Matrice inel și spațiu vectorial. Spațiu vectorial liniar: numire, autoritate. Spațiu de linie vectorială

Cursul 6. Spațiul vectorial.

Nutriție de bază.

1. Spațiu liniar vectorial.

2. Baza este extinderea spațiului.

3. Orientarea către spațiu.

4. Desfăşurarea unui vector în spatele unei baze.

5. Coordonatele vectoriale.

1. Spațiu liniar vectorial.

Anonimitatea, care este compusa din elemente de orice natura, in care sunt indicate operatii liniare: adaugarea a doua elemente, care inmultind un element cu un numar se numesc spatii deschise, și їх elemente - vectori spațiile і sunt atribuite ca і, yak і mărimi vectoriale în geometrie: . Vectori astfel de întinderi abstracte, de regulă, nu pot fi concepute cu cei mai mari vectori geometrici. Elementele spațiilor abstracte pot fi funcții, un sistem de numere, matrice etc., iar într-un caz okreme, vectori variabili. De aceea se obișnuiește să se numească vector spații deschise .

spațiu vectorial, de exemplu, număr nenumărat de vectori nonari care sunt indicați V1 , fără vectori coplanari V2 , vector impersonal mare (spațiu real) V3 .

Pentru această vipadka specială, este posibil să dai o piatră de temelie întinderii vectoriale.

Numirea 1. Se numește vector anonim spațiu vectorial, Ca o combinație liniară, indiferent dacă există vectori într-un multiplicator, acesta este, de asemenea, un vector al acelui multiplicator. Vectorii înșiși sunt numiți elemente spațiu vectorial.

Este mai importantă atât în ​​perspectiva teoretică, cât și în cea aplicată, cât și în înțelegerea mai abstractă (abstractă) a spațiului vectorial.

Numirea 2. Bezlich R elemente, în care pentru oricare două elemente este atribuită suma și pentru orice element se numește width="68". vector(sau liniar) spatiu deschis, ca elementele - vectori, cum ar fi operația de a adăuga vectori și de a înmulți un vector cu un număr pentru a satisface mințile care vin ( axiome) :

1) adăugarea este comutativă, deci gif lățime = „184” înălțime = „25”;

3) folosiți un astfel de element (vector zero), care pentru orice https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45". 99" height="27">;

5) pentru orice număr de vectori, un astfel de număr λ poate fi egal;

6) pentru orice vectori și orice numere λ і µ corectitudine https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" λ і µ corect ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" .

Din axiomele care semnifică spațiul vectorial, exclamați cel mai simplu dovezi :

1. Spațiul vectorial are mai mult de un zero - elementul este un vector zero.

2. Un spațiu vectorial are un singur vector.

3. Până la elementul pielii vykonuetsya ecuanimitate.

4. Pentru orice număr de zi λ i al vectorului zero.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> se numește un vector care satisface egalitatea https://pandia.ru/ text/ 80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Otzhe, fiyno și impersonal al tuturor vectorilor geometrici din spațiul liniar (vector), deci pentru elementele cărora multiplicatorul este atribuit adunării și înmulțirii cu număr, ceea ce satisface formularea axiomelor.

2. Baza este extinderea spațiului.

Іstotnimi concepte de spațiu vectorial є înțelegerea bazei și rozmіrnіst.

Programare. Colecția de vectori liniar independenți luați din ordinea cântării bază ce spatiu. Vector. Baza depozit pentru spatiu, numit bază .

Pe baza vectorilor impersonali, răspândiți pe linia dreaptă dolnіy, puteți utiliza un vector drept coliniar.

Bazat pe avion Să numim doi vectori necoliniari pe acest plan, luați în aceeași ordine.

Dacă vectorii de bază sunt perpendiculari perechi (ortogonali), atunci baza se numește ortogonală, iar dacă q vectori pot fi dubli, egali cu unu, atunci se numește baza ortonormal .

Cel mai mare număr vectorii liniar independenți sunt numiți în spațiu pace acel spațiu, adică expansiunea spațiului crește odată cu numărul de vectori de bază din acel spațiu.

Otzhe, evident lăudat dagi:

1. Spațiu de o lume V1 este o linie dreaptă, iar baza este formată din unul coliniar vector https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39".

3. Întindere mare cu întindere banală V3 , a cărui bază este formată din trei necoplanare vector_v.

Mi se pare că numărul de vectori de bază pe o linie dreaptă, pe un plan, în spațiul real variază cu cel, care în geometrie se numește de obicei numărul unei drepte, un plan, un spațiu. Este firesc ca acest lucru să ducă la pedepse mai flagrante.

Programare. Spațiu vectorial R numit n- pașnic, ca în lumea nouă nu mai n vectori liniar independenți și sunt atribuiți R n. Număr n numit pace spaţiu.

Vіdpovіdno până la rozmіrnostі spațiu deschis podіlyayutsya kіntsevіі nelimitat. Deschiderea întinderii zero dincolo de numiri este considerată egală cu zero.

Respect 1.În spațiul skin, puteți specifica câte baze sunt necesare, dar toate bazele acestui spațiu sunt adunate din același număr de vectori.

Nota 2. La n- la un spațiu vectorial pașnic, baza se numește dacă ordinea ordonată este sau nu n vectori liniar independenți.

3. Orientarea către spațiu.

Pentru pentru a orienta spațiul, este necesar să se stabilească o anumită bază și să o voce pozitiv .

Puteți arăta că bazele impersonale ale spațiului sunt împărțite în două clase, că sunt împărțite în doi submultipli, că nu se suprapun.

a) toate bazele care aparțin unui submultiplu (clasă) pot in orice caz orientare (același meniu);

b) oricare două baze care se află viaţă p_dmnozhin (cursuri), mayut protilezhnu orientare, ( diferit bază).

Dacă una dintre cele două clase de baze este pozitivă, iar cealaltă este negativă, atunci se pare că întinderea orientat .

Adesea, atunci când te orientezi spre spațiu, se numește o bază guvernează, și інші - livimi .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> nume regulă, Cu toate acestea, când al treilea vector este protejat, cea mai scurtă tură a primului vector este săgeată anti-an(Fig. 1.8, a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Orez. 1.8. Baza dreapta (a) baza din stânga (b)

Sună cu o bază pozitivă

Baza dreaptă (livy) a spațiului poate fi atribuită, iar pentru regula suplimentară a șurubului „dreapta” („stânga”) sau răsucite.

Prin analogie cu cim, este introdus conceptul de dreapta și stânga tripleti vectori necomunali, care se datorează ordonării (Fig. 1.8).

În acest fel, într-o tendință sălbatică, două triple ordonate ale vectorilor neplanificați pot avea aceeași orientare (aceeași) în spațiu V3 dacă duhoarea ofensării este dreaptă, sau dacă este ofensatoare, este stânga, iar orientarea opusă (diferită), dacă una dintre ele este dreapta, iar cealaltă este stânga.

Similar cu se potrivește și are spațiu V2 (Pătrate).

4. Desfăşurarea unui vector în spatele unei baze.

De dragul simplității, oglindirea poate fi văzută pe exemplul unui spațiu vectorial trivimir R3 .

Haide - dovіlny vector tsgo spațiu.

VECTOR SPACE (întindere liniară), una dintre înțelegerea fundamentală a algebrei, înțelegerea zagalnyuyuche a totalității vectorilor (liberi). În spațiul vectorial, vectorii sunt considerați dacă sunt obiecte, dacă pot fi adunați și înmulțiți cu numere; dacă este necesar, astfel încât puterile principale ale operațiilor algebrice să fie aceleași ca pentru vectorii din geometria elementară. La numărul exact desemnat, ele sunt înlocuite cu elemente din câmpul K. Spațiul vectorial de peste câmpul K se numește V impersonal cu operația de adunare a elementelor din V și operația de înmulțire a elementelor din V cu elemente din câmpul K. , ceea ce poate duce la creșterea puterii:

x + y \u003d y + x pentru dacă x, y z V, astfel încât V poate fi pliat într-un grup abelian;

λ(x + y) = λ χ + λy pentru orice λ z K і x, y z V;

(λ + μ)х = λх + μх pentru orice λ, μ z K і x z V;

(λ μ)х = λ(μх) pentru orice λ, μ z K i x z V;

1x \u003d x pentru orice x din V, aici 1 înseamnă unitatea câmpului K.

Capturi ale spațiului vectorial є: multiplicatori L 1 L 2 і L 3 ai tuturor vectorilor din geometria elementară, aparent pe linie dreaptă, planuri і în spațiu cu operațiile remarcabile de pliere a vectorilor și înmulțire cu un număr; spațiu vectorial de coordonate K n , ale cărui elemente є toate rândurile (vectorii) sunt n cu elemente din câmpul K, iar operațiile sunt date prin formule

impersonal F(M, K) a tuturor funcțiilor atribuite unui multiplicator fix M și iau valori în câmpul To, cu cele mai semnificative operații asupra funcțiilor:

Elementele spațiului vectorial e 1 ..., e n se numesc liniar independente, datorită egalității λ 1 e 1 + ... n = 0 Є K. În sens invers, elementele e 1 , e 2 , ·· ·> e n se numesc liniar pârghie. Dacă spațiul vectorial V are n + 1 elemente e 1 ,..., e n+1 liniar nedeterminat și n elemente liniar independente, atunci V se numește spațiu vectorial n lume, iar n este dimensiunea spațiului vectorial V La fel ca un spațiu vectorial V pentru orice n vectori naturali independenți liniar, atunci V se numește spațiu vectorial infinit. De exemplu, spațiul vectorial L 1 , L 2 , L 3 і K n în același mod 1-, 2-, 3- și n-mіrnі; dacă M este impersonal, atunci spațiul vectorial F(M, K) nu este limitat.

Spațiul vectorial V și U peste câmpul K se numesc izomorf, astfel încât φ : V -> U este unic reciproc, astfel încât φ(x+y) = φ(x) + φ(y) fie pentru x, y z V și φ (λx) = λ φ(x) pentru orice λ z K i x z V. Spațiile vectoriale izomorfe nu se pot distinge din punct de vedere algebric. Clasificarea spațiilor vectoriale finite până la izomorfism este dată de diversitatea lor: dacă există un spațiu vectorial n-dimensional peste câmpul Do este izomorf față de spațiul vectorial de coordonate Do n . Minunați-vă de aceeași întindere a lui Hilbert, Algebra liniară.

Fie R - câmp. Elementele a, b, ... н R vom numi scalari.

Numirea 1. clasă V se numesc obiecte (elemente) , , , ... de natură suficientă spațiu vectorial peste câmpul Р, iar elementele clasei V se numesc vectori chiar dacă V este închis, dar operația „+” este operația de înmulțire cu scalari din P (adică pentru orice , нV + н V; "aÎ R aÎV), și vykonuyutsya așa minte:

A 1: Algebră - grupul abelian;

A 2: pentru dacă a, bÎР, pentru dacă ÎV, a(b)=(ab)-relevantă drept asociativ;

A 3: pentru orice a, bÎP, pentru orice ÎV, vikonuetsya (a+b)= a+ b;

A 4: pentru orice a z P, pentru orice s V, câștigăm a(+)=a+a(legi distributive crescute);

A 5: dacă V este sau nu învingător 1 = , de 1 - unitatea câmpului P - puterea unitarității.

Elementele câmpului P se numesc scalari, iar elementele multiplicatorului V se numesc vectori.

Respect.Înmulțirea unui vector cu un scalar nu este o operație binară pe multiplicatorul V, dar scalarea este PV®V.

Să aruncăm o privire la spațiile vectoriale.

exemplu 1.Întinderea vectorială zero (lumea zero) - întinderea V 0 =() - care este compusă dintr-un vector zero.

Pentru orice aОР a=. Să reconsiderăm validitatea axiomelor spațiului vectorial.

Cu respect, spațiul zero-dimensional peste câmpul R. Astfel, spațiul zero-dimensional peste câmp numere rationale eu deasupra câmpului numerele zilei vvazhayutsya raznimi, care se adună dintr-un singur vector zero.

fundul 2. Câmpul P este el însuși un spațiu vectorial peste câmpul P. Fie V=P. Să reconsiderăm validitatea axiomelor spațiului vectorial. Deoarece P este un câmp, atunci P este un grup aditiv și A1 câștigă. Privind înapoi la zdіysnennostі în R asociativnostі mnozhennja vykonuєtsya A 2 . Axiomele A 3 și A 4 câștigă datorită faptului că R este distributiv și se înmulțește liber. Cioburi în câmpul R este un singur element 1, puterea unitarității A 5 . În această ordine, câmpul P este un spațiu vectorial peste câmpul P.

exemplu 3. Spațiu vectorial n-dimensional aritmetic.

Fie R - câmp. Considerabil impersonal V = P n = ((a 1, a 2, …, a n) ½ a i P, i = 1, ..., n). Să introducem pe multiplicatorul V operația de adunare a vectorilor și de înmulțire a unui vector cu un scalar după următoarele reguli:

„= (a 1 , a 2 , … , a n), = (b 1 , b 2 , … , b n) О V, „aО P += (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n + mld) (1)

a=(aa 1 , aa 2 , … , aa n) (2)

Elementele și multiplicatorii V se numesc vectori n-lumi. Doi vectori n lume se numesc egali, deoarece componentele lor bidimensionale (coordonatele) sunt egale. Se poate arăta că V este un spațiu vectorial peste câmpul P. Deoarece operația de pliere a unui vector în și înmulțire a unui vector cu un scalar este cunoscută, V este o alegere închisă a acestor operații. Deoarece adăugarea elementelor din V se reduce la adăugarea elementelor câmpului P, iar P este un grup abelian aditiv, atunci і V este un grup abelian aditiv. Mai mult, = , de 0 este zero al câmpului Р, -= (-a 1, -a 2, ..., -a n). În acest rang, A1 câștigă. Scalările înmulțirii elementului V cu elementul P se reduc la înmulțirea elementelor câmpului P, atunci:

A 2 câștigă datorită asociativității multiplicatorului pe P;

A 3 și A 4 sunt concatenate prin multiplicarea distributivă a modului de pliere pe P;

Și 5 câștigă, deoarece 1 P este un element neutru care poate fi înmulțit cu R.

Numirea 2. Impersonalul V = P n cu operații definite prin formulele (1) și (2) se numește spațiu vectorial aritmetic n-dimensional peste câmpul Р.

Să aruncăm o privire asupra succesiunii care este formată din elementele acțiunii câmp simplu GF(q) (a^, a......a p). O astfel de secvență se numește l-până

consistenta peste câmp GF)