Vedeți matricea acelei yogă a puterii. Matrici. Treceți peste matrice. Dominanța operațiunilor pe matrice. Vezi matricea. Operatii de pliere si vizualizare a matricelor

Matrici. Treceți peste matrice. Dominanța operațiunilor pe matrice. Vezi matricea.

Matrici poate fi o valoare importantă în matematica aplicată, care poate fi scrisă într-o formă simplă a unei părți semnificative modele matematice obiecte și procese. Termenul „matrice” a apărut în 1850. Anterior, matricele erau ghicite în China antică, mai târziu în matematicienii arabi.

Matrice A=Amn se numește ordinul m * n tabelul rectiliniu al numerelor.

Elemente de matrice aij, pentru care i=j se numesc diagonala i diagonala principală.

Pentru o matrice pătrată (m=n), diagonala capului este formată din elemente a 11 , a 22 ,..., a nn .

Matrici rivniste.

A=B doar ordinea matricelor Aі B cu toate acestea, că a ij = b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Treceți peste matrice.

1. Adunarea matricelor - operare element cu element

2. Vizualizarea matricilor - operare element cu element

3. Adăugarea unei matrice la un număr este o operație element cu element

4. Multiplu A*B matrice după regulă rând deasupra(numărul de coloane din matricea A poate fi egal cu numărul de rânduri din matricea B)

Amk * Bkn = Cmn de ce elementul piele h ij matrici Cmn se adună suma elementelor rândului i al matricei A și a celorlalte elemente ale coloanei j-a a matricei B, tobto.

Să arătăm pe exemplu operația de înmulțire a matricelor

5. Legături la picioare

m>1 celulă Data. A este o matrice pătrată (m=n) tobto. relevante pentru matrice pătrată

6. Transpunerea matricei A. O matrice transpusă este notată cu A T sau A

Rândurile și coloanele erau comemorate prin misiuni

fundul

Puterea operațiunilor pe matrice

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

Matrice Vidi

1. Dreptunghiular: mі n- numere destul de pozitive

2. Pătrat: m=n

3. Rând matrice: m=1. De exemplu, (1 3 5 7) - pentru multe sarcini practice, o astfel de matrice se numește vector

4. Matrix Stovpets: n=1. De exemplu

5. Matricea diagonală: m=nі a ij = 0, ca i≠j. De exemplu

6. Matrice singură: m=nі

7. Matrice zero: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Matrice Tricot: toate elementele de sub diagonala titlului se adună până la 0.

9. Matricea simetrică: m=nі a ij = a ji(să stea elemente egale pe diagonalele capului simetrice) și, de asemenea A"=A

De exemplu,

10. Matricea oblică: m=nі a ij =-a ji(De aceea pe diagonalele principale simetrice sunt elemente protilene). De asemenea, pe diagonala capului stau zerouri (pentru că cu i=j poate a ii =-a ii)

am inteles A"=-A

11. Matricea hermitiana: m=nі a ii =-ã ii (ã ji- complex - primit până la a ji, apoi. yakscho A=3+2i, apoi complex - obținut Ã=3-2i)

Șef al Algebrei Liniare. Conceptul de matrice. Vezi matricea. Operatii cu matrici. Sarcini Razv'yazannya pentru transformarea matricelor.

În cazul diferitelor sarcini de matematică, mama este adesea adusă la dreapta cu tabele de numere, numite matrice. Pentru matrici suplimentare, revizuiți manual sistemul de aliniamente liniare, revizuiți operațiunile bogate cu vectori, revizuiți diferitele sarcini de grafică pe computer și alte sarcini de inginerie.

Matrix se numește tabel rectiliniu al numerelor, ce să răzbune șprotul m ryadkіv ta deyaka kіlkіst P stoptsiv. Numerele tі P se numesc ordine de matrice. In acelasi timp t = P, matricea se numește pătrat, iar numărul m = n-її în ordine.

Nadal pentru înregistrarea matricelor va fi blocat fie prin creste duble, fie prin arcade rotunde:

Abo

Pentru o valoare matriceală scurtă, veți folosi adesea o literă latină mare (de exemplu, A) sau simbolul || a ij ||, iar uneori cu explicațiile trandafirilor: DAR = || a ij || = (aij), de (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n).

Numerele aij, care intră în depozitul unei matrice date, se numesc її elemente. La post aij primul indice і înseamnă numărul rândului și celălalt index j- Numărul stației. Într-o matrice pătrată

(1.1)

introduceți conceptele de cap și diagonale laterale. Diagonala capului matricei (1.1) se numește diagonală a 11 la 12 … Ann ceea ce merge din colțul din stânga sus al matricei în colțul din dreapta jos al matricei. Diagonala laterală a aceleiași matrice se numește diagonală a n 1 a (n -1) 2… a 1 n , sho merge de la kut stânga jos la kut dreapta sus.

Principalele operații pe matrice sunt cele de putere.

Să trecem la definirea principalelor operații pe matrice.

Adăugarea de matrici. Sumy două matrici A = | a ij || , de і B = | | b ij || , de (i = 1, 2, ..., t, j = 1, 2, ..., n) una și aceeași ordine tі P numită matricea C = || h ij || (i = 1,2, ..., t; j = 1, 2, ...., n) ordine linistita tі P, elemente h ij care sunt atribuite formulei

, de (i = 1, 2, ..., t, j = 1, 2, ..., n)(1.2)

Pentru a înțelege suma a două matrice, se face o înregistrare Z \u003d A + U. Operația de pliere a unei sume de matrice se numește plierea lor. Otzhe, pentru cei numiti:

+ =

Din desemnarea sumei matricelor, sau mai degrabă din formulele (1.2), se lasă de înțeles că operația de pliere a matricelor poate avea putere, că operația de pliere a numerelor reale și ea însăși:

1) autoritate de schimbare: A + B = B + A,

2) cu putere bună: ( A + B) + C = A + (B + C).

Autoritățile tsі nu permit dbati despre ordinea trecerii matricelor suplimentare la plierea a două sau număr mai mare matrici.

Înmulțirea unei matrice cu un număr. Matrice suplimentară A = || a ij || , De (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) în vorbire numărul l se numește matrice Z = | | h ij || (i = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n) elemente care sunt alocate formulei:

, de (i = 1, 2, ..., t, j = 1, 2, ..., n)(1.3)

Pentru recunoașterea creării matricei pentru număr se face o înregistrare Z \u003d l A sau Z \u003d A l. Operația de adunare a creării unei matrice la un număr se numește înmulțirea numărului matricei.

Din formula (1.3) reiese clar că înmulțirea unei matrice cu un număr poate avea aceeași putere:

1) cu o putere bună ca un multiplicator numeric: (l m) A = l (m A);

2) matrice de sumă shkodo de putere rozpodіlnoyu: l (A + B) = l A + l B;

3) numere de putere shkodo sumi rozpodіlnoyu: (l + m) A = l A + m A

Respect. Retail două matrice DARі La aceeasi ordine tі P numiți în mod firesc o astfel de matrice W ordine linistita tі P, yak u sumі z matrice B dă matricea A. Pentru a determina diferența dintre două matrici, se folosește o înregistrare naturală: W = A - Art.

Este ușor să fii confuz în ceea ce este diferit W două matrice DARі La poate buti otrimana pentru regula C \u003d A + (-1) B.

matrice TV sau înmulțirea matriceală.

Dobootcom Matrix A = | a ij || de (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) maє ordine, vіdpovіdno egal tі n, pe matrice B = | | b ij || , de (i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., p), maє ordine, vіdpovіdno egal nі R, numită matrice Z = | | h ij || (i = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., p), ordinele scho maє, vіdpovіdno egal tі R elemente care sunt alocate formulei:

de (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., p)(1.4)

Pentru cunoașterea creării matricei DAR pe matrice La palmares vicorist C = A × B. Operație de pliere a matricei DAR pe matrice La se numește înmulțirea matricelor.

Din formulat vishche vznachennya viplivaє că matricea A poate fi înmulțită nu cu o matrice, este necesar, numărul schob de coloane de matrice DAR mai mult decât numărul de rânduri din matrice Artă.

Formula (1.4) este regula de pliere a elementelor matricei C, care este crearea matricei DAR pe matrice Artă. Această regulă poate fi formulată verbal: elementul c i j, care se află la intersecția rândului i și coloanei j a matricei C = AB, adună suma creațiilor în perechi ale acelorași elemente din rândul i al matricei A și coloanei j a matricei. matricea B.

Ca exemplu de stabilire a regulii atribuite, introducem formula de înmulțire a matricilor pătrate de un ordin diferit.

× =

Formulele (1.4) emană o asemenea putere la crearea matricei DAR pe matrice LA:

1) putere bună: (AB) C = A (BC);

2) rozpodіlna schodo sumi matrice de putere:

(A + B) C = AC + BC sau A (B + C) = AC + AC.

Nutriție despre permutarea (relocarea) puterii la crearea matricei A pe matrice La setați mai mult sens pentru matricele pătrate A și B aceeași ordine.

Să aducem matrice okremі vpadki importante, pentru care este corectă și permutarea puterii. Două matrice pentru crearea celor care pe bună dreptate permutarea puterii, se obișnuiește să se numească naveta.

Mijlocul matricelor pătrate poate fi văzut ca o clasă de matrici diagonale, în pielea acestor elemente, cusătura poziției diagonalei capului este egală cu zero. Matricea diagonală a pielii în ordine P poate arata

D= (1.5)

de d1, d2,… ,dn-yakі zavgodno numere. E usor sa bachiti, ca numerele sunt egale intre ele, adica. d1=d2=… = d n apoi pentru orice matrice pătrată DAR Ordin P dreptatea este corectă A D = D A.

Mijlocul matricelor diagonale (1.5) este compus din elemente d1=d2=… = d n = = d Două matrice joacă un rol deosebit de important. Prima dintre aceste matrice apare la d=1 numită matricea identităţii n e. O altă matrice la care să intrați d=0 numită matricea zero n de ordinul a, este notat cu simbolul OhÎntr-o asemenea manieră,

E= O=

În virtutea celor de mai sus A E = E Aі AO = PRO A.În plus, este ușor să arăți asta

A E \u003d E A \u003d A, A O \u003d O A \u003d 0. (1.6)

Prima dintre formulele (1.6) caracterizează rolul special al matricei unice E, similar cu rolul tău, ca și cum ai juca numărul 1 la înmulțirea numerelor reale. Care este rolul special al matricei zero O, atunci nu arată doar un prieten al formulelor (1.7), ci și egalitatea, care este elementar inversată

A+0=0+A=A.

În concluzie, este respectuos faptul că înțelegerea matricei zero poate fi introdusă pentru matrici nepătrate (zero se numește fi-yaku matrice, toate elementele fiind egale cu zero).

matrice bloc

Să presupunem că matricea Deak A = | a ij || pentru ajutorul liniilor drepte orizontale și verticale, este spart în celule okremі tăiate drept, pielea cu o matrice de dimensiuni mai mici și se numește bloc al matricei externe. Într-un astfel de timp, motivul este capacitatea de a privi matricea externă. DAR ca o nouă matrice (așa-numita bloc). DAR = || A a b ||, elementele cărora le sunt alocate blocuri. Denumirile elementelor sunt semnificate prin marea literă latină, indicele sob, ceea ce pute, vzagali aparent, matrice, și nu numere і (ca element numeric primar) este furnizat de doi indici, primul indicând numărul rând de bloc, iar celălalt - numărul blocului.

De exemplu, matrice

poți arăta ca o matrice de bloc

elemente precum aceste blocuri:

Ciudat este faptul că operațiunile principale cu matrice bloc urmează aceleași reguli, în spatele cărora duhoarea urmează cele mai semnificative matrici numerice, blocurile joacă rolul de elemente.

Concept vizionar.

Să ne uităm la o matrice destul de pătrată, indiferent de ordine P:

A= (1.7)

Cu o astfel de matrice de piele, legăm o singură caracteristică numerică, o numesc semnificant, un număr proeminent al matricei.

Cum comanda n matricele (1.7) sunt egale cu 1, atunci această matrice este compusă dintr-un element un i j este semnificantul de ordinul întâi care se potrivește cu o astfel de matrice, numim valoarea elementului.

atunci semnul unui alt ordin, care arată o astfel de matrice, se numește un număr care este mai mult a 11 la 22 - a 12 la 21și este indicată de unul dintre simbolurile:

Părinte, pentru cei desemnați

(1.9)

Formula (1.9) este regula de pliere a variabilei într-o ordine diferită după elementele unei matrice similare. Formularea verbală a acestei reguli este următoarea: semnificantul unei ordini diferite, a doua matrice (1.8), adaosul de elemente mai scump, care ar trebui să stea pe diagonala capului matricei, și adăugarea de elemente, care ar trebui să stea pe diagonala secundară. Liderii celuilalt ordin superior cunosc o zastosuvannya largă la ora perfecționării sistemelor de linii liniare.

Să aruncăm o privire, cum să facem cu ochiul operații cu matrice în sistemul MathCad . Cele mai simple operații ale algebrei matriceale sunt implementate de MathCad ca operatori. Scrierea operatorilor din culise este cât mai apropiată de funcția matematică originală. Operatorul de piele este exprimat în același caracter. Să aruncăm o privire la operațiile matrice și vectoriale ale MathCad 2001. n x 1, Prin urmare, toate operațiile sunt valabile pentru ei, ca și pentru matrice, care nu sunt deosebit de saturate (de exemplu, astfel de operații sunt limitate doar la matrice pătrată) n x n). Yakі este admisibil numai pentru vectori (de exemplu, scalar twir) și yakіs, indiferent de aceeași scriere, într-un mod diferit pe vectori și matrice.

Pentru dialog, specificați numărul de rânduri și coloane ale matricei.

q Când este apăsat butonul OK, este afișat un câmp pentru introducerea elementelor matricei. Pentru a introduce un element de matrice, plasați cursorul la desemnarea poziției și introduceți numărul sau numărul de ori de la tastatură.

Pentru a vikonate ca operație pentru o bară de instrumente suplimentară, aveți nevoie de:

q vedeți matricea și faceți clic în panou pe butonul de operare,

q sau faceți clic pe butonul de pe panou și introduceți numele matricei în poziția valorii.

Meniul „Simboluri” are trei operații - transpunere, inversare, oscilator.

Tse înseamnă, de exemplu, că puteți calcula indicele matricei tastând comanda Simboluri/Matrice/Semnătură.

Numărul primului rând (i al primei coloane) al matricei MathCAD este luat din modificarea ORIGINEA. Pentru promoții, factura se efectuează de la zero. În notația matematică, se obișnuiește adesea să se păstreze valoarea intrării 1. În MathCAD, numărul de rânduri și coloane ale intrării este 1, este necesar să se stabilească valoarea modificării ORIGIN:=1.

Funcțiile alocate roboților din rutinele de algebră liniară sunt selectate în secțiunea „Vectori și matrici” din dialogul „Inserare funcție” (se presupune că se face clic pe butonul din panoul „Standarde”). Principalele funcții ale acestora vor fi descrise mai jos.

Transpunerea

Fig.2 Transpunerea matricei

MathCAD poate adăuga matrice, astfel încât să le puteți vedea una câte una. Pentru acești operatori sunt desenate simboluri <+> sau <-> evident. Matrici datorate mamei aceleiași păci, altfel veți vedea un memento despre grațiere. Elementul skin este suma a două matrici și suma celorlalte elemente ale matricelor-adăugiri (cap la cap în Fig. 3).
Plierea matricei, MathCAD suportă operația de adăugare a unei matrice cu o valoare scalară, tobto. număr (cap la cap fig. 4). Elementul de piele al matricei rezultate este egal cu suma elementului matricei de ieșire și valoarea scalară.
Pentru a introduce simbolul înmulțirii, este necesar să apăsați tasta cu zirochka<*>sau accelerați bara de instrumente Matrice (Matrice), apăsând butonul Produs punctual (multiplicare)(Fig.1). Înmulțirea matricei este notă cu punctul de abreviere, așa cum se arată în anexa din Figura 6. Simbolul înmulțirii matricei poate fi ales în același mod ca i în expresiile scalare.
Un alt exemplu, care poate fi înmulțit cu un vector cu o matrice-rând i, acum, rânduri cu un vector, este prezentat în fig. 7. Într-un alt rând, care exemplu arată cum arată formula atunci când selectați operatorul de înmulțire Fără spațiu (Împreună). Totuși, același operator de multiplicare se împarte în doi vectori și într-un mod diferit .

Informații similare.

Matrici. Vezi matricea. Operații pe matrice și yoga puterii.

Matrice semnificativă de ordinul n-a. N, Z, Q, R, C,

O matrice de ordinul m * n se numește tabel dreptunghiular cu s numere, care poate fi înlocuită cu un m-rând și n - coloane.

Matrici rivniste:

Două matrici sunt numite egale, deoarece numărul de rânduri și coloane ale uneia dintre ele este egal cu numărul de rânduri și coloane ale celeilalte și celeilalte. matrici el-ti tsikh egale.

Notă: El-ty, yakі poate avea aceiași indici, є vіdpovіdnimi.

Vezi matricea:

Matrice pătrată: matricea se numește pătrată, deoarece numărul de rânduri este egal cu numărul de coloane.

Dreptunghiulară: matricea se numește dreptunghiulară, deoarece numărul de rânduri nu este egal cu numărul de coloane.

Matrice de rând: O matrice de 1 * n (m = 1) poate arăta ca a11, a12, a13 și se numește matrice de rând.

Stovpets Matrix:………….

Diagonală: diagonala matricei pătrate, care merge de la kut din stânga sus până la kuta din dreapta jos, adică formată din elementele a11, a22 ... - se numește diagonala capului. (definiție: o matrice pătrată cu toate elementele care se adună până la zero, crema este liniștită, care se întinde pe diagonala capului, se numește matrice diagonală.

Singur: matricea diagonală se numește unică, deoarece toate elementele sunt plasate pe diagonala capului și se adaugă 1.

Tricut superior: A = | | aij | | se numește matricea superioară a tricotului, deci aij=0. Gandeste-te i>j.

Tricut inferior: aij=0. i

Zero: ce matrice El-ty ca bun 0.

Operații pe matrice.

1. Transpunere.

2. Înmulțirea unei matrice cu un număr.

3. Matrici de pliere.

4. Înmulțirea matricelor.

Principalul sv-va podії peste matrice.

1.A+B=B+A (comutativitate)

2.A+(B+C)=(A+B)+C (asociativitate)

3.a(A+B)=aA+aB (distributivitate)

4.(a+b)A=aA+bA (distribuitor)

5.(ab)A=a(bA)=b(aA) (asoots.)

6.AB≠BA (ziua cui.)

7.A(BC)=(AB)C (asoc.) Matricele Virobiv sunt victorioase.

8.A(B+C)=AB+AC (distribuitor)

(B+C)A=BA+CA (distribuitor)

9.a(AB)=(aA)B=(aB)A

Semnificativul matricei pătrate este semnificația acelei yogă a puterii. Dispunerea vyznachnik-ului în rânduri și rânduri. Modalități de calculare a nominalizaților.

Dacă o matrice are ordinul m>1, atunci semnificantul acestei matrice este un număr.

Adunări algebrice Aij el-ta aij matricea A se numește Mij minor, înmulțiri cu numărul

TEOREMA 1: Matricea semnificativă A este o bună sumă de creații ale tuturor elementelor unui rând suficient (stovptsya) cu adunările lor algebrice.

Principalele puteri ale persoanelor desemnate.

1. Indicatorul matricei nu se modifică la ora transpunerii.

2. La rearanjarea a două rânduri (stovptsiv), semnificantul schimbă semnul, dar valoarea absolută a yogo-ului nu se schimbă.

3. Matrice semnificativă care poate avea două rânduri identice (stowpts) egale cu 0.

4. Când înmulțiți un rând (stovptsya) al unei matrice cu un număr її, semnificantul este înmulțit cu numărul întreg.

5. Dacă unul dintre rândurile (stowpts) ale matricei este adăugat la 0, atunci indicele rândului matricei este egal cu 0.

6. Chiar dacă toate elementele rândului i (stowptsya) ale matricei sunt reprezentate prin examinarea sumei a două matrici suplimentare, atunci același semn poate fi depus la analiza sumei a două matrice.

7. Persoana desemnată nu se modifică, astfel încât elementelor unei coloane (rând) se adaugă un alt element al celeilalte coloane (rând) în fața unei pluralități. pentru acelasi numar.

8. Suma celor mai importante elemente ale coloanei (rândului) următoare a liderului de pe vârful algebrei elementelor coloanei (rândului) următoare este egală cu 0.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif" width="46" height="27">

Metode de calcul a principalului:

1. Pentru definirea chi-ului prin Teorema 1.

2. Adus la un aspect tricot.

Semnificația acelei puteri a matricei de rotire. Calculul matricei cifrei de afaceri. Alinierea matricei.

Denumire: O matrice pătrată de ordinul n este numită pivot la o matrice și de același ordin i se atribuie

Pentru ca matricea A să se bazeze pe matricea inversă, este necesar și suficient ca originea matricei A să fie 0.

Dominanța matricei pivot:

1. Unitate: pentru matricea A її reversibilă - unitate.

2. desemnator de matrice

3. Operatia de preluare a transpozitiei si de preluare a matricei de rotatie.

Alinierea matricei:

Fie A și B două matrici pătrate de același ordin.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif" width="163" height="11 src=">

Înțelegerea liniarității și independenței coloanelor matriceale. Dominanța erorii liniare și independența liniară a sistemului de parteneri.

Stovptsі A1, A2 ... An se numesc liniar liniar, deoarece nu este o combinație liniară banală, care este mai aproape de coloana 0.

Coloanele A1, A2 ... An se numesc liniar independente, deoarece nu sunt o combinație liniară banală, care este egală cu coloana 0.

O combinație liniară se numește trivială, deoarece toți coeficienții С(l) sunt egali cu 0 și nu sunt triviali într-un mod diferit.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif" width="88" height="24">

2. pentru ca stâlpii să fie liniar în pârghie este necesar și suficient, astfel încât acestea să fie o combinație liniară a altor stâlpi.

Aduceți una dintre coloane cu o combinație liniară de alte coloane.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif" width="79" liniar rădăcină, apoi toate coloanele sunt liniar zăbove.

4. Așa cum sistemul de traverse este liniar independent, atunci dacă subsistemul este el însuși liniar independent.

(Tot ce se spune despre stovptsiv este valabil și pentru rânduri).

Matrici minore. Minor de bază. Rangul matricei. Metoda este încadrată de minori în calculul rangului matricei.

Minorul ordinului la matricea A este semnificantul elementului de sortare pe banda la rândurile și coloanele matricei A.

Dacă toți minorii la ordinul al treilea al matricei A = 0, atunci dacă există un minor în ordinul până la +1 sau chiar 0.

Minor de bază.

Rangul matricei A este de ordinul bazei minore.

Metodă de încadrare a minorilor: - Selectăm un element diferit de zero al matricei A (Dacă nu există un astfel de element, atunci rangul lui A = 0)

Este încadrat de minorul de ordinul 1 față de minorul de ordinul 2. (Dacă acest minor nu este egal cu 0, atunci rangul este >=2) Dacă rangul primului minor este 0, atunci vibrațiile minorului de ordinul 1 sunt încadrate de alți minori de ordinul 2. (Dacă toți minorii de ordinul 2 = 0, atunci rangul matricei = 1).

Rangul matricei. Metode de determinare a rangului unei matrice.

Rangul matricei A este de ordinul celui de-al treilea minor de bază.

Metode de calcul:

1) Metoda de margine a minorilor: - Selectați un element diferit de zero al matricei A (dacă nu există un astfel de element, atunci rang = 0) - Încadrați minorul de ordinul 1 înainte cu minorul de ordinul 2.. gif" width="40" >r+1 Mr +1=0.

2) Aducerea matricei într-un aspect treptat: această metodă se bazează pe transformări elementare. Cu transformări elementare, rangul matricei se schimbă.

Următoarele transformări se numesc transformări elementare:

Permutarea a două rânduri (stovptsiv).

Înmulțirea tuturor elementelor numărului deyago stovptsya (rânduri) nu este =0.

Supliment la toate elementele următorului rând (rând) ale elementelor următorului rând (rând), înainte înmulțit cu același număr.

Teorema despre minorul de bază. Acea inteligență suficientă este necesară pentru egalitatea zeroului semnificantului.

Baza minoră a matricei A este minorul celui mai mare ordin pre-al-lea al vederii dominante 0.

Teorema minoră a bazei:

Rândurile de bază (stovpts) sunt liniar independente. Dacă un rând (stovpets) al matricei A este o combinație liniară de rânduri de bază (stovptsiv).

Rândurile și coloanele pe a căror retină se află minorul de bază se numesc în principiu rânduri și coloane de bază.

a11 a12... a1r a1j

a21 a22….a2r a2j

a31 a32….a3r a3j

ar1 ar2 ….arr arj

ak1 ak2…..akr akj

Minte necesară și suficientă pentru a fi egală cu zero al semnificantului:

În acest scop, liderul ordinului n-lea = 0, este necesar și suficient, astfel încât rândurile (stowpts) să fie liniar îngrozite.

Sisteme de linii liniare, clasificarea lor și forma înregistrării. regula lui Cramer.

Să aruncăm o privire la sistemul de 3 linii liniare din trio-ul de nevidomimi:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif" alt="(!LANG:(!LANG:l14image048)" width="64" height="38 id=">!}!}

numit arbitrul sistemului.

Mai adăugăm trei lideri în rangul care urmează: înlocuim în succesiune D în secvența 1, 2 și 3 a stâlpilor stâlpului membrilor liberi.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif" alt="(!LANG:(!LANG:l14image052)" width="93" height="22 id=">!}!}

Aducând. Mai târziu, să aruncăm o privire la sistemul de 3 egali dintr-un trio de nevіdomimi. Înmulțim prima aliniere a sistemului prin adăugarea algebrei A11 a elementului a11, a doua aliniere cu A21 și a treia cu A31:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif" alt="(!LANG:(!LANG:l14image056)" width="247" height="31 id=">!}!}

Să ne uităm la pielea lanțului și la partea dreaptă a tsy equal. Conform teoremei despre aranjarea arbitrului pentru elementele coloanei I

https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif" alt="(!LANG:(!LANG:l14image060)" width="324" height="42 id=">!}!}

În mod similar, se poate demonstra că i .

Lui Nareshti nu-i pasă să-și amintească asta

Otzhe, otrimuemo gelozie:.

Tată, .

În mod similar, sunt prezentate echivalența și stelele și solidificarea teoremei.

Sisteme de linii liniare. Însumarea lui Umov a rivnianului liniar. Teorema Kronecker-Capelli.

Soluția sistemului de egalizări algebrice se numește o astfel de pluralitate de n numere C1,C2,C3……Cn, deoarece la fundamentarea y, sistemul se găsește pe spațiul x1,x2,x3…..xn

Sistemul de aliniamente liniare al algebrei se numește sistem comun, de parcă nu ar putea avea o singură soluție.

Un sistem split se numește cânt, pentru că există o singură soluție și este invizibil, pentru că există o soluție impersonală.

Spălați însumarea sistemelor de linii algebrice liniare.

a11 a12 ……a1n x1 b1

a21 a22 ……a2n x2 b2

……………….. .. = ..

am1 am2…..amn xn bn

TEOREMA: Pentru ca sistemul de m alinieri liniare cu n să fie invariabil coerent, este necesar și suficient, astfel încât rangul matricei extinse să fie crescut la rangul matricei A.

Notă: Această teoremă oferă mai mult decât un criteriu pentru baza unei soluții, dar nu indică metoda de căutare a unei soluții.

10 mese.

Sisteme de linii liniare. Metoda minorului de bază este un mod sălbatic de a examina toate soluțiile sistemelor de aliniere liniară.

A=a21 a22…..a2n

Metoda minoră de bază:

Fie sistemul spilna care RgA=RgA'=r. Dați minorul de bază al inscripțiilor în colțul din stânga sus al matricei A.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="23" height="23 src= ">......gif" width="22" height="23 src=">......gif" width="46" height="23 src=">-…..-a

d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n)

… = …………..

Dr br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n)

https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" width="33" height="22 src=">

Dacă rangul matricei principale și al celei analizate este r=n, atunci în acest caz dj=bj і sistemul are o singură soluție.

Sisteme uniforme de linii liniare.

Sistemul de egalități liniare ale algebrei se numește omogen, deoarece toți termenii săi liberi sunt egali cu zero.

AX=0 – sistem omogen.

AX \u003d B este un sistem eterogen.

Sisteme omogene pentru fiecare dormitor.

X1 = x2 = .. = xn = 0

Teorema 1.

Sistemele omogene pot avea soluții eterogene, dacă rangul matricei sistemului este mai mic decât numărul celor neomogene.

Teorema 2.

Sistem omogen de egalități n-liniare cu soluții n-incomplete maє zero, dacă semnul matricei A este egal cu zero. (detA=0)

Puterea sistemelor rozvyazkіv odnorodnyh.

Fie că este o combinație liniară a unei soluții a unui sistem omogen și a soluțiilor unui sistem.

a1C1 +a2C2; α1 și α2 sunt numere reale.

A(α1C1 + α2C2) = A(α1C1) + A(α2C2) = α1(AC1) + α2(AC2) = 0, adică. k. (A C1) = 0; (AC2) = 0

Nu există loc pentru putere pentru un sistem eterogen.

Sistem de soluție fundamentală.

Teorema 3.

Deoarece rangul sistemului de matrice este egal cu dorivnyu r n-independent, acest sistem poate avea n-r soluții liniar independente.

Lăsați minorul de bază în colțul din stânga sus. Yakscho r< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr

C1 = (C11 C21 .. Cr1 , 1,0..0)

C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0)<= Линейно-независимы.

……………………..

Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr ,0, 0..1)

Sistemul de n-r soluții liniar independente ale unui sistem omogen de egalități liniare cu n ranguri independente r se numește sistemul fundamental de soluții.

Teorema 4.

Dacă o soluție la un sistem de aliniamente liniare este o combinație liniară a unei soluții la un sistem fundamental.

С = α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r

Yakscho r

12 mese.

Zagalne rozvyazannya sistem eterogen.

Somn (zag. neuniform.) \u003d Coo + Mid (privat)

AX = B (sistem eterogen); AX = 0

(ASoo) + ASch = ASch = B, deci (ACoo) = 0

Somn = α1C1 + α2C2 +.. + αn-r Cn-r + Sch

metoda Gaus.

Metoda ultimelor vinificații ale necunoscutului (schimbării) - la cei care, cu ajutorul transformărilor elementare, sistemul egal este adus la sistemul egal al aspectului în trepte, din care, plecând de la restul modificărilor, cunoașteți schimbările.

Fie a ≠ 0 (dacă nu este așa, atunci prin permutarea egalilor ei ghicesc pe care).

1) inclusiv schimbarea x1 de la celălalt, al treilea ... n-a rang, înmulțind primul rang cu al doilea număr și adăugând rezultatele la al 2-lea, al 3-lea ... n-lea rang, apoi luăm:

Luăm sistemul la fel de puternic.

2) opriți schimbarea x2

3) dezactivați schimbarea x3 etc.

Continuarea procesului de oprire ulterioară a înlocuitorilor x4; x5 ... xr-1 este luat pentru (r-1) crop.

Numărul de zero n-r rămas în egală înseamnă cum arată partea din stânga a acestuia: 0x1 +0x2+..+0xn

Dacă unul dintre numerele vr+1, vr+2... nu dorește să fie egal cu zero, atunci egalitatea este supraegală și sistemul (1) nu este coerent. În această ordine, pentru un sistem coerent, vr+1 … vm este egal cu zero.

N-r rămas este egal în sistemul (1; r-1) є cu aceeași și nu poate fi luată în considerare.

Există două posibilități:

a) numărul de egali ai sistemului (1; r-1) este egal cu numărul de necunoscute, deci r = n (sistemul pare complicat în acest caz).

b) r

Trecerea de la sistemul (1) la sistemul egal (1; r-1) se numește trecere directă la metoda Gauss.

Despre schimbarea schimbării din sistem (1; r-1) - un punct de cotitură către metoda Gauss.

Transformarea lui Gaus se realizează manual, construindu-le nu cu egali, ci cu o matrice extinsă a coeficienților lor.

13 mese.

Matrici similare.

Să ne uităm doar la matrice pătrată de ordinul n/

Matricea A se numește o matrice similară (A~B), deoarece există o astfel de matrice S nesingulară încât A=S-1BS.

Puterea unor astfel de matrici.

1) Matricea A este similară cu ea însăși. (A~A)

La fel ca S=E, de asemenea EAE=E-1AE=A

2) Dacă A ~ B, atunci B ~ A

Yakscho A = S-1BS => SAS-1 = (SS-1) B (SS-1) = B

3) Dacă A~B și o oră B~C, atunci A~C

Având în vedere că A=S1-1BS1 și B=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3, de S3 = S2S1

4) Desemnatorii matricilor similare sunt egali.

Se da ca A ~ B, se cere sa se aduca acel detA=detB.

A=S-1 BS, detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (în curând) = detB.

5) Se modifică rangurile matricelor similare.

Vlasnі vektori i vlasnі valorile matricelor.

Numărul λ se numește valoarea dată a matricei A, deoarece este un vector diferit de zero X (coloana matricei) astfel încât AX = λ X, vectorul X se numește vectorul dat al matricei A și combinația dintre toate valorile se numesc spectrul matricei A.

Puterea vectorilor puternici.

1) La înmulțirea vectorului de putere, numărul este scăzut din vectorul de putere din aceleași valori de putere.

AX = λ X; Х≠0

α X => A (α X) \u003d α (AX) \u003d α (λ X) \u003d \u003d λ (α X)

2) Vectorii umezi cu valori umede diferite în perechi sunt independenți liniar λ1, λ2,.. λk.

Fie ca sistemul să fie compus dintr-un vector, să-l facem inductiv:

C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn Xn = 0 (1) - înmulțiți cu A.

C1 AX1 + C2 AX2 + .. + Cn AXn = 0

С1 λ1 Х1 + С2 λ2 Х2 + .. + Сn λn Хn = 0

Înmulțiți cu λn+1 și vedeți

C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn Xn + Cn +1 Xn +1 = 0

С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn+ Сn+1 λn+1 Хn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1)Xn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn = 0

Schob necesar С1 = С2 = ... = Сn = 0

Cn+1 Xn+1 λn+1 =0

Caracteristic egal.

A-λE se numește matricea caracteristică pentru matricea A.

Pentru ca un vector diferit de zero X să fie un vector liber al matricei A, este necesar să se potrivească valoarea liberă, astfel încât un vector diferit de zero X să fie o soluție a unui sistem omogen de ecuații liniar-algebrice (A - λE)X = 0

O soluție netrivială a sistemului poate fi, dacă det (A - XE) = 0 - este caracteristic egală.

Fermitate!

Caracteristicile unor astfel de matrici variază.

det(S-1AS - λЕ) = det(S-1AS - λ S-1ЕS) = det(S-1 (A - λЕ)S) = det S-1 det(A - λЕ) detS= det(A - λЕ)

Membru bogat caracteristic.

det(A – λЕ) - funcția parametrului λ

det(A – λЕ) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA

Acest polinom se numește polinomul caracteristic al matricei A.

Ultimul:

1) Ca matrice A~B, atunci suma elementelor diagonale ale acestora crește.

a11+a22+..+ann = в11+в22+..+вnn

2) Există o mulțime de valori puternice ale matricelor similare.

Yakscho egalizare caracteristică matrices zbіgayutsya, apoi duhoarea neobov'yazkovo podіbnі.

Pentru matricea A

Pentru matricea B

https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" width="92" height="38">

Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)(λ22 – λ)…(λnn – λ)= 0

Pentru ca matricea A să fie diagonalizată de ordinul lui n, este necesar ca vectorii de undă liniar independenți ai matricei A să fie utilizați.

Consecinţă.

Deși toate valorile matricei A sunt diferite, aceasta este diagonalizată.

Algoritm pentru cunoașterea vectorilor de putere și a valorilor puterii.

1) pliabil caracteristic egal

2) cunoaștem rădăcina rіvnian

3) adunăm un sistem de egalizare a atribuirii vectorului tău.

λi (A-λi E)X = 0

4) cunoaștem sistemul de soluții fundamentale

x1,x2..xn-r, de r - rangul matricei caracteristice.

r = Rg(A - λi E)

5) vectorul de putere, valorile puterii λi sunt înregistrate în vizualizarea:

X \u003d C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn-r Xn-r, de C12 + C22 + ... C2n ≠ 0

6) verificați dacă matricea poate fi redusă la un aspect diagonal.

7) cunoaștem Ag

Ag=S-1AS S=

15 mese.

Baza unei linii drepte, a unui pătrat, a unui spațiu.

http://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" Modulul vectorului este egal cu zero, chiar dacă vectorul este zero.

4.Orth vector.

Orthul acestui vector se numește vector, care direcționează însă cu acest vector și poate avea un modul, care este cea mai comună unitate.

Rivnі vectori mayut rіvnі orti.

5. Tăiați între doi vectori.

Partea mai mică a zonei este înconjurată de două schimburi care provin din același punct și sunt îndreptate de aceiași vectori.

Stocare vectorială. Înmulțirea unui vector cu un număr.

1) Adunarea a doi vectori

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │

2) Înmulțirea unui vector cu un scalar.

Noul vector, care poate fi numit sub-vector al acelui scalar, este:

a) = adunarea modulului de multiplicare a vectorului cu valoarea absolută a scalarului.

b) direct concomitent cu un vector înmulțit, ca și cum scalarul este pozitiv, i ca opus, ca și cum scalarul este negativ.

λ a(vector)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │

Puterea operațiilor liniare pe vectori.

1. Legea comunicativității.

2. Legea asociativității.

3. Adăugarea zero.

a(vector)+ō= a(vector)

4.Depozitare cu lenjerie de pat.

5. (αβ) = α(β) = β(α)

6; 7. Legea distributivității.

Viraz vector prin modulul yogo i ort.

Numărul maxim de vectori liniar independenți se numește bază.

Baza liniei este orice vector.

Baza pe plan este doi vectori non-calendari.

Baza spațiului este un sistem de trei vectori necoplanari.

Coeficientul aspectului vectorial pe baza reală se numește componente sau coordonatele vectorului în baza dată.

Vikonati din cauza plierii și înmulțirii cu un scalar, apoi, ca urmare, să fie luate un număr de astfel de bricolaj:

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> se numesc pârghie liniară, deoarece există o combinație liniară netrivială, care este bună?

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> sunt numite independente de linie, deoarece nu există o combinație de linii non-triviale.

Dominanța vectorilor independenți și liniari:

1) sistemul de vectori care înlocuiește vectorul zero este liniar îngrozit.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> va fi liniar liniar, este necesar ca vectorul să fie o combinație liniară a altor vectori.

3) ca parte a vectorului din sistemul a1(vector), a2(vector) ... ak(vector) este liniar-depozit, atunci toți vectorii sunt liniar-depozit.

4) ca toți vectorii.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">)

Operații liniare în coordonate.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height="12 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> .gif" height="11 src=">.gif" width="65" height="13 src=">

Puterea creației scalare:

1. Comutativitate

3. (a;b)=0, par și o singură dată, dacă vectorii sunt ortogonali, sau dacă sunt din vectori, ei sunt mai mult sau mai puțin 0.

4. Distributivitatea (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c)

5. Viraz crearea scalară a și b prin coordonatele їх

https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" width="254" height="13 src=">

Când vykonanni spală (), h, l = 1,2,3

https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" width="176" height="21 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11"> și se numește al treilea vector care este mulțumit de viitorul egal:

3. - drepturi

Puterea creativității vectoriale:

4. Vector vitvir coordonate orts

Baza ortonormala.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" width="41" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" width="41" height="11 src=">

Adesea sunt folosite 3 simboluri pentru a determina baza ortonormală

https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" width="77" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" width="549" height="32 src=">

Deci, Yakscho este o bază ortonormală

https://pandia.ru/text/78/365/images/image117_5.gif" width="116" height="15">- alinierea în linie dreaptă axa paralela OH

2) - alinierea dreptei paralele cu axa OS

2. Expansiunea reciprocă a 2 linii drepte.

Teorema 1

A) Todi este necesar să aibă suficientă minte dacă duhoarea este colorată dintr-o privire:

B) Acest lucru este necesar și suficient pentru mintea a ceea ce este direct paralel cu mintea:

B) Orice este necesar destul de mental cel care este direct furios într-o singură minte:

3. Deplasați-vă de la punct la linia dreaptă.

Teorema. Deplasarea de la un punct la o linie dreaptă folosind un sistem de coordonate carteziene:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" width="34" height="11 src=">

4. Tăiați între două linii drepte. Perpendicularitatea spălării.

Fie 2 atribuiri directe la un sistem de coordonate carteziene cu niveluri mari.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" width="103" height="11 src=">

Yakscho, apoi liniile drepte sunt perpendiculare.

24 de mese.

Zona din apropierea spațiului. Complonaritatea vectorului și planului lui Umov. V_dstan v_d indică către avion. Paralelismul și perpendicularitatea Umov a două plane.

1. Complonaritatea lui Umov a unui vector și a unui plan.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="(!LANG:(!LANG:Fără'яний4.jpg" width="111" height="39">!}!}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" width="86" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif" width="148" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg" alt="(!LANG:(!LANG:Fără'яний5.jpg" width="88" height="57">!} !}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif" width="31" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif" width="328" height="24 src=">

3. Kut mizh 2 flats. Perpendicularitatea spălării.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" width="132" height="11 src=">

Yakshcho, atunci avioanele sunt perpendiculare.

25 de mese.

Linie dreaptă în spațiu. Vedeți diferit alinierea liniilor drepte în spațiul deschis.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" width="111" height="19">

2. Vector de aliniere directă în spațiu.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" width="44" height="29 src=">

4. Egalitatea canonică Drept.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" width="34" height="18 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="(!LANG:(!LANG:Fără'яний3.jpg" width="56" height="51">!}!}

Cu respect, elementele unei matrice nu pot fi mai mult decât un număr. Anunțați-mă că descrieți cărțile, cum să vă poziționați pe poliția de carte. Lăsați poliția să păstreze ordinea și toate cărțile să stea pe locurile de cântat. Tabelul, ca o descriere adecvată a bibliotecii dumneavoastră (de către poliție și următoarele cărți despre poliție), va fi, de asemenea, o matrice. Ale, o astfel de matrice nu va fi numerică. Al doilea exemplu. În locul numerelor stau diferite funcții, mâncate între ele de un fel de pârghie. Tabelul lui Otriman se mai numește și matrice. Cu alte cuvinte, Matrix, așa cum ar fi, este o masă dreptunghiulară, pliată asemănătoare elemente. Aici și mai departe vorbim despre matrici, pliate din numere.

Înlocuiți brațele rotunde pentru înregistrarea matricelor prin plasarea de brațe pătrate sau linii verticale drepte.

(2.1*)

Numirea 2. Ca un Virazi(1) m = n, apoi vorbește despre matrice pătrată, dar yakscho , apoi despre dreptunghiular.

Valoarea rămasă a lui m și n este împărțită în tipuri speciale de matrice:

Cea mai importantă caracteristică pătrat matrice є її vyznachnik sau determinant, Ce se formează din elementele matricei și este indicat

Este evident că D E = 1; .

Numirea 3. Yakscho , apoi matricea A numit nevirgină sau nu mai ales.

Numirea 4. Yakscho detA = 0, apoi matricea A numit virogenă sau mai ales.

Numirea 5. Două matrice A і B numit egal ea scrie A=B ca și cum duhoarea ar putea fi aceeași, diferențele și їх elementele viabile sunt egale,.

De exemplu, matrice și egal, deoarece duhoarea este mai aproape de lume, iar elementul de piele al unei matrice este mai aproape de elementul similar al altei matrice. Iar axa matricei i nu poate fi numită egală, deși determinanții ambelor matrici sunt egali, iar matricele sunt aceleași, dar nu toate elementele care stau pe aceleași puncte de egalitate. Matricele sunt diferite, astfel încât o lume diferită este posibilă. Prima matrice este 2x3, iar cealaltă 3x2. Deși numărul de elemente este același - 6 și elementele în sine sunt aceleași 1, 2, 3, 4, 5, 6, ale miroase să stea în locuri diferite în apropierea matricei pielii. Și axa matricei este în avans, zgіdno z vznachennyam 5.

Numirea 6. Cum se fixează șprotul matricei A și așa este numărul rândurilor sale, aceleași elemente care stau pe peretina denumirilor coloanelor și rândurilor pentru a stabili o matrice pătrată n- ordinul, precursorul acesteia numit minor k- ordinea matricei A.

fundul. Scrieți trei minore într-o ordine diferită a matricei

Programare. Matrice rozmіru m'n, de m-numar de randuri, n-numar de coloane, se numeste tabelul de numere, aranjandu-le in aceeasi ordine. Numerele Qi sunt numite elemente de matrice. Zona elementului de piele este identificată fără ambiguitate prin numărul rândului și al spatulei, pe a cărei retină se găsesc vene. Elementelor matricei li se atribuie un ij , unde i este numărul rândului și j este numărul rândului.

Subdiviziuni de bază peste matrici.

Matricea poate fi pliată pe un rând și într-o coloană. Amintiți-vă, matricea poate fi pliată dintr-un singur element.

Programare. Dacă numărul de coloane ale matricei este egal cu numărul de rânduri (m=n), atunci matricea se numește pătrat.

Programare. Yakscho = , atunci matricea este numită simetric.

fundul.- matricea simetrică

Programare. Matricea pătrată se numește diagonală matrice.

Programare. Matrice diagonală, care are mai puțin de una pe diagonala capului:

= E, numit matrice unică.

Programare. Se numește matricea, care are mai puțin de zero elemente sub diagonala capului matrice superioară tricot. Dacă matricea de deasupra diagonalei capului are mai puțin de zero elemente, atunci se numește matricea de tricot inferioară.

Programare. Cele două matrici sunt numite egal ca duhoarea unei rătăciri și a equanimității vykonuєtsya:

· Informații suplimentare matricele sunt construite până la următoarele operații pe elementele lor. Autoritatea supremă a acestor operațiuni sunt cei care miros rezervat numai matricelor de aceeași dimensiune. În această ordine, este posibil să se desemneze operația de pliere a acelei matrice vizuale:

Programare. geanta (cu amanuntul) matrice є matrice, ale cărei elemente sunt suma (retail) a elementelor matricelor de ieșire.

Z \u003d A + B \u003d B + A.

Operațiune plural (podіlu) matricea, fie că este extinsă cu un anumit număr, este redusă la multiplu (împărțit) elementului de piele al matricei la numărul întreg.

a (A + B) \u003d aA ± aB

А(a±b) = aА ± bА

fundul. Dată matricea A = ; B = cunosc 2A + B.

2A = , 2A + B = .

· Programare: Tvorom O matrice se numește matrice, ale cărei elemente pot fi calculate folosind următoarele formule:

Din desemnarea indusă, se poate observa că operația de înmulțire a matricelor este atribuită numai matricelor, numărul de coloane al primei este egal cu numărul de rânduri al celuilalt.

fundul.

· Programare. Matricea B se numește transpus matricea A și trecerea de la A la B transpunere De exemplu, elementele rândului de piele al matricei A sunt scrise în aceeași ordine în coloanele matricei B.

A =; B = A T =;

Cu alte cuvinte, = .

matrice de inversare.

Programare. Acestea sunt matrici pătrate X și A de același ordin, care mulțumesc mintea:

de E este o singură matrice de același ordin ca și matricea A, atunci se numește matricea X reversibil matricei A i i se atribuie A-1.

O matrice pătrată a pielii cu un pivot care nu este egal cu zero poate avea o matrice inversă și mai mult de una.

matrice de inversare

Este posibil să vi se solicite o astfel de schemă:

Ei bine, atunci se numește matricea nevirgină, și într-un alt fel - virogen.

Matricea inversă poate fi indusă numai pentru matrice nevirgine.

Matrici puternice.

1) (A -1) -1 = A;

2) (AB) -1 = B -1 A -1

3) (AT) -1 = (AT -1) T .

Rangul matricei numit găsirea ordinii sub formă de zerouri în minorele matricei.

Pentru o matrice de ordinul m´n, minor, se numește ordinul r bază yakscho vin nu este egal cu zero, dar toți minorii sunt în ordine r+1și egal cu zero, altfel este necesar să se demonstreze că. r zbіgaєtsya cu cel mai mic dintre numerele m sau n.

Se mai numesc și coloanele și rândurile matricei, pe care se află baza minoră de bază.

Matricea poate avea un număr mic de minori de bază diferiți, care pot avea aceeași ordine.

Autoritățile mai importante ale transformărilor elementare ale matricei sunt cele care nu schimbă rangul matricei.

Programare. Se numesc matrici, otrimani dupa transformarea elementara echivalent.

Apoi, indicați ce egal matrice şi echivalent matrice - înțelegeți absolut diferit.

Teorema. Cel mai mare număr rândurile liniar independente din matrice sunt egale cu numărul de rânduri liniar independente.

pentru că transformare elementară Dacă nu modificați rangul matricei, puteți simplifica pur și simplu procesul de atribuire a rangului matricei.

fundul. Aflați rangul matricei.