Ordonarea numerelor naturale impersonale. Conceptul de număr natural și zero. Exprimarea lui „la fel”, „mai puțin”, „mai mare” pe numere naturale impersonale Înțelegerea nutriției pentru analiza matematică
O alternativă la seria naturală N este un număr natural impersonal care nu schimbă numărul natural a, deci N = (x | x N i x a).
De exemplu, N ce numere naturale impersonale, deci nu schimbați 7, deci. N = (1,2,3,4,5,6,7).
În mod semnificativ două cele mai importante puteri din seria naturală:
1) Be-yaky vіdrіzok N răzbunare singurătate. Tsya vlastivistvo viplivaє іz vyznachennya vіdrіzka serie naturală.
2) Dacă numărul x dispare de la adversarul N і x a, atunci numărul x + 1 vine după ei și dispare în N .
Bezlich A se numește kіtsevim, ca și cum ar fi egal cu același omolog al seriei naturale N. De exemplu, fără față Și vârfurile de trikutnik, fără față mirosurile sunt egale cu N = (1,2,3), adică. A~B~N .
Deoarece numărul A este nevid și egal cu N, atunci numărul natural a se numește numărul de elemente ale multiplicatorului A și scrieți n(A) = a. De exemplu, dacă A este multiplicitatea vârfurilor tricotului, atunci n(A) = 3.
Dacă nu ar fi gol, kitsev bezlіch este egal cu unul și mai mult de un vіdrіzk din seria naturală, tobto. skin endian plural Și poate fi pus într-un număr unic egal a, astfel încât este impersonal A este reciproc fără ambiguitate în raport cu N .
Așezarea reciprocă și a unei singure nobilimi este etica insuportabililor insuportabilului multi-livo și în rândul natural să comestibil un plug rakhunka A. Zkilka În spatele închinărilor aceluiași număr. Într-o clasă, toți multiplicanții cu un element vor fi reduse, în alta - cei cu două elemente etc. Primul număr poate fi văzut ca puterea supremă a clasei de prinți de forță egală. În această ordine, din punct de vedere teoretic-multiplu, un număr natural este puterea principală a clasei multiplicatorilor terminali.
Numărul 0 poate fi, de asemenea, teoretic al multiplicatorului - ar trebui setat la un multiplicator gol: n() = 0.
De asemenea, un număr natural ca caracteristică a cantității poate fi văzut din două poziții:
1) ca număr de elemente din setul A, câștigat pentru o rahunka;
2) cât de puternică este puterea clasei kitsevyh la fel de puternice.
Stabilirea legăturilor între înmulțirile finale și numerele naturale ne permite să dăm o întunecare teoretică multiplicatoare a „mai puțin”.
Dacă a = n(A), b = n(B), atunci numărul a este mai mic decât numărul b, chiar dacă doar dacă multiplicatorul A este egal cu submultiplicatorul de putere al multiplicatorului, atunci. A ~ B, de B, B, B (Fig. 1) . Abo dacă în seria naturală N є hai să luăm multă putere vіdrіzka N, tobto. N N .
Numerele а і b egale, yakscho stinks sunt egale cu multipli egali: a = k А~B de n(A) = a, n (B) = k. De exemplu, 2 = 2, deoarece n(A) = 2, n(B) = 2, A = (a, b), B = (z, x), A~B.
Dominanța termenului „mai puțin” pentru numerele naturale este, de asemenea, similară cu întunecarea teoretică a multiplicatorului: tranzitivitatea și antisimetria acestui termen este legată de acesta, care este tranzitiv și antisimetric al termenului „devine un multiplicator”.
Se arată că interpretarea multi-teoretică a „mai puțin” pentru numerele naturale, care este 2
Să luăm multiplicatorul A, pentru a răzbuna 2 elemente, și multiplicatorul B, pentru a răzbuna 5 elemente, tobto. n(A) = 2, n(B) = 5. De exemplu, A = (a, b), B = (c, d, e, f, r). Din multiplicatorul B se poate vedea submultiplu, multiplicatorul egal A: de exemplu B = (c, d) і A ~ B.
Corectitudine asupra lui N
Tsyu nerіvnіst vă puteți uita la micul 2. Haide, 2 este numărul de pliuri, iar 5 este numărul de pătrate. Dacă puneți cercurile pe pătrate, atunci este sigur să spuneți că o parte din pătrate este lăsată neterminată.
Otzhe, numărul de pliuri este mai mic decât numărul de pătrate, tobto. 2
Multiplicator-sens teoretic al neuniformității 0
Alinierea numerelor în cursul cob de matematică este dezvoltată în moduri diferite - se bazează pe toate abordările pe care le-am analizat înainte de a interpreta sintagma „mai puțin”.
Teoreme despre numărul „cel mai mare” și „cel mai mic”.
Teorema 4 (despre cel mai mic număr). Dacă nu ar fi gol, înconjurat de fundul unor numere impersonale, răzbuna cel mai mic număr. (Aici, ca și în cazul numerelor naturale, cuvântul „multiplu” este înlocuit cu cuvântul „multiplu” E
Aducând. Fie O A Z i A este franjuri de jos, tobto. 36? Zva? A(b)< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.
Haide acum LA.
Todi Ua e Af< а) и, значит, Уа А(а - Ь >O).
Să facem M impersonal din toate numerele sub forma a - b, de probіgaє impersonal A, tobto. M \u003d (s [c \u003d a - b, a E A)
Este evident că impersonalul M nu este gol, cioburile A 74 0
Iac este mai înalt, M C N . Mai târziu, urmând teorema ra l n o m h i s l e (54, cap. III), multiplicatorul M are cel mai mic număr natural m. A, și cioburi de cel puțin în M, apoi Wah? La< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.
Teorema 5 (despre cel mai mare număr întreg). Fii ceva care nu este gol, înconjoară fiara numerelor impersonale, pentru a răzbuna cel mai mare număr.
Aducând. Fie O 74 AC Z i A este înconjurat de fiara cu numărul b, deci. ? ZVa și A(a< Ь). Тогда -а >b pentru toate numerele a? DAR.
Mai târziu, multiplicatorul M (z g \u003d -a, a? A) nu este gol și este înconjurat de numărul (-6) de mai jos. Conform teoremei anterioare, multiplicatorul M are cel mai mic număr, adică. as? ICC? M (z< с).
Tse ce înseamnă Wah? La fel de< -а), откуда Уа? А(-с >A)
Z. Diferite forme ale metodei inducţiei matematice a numerelor întregi. Teorema despre podіl іz surplus
Teorema 1 (prima formă a metodei inducției matematice). Fie P(s) - predicat unic, atribuiri la multipli de numere întregi Z., 4 . La fel Pentru orice NUMĂR o propoziție Z P(o) і Pentru un număr întreg suficient K > a C P(K) alunecat P(K -4- 1), atunci propoziția P(r) este corectă Pentru toate numerele z > a (deci pe multiplicatorul Z є formula adevărată pentru calcularea predicatelor este:
P(a) cibulya > + 1)) Vus > aP(s)
pentru orice număr întreg fix a
Aducând. Fie propozițiile P (c) adevărate pentru orice, pentru a merge după mintea teoremei, tobto.
1) P(a) - adevărat;
2) KK SC la + este, de asemenea, adevărat.
Cam inacceptabil. Să presupunem că există un astfel de număr
b> a, sho RF) - salut. Este evident că a, oskіlki R (a) este adevărat. Satisfacator de impersonal M = (z?> a, P (z) - hibno).
Todi bezlich M0, oskіlki L? M și M sunt mărginite mai jos de numărul a. Mai târziu, după teorema asupra na i m e n n m e l e l o m h i sl (Teorema 4, 2), multiplicatorul M are cel mai mic număr c. Zvіdsi z\u003e a, sho, negrul meu, trăgând s - 1\u003e a.
Să presupunem că Р(с-1) este adevărată. Dacă c-1 = a, atunci P (c-1) este adevărată în virtutea minții.
Fie c-1 > a. Todi pripuschennya, scho R (s-1) - hibno, trăgând în spatele lui posesia s 1? M, care nu poate fi dar, numărul lui s este cel mai mic din M.
În această ordine, s - 1> a și P (c - 1) - adevărat.
Gândiți-vă la propoziția P((c- 1) + 1) din propoziția P((c- 1) + 1) - asta este adevărat. R(s) - adevărat. Tse superechit alegerea numărului c, oskіlki? Teorema a fost finalizată.
Cu respect, această teoremă este o consecință apropiată a Corolarul 1 la axiomele lui Peano.
Teorema 2 (o altă formă a metodei de inducție matematică a numerelor întregi). Fie P (s) - deaky one-m_sny predshsatp, vizna-day) pe o multitudine de Z întregi. Totuși, propoziția P (c) este valabilă Pentru un număr întreg zecimal K și Pentru un număr întreg adecvat s Pentru a corecta Propoziția P (c) Pentru toate numerele întregi care satisface neregularitățile lui K< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >Inainte de.
p align="justify"> Demonstrația acestei teoreme este bogată, așa că repet demonstrarea unei teoreme similare pentru numere naturale (Teorema 1, 55, Cap.III).
Teorema 3 (a treia formă a metodei inducției matematice). Fie P(s) - un singur predicat, atribuiri pe multiplicatorul Z cіlіs CHІСі. Dacă P(c) este adevărat Pentru toate numerele multiplicatorului zecimal M al numerelor naturale zero i Pentru un număr întreg suficient a C este adevărat P(a) atunci P(a - 1) este adevărată, atunci propoziția P(c) este adevărată adevărat Pentru toate numerele.
Demonstrarea este analogă cu demonstrarea teoremei duble pentru numere naturale.
Proponuemo yogo ca o cicava dreapta.
Este demn de remarcat faptul că, în practică, a treia formă de inducție matematică este mai pronunțată, din ce în ce mai scăzută. Se explică că pentru її zastosuvannya este necesar să se cunoască submultiplicatorul infinit M al multiplicatorului numerelor naturale, va fi clar în teoremă. Cunoașterea unui astfel de multiplicator poate părea pentru sarcini dificile.
De altfel, avantajul celei de-a treia forme înaintea celorlalte constă în faptul că propoziția suplimentară P (c) este adusă tuturor numerelor întregi.
Mai jos țintim fundul celei de-a treia forme zastosuvanya ". Ale, spate în spate, damo este încă o înțelegere respectuoasă.
Programare. Valoarea absolută a unui număr întreg a este numărul atribuit conform regulii
0, dacă a O a, dacă a > O
Un yakscho a< 0.
Otzhe, ca un 0, atunci? N.
Se sugerează cititorului că are dreptul de a aduce o astfel de putere la o amploare absolută:
Teorema (despre debordare). Pentru orice număr de numere a i b, de b 0, iсnuє i înainte de aceasta, există o singură pereche de numere q U m astfel încât a r: bq + T L D.
Aducând.
1. Baza pariului (q, t).
Să fie a, b? Z i 0. Se arată că există o pereche de numere q i
Demonstrarea se realizează prin inducție în a treia formă pentru mărimea a cu număr fix b.
M = (mlm = n lbl, n? N).
Este evident că M lt este o expresie f: N M, care este determinată de regula f (n) = nlbl pentru orice n? N este o bijecție. Tse înseamnă că M N, că. M-indistinct.
Să spunem că de la un anumit număr a? Afirmația M (і L-fixă) a teoremei despre baza perechii de numere q і t este adevărată.
Adevărat, să fie un (- M. Todi a pf! pentru un p real?
Dacă b > 0, atunci a \u003d n + O. Luând în considerare acum q \u003d n și m O, luăm perechea necesară de numere q și m.< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q
Zrobimo acum indemnizație de inducție. Presupunem că dintr-un număr întreg suficient s (și un suficient b fix 0) afirmația teoremei este adevărată, atunci. este o pereche de numere (q, m) astfel încât
Se poate arăta că este mai corect i pentru numărul (з 1). Z este egal cu s \u003d bq -4 - viplivaє bq + (t - 1). (unu)
Posibil cade.
1) t\u003e 0. Todі 7 "- 1\u003e 0. În acest moment, punând - t - 1, luăm z - 1 - bq + Tl, de para (q, 7" 1,) în mod evident mulțumește minte
0. Todi h - 1 bq1 + 711 de q1
Fără practică este posibil ca 0< < Д.
În această ordine, fermitatea este adevărată și pentru un pariu de numere
Prima parte a teoremei a fost finalizată.
P. Pariul unic q і etc.
Să presupunem că pentru numerele a i b 0 se pot stabili două perechi de numere (q, m) i (q1, astfel încât să satisfacă mințile (*)
Să vedem că mirosurile scapă. O, haide
eu un bq1 L O< Д.
Zvіdsi vyplivaє, scho b(q1 -q) t-7 1
Să presupunem acum că q ql, apoi q - q1 0, stele lq - q1l 1. - q11 D. (3)
Vodnocha іz nerіvnosti 0< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.
U r a f n i n nya:
1. Completați demonstrațiile teoremelor 2 și 3 din 5 1.
2. Completați corolarul 2 din teorema 3, 1.
3. Pentru a adăuga, care este suma NS Z, ce se adună din numerele date în forma< п + 1, 1 >(n? N), mod închis de pliere a acelei înmulțiri.
4. Lasă N să însemne aceleași lucruri impersonale la care ai dreptul 3. Adu ceea ce vezi ј: M mulțumește mintea:
1) ј - bієktsіya;
2) j(n + m) = j(n) + j(m) și j(nm) = j(n) j(m) pentru orice numere n, m , i (H, +,).
5. Completați demonstrația teoremei 1 din 2.
6. Pentru a demonstra că pentru orice număr de numere a, b sunt valabile următoarele implicații:
7. Spune-i unui prieten acea treime a teoremei de la Z.
8. Pentru a demonstra că numărul de numere întregi Z nu răzbună numerele de zero.
Literatură
1. Bourbaki N. Teoria multiplilor. M.: Svit, 1965.
2. Vinogradiv I. M. Fundamentele teoriei numerelor. M.: Nauka, 1972. Z. Demidov I. T. Dați aritmetică. M: Uchpedgiz, 1963.
4. Kargapolov M. I., Merzlyakov Yu. I. Fundamentele teoriei grupurilor.
M: Nauka, 1972.
5. Kostrikin A. I. Introducere în algebră. M: Nauka, 1994.
b. Kulikov L. Ya. Algebră și teoria numerelor. M: Vishcha. scoala, 1979.
7. Kurosh A.G. Cursul celei mai avansate algebre. M: Nauka, 1971.
8. Lyubetsky V. A. Concepte de bază ale matematicii școlare. M: Prosvitnitstvo, 1987.
9. Lyapin ES. că în. Chiar din teoria grupurilor. M: Nauka, 1967.
10. Maltsev A. I. Sisteme algebrice. M: Nauka, 1970.
11. MenDelson Ege. Introducere în logica matematică. M: Nauka, 1971.
12. Nechaev V. I. Sisteme numerice. M: Prosvitnitstvo, 1975.
13. Novikov P.S. Elemente de logică matematică. M.. Nauka, 1973.
14. Petrova V. T. Prelegeri de algebră şi geometrie.: U 2 an.
CHL. M: Vlados, 1999.
15. Şcoala de ambuscadă Sochasni curs de matematică Avt. credit: Vilenkin N.Ya., Dunichev K.I., Kalltzhnin LA Stolyar A.A. M: Prosvitnitstvo, 1980.
16. L. A. Kushnir, Elemente de algebră. M: Nauka, 1980.
17. Stom R.R. Impersonalitate, logica, teorii axiomatice. M.; Osvita, 1968.
18. Stolyar A. A. Introducere logică în matematică. Minsk: VISCHII. scoala, 1971.
19. V. P. Filippov, Algebra și teoria numerelor. Volgograd: VGPІ, 1975.
20. Frenkel A., Bar-Hilel I. Dați teoria multiplilor. M: Svit, 1966.
21. Sisteme de comandă Fuchs L. Chastkovo. M.: Svit, 1965.
Inițial văzut
Volodimir Kostyantinovich Kartashov
CURS INTRODUCTOR DE MATEMATICĂ
Ajutor șef
Pregătire editorială O. I. Molokanova Aspect original proiectat de O. P. Boshchenko
„PR 020048 din 20.12.96
Semnat unul cu celălalt la 28.08.99. Format 60x84/16. Biroul Druk. bum. tip de. M 2. Uel. pich. l. 8.2. Uch.-vedere. l. 8.3. Tiraj 500 de exemplare. Descântec 2
Vidavnitstvo "Zmina"
Un număr natural este numărul întreg, ca și cum ar câștiga pentru o rahunka de obiecte. Vono viniklo z nevoile practice ale oamenilor. Dezvoltarea înțelegerii numărului natural poate fi împărțită în mai multe etape: 1. bătrânii, pentru a depăși nesemnificația, au stabilit esențialul: de exemplu, branțurile, degetele de pe mâini. Nedolik - por_vnyuvani mnozhini vinni buli dar o oră disponibilă pentru inspecție. 2. Bezlich - intermediari, de exemplu, pietre, țestoase, bețe. Conceptul de kіlkіst este mai pliat. І numere legate de subiecte specifice. 3. Aspectul unui număr (desemnarea unui număr prin cifrele vizibile). Nașterea matematicii. Aritmetica ca știință își are originea în ținuturile Descendenței antice - China, India, Egipt, dezvoltare îndepărtatăîn Grecia. Termenul „număr natural” a fost folosit pentru prima dată de învățăturile romane ale lui Boetius. Rakhunok este necesar pentru a desemna o mulțime de bani. Rozіb'єmo toți multiplicatorii kіlkіsnі pe clasa de echivalență, de exemplu, într-o clasă de echivalență. să vezi vârfurile fără chip ale trikutnikilor, laturile pătratului, literele fără chip ale cuvântului lumină. Dacă continuați acest proces, atunci prin cei care au echivalență - totul este la fel de puternic. Kіntsevі a înmulțit vyyavlyatsya pentru cursuri. Acea. teoretic - pluralitatea numărului natural kіlkіsnogo - є zagalna vlastіvіst clasă kіncevih plurale la fel de puternice. Clasa de piele are propriul ei număr. Zero este setat la multiplicatorul gol.
Numerele A și B se numesc egale, deoarece sunt egale ca număr.
O astfel de metodă stagnează în clasele cob.
Tehnica de lucru la sarcini care dezvăluie semnificațiile specifice ale aritmeticii diy.
Sarcinile de aritmetică din cursul matematicii ocupă un loc semnificativ. Mayzhe cu o jumătate de oră înainte de o oră de lecții de matematică pentru a fi introduse la finalizarea sarcinii. Tot marele rulou spiritual și iluminator, pe care duhoarea îl joacă sub ceasul educației copiilor. Sarcinile aritmetice Virishennya ajută la dezvăluirea înțelegerii de bază a acțiunilor aritmetice, le concretizează și se raportează la situația vieții cântând. Zavdannya să preia matematica intelege, Vіdnosin, legi. Când sarcina este îndeplinită, copiii dezvoltă destul respect, prudență, gândire mai logică, Mova, kmіtlivist. Scopul este de a dezvolta astfel de procese de activitate cognitivă precum analiza, sinteza, alinierea și rafinamentul.
În procesul de rezolvare a sarcinilor aritmetice, cursanții învață să-și planifice și să-și controleze activitățile, să deschidă acceptarea, autocontrolul (reverificarea sarcinilor, estimarea sarcinilor apoi) își influențează aroganța, voința, dezvoltarea interesului până la obiect. de rezolvare a sarcinilor. Mare este rolul virishennya zavdan în pregătirea copiilor pentru viață, pentru viitor activitatea muncii. Când rezolvă sarcinile complotului, cursanții încep să treacă între obiecte și valori la „limbajul matematicii”. În sarcinile aritmetice, materialul numeric este învingător, ceea ce inspiră succesul țării în diferitele galerii ale statului, culturii și științei poporului. Tse spryaє extinde orizonturile studenților, îmbogățit cu noi cunoștințe despre acțiunea de actualitate. Uminnyam vyrishuvati aritmetică zavdannya uchnі opanovuyut cu mari dificultăți.
Motivele sarcinilor de iertare ale copiilor ne strigă în fața particularităților minții lor. În procesul de navchannya rozvyazannyu sarcinile ar trebui să fie întinse în mod unic în partea de sus a sarcinii primei minți, este necesar să se țină cont de abordarea rozvyazannya sarcinilor, să se orienteze către situația simplă de viață, descrierile sarcinii. , luarea în considerare a sarcinii, luarea în considerare a viziunii date. În procesul de lucru la orice problemă aritmetică, puteți vedea următoarele etape:
1. Lucrați la managerul de activități.
2. Poshuk rezolvarea problemelor.
3. Rezolvarea problemelor.
4. Formularea opiniei.
5. Revizuirea rezolvării problemelor.
6. Departe de robot peste sarcinile de top.
Mă refer la respectul următorului să atașeze roboții peste zmistul fabricii, tobto. asupra înțelegerii situației în sarcini, stabilirea unor pârghii între danim și shukanim. Secvența de lucru privind cucerirea sarcinii;
a) analiza cuvintelor ignorante și viraziv-urilor;
b) citirea textului dat de profesor și învățarea;
c) evidența îndeplinirii sarcinii;
d) repetarea sarcinii alimentare.
Vyraznym citind textul șefului următorului studiu. Este necesar să ne amintim că copiii au nevoie în special să citească o lectură promoțională, nu pot citi singuri corect sarcina, nu pot aranja voci logice etc.
Ordinea de concretizare a sarcinii pentru subiecte suplimentare, șabloane și micuți în practica roboților în școli de largă lățime a fost formată într-o astfel de formă pentru a nota atribuirea sarcinii:
1. Se scurtează forma notei, cu textul sarcinii, notează date numerice și doar câteva cuvinte și cuvinte, după cum este necesar pentru înțelegerea sensului logic al sarcinii.
2. O formă scurtă de scriere structurală, dacă partea logică a sarcinii este scrisă dintr-un rând nou.
3. Forma schematică a înregistrării.
4. Forma grafică a scrierii.
Deoarece funcția de control la copii este slăbită, atunci reexaminarea rozvyazannya zavdannya poate fi iluminată și are semnificație. În clasele mai tinere este necesar:
1. Formulați verbal sarcinile, rătăcind peste obiecte.
2. Reconsiderați realitatea situației.
3. Reconsiderați adecvarea minții și hrana plantei. Reverificarea soluționării sarcinilor în alte moduri її vyshennya este posibilă din clasa a 4-a.
Pentru a controla corectitudinea desfasurarii sarcinii este necesar sa se selecteze si sa actioneze asupra elementelor antrenamentului programat. Acest element este și mai banal tim, că voi mai ține cont de corectitudinea chi-ului și de iertarea propriilor acțiuni. Pentru iertarea hotărârii vinurilor, există noi moduri de cireș.
Profesorul de la școală este cel mai probabil să i se cânte că rozvyazannya avdannya a fost luminat de învățături. Este mai bine pentru el să efectueze lucrările de a stabili finalizarea acestei sarcini. Lucrarea sarcinilor fixe poate fi efectuată în moduri diferite.
1. Configurați o mâncare universitară pentru a salva ziua.
2. Proponuetsya rozpovіsti toate rozvyazannya zadovі z obґruntuvannyam vyboru dіy.
3. Pune alimente până la okremih diy chi alimente. Pentru elevi, numărul de variații ale sarcinilor analoge este important, iar înțelegerea situației subiectului este importantă între ele. Tsіy metі і să servească la distanță ca un robot peste sarcinile sarcinii, așa cum puteți vedea cât de important este să formați începuturile rezolvării sarcinilor de acest tip. Pentru o mai bună înțelegere a subiectului, a sarcinii, a pârghiilor dintre date și shukani, perfecțiunea sarcinii din datele numerice zilnice, scrise nu în cifre, ci în cuvinte. Aveți grijă să arătați că cei mai buni profesori sunt învingători pe scară largă ca una dintre metodele de predare a sarcinilor de aranjare a sarcinii de organizare a sarcinilor în sine.
Ordonarea sarcinii îi ajută pe copii să înțeleagă mai bine semnificația vie-practică a sarcinii, să înțeleagă mai bine structura acesteia și să învețe să diferențieze sarcina diferitelor specii, să înțeleagă decizia. Ordonarea sarcinilor se realizează în paralel cu deciziile sarcinilor pregătite. Dosvid, această precauție va arăta că este mai ușor pentru sarcina uchnіv chastkovo pliată. Alunecare pentru a stimula formarea învățăturilor șefilor diferitelor comploturi. Tse spryaє razvitku їhnyoї vyavlyaet clemență, іnіtsiativi. Este mai jenant, dacă pentru depozitarea șefului școlii primesc materialul pe care îl „obțin” pentru o oră de excursii, din dovіdnikіv, ziare, reviste etc. Elevii claselor superioare trebuie să învețe cum să scrie și să scrie documente de afaceri legate de acestea și alte rosrahunka. De exemplu, scrieți o scrisoare de aprobare, completați formularul pentru o comandă pe bani. Toate numirile superioare pot fi utilizate pe scară largă la celebrarea tuturor tipurilor de sarcini.
O sarcină aritmetică simplă se numește sarcină, ca și cum ar fi de rezolvat o sarcină aritmetică. Iertați-i pe zavdannya să joace rolul super-primar al orei de predare a matematicii. Cele mai simple sarcini vă permit să extindeți cunoștințele de bază și să concretizați funcții aritmetice, să formulați acele și alte concepte matematice. Iertați ordinea de pliere a depozitului, mai târziu, modelând vminnya virishuvati їx, profesorul pregătește elevii pentru deschiderea comenzii de pliere.
Pe baza amorsării dermice, învață să înveți despre noi tipuri de sarcini simple. Introducerea pas cu pas a acestora este explicată prin diferitele etape ale problemei înțelegerii matematice, procesul de cultivare a proceselor aritmetice liniștite, este dezvăluită soluția specifică a unei astfel de duhoare. Nu mai puțin respect pentru profesor la alegerea conducătorului care fel de merit și concretizarea acelei onoare. Nareshti, cititorul pentru a concretiza zmіst zavdannya, rozkryvayuchi învechit între danim și shukanimi pentru forme suplimentare de înregistrare scurtă.
Finalizarea lucrării celor mai buni cititori arată că pregătirea pentru îndeplinirea sarcinilor aritmetice trebuie începută de la îmbunătățirea dezvoltării cunoștințelor practice de învățare, orientarea acestora la eficiența necesară. După ce am învățat, este necesar să conduci în acea situație de viață, în care este posibil să se îmbunătățească, să revizuiască sarcinile aritmetice, să lucreze pentru a schimba. Mai mult, aceste situații nu sunt următorul lucru de creat piesă cu piesă, sunt mai puțin probabil să se întoarcă și să ia respectul elevilor. Profesorul organizează paza pentru numărul schimbător de elemente din multitudinea disciplinei în loc de vase. bud., sho priyaє razvitku yavlen uchnіv pro kіlkіst to znajomstvo їх іz sing termіnologiєyu, yak zstrіnetsya cu formularea verbală a sarcinii: a devenit, totul a fost pierdut, l-au luat, a crescut, s-a schimbat etc. Este necesar să se organizeze o astfel de activitate ludică și practică a elevilor, astfel încât, fiind participanți neîntrerupt la această activitate, precum și posterigayuchi, elevii înșiși să poată lucra visnovka la picătura cremoasă a pielii; numărul de elemente ale multiplicatorului a crescut sau numărul de elemente ale multiplicatorului s-a schimbat, iar unele operații care verbal viraz arată creșterea sau schimbarea. Această etapă de pregătire a lucrării începe cu cob de lucru asupra numerelor primelor zece și familiarizarea cu acțiunile aritmetice, cu soluții și aplicații de pliere a operațiilor de la pluralul subiectului.
În primul rând, la începutul învățării sarcinilor aritmetice, profesorul este vinovat că s-a dezvăluit în mod clar, ca și cunoștințele, este necesar să le oferim elevilor acele abilități. Pentru a rezolva sarcina, învățați sarcinile aritmeticii aritmetice, ascultați și apoi citiți sarcina, repetați sarcina din alimente, pentru o scurtă notă, din memorie, vedeți componentele depozitului în problemă, verificați sarcina și inversați corectitudinea de defalcare. La clasa I, cursanții încep să verifice sarcina de a mustra punga și excesul. Qi-ul sarcinii sunt introduse înainte de începutul orei de început a numerelor primelor zece. La începutul rozvyazannya, sarcina a fost de a schimba suma acelorași dodankiv, în partea de jos, pe partea egală a chi-ului, a continuat pentru argint, urmată de o spirală pentru înțelegerea proceselor aritmetice zilnice ale înmulțirii și fundul. Înainte de deschiderea ordinii diferenței dintre învățături, este necesar să se dea o înțelegere a ordinii obiectelor într-o singură totalitate, două totalități obiective, mărimi, numere, stabilind s-asemănarea acestora în aceeași linie de echivalență și nervozitate. Să le punem împreună, sau să le punem împreună, sarcinile aritmetice se numesc sarcini, așa cum doi oameni nu pot Mai mult procese aritmetice. Studiile psihologice ale dezvoltării caracteristicilor sarcinilor de depozit aritmetice arată că copiii nu recunosc sarcinile simple în contextul unei noi sarcini de depozit. Pregătirea lucrării până la finalizarea sarcinilor de depozit se face prin sistemul de drepturi, admiteri și directive ale instituțiilor de învățământ până la finalizarea sarcinilor de depozit. Înainte de finalizarea managerului de depozit, puteți trece în același loc, dacă vă răzgândiți, că oamenii de știință au stăpânit aranjarea sarcinilor simple cu ajutorul trucurilor, dacă mergeți la managerul de depozit, puteți pune singuri împreună o sarcină simplă a unei minți cântătoare. Când rozv'yazannі depozitare zavdan uchnі povinnі sau pentru a danih pune mâncare sau mâncare pentru a obține date. Tot în perioada pregătitoare, tobto. prin intinderea ultimului din prima soarta, acela pe stiuletul altei soarte, invatand, urmand invataturile sarcinii:
1. Spală-ți mâncarea înainte de a fi gata.
2. Din mâncare, adună sarcina, ridicând datele numerice zilnice.
Plierea sarcinilor simple și de depozit, învățarea pas cu pas pentru a învăța din sarcinile de depozit este simplă, chiar dacă le-ați finalizat și mai corect, aveți dreptul să pliați sarcinile de pliere. Acceptă cea mai scurtă stăpânire a punctelor de vedere ale sarcinilor simple, le înțeleg pentru a le distinge de sarcinile din depozit și îi ajută pe cursanți să analizeze sarcinile. Când vyrіshennі depozit zavdan uchnіv sanie nauchit zagalnyh priyom_v lucru z zavdannyam; vminnyu pentru a analiza sarcinile zmist, văzând în datele date, shukane (pentru a stabili ceea ce este necesar pentru a fi recunoscut în sarcină), în funcție de care date nu sunt utilizate pentru revizuire pe capul de nutriție în sarcină. În practică, munca școlii este fidelă în sine prin utilizarea lucrărilor cu carduri, sarcini în care este stabilită succesiunea de lucru pe sarcini. Când comanda este finalizată, decizia este notă cu nutriție sau acțiunea pielii este înregistrată și explicată. Variația metodei specificate de aranjare a sarcinilor de un anumit tip este asigurată de varianta de aranjare a sarcinilor cu diferite tipuri, parcele, soluții pregătite și împăturite de către elevi înșiși, sarcini de un anumit tip cu tipuri de probleme care au fost rezolvate anterior, si asa mai departe.
1. Explicați metoda de numărare pentru vipadkіv 40 + 20, 50-30, 34 + 20, 34 + 2, 48-30, 48-3 trebuie numărate cu o sută de concentrare.
1) 40+20= 4d+2d=6d=60
2) 50-30 = 5d-3d = 2d = 20
3) 34+20= 3d+4od+2d=5d 4ed=54
4) 34+2 \u003d 3d + 4od + 2od \u003d 3d 6od \u003d 36
5) 48-30 \u003d 4d + 8od-3d \u003d 1d 8ed \u003d 18
6) 48-3= 4d+8od-3d=4d 5d=45
Usі priyomi și numărarea usnі și vykonuyutsya pe baza rangurilor de pliere și vіdnіmannya.
După cum se dovedește, numerele naturale fără număr pot fi puse în ordine pentru o expresie suplimentară „mai puțin”. Dar trebuie subliniate regulile teoriei axiomatice, astfel încât scopul a fost nu numai determinat, ci și îmbunătățit pe baza celor deja atribuite în această teorie pentru a înțelege. Puteți face mai mult făcând plata „mai puțin” prin adăugare.
Programare. Numărul a este mai mic decât numărul b (a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.
Pentru ca mințile tsikh să spună același lucru, numărul scho b Mai mult A ea scrie b > a.
Teorema 12. Pentru orice numere naturale Aі b poate fi una și numai una dintre cele trei viabile: a = b, a > b, A < b.
Dovada acestei teoreme este omisă. Z ієї al teoremei este evident, ce este
a ¹ b, te chi A< b, sau a > b tobto. vіdnoshennia „mai puțin” poate fi puterea pov'yazanostі.
Teorema 13. Yakscho A< b і b< с. apoi A< с.
Aducând. Această teoremă exprimă puterea tranzitivității sugerând „mai puțin”.
deci iac A< b і b< с. apoi, în scopul de a numi „mai puțin”, există astfel de numere naturale inainte de si ce b \u003d a + i c \u003d b + I. Ale todi h = (a + k)+ / і pe baza asociativității plierii se ia: h \u003d a + (la +/). Oskilki la + eu - este un număr natural, atunci A< с.
Teorema 14. Yakscho A< b, nu este adevărat că b< а. Aducând. Teorema Tsya exprimă puterea antisimetrie vodnosini „mai puțin”.
Să începem de la început, ce pentru orice număr natural A nu wi-!>! ■ ) її demisia A< A. Să nu acceptăm, tobto. ce A< а maє mistse. Todi, în sensul „mai puțin” albastru, există un astfel de număr natural Cu, ce A+ h= A,și să nu înlocuiască teorema 6.
Acum să spunem că yakscho A< b, atunci nu este adevărat că b < A. Să nu acceptăm, tobto. ce yakscho A< b , apoi b< а victorie. O listă de egalități în teorema 12 A< а, ceea ce este imposibil.
Deci, așa cum spunem, „mai puțin” este antisimetric și tranzitiv și poate avea putere în raport cu ordinea liniară, dar impersonalitatea numerelor naturale ordonat liniar fără chip.
De la denumirea „mai puțin” că yoga puterii poate fi introdusă în casa puterii unui multiplicator de numere naturale.
Teorema 15. Dintre toate numerele naturale, unul este cel mai mic număr, tobto. eu< а для любого натурального числа a¹1.
Aducând. Haide A - să fie un număr natural. Atunci există două posibilități: a = 1 ta un ¹ 1. Yakscho a = 1, atunci este un număr natural b, pentru care urmează a: a \u003d b " \u003d b + I = 1+ b, tobto, în scopul vodnosinii „mai puțin”, 1< A. Otzhe, fie că este în mod natural mai scump 1 chi mai mult decât 1. Abo, singurătatea este cel mai mic număr natural.
Introducerea „mai puțin” este legată de plierea și multiplicarea numerelor prin puterea monotoniei.
Teorema 16.
a \u003d b => a + c \u003d b + c că a c \u003d b c;
A< b =>a + c< b + с и ас < bс;
a > b => a + c > b + c și ac > bc.
Aducând. 1) Dreptatea acestei fermități este evidentă din unitatea plierii și înmulțirii.
2) Yakscho A< b,
atunci este un număr natural k, ce A
+ k = b.
Todi b+ c = (a + k) + c = a + (k + c) = a + (c+ la)= (a + c) + k. echitate b+ c = (a + c) + toînseamnă că a + c< b
+ Cu.
Deci este de la sine înțeles A< b =>as< bс.
3) Să fie adus în același mod.
Teorema 17(Teorema inversă 16).
1) A+ c = b + c sau ac ~ bc-Þ a = b
2) a + c< Ь + с sau as< bcÞ A< Ь:
3) a + c > b+ w o ac > bcÞ a > b.
Aducând. Aducem, de exemplu, ce as< bс Următorul A< b Să nu acceptăm, tobto. că teorema nu este învingătoare. Todi nu poate buti, scho a = b. la faptul că şi atunci gelozia ar fi învingătoare ac = bc(Teorema 16); nu pot fi eu A> b, oricum ac > bc(Teorema!6). Prin urmare, în măsura în care teorema 12, A< b.
Din teoremele 16 și 17 se poate introduce regula adunării termen cu termen și înmulțirii neregulilor. O omitem.
Teorema 18. Pentru orice numere naturale Aі b; este, de asemenea, un număr natural n, care p a.
Aducând. Pentru fii-cine A găsiți un astfel de număr P, ce n > a. Pentru cine este suficient să ia n = a + 1. Înmulțirea neuniformității termen cu termen P> Aі b> 1, acceptabil pb > A.
Privind la autorități, se poate vedea „mai puțin” albastru pentru a remarca singularitățile importante ale multiplicatorului numerelor naturale, pe care le inducem fără dovezi.
1. Ні pentru un număr natural A nu există un astfel de număr natural P, ce A< п < а +
1. Puterea Tsya este numită in putere
discretie numere naturale impersonale și numere Aі un + 1 nume judiciar.
2.
Be-yak nu submultiplicator gol al numerelor naturale pentru a se răzbuna
cel mai mic numar.
3. Yakscho M- Număr gol de numere naturale impersonale
si este acelasi numar b, ce pentru toate numerele x s M nu va câștiga
ecuanimitate x< b, apoi în cei fără chip Mє majoritatea.
Ilustrarea puterii lui 2 și 3 pe fund. Haide M- numere anonime din două cifre. deci iac Mє submultiplicator al numerelor naturale і pentru toate numerele< 100, то в множестве Mє cel mai mare număr este 99. M, - Numărul 10.
În acest fel, introducerea „mai puțin” a permis să se uite (și să aducă într-un rând de vipadkiv) semnificația puterii unui multiplicator de numere naturale. Zokrema, este dispus liniar, discret, cel puțin 1.
Cu setarea „mai puțin” („mai mult”) pentru numerele naturale, școlarii mici sunt familiarizați cu începutul învățării. Și de multe ori, în ordinea interpretărilor yogo multiplicator-teoretice, se justifică implicit definiția dată de noi în cadrul teoriei axiomatice. De exemplu, elevii pot explica că 9 > 7, cioburi 9 - nu 7 + 2. Adesea și implicit victorioasă puterea monotonie plierea și multiplicarea. De exemplu, copiii explică că „6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».
dreapta
1, De ce numerele naturale impersonale nu pot fi ordonate după ajutorul albastrului „în spatele liniei”?
Formulați o viziune a > bși să demonstreze că este atât tranzitivă cât și antisimetrică.
3. Spune-mi ce este a, b, c- numere naturale, apoi:
A) A< b Þ ас < bс;
b) A+ h< b + su> A< Ь.
4. Unele teoreme despre monotonitatea adunării și înmulțirii pot
vykoristovuvaty tineri școlari, vykonuyuchi zavdannya „Porіvnya, nu calculați vykonuyuchi”:
a) 27+8...27+18;
b) 27-8...27-18.
5. La fel ca puterea multiplicatorului numerelor naturale, școlarii tineri câștigă implicit, câștigă aceeași sarcină:
A) Notați numerele, cum ar fi mai mare, mai mic 65, mai mic, mai mic 75.
B) Numiți următorul număr conform datei dinaintea numărului 300 (800.609.999).
C) Numiți cel mai mic și cel mai mare număr de trei cifre.
Vidnimannya
La motivație axiomatică Se știe că teoria numerelor naturale sună ca o operație care revine la stoc.
Programare. Având în vedere numerele naturale a și b, se numește operația, care mulțumește minții: a - b = s numai și doar câteva, dacă b + c = a.
Număr a - b numită diferența de numere a i b, număr A- schimbare și numărul b- văzut.
Teorema 19. Variația numerelor naturale A- bіsnuє tоdі і mai puțin de tоdі, dacă b< а.
Aducând. Lasă vânzarea cu amănuntul A- bІсnuє. Todi, pentru retailul desemnat, există un astfel de număr natural Cu, ce b + c = a, iar tse înseamnă că b< а.
Yakshcho b< а, apoi, în scopul de a numi „mai puțin”, este și un număr natural care b + c = a. Todi, pentru retailul desemnat, c \u003d a - b, tobto. cu amănuntul a - bІсnuє.
Teorema 20. Care este diferența dintre numerele naturale Aі b Sunt sigur că există doar unul.
Aducând. Este acceptabil să fie două valori diferite diferenta de numere Aі b;: a - b= c₁і a - b= c₂, în plus c₁¹ c₂. Todi pentru comercianții desemnați, poate: a = b + c₁,і a = b + c₂ : . Vezi ce urmează b+ s ₁ \u003d b + c ₂ : iar pe baza teoremei 17 este posibil să se potrivească c₁ = c₂. Au ajuns la punctul de omisiune, atunci, este greșit, dar teorema este corectă.
Vyhodyachi z vznachennya raznitsі numere naturale care minte її іsnuvannya, puteți urma regula numerelor vіdomі vіdnіmannya din sumi și sumi din numere.
Teorema 21. Haide A. bі h- numere naturale.
dar yakscho a > c, apoi (a + b) - c \u003d (a - c) + b.
b) Yakscho b > c. apoi (a + b) - h - a + (b - c).
c) Yakscho a > c și b > c. atunci puteți vikoristovuvati dacă-yaku din aceste formule.
Aducând. În timpi a) diferență de numere Aі cіsnuє, oskelki a > c. Semnificativ її prin x: a - c \u003d x. stele a = c + x. Yakscho (A+ b) - c \u003d y. apoi, pentru prețul stabilit, A+ b = h+ la. Reprezentăm în qiu equanimitate zamіst A viraz h + x:(h + x) + b = c + y. Accelerăm puterea asociativității pentru a adăuga: c + (x + b) = c+ la. Să schimbăm această ecuanimitate pe baza puterii monotoniei, adăugând, luăm:
x + b = y.. Înlocuit în echivalența daneză x cu viraz a - c, hai mama (A - G) + b = y.În acest rang, am fost aduși, scho yakscho a > c, atunci (a + b) - c = (a - c) + b
În mod similar, proba se efectuează în cazul b).
Rezultatul teoremei poate fi formulat ca o regulă ușor de reținut: pentru a lua numărul din sumă este suficient să luăm numărul dintr-o sumă de depozit și la rezultatul adăugării mai multor suplimente.
Teorema 22. Haide a, b i c - numere naturale. Yakscho a > b+ c, atunci A- (b + c) = (a - b) - c sau a - (b + c) \u003d (a - c) - b.
Dovada acestei teorii este similară cu demonstrația teoremei 21.
Teorema 22 poate fi formulată ca regulă vizuală, pentru a lua în considerare suma numerelor din număr este suficient să luăm în considerare suma numerelor în succesiune, unul câte unul.
La ştiulete matematicienii vyznachennya vіdnіmannya yak dії, zvorotnogo dodavannya, la vedere, sunet, nu dau, dar sunt în mod constant koristuyutsya, pochinayuchi z vykonannya dіy peste numere cu o singură cifră. Învață să datorezi o bună înțelegere a ceea ce ai de spus despre falduri și câștigă interrelațiile atunci când calculezi. Vezi, de exemplu, de la numărul 40 numărul 16, învață să marchezi așa: „Uită-te la numărul 16 din 40 - ceea ce înseamnă să cunoști un astfel de număr, când îl pliezi cu numărul 16, introduceți 40; acest număr va fi 24, deci 24 + 16 = 40. Medie. 40 - 16 = 24".
Reguli pentru interpretarea numerelor din sumă și suma din numere în cursul cob de matematică є baza teoretica Calculați alte venituri. De exemplu, valoarea unei virase (40 + 16) - 10 poate fi cunoscută, nu numai numărând suma din brațe, ci apoi numărând numărul 10 din ea, ci într-un astfel de rang;
a) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:
b) (40 + 16) - 10 = 40 + (16-10) = 40 + 6 = 46.
dreapta
1. Chi este corect, care este un număr natural de piele care iese dintr-o singurătate care avansează neîntrerupt?
2. De ce este specială structura logică a teoremei 19? Poți її să formulezi, victorios, cuvintele „necesar atât de suficient”?
3. Aduceți ce:
dar yakscho b > c, apoi (a + b) - c \u003d a + (b - c);
b) yakscho a > b + c, apoi a - (b+ c) = (a – b) – p.
4. Chi poate, fără a număra, să zicem, semnificația unui astfel de virazіv dorivnyuvatimut:
a) (50 + 16) - 14; d) 50+ (16 -14 ),
b) (50 - 14) + 16; e) 50 - (16 - 14);
c) (50 - 14) - 16, f) (50 + 14) - 16.
a) 50 - (16 + 14); d) (50 - 14) + 16;
b) (50 - 16) + 14; e) (50 - 14) - 16;
c) (50 - 16) - 14; e) 50 - 16-14.
5. Yakі power vіdnіmannya є baza teoretică a avansării calculului priyomіv, scho vychayutsya la cursul cob de matematică:
12 - 2-3 12 -5 = 7
b) 16-7 \u003d 16-6 - P;
c) 48 - 30 \u003d (40 + 8) - 30 \u003d 40 + 8 \u003d 18;
d) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.
6. Descrieţi metodele posibile de calculare a valorii prin vedere. a - b- hși ilustrează-le pe capturi specifice.
7. Spune-mi ce b< а si fie orice equanimitate naturala c virna (a - b) c \u003d ac - bc.
Vkazivka. Dovada se bazează pe axioma 4.
8. Calculați valoarea virazului, fără a număra literele. Vidpovidi wrap.
a) 7865 × 6 - 7865 × 5; b) 957 × 11 - 957; c) 12×36 - 7×36.
Podil
Sub teoria axiomatică a numerelor naturale, rozpodilul sună ca o operație, transformată într-o înmulțire.
Programare. Subdiviziunea numerelor naturale a și b este o operație care satisface mintea: a: b \u003d s todi și numai todi, inainte de dacă b× h = a.
Număr a:b numit privat numere Aі b, număr A dilimim, număr b- dilnik.
După cum se pare, nu este necesar să distingem numerele naturale de numerele naturale impersonale și nu există semne atât de evidente ale unei baze private, așa cum este necesar pentru comerțul cu amănuntul. Є tilki minte necesară baza privatului.
Teorema 23. Pentru a crea în mod privat două numere naturale Aі b necesar b< а.
Aducând. Păstrați numere naturale private Aі bȘtiu că. este un număr atât de natural c încât bc = a. Oskіlki pentru orice număr natural 1 este valabil nerіvnіst 1 £ Cu, apoi, înmulțind partea infracțională cu un număr natural b, Luat b£ bc. ale bc \u003d a, otzhe, b£ A.
Teorema 24. Cât de private sunt numerele naturale Aі bіsnuє, există doar unul.
Demonstrarea teoremei este similară cu demonstrarea teoremei despre unitatea diferenței numerelor naturale.
Vyhodyachi z vyznachennya părți ale numerelor naturale care se gândesc la yogo іsnuvannya, puteți întoarce regulile pentru subіlu sumi (comerț cu amănuntul, creați) asupra numărului.
Teorema 25. Care sunt numerele Aі bîmpărțiți la număr Cu, apoi suma respectivă a + bîmpărtășește cu și mai mult în privat A+ b pe număr Cu, o sumă de cele private A pe hі b pe h, apoi. (a + b):c = a: c + b:Cu.
Aducând. Numărul Oskіlki A fi împărțit în Cu, atunci acesta este un număr natural x = A; h, sho a = cx. Similar cu numărul natural existent y = b:Cu, ce
b= su. Ale todi a + b = cx+ su \u003d - s (x + y). Tse înseamnă ce a + bîmpărțit la c, în plus, este mai privat, ceea ce este luat la răspândirea sumi A+ b la numărul c, care este mai scump x + y, tobto. ax + b: c.
Rezultatul teoremei poate fi formulat folosind regula subdivizării sumei la număr: pentru a împărți suma la număr, este suficient să împărțiți suma la numărul de adunări de piele și să scădeți rezultatele.
Teorema 26. Ca numerele naturale Aі bîmpărțiți la număr hі a > b apoi vânzarea cu amănuntul a - b fi împărțit la c, în plus, este privat, câștigat când diferența este împărțită la numărul c, mai privat, câștigat când diferența este împărțită A pe hі b la c, tobto. (a - b): c \u003d a: c - b: c.
Demonstrarea acestei teoreme se realizează în mod similar cu demonstrarea teoremei anterioare.
Această teoremă poate fi formulată ca regulă pentru subdiviziunea diferenței pe număr: pentruÎn plus, pentru a împărți diferența la număr, este suficient să împărțiți la numărul întreg, care se schimbă și se vede de la prima vedere privată a unui prieten.
Teorema 27. Ce este un număr natural A fie divizibil cu un număr natural c, apoi pentru orice număr natural b tvir abîmpărtășește la p. În cazul oricărei confidențialitate, ce este luat atunci când răspândiți creativitatea ab la numărul z , o dobutka a unui privat A pe Cu, i număr b: (a × b): c - (a: c) × b.
Aducând. deci iac A fi împărțit în Cu, atunci există un număr natural x care a:c= x, stele a = cx. După ce a înmulțit părțile jignitoare ale geloziei cu b, Luat ab = (cx) b. Oskіlki plural asociativ, atunci (cx) b = c(x b). Zvіdsi (a b): c \u003d x b \u003d (a: c) b. Teorema poate fi formulată ca o regulă pentru subîmpărțirea unui număr într-un număr: împărțiți numărul cu un număr, împărțiți numărul cu unul dintre multiplicatori și scădeți rezultatul, înmulțiți celălalt multiplicator.
Pentru matematicianul priceput, podilul este atribuit ca operație de întoarcere, pentru aspectul sălbatic, nu dă un sunet, dar sunt în mod constant koristuyutsya, începând de la primele lecții de cunoaștere a podilului. Învață să dai vina pe motiv, că a dat motivele înmulțirilor și a interrelațiilor victorioase în timpul calculelor. De exemplu, a împărțit 48 la 16, elevii spun așa: „A împărți 48 la 16 înseamnă a cunoaște un astfel de număr, înmulțind cu 16, vom face 48; acest număr va fi 3, cioburi 16 × 3 = 48. De asemenea, 48: 16 = 3.
dreapta
1. Aduceți ce:
a) doar o fracțiune din numerele naturale a b dacă este, atunci există doar unul;
b) ca numere a b Aboneaza-te la hі a > b apoi (a - b): c \u003d a: c - b: c.
2. Ce se poate confirma că toate datele sunt corecte:
a) 48:(2×4) = 48:2:4; b) 56:(2×7) = 56:7:2;
c) 850: 170 = 850: 10:17.
Care este regula pentru a agrava aceste vipadkіv? Formulează yoga și adu-o.
3. Yakі power podіlu є baza teoretică pentru
vikonanna zilele viitoare, predicat elevilor clase de cob:
Cum poți, fără a depinde de fund, să spui că semnificațiile unor astfel de cuvinte vor fi aceleași:
a) (40 + 8): 2; c) 48:3; e) (20 + 28): 2;
b) (30 + 16): 3; d) (21 +27): 3; f) 48:2;
Chi vіrnі іvnostі:
a) 48:6:2 = 48: (6:2); b) 96:4:2 = 96: (4-2);
c) (40 - 28): 4 = 10-7?
4. Descrieți modalități posibile de a calcula valoarea virusului
minte:
A) (A+ b):c; b) A:b: Cu; in) ( a × b): s .
Metode sugerate și ilustrare pe funduri specifice.
5. Aflați sensul expresiei într-un mod rațional; proprii
înfășura:
a) (7 × 63): 7; c) (15 × 18):(5× 6);
b) (3 × 4× 5): 15; d) (12 × 21): 14.
6. Rotunjiți pașii următori și partea de jos pe un număr dublu:
a) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 = 50 + 3 = 53;
b) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 = 49;
c) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:
d) (560 × 32): 16 = 560 (32:16) = 560x2 = 1120.
7. Nu te bate sub canapea, găsește-l pe cel mai rațional
în mod privat; alege o modalitate de amorsare:
a) 495:15; c) 455:7; e) 275:55;
6) 425:85; d) 225:9; e) 455:65.
Cursul 34
1. Număr anonim de numere necunoscute. Puterea unei multitudini de numere tsilih nevid'emnyh.
2. Înțelegerea seriei naturale de numere și elemente ale multiplicatorului final. Numerele ordinale și naturale.
Până la suveranitatea specialității
1. Spațiu liniar (vector) deasupra câmpului. aplica. Sub spațiu, cea mai simplă putere. Vectori liniari și independenți.
2. Baza și pacea spațiu vectorial. Matricea de coordonate a sistemului de vectori. Trecerea de la o bază la alta. Izomorfismul spațiului vectorial.
3. Închiderea algebrică a câmpului numerelor complexe.
4. Un inel de numere întregi. Ordonarea numerelor întregi. Teoreme despre numărul „cel mai mare” și „cel mai mic”.
5. Grupează, aplică grup. Cele mai simple grupuri de putere. Subgrupuri. Omomorfismul și izomorfismul grupurilor.
6. Puterea principală a numerelor false. Iertați numerele. Infinitate de numere prime impersonale. Dispunerea canonică a numărului de stoc este acea unicitate.
7. Teorema Kronecker-Capelli (criteriul de integritate a sistemului râuri liniare).
8. Principalele caracteristici ale drumurilor. Povna care este indusă de sistemul v_drahuvan modulo. Kіltse kіltse v_drahuvan pentru modul. Teorema lui Euler și Fermat.
9. Addendumul teoriei porіvnyan la vysnovka este un semn de falsitate. Zvernennya zvichaynogo fracțiune la a zecea și numirea ultimei perioade de yogo.
10. Succesul unei rădăcini explicite a unui polinom cu coeficienți efectivi. Sa întâmplat în domeniul numerelor reale cu termeni bogați.
11. Alinierea liniară cu o singură modificare (criteriul rozvyaznosti, căile rozvyazannya).
12. Sisteme egale de aliniamente liniare. Metoda de excludere ulterioară este necunoscută.
13. Kiltse. Aplicați o chilă. Cea mai simplă putere a kilet-urilor. Pidkiltse. Omomorfisme și izomorfisme ale inelului. Camp. Exemplu de irigare. Cea mai simplă putere. Minimitatea câmpului numerelor raționale.
14. Numerele naturale (fundamentele teoriei axiomatice a numerelor naturale). Teoreme despre „cel mai mare” și „cel mai mic” număr natural.
15. Segmente bogate peste câmp. Teorema despre podіl іz surplus. Cel mai mare dilnik colaborativ dintre doi membri bogați, puterea acelui mod de a cunoaște.
16. Blues binar. Sugestie de echivalență. Clase de echivalență, multiplicator de factori.
17. Inducție matematică pentru numere naturale și întregi.
18. Dominanța numerelor prime reciproc. Cel mai puțin semnificativ multiplu al numerelor, puterea acelui mod de a cunoaște.
19. Câmp de numere complexe, câmpuri numerice. Aspect geometric formă trigonometrică număr complex.
20. Teorema despre podіl este surplus pentru numere întregi. Cea mai mare colecție de numere de numere, puterea acelui mod de a cunoaște.
21. Operatori liniari ai spațiului vectorial. Kernel și imaginea unui operator liniar. Algebra operatorilor liniari în spațiul vectorial. Valorile puterii și vectorii de putere ai unui operator liniar.
22. Transformarea ateniană a apartamentului, stăpânirea lor este calea zavdannya. Un grup de transformări ateniene ale planului și subgrupurilor її.
23. Bagatokutniki. Piața Bagatokutnik. Teorema rațiunii și unității.
24. Echivalența și uniformitatea bagatokutnikiv.
25. Geometria lui Lobaciovski. Nesuperitatea sistemului de axiome ale geometriei lui Lobaciovski.
26. Conceptul de paralelism în geometria lui Lobaciovski. Extinderea reciprocă a zonei drepte Lobachevsky.
27. Formule ruhіv. Clasificarea ruinelor zonei. Dodatki la sarcini rozvyazannya.
28. Expansiunea reciprocă a două bemol, drepte, două drepte lângă întindere (într-o prezentare analitică).
29. Transformare proiectivă. Teorema rațiunii și unității. Formule ale transformărilor proiective.
30. Scalar, nu vectorial crea zmіshane vectori, їх completări la dezvoltarea sarcinilor.
31. Sistemul lui Weyl de axiome ale spațiului euclidian trivimetric și non-superitatea її zmistovna.
32. Ruhi din zonă și yoga puterii. Grup de ruine plat. Teorema fundației și unității mișcării.
33. Planul proiectiv al acelui model її. Transformare proiectivă, putere. Grup de modificări de design.
34. Reforma asemănării cu apartamentul, stăpânirea lor. Un grup de transformări similare cu planul și subgrupurile її.
35. Suprafețe netede. Prima formă pătratică a suprafeței este zastosuvannya.
36. Proiectarea paralelă a acelei yoga a puterii. Imagini cu figuri plate și spațioase într-o proiecție paralelă.
37. Linii netede. Curbura curbei spațiale este aceeași.
38. Elips, hiperbola și parabola ca parabolă finită. Egalitatea canonică.
39. Puterea directorială a elipsei, hiperbolei și parabolei. Alinierea polară.
40. Sub influența unor puncte ale dreptei, puterea acelui calcul. Puncte de abur împărțite armonioase. Povniy chotirikutnik și yoga puterii. Un addendum la sarcinile rozvyazannya pe pobudova.
41. Teoremele lui Pascal și Brianchon. Poli și polari.
Mancare buna analiză matematică
Entuziasm...