Sisteme de linii liniare. Transformarea elementară a sistemelor vectoriale. Sistem pas cu pas de sisteme vectoriale

Numirea 5. Transformări elementare sistemele de aliniamente liniare se numesc її transformări avansate:

1) permutarea dacă două locuri egale sau nu;

2) înmulțirea ambelor părți ale aceluiași număr egal;

3) adăugarea la ambele părți a unei părți egale din a doua părți egale, înmulțită cu numărul k;

(în același timp, râurile devin permanente).

Zero este egal numit egal cu mintea ofensivă:

Teorema 1. Fi-ca ultima secvență de transformări elementare și transformarea Duminicii egalizării zero pentru a traduce un sistem de egalități liniare la fel de puternic și un alt sistem de egalități liniare.

Aducând. Cu o privire la autoritatea celui de-al 4-lea paragraf, pentru a aduce teorema la piele pentru transformarea okremo-ului.

1. În caz de permutare a rangurilor sistemului, rangurile în sine nu se schimbă, astfel încât sistemul este la fel de puternic pentru numiri.

2. În virtutea primei părți a dovezii este suficient să aducem fermitatea pentru primul egal. Înmulțind sistemul (1) cu numărul , luăm sistemul

(2)

Haide  sistem (1) . Aceleași numere satisfac egalitățile sistemului (1). Deoarece oskіlki toți egalii sistemului (2) ai primului zbіgayutsya cu egalii sistemului (1), atunci numerele satisfac toți egalii. Fragmente ale numărului satisfac prima egalitate a sistemului (1), poate fi prima dată când egalitatea numerică:

Înmulțirea yogo-ului cu un număr K, Luăm egalitatea numerică corectă:

Acea. instala, ce  sistem (2).

Înapoi, yakscho soluția sistemului (2), atunci numerele satisfac mustața sistemului (2). Oskіlki toți egalii sistemului (1) ai primului zbіgayutsya cu egalii sistemului (2), apoi numerele satisfac toți egalii. Fragmentele numărului satisfac prima egalitate a sistemului (2), atunci egalitatea numerică (4) este valabilă. După împărțirea insultelor în număr, luăm egalitatea numerică (3) și concluzionăm că  decuplarea sistemului (1).

Zvіdsi pentru numiri 4 sistemul (1) este egal cu sistemul (2).

3. În virtutea primei părți a probei, este suficient să se aducă fermitate pentru primul și celălalt sistem egal. Dodamo la ambele părți ale primului aliniament al sistemului K, luați sistemul

(5)

Haide soluție de sistem (1) . Aceleași numere satisfac egalitățile sistemului (1). Deoarece numerele tuturor egalilor sistemului (5) ale primului sunt combinate cu egalii sistemului (1), atunci numerele satisfac toți egalii. Fragmente ale numărului satisfac prima echivalență a sistemului (1)

Adăugarea termenului cu termen la prima egalitate a unui prieten, înmulțit cu numărul K luăm egalitatea numerică corectă.

§7. Sisteme de linii

Sisteme egale. Transformarea elementară a sistemului de linii liniare.

Haide W- camp numere complexe. Egal cu mintea

de
, se numesc egali liniari n nevidomimi
. Set de comanda
,
numite decizii egale (1), ca .

sistem m rivnian liniar z n sistemul este numit egal cu mintea:

- Coeficienții sistemului de aliniamente liniare, - Membri gratuiti.

Masa dreptunghiulara

,

numită matricea lumii
. Să introducem notația: - i-Ta rândul matricei,
- k-Ty stovpets matrix. Matrice DAR mai semnifica
sau
.

Transformarea viitoare a rândurilor din matrice DAR se numesc elementare:
) oprirea rândului zero; ) înmulțirea tuturor elementelor oricărui rând cu un număr
; ) un addendum la orice rând al oricărui alt rând, înmulțit cu
. Transformări similare ale coloanelor matricei DAR se numesc transformări elementare ale matricei DAR.

Primul element diferit de zero (mai important, în dreapta) al oricărui rând al matricei DAR se numește elementul conductor al acestui rând.

Programare. matrice
se numește pas, de parcă ar fi sfințiți așa:

1) rândurile zero ale matricei (cum ar fi mirosul) sunt mai mici decât cele diferite de zero;

2) yakscho
elementele de conducere ale unui rând de matrice, atunci

Fii ca o matrice diferită de zero Și în cazul transformărilor elementare obișnuite, ea poate fi redusă la o matrice în trepte.

fundul. Matrice inductibilă
la pas matrice:
~
~
.

Matrice pliată cu coeficienți de sistem liniile liniare (2) se numesc matricea principală a sistemului. Matrice
, Otriman, odată cu admiterea membrilor liberi, se numește matricea extinsă a sistemului.

Ordonările mulțimii se numesc soluții ale sistemului de aliniamente liniare (2), precum și deciziile de aliniament liniar de piele a sistemului.

Sistemul de aliniamente liniare se numește coerent, pentru că poate fi o singură soluție și nu este nebunesc, pentru că nu poate fi rezolvat.

Sistemul de aliniamente liniare se numește cântare, pentru că există o singură soluție, aceea nu este marcată, pentru că există mai multe soluții.

Transformarea viitoare a sistemului de aliniamente liniare se numește elementară:

) excluderea din sistem egală cu mintea;

) multipli ai ambelor părți, indiferent dacă este egal cu
,
;

) adăugând dacă există vreun alt egal, înmulțit cu ,.

Două sisteme de linii liniare n necunoscutele sunt numite la fel de puternice, pentru că duhoarea nu este coerentă, dar multe dintre deciziile lor sunt luate.

Teorema. De exemplu, un sistem de aliniamente liniare a fost luat de la celelalte transformări elementare de tip ), ), ), este la fel de puternic ca și unul vizual.

Revizuirea sistemului de aliniamente liniare prin metoda ignorarii necunoscutului (prin metoda Gauss).

Lasă sistemul să plece m rivnian liniar z n unwidomimi:

Ca un sistem (1) pentru a răzbuna mintea

atunci sistemul nu este coerent.

Să presupunem că sistemul (1) nu este egal cu forma (2). Fie sistemul (1) să modifice coeficientul X 1 la început egal
(ca și cum nu este așa, atunci prin rearanjarea locurilor egale nu este posibil să se ajungă la ce, deci nu toți coeficienții la X 1 este egal cu zero). Zastosuyemo la sistemul de linii liniare (1) avansarea lancetelor de transformări elementare:

, Dodamo la alt nivel;

Mai întâi egal, înmulțit cu
, Dodamo la al treilea nivel și așa mai departe;

Mai întâi egal, înmulțit cu
dodamo la restul sistemului.

Ca rezultat, luăm sistemul de aliniamente liniare (am dat cel mai scurt SLN pentru sistemul de aliniamente liniare) egal cu rezistența sistemului (1). Puteți afla că în celălalt sistem este egal cu numărul i, i 2, nu te răzbuna pe necunoscut X 2. Haide k deci cel putin numar natural, ceea ce este necunoscut X k Vreau să mă răzbun într-un număr egal i, i 2. Todi otrimana sistem rivnian maє vyglyad:

Sistemul (3) este egal cu sistemul (1). Zastosuєmo acum la subsistem
sisteme de aliniamente liniare (3) microscopie, care au fost etalate la SLN (1). Și până acum. Ca rezultat al acestui proces, vine până la unul dintre cele două rezultate.

1. Luăm SLU, care este egal cu mintea (2). Și aici SLE (1) este inconsecvent.

2. Transformările elementare, staza la SLN (1), nu conduc la un sistem care să răzbune aspectul (2). La tsomu vipadku SLP (1) prin transformări elementare
indică sistemul egal cu mintea:

(4)

de, 1< k < l < . . .< s,

Sistemul de aliniamente liniare în forma (4) se numește treptat. Aici poți avea două căderi.

A) r= n atunci sistemul (4) poate arăta

(5)

Sistemul (5) are o singură soluție. Din nou, sistemul (1) poate fi rezolvat doar.

B) r< n. A cărui minte nu are casă
în sistemul (4) se numesc nedominanți de cap, altfel nedominanți în acest sistem - liberi (șase numărul unu n- r). Nadamo nu sunt necesare destul de multe valori numerice, dar SLU (4) este același cu sistemul (5). Din aceasta, titlurile sunt fără ambiguitate. În acest rang, sistemul poate fi rezolvat, deci este unul coerent. Oskіlki vіlnim nevidomim a dat o valoare destul de numerică W, atunci sistemul (4) este nedefinit. Din nou, sistemul (1) este nedefinit. Viraziv în SLN (4) smut nevidomі prin vіlnі nevidomі, sistem otrimaemo, care se numește cele mai sălbatice soluții ale sistemului (1).

fundul. Dezlegați sistemul de aliniamente liniare prin metoda G aussa

Scriem matricea extinsă a sistemului de aliniamente liniare și, după ajutorul transformărilor elementare de rând, o aducem la o matrice în trepte:

~

~
~
~

~ . Omitând matricea, putem găsi un sistem de aliniamente liniare:
Sistemul Tsya este egal cu sistemul extern. Ca un cap al necunoscutului
vіlnі nevіdomі. Apropo, capul necunoscutului este doar prin necunoscutul sălbatic:

Am luat soluția completă a SLN. Lasa-ma sa plec

(5, 0, -5, 0, 1) este o soluție privată pentru SLP.

Sarcina pentru viziune independentă

1. Pentru a cunoaște soluția globală și încă o soluție a sistemului egal prin metoda dezactivarii necunoscutului:

1)
2)

4)
6)

2. Cunoașteți pentru valori diferite parametru A soluția globală a sistemului de râuri:

1)
2)

3)
4)

5)
6)

§opt. Spații vectoriale

Concept de spațiu vectorial. Cea mai simplă putere.

Haide V ≠ Ø, ( F, +,∙) – câmp. Elementele câmpului se numesc scalari.

Fermentaţie φ : F× V –> V se numește operația de înmulțire a elementelor de înmulțire V pe scalari din teren F. Semnificativ φ (λ,a) prin λа element twir A la un scalar λ .

Programare. Bezlich V dintr-o operație algebrică dată prin adăugarea de elemente într-un multiplicator V acele elemente multiple V pe scalari din teren F se numește spațiu vectorial peste câmpul F, ceea ce înseamnă următoarele axiome:

fundul. Haide F camp, F n = {(A 1 , A 2 , … , A n) | A i F (i=)). Element din piele multiplu F n numit n-vector aritmetic simplu. Să introducem operația de adăugare n-vectori de pace si multiplicare n-vector lume per câmp scalar z F. Haide
. Hai să o facem = ( A 1 + b 1 , … , A n + b n), = (λ A 1, λ A 2, …, λ A n). Bezlich F n unde introducerea operațiilor este spațiu vectorial și se numește n-spațiu vectorial aritmetic simplu peste câmp F.

Haide V- spațiu vectorial peste câmp F, ,
. Există astfel de caracteristici:

1)
;

3)
;

4)
;

Dovada de duritate 3.

Z de gelozie pentru legea grupului rapid ( V,+) poate
.

Păderea liniară, independența sistemelor vectoriale.

Haide V- Spațiu vectorial deasupra câmpului F,

. Un vector se numește o combinație liniară a unui sistem de vectori
. Se numește anonimatul tuturor combinațiilor liniare ale sistemului vectorial înveliș liniar tsієyu system vektorіv i poznaєєєєєyu.

Programare. Sistemul de vectori se numește pârghie liniară, deoarece se folosesc astfel de scalari
nu toate sunt egale cu zero, deci

Cum echivalența (1) este victorioasă fie sau mai puțin decât aceasta, dacă λ 1 = λ 2 = … = =λ m=0, sistemul de vectori se numește liniar independent.

fundul. Chi z'yasuvati chi є sistem de vectori = (1,-2,2), =(2,0, 1), = (-1, 3, 4) spațiu R 3 liniar sau independent.

Soluţie. Fie λ 1 , λ 2 , λ 3
і

 |=> (0,0,0) – soluție de sistem. Otzhe, sistemul vectorial este liniar independent.

Dominanța erorii liniare și independența sistemului vectorial.

1. Sistemul de vectori, care dorește să răzbune un vector zero, este liniar îngrozit.

2. Un sistem de vectori pentru a răzbuna un subsistem liniar de pârghie, unul liniar.

3. Sistem de vectori, de
є liniar liniar par și o singură dată, dacă doriți un vector al sistemului, un singur vector, є o combinație liniară de vectori înainte.

4. Ca un sistem de vectori este liniar independent, dar un sistem de vectori
liniar pârghie, apoi vectorul puteți privi o combinație liniară de vectori și până la același rang.

Aducând. Dacă sistemul vectorial este liniar îngrozit, atunci
nu toate sunt egale cu zero, deci

În echivalență vectorială (2) λ m+1 ≠ 0 λ m+1 \u003d 0, apoi s (2) \u003d\u003e Vedem că sistemul de vectori este liniar îngrozit, cioburi λ 1 , λ 2 , … , λ m nu toate egale cu zero. Au venit să-și șteargă mințile. Z (1) => de
.

Lăsați vectorul să fie afișat în același mod în care îl vedeți: Faceți cu egalitate vectorială
prin independența liniară a sistemului vectorial, putem vedea că
1 = β 1 , …, m = β m .

5. Dați date la două sisteme de vectori și
, m>k. Dacă vectorul sistemului vectorial poate fi combinat ca o combinație liniară a sistemului vectorial, atunci sistemul vectorial este liniar îngrozit.

Baza, rangul sistemului de vectori.

Sistemul vectorial Kіntseva în spațiu V peste câmp F în mod semnificativ prin S.

Programare. Be-yaka subsistem liniar independent al sistemului vectorial S se numește baza sistemului de vectori S sistem vectorial yakscho be-yaky S vă puteți uita la combinația liniară a sistemului vectorial.

fundul. Găsiți baza sistemului de vectori = (1, 0, 0), = (0, 1, 0),

= (-2, 3, 0) R3. Sistemul de vectori, liniar independent, oskіlki, vіdpovіdno la dominația 5 sistemul de vectori a fost eliminat din sistemul de vectori ajutor suplimentar elementele de bază electromecanotronica: iniţialăajutor suplimentar fundație Inginerie Electrică"; ...

Înainte de transformările elementare se pot observa:

1) O adăugare la ambele părți a unei părți egale a celeilalte, înmulțită cu același număr care nu este egal cu zero.

2) Permutarea egalilor misiunilor.

3).

TEOREMA LUI KRONECKER - CAPELLI

(Integritatea sistemului Umova)

(Leopold Kronecker (1823–1891) matematician german)

Teorema: Sistemul este împărțit (poate dori o soluție) fie sau mai puțin dacă rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse.

Evident, sistemul (1) poate fi scris astfel:

x 1 + x 2 + … + x n

Aducând.

1) Dacă decizia este luată, atunci coloana membrilor liberi este o combinație liniară a coloanelor matricei A, care se adaugă și la matrice, adică. tranziția А®А* nu modifică rangul.

2) Yakshcho RgA = RgA * , tse înseamnă că duhoarea poate fi în același minor de bază. Stovpets vіlnyh termіnі - combinație liniară de stovptsіv bază minoră, cu notația corectă, îndreptată mai sus.

fundul. Calculați consistența sistemului de aliniamente liniare:

~ . Rga = 2.

A* = Rga * = 3.

Sistemul este nebun.

fundul. Determinați suma sistemului de aliniamente liniare.

A =; = 2 + 12 = 14 ¹ 0; RgA = 2;

A* =

RgA* = 2.

Sistem de somn. Rezolvare: x1 = 1; x2 = 1/2.

2.6 METODA GAUSS

(Karl Friedrich Gaus (1777-1855) matematician german)

Pe baza metodei matriceale și a metodei Cramer, metoda Gauss poate fi convertită în sisteme de aliniamente liniare dintr-un număr mare de aliniamente și necunoscute. Esența metodei se bazează pe includerea ulterioară a pacienților non-casnici.

Să aruncăm o privire la sistemul de aliniamente liniare:

Să împărțim părțile insultătoare ale primului egal pe un 11 ¹ 0, apoi:

1) înmulțiți cu un 21 văd de la un alt egal

2) înmulțiți cu un 31 văd din a treia egală

, de d 1 j = a 1 j /a 11 j = 2, 3, …, n+1.

d ij = a ij - a i1 d 1j i = 2, 3, …, n; j = 2, 3, …, n+1.

fundul. Dezvăluiți sistemul de linii liniare folosind metoda Gaussiană.

, Stelele sunt acceptabile: x 3 \u003d 2; x 2 \u003d 5; x1=1.

fundul. Verificați sistemul prin metoda Gauss.

Să extindem matricea sistemului.

În acest rang, sistemul extern poate fi prezentat în felul următor:

, Stelele sunt acceptabile: z = 3; y=2; x = 1.

Otriman v_dpovіd zbіgaєtsya vіdpovіddu, otrimana pentru acest sistem prin metoda Cramer și metoda matricei.

Pentru o viziune independentă:

Sugestie: (1, 2, 3, 4).

TEMA 3. ELEMENTE DE ALGEBRI VECTORALI

DENUMIREA DE BAZĂ

Programare. Vector numite drepte (sunt ordonate câteva puncte). Înainte de vector_v_vіdnosti de asemenea zero vector, știuletul acestui tip de zbіgayutsya.

Programare. Dovzhina (modul) vectorul este numit între cob și capătul vectorului.

Programare. Vectorii sunt numiți coliniare ca duhoarea răspândită pe una sau pe liniile paralele. Vectorul nul este coliniar cu orice vector.

Programare. Vectorii sunt numiți coplanare ca un apartament adevărat, ca o miros paralelă.

Vectorii coliniari sunt întotdeauna coplanari, dar nu toți vectorii coplanari sunt coliniari.

Programare. Vectorii sunt numiți egal parcă sunt coliniare, totuși, sunt îndreptate și pot fi aceleași module.

Be-yaki vectori și poate aduce la cob consistent, tobto. pentru a induce vectori și vidpovidno date egale și a face un cob fierbinte. Din desemnarea egalității vectoriale, este evident că dacă un vector poate fi un vector impersonal, egal cu tine.

Programare. Operații pe linie peste vectori se numește adunare și înmulțire cu un număr.

Sumoyu vector_v є vector -

Tvir - , la care kolіnearen .

Vector de direcție іz vector ( ), deci a > 0.

Vectorul directivelor protivolezhnoy cu vectorul (?), astfel încât a< 0.

PUTEREA VECTORIV

1) + = + - comutativitate.

2) + ( + ) = ( + )+

5) (a×b) = a(b) – asociativitate

6) (a + b) = a + b - distributivitatea

7) a(+) = a + a

Programare.

1) Bază spațiul se numește ca și cum ar fi 3 vectori necoplanari, luați în aceeași ordine.

2) Bază pe plat se numesc 2 vectori necoliniari, luați în aceeași ordine.

3)Bază pe o linie dreaptă se numește vector diferit de zero.

Două sisteme de aliniamente liniare într-o singură mulțime x 1 ..., x n

Ele sunt numite echivalente, deoarece deciziile lor impersonale sunt evitate (prin urmare, înmulțirile și K n sunt evitate,). Tse înseamnă, sho: sau duhoare dintr-o dată є submultipli goali (deci sistemele ofensatoare (I) și (II) nestabilite), sau duhoarea imediată nu este goală, i (deci soluția cutanată a sistemului I є soluțiile sistemului II і soluția pielii de Sistemul II є soluții ale sistemului I ).

Stoc 3.2.1.

metoda Gaus

Planul pentru algoritmul propus de Gaus este destul de simplu:

1. zastosovuvat la sistemul de aliniamente liniare secvenţial, pentru a nu schimba soluţia impersonală (în acest fel, luăm soluţia impersonală a sistemului vizual) şi mergem la sistemul echivalent, care poate fi „aspect simplu” (aceasta este numele formularului de pas);
2. pentru „mintea simplă” a sistemului (cu o matrice în trepte) descrieți soluția impersonală care este folosită pentru soluția impersonală a sistemului vizual.

Este semnificativ faptul că metoda apropiată „fan-chen” era folosită deja în matematica chineză antică.

Transformarea elementară a sistemelor de aliniamente liniare (rând de matrice)

Denumirea 3.4.1 (transformare elementară de primul tip). Când până la nivelul i-lea al sistemului, se adaugă nivelul k-lea, înmulțit cu numărul (semnat: (i) "=(i) + c(k); apoi doar un i-lea nivel (i ) se înlocuiește cu un nou nivel (i) „=(i)+c(k)). Poate arăta un nou i-e egal (a i1 + ca k1) x 1 + ... + (a in + ca kn) x n = b i + cb k, sau, pe scurt,

Adică în noul district I a ij " = a ij + ca kj , b i " = bi + cb k.

Denumirea 3.4.2 (conversie elementară tip 2). Pentru i -е і k -е egalii sunt modificați de ranguri, ceilalți egali nu sunt modificați (semne: (i)"=(k) , (k)"=(i) ; .,n

Respect 3.4.3. Pentru claritate, pentru calcule specifice, puteți adăuga transformări elementare de al 3-lea tip: al-lea calcul este înmulțit cu un număr diferit de zero , (i)" = c (i) .

Propunerea 3.4.4. Așa cum tipul de sistem pe care l-am trecut la sistemul II pentru ajutorul numărului final de transformări elementare de tipul 1 și 2, atunci sub forma sistemului II puteți apela la sistemul I, precum și la transformările elementare ale primului și al doilea. al 2-lea tip.

Aducând.

Respect 3.4.5. Fermetatea este adevărată și este inclusă la transformările elementare ale transformării elementare de tipul 3. Yakscho i (i)"=c(i), atunci ta (i)=c -1 (i)" .

Teorema 3.4.6.După ultima oprire a ultimului număr de transformări elementare de tipul I sau al II-lea, sistemul de aliniamente liniare, echivalent cu cob, vine la sistemul de aliniamente liniare.

Aducând. Este important să aruncăm o privire asupra tranziției de la sistemul I la sistemul II pentru adăugarea unei transformări elementare și pentru a aduce soluția de includere la bogăție (fragmentele prin propoziția adusă a sistemului II pot fi transformate la sistemul I și la acesta. , incluziune, să fie adusă ecuanimitate).

Numirea 1. Sistemul de aliniamente liniare minte (1) , de , câmp, se numește un sistem de m linii liniare de la n nevidomimi peste câmp, - Coeficienți pentru nedomici, , , - membri liberi ai sistemului (1).

Numirea 2. Ordonat n-ka (), de, numit până la vârful sistemului de linii liniare(1), chiar și la înlocuirea modificării pe piele, sistemul (1) este schimbat la alinierea numerică corectă.

Numirea 3. somnoros Yakscho vain poate dori să ia o singură decizie. În caz contrar, sistemul (1) este apelat nebun.

Numirea 4. Sistemul de aliniamente liniare (1) se numește cântând poate exista o singura solutie. În caz contrar, sistemul (1) este apelat nenumit.

Sistem de linii liniare

(є decizie) (fără decizie)

nebun somnoros

(o decizie) (nu o decizie)

pevna este necunoscută

Numirea 5. Sistemul de linii liniare peste câmp R numit omogen yakscho toți її vіlnі termeni egali cu zero. În caz contrar, sistemul este apelat eterogen.

Să ne uităm la sistemul de linii liniare (1). Același sistem omogen în minte se numește sistem omogen, asociate din sistemul (1). SLN omogen pentru prima dată, oskolki poate fi decis.

Pentru SLN cutanat, două matrice pot fi introduse dintr-o privire - cea principală este extinsă.

Numirea 6. Matricea principală a sistemului de aliniamente liniare(1) matricea se numește, este compusă din coeficienți fără tip ofensiv: .

Numirea 7. Matricea extinsă a sistemului de aliniamente liniare(1) se numește matricea, trunchiată de la matrice printr-o cale adiacentă acesteia un set de membri liberi: .

Numirea 8.Transformări elementare ale sistemului de aliniamente liniare se numesc astfel: 1) înmulțirea ambelor părți ale aceluiași sistem egal cu un scalar; 2) adăugarea la ambele părți ale unui nivel a sistemului de părți secundare ale celuilalt nivel, înmulțită cu un element; 3) completarea sau dovedirea egală cu mintea.

Numirea 9. Două sisteme de linii liniare peste câmp R cum se numeste schimbarea la fel de puternice, deoarece deciziile lor impersonale sunt evitate.

Teorema 1 . Așa cum un sistem de egalități liniare a fost luat dintr-un altul cu ajutorul transformărilor elementare, astfel de sisteme sunt la fel de puternice.

Transformările elementare manual nu sunt aduse la un sistem de aliniamente liniare, ci la o matrice extinsă.

Numirea 10. Să dăm o matrice cu elemente din câmpul R. Transformări elementare matricele se numesc astfel:

1) înmulțirea tuturor elementelor oricărui rând de pe matrice cu aО Р # ;

2) înmulțirea tuturor elementelor oricărui rând de pe matrice cu aО Р # și adăugarea celorlalte elemente ale rândului următor;

3) permutarea locurilor cu două rânduri ale matricei;

4) adăugarea sau eliberarea rândului zero.

8. Soluție SLU: m metoda excluderii ulterioare a necunoscutelor (metoda Gauss).

Să aruncăm o privire la una dintre principalele metode de decuplare a sistemelor de aliniamente liniare, care se numește prin metoda includerii ulterioare a necunoscutului, ce altceva, metoda Gauss. Aruncă o privire asupra sistemului (1) m rivnian liniar z n nevidomimi peste câmp R:(1) .

Sistemul (1) vrea unul dintre coeficienți dacă nu este bun 0 . Іnakshe (1) - sistemul de egali din () nevіdomimi - tse minți superechit. Ne amintim egalitățile pe luni, astfel încât coeficientul la prima egalizare să nu fie bun 0 . În acest rang, puteți vvazhati, sho. Înmulțiți părțile jignitoare ale primei egale și adăugați la a doua părți ale celeilalte, a treia, ..., m egalul. Luăm mintea sistemului: , de s- cel mai mic numar, asa ca vreau unul dintre coeficienti daca nu sanatos 0 . Ne amintim egalitățile pe luni, astfel încât celălalt rând să aibă un coeficient la modificarea costului 0 , apoi. putem ghici ce. Să înmulțim părțile insultătoare ale celuilalt egal și să adăugăm la părțile egale ale celui de-al treilea, ..., m egalul. Continuând acest proces, luăm în considerare sistemul:

Sistemul de egalități liniare, yak, conform teoremei 1, este egal cu sistemul (1) . Sistemul se numește sistem în trepte de aliniamente liniare. Există două posibilități: 1) A dori unul dintre elemente nu este bine 0 . Haide, de exemplu. La fel și cu sistemul de alinieri liniare, este similar cu mintea că este imposibil. Tse înseamnă că sistemul nu are o soluție și, prin urmare, sistemul (1) nu poate avea o soluție (uneori (1) este un sistem inconsecvent).

2) Hai, ...,. Todi pentru ajutorul transformării elementare Z) luăm sistemul - sistemul r rivnian liniar z n necunoscut. La orice modificare, pentru coeficienți se numesc schimbarea capului(tse), їх total r. Інші ( n-r) schimba numele gratuit.

Există două posibilități: 1) Yakshcho r=n, apoi - sistemul de aspect tricot. Pentru acesta, de la ultimul egal, știm schimbarea, de la ultimul - schimbare, de la primul egal - schimbare. De asemenea, există o singură soluție pentru sistemul de aliniamente liniare, precum și pentru sistemul de aliniamente liniare (1) (uneori sistemul (1) este atribuit).

2) Haide r . Și aici principalele schimbări se întorc prin vile și câștigă soluția decisivă a sistemului de linii liniare (1). Nadayuyuschie zmіnnym dovіlnі znachenya, nabuvayut diferite soluții private ale sistemului de linii liniare (1) (în acest caz, sistemul (1) nu este vizibil).