Expansiunea algebrică a câmpului. Iertați extinderea udării. Extinderea depozitului de câmpuri de algebră

extensia câmpului algebric- — Subiect pentru protecția informațiilor Câmpul de extensie EN… Traducere tehnică Dovіdnik

Câmpul E, căruia îi este dat câmpul K ca subcâmp. Extensie tip Extensie extensie algebrică extensie, toate elementele unui astfel de є algebric peste K, adică un astfel de element al unui astfel de є este rădăcina unui termen bogat f (x) c ... Wikipedia

Extensie algebrică a câmpului EÉ K, care este normal și separabil. Pentru mințile tsikh, E va genera cel mai mare număr de automorfisme peste K (deoarece E este unic, atunci numărul de automorfisme este, de asemenea, un grad semnificativ și mai avansat de expansiune).

Nap_vugroup A nap_vgroup S, scho revenge Av yak p_demigroup. Sună despre extinderea numelor grupului A, legarea cu Atem cu alte minți. Cea mai avansată teorie a idealului R. nap_vgroup (nap_vgroup, ce să răzbune Av yak ......) Enciclopedie matematică

Egal cu mintea termenului bogat al etapei a n-a sub forma uneia sau mai multor schimbări. A. în. cu un sunet necunoscut. egal cu mintea: Nu există număr, sunet. coeficienții sunt egali și є danimi, hnaz. nevidomim și є... Enciclopedie matematică

Câmpuri k algebrice. extensia câmpului k, care este un câmp algebric închis. O astfel de extensie pentru orice câmp este atribuită în mod unic până la izomorfism. A. h. câmpuri numerele zileiє câmp numere complexe(Div. … … Enciclopedie matematică

Extensia algebrică normal extinsă a câmpului EÉ K pentru orice termen bogat ireductibil f(x) peste K, care poate avea o rădăcină E, poate fi extinsă în E în multiplicatori liniari. Numiți în mod echivalent: Yakscho KÌ EÌ K *, de K * ... ... Wikipedia

O extensie separabilă a unei extensii algebrice a unui câmp care este compus din elemente separabile, astfel încât astfel de elemente să fie α, este anulator minim f(x) peste K pentru care nu există rădăcini multiple. Pokhіdna f (x) poate buti pentru vishchevkazanim ... ... Wikipedia

Extinderea câmpului, astfel încât E, este grozavă, peste K yak spațiu vectorial. Expansiunea spațiului vectorial E peste K se numește grad de expansiune și este desemnată. Puterea ultimelor expansiuni În ...... Wikipedia

Câmpurile sunt o extensie algebrică a câmpului L K, care satisface una dintre mințile echivalente care avansează: 1) dacă câmpul L este încorporat în câmpul algebric. închiderea câmpului є printr-un automorfism al câmpului L; 2) L câmp de aranjare al unei familii date de polinoame s ... ... Enciclopedie matematică

Expansiunea algebrică a câmpurilor

Introducere.

Universitățile pedagogice au lansat un program pentru un curs unificat de algebră și teoria numerelor. Șeful meta-cursului este dezvoltarea sistemelor de bază ale algebrei și dezvoltarea culturii algebrice, care este necesară viitorului profesor pentru o înțelegere profundă a obiectivelor și a sarcinii cursului școlar principal de matematică, precum și cursuri opționale școlare.

În opinia noastră, cea mai semnificativă introducere în programa școlară sunt elementele algebrei abstracte contemporane.

Procesul de algebrizare a matematicii, care a luat naștere în secolul al XX-lea, nu este acceptat, ci mai degrabă forțat să încerce să înțeleagă bazele algebrei în educația matematică școlară.

Adâncimea matematică și densitatea sferei superb de largă a câmpurilor vor fi combinate cu simplitatea prevederilor de bază - pentru a înțelege câmpurile, pot fi formulate și scoase la lumină un număr întreg de teoreme importante, care apar adesea în universul teoriei multiplicității. Prin urmare, teoria câmpului este mai potrivită pentru a le arăta elevilor o perspectivă asupra matematicii moderne.

În plus, dezvoltarea elementelor în teoria domeniului este familiară pentru școlari, stimulând creșterea lor intelectuală, care se manifestă în dezvoltarea celor îmbogățiți diferite părți ale minții, calități și caracteristici, precum și dezvoltarea oamenilor de știință. , știință și matematică.

1. O simplă extensie a algebrei de câmp.

1.1.Extindeți pur și simplu câmpul.

Fie P[x] un inel de polinoame ca x peste câmpul P, unde P sunt subcâmpuri ale câmpului F. Să presupunem că elementul a din câmpul F se numește algebric peste câmpul P, deoarece a este rădăcina lui un astfel de polinom de pas pozitiv P[x].

Programare. Fie P< F и a0F. Простым расширением поля P с помощью элемента a называется наименьшее подполе поля F, содержащее множество Р и элемент a. Простое расширение P с помощью a обозначается через P (a), основное множество поля P (a) обозначается через Р(a).

Fie a0F, P [x] - inel de polinoame în x i

P[x]=(f(a)*f0P[x]),

deci P [a] este impersonal al tuturor sub forma a 0 + a 1 a + ... + a n a n de a 0 , a 1, ... a n 0P i n - fie un număr natural.

Este ușor de observat că algebra +P[a], +, -, ., 1, este subcâmpul câmpului P(a) - subcâmpul; întregul inel este notat cu simbolul P[a].

Teorema 1.1. Fie P [x] - un inel de polinoame în x peste P și P (a) - o extensie simplă a câmpului P. Fie y - extinde P [x] pe P [a] astfel încât y (f) = f ( a) pentru fi --lea f іz P[x]. Todi:

(a) pentru orice a z P y (a) = a;

(c) y este un homomorfism al inelului P[x] pe inelul P[a];

(d) Ker y = (f0P[x] * f(a) = 0);

(e) factor-cerc P[x]/Ker y izomorf cu inelul P[a].

Aducând. Afirmația (a) și (b) scârțâie fără intermediar de la numirea lui y. Introducerea y salvează operațiile principale ale inelului P[x], deci pentru orice f і g з P[x]

y(f + g)=f(a)+g(a), y(fg)= f(a)g(a), y(1)=1.

Fermetatea (d) izvorăște fără urmă de la y.

Dacă inelul y este un homomorfism al inelului P[x] pe P[a], atunci inelul factor P[x]/Ker y este izomorf cu inelul P[a].

Ultimul 1.2. Fie a un element transcendental peste câmpul P. Dacă inelul polinomial P[x] este izomorf cu inelul P[a].

Aducând. Privind înapoi la transcendența a peste P Kery=(0). La acel P[x]/(0) - P[a]. În plus, factorul inel P[x] din spatele idealului zero este izomorf cu P[x]. De asemenea, P[x] - P[a].

1.2.Polinom minim al unui element algebric.

Fie P [x] un inel de polinoame peste câmpul P.

Programare. Fie a un element algebric peste câmpul P. Polinomul minim al unui element a peste P este polinomul de evaluare al lui P [x] de cel mai mic grad, a cărui rădăcină este є a. Pasul polinomului minim se numește pasul elementului a peste P.

Este ușor să ne dăm seama că pentru orice element a, care este algebric peste P, există un polinom minim.

Propunerea 1.3. Dacă a este un element al algebrei peste un câmp P, iar g și j sunt al-lea polinom minim peste P, atunci g = j.

Aducând. Pașii polinoamelor minime g și j sunt omise. Dacă g ¹ j, atunci elementul a (pasul n peste P) va fi rădăcina polinomului g - j, al cărui pas este mai mic decât pasul polinomului j (mai mic decât n), ceea ce este imposibil. Mai târziu, g = j.

Teorema 1.4. Fie a un element de algebră de grad n peste câmpul P (aóP) și g este al-lea polinom minim peste P. Atunci:

(a) polinomul g nu este indus în cercul P [x];

(b) deci f (a) = 0, unde f 0 P[x], g împarte f;

(c) factorul-cerc P[x]/(g) izomorf cu cercul P[a];

(d) P [x]/(g) este un câmp;

(e) inelul P [a] se potrivește cu câmpul P (a).

Aducând. Să presupunem că polinoamul g este indus în cercul P [x], atunci în P [x] astfel de polinoame j și h pot fi stabilite că

g = jh, 1£deg j, deg h

Atunci g(a) = j(a)h(a) = 0. Deoarece P(a) este un câmp, atunci j(a) = Pro sau h(a) = 0, ceea ce este imposibil, cioburi, în spatele minții , pașii elementul a peste P este mai mult p.

Să presupunem că f 0 P[x] și f(a) = 0. Pentru minte, g(a) = 0. Atunci f și g nu pot fi iertate reciproc. Dacă polinomul g este ireductibil, atunci g împarte f.

Fie j un homomorfism al inelului P[x] pe inelul P[a] (y(f)=f(a) pentru orice f ⊂ P[x]), având în vedere Teorema 2.1. 3(b) nucleul homomorfismului y este compus din multipli ai polinomului g, deci. Ker y = (g). De asemenea, factorul inel P = P[x]/(g) este izomorf cu inelul P[a].

Oskilki P[a]ÌP(a), atunci P[a] este zona de valabilitate. Deoarece P @ P [a], atunci câtul P este și domeniul integrității. Trebuie să arătăm că orice element diferit de zero f din P poate fi redus la P. Fie f un element al clasei sumei f. Oskіlki f ¹ 0, apoi f(a)¹0; Prin urmare, polinomul g nu poate fi împărțit la polinomul f. Polinomul Oskіlki g este ireductibil, stelele sunt clare, dar polinoamele f și g sunt reciproc simple. De asemenea, Р[x] stabilește astfel de polinoame u și v care uf + vg=1. Valoarea uf = 1 arată că elementul f este bestial în inelul P.

З (с) і (d) P [a] є câmp și volum P(a)ÌP[a]. Pe de altă parte, evident, P[a]ÌP(a). De asemenea, P[a] = P(a). De asemenea, inelul P[a] se potrivește cu câmpul P(a).

1.3. Extensia simplă a lui Budov a algebrei de câmp.

Teorema 1.5. Fie a un element algebric de clasa pozitivă n peste câmpul P. Orice element al câmpului P(a) poate fi reprezentat în mod unic printr-o combinație liniară de n elemente 1, a, ..., a n-1 cu coeficienții Р.

Aducând. Fie elementul b-be-yakie al câmpului P (a). Prin teorema 1.4, P(a) = P[a]; de asemenea, în P[x] polinomul f este astfel încât

Fie g polinomul minim pentru a peste P; în virtutea teoremei, primul pas este mai avansat.

(2) f = gh + r, de r = 0 sau der r< der g = n , т. е. r=c 0 +c 1 x +…c n -1 x n -1 (c i 0P). Полагая в (2) x = а и учитывая равенство (1), имеем

(3) b = c 0 + c 1 a + ... c n -1 a n-1

Se arată că elementul este reprezentabil în mod unic într-o combinație liniară de elemente 1, a, ..., a n-1. Haide

(4) b = d 0 +d 1 a + ... d n -1 a n-1 (d i 0 P)

Be-yaké o astfel de manifestare. Să ne uităm la polinomul j

j \u003d (s 0 - d 0) + (c 1 - d i .)x + . . . + (З n-1 -d n -1)x n -1

Vipadok, dacă pasul j este mai mic decât n, imposibil, se opărește din cauza (3) і (4) j(a) = 0 і pasul j este cel mai mic tip de pas g. Este mai puțin posibil să se schimbe, dacă j \u003d 0, atunci s 0 \u003d d 0. . . , Z n-1 = d p-1. De asemenea, elementul b poate fi reprezentat în mod unic ca o combinație liniară de elemente 1, a,...,a n-1 .

1.4 Variația sub formă de iraționalitate algebrică în bannerul unei fracții.

O sarcină despre zvіlnennya sub forma iraționalității algebrei în bannerul unei fracții în pas. Fie a un element de algebră de grad n>1 peste câmpul P; f і h - polinoame din cercul polinoamelor P[x] și h(a) ¹0. Este necesar să se furnizeze elementul f(a)/h(a)0P(a) în cazul unei combinații liniare de trepte a elementului a, apoi în cazul lui j(a),

Tse vdannya virishuєtsya așa. Fie g polinomul minim pentru a peste P. Oskilki, conform teoremei 1.4, polinomul nu este indus peste P і h(a) ¹ 0, atunci g nu împarte h і, de asemenea, polinoamele h і g sunt reciproc simplu. Prin urmare, P[x] are astfel de polinoame u și v care

Oskіlki g(a) = 0, іz (1)

u(a)g(a) = 1, 1/h(a) = u(a).

De asemenea, f(a)/h(a) = f(a)u(a), în plus, f,u 0P[x] și f(a)u(a)0P[a]. Otzhe, noi zvіlnilis vіd іrrationalnosti f(a)/h(a) .

Sună ca iraționalitate la bannerman

Termenii bogați p(x) și g(x)=-x 2 +x+1 sunt reciproc simpli. Prin urmare, există termeni atât de bogați j și y încât

Pentru vіdshukannya j і y zastosuemo algoritm euclidian la polinoame p і g:

X 3 -2 -x 2 +x+1 -x 2 +x+1 2x-1

x 3 -x 2 -x -x-1 -x 2 +1/2x -1/2x+1/4

x 2 -x-1 1/2x-1/4

Într-o asemenea manieră,

p=g(-x-1)+(2x-1),

g=(2x-1)(-1/2x+1/4)+5/4.

Zvіdki știu

(2x-1)=p+g(x+1),

5/4=g-(p+g(x+1))(-1/2x+1/4)

p1/5(2x-1)+g(4/5+1/5(2x 2 +x-1))=1,

p1/5(2x-1)+g(2/5x2+1/5x+3/5)=1.

Într-o asemenea manieră,

y(x)= (2/5x 2 +1/5x+3/5).

Otzhe

.

2. Extensie pliabilă a algebrei de câmp.

2.1. Kіntseve extinderea domeniului.

Fie P subcâmpurile câmpului F. Atunci putem privi F ca un spațiu vectorial peste P, deci putem privi spațiul vectorial +F, +, (w l ½l 0P),

de w l - operatia de inmultire a elementelor lui F cu scalarul l0P.

Programare. Expansiunea câmpului F se numește terminală, ca și F, ca spațiu vectorial peste P, este posibil să se termine expansiunea. Tsya rozmirnіst a însemnat prin.

Propunerea 2.1. Dacă a este un element algebric de grad n peste P, atunci = n.

Această propoziție apare în mod flagrant prin Teorema 1.5.

Programare. O extensie F a unui câmp P se numește algebrică, deoarece un element de piele al lui F este algebric peste P.

Teorema 2.2. Dacă o extensie finită a câmpului F este algebrică peste P.

Aducând. Fie F n-neted peste P. Teorema este evident adevărată, deoarece n = 0. Să presupunem că n>0. Dacă n+1 elemente ale lui F sunt liniar în pârghie peste P. Sokrema, un sistem liniar cu elemente 1, a, ..., a n , atunci P astfel de elemente de 0 , 1, ..., c n nu sunt toate egale cu zero , s 0 ×1+ 1 a +…+c n a n = 0.

Elementul a este, de asemenea, algebric peste P.

Este semnificativ faptul că există extensii ale algebrei de câmp care nu sunt extensii terminale.

2.2. Extinderea depozitului din domeniul algebrei.

Extensia F a câmpului P se numește restrânsă, așa cum este

subcâmpul lancet în creștere L i al câmpului F astfel încât

P = L 0 - L 1 - ... L k = F і k>1.

Teorema 2.3. Fie F - extinderea finală a câmpului L і L - extensia finală a câmpului P. Apoi F - extensia finală a câmpului P i

=@[L:P].

Aducând. Haide

(1) a 1 ,…,a m - baza câmpului L peste P (ca un spațiu vectorial) și

(2) b 1 ..., b n - baza câmpului F peste L . Orice element d din F poate fi exprimat liniar prin baza:

(3) d = l 1 b 1 +...+l n b n (l k 0L).

Coeficientul 1 k poate fi exprimat liniar prin baza (1):

(4) l k = p 1k a + ... + p mk a m ​​​​(p ik 0P).

Înlocuind scorul pentru coeficienții l k (3), este acceptabil

d = p a a b k .

În acest fel, elementul de piele al câmpului F poate fi reprezentat ca o combinație liniară de elemente ale multiplicatorului B, de

B = (a i b k ½ (1, ..., m), k 0 (l, ..., n)).

Este semnificativ faptul că multiplicatorul B adună la nm elemente.

Arătăm că F este o bază peste P. Trebuie să arătăm că sistemul de elemente al multiplicatorului B este liniar independent. Haide

(5) åc ik a i b k = 0,

de c ik 0 P. Deoarece sistemul (2) este liniar independent de L , atunci (5) urmează egalitatea

(6) s 1 k a 1 +...+s mk a m ​​​​= 0 (k = 1,..., n).

Deoarece elementele a 1 , ..., a m sunt liniar independente de P, atunci (6) urmează egalitatea

c 1 k = 0, ..., c mk = 0 (k = 1, ..., n),

pentru a arăta că coeficienții din (5) sunt egali cu zero. Astfel, sistemul de elemente B este liniar independent și stă la baza lui F peste P.

Otzhe, inserat, scho = nm = ×. De asemenea F є ultimele extensii ale câmpului P і maє formula misce (I).

Programare. Extensia F a câmpului P se numește algebrică pliabilă, deoarece este lancea în creștere a subcâmpurilor din câmpul P

P \u003d L 0 - L 1 - ... L k \u003d F і k> 1 (1)

astfel încât pentru i = 1,..., k câmpuri L i є să extindem doar algebra câmpului L i-1 . Numărul k se numește dozhina lance (1).

Ultimul 2.4. Extensiile de depozit ale algebrei F a câmpului P sunt extensii terminale ale câmpului P.

Demonstrarea poate fi realizată cu ușurință prin inducție în spatele lancei (1) pe fundamentarea teoremei 2.3.

Teorema 2.5. Fie a 1 ,..., ak algebric peste câmpul P de elemente din câmpul F . Același câmp P(a 1 ,..., ak) este ultima extensie a câmpului P.

L 0 = P, L 1 = P, L 2 = P, ..., L k = P.

Atunci L 1 = P este o extensie simplă a algebrei câmpului L 0 ; L 2 este o extensie simplă a algebrei câmpului L 1, deoarece

L 2 = P = (P) = L 1 = L 1 (a 2) etc.

Într-o asemenea manieră,

P = L 0 - L 1 - ... - L k = F

de L i = L i -1 (a i) pentru i = 1, ..., k, atunci termenul de piele al Lanziuk (2) este o simplă extensie a algebrei termenului înainte al Lanziuk. Mai târziu, câmpul F este o extensie pliabilă a algebrei câmpului P. Din nou, după Corolarul 2.4, câmpul F este o extensie terminală a câmpului P .

Ultimul 2.6. Extinderea de depozit a câmpului algebra є extinderea câmpului algebric.

2.3. Simplitatea extinderii depozitului a algebrei de câmp.

Teorema 2.7. Fie câmpul numeric F o extensie pliabilă a algebrei câmpului P . Atunci F є vom simplifica extensiile algebrei câmpului P.

Aducând. Fie P - L - F, în plus, L = P (a), F = L (b) i, de asemenea, F = P (a, b).

Fie f și g polinoame minime peste P, ceea ce este valabil pentru numerele a și b și deg f = m, deg g = n. Polinoamele f і g nu pot fi suprapuse peste P і, prin urmare, nu poate fi în câmpul E al numerelor complexe de rădăcini multiple. Haide

a = a 1 ,..., a m - rădăcinile polinomului f C i

b = b 1 ,..., b n - rădăcina polinomului g C.

Să ne uităm la kitsev bezlіch M:

M = ((a i-a)/(b-b k)½i0(1,…,m), k0(2,…,n)).

Oskіlki P este un multiplicator numeric (i, prin urmare, nu limitat), atunci P este numărul c, vidminne în elementele multiplicatorului M, c0P (M, cóM. Nehai

Todi vykonuyutsya spіvvіdnoshennia

(2) g 1 a i + cb k = (i0 (1, ..., m), k0 (2, ..., n)).

Adevărat, în vremuri de egalitate a + cb = a i + cb k bulo b

h \u003d (a i -a) / (b-b k) 0 M

scho superchilo a folosit alegerea numărului c.

Fie F 1 = P(g) și F 1 - un inel de polinoame în x. Fie h = f(g - cx) un polinom din F 1 [x] (g, c0P(g) = F 1). Se poate arăta că x-b este cea mai mare consoană a polinoamelor h și g din inelul F 1 [x]. Scale g(b) = 0, apoi x-b împarte g E[x]. Daly, din cauza (1)

h(b) = f(g-cb) = f(a) = 0.

La acel x-b se împarte polinomul h E[x]. În această ordine, x-b este o traversă h și g în inelul E[x].

Se raportează că g і h С nu există rădăcini, vіdmіnkh vіd b. Să spunem doar că b k , k0(2 ,..., n) este rădăcina sa sălbatică. Atunci h(b k) = f(g - сb k) = 0. Atunci, există un astfel de indice i0(1 ,..., m) ). Prin urmare, este posibil ca x-b să fie cel mai mare dormitor al lui g și h în E[x]. Oskіlki x - b - polinomul de normalizare, atunci steaua este clară, scho x - b є cel mai mare dilnik fierbinte g și h y kіltsi F 1 [x]. Tom

(x-b) 0 F 1 [x] și b 0 F 1 = P(g).

Mai mult, a = g - cb 0 F 1 . Într-o asemenea manieră,

F = P(a, b) Ì F 1 , F 1 ÌF.

2.4. Camp numere algebrice.

Clasa de subcâmpuri ale câmpului numerelor complexe este una dintre cele mai importante - domeniul numerelor algebrice.

Programare. Un număr algebric se numește număr complex, care este rădăcina unui polinom de grad pozitiv cu coeficienți raționali.

Este semnificativ ca numărul unei algebre, fie că este un număr complex, să fie algebric peste câmpul Q. Sokrema, fie că este un număr rațional, să fie algebric.

Teorema 2.8. Impersonalul A al tuturor numerelor algebrice este închis în inelul E = +C, +, -, 1, al numerelor complexe. Algebra A = +А, +, -, , 1 este un câmp, un subcâmp al câmpului E.

Aducând. Fie a și b elemente ale lui A. Pentru ultima 2.6, câmpul Q(a, b) este algebric peste Q. Prin urmare, numerele a + b, -a, ab, 1 sunt algebrice, astfel încât multiplii lui A se află . ., impersonalul A este închis în funcție de operațiile principale ale ciclului E. Prin urmare, algebra A este un subciclu al ciclului E - este un ciclu.

În plus, deoarece a este un element diferit de zero în A, a -1 0 Q (a, b) și că a -1 se află în A. Din nou, algebra A este un câmp, subcâmpuri ale câmpului E.

Programare. Câmpul A = +A, +, -, , 1 se numește câmpul numerelor algebrice.

Să se arate că numărul a = algebric.

Soluţie. Z a \u003d țipând a-.

Zvedom insultând părți ale echivalenței rămase în al treilea pas:

a 3 -3a 2 9a-3=2

a 3 +9a-2 = 3 (a 2 +1).

Acum părțile jignitoare ale geloziei sunt aduse la un alt nivel:

a 6 +18a 4 +81a 2 -4a 3 -36a+4=27a 4 +54a 2 +27

a 6 -9a 4 -4a 3 +27a 2 -36a-23 = 0.

În acest rang a є rădăcina unui termen bogat

f(x)= a 6 -9a 4 -4a 3 +27a 2 -36a-23=0

din coeficienți raționali. Ce înseamnă că a este un număr algebric.

2.5. Închiderea algebrică a câmpului numerelor de algebră.

Teorema 2.9. Câmpul numeric al unei algebre este închis algebric.

Aducând. Fie A [x] un inel de polinoame în x peste câmpul A al numerelor algebrice. Haide

f = a 0 + a 1 x+... + a n x n (a 0 ..., a n 0 A)

Fie un polinom al pasului pozitiv A[x]. Trebuie să demonstrăm că f poate fi înrădăcinat în A. Dacă f0C[x] și câmpul E este închis algebric, atunci f poate fi înrădăcinat în E astfel încât să aibă un număr atât de complex s, încât f (c) = 0. Fie L = Q (a 0 , ..., și n) și L(c) este o simplă extensie a algebrei câmpului L dincolo de ajutorul lui c. Atunci Q - L - L (c) este o extensie terminală a algebrei câmpului L. Prin teorema 2.2, L este o extensie terminală a câmpului Q. În virtutea teoremei 2.3, L (c) este o extensie terminală a câmpul Q. câmpul L (c) este o extensie a algebrei câmpului Q i, deci, c0A. Astfel, dacă există vreun polinom în A[x] al pasului pozitiv A poate avea rădăcină, atunci câmpul A este închis algebric.

3. Extensii separabile și inseparabile.

Hai D - teren.

Cu siguranță, cum poate un polinom D[x] nedescompunebil să fie o mamă a mai multor rădăcini?

Pentru ca f(x) să fie rădăcini multiple, termenii bogați f(x) și fN(x) se datorează multiplicatorului constant dublu comun al mamei, care poate fi calculat deja în D[x]. Chiar dacă polinomul f(x) este indecompunebil, atunci cu orice termen bogat de gradul inferior f(x) nu poate fi mama multiplicatorilor globali de neînțeles, de asemenea, poate exista egalitate f "(x) = 0.

f(x) =3a n x n fN(x) =3na n x n -1

Deci fN(x) = O, coeficientul pielii este vinovat de zero:

n = 0 (n = l, 2, ..., n).

Ceea ce este important este zeroul caracteristic al stelei, că a n \u003d 0 toate n ¹ 0. De asemenea, un polinom inconsecvent poate fi mama mai multor rădăcini. În momentul caracteristicilor p_evenness na n \u003d 0, este posibil să aveți n ¹ 0, dar poate fi, de asemenea, egal

f(x) = a 0 + a p x p + a 2p x 2p +...

Înapoi: dacă f(x) poate arăta astfel, atunci fN(x)=0.

Cu acest vipadka putem scrie:

Tim însuși a adus afirmația: În cazul caracteristicii zero, termenul bogat f (x) nu este divizibil în D [x], nu poate fi decât o rădăcină simplă, în cazul caracteristicii p, polinomul f ( x) (care este, de asemenea, aceeași cu constanta) poate fi un multiplu al rădăcinii, dacă este posibil să o arătăm ca polinom j vіd x p.

Uneori, este posibil ca j(x) să fie un polinom în felul său x p . Atunci f(x) este un polinom ca x p 2 . Fie f(x) - termen bogat ca xpe

ale є polinom vіd x pe +1 . De înțeles, polinomul y(y) este indecompunebil. Dali, y¢(y) ¹ 0, deoarece altfel y(y) ar arăta ca c(y p) i, atunci f(x) ar arăta ca c(x pe + 1), ceea ce ar înlocui omisiunea. Otzhe, y (y) poate fi doar o rădăcină simplă.

Să extindem polinomul y pentru a extinde câmpul principal pe factori liniari: m

y(y) = J(y-b i).

f(x) = J(x pe -b i)

Fie a i rădăcina polinomului x pe - bi. Atunci x i pe \u003d b i,

x pe - bi = x pe - a i pe = (x-a i) pe .

De asemenea, a i є r e -rădăcină multiplă a polinomului x pe - b i

f(x) = J(x -a i) p e.

Mustața rădăcinii polinomului f(x) poate avea, în acest fel, aceeași multiplicitate a lui p e.

Pasul m al polinomului y se numește pasul de reducere a polinomului f(x) (sau rădăcina a i); numărul e se numește exponentul polinomului f (x) (sau rădăcina a i) peste câmpul D.

de m număr mai scump de rădăcini diferite ale polinomului f(x).

Dacă q este rădăcina unui polinom care nu este descompunebil în inelul D[x], care poate fi doar rădăcini simple, atunci q se numește element separabil peste D sau element de primul fel peste D 1). Prin aceasta, un termen bogat inextricabil, ale cărui toate rădăcinile sunt separabile, se numesc separabil. În caz contrar, elementul algebric q și termenul bogat indecomposabil f(x) se numesc inseparabile sau un element (ca un termen bogat) de alt fel. Acum, o extensie a algebrei S, ale cărei toate elementele sunt separabile peste D, sunt numite separabile peste D, iar orice altă extensie a algebrei se numește inseparabilă.

În vremurile de zero caracteristic, se spune că pielea nu este un termen bogat de necompunet (și, prin urmare, extensia pielii a algebrei) este separabilă. Am dori să știm că cele mai importante și mai importante extensii de câmpuri sunt separabile și că cunoaștem calitatea clasei de câmpuri, astfel încât extensiile inseparabile (așa-numitele „câmpul terminat”) nu sunt posibile. Z tsієї cauza toate pov'yazane în special cu extensii inseparabile tastate într-un font diferit.

Să ne uităm acum la extensia algebrei S = D (q). Dacă treptele n sunt egale f(x) = 0, ceea ce înseamnă o treaptă mai mare, mai avansată (S: D), reducerea treptelor m este egală cu numărul de izomorfisme ale câmpului S în sens avansat: avem pot privi doar aceste izomorfisme [email protected]", pentru orice elemente ale subcâmpului D sunt umplute cu i non-violent, atunci, S este transferat în câmpul echivalent S" (izomorfismul câmpului S peste câmpul D) și pentru orice imagine de câmp S "să se așeze împreună cu câmpul S în mijlocul câmpului W. tsikh umovah maє mistse teorema:

Cu o alegere adecvată a câmpului W, extensia S=D(q) poate avea exact m izomorfisme peste D, iar pentru orice alegere a câmpului W, câmpul S nu poate avea mai mult de m astfel de izomorfisme.

Aducând. Izomorfismul pielii peste D este responsabil pentru traducerea elementului q în asocierile sale cu elementul q" din W. Alegeți W astfel încât f(x) să se extindă peste W în multiplicatori liniari; atunci se pare că elementul q poate avea exact m apariții elementele q,q Dacă da, ca bi, câmpul W nu a fost ales, elementul q nu este matima în mai mult de m cazuri. Este respectabil acum că izomorfismul pielii D(q)@D(q") peste D este complet dependent de identitatea dată a lui q® q". Evident, dacă q trece la q „și toate elementele din D sunt lăsate pe loc, atunci elementul

3a k q k (iac 0D)

vinovat merge la

iar cym reprezintă izomorfism.

Sokrema, deoarece q este un element separabil, atunci m = n і, prin urmare, numărul de izomorfisme pe câmpul principal este extins mai uniform.

Dacă da, dacă câmpul este fix, care poate acoperi toate câmpurile care sunt analizate, în care pot fi localizate toate rădăcinile egalizării pielii f (x) = 0 (ca, de exemplu, în domeniul numerelor complexe) , apoi în capacitatea de W puteți lua câmpul i odată pentru totdeauna. La aceasta, adăugați adăugarea lui „în mijlocul deaky W” în toate afirmațiile despre izomorfism. Așa că începeți să reparați câmpuri numerice teoretic. Dorim să vă reamintim că pentru câmpurile abstracte puteți utiliza și câmpul W.

Teorema citată este următoarea afirmație:

Cum se extinde S pentru a ieși din D la sosiri ulterioare m

elemente algebrice a 1 , ..., a m , în plus, piele în spatele a i , є rădăcină

neexpandabil peste D(a 1 , ..., a i-1) este egal cu treapta redusă n" i , atunci

expansiunea lui S poate fi exact ?n i ¢ izomorfisme peste D i în același mod

fara extensii număr mai mare astfel de izomorfisme ale câmpului S.

Aducând. Pentru m = 1, teorema a fost dezvoltată în continuare. Presupunem її valabil pentru extensia S 1 = D(a 1 , ..., a m-1):

W 1 є exact n i ¢ izomorfisme ale câmpului S peste D.

Fie S 1 ®S 1 unul din izomorfismele Õ n i ¢. Se susține că în ordinea inversă a câmpului inversat W vinul poate fi continuat până la izomorfismul S = S 1 (am) @ S = S (am) nu mai mult de n_zh n m moduri.

Elementul a m satisface ecuația f 1 (x) = 0 peste S 1 cu n¢ m rădăcini diferite. După izomorfismul suplimentar S 1 ® S 1, termenul bogat f 1 (x) poate fi tradus într-un alt termen bogat f 1 (x). Ale todі f 1 (x) într-un mod larg extins, dar n m rădăcini diferite și nu mai mult. Fie un m - una dintre aceste rădăcini. Privind alegerea elementului a m, izomorfismul S 1 @S 1 este de trei la izomorfismul S (a m) @ S (am) pentru a m ®a m într-un singur mod: efectiv, continuarea este dată de formula

åc k a m ​​​​k ®å c k a m ​​​​k

Eșantioane ale alegerii elementului a m pot fi definite în n „m moduri, folosind n” m continuare de un astfel de fel pentru izomorfismul invers å 1 ®å 1

Oskіlki au propria lor linie, iar acest izomorfism poate fi convertit

n" i moduri,

atunci totul este adevărat (acel câmp W, în care se află toate rădăcinile tuturor egalilor, care sunt privite))

Õ n" i ×n" m = Õ n" i

izomorfisme ale extinderii lui S peste câmpul D, care era necesar să se aducă.

Dacă n i este un pas real (neredus) al elementului a i peste D (a 1 ,...,a i-1), atunci n i mai mulți pași ai extensiei D (a 1 , ... , a i) a câmpului D(a 1 ,..., a i-1);

otzhe, pași (S: D) mai mult

Cum se potrivește numărul cu numărul de izomorfisme

Numărul de izomorfisme ale extensiei S = D(a 1 , ... , a m) peste D (pentru orice extensie dată W) este un pas suplimentar (S: D) chiar dacă numai dacă elementul de piele a i este separabil peste câmpul D(a 1 , ... , a i-1). Dacă doriți ca un element a i să fie inseparabil într-un câmp separat, atunci numărul de izomorfisme este mai mic decât gradul de expansiune.

Din punctul de vedere al teoremei, vor apărea imediat câteva observații importante. Pentru noi, teorema afirmă că puterea elementului piele a i este separabilă peste câmpul frontal, iar puterea extensiei S în sine este independentă de alegerea elementelor care generează a i . Deoarece un element suplimentar al câmpului poate fi luat ca prima generație, elementul b pare a fi separabil, deoarece toate a i sunt așa. Tată:

Elementele a i , ... ,a n i se adaugă secvenţial câmpului D, elementul skin a i apare separabil peste câmp, eliminăm elementele frontale alăturate a 1, a 2 ,...,a expansiune i-1

S = D(a 1 , ... ,a n)

separabil peste D.

Zokrema, suma, retail, tvir că elementele separate privat sunt separabile.

Mai mult, deoarece b este separabil peste S, iar câmpul S este separabil peste D, atunci elementul b este separabil peste D. Acest lucru se explică prin faptul că b satisface numărul final de coeficienți a 1 , ... , a m з S i, din nou, este separabil peste D (a 1, ..., a m). Tim însuși extensie separabilă

D (a 1, ..., a m, b).

Nareshti, poate fi dat același loc: numărul de izomorfisme ale unei extensii terminale separabile S peste un câmp D la un grad mai mare de extensie (S: D).

4. Extindere nelimitată a irigațiilor.

Câmpul pielii iese din sub-câmpul său simplu pentru ajutorul chi-ului final al expansiunii inepuizabile. În această diviziune se văd nenumărate extinderi de câmpuri, în primul rând algebrice, apoi transcendentale.

4.1. Câmpuri închise algebric

Printre extinderea algebrei unui domeniu dat, un rol important îl joacă, în special, extinderea maximă a algebrei, pentru a nu permite o extindere ulterioară a algebrei. Motivul unor astfel de prelungiri va fi adus la acest paragraf.

Pentru ca câmpul W să fie extensia maximă a algebrei, este necesar să avansăm mintea: polinomul de piele al cercului W[x] poate fi descompus în multiplicatori liniari. Mintea Tsya este suficientă. Într-adevăr, deoarece un polinom de piele din W[x] este descompus în multiplicatori liniari, atunci toate polinoamele simple din W[x] sunt liniare și elementele de piele ale oricărei extensii a algebrei W” a câmpului W par a fi rădăcina oricărei termenul bogat liniar x - a în W[x] , adică funcționează cu elementul real a al câmpului W.

Pentru acel damo îi este aceeași soartă:

Câmpul W se numește o închidere a algebrei, deoarece orice polinom din W [x] poate fi descompus în factori liniari.

La fel de important este și următorul: câmpul W este închis algebric, astfel încât polinomul din W[x] poate fi un polinom distinct în W[x] cu o singură rădăcină, adică cu un singur multiplicator liniar în W[x] .

Într-adevăr, ca un astfel de vikonan inteligent și destul de multe încasări, polinomul f (x) este descompus în factori care nu sunt descompuse, atunci toată duhoarea este de vină, dar liniară.

„Teorema de bază a algebrei” afirmă că câmpul numerelor complexe este închis algebric. O captură care se apropie de un câmp algebric închis poate fi câmpul tuturor numerelor algebrice complexe, astfel încât numerele complexe impersonale, ca să se mulțumească cu orice fel de egalitate cu coeficienți raționali. Rădăcina complexă este egală cu coeficienții algebrei є și într-adevăr algebrică nu numai asupra câmpului numerelor algebrice, ci și asupra câmpului numere rationale, adică ei înșiși sunt numere algebrice.

Aici vom arăta cum să inducem o extensie algebrică închisă a unui câmp suficient dat P și într-un mod pur algebric. Steinitz să se întindă așa

Teorema principală. Pentru câmpul de piele P, o extensie algebrică închisă a algebrei W. Exact până la echivalență, extensia este definită în mod unic: dacă există două extensii algebrice algebrice închise W, W” ale câmpului P sunt echivalente.

Demonstrarea acestor teoreme se datorează surplusului lemului:

Lema 1. Fie W, o extensie a algebrei de câmp P. Minte suficientă pentru ca W să fie o închidere a algebrei, є extinderea în factori liniari ai oricărui polinom din P[x] din inelul W[x].

Aducând. Fie f(x) un polinom suplimentar din W[x]. Dacă vin nu este descompus în multiplicatori liniari, atunci se poate lua o rădăcină a i pentru a ajunge la supercâmpul superior W. Elementul a este algebric peste W, iar W este o extensie a algebrei câmpului P; rădăcina câmpului P; următorul polinom g(x) în P[x]

Lema 2. Dacă câmpul P este ordonat holistic, atunci inelul de polinoame P[x] poate fi ordonat holistic și în măsura în care acest câmp ordonat P va fi triplu.

Aducând. Schimbați în mod semnificativ ordinea dintre polinoamele f(x) din P[x] după cum urmează: fie f(x)

1) pasul f(x) este un tip mai mic de pas g(x);

2) pasul f(x) mai mult pasul g(x) și mai mult n, atunci.

f(x) = a 0 x n + ...+ a n , g (x) = b 0 x n + ... + b n

i pentru următorul indice k:

și i = b i pentru i

un k

Dacă da, pentru polinomul 0 se dă vina: i se atribuie un pas 0. Este evident că o astfel de modalitate de a ieși în ordine este, pentru sensul căruia P [x] este complet ordonat. Se va arăta astfel: în pielea plural nevid al segmentelor bogate, există un submultiplu nevid al segmentelor bogate de cel mai mic grad; nu hai un număr atât de bun.În fiecare submultiplu, există un submultiplu nevid de termeni bogati, coeficientul este 0, care este primul în sensul ordinii principale a mijlocului părților mari ale termeni-bogați, care sunt priviți; la submultiplu desemnat є au propriul submultiplicator de linie de termeni bogați cu primul a 1 și așa mai departe. minimnosti, care sunt consecutiv victorioși, la alegere); acest polinom este primul element al multiplicatorului dat.

Lema 3. Dacă câmpul P este ordonat ca întreg, termenul bogat f(x) al etapei n і n simbolizează a 1 ..., a n atunci câmpul P (a 1 ,..., a n), în care f(x) va fi extins pe multiplicatori liniari

Õ(x-a i), va fi un singur rang și un întreg

Ordin. Câmpul P în sensi tsiy є vіdrіzkom.

Aducând. Adăugăm rădăcina a 1 ..., a n succesiv, după care P = P 0 câștigă succesiv câmpurile Р 1 , ..., Р n . Să presupunem că R i-1 = P(a 1 ..., a i-1) - câmpul a fost deja indus și că P este un contract cu R i-1; atunci R i va fi așa.

Înainte de problema 2, inelul de polinoame Р i-1 [x] este ordonat într-un întreg. Polinomul f este descompus la fiecare kіltsi în factori inextricabili, al căror mijloc este primul loc x - a 1 ,..., x - a i-1 ; printre celelalte plurale, fie f i (x) primul în sensul ordinii clare. Împreună cu simbolul a i, care desemnează rădăcina termenului bogat f i (x), semnificăm câmpul P i = P i -1 ca totalitatea sumelor

de h este treapta termenului bogat f i (x). Dacă f i (x) este liniară, atunci, desigur, respectăm P i = P i -1; caracterul a i nu este necesar. Încurajează terenul în ansamblu să fie ordonat pentru inteligență ofensivă suplimentară: elementul piele al terenului

poate un membru bogat

Și elementele câmpului sunt ordonate în același mod, ca și ordonarea termenilor lor bogati.

În mod evident, același Р i-1 este în raport cu Р i, iar cu acesta і P - în raport cu Р i.

Timp câmpurile P 1 ,..., P n în sine sunt motivate de o întreagă ordonare. Câmpul Р n poate fi căutat în mod unic prin primul câmp P(a 1 ,..., a n).

Lema4

Aducând. Pentru oricare două elemente a, b, combinați două câmpuri S a , S b , astfel încât să înlocuiți a, b și din oricare înaintea celuilalt. În câmpul răgușit, elementele a + b și a × b sunt alocate elementelor din câmpul piele, astfel încât a și b să poată fi răzbunați, deoarece două astfel de câmpuri sunt unul înaintea celuilalt și subcâmpul yogo. De exemplu, pentru a aduce legea asociativității

ab g = a bg,

cunoaştem câmpurile mijlocii S a , Sb, S g cele care acoperă alte două câmpuri (cel mai mare); în ce domeniu există a, b și g i în noua lege a asociativității vikonano. În același mod, sunt revizuite regulile reshta pentru calcularea elementelor asociației.

Demonstrarea teoremei principale este împărțită în părți: subcâmpul W și demonstrația unității.

Câmpurile Pobudov W. Lema 1 demonstrează că pentru o extensie W aparent închisă algebric a câmpului P este suficient să se induce o asemenea extensie a algebrei câmpului P, astfel încât polinomul din P[x] să poată fi extins peste aceste extensii. în multiplicatori liniari.

1. Câmpul P f є câmp ob'ednannyam P în toate câmpurile S g pentru g

2. Câmpul P f este ordonat astfel încât P și toate câmpurile S g cu g

3. Câmpul S f vine de la R f la rădăcinile date ale termenului bogat f după simbolurile suplimentare a 1 ,..., a n este valabil până la lemi 3.

Este necesar să precizăm că în acest fel întreaga ordonare a câmpurilor Р f , S f poate fi atribuită în mod explicit de către întregul câmp de ordonare, precum și toate cele înainte Р g , S g sunt deja atribuite mai des.

Yakshcho vikonano 3, apoi nasampered P f - vіdrіzok S f . Z ogo i vimogi 2 vedem că câmpul P i câmpul pielii S g (g

Р - vіdrіzok S h la h

S g - dublu S h la g

Sună ca câmpurile P i S h (h b, iac poate fi salvat în Pf. Aceeași ordine este una și aceeași în toate câmpurile P abo S g yak yak yak a, deci ib, la care toate ts câmpul є v_drіzkami unul din unul. Otzhe, punerea la comandă este numită. Cei care sunt complet ordonați impersonali, evident, astfel încât pielea nu este goală impersonală x în Р f pentru a răzbuna cel puțin un element al lucrării câmpului deyakogo S g, și acesta este primul element al x x Ç Munca x Ç S g. Acest element este de o oră є i primul element x.

Privind mintea ta 3, polinomul f(x) este din nou descompus în factori liniari în câmpul S f . În plus, după ajutorul inducției transfinite, se arată că S f este algebric peste P. Într-adevăr, se presupune că toate câmpurile S g (g

Acum stocăm bazinul W al tuturor câmpurilor Sf; zgіdno z lemoy 4 câștigat є câmp. Întregul câmp este algebric peste P și toți termenii bogați f sunt extinși peste el (polinoamele de piele mici f sunt deja extinse peste S f). De asemenea, câmpul W este închis algebric (Lema 1).

Unitatea câmpului W. Fie W și W" două câmpuri care sunt extensii algebrice și algebrice închise ale câmpului P. Să aducem echivalența acestor câmpuri. este considerată și de unul dintre aceste argumente) submultiplu ¢ în W " și ceva izomorfism

P(Â) @ P(¢).

Restul lunii mai va fi mulțumit de viitorul spiving recurent.

1. Izomorfismul P(Â) @ P(¢) se datorează epuizării elementului piele al câmpului P pe câmp.

2. Izomorfismul P(Â) @ P(¢) cu ÁÌ Â poate fi o extensie a izomorfismului P(Â) @ P(Á").

3. Dacă  este elementul rămas a, astfel încât  = ÁÈ(a), iar dacă a este rădăcina termenului bogat f(x) care nu poate fi descompus în P (Á), atunci elementul a" este să vina pentru prima rădăcină a genului P(Á) @ P(I"), un polinom f¢(x) într-un câmp bine ordonat W".

Este necesar să se arate că izomorfismul P(Â) @ P(¢) este efectiv atribuit în același mod, chiar dacă vinurile sunt deja atribuiri pentru toate marginile anterioare ale ÁÌ Â. Aici este necesar să distingem două puncte.

Prima picătură. Impersonal  nu poate avea restul elementului. Același element de piele ar trebui să se afle pe culața din față care cântă Á; la acel  є la udările combinate ale Á, la acel P(Â) - la câmpurile cumulate P(Á) pentru ÁÌ Â. Dacă elementele de piele din izomorfismele P(Á) @P(Á") provin din cele anterioare, atunci elementului de piele a cu toate aceste izomorfisme i se dă un singur element a". Prin urmare, există una și mai multe inflexii P(Â) → P(¢), care continuă toate izomorfismele înainte P(Á) → P(Á"), iar inflexia în sine a®a". Este evident că este un izomorfism și o combinație de 1 și 2.

Încă o picătură. Anonim maє element rămas a; de asemenea,  = ÁÈ(a). În cele din urmă, elementul a" asociat cu elementul a este atribuit în mod unic. Deoarece a" peste câmpul P(I") (în sensul izomorfismului analizat) satisface "același" inconsecvent egal cu i a peste P(I), atunci izomorfismul P(I) → P(I") (în cazul în care I este gol, atunci același izomorfism P®P) urcă până la izomorfismul P(I, a) ®P(I", a¢ ), când a trece la a". Izomorfismul dermic a fost identificat fără ambiguitate prin sugestia pielii, astfel încât funcția rațională cutanată j(a) cu coeficienții limbajului general trece la funcția j „(a”) cu coeficienții echivalenti ai Á”. ) ® P(¢) se potrivește în mod evident cu 1 și 2.

Astfel, înlocuirea izomorfismului P(Â)→P(¢) este finalizată. Semnificativ prin W" generalizarea tuturor câmpurilor P(¢); apoi există un izomorfism P(W)®W" sau W®W", care adaugă un element al câmpului P la spațiul pielii. Deoarece câmpul W este închis algebric, la fel și Buti і W ", iar la acel W" se potrivește câmpul necesar W¢.

Semnificația unei extensii închise algebric a unui câmp dat este aceeași prin aceea că, până la punctul de echivalență, este posibilă depășirea posibilelor extensii ale câmpului algebric. Mai precis:

Dacă W este o extensie algebrică închisă a algebrei câmpului P și S este o extensie destul de algebrică a câmpului P, atunci în mijlocul lui W există o extensie generală a lui S 0 , care este echivalentă cu o extensie a lui S.

Aducând. Putem extinde S la o anumită extensie algebrică închisă W". Va fi algebrică și peste P, și deci echivalentă cu o extensie W. Sub orice izomorfism, pentru a traduce W" în W, luând elementul de piele inviolabil al lui P, câmpul S trece într-un deak echivalent cu subcâmpul yoma S 0W.

4.2. Iertați expansiunea transcendentă.

Pielea este pur și simplu o extensie transcendentală a câmpului D, aparent echivalentă cu câmpul D(x) privat al inelului de polinoame D[x]. La acel mi vivchimo tse câmp privat

Elementele câmpului W sunt funcții raționale

Teorema. Elementul transcendental h al pasului n este transcendental peste D і câmpul D(x) este o extensie a algebrei câmpului D(h) al pasului n.

Aducând. Prezentarea h = f(x)/g(x) nu este de scurtă durată. Același element x satisfăcut

g(x)×h - f(x)=0

cu coeficienții D(h). Numărul de coeficienți nu poate fi egal cu zero. Într-adevăr, dacă toate mirosurile au fost egale cu zero și ak litera bi din aceeași lume, x ar fi un coeficient diferit de zero al polinomului g (x) și b k - un coeficient diferit de zero al polinomului f (x), atunci nu ar fi suficient ca mama să fie egală

stele h = b k / ak = const, care este o superstiție. Din nou, elementul x este algebric peste D(h).

Dacă elementul h este deși algebric peste D, atunci x este deși bialgebric peste D, ceea ce, totuși, nu este așa. Din nou, elementul h este transcendental peste D.

Elementul x este rădăcina termenului bogat al pasului n

în inelul D(h)(z). Acest polinom este indecomposabil în D(h)[z], cioburile sunt și vin bouv bi pot fi descompuse n în kіlci D, і, cioburile vin sunt liniare în h, unul dintre multiplii maw bi nu este posibil a depune h, sau mai puțin z. Dar un astfel de multiplicator nu poate fi, deoarece g(z) și f(z) sunt reciproc simple.

De asemenea, elementul x este un pas al algebrei n peste câmpul D(h). Stelele sunt solide, deci (D(x) : D(h)) = n

Pentru mai rău, este semnificativ că un membru bogat

nu există multipli care să poată sta numai lângă z (a se afla lângă D[z]). Această solidificare este anulată, dacă h este înlocuit cu valorile sale f (x) / g (x) și înmulțit cu bannerul g (x), noi înșine suntem un polinom.

g(z)f(x) - f(z)g(x)

kіltsya D nu există multiplicatori, se încadrează numai în vіd z.

Din teoremele prezentate mai sus rezultă trei observații.

1. Pasul funcției h - f(х)/g(х) trebuie depus doar în câmpurile D(h) și D(x), și nu în alegerea altui element care generează x.

2. Rivnist D(h) = D(x) este mai mic decât același, dacă h este mai mic decât 1, atunci este o funcție liniară. Tse înseamnă: elementul părinte al câmpului, crimul elementului x, poate fi o funcție liniară fracțională ca x și numai o astfel de funcție.

3. Orice automorfism al câmpului D(x), care lasă un element al câmpului D pe pânză, se face vinovat de translatarea elementului x în orice element al câmpului. Înapoi, dacă x este tradus într-un element părinte x = (ax + b) / (cx + d) și funcția skin j (x) - funcția y j (x), atunci iese un automorfism, când toate elementele D sunt lăsate pe tinta. Otzhe,

Toate automorfismele câmpului D(x) peste câmpul D sunt substituții liniare

x = (ax+b)/(cx+d), ad – bc ¹ 0.

Important pentru unele realizări geometrice

teorema lui Lurot. Câmpul intermediar de piele S, pentru care DÌSID(x) este simple extensii transcendentale: S = D(q).

Aducând. Elementul x este vinovat de a fi algebric peste S, deoarece dacă h - dacă vreun element al lui S nu aparține câmpului D, atunci, așa cum sa arătat, elementul x este algebric peste D (h) și chiar mai algebric peste S S [z] termenul bogat cu coeficientul senior 1 și rădăcina x poate arăta

f 0 (z) \u003d z n + a 1 z n -1 + ... + a n. (unu)

Membrul bogat al lui Z'yasuєmo Budov.

Elementele a i є funcții raționale x. Pentru a ajuta la înmulțirea cu un banner de dormit de їх, îl puteți folosi cu multe funcții raționale și, în plus, luați un termen bogat ca x іz în loc de 1:

f(x, z) = b 0 (x) z n + b 1 (x) z n-1 + ... + b n (x).

Pașii polinomului sunt semnificativi în termeni de m, iar în z - în termeni de n.

Coeficienții a i \u003d b i / b 0 z (1) nu pot fi independenți în x, astfel încât x ar apărea altfel ca un element algebric peste D; așa că unul dintre ei, spune,

q = a i = b i (x) / b 0 (x),

este de fapt vinovat de depunerea vіd x; Să scriem yoga într-o scurtă privire:

Treptele polinoamelor g(x) și h(x) nu depășesc m. Polinom

g(z) - qh(z) = g(z) – (g(x)/h(x))h(z)

(care nu este același zero) dacă rădăcina z = x, atunci vin este divizibil cu f 0 (z) în inelul S[z]. Dacă doriți să treceți de la trei raționali în termeni de x termeni bogați la tsilih în x termeni bogati cu zmist 1, atunci ar trebui să vă salvați divizibilitatea și o vom lua

h(x)g(z)-g(x)h(z) = q(x, z)f(x, z).

Partea stângă a acestei ecuanimități are pași de-a lungul x, dar nu se mișcă t. Ale din dreapta este deja un membru bogat al f stupіn t; otzhe, pașii părții din stânga sunt exact exact vechi și q(x, z) nu se află în x. Cu toate acestea, este imposibil să depuneți mai puțin de un multiplicator z pentru a împărți partea stângă (div. mai mult); la care q(x, z) este o constantă:

h(x)g(z)-g(x)h(z) = qf(x, z).

Deoarece prezența constantei q nu joacă un rol, polinomul Budov f(x, z) este descris complet. Pașii polinomului f(x, z) în x sunt mai avansați (cu simetria simetriei), iar pașii în z sunt mai avansați, deci m = n. m, mai târziu, i funcția q se datorează mamei de trepte m x.

Tim înșine, cioburi dintr-o parte sunt egale

(D(x):D(q)) = m,

iar în rest - gelozia

acele cioburi pentru a răzbuna D(q),

Visnovok.

Roboții arătau așa, vezi extinderea câmpului numeric P:

O simplă extensie a algebrei de câmp.

Extinderea depozitului din domeniul algebrei.

Extensii separabile și inseparabile.

Extinderea nelimitată a udării.

Analizând munca, puteți crea visnovki deaky.

Z a analizat primele două părți ale expansiunii, cum ar fi:

expansiunea simplă a algebrei;

extinderea finală;

extinderea depozitului de algebre.

În continuare, dacă vedeți extensiile zbіgayutsya і, zokrema, sunt desenate prin extensii algebrice simple ale câmpului P.

Lista de referinte

1. L.Ya. Kulikiv. Algebră și teoria numerelor. - M.: Vișci. Scoala, 1979.-528-538s.

2. B.L. Van der Waerden. Algebra.- M., 1976 - 138-151s., 158-167s., 244-253s.

3. E.F. Shmigiriov, S.V. Ignatovici. Teoria termenilor bogati. - Mosir 2002.

Pentru pregătirea acestei lucrări am strâns materiale de pe site