Procedura de calcul a integralei cu pierderi este similară cu funcționarea generală a integralei de rulare. Pentru descrierea її, introducem înțelegerea zonei triviale corecte:

Numirea 9.1. Regiunea trivială V, înconjurată de o suprafață închisă S, se numește regulată, deoarece:

1. fii drept, paralel cu axa Oz care este trasă prin punctul intern al regiunii, traversând S în două puncte;
2. întreaga regiune V este proiectată pe planul Oxy într-o regiune regulată a două lumi D;
3. dacă o parte a ariei V, vizibilă în ea printr-un plan, paralel cu dacă este din planurile de coordonate, poate avea puterea 1) și 2).

Să ne uităm la zona corectă V, voi margini partea de jos și de sus cu suprafețele z=χ(x,y) și z=ψ(x,y) și proiectate pe planul Oxu y, zona corectă D, mijlocul dintre care x se va schimba în limitele de la a la b, va fi înconjurat de curbele y=φ1(x) și y=φ2(x) (Fig. 1). Fie f(x, y, z) o funcție continuă în domeniul V.

Numirea 9.2. Se numește integrală triplă a funcției f(x, y, z) peste regiunea V sub forma:

Trirazovy іntegrа maє tі zh vlastivostі, shcho і dvorazovy. Pererakhuyemo їх fără confirmare, cioburi de duhoare sunt aduse în mod similar cu căderea integralei în funcție de curte.

Calculul integralei cu pierderi.

Teorema 9.1. Integrala triplă a funcției f(x,y,z) a domeniului regulat V este aceeași cu integrala triplă pe același domeniu:

. (9.3)

Aducând.

Rozіb'ёmo zona V planuri, paralele cu planurile de coordonate, pe n zone regulate. Todі z power 1 strigând

unde este integrala triplă a funcției f(x,y,z) în domeniul .

Formula Vikoristovuyuchi (9.2), paritatea directă poate fi rescrisă dintr-o privire:

Înțelegerea continuității funcției f (x, y, z) este clară, care este granița sumei integrale, care se află în partea dreaptă a ecuației de egalitate și este egală cu integrala a treia. Apoi, trecând la limita când, luăm:

ce trebuia să aducă.

Respect.

Într-un mod similar cu scăderea integralei subcurent, se poate aduce că schimbarea ordinii de integrare nu schimbă valoarea integralei triple.

fundul. Calcularea integralei de V este o piramidă triunghiulară cu vârfuri în punctele (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) și (0, 0, 1). Її proiecție pe planul Oxy є tricutnik cu vârfuri (0, 0), (1, 0) și (0, 1). De jos, aria este mărginită de aria z = 0, iar de sus – de aria x + y + z = 1. Să trecem la integrala triplă:

Multiplicatorii, care nu se află în integrarea schimbătoare, pot fi acuzați pentru semnul integralei duble:

Sisteme de coordonate curbilinie în spațiul trivial.

1. Sistem de coordonate cilindric.

Coordonatele cilindrice ale punctului Р(ρ,φ,z) – coordonatele cepolare ρ, φ ale proiecției punctului pe planul Ohu și aplicatorul punctului dat z (Fig. 2).

Formulele pentru trecerea de la coordonatele cilindrice la coordonatele carteziene pot fi stabilite după cum urmează:

x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (9,4)

1. Sistem de coordonate sferice.

Pentru coordonatele sferice, poziția punctului în spațiu este indicată de coordonatele liniare ρ - distanța de la punct la cobul sistemului de coordonate carteziene (sau polii sistemului sferic), φ - muchia polară dintre pozitivul pіvvіssyu Ox și proiecția punctului pe planul Oxy și θ - kutom între Oz pozitiv și OP dublu (Fig. 3). Cu cine

Având în vedere formula pentru trecerea de la coordonatele sferice la carteziene:

x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ. (9,5)

Zmist geometric jacobian și yogo.

Să ne uităm la tendința sălbatică de înlocuire a modificărilor în integrala metroului. Nehai la zona plată Ohu D este dat, înconjurat de o linie L. Să presupunem că х і у є sunt funcții cu o singură valoare și care diferențiază continuu ale noilor u și v în schimbare:

x = φ(u, v), y = ψ(u, v). (9,6)

Să ne uităm la sistemul de coordonate dreptunghiular Ouv, punctul P(u, v) care punctează P(x, y) din regiunea D. Toate aceste puncte formează regiunea D lângă planul Ouv, Sunt înconjurat de o linie L?. Se poate spune că formulele (9.6) stabilesc o corespondență unu-la-unu între punctele regiunilor D și D. Pentru care liniile u = const că

v = const în planul Ouv va fi similar cu liniile din planul Ohu.

Putem vedea în planul Ouv un maidan dreptunghiular ΔS, mărginit de drepte u = const, u + Δu = const, v = const і v + Δv = const. Їy vіdpovidatimé curbilinie maidanchik ΔS lângă platul Ohu (Fig. 4). Zonele de analiză ale Maidanchiks vor fi notate cu ΔS și ΔS. Pentru ciomu ΔS = Δu Δv. Cunoaștem aria ΔS. În mod semnificativ, vârfurile curbilinii chotyrikutnik P1, P2, P3, P4 de

P1(x1, y1), x1 = φ(u, v), y1 = ψ(u, v);

P2(x2, y2), x2 = φ(u+Δu, v), y2 = ψ(u+Δu, v);

P3(x3, y3), x3 = φ(u+Δu, v+Δv), y3 = ψ(u+Δu, v+Δv);

P4(x4, y4), x4 = φ(u, v+Δv), y4 = ψ(u, v+Δv).

Înlocuirea diferențelor mici zbіlshennya Δu і Δv vіdpovіdmi. Todi

Cu care chotirikutnik P1 P2 P3 P4 poate fi luat ca paralelogram și aria poate fi atribuită formulei pentru geometria analitică:

(9.7)

Numirea 9.3. Varianta se numește varianta funcțională sau iacobiană a funcțiilor φ(x, y) și ψ(x, y).

Trecând la granița cu egalitatea (9.7), eliminăm deplasarea geometrică jacobiană:

deci modulul jacobian este limita dintre aria pătratelor infinit mici S și S.

Respect. Printr-un rang similar, se poate desemna înțelegerea jacobianului și a semnificației sale geometrice pentru spațiul n lume: că x1 = φ1(u1, u2,…,un), x2 = φ2(u1, u2,…,un) ,…, xn = φ(u1 , u2, ..., un), atunci

(9.8)

Cu aceasta, modulul jacobian dă o graniță între „obsyagiv” zone mici de spațiu x1, x2, ..., xn și u1, u2, ..., un.

Înlocuirea modificărilor în integralele multiple.

Dolіdzhuєmo zagalny vpadok zameni zmini z butt podvіynogo іntegral.

Fie dată o funcție continuă z = f(x,y) în zona D, aceeași valoare a funcției z = F(u, v) în zona D, de

F(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v)). (9,9)

Să ne uităm la suma integrală

Suma deintegrală din dreapta este preluată asupra regiunii D. Trecerea la graniță când luăm formula de transformare a coordonatelor în integrala de baleiaj.

Încercați integralele. Calculul volumului corpului.
Integrală de probă în coordonate cilindrice

Trei zile în decanat zăcea cerul, la pantalonii hainelor lui Pitagora,
În mâinile lui Fikhtengolts, există un volum de trimav, că yoghinul luminii albe este viu,
Nu au legat a treia integrală și au învelit cadavrul în matrice,
Iar adjunctul rugăciunii este ca un nahabnik după ce a citit teorema lui Bernoulli.

integrările pierdute sunt acelea de care nu vă mai puteți teme =) Pentru că dacă citiți întregul text, atunci este mai bine pentru tot ce ați înțeles greșit teoria şi practica integralelor „superioare”., precum și integrale dependente. Și acolo, de podvіyny, în apropiere și pierdut:

Într-adevăr, de ce să-ți fie frică? Integrala este mai mică, integrala este mai mare.

Să aruncăm o privire la înregistrare:

- icoana integralei treimii;
- Pidіntegralna functie de schimbare tripla;
- Diferențiale Dobutok.
- Zona de integrare.

Deosebit de remarcat pentru integrarea galeriei. Yakscho in integrală subliniată castigat figură plată, atunci aici - corp de întindere , yaka, știi deasupra. În acest rang, crima celui care te-a ghicit visceral este vinovată de orientare suprafetele principaleși nu uitați să câștigați cele mai simple fotolii trivimir.

Deyakienii erau stânjeniți, înțelepți... Din păcate, articolul nu poate fi numit „integrale utile pentru manechin”, și este necesar să știți / să vă amintiți ceva. Ale, nimic groaznic - tot materialul publicațiilor în cea mai accesibilă formă va fi stăpânit în cel mai scurt termen!

Ce înseamnă să calculezi integrala pierdută și ce a fost nevoie?

Calculați integrala pierdută - tse înseamnă stiu KILO:

În cel mai simplu mod, dacă, a treia integrală este numeric mai avansată în raport cu corpul. І deisno, vіdpovіdno to integrare, tvir unu infinit de mici volumul „ceglinkei” elementare a corpului. Și a treia integrală este Unit toate qi particule infinit de mici după regiune, după care iese valoarea integrală (totală) a volumului corpului: .

În plus, a treia integrală este importantă programe fizice. Ale despre tse pіznіshe - în partea a 2-a a lecției, dedicație calculul pierderilor suplimentare de integrale, pentru care funcția variabilei este constantă ca constantă și este neîntreruptă în sferă. În acest articol, putem vedea în detaliu semnificația obligației, întrucât aprecierea mea subiectivă este respectată de 6-7 ori mai des.

Cum se rezolvă integrala pierdută?

Vіdpovіd este logic viplivає din punctul anterior. Este necesar să se numească ordin de bypass corporal mă duc la repetăm ​​integralele. După aceea, rezolvați succesiv cu trei integrale simple.

Iac bachite, întreaga bucătărie este din ce în ce mai nagaduє integrale subiacente, De la tієyu vіdminnіstyu, scho, în același timp, ni s-a dat un dodatkova rozmіrnіst (aproximativ, înălțime). Eu, singur, mulți dintre voi ați ghicit deja cum se încalcă pierderile integralelor.

Să rezumam ce am pierdut:

fundul 1

Fii amabil, rescrie cu o ștampilă pe hârtie:

І da sfaturi pentru următoarea masă. Chi știu, care sunt suprafețele pentru a seta qi egal? Chi zrozumіly tu informal zmіst tsikh rivnyan? Chi yavlyaєєєєєєєєєєєV, yak і suprafața raztashovanі în spațiu?

De îndată ce shilyatsya la vulgarul vіdpovіdі „mai mult nі, nizh so”, apoi obov'yazkovo opratsyut lecție, altfel nu vei ajunge mai departe!

Soluţie: formula vicoristă

Pentru a schob z'yasuwati ordin de bypass corporal mă duc la repetăm ​​integralele este necesar (totul este ingenios de simplu) să înțelegem ce a fost. Și este grozav să pui fotolii pe un astfel de trandafir în vipadkas bogate.

În spatele minții, corpul este înconjurat de suprafețe kilkom. De ce să începi șic? Pronunțăm următoarea ordine diy:

Pe cob este imaginabil paralele ortogonale proiectia corpului pe planul de coordonate. Prima dată când am spus, cum se numește proiecția, lol =)

Dacă proiectarea urmează să fie realizată la scară mare, atunci în Persh suprafete, yakі paralel cu axa tsієї. Bănuiesc ce fel de suprafețe așa nu răzbuna literele „ze”. Managerul examinat are trei:

- Rivnyannya stabilește zona de coordonate, cum să treacă prin întreg;
- Rivnyannya stabilește zona de coordonate, cum să treacă prin întreg;
- sarcină egală apartament „plat” drept paralel cu axa.

Shvidshe pentru tot, proiecția shukana є vine trikutnik:

Posibil, nu toată lumea avea o înțelegere reziduală a unde să meargă. Arătați că totul iese de pe ecranul monitorului și rămâne direct în transfer ( tobto. ieși, te minunezi de al treilea scaun mondial al fiarei). Întinderile doslіdzhuvane ale corpului se găsesc în „coridorul” triedric fără piele și proiecția acestuia pe zona naimovіrnіshe є tricutnik umbrit.

Acord un respect deosebit pentru ceea ce am petrecut mai multă scuză pentru proiecție iar avertismentul „neishvidshe”, „nayimovirnishe” au fost vipadkovy. În dreapta, în sensul că nu au fost încă analizate toate suprafețele și se poate, chiar și din ele „descoperă” o parte din tricutnik. Ca un fund de amorsă, întrebi sferă centrat pe cobul de coordonate cu o rază mai mică de unu, de exemplu, o sferă – proiecția її pe plan (coloana ) Nu voi repeta zona umbrită „nakry”, iar proiecția corpului se va numi nu tricot (kolo "zrіzhe" youmu gostrі kuti).

De cealaltă parte a scenei, este z’yasovuєmo, chim corpul este înconjurat de fiară, mai jos de jos și vikonuemo întinderea fotoliului. Ne întoarcem spre minte și ne minunăm de suprafață, de parcă suprafața ar fi dispărut. Nivelarea stabilește planul de coordonate în sine, iar nivelarea - cilindru parabolic, regustare de mai sus plat si trece prin tot. În acest rang, proiecția corpului este diisno є trikutnik.

Înainte de vorbire, aici a apărut supramundan Gândiți-vă - în noul bec, nu este obov’yazkovo să includeți chiar și avioane, cioburi de suprafață, ieșind în afara axei absciselor și astfel corpul se închide. Înseamnă că în acest moment nu am fi putut crea o proiecție - tricutnikul „desenat” doar după analiza egalizării.

Un fragment de cilindru parabolic este descris cu precizie:

După fotoliul vikonannya s ocolind corpul fără probleme!

Pe ceafă este semnificativă ordinea în care este străbătută proiecția (cu ajutorul celei mai bune mâini, fiți ghidat de fotolii din două lumi). E timid ABSOLUT ASA, yak i in integrale inferioare! Ghicind indicator laser acea scanare a unei zone plane. Alegeți metoda „tradițională” de prima ocolire:

Dali ia în mâinile fermecătoarei brichete, minunându-se de trivimirul fotoliului și strict la vale luminează pacientul. Modificări pentru a intra în corp prin suprafață și a ieși din acesta prin suprafață. În această ordine, ordinea de ocolire a corpului:

Să trecem la integrări repetate:

1) Începeți următoarele de la integrala „Z”. Vikoristovuemo formula Newton-Leibniz:

Imaginați-vă rezultatul integralei „igame”:

Ce s-a întâmplat? De fapt, soluția a fost redusă la o sub-integrală și ea însăși - la o formulă. volumul fasciculului cilindric! Stiu mai bine:

2)

Respectați tehnica rațională de rezolvare a integralei a 3-a.

Vidpovid:

Calculul poate fi notat și „într-un rând”:


Dar în acest fel, fii atent – ​​dacă câștigi la swidkost, vei amenința cu altceva, iar dacă ai un fund important, sunt mai multe șanse de grațiere.

Notă despre nutriția importantă:

De ce este necesar să lucrezi un fotoliu, astfel încât capul minții să nu solicite vikonannia lor?

Puteți bea chotirma cu poteci:

1) Desenați proiecția aceluiași corp. Cea mai bună opțiune este că este posibil să vikonate două fotolii decente, să nu te plângi, să jefuiești fotolii jignit. Ne recomand inainte.

2) Desenați mai mult corp. Potrivit, dacă corpul este stângaci, acea proiecție evidentă. Deci, de exemplu, un fotoliu cu trei piept a fost blocat la fundul selectat. Totuși, aici este minusul - conform imaginii 3D, nu este la îndemână să stabilești ordinea de ocolire a proiecției și în acest fel mă bucur doar pentru persoanele cu un nivel bun de pregătire.

3) Afișați mai multă proiecție. Tezh nu e rău, dar despre obov'yazkovі dodatkovі pisletovі komentari, regiunea nizh zamezhena din raznih storіn. Din păcate, a treia opțiune este adesea confuză - dacă este prea târziu, este prea mare pentru a face față altor dificultăți. І takі aplica mi so razglyademom.

4) Deplasați-vă fără fotoliu. Este necesar ca fiecare persoană să prezinte corpul gândului și să comenteze în scris forma/formatul. Este bine să alegeți cele mai simple până la chi zavdan, de vikonannya atât fotoliul este important. Dar, totuși, este mai bine dacă doriți să folosiți micuți mici, cioburi ale unei soluții „scop” pot fi respinse.

Vino organism pentru ajutor independent:

fundul 2

Pentru ajutorul integralei de pierdere, calculați volumul corpului, înconjurat de suprafețe

La la acest tip anume zona de integrare este dată mai important de nereguli, iar prețul este mai scurt - fără nereguli setează primul octant, inclusiv planurile de coordonate și denivelările - napіvspіr, cum să răzbuni cob de coordonate (verso)+ zona în sine. Planul „vertical” este întins printr-o parabolă paraboloidă, iar pe fotoliul bazhan este necesară inducerea păpădiei. Pentru cine este necesar să se cunoască punctul de referință suplimentar, în termeni mai simpli, vârful parabolei. (Putem vedea sensul și rozrakhovuyemo vіdpovіdne "z").

Să continuăm să înțelegem:

fundul 3

Calculați cu ajutorul integralei de pierdere volumul corpului înconjurat de suprafețe desemnate. Fotoliu Vikonati.

Soluţie: formula „viconati a fotoliului” ne oferă libertate deak, ale, mai bună pentru orice, transferând vikonania unui fotoliu spațios. Cu toate acestea, nici proiecția nu poate fi încheiată, nu este cel mai ușor lucru de făcut aici.

Dotrimuёmosya vіdpratsovanoї tactici anterioare suprafete, parcă paralel cu axa aplicației. Egalizarea unor astfel de suprafețe nu trebuie răzbunată prin schimbarea clară a „Z”:

- Rivnyannya setează planul de coordonate să treacă prin întreg ( iac pe plat este atribuit „același nume” egal);
- sarcină egală apartament, pentru a trece prin „aceeași linie” „plat” drept paralel cu axa.

Corpul care glumește este înconjurat de un fund plat și cilindru parabolic fiară:

Să punem împreună o procedură de ocolire a corpului, cu care „iksovі” și „igrokovі” interintegrarea, cred că este mai bine să cântăm în spatele fotoliilor din două lumi:

În acest mod:

1)

Când integrarea în spatele „iplayer” - „ix” este considerată o constantă, atunci constanta ar trebui să fie învinuită pentru semnul integralei.

3)

Vidpovid:

Deci, fără a uita puțin, zdebіlshogo otmany rezultatul unui mic (și navit shkіdlivo) zvіryati z trivimirnym fotolii, oskolki z great ymovіrnіstyu vinikne iluzie obliga, Despre yaku I rozpov_shche la lecție Impachetare corporală de volum. Deci, estimând corpul liderului atent, am fost deosebit de norocos că există mai mult de 4 „cuburi” în cel nou.

Un fund ofensiv pentru o viziune independentă:

fundul 4

Calculați cu ajutorul integralei de pierdere volumul corpului înconjurat de suprafețe desemnate. Lucrarea fotoliului acestui corp și proiecția lui în plan.

Zrazok a conceput ca sarcină pentru o lecție.

Nu este rar, dacă vikonnanny scaunului trivimir este mai dificil:

fundul 5

Pentru ajutorul integralei cu pierderi, să cunoască volumul corpului, dat de suprafețele, care îl înconjoară.

Soluţie: proiecția aici este stângace, dar peste ordinea ocolirii, trebuie să vă gândiți Cum să alegeți prima metodă, apoi cifra va trebui să fie împărțită în 2 părți, ceea ce va amenința inevitabil calculul sumi Două Integrale Trinity. Pentru cineva cu o perspectivă mai bogată, există o altă cale. Poate fi văzut și vizualizat prin proiecția acestui corp pe fotoliu:

Voi cere din nou acuratețea unor astfel de imagini, le voi învârti direct din manuscrisele mele.

Alegem o ordine mai viabilă pentru ocolirea figurii:

Acum în dreapta în spatele corpului. De jos, este înconjurat de o zonă plată, de la fiară - de o zonă plată, astfel încât să treacă prin întreaga ordonată. Și totul ar fi nimic, dar restul apartamentului este prea abrupt și nu este atât de ușor să ocoliți prin zonă. Alegerea aici este de neinvidiat: fie robotul de bijuterii este la scară mică (pentru că era subțire pentru a-l subțire), fie fotoliul are vreo 20 de centimetri înălțime (acela și cele care pot încăpea).

Ale și a treia metodă, calmă rusă de a rezolva problema este să punctezi =) și un plat în lateral, un plat în jos și un plat pentru fiară.

Interintegrarea „verticală” este, evident, așa:

Să calculăm volumul corpului, fără a uita că am ocolit proiecția într-un mod mai mic extins:

1)

Vidpovid:

După cum vă amintiți, propunerea în zavdannya corpului nu este costisitoare pentru o sută de dolari, adesea înconjurată de un apartament dedesubt. Dar nu este o regulă, așa că trebuie să fiți pregătit - vă puteți petrece ziua, de tilo roztashovani pid apartament. Deci, de exemplu, dacă te uiți la plat în zamіst selectat, atunci corpul va fi reprezentat simetric în spațiul inferior și va fi înconjurat de un bemol de jos și de un bemol pentru fiară!

Este ușor să comutați pentru a vedea același rezultat:

(Amintiți-vă că este necesar să vă deplasați strict la vale!)

În plus, „îndrăgostit” de plat s-ar putea să nu apară în fața dreptului, cel mai simplu fund: un sac, ascuns mai mult decât apartamentul - cu calculul obligației yogo, egalul nu este necesar în față.

Putem vedea toate aceste puncte de vedere, dar pentru moment, sarcina pentru o viziune independentă este similară:

fundul 6

Pentru ajutorul integralei cu pierderi, pentru a cunoaște corpul, înconjurat de suprafețe

Pe scurt, soluția este să ilustrăm lecția.

Să trecem la un alt paragraf cu materiale nu mai puțin populare:

Integrală de probă în coordonate cilindrice

Coordonatele cilindrice - ce, de fapt, coordonate polare in spatiu.
Într-un sistem de coordonate cilindric, poziția unui punct în spațiu este determinată de coordonatele polare ale punctului - proiecția punctului pe plan și aplicarea punctului însuși.

Trecerea de la sistemul cartezian trivimer la sistemul de coordonate cilindric se realizează prin următoarele formule:

O sută cincizeci dintre transformările noastre arată astfel:

Eu, aparent, într-un mod simplu, care se vede ușor în acest articol:

Golovne, nu uitați de multiplicatorul suplimentar „er” și aranjați corect polaritatea dintre integrare la ocolirea proiecției:

fundul 7

Soluţie: dotrimuєmosya de aceeași ordine diy: ne uităm în față către egal, în unele zile „Z” se schimbă. Există doar unul aici. proiecție suprafata cilindrica pe zona є „cu același nume” colo .

Pătrate înconjoară corpul shukane de jos și fiara („atârnă” yoga de cilindru) și sunt proiectate în colo:

Pe un fotoliu trivimir negru. Principala dificultate constă în suprafața, ca și cum cilindrul ar fi răsucit sub capota „înclinată”, după care să mergem elips. Să clarificăm analitic această rescriere: pentru care rescriem planul vederii funcționale și calculăm valoarea funcției („înălțime”) în punctele pe care le cerem, ca și cum ar fi să ne aflăm pe interproiecție:

Se pare că știi punctele de pe fotoliu și cu atenție (și nu așa, ca mine =)) zadnuєmo їх linie:

Proiecția corpului pe plan este lungimea și lungimea argumentului pentru viteza tranziției la un sistem de coordonate cilindric:

Cunoaștem alinierea suprafeței la coordonatele cilindrice:

Acum urmați procedura de ocolire a corpului.

Să aruncăm o privire la partea din spate a capului din proiecție. Cum se determină ordinea ocolirii? Exact așa calculul subintegralelor în coordonate polare. Aici vinul este elementar:

Interintegrarea „verticală” este, de asemenea, evidentă - intră în corp prin plan și iese din el prin plan:

Să trecem la integrări repetate:

Pentru care multiplicatorul „er” se pune imediat în integrala „proprie”.

Vinik yak zavzhd este mai ușor de spart prin crengi:

1)

Luăm rezultatul integralei ofensive:

Și aici nu se uită că fi este important ca constantă. Ale tse până la ora cântării:

Vidpovid:

Sarcină similară pentru o viziune independentă:

fundul 8

Calculați cu ajutorul integralei de pierdere volumul corpului înconjurat de suprafețe. Fotoliul Vikonati al acestui corp și proiecția lui pe pătrat.

Zrazok design fin ca o lecție.

Pentru a fi sigur, că în mintea problemelor aceluiași cuvânt nu se spune despre trecerea la un sistem de coordonate cilindric, iar persoana nu va fi cunoscută să se lupte cu integrale importante în coordonate carteziene. ... Sau poate nu va fi - chiar dacă este al treilea mod calm rusesc de a rezolva probleme.

Totul abia începe! …în sensul bun: =)

fundul 9

Pentru ajutorul integralei cu pierderi, pentru a cunoaște corpul, înconjurat de suprafețe

Modest și cu bucurie.

Soluţie: întreg suprafata finitaі paraboloid eliptic. Cititori, care sunt familiarizați cu respect cu materialele articolului Principalele suprafețe ale spațiului, deja prezentat, ca și cum ar fi privit la corp, dar în practică vipad-urile pliate de multe ori capcană, așa că voi realiza un raport despre lumea analitică.

Cunoaștem liniile de pe spate, cu care sunt colorate suprafețele. Construim și construim următorul sistem:

De la primul egal, ne putem vedea în termeni:

Drept urmare, două rădăcini sunt îndepărtate:

Imaginați-vă că știți semnificația dacă sistemul este egal:
stelele țipă
Otzhe, rădăcină vіdpovіdaє punct unic - cob de coordonate. Desigur - chiar și vârfurile vârfurilor se ridică.

Acum să ne imaginăm o altă rădăcină - aceeași dacă sistemul este egal:

Care este înlocuirea geometrică a rezultatului? „Pe înălțimi” (în apropierea avionului) paraboloidul și conul sunt colorate de-a lungul cola- o singură rază centrată în punct.

Când „cupa” paraboloidului conține „pâlnia” conului, potoli setea suprafața finală trebuie încrucișată cu o linie punctată (în spatele viței de vie este o vedere îndepărtată a noastră, văzută din acest unghi):

Proiecția corpului pe plan colo cu centrul pe cobul de coordonate de raza 1, pe care nu am îndrăznit să le înfățișez prin evidenta acestui fapt (proteja scrisoare comentariu robimo!). Înainte de discurs, la cele două scaune din față de pe scaun, proiecțiile puteau fi bătute, yakby nu deranjează.

Când treceți la coordonatele cilindrice, formulele standard pot fi folosite pentru a nota denivelările în cel mai simplu mod și pentru a ocoli proiecția problemelor de zi cu zi:

Cunoaștem alinierea suprafeței sistemului de coordonate cilindrice:

Deoarece problema se uită la partea superioară a conului, atunci poate fi văzută:

„Corpul Scanuemo” de jos în sus. Schimbați lumina pentru a intra înainte de noul prin paraboloid elipticși iese prin suprafața de capăt. În această ordine, ordinea „verticală” de ocolire a corpului:

A doua tehnică corectă:

Vidpovid:

Nu este rar, dacă corpului i se cere să nu îl înconjoare cu suprafețe, dar fără nereguli:

fundul 10

Zmist geometricîntinderea de nereguli, am explicat din același articol doveditor. Principalele suprafețe ale spațiului.

Tse zavdannya doresc și ascunde parametrul, dar permit fotoliul exact, care inspiră un aspect important al corpului. Gândește-te ca o vikonati pobudova. Pe scurt, soluția este să o demonstrezi - ca pe o lecție.

... ei bine, ce, este un șprot? Mă gândesc să termin lecția, dar apoi bănuiesc ce vrei mai mult =)

fundul 11

Pentru ajutorul integralei cu pierderi, calculați volumul corpului dat:
, De - Număr mai pozitiv.

Soluţie: denivelări setați coloana cu centrul pe cob de coordonate la rază și denivelările - „Internalitate” unui cilindru circular cu toată simetria razei. În această ordine, corpul, parcă șoptește, este înconjurat de un cilindru circular pe lateral și de segmente sferice simetrice față de suprafață în partea de sus și de jos.

Luând pentru unitatea de bază a lumii, luăm fotoliul:

Mai precis, yoga ar trebui să fie numită un copil mic, cioburi de proporție de-a lungul axei nu voi fi mai bine. Prote, de dragul dreptății, pentru minte, nu era necesar să se ridice nimic și o astfel de ilustrare părea a fi destul de suficientă.

Pentru a arăta respect, că aici nu este înălțimea obov'yazkovo z'yasovuvati, pe un astfel de cilindru atârnat de spatele „pălăriei” - luați doar o busolă în mâini și marcați coloana cu centrul pe cobul de coordonate cu o rază de 2 cm, apoi punctele barei transversale cu cilindrul vor apărea singure .

1. Coordonatele cilindrice sunt un set de coordonate polare în planul xy și din aplicatorul cartezian z (Fig. 3).

Fie M(x, y, z) un punct suficient în spațiul xyz, P este proiecția punctului M pe planul xy. Punctul M este atribuit în mod unic printr-o trinitate de numere - coordonatele polare ale punctului P, z - aplicația punctului M. Formulele care le numesc carteziene pot arăta

fermentație jacobiană (8)

fundul 2.

Calculați integrala

de T - zona inconjurata de suprafete

Soluţie. Trecem integrala la coordonatele sferice folosind formulele (9). Aceeași zonă de integrare poate fi setată cu nereguli

Si asta inseamnă

fundul 3 Cunoașteți volumul corpului, cu franjuri:

x 2 + y 2 + z 2 \u003d 8,

Maemo: x 2 + y 2 + z 2 \u003d 8 - o sferă cu o rază R \u003d v8 cu un centru în punctul O (000),

Partea superioară a conului z2 = x2 + y2 cu toată simetria lui Oz și vârful în punctul O (Fig. 2.20).

Cunoaștem linia barei transversale a sferei conului:

І cioburi pentru minte z? 0, atunci

Cercul R=2, care se află lângă planul z=2.

Așa este (2.28)

de zona u marginita de fiara

(parte a unei sfere),

(partea unui con);

zona U este proiectată pe zona Ohu zona D - raza 2.

De asemenea, pentru a trece incremental în integrală la coordonatele cilindrice, formulele victorioase (2.36):

Intre modificari, r este semnificativ in functie de distanta D v in afara coloanei R=2 cu centrul in punctul O, prin acelasi motiv: 0?c?2p, 0?r?2. În acest fel, regiunea U în coordonate cilindrice este marcată de nereguli în avans:

Respectăm asta

Zavantage de la Depositfiles

Integrală potențială.

Controlați alimentele.

Integral constant, yoga puterii.

Înlocuirea modificărilor în integrala a treia. Calculul integralei cu pierderi în coordonate cilindrice.

Calculul integralei cu pierderi în coordonate sferice.

Hai la funcție u= f(X y,z) atribuite zonei închise V spaţiu R 3 . regiunea Rozib'ёmo V rang decent pe n zone închise elementare V 1 , … ,V n, scho V 1 , …,  V n evident. Semnificativ d- cel mai mare dintre diametrele regiunilor V 1 , … ,V n. În zona pielii V k alege un punct bun P k (X k ,y k ,z k) și depozitare suma integrală funcții f(X, y,z)

S =

Programare.Proba integrală tip de funcție f(X, y,z) pe regiune V numită sumă inter-integrală
yakscho vin isnuє.

Într-o asemenea manieră,

(1)

Respect. Suma integrală S depozit în calea spargerii regiunii V pentru a selecta punctul P k (k=1, …, n). Cu toate acestea, dacă există o graniță, atunci aceasta nu va fi în calea divizării regiunii V pentru a selecta punctul P k. Dacă comparați denumirea subvariantei și a integralelor incrementale, atunci este ușor să folosiți aceeași analogie în ele.

Raționament suficient pentru integrala cu pierderi. Integrala de probă (13) este utilizată ca funcție f(X, y,z) este încadrată V sunt neîntrerupt în V, în spatele coroanei numărului final de suprafețe netede-buloase, putrezind la V.

Acte de putere ale integralei ceramice.

1) Yakscho W- Deci, constantă numerică

3) Aditivitatea pe regiune. Regiunea Yakscho V împărțit în regiuni V 1 і V 2, atunci

4) Corpul potrivit V dorivnyuє

(2 )

Calculul integralei cu pierderi în coordonate carteziene.

Haide D proiecția corpului V pe plat xOy, suprafata z=φ 1 (X,y),z=φ 2 (X, y) inconjoara corpul V sub acea fiară este clar. Tse înseamnă ce

V = {(X, y, z): (X, y)D , φ 1 (X,y)≤ z ≤ φ 2 (X,y)}.

Un astfel de corp este numit z- Cilindrică. Integrală de încercare (1) z-corp cilindric V calculat prin trecerea la integrala repetată, care se adună din tipul articulat al integralei:

(3 )

În această integrală repetată a coloanei vertebrale, se calculează integrala internă a schimbării z, la care X, y vvazhayutsya iminentă. Hai să numărăm integrala inferioară vizualizarea funcției selectate în funcție de regiune D.

Yakscho V X- cilindric sau y- corp cilindric, apoi corectați la formula

Pentru prima formulă D  proiecția corpului V la planul de coordonate yOz, iar în celălalt - în avion xOz

aplica. 1) Calculați totalul corpului V, inconjurat de suprafete z = 0, X 2 + y 2 = 4, z = X 2 + y 2 .

Soluţie. Să numărăm pentru ajutorul integralei de pierdere din spatele formulei (2)

Să trecem la integrala repetată după formula (3).

Haide D- colo X 2 +y 2 ≤ 4, φ 1 (X , y ) = 0, φ 2 (X , y )= X 2 +y 2. Se ia Todi urmând formula (3).

Pentru a calcula această integrală, trecem la coordonatele polare. Când tsimu kolo D se transformă în fără chip

D r = { (r , φ ) : 0 ≤ φ < 2 π , 0 ≤ r ≤ 2} .

2) Tilo V inconjurate de suprafete z=y , z=-y , x= 0 , x= 2, y= 1. Calculați

Pătrate z=y , z=-y a încercui trupul de jos și la fiară, plat x= 0 , x= 2 înconjoară corpul în spate și în față, și plat y= 1 mana dreapta V-z- corp cilindric, proiectie yoga D pe plat hoyє dreptunghi OABC. Să-l lăsăm jos φ 1 (X , y ) = -y

Reprelucrarea integralei verticale sub formă de coordonate dreptunghiulare la coordonatele polare
, conectat cu coordonate dreptunghiulare
,
, urmați formula

Care este zona de integrare
înconjurat de două schimburi
,
(
), care ies din poli, cei doi sunt strâmbi
і
, atunci integrala de bază este calculată folosind formula

.

fund 1.3. Calculați aria figurii, înconjurată de aceste linii:
,
,
,
.

Soluţie. Pentru calcularea suprafeței regiunii
accelerat de formula:
.

Zona imaginabila (Fig. 1.5). Pentru cine convertim curbele: , , , . Să trecem la coordonatele polare: , . . În sistemul de coordonate polare, zona fi descris de egali:

.

1.2. Integrale potențiale

Puterile principale ale integralelor a treia sunt analoge cu puterile integralelor inferioare.

În coordonatele carteziene, a treia integrală trebuie scrisă după cum urmează:

.

Yakscho
, apoi a treia integrală peste regiune volum mai mare numeric al corpului :

.

Calculul integralei cu pierderi

Lasă zona de integrare este înconjurat de dedesubt și către fiară de suprafețe neîntrerupte clar neechivoce
,
, mai mult, proiecția zonei la planul de coordonate
є zonă plană
(Figura 1.6).

La fel și cu valorile fixe aplicații valabile punct de zonă schimbare la frontiere. Todi otrimuemo: . Ce, în plus, o proiecție semnifică nereguli , , de - lipsit de ambiguitate funcții neîntrerupte pe , apoi

.

fund 1.4. calculati
, de - solid, inconjurat de apartamente:

	, , , ( , , ). Soluţie. Zona de integrare este piramida (Fig. 1.7). Proiecția zonei є trikutnik , prin linii drepte , , (Fig. 1.8). La Punct aplicat satisface nervozitatea la asta .
	Amenajarea interintegrarii pentru tricoutnik , Luat

Integrală de probă în coordonate cilindrice

La trecerea la coordonatele carteziene
la coordonatele cilindrice
(Fig. 1.9), pov'yazanih z
spіvvіdneshennya
,
,
, în plus

	, ,, a treia integrală este convertită în: fund 1.5. Calculați volumul corpului, înconjurat de suprafețe: , , . Soluţie. Volumul corpului, despre ce să glumesc dorivnyuє .
	Zonele de integrare fac parte dintr-un cilindru, înconjurat de un fund plat. , dar fiara este plată (Figura 1.10). Proiecția zonei є kolo centrat pe cobul de coordonate și cu o singură rază. Să trecem la coordonatele cilindrice. , , . La Punct aplicat , satisface nervozitatea sau în coordonate cilindrice:

Regiune
, înconjurat de o curbă
, aștept cu nerăbdare să vedem, altfel
la tsimu polar kut
. Fie ca rezultatele

.

2. Elemente de teoria câmpului

Să ghicim din timp cum să calculăm integralele curbilinii și de suprafață.

Calculul integralei curbilinii peste coordonatele functiilor alocate curbelor , se reduce la calculul primei integrale din formă

ce strâmbă dat parametric
arătând cobul curbei , A
- Її punctul final.

Calculul integralei de suprafață ca funcție
, marcat pe suprafața cu două fețe , se adună la calculul integralei subestimate, de exemplu, minte

,

ca suprafata , atribuit egalilor
, proiectat unic pe plan
spre regiune
. Aici - taie intre un singur vector normal la suprafata si tot
:

.

Consumat de mințile din partea capului suprafeței este determinată de alegerea semnului formulei (2.3).

Numirea 2.1. câmp vectorial
se numește funcție vectorială a punctului
imediat din zona її alocată:

câmp vectorial
caracterizat printr-o valoare scalară - divergenţă:

Numirea 2.2. curgere câmp vectorial
prin suprafata se numeste integrala de suprafata:

,

de - un singur vector normal pe partea selectată a suprafeței , A
- scalar doboot vector_v і .

Numirea 2.3. circulaţie câmp vectorial

pe curbă închisă numită integrală curbilinie

,

de
.

Formula Ostrogradsky-Gauss stabiliți o legătură între fluxul câmpului vectorial printr-o suprafață închisă și divergența câmpului:

de - Deasupra, înconjurat de o buclă închisă , A - Un singur vector normal la suprafață. Direct normal, pot exista beneficii de la o ocolire directă a conturului .

fund 2.1. Calculați integrala de suprafață

,

de - Zovnishnya parte a conului
(
), care este văzut de avion
(Figura 2.1).

Soluţie. deasupra proiectat unic în zonă
apartamente
, iar integrala se calculează după formula (2.2).

Un singur vector normal la suprafață știm din formula (2.3): . Aici, pentru normal, este selectat semnul plus, cioburile sunt tăiate în aer atat de normal - prost i, otzhe, poate fi negativ. Vrakhovuyuchi sho , la suprafață acceptabil

Regiune
є kolo
. Prin urmare, în integrala rămasă trecem la coordonatele polare, pentru care
,
:

fund 2.2. Găsiți divergența și curba unui câmp vectorial
.

Soluţie. Pentru formula (2.4) luăm

Rotorul câmpului vectorial este cunoscut din formula (2.5)

fund 2.3. Cunoașteți valoarea câmpului vectorial
printr-o parte a zonei :
, roztashovanu la prima oktantі
).

	Soluţie. Forța formulei (2.6) . Reprezentăm o parte din zonă : , raztashovanu la primul octant. Alinierea zonei date la paravanul poate arăta (Figura 2.3). Vectorul normal al planului poate coordona: , un singur vector normal
	. . , , stele , otzhe,

de
- proiecția zonei pe
(Figura 2.4).

Exemplul 2.4. Calculați fluxul unui câmp vectorial printr-o suprafață închisă , stabilit de un apartament
acea parte a conului
(
) (Fig. 2.2).

Soluţie. Accelerată de formula Ostrogradsky-Gauss (2.8)

.

Cunoaștem divergența câmpului vectorial formula (2.4):

de
- obsyag con, yakim condus іtegruvannya. Accelerați cu formula de acasă pentru calcularea volumului conului
(- raza bazei conului, - Înălțimea Yogo). Pentru mintea noastră, putem lua
. Rezidual

.

fund 2.5. Calculați circulația câmpului vectorial
de-a lungul conturului , acoperit cu peratină deasupra
і
(
). Verificați rezultatul folosind formula Stokes.

Soluţie. Peretina zaznachenih suprafață є colo
,
(Figura 2.1). Ocolind direct vibrația, sunetul celor schob înconjurat de ea, zona a rămas cu răutate. Să notăm alinierea parametrică a conturului :

stele

mai mult, parametrul schimba in inainte de
. În spatele formulei (2.7) din ecuațiile (2.1) și (2.10) luăm

.

Să prezentăm acum formula Stokes (2.9). Suprafata de iac , intins pe contur , poți lua o parte din zonă
. Direct normal
pentru a tsієї surf zgodzhuєtsya z ocolire directă a circuitului . Rotorul câmpului vectorial al calculelor din aplicația 2.2:
. Deci circulație shukana

de
- zona regiunii
.
- aproape de rază
, stele