Знайти координати центру мас однорідної лінії. Як обчислити центр тяжкості плоскої обмеженої фігури за допомогою подвійного інтегралу? Порядок виконання типового розрахунку

Наведемо приклад визначення центру маси тіла методом поділу його на окремі тіла, центри мас яких відомі.

Приклад 1. Визначити координати центру маси однорідної пластини (рис.9). Розміри задані у міліметрах малюнку 9.

Рішення:Показуємо осі координат і . Розбиваємо пластину на частини, утворені трьома прямокутниками. Для кожного прямокутника проводимо діагоналі, точки перетину яких визначають положення центрів маси кожного прямокутника. У прийнятій системі координат нескладно визначити значення координат цих точок. А саме:

(-1; 1), (1; 5), (5; 9). Площі кожного тіла відповідно дорівнюють:

; ; .

Площа всієї пластини дорівнює:

Для визначення координат центру маси заданої пластини застосовуємо вирази (21). Підставимо значення всіх відомих величин даному рівнянні, отримаємо

Відповідно до отриманих значень координат центру маси пластини вкажемо точку на малюнку. Як видно, центр маси (геометрична точка) пластини знаходиться поза її межами.

Спосіб доповнення. Цей спосіб є частковим випадком способу поділу. Він може застосовуватися до тіл, які мають вирізи (порожнечі). Причому без вирізаної частини положення центру маси тіла відомо. Розглянемо, наприклад, застосування такого методу.

приклад 2.Визначити положення центру маси ваги круглої пластини радіусом R, де є виріз радіусом r (рис.10). Відстань.

Рішення: Як бачимо, з рис.10 центр маси пластини лежить на осі симетрії пластини, тобто на прямій, оскільки ця пряма є віссю симетрії. Таким чином, для визначення положення центру маси цієї пластини необхідно визначити тільки одну координату, оскільки друга координата буде розташована на осі симетрії і врівноважує нульові. Покажемо осі координат . Приймемо, що пластина складається з двох тіл – з повного кола (начебто без вирізу) та тіла, яке ніби виконане з вирізом. У прийнятій системі координат координати для зазначених тіл дорівнюватимуть: .Площі тіл дорівнюють: ; . Загальна площа всього тіла дорівнюватиме різниці між площами першого і другого тіла, а саме

Щоб обчислити величини m,і потрібно використовувати формули (4), (5) та (7). В результаті отримуємо формули для координат центру мас тонкої платівки :

Приклад 4 (обчислення координат центру мас однорідної платівки)

Знайти координати центру мас однорідної фігури, обмеженої лініями та .

Побудувавши фігуру, помічаємо, що геометрично вона є симетричною щодо прямої. розташована праворуч. Тоді за відомими фізичними властивостями центру мас укладаємо, що він знаходиться на осі симетрії, тобто

Щоб обчислити , складаємо статичний момент і використовуємо формули (4) та (5):

;

Відповідь: C .

Додатки потрійних інтегралів

Програми потрійних інтегралів аналогічні додаткам подвійних інтегралів, але тільки для тривимірних тіл.

Якщо використовувати одну з властивостей потрійного інтеграла (про його значення від функції, що тотожно дорівнює одиниці), то виходить формула для обчислення обсягу будь-якого просторового тіла :

Записуємо формулу для обсягу через потрійний інтегралі обчислюємо потрійний інтеграл у циліндричних координатах:

Відповідь: (одиниць обсягу).

Формула для обчислення маси тривимірного об'єкта, що займає об'єм V, має вигляд:

(13)

Тут це об'ємна щільність розподілу маси.

Приклад 6 (обчислення маси тривимірного тіла)

Знайти масу кулі радіусу Rякщо щільність пропорційна кубу відстані від центру і на одиниці відстані дорівнює k.

V: елементарний об'єм та .

Зауважимо, що при обчисленні триразового інтеграла вийшло твір інтегралів, оскільки внутрішні інтеграли виявилися залежними від змінних зовнішніх інтегралів.

Відповідь: (одиниць маси).

Механічні характеристики для обсягу V(Статичні моменти, моменти інерції, координати центру мас) обчислюються за формулами, які

складаються за аналогією з формулами для двовимірних тіл.

Елементарні статичні моменти та моменти інерції щодо координатних осей:

елементарні моменти інерції щодо координатних площин та точки початку координат:

Далі, щоб обчислити механічну характеристику всього обсягу V,Потрібно підсумувати елементарні доданки цієї характеристики по всіх частинах розбиття (оскільки обчислювана характеристика має властивість адитивності), а потім перейти до межі в сумі, що вийшла за умови, що необмежено зменшуються (стягуються в точки) всі елементарні частини розбиття. Ці дії описуються як інтегрування елементарного доданку механічної характеристики, що обчислюється, за обсягом V.

В результаті виходять наступні формули для обчислення статичних моментів М та моментів інерції I тривимірних тіл :

Насправді корисно ці формули як використовувати як готові, а й виводити в вирішуваній задачі.

Приклади 7 (обчислення механічних характеристик тривимірних тіл)

Знайти момент інерції однорідного циліндра, висота якого hта радіус основи R, щодо осі, що збігається з діаметром основи.

Знайдемо відстань dдля довільної точки циліндра:

відстань від точки з координатами до осі – це довжина перпендикуляра, проведеного від цієї точки до осі . Побудуємо площину перпендикулярну до осі так, що точка належить цій площині. Тоді будь-яка пряма, що перетинає вісь і належить цій площині, буде перпендикулярна . Зокрема, пряма, що з'єднує точку і точку , буде перпендикулярна до осі , а відстань між цими точками і буде шуканою відстанню d. Обчислюємо його за відомою формулою відстані між двома точками.

3 Додатки подвійних інтегралів

3.1 Теоретичне введення

Розглянемо програми подвійного інтегралудо вирішення низки геометричних завдань та завдань механіки.

3.1.1 Обчислення площі та маси плоскої пластини

Розглянемо тонку матеріальну пластину D, розташовану в площині Оху. Площа Sцієї пластини може бути знайдена за допомогою подвійного інтеграла за формулою:

3.1.2 Статичні моменти. Центр мас плоскої пластини

Статичним моментом M xщодо осі Oxматеріальної точки P(x;y), що лежить у площині Oxyі має масу m, Називається добуток маси точки на її ординату, тобто. M x = my. Аналогічно визначається статичний момент M yщодо осі Ой: ­ ­ ­ M y = mx. Статичні моментиплоскої пластини з поверхневою щільністю γ = γ (x, y) обчислюються за формулами:

Як відомо з механіки, координати x c , y cцентри мас плоскої матеріальної системи визначаються рівностями:

де m- Маса системи, а M xі M y- Статичні моменти системи. Маса плоскої пластини mвизначається формулою (1), статичні моменти плоскої пластини можна обчислити за формулами (3) та (4). Тоді, згідно з формулами (5), отримуємо вираз для координат центру мас плоскої пластини:

Типовий розрахунок містить дві задачі. У кожному завданні задана плоска пластина D, обмежена лініями, вказаними за умови завдання. Г(x,y) – поверхнева щільність пластини D. Для цієї пластини знайти: 1. S- Площа; 2. m- Масу; 3. M y , M x- Статичні моменти щодо осей Оyі Охвідповідно; 4. , - Координати центру мас.

3.3 Порядок виконання типового розрахунку

При вирішенні кожного завдання необхідно: 1. Виконати креслення заданої області. Вибрати систему координат, у якій обчислюватимуться подвійні інтеграли. 2. Записати область у вигляді системи нерівностей у вибраній системі координат. 3. Обчислити площу Sта масу mпластини за формулами (1) та (2). 4. Обчислити статичні моменти M y , M xза формулами (3) та (4). 5. Обчислити координати центру мас за формулами (6). Нанести центр мас на креслення. У цьому виникає візуальний (якісний) контроль отриманих результатів. Чисельні відповіді мають бути отримані з трьома цифрами.

3.4 Приклади виконання типового розрахунку

Завдання 1.Пластина Dобмежена лініями: y = 4 – x 2 ; х = 0; y = 0 (x ≥ 0; y≥ 0) Поверхнева щільність γ 0 = 3. Рішення.Область, задана в задачі, обмежена параболою y = 4 – x 2 , осями координат і лежить у першій чверті (рис. 1). Завдання вирішуватимемо в декартовій системі координат. Ця область може бути описана системою нерівностей:

Рис. 1

Площа Sпластини дорівнює (1): Так як пластина однорідна, її маса m = γ 0 S= 3 · = 16. За формулами (3), (4) знайдемо статичні моменти пластини: Координати центру мас знаходяться за формулою (6): Відповідь: S ≈ 5,33; m = 16; M x = 25,6; M y = 12; = 0,75; = 1,6.

Завдання 2.Пластина Dобмежена лініями: х 2 + у 2 = 4; х = 0, у = х (х ≥ 0, у≥ 0). Поверхнева щільність γ (x,y) = у. Рішення.Пластина обмежена колом та прямими, що проходять через початок координат (рис. 2). Тому для вирішення задачі зручно використовувати полярну систему координат. Полярний кут φ змінюється від π/4 до π/2. Промінь, проведений з полюса через пластину, «входить» до неї при ρ = 0 і «виходить» на коло, рівняння якого: х 2 + у 2 = 4 <=>ρ = 2.

Рис. 2

Отже, задану область можна записати системою нерівностей: Площу пластини знайдемо за формулою (1): Масу пластини знайдемо за формулою (2), підставивши γ (x,y) = у = ρ sin φ :
Для обчислення статичних моментів пластини використовуємо формули (3) та (4):
Координати центру мас отримаємо за формулами (6): Відповідь: S ≈ 1,57; m ≈ 1,886; M x = 2,57; M y = 1; = 0,53; = 1,36.

3.5 Оформлення звіту

У звіті мають бути представлені всі виконані розрахунки, акуратно виконані креслення. Чисельні відповіді мають бути отримані з трьома цифрами.

– обчислення центру тяжкості плоскої обмеженої фігури . Багато читачів інтуїтивно розуміють, що таке центр тяжкості, проте рекомендую повторити матеріал одного з уроків аналітичної геометріїде я розібрав завдання про центр тяжкості трикутникаі у доступній формі розшифрував фізичний зміст цього терміна.

У самостійних та контрольних завданнях для вирішення, як правило, пропонується найпростіший випадок – плоска обмежена одноріднафігура, тобто постать постійної фізичної щільності – скляна, дерев'яна, олов'яна чавунні іграшки, тяжке дитинство тощо. Далі за умовчанням мова піде тільки про такі фігури =)

Перше правило та найпростіший приклад: якщо плоска фігура має центр симетрії, то він є центром тяжкості цієї фігури. Наприклад, центр круглої однорідної пластини. Логічно і життєво зрозуміло – маса такої фігури «справедливо розподілена на всі боки» щодо центру. Верти – не хочу.

Однак у суворих реаліях вам навряд чи підкинуть солодку еліптичну шоколадкуТому доведеться озброїтися серйозним кухонним інструментом:

Координати центру тяжкості однорідної плоскої обмеженої фігури розраховуються за наступними формулами:

, або:

, де - Площа області (фігури); або зовсім коротко:

, де

Інтеграл умовно називатимемо «іксовим» інтегралом, а інтеграл – «ігровим» інтегралом.

Примітка-довідка : для плоскої обмеженої неодноріднийфігури, щільність якої задана функцією, формули складніші:
, де - Маса фігури;у разі однорідної щільності вони спрощуються до наведених вище формул.

На формулах, власне, вся новизна і закінчується, решта – це ваше вміння вирішувати подвійні інтеграли, до речі, зараз надається чудова можливість потренуватися та вдосконалити свою техніку. А досконалості, як відомо, немає межі =)

Закинемося підбадьорливою порцією парабол:

Приклад 1

Знайти координати центру ваги однорідної плоскої фігури, обмеженої лініями.

Рішення: лінії тут елементарні: задає вісь абсцис, а рівняння – параболу, яка легко та швидко будується за допомогою геометричних перетворень графіків:

– парабола, Зсунута на 2 одиниці вліво і на 1 одиницю вниз.

Я виконаю відразу весь креслення з готовою точкою центру ваги фігури:

Правило друге: якщо у фігури існує вісь симетрії, то центр тяжкості даної фігури обов'язково лежить на цій осі.

У нашому випадку фігура симетрична щодо прямийтобто фактично ми вже знаємо «іксову» координату точки «ем».

Також зверніть увагу, що по вертикалі центр тяжіння зміщений ближче до осі абсцис, оскільки там фігура масивніша.

Так, можливо, ще не всі до кінця зрозуміли, що таке центр ваги: ​​будь ласка, підніміть вгору вказівний палець і поставте на нього заштриховану «підошву» крапкою. Теоретично фігура не повинна впасти.

Координати центру тяжкості фігури знайдемо за формулами де .

Порядок обходу області (фігури) тут очевидний:

Увага!Визначаємося з найбільш вигідним порядком обходу один раз- І використовуємо його для всіхінтегралів!

1) Спочатку обчислимо площу фігури. Через відносну простоту інтеграла рішення можна оформити компактно, головне, не заплутатися у обчисленнях:

Дивимось на креслення і прикидаємо по клітинах площу. Вийшло біля справи.

2) Іксова координата центру тяжкості вже знайдено «графічним методом», тому можна послатися на симетрію та перейти до наступного пункту. Однак так робити все-таки не раджу – велика ймовірність, що рішення забракують із формулюванням «використовуйте формулу».

Зауважте, що тут можна обійтися винятково усними обчисленнями – іноді зовсім не обов'язково приводити дроби до спільного знаменника чи мучити калькулятор.

Таким чином:
, Що і потрібно отримати.

3) Знайдемо ординату центру тяжкості. Обчислимо «ігрековий» інтеграл:

А ось тут без калькулятора довелося б тяжко. Про всяк випадок закоментую, що в результаті множення багаточленів виходить 9 членів, причому деякі з них подібні. Подібні доданки я привів усно (як це зазвичай прийнято робити у подібних випадках)і відразу записав підсумкову суму.

В результаті:
що дуже і дуже схоже на правду.

На заключному етапі відзначаємо на кресленні крапку. За умовою не потрібно було нічого креслити, але в більшості завдань ми хоч-не-хоч змушені зобразити фігуру. Натомість є безумовний плюс – візуальна та досить ефективна перевірка результату.

Відповідь:

Наступні два приклади самостійного рішення.

Приклад 2

Знайти координати центру ваги однорідної плоскої фігури, обмеженої лініями

До речі, якщо ви уявляєте, як розташована парабола і побачили точки, в яких вона перетинає вісь, то тут і справді можна обійтися без креслення.

І складніше:

Приклад 3

Знайти центр ваги однорідної плоскої фігури, обмеженої лініями

У разі труднощів із побудовою графіків вивчіть (повторіть) урок про параболівта/або Приклад №11 статті Подвійні інтеграли для чайників.

Зразкові зразки рішень наприкінці уроку.

Крім того, десяток-другий схожих прикладів можна знайти у відповідному архіві на сторінці Готові рішення з вищої математики.

Ну а я не можу не порадувати любителів вищої математики, Які часто просять мене розбирати і важкі завдання:

Приклад 4

Знайти центр ваги однорідної плоскої фігури, обмеженої лініями. Фігуру та її центр тяжкості зобразити на кресленні.

Рішення: умова цієї задачі вже категорично вимагає виконання креслення Адже вимога не настільки і формально! - Цю фігуру здатна уявити в умі навіть людина із середнім рівнем підготовки:

Пряме розсікає коло на 2 частини, і додаткове застереження (Див. лінійні нерівності) вказує на те, що йдеться саме про маленький заштрихований шматочок.

Фігура симетрична відносно пряма (зображена пунктиром), тому центр тяжіння повинен лежати на даній лінії. І очевидно, що його координати рівні за модулем. Відмінний орієнтир, що практично виключає помилкову відповідь!

Тепер погана новина =) На горизонті маячить малоприємний інтеграл від кореня, який ми докладно розібрали у Прикладі №4 уроку Ефективні методи вирішення інтегралів. І хто знає, що там намалюється ще. Здавалося б, через наявність колавигідно, проте не все так просто. Рівняння прямої перетворюється на вигляд та інтеграли теж вийдуть не цукрові (хоча фанати тригонометричних інтегралівоцінять). У зв'язку з цим обачніше зупинитися на декартових координатах.

Порядок обходу фігури:

1) Обчислимо площу фігури:

Перший інтеграл раціональніше взяти підведенням під знак диференціалу:

А в другому інтегралі проведемо стандартну заміну:

Обчислимо нові межі інтегрування:

2) Знайдемо.

Тут у 2-му інтегралі знову був використаний метод підведення функції під знак диференціалу. Відпрацюйте та візьміть на озброєння ці оптимальні (на мою думку)прийоми розв'язання типових інтегралів.

Після непростих і тривалих обчислень знову звертаємо погляд на креслення (пам'ятаємо, що точки ми поки що не знаємо! ) і отримуємо глибоке моральне задоволення від знайденого значення.

3) Виходячи з проведеного раніше аналізу, залишилося переконатися, що .

Відмінно:

Зобразимо точку на кресленні. Відповідно до формулювання умови запишемо її як остаточний відповідь:

Подібне завдання для самостійного вирішення:

Приклад 5

Знайти центр ваги однорідної плоскої фігури, обмеженої лініями. Виконати креслення.

Це завдання інтересу тим, що в ній задана фігура досить малих розмірів, і якщо де-небудь припуститися помилки, то висока ймовірність взагалі «не потрапити» в область. Що, безперечно, добре з точки зору контролю рішення.

Зразковий зразок оформлення наприкінці уроку.

Іноді буває доцільним перехід до полярних координат у подвійних інтегралах. Це від фігури. Шукав-шукав у себе вдалий приклад, але не знайшов, тому продемонструю хід рішення на 1-й демо-задачі зазначеного вище уроку:


Нагадую, що в тому прикладі ми перейшли до полярним координатам, з'ясували порядок обходу області і вирахували її площу

Давайте знайдемо центр тяжкості цієї фігури. Схема та ж: . Значення проглядається прямо з креслення, а «іксова» координата має бути зміщена трохи ближче до осі ординат, оскільки там розташовується масивніша частина півкола.

В інтегралах використовуємо стандартні формули переходу:

Ймовірно, швидше за все, не помилилися.