yakscho n i = 1 , apoi rădăcină z i numit iertare. Vіn intrați la aspectul pentru multiplicatori la vedere (z-z i). Yakscho n i > 1 , apoi rădăcină z i numită rădăcina multiplă a multiplicității n i . Vіn introduceți la aspectul multiplicatorilor când vă uitați la extragerea n i multiplicatorilor primi: (z-z i )(z-z i ) ... (z-z i ) = (z-z i ) n i.

Termeni bogați cu coeficienți efectivi

Lema 2

Deoarece este o rădăcină complexă a unui polinom cu coeficienți efectivi, atunci numărul este, de asemenea, complex legat de rădăcina polinomului, .

Aducând

Deisno, yakscho și coeficienți polinomii - dіysnі numere, apoi.

În această ordine, rădăcina complexă este inclusă în aspectul multiplicatorilor în perechi cu semnificațiile lor complexe:
,
de, - Numere reale.
Același aspect (2) un termen bogat cu coeficienți efectivi pentru multiplicatori poate fi depus la vedere, în prezența numai rapid efectiv:
(3) ;
.

Metode de împărțire a unui termen bogat în multiplicatori

Odată cu îmbunătățirea celor spuse mai sus, pentru descompunerea unui polinom în factori, este necesar să se cunoască toate rădăcinile ecuației P n (z) = 0 și desemnează multiplicitatea lor. Multiplicatorii cu rădăcini complexe trebuie grupați într-un mod complex. Același aspect depinde de formulă (3) .

În acest rang, metoda de răspândire a termenului bogat în multiplicatori este folosită în ofensivă:
1. Cunoaștem rădăcina z 1 egalizare P n (z1) = 0.
2.1. Rădăcina Yakshcho z 1 eficient, apoi în aspect adăugăm un multiplicator (z-z1) (z-z1) 1 :
.
1(z), pornind de la punct (1) , Până să cunoaștem toate rădăcinile.
2.2. Ca rădăcină complexă, numărul є este obținut complex ca rădăcină a unui termen bogat. Todі înainte de aranjare introduceți multiplicatorul

,
de b 1 = - 2 x 1, c 1 = x 1 2 + y 1 2.
În mintea mea, în aspect adăugăm un multiplicator (z 2 + b 1 z + c 1) diluez termenul bogat P n (z) cu (z 2 + b 1 z + c 1). Ca rezultat, luăm un termen bogat al pasului n - 2 :
.
Să repetăm ​​procesul pentru polinomul P n- 2(z), pornind de la punct (1) , Până să cunoaștem toate rădăcinile.

Cunoașterea rădăcinii membrului bogat

sediul central, cu extinderea polinomului în factori, semnificația rădăcinii yogo. Din păcate, nu poți lucra întotdeauna analitic. Aici vom analiza șprotul de vipadkiv, dacă puteți cunoaște analitic rădăcina termenului bogat.

Rădăcina membrului bogat al primei etape

Membrul bogat al primului pas este o funcție integrală. Există o singură rădăcină. Aspectul poate fi doar un multiplicator pentru a răzbuna schimbarea lui z:
.

Rădăcina unui membru bogat de alt nivel

Pentru a cunoaște rădăcina termenului bogat de alt nivel, este necesar să dezlegați pătratul egal:
P 2(z) = a 2 z 2 + a 1 z + a 0 = 0.
Ca discriminant, atunci există două rădăcini reale:
, .
Uită-te la multiplicatori:
.
Care este discriminantul D = 0 , atunci este egal cu o rădăcină dvorazovy:
;
.
Ca discriminant D< 0 , atunci rădăcina este mai complexă,
.

Pas bogat articulat mai sus pentru altul

Formule Іsnuyu pentru semnificația rădăcinilor segmentelor bogate ale pașilor 3 și 4. Rareori se încurcă cu ele, cioburile duhoarei sunt voluminoase. Nu există formule de cunoaștere a rădăcinilor gradului bogat articulat mai mare decât al IV-lea. Ignorant la fața locului, în deyakih vipadkas, se trece la răspândirea termenului bogat în multiplicatori.

Semnificația întregii rădăcini

Se pare că este un termen bogat, pentru unii coeficienți - numărul de numere, numărul de rădăcini, care poate fi cunoscut prin sortarea tuturor valorilor posibile.

Lema 3

Dă-mi o pula bogată
,
coeficienți a i din care - numărul numărului care poate fi rădăcina lui z 1 . Aceeași rădăcină ca și dilnik al numărului a 0 .

Aducând

Să rescriem egalul P n (z1) = 0 la vedere:
.
Todi - tsile,
Mz 1 = - a0.
Împărțit la z 1 :
.
Oskіlki M - qile, apoi i - qile. Ce a fost nevoie pentru a aduce.

Prin urmare, ca coeficienți ai unui polinom - numerele de numere, puteți încerca să cunoașteți numerele rădăcinii. Pentru care este necesar să cunoască toate dilnikurile unui membru liber 0 і, substituție de egalizare P n (z) = 0, perverti, chi є pute la rădăcinile aceluia egal.
Notă. Deoarece coeficienții unui polinom sunt numere raționale, atunci înmulțind P n egal (z) = 0 pe standardul înalt al numerelor a i luăm egalizarea pentru polinomul cu coeficienți întregi.

Sensul rădăcinii raționale

Deoarece coeficienții unui polinom - numerele numărului și ale numărului de rădăcini nu sunt, atunci pentru un n ≠ 1 , puteți încerca să cunoașteți rădăcina rațională. Pentru cine este necesar să se creeze o substituție
z = y/a n
și înmulțiți egal cu un n n- 1 . Ca urmare, luăm în considerare egalitatea pentru termenul bogat sub formă de schimbare și cu numărul de coeficienți. Dali shukaimo rădăcina membrului bogat al membrului mijlociu al membrului liber. Deoarece cunoaștem o astfel de rădăcină y i , trecând apoi la schimbarea x , vom presupune o rădăcină rațională
z i = y i / a n.

Formule colorate

Introducem formule, cu ajutorul cărora este posibil să extindem polinomul în factori.

Să ai un temperament mai sălbatic, să aranjezi un membru bogat
P n (z) = z n - a 0,
Divizia Narcotice 0 - este mai complex, este necesar să cunoașteți toate rădăcinile yogo, astfel încât să puteți desluși egal:
z n = a 0 .
Tsіvnyannya este ușor de înșelat, ca și cum ar dovedi a 0 prin modulul r i argument?
.
Oskilki a 0 nu se schimbă, ca să adauge la argument 2 pi, apoi imaginați-vă a 0 la vedere:
,
de k – qile. Todi
;
.
Atribuirea valorilor k k = 0, 1, 2, ... n-1, Luăm n rădăcini ale polinomului. Aspectul Todi yogo pentru multiplicatori poate arăta:
.

Termen bagatonic bispatrat

Să aruncăm o privire asupra termenului biquadratic:
.
Un termen bogat biquadrat poate fi împărțit în multiplicatori, fără rădăcină.

Când, poate:

,
de.

Segmente bicubice și bogate care pot fi reduse la un pătrat

Să ne uităm la membrul bogat:
.
Rădăcina Yogo înseamnă egal:
.
A câștigat să fie ghidat până la alinierea pătratului substituție t = z n :
A 2 n t 2 + a n t + a 0 = 0.
Virishivshi tse eve, cunoaștem rădăcina yogo, t 1 , t 2 . Dacă știm aranjamentul la vedere:
.
Dali prin metoda, să ne uităm la el, să-l extindem în multiplicatori z n - t 1 i z n - t 2 . Visnovka are un grup de multiplicatori, care răzbună rădăcina într-un mod complex.

Tulpini rotative

Membrul bogat este numit întoarcere Coeficienții yakscho yogo sunt simetrici:

Capul membrului bagato stocabil:
.

Deoarece pașii polinomului invers n sunt nepereche, un astfel de polinom poate avea rădăcina z = -1 . Împărțirea unui termen atât de bogat în z + 1 , luăm termenul de întoarcere bogat al pasului

În cazul împărțirii egalităților și neuniformității, de multe ori se acuză nevoia de a împărți un polinom în multiplicatori, ai căror pași sunt trei sau mai mulți. Ne putem uita la aceste statistici, cum să facem totul mai simplu.

Ca un zavzhd, bestial pentru ajutor la teorie.

teorema lui Bezout stverzhuє, scho surplus în împărțirea unui polinom într-un binom dorivnyuє.

Dar ceea ce este important pentru noi nu este teorema în sine, ci consecinta din aceasta:

Deoarece numărul este rădăcina unui polinom, atunci polinomul poate fi împărțit fără prea mult binom.

În fața noastră este sarcina de a ști cum să cunoaștem o rădăcină a unui termen bogat, apoi împărțim termenul bogat în, de - rădăcina unui termen bogat. Drept urmare, luăm un membru bogat, piciorul unuia este cu unul mai mic, cu atât mai jos este coasta celui exterior. Și apoi pentru consum, puteți repeta procesul.

Tse zavdannya s-a împărțit în două: cum să cunoașteți rădăcina unui termen bogat și cum să împărțiți un termen bogat într-un binom.

Să raportăm aceste puncte.

1. Cum să cunoști rădăcina unui membru bogat.

Dosul mâinii este venerat, chi este numărul 1 și -1 al rădăcinilor membrului bogat.

Iată câteva fapte care să ne ajute:

Deoarece suma tuturor coeficienților polinomului este egală cu zero, numărul este rădăcina polinomului.

De exemplu, polinomul sumei coeficienților este egal cu zero: . Este ușor să interpretezi greșit care este rădăcina unui membru bogat.

Deoarece suma coeficienților polinomului la trepte pereche este aceeași cu suma coeficienților la pași nepereche, numărul este rădăcina polinomului. Vilniy membru vvazhaetsya coeficient la nivel dublu, oskolki, și - numărul de tip.

De exemplu, în polinomul sumei coeficienților la trepte pereche : , și suma coeficienților la pași nepereche : . Este ușor să interpretezi greșit care este rădăcina unui membru bogat.

Dacă nі 1, nі -1 є la rădăcinile polinomului, atunci distanța se prăbușește.

Pentru termenul bogat indus al pasului (de la termenul bogat, în care coeficientul superior este coeficientul la - cel de conducere), este valabilă următoarea formulă:

De - rădăcina membrului bogat.

Există mai multe formule de Vієta, că există și alți coeficienți ai polinomului, dar putem vorbi despre asta și noi înșine.

Z tsієї formula Vієta viplivaє, scho ca rădăcină a unui membru bogat al întregului, apoi duhoarea dilnikilor membrului liber yogo, care este, de asemenea, un număr întreg.

Vihodyachi z tsogo, trebuie să așezăm termenul variabil al termenului bogat în multipli și, secvenţial, de la cel mai mic la cel mai mare, invers, care dintre plurale este rădăcina termenului bogat.

Uită-te la asta, de exemplu, membru bogat

Jurnalele gratuite ale membrilor: ; ; ;

Suma tuturor coeficienților unui polinom este mai scumpă, atunci numărul 1 a încetat să mai fie rădăcina unui polinom.

Suma coeficienților pentru pașii gemeni:

Suma coeficienților pentru pașii nepereche:

De asemenea, numărul -1 este și rădăcina unui polinom.

Este reversibil faptul că chi este numărul 2 ca rădăcină a unui termen bogat: de asemenea, numărul 2 este rădăcina unui termen bogat. Mai târziu, urmând teorema lui Bezout, un termen bogat poate fi împărțit fără exces într-un binom.

2. Cum să scazi un termen bogat într-un binom.

Termenul bogat poate fi împărțit într-un binom cu ciot.

Împărțim termenul bogat într-un binom cu un stompchik:

A doua modalitate de a subdiviza un polinom într-un binom este schema lui Horner.

Urmăriți videoclipul pentru a înțelege cum să împărțiți un termen bogat într-un termen binar cu un pas i pentru schema suplimentară a lui Horner.

Voi respecta faptul că atunci când rozpodіlі stovpchik place pașii nefamiliari pentru polinomul vyhіdny vіdsutnya, її mіstsі scrie 0 - ca і, ca din tabelul pliat pentru schema lui Horner.

Prin urmare, deoarece trebuie să împărțim termenul bogat într-un termen binar și, ca rezultat, luăm termenul bogat, atunci putem cunoaște coeficienții din spatele schemei lui Horner:

Putem și vicoristă Schema lui Horner pentru a inversa, dacă numărul este dat ca rădăcină a termenului bogat: dacă numărul este rădăcina termenului bogat, atunci excesul din subcâmpul termenului bogat este egal cu zero, deci în coloana rămasă a pe celălalt rând al schemei Horner luăm 0.

Schema lui Vikoristovuyuchi Horner, „locăm două păsări dintr-o piatră”: o oră verificăm dacă numărul este rădăcina unui termen bogat și împărțim termenul bogat într-un binom.

fundul. Virishiti Rivnyannia:

1. Notează dilnik-urile membrului liber și shukatimemo rădăcina membrului bogat din dilnik-urile mijlocii ale membrului liber.

Dialoguri cu numărul 24:

2. În mod reversibil, chi este rădăcina numărul 1 a unui termen bogat.

Suma coeficienților polinomului, de asemenea, numărul 1 este rădăcina polinomului.

3. Împărțiți termenul bogat în exterior într-un termen binar utilizând schema lui Horner.

A) Notați primul rând al tabelului de coeficienți ai polinomului de ieșire.

Membru Oskіlki, scho vengeance vіdsutnya, la acea masă de masă, care poate avea un coeficient atunci când scriem 0. Scriem rădăcina rea ​​a cunoașterii: numărul 1.

B) Salvați primul rând al tabelului.

În restul coloanei, parcă ar fi clar, am scăzut zero, lumea a împărțit ultimul termen bogat într-un binom fără exces. Coeficienții polinomului, pe care rezultatul îi are sub imaginea în culoarea albastră într-un alt rând al tabelului:

Este ușor de înțeles greșit că numerele 1 și -1 nu sunt rădăcinile unui termen bogat

C) Continuăm masa. În mod reversibil, chi este numărul 2 ca rădăcină a unui termen bogat:

Deci pasul polinomului, care apare în rezultatul sub-termenului este cu unul mai mic decât pasul termenului bogat de ieșire, de asemenea, numărul de coeficienți și numărul de coloane sunt cu unul mai puțin.

În restul coloanei, am luat -40 - un număr care nu se adaugă la zero, prin urmare, termenul bogat este împărțit la un termen binar din exces, iar numărul 2 nu este rădăcina termenului bogat.

C) În mod reversibil, chi este numărul -2 ca rădăcină a unui termen bogat. Deci, ca și înainte, testul nu a fost departe, ca să nu fie o escrocherie cu coeficienți, sunt la rând, că îmi confirm testul:

Miraculos! Zero a fost luat din exces, apoi, termenul bogat a fost împărțit într-un binom fără exces, iar numărul -2 este rădăcina termenului bogat. Coeficienții polinomului, care în rezultat subîmparte polinomul într-un binom în tabelul imaginii în culoarea verde.

Ca rezultat, am scăzut trinomul pătrat , a cărui rădăcină este ușor de cunoscut în spatele teoremei Viet:

Otzhe, rădăcina renașterii exterioare:

{}

Sugestie: ( }

membru bogat Yakscho

Aducând

Să avem coeficienții polinomului cu numere întregi și să fie numărul a cu rădăcina celui de-al treilea termen bogat. La cel în care sunetul strălucește în fiecare moment, coeficientul se împarte la a.

Respect. Această teoremă vă permite de fapt să cunoașteți rădăcinile celor mai bogați termeni în acest caz, dacă coeficienții acestor termeni bogați sunt numere, iar rădăcina este Numar rational. Teorema poate fi reformulată astfel: așa cum știm că coeficienții unui polinom sunt numerele numărului, iar rădăcina lui yogo este rațională, atunci rădăcina rațională nu poate fi decât ca de p ca un dilnik al unui număr. (un termen liber), iar numărul q este un dilatator al unui număr (un coy senior) .

Teorema despre întreaga rădăcină, ce să te răzbuni pe tine

Dacă numărul întreg α este rădăcina termenului bogat cu numărul de coeficienți, atunci α este dilnikul termenului liber yoghin.

Aducând. Haide:

P(x)=a 0 xⁿ +a 1 xⁿ -1 +…+a n-1 x +a n

termen bogat cu coeficienți qlimi și număr qile α - rădăcină yogo.

Atunci valoarea rădăcinii se egalizează P (α)=0;

a 0 αⁿ+a 1 αⁿ -1 +…+a n-1 α +a n =0.

Vinosyachi zagalny multiplicator α pentru arcuri, eliminați echivalența:

α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)+a n =0 , stele

a n = -α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)

Fragmente ale numărului a 0 , a 1 ,...a n-1 , an i α −tsіlі, atunci arcele ar trebui să fie numărul întreg, apoi, a n să fie împărțit la α, așa cum ar fi putut fi completat.

Teorema a fost adusă în discuție, dar poate fi formulată în așa fel: numărul de rădăcini ale polinomului cu numărul de coeficienți este dilatatorul primului termen liber.
Pe teorema fundațiilor, algoritmul de căutare a rădăcinii întregi a unui termen bogat cu întregul număr de coeficienți:

2. Teorema Dodatkova despre valoarea rădăcinii

Dacă există un număr de rădăcini α ale termenului bogat P(x) cu coeficienți întregi, atunci α-1-divizor al numărului P(1), α+1-divizor al numărului P(-1)

Aducând. 3 asemănarea

xⁿ-yⁿ=(x-y)(xⁿ -1 +xⁿ -2 y+…+ xyⁿ -2 +yⁿ -1)

se poate observa că din numărul de numere b і c numărul bⁿ-cⁿ este divizibil cu b∙c. Ale pentru orice membru bogat P retail

P (b)-P(c)= (a 0 b+a 1 bⁿ -1 +…+a n-1 b+a n)-(a 0 cⁿ+a 1 cⁿ -1 +…+a n-1 c +a n)=

=a 0 (bⁿ- cⁿ)+a 1 (bⁿ -1 -cⁿ -1)+…+a n-1 (b-c)

і, de asemenea, pentru un polinom P cu coeficienți zіlimi і zіlih numere b і c diferența P(b)-P(c) se subîmparte în b-c.

Să ne amintim: pentru b = α, z = 1, P (α)-P (1) = -P (1), ceea ce înseamnă că P (1) este împărțit la α-1. În mod similar, există o altă viziune.

Schema lui Horner

Teorema: Fie o rădăcină pe termen scurt drіb p / q є egală a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n =0 cu coeficienți multipli, același număr q є dilnik al coeficientului senior a0 și numărul R є dilnik membru gratuit an.

Respect 1. Fii rădăcina relației cu numărul de coeficienți și dilnik al membrului liber yogo.

Respect 2.Deoarece coeficientul senior este egal cu numărul de coeficienți ai drumului 1, toate rădăcinile raționale, așa cum este cunoscută mirosul - numărul.

Rădăcina membrului bogat. Rădăcina unui membru bogat f(x)= a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n є x = c , şi ce dacă f (c)=0 .

Nota 3. Yakscho x = c rădăcina unui membru bogat , atunci termenul bogat poate fi scris ca: f(x)=(x−c)q(x) , de această vedere privată sub membrul bogat f(x) într-un monom x-c

Puteți subdiviza un termen bogat într-un monom folosind schema lui Horner:

Yakscho f(x)=a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n , a0 ≠0 , g(x)=x−c , apoi când rozpodіlі f (X) pe g (X) în mod privat q(x) poate arata q(x)=b 0 x n − 1 +b 1 x n − 2 + +b n−2 x+b n−1 , de b 0 = a 0 ,

b k = c b k − 1 + a k , k=1, 2, ,n−1. surplus r cunoașteți formula r=c b n − 1 +a n

Soluţie: Coeficientul la nivel superior este egal cu 1; 2; 3; patru; 6; 12. Schema lui Vikoristovuyuchi Horner, știm că numărul de rădăcini este egal:

Există o singură rădăcină de alegere pentru schema lui Horner. atunci o poti face asa x 3 −x 2 −8x+12=(x−2)(x 2 +x−6)=0 (x−2) 2 (x−3)=0 x=2;x=3