Numerele algebrice și transcendentale. numere transcendentale numere transcendentale

adică pentru a = 1 ne-a servit scopul sumei progresiei geometrice. Presupunând că teorema lui Gauss a fost demonstrată, se presupune că a = a 1 este rădăcină egală (17),

Luând în considerare virasei s f(x) și termenii de regrupare, luăm în considerare asemănarea

f(x) = f(x) − f(a1) = (xn − a n 1 ) + an−1 (xn−1 − a n 1 −1 ) + . . . + a1 (x - a1).

(21) Acum curățând formula (20), putem vedea multiplicatorul x − a 1 de la membrul pielii și apoi îl învinovățim pe Yogo pentru arc, în plus, picioarele membrului bogat, care este lăsat în arc, devin una. Mai puțin. Regrupând noi membri, eliminăm asemănarea

f(x) = (x − a1 )g(x),

unde g(x) este un termen bogat al pasului n − 1:

g(x) = xn−1 + bn−2 xn−2 + . . . + b1x + b0.

(Calculul coeficienților, care sunt cunoscuți prin b, suntem aici pentru a fi numiți.) Este necesar să se distanțeze exact același calcul de polinomul g (x). Conform teoremei Gauss, rădăcina pătrată a2 este egală cu g(x) = 0, astfel încât

g(x) = (x − a2 )h(x),

unde h(x) este un nou polinom de pas n − 2. Repetând n − 1 ori

Din aceeași (22) nu numai cele care sunt numere complexe a1, a2,

An este esența rădăcinii lui egal (17) și a celor care nu au alte rădăcini a lui egal (17). Adevărat, numărul yakbi y a fost rădăcina lui egal (17), apoi s (22) a alunecat bi

f(y) = (y - a1) (y - a2). . . (y - an) = 0.

Ale mi bachili (p. 115) că adunarea numerelor complexe la zero în aceea și mai puțin așa, ca unul dintre multiplicatorii la zero. De asemenea, unul dintre multiplicatorii y−ar este egal cu 0, deci y = ar, ceea ce este necesar pentru setat.

§ 6.

1. Scopul este acel motiv nutrițional. Orice număr x se numește număr algebric;

130 SISTEM DE NUMERE MATEMATIC cap. II

de numere ai numere. Deci, de exemplu, numărul 2 este algebric, pentru acela care este mulțumit cu egal

x2 − 2 = 0.

În același rang al numărului algebric, dacă există o rădăcină, fie că este egală, cu toți coeficienții a treia, a patra, a cincea, fie că este vorba despre lume, și independent, în plus, poate fi exprimat sau nu de către radicali. Conceptul de număr algebric este o înțelegere naturală a conceptului de număr rațional, într-un mod care confirmă căderea okremului n = 1.

Nu orice număr real este algebric. Tse vipliva z ofensiv, cu Kantor, teoreme: impersonalitatea tuturor numerelor algebrei lui rachunkiv. Bo bezlich usikh numerele zilei nu se poate distinge, atunci obov'yazkovo trebuie să folosească numerele reale, deoarece acestea nu sunt algebrice.

Să subliniem una dintre metodele de rezolvare a numerelor algebrice impersonale. Pielea egală cu aspectul (1) egală cu numărul țintă

h = | un | + | an-1 | +. . . + | a1 | + | a0 | +n,

de dragul stilului, îl numim egal „înalt”. Până la pielea valoarea fixă ​​n este doar ultimul număr egal cu forma (1) cu înălțimea h. Pielea de la astfel de egali poate fi mai mult de n rădăcini. Pentru aceasta, este posibil să folosiți doar ultimul număr de numere de algebră, care sunt generate de egali cu înălțimea h; tată, totul numere algebrice puteți roztashuvati la vederea secvenței, depășind capul lor, deoarece sunt născuți de egalii înălțimii 1, apoi - înălțimea 2 și așa mai departe.

Această dovadă a identității numerelor algebrice impersonale stabilește baza numerelor reale, deoarece acestea nu sunt algebrice. Asemenea numere se numesc transcendentale (din latinescul transcendere - trece peste, intoarce); Euler i-a dat un astfel de nume, care pute „să răstoarne strânsoarea metodelor algebrei”.

Dovada lui Cantor a fundamentului numerelor transcendentale nu se află înaintea celor constructive. Teoretic, este posibil să se inducă un număr transcendental pentru o procedură diagonală suplimentară, care se efectuează pe o listă explicită de zeci de expansiuni ale tuturor numerelor de algebră; Dar o astfel de procedură a fost scutită de orice semnificație practică și nu ar duce la un număr care să poată fi scris cu zeci (sau orice alt) drib. Majoritatea problemelor asociate numerelor transcendentale sunt legate de demonstrarea faptului că peevn, numerele specifice (iată numerele p și e, despre div. 319-322) sunt transcendentale.

**2. Teorema lui Liouville și construcția numerelor transcendentale. Dovada întemeierii numerelor transcendentale a fost dată înaintea lui Cantor de J. Liouville (1809–1862). Ne permite să construim efectiv exemple de astfel de numere. Dovada lui Lіouvil este mai importantă, mai mică decât dovada lui Cantor, și nu e de mirare, cioburi pentru a construi un fund, aparent inflamat, îndoit, mai jos pentru a aduce fundația. Mai jos este demonstrația lui Liouville, poate că arată mai puțin ca un cititor instruit, care dorește să înțeleagă demonstrația cu cunoștințe suficiente de matematică elementară.

După cum a arătat lui Liouville, numerele algebrice iraționale au acea putere că nu pot fi aproximate de numere raționale cu un grad deja mare de acuratețe, doar nu luați bannerele fracțiilor pe care le aproximează, superb.

Să presupunem că numărul z satisface ecuația algebrei cu coeficienți întregi

dar nu ești mulțumit de o asemenea nivelare a nivelului inferior. Todi

se pare că x însuși este numărul algebrei de gradul n. Deci, de exemplu,

numărul z = 2 este numărul nivelului de algebră 2, astfel încât nivelul x2 − 2 = 0√ este satisfăcut cu nivelul 2, dar nu nivelul primului nivel nu este satisfăcut; numărul z = 3 2 - pasul 3, care este satisfăcut cu x3 - 2 = 0, dar nemulțumit (cum arătăm în secțiunea III) cu pasul inferior. Numărul algebric al pasului n > 1

nu poate fi rațional, deoarece numărul rațional z = p q

satisface nivelul qx − p = 0 pasul 1. Pielea număr irațional z poate fi, cu un anumit grad de precizie, aproximat printr-un număr rațional suplimentar; nu înseamnă că poți indica întotdeauna succesiunea numerelor raționale

p1, p2,. . .

q 1 q 2

nu este înconjurat de bannere în creștere, că Volodya Tim-

ce ce

p r → z. qr

Teorema lui Liouville este uluitoare: dacă nu ar exista un număr de algebre z de pas n > 1, nu ar putea fi mai aproape de un rațional suplimentar

pentru a termina marii bannermen obov'yazkovo vykonuetsya nerіvnіst

Alegem să dovedim teorema și mai devreme se va arăta cum pot fi obținute numerele transcendentale pentru ajutor suplimentar. Să ne uităm la număr

z = a1 10-1! + a2 10-2! + a3 10-3! +. . . + am · 10−m! +. . . = = 0,a1 a2 000a3 00000000000000000a4 000. . . ,

de ai înseamnă anumite numere de la 1 la 9 (ar fi mai ușor să punem toate ai egale cu 1), iar simbolul n! . . n. Puterea caracteristică a celei de-a zecea distribuții a unui astfel de număr este cei care sunt grupuri, care cresc rapid în spatele dozhinei lor, zerouri sunt desenate în cel nou cu cifre okremi, care arată ca zero. În mod semnificativ, prin zm, sfârșitul celui de-al zecelea drіb, care este stabilit, dacă toți membrii sunt luați în aspect până la am · 10−m! inclusiv. Todi ia nervozitatea

Să presupunem că z este numărul algebrei pasului n. Todi, respectând nervozitatea lui Lіouville (3) pq = zm = 10pm! , suntem mame vinovate

|z - zm | > 10(n+1)m!

la valori mari de m. Comparația denivelărilor rămase cu nervozitatea (4) da

stele urmează (n + 1) m! > (m + 1)! − 1 pentru m mare. Alece greșește pentru valorile lui m mai mari decât n (să încerce cititorul să dea o dovadă detaliată a acestei afirmații). Am făcut super-sharpness. De asemenea, numărul z este transcendental.

Rămâne de terminat teorema lui Liouville. Să presupunem că z este numărul algebrei de gradul n > 1, care satisface ecuația (1), astfel încât

f(zm ) = f(zm ) − f(z) = a1 (zm − z) + a2 (zm 2 − z2 ) + . . . + an (zm n − zn).

Tratarea părților insultătoare pe zm − z și decupare cu o formulă algebrică

u n − v n = un−1 + un−2 v + un−3 v2 + . . . + uvn−2 + vn−1 , u − v

noi acceptam:

Deoarece zm este z corect, atunci când ajungeți la m mare, este rațional ca numărul zm să fie luat în considerare z mai mic cu unu. Prin urmare, pentru dozarea m mare, puteți câștiga o astfel de estimare aproximativă:

N|an|(|z|+1)n−1 = M, (7)

în plus, pentru a fi dreptaci, numărul M este constant, cioburi z nu se modifică în timpul procesului de demonstrare. Vibero acum m pardoseli grozav, shob

fracția z m = p m standard q m mai sus, mai jos M; de asemenea qm

astfel încât a fost posibil să se vadă și multiplicatorul (x − zm ) din polinomul f(x), i, de asemenea, z a fost mulțumit cu nivelul nului inferior inferior. Otzhe, f(zm) 6= 0. Ale numeral din partea dreaptă a egalității (9) Într-o astfel de manieră, zіzstavlennya sіvvіdnіshen (8) și (9) vyplyaє nerіvnіst

încă depozit zmіst zaznachenї teorema.

Cu o perioadă de câteva decenii rămase, posibilitatea de a aproxima numerele algebrice cu numere raționale și-a străbătut calea departe în depărtare. De exemplu, matematicianul norvegian A. Tue (1863–1922) a descoperit că denivelarea Liouville (3) ar putea avea un exponent n + 1 înlocuit cu un exponent mai mic n 2 + 1.

Siegel arătând că puteți lua și mai mici (mai mici

cu n) mai mare indicator 2 n.

Numerele transcendentale au fost întotdeauna un subiect, deoarece au nituit respectul matematicienilor față de ei înșiși. Ale, până la ora recentă a mijlocului zilei, ca tsіkavі de către forțe puternice, nu au existat multe astfel, natura transcendentală a unui astfel de bulo a fost instalată. (Din cauza transcendenței numărului p, așa cum se întâmplă în secțiunea a III-a, există imposibilitatea de a pătra miza cu ajutorul unei rigle și al unei busole.) La discursul său la Congresul Internațional de Matematică de la Paris 1900 r. David Hilbert scandând treizeci de matematici

probleme care permit formularul simplu, deyakі - navіt zovsіm elementar și mai popular, din anumite motive nu numai că nu a fost vilіshena, dar navіtі nu a fost dat de clădire, ci permis de matematicienii epocii tієї. Qi „Problemele lui Hilbert” a dat un puternic semnal de alarmă dezvoltării matematicii în perioada următoare. Mayzhe toate mirosurile au fost permise pas cu pas, iar în vipadkas bogate virishennia lor s-a datorat succeselor manifestate în mod clar în sensul unor metode mai scandaloase și mai simple. Una dintre problemele cu care cel deznădăjduit a îndrăznit să le facă față

dovada că numărul

є transcendental (chi wanta b irațional). Timp de trei decenii nu a fost posibil să se pună presiune asupra unui astfel de pidhіd pentru a se hrăni din partea altcuiva, ceea ce a stimulat speranța de succes. Zreshtoyu, Zigel și, independent, tânărul matematician rus A. Gelfond au descoperit noi metode pentru a demonstra transcendența bogățiilor

numere, care pot însemna sensul matematicii. Zokrema, Bulo introduse

transcendență ca un număr Hilbert 2 2 și al-lea întreg la o mare clasă de numere de forma ab , unde a este un număr algebric, a este un număr algebric, a b este un număr algebric irațional.

ADULTARE LA RAZDILU II

Algebra multiplilor

1. Teoria fierbinte. Conceptul de clasă, sukupnostі, obiecte impersonale chi - unul dintre cele mai fundamentale în matematică. Impersonalul semnifică o putere diaco („atribut”) A, care este vina fie a mamei, fie a mamei analizelor pielii obiectului; acele obiecte, precum puterea lui A, alcătuiesc impersonalitatea lui A. Deci, după cum vedem scopul numărului în care puterea lui A este în faptul că iertăm, atunci impersonalitatea lui A se adună din primul obișnuit. numerele 2, 3, 5, 7 , . . .

Teoria matematică multiplii rezultă din faptul că se pot stabili noi multiplicatori pentru operații suplimentare (în mod similar, ca din numerele pentru operația suplimentară de pliere acelui multiplicator, apar numere noi). Operațiunile Vyvchennya pe se înmulțesc pentru a deveni subiectul „algebrei multiple”, deoarece poate fi bogat coerent cu o mare algebră numerică, dorind să vadă de ce și în ea. Faptul că metodele de algebră pot fi eșalonate până la punctul de a include obiecte nenumerice, cum ar fi impersonale, ilu-

un flux de mare convergenţă de idei ale matematicii moderne. În restul orei, era clar că algebra înmulțirilor arunca o nouă lumină asupra magiei bogate a matematicii, de exemplu, teoria lumii și teoria lucrurilor imaginare; vona korisna este, de asemenea, o oră de sistematizare matematica intelege că z'yasuvannі їх zv'yazkіv logic.

Nadal Mă refer la deakul obiectelor impersonale postiynu, la natura unui astfel de baiduzh și, așa cum o putem numi, impersonalitatea universală (sau universul mirkuvannya) și

A, B, C,. . . Dacă I ​​este pluralitatea tuturor numerelor naturale, atunci A, să zicem, poate însemna absența tuturor numerelor pereche, B - absența tuturor numerelor nepereche, C - absența tuturor numerelor prime și așa mai departe. atunci A poate fi un punct fără rost în mijlocul acestei mize, B - un punct fără sens în mijlocul altei mize și așa mai departe. Meta, parcă ar urma o astfel de bucată de expansiune, punând la salvarea acelei poziții, că autoritatea skin A arată o mulțime de elemente din I, care vor duce la puterea autorității. În vremuri, ca autoritate A є universal vykonuvan, capul căruia îi puteți servi (după cum puteți găsi despre numere) autoritatea satisface echivalența trivială x = x, atunci în cazul unui multiplicator eu voi fi el însuși I, elementul piele poate avea o astfel de autoritate; de cealaltă parte, ca A є ca o putere internă super-puternică (pe kshtalt x 6 = x), atunci nu este posibil să răzbuni elementele, este „gol” și este notat cu un simbol.

Se pare că multiplicatorul A este submultiplicatorul multiplicatorului B, pe scurt, „A intră la B”, sau „B îl răzbună pe A”, deoarece multiplicatorul A nu are un astfel de element, care nu este același cu multiplicatorul. B.

A B sau B A.

De exemplu, impersonalul A al tuturor numerelor întregi, care este divizibil cu 10, este submultilul impersonalului B al tuturor numerelor întregi, care este divizibil cu 5, deci numărul pielii, care este divizibil cu 10, este, de asemenea, divizibil cu 5. A B nu include B A. maє mіsce i te y іnshe, atunci

Tse înseamnă că elementul de piele A є în același timp elementul B, і înapoi, deci înmulțiți A și B pentru a înlocui aceleași elemente.

Spivvіdnoshennia A B mizhiny bogat în ceea ce ghici spіvіdnoshennia a 6 b numere mizh. Zokrema, evident urmărită

explodând puterea acestei spіvvіdnoshennia:

1) A A.

2) Dacă AB și BA, atunci A = B.

3) Ca A B și B C, apoi A C.

Din motive de spіvvіdnoshennia AB sunt uneori numite "la comandă". Golovna Vidmіnniy Analized SPIVVISHENYYA VID SPIVVISHENYYA A 6 b mine în numerele de Polega în unul, vărul de vacă a numărului de numere a і b nu este o aserțiune analogă de rezervă este greșită. De exemplu, acel A este impersonal, care este compus din numerele 1, 2, 3,

și B este un multiplicator, care se adună din numerele 2, 3, 4,

atunci nu există timp pentru A B, sau B A. Nu există motive să spunem că A, B, C, . . . multiplicatorii I є „parțial ordonați”, la fel ca numerele efective a, b, c, . . .

stabiliți o comandă „complet ordonată”.

Cu respect, printre altele, că nu a existat nicio diferență între A și B, că, dacă nu ar exista un multiplicator al lui A, un multiplicator al lui I,

Puterea 4) poate fi oarecum paradoxală, dar, dacă vă gândiți bine, este subordonată logic schimbării exacte a semnului desemnat. Adevărat, spіvvіdnoshnya A a fost doar rupt

în la acel vipadka, parcă goală, multe elemente au plasat greșit elementul, care nu a răzbunat b A; dar așa, ca un impersonal gol, nu te răzbuna pe elemente, atunci nu poți fi, dacă nu ar fi A.

Suntem acum semnificative două operațiuni pe înmulțiri, care permit în mod oficial autorităților algebrice bogate să adauge acea multiplicitate de numere, dorind pentru zmіsto zovsіm vіdminnі vіd tsikh aritmetica lor intern. Fie A și B doi multiplicatori. Sub termenii, sau „suma logică”, A și B înțeleg impersonalul, care este compus din elemente liniștite, care sunt situate în A sau

în B (inclusiv și acele elemente care pot fi găsite în A și B). Acest multiplicator este notat cu A + B. 1 Sub „peretina”, sau „creație logică”, A și B sunt înțelese impersonal, care sunt compuse din elemente liniștite, care pot fi găsite în A și în B. Acest multiplicator este indicat de AB.2

Printre puterile importante ale algebrei operațiilor A + B și AB, ofensiva este depășită. Cititorul poate inversa corectitudinea, în funcție de scopul operațiunilor în sine:

Reverificarea tuturor acestor legi este cea mai simplă logică din dreapta. De exemplu, regula 10) spune că elementele sunt impersonale, că fie A, fie A, fie impersonalul A; regula 12) care precizează că elementele impersonale, dacă sunt în A și în același timp sunt fie B, fie C, sunt elemente impersonale, dacă sunt fie în același timp în A și B, fie timpul este de o oră în A și C vykoristovuyutsya în demonstrarea unui tip similar de reguli, ilustrate manual, ca și cum am fi capabili să ne imaginăm impersonalul A, B, C, . . . la vederea unor astfel de figuri pe pătrat, vom fi mai respectuoși în acest sens, pentru a nu rata posibilitățile logice, dacă este vorba despre prezența elementelor principale a două mulțimi sau, dimpotrivă, prezența a unui set de elemente, dacă nu se regăsesc în celălalt.

Cititorul, fără îndoială, și-a pierdut respectul față de cei care legile 6), 7), 8), 9) și 12) sunt numiți la fel cu binecunoscutele legi comutative, asociative și distributive ale algebrei sonice. Zvіdsi viplivaє, regulile scho tse algebra zvichaynoї, legile yakі z tsikh, eficiente în algebra mulțimilor. Navpaki, legile 10), 11) și 13) nu există analogi ai algebrei originale și dau algebrei multe structuri simple. De exemplu, formula binomială din algebra înmulțirilor poate fi redusă la cea mai simplă egalitate

(A + B) n = (A + B) · (A + B). . . (A + B) = A + B,

ca o chestiune de lege 11). Legile 14), 15) și 17) pentru a vorbi despre acelea că puterea pluralelor I în ceea ce privește numărul înainte de operația de adunare a acelui număr este similară cu puterea numerelor 0 și 1 în ceea ce privește termenul înainte de operarea numerelor numerice și adăugarea acelui plural. Ale legea 16) nu are analog în algebra numerică.

Încă o operație în algebra mulțimilor rămâne de dat. Fie A submultiplicatorul multiplicatorului universal I. Deci, sub aditivul A în I, impersonalul tuturor elementelor lui I poate fi înțeles, dacă nu în A. Pentru multiplicator, introducem valoarea A0. Deci, dacă I ​​este impersonal pentru toate numerele naturale și A este impersonal pentru toate numerele prime, atunci A0 este impersonal, care se adună din toate numerele de depozit și numărul 1. autoritate:

23) A00 = A.

24) Spivvіdnenja A B 0A0.

25) (A + B) 0 = A0 B0. 26) (AB)0 = A0 + B0.

Reverificarea acestor puteri I re-nadaemo chitachev.

Legile 1)-26) stau la baza algebrei mulțimilor. Duhoarea puterii miraculoase a „dualității” în senzația ofensivă:

Ca în una dintre legile 1)–26) înlocuiți unul cu unul

(pentru intrarea dermică), apoi ca urmare, una dintre aceste legi reapare. De exemplu, legea 6) se transformă în legea 7), 12) - în 13), 17) - în 16) doar. mugur. , "Dvіyna" teorema a doua, care iese din prima pentru semnificații suplimentare ale permutărilor simbolurilor. Adevărat, cioburi de dovadă

Poartă. II ALGEBRA MNOZHIN 139

prima teoremă este compusă din stagnarea succesivă (la diferite etape ale reconcilierii ce urmează a fi efectuată) a legilor 1–26), apoi stagnarea la etapele finale a celor „două” legi din depozit este dovada „ teorema dublei”. (Din cauza antrenării unei astfel de „dublețe” în geometria div. Secțiunea IV.)

2. Zastosuvannya logica matematică. Reverificarea legilor algebrei înmulțirilor s-a bazat pe analiza sensului logic al spivingului A B și a operațiilor A + B, AB și A0. Acum putem inversa acest proces și considerăm legile 1)–26) ca bază pentru „algebra logicii”. Pentru a spune mai precis: acea parte a logicii, deoarece sunt multe sau, de fapt, chiar aceleași, puterile obiectelor care sunt privite, poate fi redusă la un sistem algebric formal bazat pe legile 1) –26). „Atotștiința inteligentă” logică semnifică eu impersonal; puterea dermică A înseamnă A impersonală, care este compusă din obiecte liniștite I, ca și cum ar putea fi putere. Reguli pentru traducerea celei mai logice terminologii în limbaj

În ceea ce privește algebrei, există un silogism „Barbara”, ceea ce înseamnă că „dacă fiecare A є B și fiecare B є C, atunci fiecare A є C”, pare simplu:

3) Dacă AB și BC, atunci AC.

În mod similar, „legea rezistenței”, care afirmă că „un obiect nu poate conduce și nu poate conduce simultan o astfel de putere”, este înregistrată de privitor:

20) AA 0 = ,

A „legea terțului inclus”, care înseamnă că „obiectul este de vină pentru mamă, dar nu mama pentru diaco de putere”, este scris:

19) A+A0=I.

În acest fel, acea parte a logicii, văzută în termeni de simboluri, +, · і 0, poate fi interpretată ca un sistem formal de algebră, conform legilor 1)–26). Pe baza unei analize logice a matematicii şi analiză matematică a logicii, s-a creat o nouă disciplină - logica matematică, ca nici una dintre ele nu mustră procesul de dezvoltare turbulentă.

Din punct de vedere axiomatic, datorită respectării acelui fapt miraculos, care este confirmat de 1)-26), împreună cu alte teoreme ale algebrei mulțimilor, se poate observa logic din următoarele trei egalități:

27) A + B = B + A,

(A + B) + C = A + (B + C),

(A0 + B0) 0 + (A0 + B) 0 = A.

Este evident că algebra înmulțirilor poate fi motivată ca o teorie deductivă, pe baza geometriei euclidiene, pe baza acestor trei poziții, care sunt acceptate ca axiome. După cum este acceptat axiomatic, atunci operația AB și propoziția A B sunt definite în termeni de A + B și A0:

Numim un alt exemplu de sistem matematic, în care toate legile formale ale algebrei multiplicatorilor sunt codificate, este dat de un sistem de opt numere 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30: aici a + b înseamnă,

cel mai mare, cel mai mic multiplu al a і b, ab - cel mai mare dіlnik a і b, a b - duritatea "b este subdivizată cu a" și a0 - numărul 30 a. Su-

Baza unor astfel de aplicații a determinat dezvoltarea unor sisteme algebrice scandaloase, care îndeplinesc legile 27). Astfel de sisteme sunt numite „algebre booleene” – în onoarea lui George Boole (1815-1864), un matematician și logician englez, a cărui carte „O investigație a legilor gândirii” a apărut în 1854.

3. Una dintre opririle dinaintea teoriei inamovibilității. Algebra poate fi mult mai aproape de teoria inamovibilității și vă permite să o priviți într-o lume nouă. Să aruncăm o privire la cel mai simplu exemplu: să facem propriul nostru experiment din ultimul număr de nasledkiv posibile, yakі toți gândesc ca „la fel de capabili”. Un experiment poate consta, de exemplu, în faptul că putem trage o carte dintr-un pachet nou, care este bine amestecat. Dacă multiplicatorul tuturor rezultatelor experimentului este semnificativ prin I și A înseamnă că este un submultiplicator al lui I, atunci posibilitatea ca rezultatul experimentului să apară submultiplicatorului lui A este semnificată ca o extensie.

p(A) = numărul de elemente din A. numărul de elemente din I

Dacă ne gândim la numărul de elemente din orice multiplicator A ca n(A), atunci restul egalității poate fi dat uitându-ne la

Idei de algebră a pluralelor apar atunci când se numără posibilitățile, dacă este posibil, cunoscând imoviritatea unor plurale, de a număra imoviritatea altora. De exemplu, cunoscând dinamica lui p(A), p(B) și p(AB), putem calcula dinamica lui p(A + B):

Nu contează să-l aduci. Mi maєmo

n(A + B) = n(A) + n(B) − n(AB),

cioburi de elemente care pot fi ocupate în același timp în A și B, atunci elementele lui AB sunt luate în considerare la numărarea sumelor n(A) + n(B) și, prin urmare, este necesar să vedem n(AB) din suma sumelor, deci n(A + B) litera de împărțire este corectă. Să-i păstrăm pe infractori ofensați de o parte din echivalența pe n(I), vom elimina spontaneitatea (2).

Formula Cіkavіsha să iasă, deci există aproximativ trei multiplicatori A, B, C z I.

p(A + B + C) = p[(A + B) + C] = p(A + B) + p(C) − p[(A + B)C].

Legea (12) din paragraful anterior ne dă (A + B) C = AC + BC. Sunetele țipă:

p[(A + B)C)] = p(AC + BC) = p(AC) + p(BC) − p(ABC).

Înlocuind în ordinea anterioară valoarea lui p[(A + B)C] și valoarea lui p(A + B), luate din (2), ajungem la formula necesară:

p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(AB) − p(AC) − p(BC) + p(ABC). (3)

Ca un fund, putem privi un experiment ofensator. Trei numere 1, 2, 3 sunt scrise în orice ordine. Care este semnificația faptului că una dintre cifre este acceptată a fi bazată pe spațiul de deasupra capului (în numerotarea sensi)? Fie A o permutare impersonală, pentru care numărul 1 ar trebui să coste primul loc, B - o permutare impersonală, pentru care numărul 2 ar trebui să coste un alt loc, C - o permutare impersonală, pentru care numărul 3 ar trebui să coste locul trei . Trebuie să calculăm p(A+B+C). am realizat ca

p(A) = p(B) = p(C) = 2 6 = 1 3;

efectiv, ca și cum figura s-ar afla pe locul potrivit, atunci există două posibilități de a rearanja soluția a două cifre din numărul principal 3 2 1 = 6 posibile permutări de trei cifre. Dali,

Dreapta. Introduceți o formulă validă pentru p(A + B + C + D) și așteptați până la experiment, care implică 4 cifre. Vidpovidna umovirnіst dorіvnyuє 58 = 0,6250.

O formulă comună pentru combinarea n înmulți poate arăta

combinații pentru a răzbuna unul, doi, trei, . . . , (n − 1) literă din numărul A1 , A2 , . . .

un. Această formulă poate fi inserată după inducție matematică suplimentară - la fel cum formula (3) a fost introdusă din formula (2).

Din formula (4) este posibil să se adauge wisps, astfel încât să existe n cifre 1, 2, 3, . . . n scris în orice ordine, atunci capacitatea de a accepta una dintre cifre pentru a se sprijini pe un loc potrivit este mai mare

mai mult decât atât, înaintea membrului rămas, există un semn + sau −, chemându-i pe cei care sunt împerecheți și neîmperecheți. Zocrema, pentru n = 5

p5 = 1 − 2! + 3! - 4! +5! = 30 = 0,6333. . .

La divizia a VIII-a am dori să știm că dacă nu există incompatibilitate, viraz

1 1 1 1 Sn = 2! - 3! +4! − . . . ±n!

pragne între 1 e, al cărui sens, cu cinci semne după Komi,

unul 0,36788. Din formula (5) este clar că pn = 1 − Sn, atunci steaua este clară, că pentru n → ∞

pn → 1 − e ≈ 0,63212.

Cuvântul „transcendental” este asociat cu meditația transcendentală și diverse ezoterism. Dar pentru a trăi corect yoga, este necesar ca minim să revizuim yoga în ceea ce privește termenul „transcendental”, și ca maxim – să ghicești rolul yoga în roboții lui Kant și alți filozofi.

Este de înțeles să semene cu latinescul transcendens - „a trece”, „a trece”, „a trece dincolo”. În general, vinurile înseamnă cele care sunt în mod important inaccesibile cunoștințelor empirice sau bazate pe dovezi. Regândiți termenul de filozofie viniklische a neoplatonismului - fondatorul direct Plotin a făcut o vchennya despre Unul - pershopochka atot-bun, deoarece este imposibil să recunoașteți gândurile cu ajutorul minții, fără ajutorul unei minți sensibile. „Unul nu există, dar tatăl Yogo” – explică filozoful.

Cel mai recent termen „transcendental” a fost dezvoltat în filosofia lui Immanuel Kant, de vin vikoristovuvsya pentru a caracteriza, în mod clar indispensabil pentru cunoașterea și modul de a simți corpurile noastre sunt sensibile, fiind lăsate în principiu de nerecunoscut, ca în practică, și în teorie. Proliferarea transcendenței -: înseamnă fie invizibilitate, legătură internă, fie că este obiectul cu obiectul însuși, fie recunoașterea obiectului pe certificat special. De exemplu, să presupunem că Întreaga Lume a creațiilor, în spatele unei idei grozave, s-a considerat transcendentă pentru noi - nu putem face decât ipoteze despre nou. Și totuși, așa cum am conceput-o, este adevărat, iar consecințele pentru noi sunt imanente, influențând legile și condițiile fizice pe care le putem consuma. Prin urmare, în unele concepte teologice, Dumnezeu este transcendent și postura perebuvaet creată de el.

Discursurile reale sunt încă accesibile cunoașterii a priori: de exemplu, spațiu și timp, idei despre Dumnezeu, bunătate și frumusețe, categorii logice. Tobto obiecte transcendentale - tse, arătând la figurat, „în spatele liniei stabilite” în mintea noastră

Afirmația despre natura transcendentală în matematică: un număr transcendental este un număr care nu poate fi calculat folosind algebră suplimentară sau algebric (adică nu poate fi rădăcina unui termen bogat cu coeficienți multipli care nu este același cu zero). Înaintea lor intră, de exemplu, numerele π і e.

Înțelegerea, aproape de „transcendental”, și chiar dincolo de semnificații – „transcendental”. Pe spate însemna pur și simplu zona categoriilor de rozum abstracte, iar până la sfârșitul anului, după ce l-a crescut pe Kant, a băut paste din vlasnu: era imposibil să inducem sistemul filozofic doar pe date empirice, dar a fost imposibil de recunoscut pe vechii altora, crima empiricilor, fara sa stii vinul. Pentru a se întoarce, filozofii au avut șansa să admită că unele discursuri sunt încă accesibile cunoașterii a priori: de exemplu, spațiul și timpul, ideile despre Dumnezeu, bunătatea și frumusețea, categoriile logice. Că obiectele transcendentale - tse, aparent figurat, "înainte de a pune în spatele minții" în mintea noastră - cu care informațiile despre ele sunt de la sine înțelese și nu vyplyvaet din cunoștințele noastre.

Mai există o înțelegere controversată - transcendența. Într-un sens larg, cuvântul „vono” înseamnă trecerea la cordonul dintre două regiuni diferite, în special trecerea de la sfera acestei lumi la sfera viitorului, a transcendentului. Pentru simplitate, să luăm un exemplu din science fiction: o lume paralelă pentru oameni grozavi- manifestare transcendentală. Dar dacă eroul a băut la lumina sa paralelă, se pare că rangul se manifestă prin construcția yoga spriymati, tse transcendență. Un exemplu mai pliabil de filozofie existențială: Jean-Paul Sartre, după ce și-a dat seama că o persoană este transcendentă, cioburi nu vor depăși limitele oricărui adevăr umed posibil: putem navkolishniy svit din părți diferite, dar în orice caz nu ne putem apropia de recunoașterea deplină a noastră. Ale, dintr-o dată, o persoană poate crește până la transcendență: el transcende fie că este un râu, dându-i un sens. Transcendența este un element important în religie: îi ajută pe oameni să crească în natura lor materială și să ajungă la ceva străin.

De la filozofie, conceptul de transcendentalitate a migrat la psihologie: psihologul elvețian Carl Jung a dezvoltat conceptul de „funcție transcendentală” - aceeași funcție care vine împreună cu acea incomprehensibilitate. Zocrema, funcția transcendentală poate fi depășită de un psihanalist - ajută pacientul să analizeze imaginile nevăzute (de exemplu, visând) și să le arate imediat din propriile procese psihice.

Iac vorbesc

Incorect „M-am înscris la un curs de meditație transcendentală”. Așa este - „transcendental”.

Așa este, „Când merg la templu, mă uit la ceva transcendent”.

În mod corect, „Arta transcendenței ne cunoaște obiecte din lumea materială, amintindu-le cu cea mai mare lumină.”

Illia Șciurov

Matematicianul Illya Shchurov despre zeci de fracții, transcendența și iraționalitatea numărului Pi.

Cum a ajutat „singuratatea” să inspire primul loc și acel mare imperiu? Cum ai suflat mintea oamenilor? Ce rol a jucat în apariția bănuților? Iac „unu” unit cu zero, a domni lumea modernă? Istoria singurătății este indisolubil legată de istoria civilizației europene. Terry Jones este virushaya într-un mod umoristic mai scump cu metoda de a lua împreună istoria minunată a celui mai simplu număr al nostru. Pentru ajutorul graficii pe computer în acest program, unul prinde viață în diferite forme. Din istoria singurătății, a devenit clar, stelele au apărut astăzi și, ca greșelile lui zero, vryatuvav în lumina necesității de a câștiga cifrele romane.

Jacques Cesiano

Știm puține despre Diophantus. Ei bine, Vin trăiește la Oleksandriya. Niciunul dintre matematicienii greci nu și-a dat seama până în secolul al IV-lea, pentru că, ymovirno, este în viață la mijlocul secolului al III-lea. Capul robotului lui Diofantus, „Aritmetica” (Ἀριθμητικά), a fost luat pe stiuletul a 13 „cărți” (βιβλία), pentru a fi împărțit. Astăzi s-ar putea să avem 10 dintre ele și în sine: 6 în textul grecesc și alte 4 în traducerea arabă de mijloc, câteva în mijlocul cărților grecești: cărțile I-III în greacă, IV-VII în arabă, VIII -X în greacă . „Aritmetica” lui Diophantus este înainte de termen, doar aproape de 260. Teorii, aparent adevărate, nimic; Nu există mai multe instrucțiuni generale la începutul cărții și mai mult respect privat pentru alți regizori, dacă este necesar. „Aritmetica” arată deja ca un tratat algebric. Diophantus pe cob semne diferite, schob vyslovlyuvati nevidome acel pas yogo, de asemenea, deakі calcul; ca toate simbolurile algebrice ale mijlocului, simbolismul său seamănă cu cuvintele matematice. Apoi, Diophantus explică cum se rezolvă problema folosind metoda algebrei. Dar sarcina lui Diophantus nu este algebrică în sensul primar, astfel încât totul poate fi redus la înălțimea unui egal nedefinit sau a unor sisteme de astfel de egali.

George Shabat

Programul cursului: Istorie. Primele evaluări. Problema consistenței unui țăruș cu un diametru її. Neskіchennі rânduri, creați acel іnshі vrazi pentru π. Zbіzhnist și її iakіst. Virazi, ce să se răzbune π. Secvențe care converg rapid până la π. Metode moderne calculul lui π, numărul de calculatoare. Despre iraționalitatea și transcendența lui π și a altor numere. Cunoștințele avansate nu sunt necesare pentru curs.

Oficialii de la Universitatea Oxford au spus că introducerea timpurie a numărului 0 pentru a indica numărul de zile la rând (ca în numărul 101) ar trebui să țină cont de textul manuscrisului indian al lui Bakhshali.

Vasil Pispanen

Cine nu este gravat de copiii din grupa „numiți cel mai mare număr”? Milyoni, trilioni și alți „-ei” pot fi văzute în gânduri deja lin, dar vom încerca să rezolvăm „mastodonul” la matematică - numărul lui Graham.

Viktor Kleptsin

Numărul potrivit poate fi aproximat exact prin cele raționale. Și dacă o facem cu amabilitate, ne putem apropia unul de celălalt - este aliniat cu plierea yoga? De exemplu, rupere a zecea intrare numerele x pe k-a cifră după aceea, eliminăm proximitatea x≈a/10^k cu o grațiere de ordinul 1/10^k. I vzagali, avand fixat bannerul q in fractiunea care se apropie, putem cu siguranta abordarea cu gratie ordinului 1/q. Și ce poți face mai bine? Știind pentru toată lumea, proximitatea π≈22/7 oferă o iertare de ordinul 1/1000 - care este clar mai bine, mai mic ar putea fi corectat. De ce? Am fost cruțați, de ce este π atât de aproape de є? Se pare că pentru orice număr irațional є fracții impersonale p / q, care este mai aproape de acesta, mai mic 1 / q ^ 2. Teorema lui Tseverzhuє Dirichlet - și mi pochnemo course іz її troha non-standard proof.

În 1980, Cartea Recordurilor Guinness a repetat afirmațiile lui Gardner, sporind și mai mult interesul publicului până la acel număr. Numărul lui Graham în numele numărului de ori mai mult, mai mic, altfel bine în casă numere mari, deci, ca și googol, googolplex și navit more, mai mici numărul Skewes și numărul Moser. Într-adevăr, lumea întreagă este prea mică pentru ca cineva să-și ia al zecelea record al numărului lui Graham.

Dmitro Anosov

Prelegerile au citit Anosov Dmitro Viktorovich, doctor în științe fizice și matematice, profesor, academician al Academiei Ruse de Științe. Școala de vară „Matematică modernă”, Dubna. 16-18 aprilie 2002

Nu este posibil să răspundeți corect la lanțul trofic, cioburi serie de numere nu maє limita superioară. Deci, până la un anumit număr, este suficient să mai adaugi unul, pentru a lua și mai mult numărul. Deși numerele în sine nu sunt limitate, numele lor nu sunt atât de bogate și bogate, astfel încât cei mai mulți dintre ei sunt mulțumiți cu nume care sunt adunate din numere mai mici. Mi-am dat seama că în setul final de numere, pe care oamenii le-au strâns pentru numele lor puternice, ei pot fi cei mai mulți. Dar cum se numește și de ce este egală? Haide, să încercăm să ne dăm seama într-un fel și să recunoaștem infecția, matematicienii au venit cu niște cifre grozave.

Numărul este sunat algebric yakscho este rădăcina unui termen bogat, cu o mulțime de coeficienți

a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0(adică rădăcina lui egal a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0 =0, de un n, un n-1, ..., a 1, un 0--- numere, n 1, un 0).

Un număr algebric impersonal este în mod semnificativ o literă .

Este ușor de observat că dacă un număr rațional este algebric. Adevărat, - rădăcina râului qx-p=0 cu mulți coeficienți a 1 =qі a 0 =-p. Otzhe, .

Cu toate acestea, nu toate numerele algebrice sunt raționale: de exemplu, numărul este rădăcina egalității x 2 -2 = 0, otzhe, --- algebric număr.

Ora veche a fost lăsată neatinsă, importantă pentru nutriția matematică: ? Mai puțin de 1844, soarta lui Lіouville navіv pentru prima dată un exemplu de număr transcendental (tobto. non-algebric).

În prima zi a lunii, dovada transcendenței sale este și mai pliabilă. Este posibil să aducem teorema pe baza numerelor transcendentale într-un mod semnificativ mai simplu, evidențiind echivalența și neechivalența înmulțirilor numerice.

Și în sine, putem aduce, că numerele algebrice impersonale sunt Rakhunkov. Cu toate acestea, fragmentele tuturor numerelor reale nu sunt egale, putem stabili baza numerelor non-algebrice.

Să distingem reciproc fără ambiguitate între și cu o duzină . Tse are sens, sho - E bine chi rakhunkovo. Ale oskilki , apoi neskіchenno, otzhe, rakhunkovo.

Haide - deyake numărul de algebră. Să ne uităm la toți termenii bogați cu numărul de coeficienți, a căror rădăcină este є și să alegem mijlocul termenilor bogați P treapta minimă (astfel încât să nu fie rădăcina aceluiași termen bogat cu toți coeficienții treptei mai mici).

De exemplu, pentru un număr rațional, un astfel de polinom poate avea pasul 1 și numerele - pasul 2.

Să împărțim toți coeficienții unui membru bogat P la cel mai mare dormitor al lor. Îndepărtăm polinomul, al cărui coeficient este reciproc simplu (cel mai mare dormitor al lor este 1). Zreshtoyu, ca coeficient senior un n vіd'єmniy, înmulțim toți coeficienții polinomului cu -1 .

Scăderea termenului bogat (adică termenul bogat cu coeficienți mari, a cărui rădăcină este numărul, care poate fi cel mai mic pas posibil, coeficientul reciproc simplu și coeficientul senior pozitiv) se numește termenul bogat minim al număr.

Se poate dovedi că un astfel de polinom este atribuit în mod unic: numărul de piele al unei algebre poate fi exact un polinom minim.

Numărul de rădăcini reale ale unui polinom nu este mai mare decât treapta inferioară. De asemenea, puteți număra (de exemplu, pentru creștere) rădăcinile unui termen atât de bogat.

Acum, fie că este numărul de algebră, acesta va fi recunoscut după termenul său minim bogat (adică după mulțimea coeficienților săi) și numărul, care este diferit de celelalte rădăcini ale polinomului: (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k).

Mai târziu, pentru numărul algebric dermal, am stabilit distincția setului final de numere întregi, în plus, este urmat în mod unic de această mulțime (deci se dau seturi diferite numerelor diferite).

Toate numerele prime sunt numerotate în ordinea creșterii (nu contează să arăți că sunt prea bogate). Îndepărtăm succesiunea inescuzabilă (buc): p1=2,p2=3, p3=5, p4=7, ... Acum un set de numere întregi (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k) poți pune u vіdpovidnіst tvіr

(Acest număr este mai pozitiv și mai rațional, dar nu fi natural, chiar și la mijlocul numerelor un 0, a 1, ..., un n-1, poate fi negativ). Cu respect, că numărul nu este de scurtă durată, cioburi sunt simpli multiplicatori, de introdus înainte de așezarea cărții de numere și a bannerului, diferit. De asemenea, este de respectat faptul că două fracții nescurte cu cifre și strofe pozitive sunt egale, chiar dacă sunt numere egale, acele їх sunt strofe egale.

Acum să ne uităm la asta cu un grăunte de sare:

(a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k) =

Oskіlki numere diferite de algebră au stabilit seturi diferite de numere întregi și seturi diferite --- diferit numere raționale, atunci noi, în această ordine, am stabilit o valabilitate reciproc fără ambiguitate între o multiplicitate și cu o duzină . Prin urmare, numerele algebrice impersonale sunt semnificative.

Fragmente de numere reale impersonale nu se pot distinge, am adus baza numerelor non-algebrice.

Cu toate acestea, teorema raționamentului nu arată cum se determină ce număr întreg algebric. Și alimentația este uneori importantă pentru matematică.

număr transcendent

un număr (dіysne abo yavne), care nu se mulțumește cu nicio egalizare a algebrei (Div. Egalizare algebrică) cu mulți coeficienți. În acest rang, T. h. sunt atribuite numerelor algebrice. Іsnuvannya T. H. a înființat pentru prima dată J. Liouville (1844). Punctul potrivit pentru Liouville a fost teorema, care afirmă că orice ordin de aproximare a unei fracții raționale cu un standard dat la al treilea număr algebric irațional nu poate fi suficient de mare. Cel mai algebric număr A satisface egalul neredus al algebrei n cu mulți coeficienți, apoi pentru orice număr rațional de depozitat numai α ). Prin urmare, pentru un număr irațional dat α, este posibil să se arate aproximații raționale impersonale care nu satisfac inducerea denivelării pentru orice hі n(unii și liniștiți pentru toți cei apropiați), atunci α є T. h. Capul unui astfel de număr este da:

R. Kantor (1874), menționând că impersonalitatea tuturor numerelor algebrice este distinsă (astfel încât toate numerele algebrice pot fi renumerotate; div. Teoria multiplicității), atunci impersonalitatea tuturor numerelor reale este imuabilă. Părea ca impersonalul T. h.

Cea mai importantă sarcină a teoriei lui T. h. - tse z'yasuvannya că chi є T. h. valoarea funcțiilor analitice, care pot avea acele alte puteri aritmetice aritmetice cu valori algebrice ale argumentului. Sarcina a cărei familie se află înaintea celei mai importante sarcini a matematicii moderne. U 1873 Sh.

În 1882, matematicianul german F. Lindemann a luat un rezultat mai semnificativ: întrucât α este numărul de algebre, atunci e Rezultatul α - T. h. Lipdeman a fost agravat semnificativ de matematicianul german K. Siegel (1930), care a dovedit, de exemplu, transcendența valorii unei clase largi de funcții cilindrice cu valorile argumentului algebrei. În 1900, la Congresul de matematică de la Paris, D. Hilbert, printre 23 de probleme inviolabile de matematică, arătând ofensiva: chi este un număr transcendental α β , de α і β - numere algebrice, de altfel β - număr irațional, i, zokrema, chi є număr transcendental e π α β bula prima în formă privată a fost pusă de L. Euler, 1744). Versiunea exterioară a problemei (în sens solid) a fost luată mai mult sau mai puțin în considerare în 1934 de către A. O. Gelfond. Din afirmația lui Gelfond, zokrema, este clar că toate zecile de logaritmi de numere naturale (adică „logaritmi tabulari”) sunt T. h. Metodele teoriei T. h.

Lit.: Gelfond A. O., Numerele transcendentale și algebrice, M., 1952.

Marea Enciclopedie Radianska. - M: Enciclopedia Radianska. 1969-1978 .

Uimește-te de un astfel de „număr transcendent” în alte dicționare:

Un număr care nu este mulțumit cu niciun egal de algebră cu orice număr de coeficienți. Numere transcendentale є: număr? 3,14159...; al zecelea logaritm al oricărui număr întreg, care nu este reprezentat de unul cu zerouri; numărul e = 2,71828 ... ta în ... Grozav Dicționar enciclopedic

- (Latina transcendere go over, turn over) tse recheve abo număr complex, care nu este algebric cu alte cuvinte, un număr care nu poate fi o rădăcină a unui termen bogat cu mulți coeficienți. Zmist 1 Putere 2 ... ... Wikipedia

Un număr care nu este mulțumit cu niciun egal de algebră cu orice număr de coeficienți. Numere transcendentale є număr π = 3,14159...; al zecelea logaritm al oricărui număr întreg, care nu este reprezentat de unul cu zerouri; numarul e = 2,71828... ta in. Dicționar enciclopedic

Un număr care nu satisface aceeași algebră. ur nіu cu coeficienți qіlimi. T. an. є: numărul ПІ = 3,14159...; al zecelea logaritm al oricărui număr întreg, care nu este reprezentat de unul cu zerouri; numarul e = 2,71828... ta in. Științele naturii. Dicționar enciclopedic

Numărul, care nu este rădăcina aceluiași termen bogat cu aceiași coeficienți. Scopul acestor numere este zero al numerelor reale, complexe și radiale. Іnuvannya care a determinat, evident, acțiunea lui T. h. obguruntuvav J. Liouville... Enciclopedie matematică

Egal, ca nu є algebric. Apelați alinierea prețului, care poate fi afișată, funcții logaritmice, trigonometrice, trigonometrice reversibile, de exemplu: Suvorishe de denumire cum ar fi: Alinierea transcendentală a obiectivului ... Wikipedia

Numărul, aproximativ 2.718, este adesea folosit în matematică și științele naturii. De exemplu, atunci când vorbirea radioactivă se defectează, după sfârșitul orei t, la sfârșitul perioadei de vorbire, se pierde o parte, care este mai scumpă e kt, de k număr, ... Enciclopedia Collier

E este o constantă matematică, baza logaritmului natural, un număr irațional și transcendental. Cu alte cuvinte, numărul e se numește numărul Euler (a nu se confunda cu așa-numitele numere Euler de primul fel) sau numărul Napier. Este semnificată prin litera latină mică „e”.

E este o constantă matematică, baza logaritmului natural, un număr irațional și transcendental. Cu alte cuvinte, numărul e se numește numărul Euler (a nu se confunda cu așa-numitele numere Euler de primul fel) sau numărul Napier. Este semnificată prin litera latină mică „e”.