Algebriniai ir transcendentiniai skaičiai. transcendentiniai skaičiai transcendentiniai skaičiai

ty a = 1 mums padėjo geometrinės progresijos sumos tikslą. Darant prielaidą, kad Gauso teorema buvo įrodyta, daroma prielaida, kad a = a 1 yra lygi šaknis (17),

Atsižvelgdami į virazės s f(x) ir pergrupavimo sąlygas, atsižvelgiame į vienodumą

f(x) = f(x) − f(a1) = (xn − a n 1 ) + an−1 (xn−1 − a n 1 −1 ) + . . . + a1 (x - a1).

(21) Dabar, nagrinėdami formulę (20), matome daugiklį x − a 1 iš odos elemento ir tada kaltiname Yogo dėl lanko, be to, turtingo nario pėdos, likusios lankuose, tampa viena. mažiau. Pergrupuodami naujus narius, atimame vienodumą

f(x) = (x − a1 )g(x),

kur g(x) yra turtingas n − 1 pakopos narys:

g(x) = xn−1 + bn−2 xn−2 + . . . + b1x + b0.

(Koeficientų, kurie yra žinomi per b, skaičiavimas, mes turime būti vadinami.) Būtina tą patį skaičiavimą atitolinti nuo daugianario g (x). Pagal Gauso teoremą kvadratinė šaknis a2 lygi g(x) = 0, taigi

g(x) = (x − a2 )h(x),

čia h(x) yra naujas n − 2 žingsnio daugianomas. Kartojamas n − 1 kartą

Iš vienodumo (22) ne tik tie, kurie yra kompleksiniai skaičiai a1, a2,

An yra lygybės (17) ir tų, kurios neturi kitų lygybės (17) šaknų, esmė. Tiesa, yakbi skaičius y buvo lygybės (17) šaknis, tada s (22) paslydo bi

f(y) = (y - a1) (y - a2). . . (y – an) = 0.

Alemi Bachili (p. 115), kad kompleksinių skaičių pridėjimas prie nulio tokiu ir daugiau nei tuo būdu, kaip vienas iš daugiklių iki nulio. Be to, vienas iš daugiklių y−ar yra lygus 0, taigi y = ar, kurį būtina nustatyti.

§ 6.

1. Tikslas yra ta mitybos priežastis. Bet koks skaičius x vadinamas algebriniu skaičiumi;

130 MATEMATINIŲ SKAIČIŲ SISTEMA sk. II

de skaičiai ai skaičiai. Taigi, pavyzdžiui, skaičius 2 yra algebrinis, tam, kuris patenkintas

x2 − 2 = 0.

Tame pačiame algebrinio skaičiaus range, ar yra šaknis, ar ji lygi, su visais trečiojo, ketvirtojo, penktojo koeficientais, ar tai yra pasaulis, ir nepriklausomai, be to, jis gali būti išreikštas ar neišreikštas radikalų dėka. Algebrinio skaičiaus sąvoka yra natūralus racionalaus skaičiaus sąvokos supratimas tokiu būdu, kuris patvirtina okreminį kritimą n = 1.

Ne kiekvienas tikrasis skaičius yra algebrinis. Tse vipliva z įžeidžiantis, su Kantoriu, teoremos: visų rachunkivo algebros skaičių beasmeniškumas. Bo bezlich usikh dienų numeriai yra neatskiriamas, tada obov'yazkovo turi naudoti tikrus skaičius, nes jie nėra algebriniai.

Nurodykime vieną iš beasmenių algebrinių skaičių sprendimo būdų. Oda lygi išvaizdai (1), lygi tiksliniam skaičiui

h = | ir | + | an-1 | +. . . + | a1 | + | a0 | +n,

dėl stiliaus vadiname „aukštu“ lygiu. Iki odos fiksuota reikšmė n yra tik paskutinis skaičius, lygus formai (1), kurios aukštis h. Oda iš tokių lygių gali būti daugiau nei n šaknų. Tam galima naudoti tik paskutinį algebros skaičių skaičių, kuriuos generuoja lygiai su aukščiu h; tėvas, viskas algebriniai skaičiai galite roztashuvati ne seka akyse, viršijantys jų galvą, nes jie gimsta vienodo aukščio 1 aukščio tada - 2 aukštis ir pan.

Šis beasmenių algebrinių skaičių tapatumo įrodymas nustato realiųjų skaičių pagrindą, nes jie nėra algebriniai. Tokie skaičiai vadinami transcendentiniais (iš lot. transcendere – pereiti, apversti); Euleris davė jam tokį vardą, kuris smirda „kad panaikintų algebros metodų sandarumą“.

Kantoro transcendentinių skaičių pagrindo įrodymas nėra prieš konstruktyvius. Teoriškai kalbant, būtų galima indukuoti transcendentinį skaičių papildomai įstrižainei procedūrai, kuri atliekama per aiškų dešimčių visų algebros skaičių plėtinių sąrašą; Tačiau tokiai procedūrai nebuvo suteikta praktinė reikšmė ir ji nesukels skaičiaus, kurį būtų galima įrašyti dešimtuoju (ar bet kokiu kitu) dribu. Dauguma problemų, susijusių su transcendentiniais skaičiais, yra susijusios su įrodinėjimu, kad konkretūs skaičiai (čia yra skaičiai p ir e, apie 319-322 skirsnį) yra transcendentiniai.

**2. Liouville'io teorema ir transcendentinių skaičių konstrukcija. Transcendentinių skaičių pagrindo įrodymą prieš Kantorą pateikė J. Liouville (1809–1862). Tai leidžia mums iš tikrųjų sukurti tokių skaičių pavyzdžius. Lіouvil įrodymas svarbesnis, žemesnis už Kantoro įrodymą, ir nenuostabu, skeveldros konstruoti užpakaliuką, uždegimas atrodo, sulankstytas, žemesnis atnešti pamatą. Liouville'io įrodymas pirmauja žemiau, galbūt jis atrodo mažiau kaip apmokytas skaitytojas, norintis suprasti įrodymą, turintis pakankamai elementarios matematikos žinių.

Kaip parodė Liuvilis, neracionalūs algebriniai skaičiai turi tokią galią, kad jų negalima aproksimuoti racionaliais skaičiais su jau dideliu tikslumu, tik neimkite trupmenų juostų, kurias jie apytiksliai apskaičiuoja, jie yra nepaprastai puikūs.

Tarkime, kad skaičius z tenkina algebros lygtį su sveikųjų skaičių koeficientais

bet jūsų netenkina toks žemesnio lygio išlyginimas. Todi

atrodo, kad pats x yra n laipsnio algebros skaičius. Taigi, pvz.

skaičius z \u003d 2 yra 2 lygio algebros skaičius, kad lygis x2 − 2 = 0 √ būtų patenkintas 2 lygiu, bet ne pirmojo lygio lygis nepatenkintas; skaičius z = 3 2 - 3 lygis, kuris yra patenkintas x3 - 2 = 0, bet nepatenkintas (kaip parodyta III skyriuje) žemesnio lygio lygiu. Algebrinis žingsnio skaičius n > 1

negali būti racionalus, nes racionalusis skaičius z = p q

tenkina lygį qx − p = 0 žingsnis 1. Oda neracionalus skaičius z tam tikru tikslumu gali būti aproksimuotas papildomu racionaliu skaičiumi; nereiškia, kad visada galite nurodyti racionaliųjų skaičių seką

p1, p2,. . .

q 1 q 2

nėra apsuptas augančių reklaminių antraščių, kad Volodia Tim-

ką ką

p r → z. qr

Liouville teorema yra stverdzhuє: jei žingsnio algebros skaičius n > 1 neegzistuotų, jis negalėtų būti artimesnis

baigti puikius reklamjuosčius obov'yazkovo vykonuetsya nerіvnіst

Mes pasirenkame įrodyti teoremos teoremą, o anksčiau parodysime, kaip papildomai galima gauti transcendentinius skaičius її. Pažiūrėkime į skaičių

z = a1 10-1! + a2 10-2! + a3 10-3! +. . . + am · 10−m! +. . . = = 0,a1 a2 000a3 00000000000000000a4 000. . . ,

de ai reiškia tam tikrus skaičius nuo 1 iki 9 (būtų lengviau visus ai dėti lygius 1), o simbolis n! . . n. Būdinga tokio skaičiaus dešimtojo išplėtimo galia yra grupės, kurios greitai auga už savo dožinos, nuliai įtraukiami į naują su okremi skaitmenimis, kurie atrodo kaip nulis. Pažymėtina, kad per zm dešimtojo lašo pabaiga, kuri atsiskaitoma, jei visi nariai paimami makete iki am · 10−m! imtinai. Todi nuima nervingumą

Tarkime, kad z yra n žingsnio algebros skaičius. Todi, gerbdamas Lіouville nervingumą (3) pq = zm = 22pm! , mes kaltos mamos

|z - zm | > 10(n+1)m!

esant didelėms m vertėms. Likusių nelygybių palyginimas su nervingumu (4) taip

žvaigždės seka (n + 1) m! > (m + 1)! − 1 už puikų m. Alece klysta, kai m reikšmės yra didesnės nei n (tegul skaitytojas pabando pateikti išsamų šio teiginio įrodymą). Mes didshli super-aštrumas. Be to, skaičius z yra transcendentinis.

Belieka užbaigti Liouville’io teoremą. Tarkime, kad z yra n > 1 laipsnio algebros skaičius, tenkinantis (1) lygtį, kad

f(zm ) = f(zm ) − f(z) = a1 (zm − z) + a2 (zm 2 − z2 ) + . . . + an (zm n − zn).

Kovojant su įžeidžiančiomis zm − z dalimis ir sukūrimas naudojant algebrinę formulę

u n − v n = un−1 + un−2 v + un−3 v2 + . . . + uvn−2 + vn−1 , u − v

mes priimame:

Kadangi zm yra teisingas z, tai pasiekus didįjį m, racionalu atsižvelgti į skaičių zm, kuris yra vienu mažesnis. Todėl dozuodami didelį m galite uždirbti tokį apytikslį įvertinimą:

N|an|(|z|+1)n−1 = M, (7)

be to, norint būti dešiniarankiu, skaičius M yra pastovus, skeveldros z įrodinėjimo proceso metu nekinta. Vibero dabar m grindys puikus, shob

trupmena z m = p m standartinė q m aukštesnis, žemesnis M; taip pat kv.m

taip, kad iš daugianario f(x) buvo galima pamatyti ir daugiklį (x − zm ), i taip pat z tenkino žemesniojo žemesniojo n lygiu. Otzhe, f(zm) 6= 0. Ale skaičius dešinėje lygybės (9) dalyje Tokiu būdu zіzstavlennya sіvvіdnіshen (8) ir (9) vyplyaє nerіvnіst

dar sandėlis zmіst zaznachenї teorema.

Likus keliems dešimtmečiams galimybė apytiksliai apskaičiuoti algebrinius skaičius racionaliais skaičiais pateko į tolį. Pavyzdžiui, norvegų matematikas A. Tue (1863–1922) nustatė, kad Liuvilio nelygumai (3) eksponentas n + 1 gali būti pakeistas mažesniu rodikliu n 2 + 1.

Siegel rodo, kad galite pasiimti ir mažesnį (mažesnį

su didesniu n) indikatoriumi 2 n.

Transcendentiniai skaičiai visada buvo aktuali tema, nes jie kėlė matematikų pagarbą sau. Ale, iki paskutinės valandos vidurio, kaip tsіkavі galingomis jėgomis, tokių nebuvo daug, buvo įdiegta transcendentinė tokio bulo prigimtis. (Dėl skaičiaus p transcendencijos, kaip tai atsitinka III skyriuje, liniuote ir kompaso pagalba neįmanoma išlyginti stulpo.) Jo kalboje Paryžiaus tarptautiniame matematikos kongrese 1900 m. Davidas Hilbertas gieda trisdešimt matematinių

problemos, kurios leidžia paprasta formuluotę, deyakі - navіt zovsіm elementarus ir populiaresnis, kažkodėl ne tik nebuvo vilіshena, bet navіtі nebuvo suteiktas pastato, bet leido tієї eros matematikai. Qi „Hilberto problemos“ stipriai pažadino matematikos raidą ateinančiu laikotarpiu. Mayzhe visi smarvės buvo leidžiami žingsnis po žingsnio, o turtingoje vipadkoje jų virišeniją lėmė aiškiai išreikštos sėkmės ryškesnių ir paprastesnių metodų prasme. Viena iš problemų, su kuria išdrįso spręsti beviltiškasis

įrodymas, kad numeris

є transcendentinis (chi wanta b iracionalus). Tris dešimtmečius nebuvo įmanoma spausti tokio pidhido, kad jis maitintųsi iš svetimos pusės, o tai paskatino viltį sulaukti sėkmės. Zreshtoyu, Zіgel i, nepriklausomai, jaunas rusų matematikas A. Gelfondas atrado naujus metodus, kaip įrodyti turtų peržengimą.

skaičiai, kurie gali reikšti matematikos reikšmę. Zokrema, Bulo įterptas

transcendencija kaip Hilberto skaičius 2 2 ir sveikasis skaičius iki didžiosios ab formos skaičių klasės, kur a yra algebrinis skaičius, a yra algebrinis skaičius, a b yra neracionalusis algebrinis skaičius.

PAPILDYMAS PRIE RAZDILU II

Daugiamųjų algebra

1. Karšta teorija. Klasės, sukupnostі, chi beasmenių objektų sąvoka yra viena iš pagrindinių matematikos. Beasmenis reiškia deaco galią („atributą“) A, dėl kurios kalta arba motina, arba ne motina. tie objektai, kaip ir A galia, sudaro A beasmeniškumą. Taigi, kaip matome skaičiaus tikslą, kad A galia yra tame, kad mes atleidžiame, tada A beasmeniškumas pridedamas iš įprasto pirminio pirminio skaičiaus. skaičiai 2, 3, 5, 7 , . . .

Matematinė teorija daugikliai atsiranda dėl to, kad galima nustatyti naujus daugiklius papildomoms operacijoms (panašiai, kad iš skaičių atsiranda naujų skaičių papildomai to daugiklio lankstymo operacijai). Vyvchennya operacijos dauginamos, kad taptų „daugialypės algebros“ objektu, nes jos gali būti gausiai suderintos su puikia skaitine algebra, norint pamatyti, kodėl ir joje. Tai, kad algebros metodai gali būti suskirstyti taip, kad būtų įtraukti neskaitiniai objektai, tokie kaip beasmenis, ilu-

didelio šiuolaikinės matematikos idėjų konvergencijos srautas. Likusią valandą buvo aišku, kad daugybos algebra naujai apšviečia turtingą matematikos magiją, pavyzdžiui, pasaulio teoriją ir įsivaizduojamų dalykų teoriją; vona korisna taip pat yra pіd sisteminimo valanda matematika supranti kad z'yasuvannі їх loginis zv'yazkіv.

Nadalis turiu omeny postiynu beasmeniu objektu deka, tokio baiduzh prigimtis ir kaip galime vadinti visuotine beasmenybe (arba mirkuvannya visata), ir

A, B, C, . . . Jei I yra visų natūraliųjų skaičių daugyba, tai A, tarkime, gali reikšti, kad nėra visų suporuotų skaičių, B - kad nėra visų nesuporuotų skaičių, C - kad nėra visų pirminių skaičių ir tt. tada A gali būti beprasmis taškas šio statymo viduryje, B – beprasmis taškas kito statymo viduryje ir pan. Meta, tarsi sekdama tokį išsiplėtimo gabalą, prisiekia tos padėties išsaugojimu, kad A odos galia rodo daug elementų iš I, kurie ves galios galią. Kartais, kaip A є visuotinai vykonuvan autoritetas, kurio užpakaliukui galite tarnauti (kaip galite rasti apie skaičius), autoritetas tenkina trivialią ekvivalentą x = x, tada daugiklio atveju aš būsiu pats aš, odos elementas. gali turėti tokį įgaliojimą; iš kitos pusės, kaip A є kaip vidinė supergalinga galia (ant kshtalt x 6 \u003d x), tada nebūtina keršyti elementams, ji yra „tuščia“ ir žymima simboliu.

Atrodo, kad daugiklis A yra daugiklio B daugiklis, trumpai tariant, „A įeina į B“, arba „B atkeršija A“, nes daugiklis A neturi tokio elemento, kuris nėra tas pats, kas daugiklis. B.

A B arba B A.

Pavyzdžiui, visų sveikųjų skaičių beasmenis A, kuris dalijasi iš 10, yra visų sveikųjų skaičių beasmenio B daugiklis, kuris dalijasi iš 5, todėl odos skaičius, kuris dalijasi iš 10, taip pat dalijasi 5. A B neapima B A. gali būti įvairių, tada

Tse reiškia, kad odos elementas A є tuo pačiu metu elementas B, і atgal, todėl padauginkite A ir B, kad pakeistumėte tuos pačius elementus.

Spivvіdnoshennia A B mizhiny turtingas ką atspėti spіvіdnoshennia a 6 b mizh skaičiai. Zokrema, aišku, atsekta

pučia šios spіvvidnoshennia galią:

1) A.

2) Jei AB ir BA, tai A = B.

3) Kaip A B ir B C, tada A C.

Dėl priežasčių spіvvidnoshennia AB kartais vadinama "užsakymu". Golovna Vidmіnniy Išanalizavo SPIVVIŠENYNYA VID SPIVVIŠENYNYA A 6 b MIZH Polegos skaičiais viename, pijami ceremonijų (diSny) numeriai a і b nėra taip pat analogiškas teiginys yra klaidingas. Pavyzdžiui, kad A yra beasmenis, sudarytas iš skaičių 1, 2, 3,

ir B yra daugiklis, kuris susumuojamas iš skaičių 2, 3, 4,

tada nėra laiko A B arba B A. Nėra priežasčių sakyti, kad A, B, C, . . . daugikliai I є „iš dalies užsakyti“, tokie patys kaip efektyvieji skaičiai a, b, c, . . .

nustatyti „visiškai užsakytą“ tvarką.

Pagarbiai, be kita ko, kad nebuvo skirtumo tarp A ir B, kad jei nebūtų A daugiklio, I daugiklio,

Galia 4) gali būti šiek tiek paradoksali, bet, jei gerai pagalvoji, ji logiškai priklauso nuo tikslaus paskirto ženklo pakeitimo. Tiesa, spіvvіdnoshnya A buvo sulaužytas tik

in į tą vipadką, lyg tuščią, daug elementų netaisyklingai padėdavo stichiją, kuri neatkeršijo b A; bet taip, kaip tuščias beasmenis, nekeršyk stichijai, tada tu negali būti, jei ne A.

Dabar mums svarbios dvi operacijos su daugikliais, kurios formaliai leidžia turtingoms algebrinėms valdžios institucijoms pridėti tą skaičių daugybą, norinčią už savo vidinį zmіsto zovsіm vіdminnі vіd tsikh aritmetinį diy. Tegu A ir B yra du daugikliai. Pagal terminus arba „loginę sumą“ A ir B supranta beasmenį, kurį sudaro tylūs elementai, esantys A arba

in B (įskaitant ir tuos elementus, kuriuos galima rasti A ir B). Šis daugiklis žymimas A + B. 1 Pagal "peretina" arba "loginę kūrybą" A ir B suprantami beasmeniai, sudaryti iš tylių elementų, kuriuos galima rasti A ir B. Šis daugiklis žymimas AB.2

Tarp svarbių operacijų A + B ir AB algebros galių puolimas yra priblokštas. Skaitytojas gali pakeisti teisingumą, atsižvelgdamas į pačių operacijų tikslą:

Visų šių įstatymų pakartotinis patikrinimas yra paprasčiausia logika dešinėje. Pavyzdžiui, taisyklė 10) teigia, kad elementai yra beasmenis, kad arba A, arba A, arba beasmenis A; 12 taisyklė, nurodanti, kad beasmenis elementai, jei jie yra A ir tuo pačiu metu yra B arba C, yra beasmeniai elementai, jei jie yra arba A ir B yra tuo pačiu metu, arba laikas yra viena valanda A ir C vykoristovuyutsya įrodydamas panašaus pobūdžio taisykles, iliustruotas ranka, tarsi galėtume įsivaizduoti beasmenį A, B, C, . . . matydami tokias figūras aikštėje, tuo atžvilgiu būsime pagarbesni, kad nepraleistų loginių galimybių, jei kalbama apie dviejų rinkinių pagrindinių elementų buvimą arba, priešingai, buvimą. vieno elementų rinkinio, jei jo nerasti kitame.

Skaitytojas, be jokios abejonės, praradęs pagarbą tiems, kurie vadovaujasi 6), 7), 8), 9) ir 12) dėsniais, vadinami taip pat su gerai žinomais komutaciniais, asociatyviniais ir paskirstymo garsinės algebros dėsniais. Zvіdsi viplivaє, scho tse taisyklės zvichaynoї algebra, yakі z tsikh dėsniai, veiksmingi aibių algebroje. Navpaki, 10), 11) ir 13) dėsniai nėra originalios algebros analogų ir suteikia algebrai daug paprastos struktūros. Pavyzdžiui, binominė formulė daugiklių algebroje gali būti sumažinta iki paprasčiausios lygybės

(A + B) n = (A + B) · (A + B). . . (A + B) = A + B,

pagal įstatymą 11). 14), 15) ir 17) dėsniai kalbėti apie tuos, kad daugiskaitos I galia skaičiaus atžvilgiu prieš to skaičiaus sudėjimo operaciją yra panaši į skaičių 0 ir 1 laipsnį termino prieš skaitinių skaičių veikimas ir to daugiskaitos pridėjimas. Ale dėsnis 16) neturi analogo skaitinėje algebroje.

Dar reikia pateikti vieną operaciją aibių algebroje. Tegu A yra universalaus daugiklio I daugiklis. Taigi pagal I priedą A galima suprasti visų I elementų beasmenį, jei ne A. Daugikliui įvedame reikšmę A0. Taigi, jei I yra beasmenis iš visų natūraliųjų skaičių, o A yra beasmenis visų pirminių skaičių, tai A0 yra beasmenis, kuris susumuojamas iš visų sandėlio numerių ir skaičiaus 1. autoritetas:

23) A00 = A.

24) Spivdnenja A B 0A0.

25) (A + B) 0 = A0 B0. 26) (AB)0 = A0 + B0.

Pakartotinis šių įgaliojimų patikrinimas, aš pakartotinai patikrinu nadaemo chitachevą.

1)-26 dėsniai yra aibių algebra pagrindas. Stebuklingos „dvejybės“ galios smarvė įžeidžiančioje sensacijoje:

Kaip ir viename iš dėsnių 1)–26) pakeiskite vieną į vieną

(odos įvedimui), tada vėl atsiranda vienas iš šių dėsnių. Pavyzdžiui, įstatymas 6) transformuojasi į 7 įstatymą), 12) - į 13), 17) - į 16) tiesiog. pumpuras. , "Dvіyna" ї-oji teorema, kuri išplaukia iš pirmosios papildomoms simbolių permutacijų reikšmėms. Tiesa, įrodymų šukės

Įvartis. II ALGEBRA MNOŽINAS 139

Pirmąją teoremą sudaro 1–26 dėsnių nuoseklus sąstingis (skirtinguose suderinimo etapuose), tada sąstingis paskutinėse „dviejų“ dėsnių sandėlyje etapuose yra įrodymas, kad „ dviguba“ teorema. (Dėl tokio „dvigubumo“ IV skyriaus geometrijoje.)

2. Zastosuvannya matematinė logika. Daugybinių algebros dėsnių pakartotinis patikrinimas buvo pagrįstas A B loginės prasmės analize ir operacijomis A + B, AB ir A0. Dabar galime pakeisti šį procesą ir laikyti „logikos algebros“ pagrindu 1)–26) dėsnius. Tiksliau tariant: ta logikos dalis, kurios yra daug, arba, tiesą sakant, ta pati, objektų, į kuriuos žiūrima, galios, gali būti redukuojama į formalią algebrinę sistemą, pagrįstą dėsniais 1) –26). Loginis „protingas visažinis“ reiškia beasmenį Aš; odos galia A reiškia beasmenį A, kurį sudaro tylūs objektai I, tarsi tai gali būti galia. Logiškiausios terminijos vertimo į kalbą taisyklės

Kalbant apie algebrą, yra silogizmas „Barbara“, kuris reiškia, kad „jei kiekvienas A × B ir kiekvienas B × C, tada kiekvienas A × C“, atrodo paprasta:

3) Jei AB ir BC, tai AC.

Panašiai „pasipriešinimo dėsnį“, teigiantį, kad „objektas negali tuo pačiu metu vadovauti ir negali vadovauti tokiai galiai“, užfiksuoja žiūrovas:

20) AA 0 = ,

a „Įtraukto trečdalio dėsnis“, kuris sako, kad „objektas kaltas dėl motinos, bet ne motina dėl valdžios diakono“:

19) A+A0=I.

Tokiu būdu ta logikos dalis, kaip matyti iš simbolių, +, · і 0, gali būti interpretuojama kaip formali algebros sistema pagal dėsnius 1)–26). Remiantis logine matematikos analize ir matematinė analizė logikos, buvo sukurta nauja disciplina - matematinė logika, kaip ir nė viena iš jų nepriekaištauja audringo vystymosi proceso.

Aksiomatiniu požiūriu dėl pagarbos tam stebuklingam faktui, kurį patvirtina 1)-26), kartu su kitomis aibių algebros teoremomis, galima logiškai matyti iš trijų ateinančių lygybių:

27) A + B = B + A,

(A + B) + C = A + (B + C),

(A0 + B0) 0 + (A0 + B) 0 = A.

Akivaizdu, kad daugybos algebra gali būti motyvuota kaip dedukcinė teorija, remiantis Euklido geometrija, remiantis šiomis trimis pozicijomis, kurios priimamos kaip aksiomos. Kaip aksiomatiškai priimta, operacija AB ir teiginys A B apibrėžiami kaip A + B ir A0 :

Kitu matematinės sistemos, kurioje užkoduoti visi formalūs daugiklių algebros dėsniai, pavyzdžiu vadiname aštuonių skaičių 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 sistema: čia a + b reiškia,

didžiausias, mažiausias a і b kartotinis, ab - didžiausias dіlnik a і b, a b - kietumas "b yra padalintas iš a" ir a0 - skaičius 30 a. Su-

Tokių programų pagrindas lėmė siaubingų algebrinių sistemų, atitinkančių įstatymus, kūrimą 27). Tokios sistemos vadinamos „Bulio algebromis“ – pagerbiant Džordžą Būlį (1815-1864), anglų matematiką ir logiką, kurio knyga „Minties dėsnių tyrimas“ pasirodė 1854 m.

3. Viena iš stotelių prieš nejudėjimo teoriją. Algebra gali būti daug artimesnė nejudrumo teorijai ir leidžia pažvelgti į ją naujame pasaulyje. Pažiūrėkime į paprasčiausią pavyzdį: padarykime savo eksperimentą iš paskutinio galimų nasledkivų skaičiaus, visi galvoja kaip "vienodai gali". Pavyzdžiui, eksperimentas gali būti susijęs su tuo, kad galime ištraukti kortą iš naujos kaladės, kuri yra gerai išmaišyta. Jei visų eksperimento rezultatų daugiklis yra reikšmingas per I, o A reiškia, kad jis yra I daugiklis, tada galimybė, kad eksperimento rezultatas priklausys nuo A daugiklio, reiškia išplėtimą.

p(A) = elementų skaičius A. elementų skaičius I

Jei laikysime elementų skaičių bet kuriame daugiklyje A kaip n(A), tada likusią lygybės dalį galime pateikti pažvelgę ​​į

Daugiskaitos algebros idėjos atsiranda skaičiuojant galimybes, jei įmanoma, žinant vienų daugiskaitų imoviriškumą, suskaičiuoti kitų imoviriškumą. Pavyzdžiui, žinodami p(A), p(B) ir p(AB) dinamiką, galime apskaičiuoti p(A + B) dinamiką:

Nesvarbu atnešti. Mano maєmo

n(A + B) = n(A) + n(B) − n(AB),

elementų skeveldros, kurios vienu metu gali būti užimtos A ir B, tada skaičiuojant sumas n(A) + n(B) atsižvelgiama į AB elementus, todėl reikia matyti n(AB) nuo sumų sumos, taigi n(A + B) dalybos raidė yra teisinga. Nusikaltėlius palikime įžeistus dėl dalies n(I) ekvivalentiškumo, atimsime spontaniškumą (2).

Cіkavіsha formulė išeiti, todėl yra maždaug trys daugikliai A, B, C z I.

p(A + B + C) = p[(A + B) + C] = p(A + B) + p(C) − p[(A + B)C].

Įstatymas (12) iš ankstesnės pastraipos suteikia mums (A + B) C = AC + BC. Garsai šaukia:

p[(A + B)C)] = p(AC + BC) = p(AC) + p(BC) − p(ABC).

Ankstesne tvarka pakeitę p[(A + B)C] reikšmę ir p(A + B), paimtą iš (2), gauname reikiamą formulę:

p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(AB) − p(AC) − p(BC) + p(ABC). (3)

Kaip užpakaliuką galime žiūrėti į įžeidžiantį eksperimentą. Trys skaičiai 1, 2, 3 rašomi bet kokia tvarka. Ką reiškia faktas, kad vienas iš skaitmenų yra priimtas remiantis pridėtine (sensi numeravimo) erdve? Tegu A yra beasmenis permutacija, kuriai skaičius 1 turėtų kainuoti pirmą vietą, B - beasmenis permutacija, už kurią skaičius 2 turėtų kainuoti kitą vietą, C - beasmenis permutacija, už kurią skaičius 3 turėtų kainuoti trečią vietą . Turime apskaičiuoti p(A+B+C). Aš supratau, kad

p(A) = p(B) = p(C) = 2 6 = 1 3;

efektyviai, tarsi figūra stovi reikiamoje vietoje, tada yra dvi galimybės pertvarkyti dviejų skaitmenų sprendimą iš pagrindinio skaičiaus 3 2 1 = 6 galimos trijų skaitmenų permutacijos. Dali,

Teisingai. Įveskite galiojančią formulę p(A + B + C + D) ir palaukite, kol bus atliktas eksperimentas, kurį sudaro 4 skaitmenys. Vidpovidna umovirnіst dorіvnyuє 58 = 0,6250.

Gali atrodyti įprasta n dauginimo koeficientų sujungimo formulė

deriniai atkeršyti vienas, du, trys, . . . , (n − 1) raidė iš skaičiaus A1 , A2 , . . .

an. Šią formulę galima įterpti po papildomos matematinės indukcijos – kaip ir (3) formulė buvo įvesta iš (2) formulės.

Iš formulės (4) galima sudėti stulpelius, kad būtų n skaitmenų 1, 2, 3, . . . n parašyta bet kokia tvarka, tada galimybė priimti vieną iš skaitmenų, kad atsiremtų į tinkamą vietą, yra didesnė

be to, prieš likusį narį yra ženklas + arba −, šaukiantis tuos, kurie yra suporuoti ir nesuporuoti. Zocrema, kai n = 5

p5 = 1–2! + 3! – 4! +5! = 30 = 0,6333. . .

VIII divizione norėtume žinoti, kad jei nėra nesuderinamumo, viraz

1 1 1 1 Sn = 2! – 3! +4! − . . . ±n!

pragne tarp 1 e, kurios reikšmė su penkiais ženklais po Komi,

vienas 0,36788. Iš (5) formulės aišku, kad pn = 1 − Sn, tada žvaigždė aišku, kad n → ∞

pn → 1 − e ≈ 0,63212.

Žodis „transcendentinis“ asocijuojasi su transcendentine meditacija ir įvairia ezoterika. Bet norint teisingai gyventi joga, reikia kaip minimum prikelti jogą iš termino „transcendentalus“, o maksimaliai – atspėti jogos vaidmenį Kanto robotuose ir kituose filosofuose.

Suprantama, kad ji primena lotynišką transcendens – „peržengti“, „peržengti“, „peržengti“. Apskritai vynai reiškia tuos, kurie yra labai neprieinami empirinėms žinioms arba yra pagrįsti įrodymais. Pergalvok terminą „viniklische“ neoplatonizmo filosofija – įkūrėjas Plotinas, tiesiogiai sukūręs včeniją apie Vieną – visapusišką peršopochką, tarsi proto pagalba atpažinti minčių be jautraus proto būtų neįmanoma. „Neegzistuoja vienas, o tėvas Jogas“, – aiškina filosofas.

Naujausias terminas „transcendentalinis“ buvo sukurtas Immanuelio Kanto filosofijoje de vin vikoristovuvsya, kad apibūdintų, aiškiai būtinas žinioms ir kaip pajusti, kad mūsų kūnai yra jautrūs, paliekami iš esmės neatpažįstami, kaip praktikoje ir teoriškai. Transcendencijos plitimas – reiškia arba nematomumą, vidinį ryšį, nesvarbu, ar objektas yra su pačiu objektu, arba objekto atpažinimą specialus sertifikatas. Pavyzdžiui, darykime prielaidą, kad visas kūrinių pasaulis, slypintis už puikios idėjos, manė, kad mums yra transcendentinis – mes galime tik kelti hipotezes apie naujus. Ir vis dėlto, kaip aš supratau, tai tiesa, o pasekmės mums yra imanentinės, turinčios įtakos fiziniams dėsniams ir sąlygoms, kurias galime vartoti. Todėl kai kuriose teologinėse sampratose Dievas yra transcendentalus ir įveikia jo sukurtas pozas.

Aktualios kalbos vis dar prieinamos a priori žinioms: pavyzdžiui, erdvė ir laikas, Dievo idėjos, gėris ir grožis, loginės kategorijos. Tobto transcendentiniai objektai, perkeltine prasme, mūsų mintyse „už nustatytos linijos“

Teiginys apie transcendentinę prigimtį matematikoje: transcendentinis skaičius yra skaičius, kurio negalima apskaičiuoti naudojant papildomą algebrą arba algebriškai (tai yra, jis negali būti turtingo termino su keliais koeficientais, kurie nėra tokie patys kaip nulis, šaknis). Prieš juos įveskite, pavyzdžiui, skaičius π і e.

Supratimas, artimas „transcendentinei“, o net už reikšmių – „transcendentinis“. Pakaušyje tai reiškė tiesiog abstrakčių romėniškų kategorijų sritį, o iki metų pabaigos, išauginus Kantą, išgėrus makaronų iš plaukų: vien empiriniais duomenimis buvo neįmanoma sukurti filosofinės sistemos. , bet jis nežinojo tiesos apie kitų žmonių mirtį. Siekdami apsisukti, filosofai turėjo progą pripažinti, kad kai kurios kalbos vis dar prieinamos a priori žinioms: pavyzdžiui, erdvė ir laikas, Dievo idėjos, gėris ir grožis, loginės kategorijos. Kad transcendentiniai objektai - tse, perkeltine prasme atrodo, "prieš uždedant už proto" mūsų protuose - su kuriais informacija apie juos yra savaime suprantama ir nevyplyvaet iš mūsų žinių.

Yra dar vienas prieštaringas supratimas – transcendencija. Plačiąja prasme žodis „vono“ reiškia perėjimą į kordoną tarp dviejų skirtingų regionų, ypač perėjimą iš šio pasaulio sferos į ateities, transcendentinę, sferą. Paprastumo dėlei paimkime pavyzdį iš mokslinės fantastikos: paralelinis pasaulis puikūs žmonės- transcendentinis pasireiškimas. Bet jei herojus gėrė savo lygiagrečią šviesą, atrodo, kad rangas pasireiškia pastato joga spriymati, tse transcendencija. Labiau lankstomas egzistencinės filosofijos pavyzdys: Jeanas-Paulis Sartre'as, suvokęs, kad žmogus yra transcendentas, šukės neperžengs jokios galimos šlapios tiesos ribų: galime navkolishniy svit iš skirtingų pusių, bet bet kuriuo atveju negalime priartėti prie visiško savęs pripažinimo. Ale, iš karto žmogus gali susikurti iki transcendencijos: jis peržengia, ar tai upė, suteikdamas jai prasmę. Transcendencija yra svarbus religijos elementas: ji padeda žmonėms augti savo materialioje prigimtyje ir pasiekti kažką svetimo.

Iš filosofijos transcendentalumo samprata perėjo į psichologiją: šveicarų psichologas Carlas Jungas sukūrė „transcendentinės funkcijos“ sąvoką – tą pačią funkciją, kuri eina kartu su tuo nesuvokiamumu. Zocrema, transcendentinę funkciją gali įveikti psichoanalitikas – padėti pacientui analizuoti nematomo (pavyzdžiui, sapnavimo) vaizdus ir parodyti juos iš karto iš savo psichinių procesų.

Jakų kalbėjimas

Neteisinga „Užsiregistravau į transcendentinės meditacijos pamoką“. Teisingai – „transcendentalus“.

Teisingai: „Kai einu į šventyklą, aš stebiu kažką transcendentiško“.

Teisingai: „Transcendencijos menas pažįsta mums daiktus iš materialaus pasaulio, primenančius juos didžiausia šviesa“.

Ilija Ščurovas

Matematikas Illya Shchurov apie skaičiaus Pi dešimtis trupmenų, transcendenciją ir neracionalumą.

Kaip „vienatvė“ padėjo įkvėpti pirmąją vietą ir tą didžiąją imperiją? Kaip sukrėtėte žmonių protus? Kokį vaidmenį ji suvaidino dėl centų atsiradimo? Jakas „vienas“ susijungęs su nuliu, valdyti modernus pasaulis? Vienišumo istorija neatsiejamai susijusi su Europos civilizacijos istorija. Terry Jonesas humoristiniu būdu yra virushaya, kuris yra brangesnis, naudojant nuostabų mūsų paprasčiausio skaičiaus istoriją. Kompiuterinės grafikos pagalba šioje programoje atgyja įvairiomis formomis. Iš vienatvės istorijos tapo aišku, žvaigždės pasirodė šiandien, ir kaip nulio gedimai, vryatuvavo atsižvelgiant į poreikį laimėti romėniškus skaitmenis.

Žakas Cesiano

Mes mažai žinome apie Diofantą. Na, Vinas gyvas pas Oleksandriją. Nė vienas iš graikų matematikų to nesuprato iki IV amžiaus, nes ymovirno yra gyvas III amžiaus viduryje. Diofanto roboto „Aritmetikos“ (Ἀριθμητικά) galva buvo paimta ant 13 „knygų“ (βιβλία) burbuolės, kad būtų padalinta. Šiandien galime turėti 10 iš jų ir savaime: 6 graikiškam tekstui ir 4 kitiems viduriniam arabų kalbos vertimui ir kelios graikų knygų viduriui: I-III knygos graikų kalba, IV-VII arabų kalba, VIII-X graikų kalba. Diofanto "aritmetika" lenkia grafiką, tik beveik 260. Teorijos, atrodo, teisingos, nieko; Knygos pradžioje nėra bendresnių nurodymų, prireikus – daugiau privačios pagarbos kitiems režisieriams. „Aritmetika“ jau atrodo kaip algebrinis traktatas. Diofantas ant burbuolės skirtingi ženklai, schob vyslovlyuvati nevidome, kad jogo žingsnis, taip pat deakі calculus; kaip ir visi algebriniai vidurio simboliai, jo simbolika primena matematinius žodžius. Tada Diofantas paaiškina, kaip išspręsti problemą naudojant algebros metodą. Tačiau Diofanto užduotis nėra algebrinė pirmine prasme, todėl viską galima redukuoti iki neapibrėžtos lygybės aukščio arba tokių lygybių sistemų.

Džordžas Šabatas

Kurso programa: Istorija. Pirmieji įvertinimai. її skersmens kuoliuko konsistencijos problema. Neskіchennі eilučių, sukurkite tą іnshі vrazi už π. Zbіzhnist ir її jakіst. Virazi, už ką atkeršyti π. Sekos, kurios greitai susilieja iki π. Šiuolaikiniai metodaiπ skaičiavimas, kompiuterių skaičius. Apie π ir kitų skaičių neracionalumą ir transcendenciją. Išankstinės žinios kursui nebūtinos.

Oksfordo universiteto pareigūnai teigė, kad į ankstyvą skaičių 0, nurodantį dienų skaičių iš eilės (kaip ir skaičiuje 101), turėtų būti įtrauktas indiško Bakhshali rankraščio tekstas.

Vasilis Pispanenas

Kam negraviruojami vaikai grupėje „pavadink didžiausią skaičių“? Milyoni, trilijonai ir kiti „-jie“ mintyse matosi jau sklandžiai, bet pabandysime išspręsti matematikos „mastodoną“ – Greimo skaičių.

Viktoras Kleptsinas

Tinkamas skaičius gali būti tiksliai apytikslis racionaliais. O jei tai darome maloniai, ar galime vienas prie kito priartėti – ar tai derinama su jogos lankstymu? Pavyzdžiui, sulaužyti dešimtas įrašas skaičiai x ant k-tas skaitmuo po to atimame artumą x≈a/10^k su 1/10^k eilės atleidimu. I vzagali, pataisę banerį q artėjančioje trupmenoje, tikrai galime priartėti atleisdami eilę 1/q. Ir ką tu gali padaryti geriau? Visiems žinant, artumas π≈22/7 duoda 1/1000 eilės atleidimą – tai yra aiškiai geriau, galima būtų pataisyti mažesnį. Kodėl? Mūsų nepagailėjo, kodėl π taip arti є? Atrodo, kad bet kuriam neracionaliam skaičiui є beasmenės trupmenos p / q, kurios yra arčiau jo, yra mažesnės 1 / q ^ 2. Tseverzhuє Dirichlet teorema - ir mi pochnemo kursas іz її troha nestandartinis įrodymas.

1980 m. Gineso rekordų knyga pakartojo Gardnerio teiginius, dar labiau padidindama visuomenės susidomėjimą iki šio skaičiaus. Greimo numeris vardu, kiek kartų daugiau, mažesnis kitaip geras namuose puikūs skaičiai, taigi, pavyzdžiui, googol, googolplex ir daugiau navigacijos, sumažinkite Skewes ir Moser skaičių. Tiesą sakant, visas pasaulis yra per mažas, kad kas nors galėtų užfiksuoti savo dešimtąjį Grahamo skaičiaus įrašą.

Dmitrijus Anosovas

Paskaitos skaito Anosovas Dmitro Viktorovičius, fizinių ir matematikos mokslų daktaras, profesorius, Rusijos mokslų akademijos akademikas. Vasaros mokykla „Šiuolaikinė matematika“, Dubna. 2002 metų balandžio 16-18 d

Neįmanoma teisingai reaguoti į maisto grandinę, šukes skaičių serija neviršykite viršutinės ribos. Taigi iki tam tikro skaičiaus pakanka pridėti dar vieną, kad skaičius būtų dar didesnis. Nors patys skaičiai nėra ribojami, jų vardai nėra tokie turtingi ir turtingi, todėl dauguma tenkinasi vardais, kurie sumuojami iš mažesnių skaičių. Supratau, kad galutiniame skaičių rinkinyje, kurį žmonės sukrovė dėl savo galingų vardų, jų gali būti daugiausia. Bet kaip jis vadinamas ir kodėl jis lygus? Nagi, pabandykime kaip nors išsiaiškinti ir atpažinti infekciją, matematikai sugalvojo puikių skaičių.

Skambina numeriu algebrinė yakscho tai prastai turtingo termino su daugybe koeficientų šaknis

a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0(t. y. lygybės šaknis a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0 =0, de a n, a n-1, ..., a 1, a 0--- skaičiai, n 1, a 0).

Beasmenis algebrinis skaičius prasmingai yra raidė .

Nesunku suprasti, ar racionalusis skaičius yra algebrinis. Tiesa, – upės šaknis qx-p=0 su daugybe koeficientų a 1 =qі a 0 =-p. Otzhe, .

Tačiau ne visi algebriniai skaičiai yra racionalūs: pavyzdžiui, skaičius yra lygybės šaknis x 2 -2 = 0, otzhe, --- algebrinė numerį.

Senoji valanda liko nepaliesta, svarbi matematikos mitybai: ? Mažiau nei 1844 m. Liuvilio likimas pirmą kartą tapo transcendentinio (tobto. nealgebrinio) skaičiaus pavyzdžiu.

Pirmąją mėnesio dieną jos transcendencijos įrodymas dar labiau sulankstomas. Teoremą transcendentinių skaičių pagrindu galima pateikti žymiai paprasčiau, nurodant skaitinių daugiklių lygiavertiškumą ir neekvivalentiškumą.

Ir mes galime pasakyti, kad beasmeniai algebriniai skaičiai yra Rakhunkov. Tačiau visų realiųjų skaičių skeveldros nėra lygios, galime nustatyti nealgebrinių skaičių bazę.

Vienareikšmiškai atskirkime ir su tuzinu . Tse prasminga, sho - Tai gerai, chi rakhunkovo. Ale oskilki , tada neskіchenno, otzhe, rakhunkovo.

Nagi – algebros dejako skaičius. Pažvelkime į visus turtingus terminus su koeficientų skaičiumi, kurių šaknis yra є, ir pasirinkite turtingųjų terminų vidurį P minimalus žingsnis (kad tai nebūtų to paties turtingo termino šaknis su visais mažesnio žingsnio koeficientais).

Pavyzdžiui, racionaliajam skaičiui toks daugianomas gali turėti 1 žingsnį, o skaičiai – 2 žingsnį.

Padalinkime visus turtingo nario koeficientus P didžiausiam jų miegamajam. Iš karto atimame daugianarį, kurio koeficientas abipusiai paprastas (didžiausias jų pabėgis yra 1). Zreshtoyu, kaip vyresnysis koeficientas a n vіd'єmniy, padauginame visus daugianario koeficientus iš -1 .

Turtingo termino (ty turtingo termino su dideliais koeficientais, kurių šaknis yra skaičius, kuris gali būti mažiausias įmanomas žingsnis, abipusiai paprastas koeficientas ir teigiamas vyresniojo koeficientas) atėmimas vadinamas minimaliu turtingu terminu. numerį.

Galima įrodyti, kad toks daugianomas yra priskirtas vienareikšmiškai: algebros odos numeris gali būti lygiai vienas minimalus daugianario.

Tikrųjų daugianario šaknų skaičius yra ne didesnis kaip apatinis žingsnis. Taip pat galite sunumeruoti (pavyzdžiui, augimui) tokio turtingo termino šaknis.

Dabar, nesvarbu, ar tai būtų algebros skaičius, jis bus atpažįstamas pagal minimalų turtingą terminą (ty pagal koeficientų rinkinį) ir skaičių, kuris skiriasi nuo kitų daugianario šaknų: (a 0,a 1,...,a n-1,a n,k).

Vėliau dermaliniam algebriniam skaičiui nustatėme galutinės sveikųjų skaičių aibės skirtumą, be to, po jos vienareikšmiškai seka ši aibė (taigi skirtingiems skaičiams suteikiamos skirtingos aibės).

Visi pirminiai skaičiai sunumeruoti augimo tvarka (nesvarbu parodyti, kad jie per turtingi). Atimame nepateisinamą seką (pk): p1=2,p2=3, p3=5, p4=7, ... Dabar sveikųjų skaičių rinkinys (a 0,a 1,...,a n-1,a n,k) galite įdėti u vіdpovidnіst tvіr

(Šis skaičius yra labiau teigiamas ir racionalus, bet nebūkite natūralus, net skaičių vidurys a 0, a 1, ..., a n-1, gali būti neigiamas). Pagarbiai, kad skaičius nėra trumpalaikis, šukės yra paprasti daugikliai, įvesti prieš dėliojant skaičių knygelę ir banerį, skirtumas. Taip pat verta atsižvelgti į tai, kad dvi netrumposios trupmenos su teigiamais skaitmenimis ir posmais yra lygios, net jei skaitmenys yra lygūs, tie їх yra vienodi posmai.

Dabar pažvelkime į tai su druskos grūdeliu:

(a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k) =

Oskіlki skirtingi algebros skaičiai nustatė skirtingus sveikųjų skaičių rinkinius ir skirtingus rinkinius --- kitoks racionalieji skaičiai, tada tokia tvarka nustatėme abipusį nedviprasmišką dauginio galiojimą ir su tuzinu . Todėl beasmeniai algebriniai skaičiai yra reikšmingi.

Beasmenių realiųjų skaičių skeveldros nesiskiria, atnešėme nealgebrinių skaičių pagrindą.

Tačiau samprotavimo teorema neparodo, kaip ką nustatyti visas skaičius algebrinė. O mityba kartais svarbi matematikai.

transcendentinis skaičius

skaičius (dіysne abo yavne), kurio netenkina joks algebros išlyginimas (Div. Algebrinė išlyginimas) su daugybe koeficientų. Šiame range T. h. priskiriami algebriniams skaičiams. Іsnuvannya T. H. pirmą kartą įkūręs J. Liouville (1844). Liouville'iui tinkamas taškas buvo toji teorema, teigianti, kad bet kokia racionaliosios trupmenos su tam tikru standartu aproksimavimo tvarka iki trečiojo iracionaliojo algebrinio skaičiaus negali būti pakankamai didelė. Labiausiai algebrinis skaičius a tenkina neredukuotą algebros lygybę n su daug koeficientų, tada bet koks racionalus skaičius deponuojamas tik α ). Todėl tam tikram neracionaliajam skaičiui α galima parodyti beasmenius racionalius aproksimacijas, kurios netenkina nelygumo indukcijos bet kuriam hі n(kai kurie ir tylu visiems artimiems), tada α є T. h. Tokio skaičiaus užpakalis yra taip:

R. Kantoras (1874), paminėjęs, kad visų algebrinių skaičių beasmeniškumas yra atskiriamas (kad visus algebrinius skaičius būtų galima pernumeruoti; divi. Daugialypės teorija), tada visų realiųjų skaičių beasmeniškumas yra nekintantis. Tai skambėjo kaip beasmenis T. h.

Svarbiausias T. h. teorijos uždavinys - tse z'yasuvannya, kad chi є T. h. analitinių funkcijų vertė, galinti turėti tas kitas aritmetines aritmetines galias su argumento algebrinėmis reikšmėmis. Kurios šeimos uždavinys yra prieš svarbiausią šiuolaikinės matematikos uždavinį. U 1873 Sh.

1882 metais vokiečių matematikas F. Lindemannas paėmė reikšmingesnį rezultatą: kadangi α yra algebros skaičius, tai eα - T. h. Lipdemano rezultatą gerokai pablogino vokiečių matematikas K. Siegelis (1930), įrodęs, pavyzdžiui, plačios cilindrinių funkcijų klasės vertės viršijimą su algebros argumento reikšmėmis. 1900 m. Matematikos kongrese Paryžiuje D. Hilbertas tarp 23 neliečiamų matematikos problemų nurodė įžeidžiantį dalyką: chi yra transcendentinis skaičius. α β , de α і β - be to, algebriniai skaičiai β - neracionalus skaičius, i, zokrema, chi є transcendentinis skaičius e π α β Bulą pirmą kartą privačioje formoje įkėlė L. Euler, 1744). Į išorinę problemos versiją (kietąja prasme) daugiau ar mažiau atsižvelgė 1934 m. A. O. Gelfondas. Iš Gelfondo teiginio zokrema aišku, kad visos dešimtys natūraliųjų skaičių logaritmų (tai yra „lentelės logaritmai“) yra T. h. Teorijos metodai T. h.

Lit.: Gelfond A. O., Transcendentiniai ir algebriniai skaičiai, M., 1952 m.

Didžioji Radianskos enciklopedija. - M: Radianskos enciklopedija. 1969-1978 .

Stebėkite tokį „Transcendentinį skaičių“ kituose žodynuose:

Skaičius, kurio netenkina jokia algebros lygybė su bet kokiu koeficientų skaičiumi. Transcendentiniai skaičiai є: skaičius? 3,14159...; bet kurio sveikojo skaičiaus, kuris nėra pavaizduotas vienetu su nuliais, dešimtasis logaritmas; skaičius e = 2,71828 ... ta in ... Puiku Enciklopedinis žodynas

- (lot. transcendere pereiti, apversti) tse recheve abo kompleksinis skaičius, kuris nėra algebrinis, kitaip tariant, skaičius, kuris negali būti turtingo termino, turinčio daug koeficientų, šaknis. Zmist 1 Power 2 ... ... Vikipedija

Skaičius, kurio netenkina jokia algebros lygybė su bet kokiu koeficientų skaičiumi. Transcendentiniai skaičiai є skaičius π = 3,14159...; bet kurio sveikojo skaičiaus, kuris nėra pavaizduotas vienetu su nuliais, dešimtasis logaritmas; skaičius e = 2,71828... ta in. Enciklopedinis žodynas

Skaičius, kuris neatitinka tos pačios algebros. ur nіu su qіlimi koeficientais. T. metai. є: skaičius ПІ = 3,14159...; bet kurio sveikojo skaičiaus, kuris nėra pavaizduotas vienetu su nuliais, dešimtasis logaritmas; skaičius e = 2,71828... ta in. Gamtos mokslai. Enciklopedinis žodynas

Skaičius, kuris nėra to paties turtingo termino su tais pačiais koeficientais šaknis. Tokių skaičių sritis yra realiųjų, kompleksinių ir radialinių skaičių nulis. Іnuvannya, kuri akivaizdžiai paskatino T. h. obguruntuvą J. Liouville'ą... Matematinė enciklopedija

Lygi, lyg ne є algebrinė. Kainų derinimą, kurį galima parodyti, vadinkite logaritminėmis, trigonometrinėmis, grįžtamomis trigonometrinėmis funkcijomis, pvz.: Pavadinimo suvorishe toks: Transcendentinis tikslo suderinimas ... Wikipedia

Skaičius, maždaug 2,718, dažnai naudojamas matematikoje ir gamtos moksluose. Pavyzdžiui, radioaktyviai kalbai nutrūkus, pasibaigus valandai t, pasibaigus kalbėjimo periodui, prarandama dalis, kuri yra brangesnė e kt, de k skaičius, ... Collier enciklopedija

E yra matematinė konstanta, natūralaus logaritmo pagrindas, neracionalus ir transcendentinis skaičius. Kitaip tariant, skaičius e vadinamas Eulerio skaičiumi (nepainiokite su vadinamaisiais pirmosios rūšies Eulerio skaičiais) arba Napier skaičiumi. Jis žymimas maža lotyniška raide „e“.

E yra matematinė konstanta, natūralaus logaritmo pagrindas, neracionalus ir transcendentinis skaičius. Kitaip tariant, skaičius e vadinamas Eulerio skaičiumi (nepainiokite su vadinamaisiais pirmosios rūšies Eulerio skaičiais) arba Napier skaičiumi. Jis žymimas maža lotyniška raide „e“.