Beasmenių natūraliųjų skaičių tvarka. Natūralaus skaičiaus ir nulio samprata. „Vienodai“, „Mažiau“, „Didesnis“ išreiškimas beasmeniuose natūraliuose skaičiuose Mitybos supratimas matematinei analizei

Alternatyva N natūraliajai eilutei yra beasmenis natūralusis skaičius, kuris nekeičia natūraliojo skaičiaus a, todėl N = (x | x N i x a).

Pavyzdžiui, N ce beasmenis natūraliųjų skaičių, todėl nekeiskite 7, taigi. N = (1,2,3,4,5,6,7).

Žymiai dvi svarbiausios galios natūralioje serijoje:
1) Be-yaky vіdrіzok N keršto vienatvė. Tsya vlastivistvo viplivaє іz vyznachennya vіdrіzka gamtos serija.
2) Jei skaičius x išnyksta iš priešininko N і x a, tada skaičius x + 1 ateina po jų ir išnyksta į N .

Bezlich A vadinamas kіtsevim, tarsi jis būtų lygus tam pačiam N natūralios serijos atitikmeniui. Pavyzdžiui, beveidis Ir trikutniko viršūnės, beveidės smirdžiai lygūs N = (1,2,3), tai yra. A~B~N .
Kadangi skaičius A yra netuščias ir lygus N, tai natūralusis skaičius a vadinamas daugiklio A elementų skaičiumi ir rašome n(A) = a. Pavyzdžiui, jei A yra trikovės viršūnių dauginys, tada n(A) = 3.

Jei jis nebūtų tuščias, kіtsev bezlіch yra lygus vienam ir daugiau nei vienam natūralios serijos vіdrіzk, tobto. skin endian daugiskaita Ir jis gali būti dedamas į vienareikšmiškai vienodą skaičių a, kad beasmenis A būtų vienareikšmis skaičiuje N.

Tarpusavio ir vieno bajorų nusistatymas yra nepakenčiamų daugialypių ir natūralioje eilėje valgomo rakhunka plūgo etika A. Zkilka Už to paties skaičiaus garbinimo. Vienoje klasėje bus mažinami visi vieno elemento daugikliai, kitoje - dviejų elementų ir pan. Pirmasis skaičius gali būti vertinamas kaip didžiausia vienodo stiprumo princų klasės galia. Šia tvarka, teoriniu-daugybiniu požiūriu, natūralusis skaičius yra pagrindinė galinių daugiklių klasės galia.

Skaičius 0 taip pat gali būti daugiklio teorinis – jis turėtų būti nustatytas į tuščią daugiklį: n() = 0.

Be to, natūralusis skaičius, kaip dydžio charakteristika, gali būti matomas iš dviejų pozicijų:

1) kaip A rinkinio elementų skaičius, laimėtas už rahunką;
2) kokia galinga yra vienodai stiprių minių kіtsevyh klasės galia.

Ryšių tarp galutinių daugiklių ir natūraliųjų skaičių nustatymas leidžia mums pateikti daugiklio teorinį „mažiau“ užtemimą.

Jei a = n(A), b = n(B), tai skaičius a yra mažesnis už skaičių b, net jei daugiklis A lygus daugiklio galios daugikliui, tada. A ~ B, de B, B, B (1 pav.). Abo jei natūralioje serijoje N є pasiimkime daug jėgų vіdrіzka N, tobto. N N .

Skaičiai а і b lygūs, yakscho smirdžiai lygūs lygiems kartotiniams: a = k А~B de n(A) = a, n (B) = k. Pavyzdžiui, 2 = 2, nes n(A) = 2, n(B) = 2, A = (a, b), B = (z, x), A~B.

Natūraliųjų skaičių termino „mažiau“ dominavimas taip pat panašus į daugiklio-teorinį debesuotumą: su juo susijęs šio termino tranzityvumas ir antisimetrija, o tai yra tranzityvus ir antisimetriškas terminui „tampa daugikliu“.

Parodyta, kad natūraliųjų skaičių „mažiau“, kuris yra 2, daugiateorinis aiškinimas
Paimkime daugiklį A, atkeršydami už 2 elementus, ir daugiklį B, kad atkeršytume už 5 elementus, tobto. n(A) = 2, n(B) = 5. Pavyzdžiui, A = (a, b), B = (c, d, e, f, r). Iš daugiklio B galite pamatyti dalinį daugiklį, lygų daugiklį A: pavyzdžiui, B = (c, d) і A ~ B.
Sąžiningumas prieš N
Tsyu nerіvnіst galite pažvelgti į mažuosius 2. Nagi 2 yra raukšlių skaičius, o 5 yra kvadratų skaičius. Jei uždėsite apskritimus ant kvadratų, tada galima drąsiai teigti, kad dalis kvadratų liko nebaigta.

Otzhe, raukšlių skaičius yra mažesnis nei kvadratų skaičius, tobto. 2
Daugiklio teorinis nelygumo pojūtis 0

Skaičių derinimas matematikos burbuolės kurse plėtojamas įvairiais būdais – jis pagrįstas visais požiūriais, į kuriuos žiūrėjome prieš aiškindami frazę „mažiau“.

Teoremos apie „didžiausią“ ir „mažiausią“ skaičių

4 teorema (apie „mažiausią“ skaičių). Jei jis nebūtų tuščias, apsuptas beasmenių skaičių apačios, atkeršykite už mažiausią skaičių. (Čia, kaip ir natūraliųjų skaičių atveju, žodis „daugelis“ pakeičiamas žodžiu „daugelis“ E

Atneša. Tegul O A Z i A yra kutais iš apačios, tobto. 36? Žva? A(b)< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.

Nagi dabar LA.

Todi Ua e Af< а) и, значит, Уа А(а - Ь >O).

Padarykime beasmenį M iš visų skaičių a - b forma, de probіgaє beasmenį A, tobto. M \u003d (s [c \u003d a - b, a E A)

Akivaizdu, kad beasmenis M nėra tuščias, skeveldros A 74 0

Jakas aukštesnis, M C N . Vėliau, vadovaujantis teorema o r a l n o m h i s l e (54, III sk.), daugiklis M turi mažiausią natūraliąjį skaičių m. A, ir skeveldros t mažiausiai M, tada Wah? A (t< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.

5 teorema (apie „didžiausią“ sveikąjį skaičių). Būkite ne tušti, apsupkite beasmenių skaičių žvėrį, kad atkeršytumėte už didžiausią skaičių.

Atneša. Tegu O 74 AC Z i A yra apsuptas žvėries su skaičiumi b, taigi. ? ZVa e A(a< Ь). Тогда -а >b visiems skaičiams a? BET.

Vėliau daugiklis M (z g \u003d -a, a? A) nėra tuščias ir toliau yra apsuptas skaičiumi (-6). Remiantis ankstesne teorema, daugiklis M turi mažiausią skaičių, tai yra. tūzas? ICC? M (z< с).

Tse reiškia ką Wah? A(s< -а), откуда Уа? А(-с >a)

Z. Įvairios sveikųjų skaičių matematinės indukcijos metodo formos. Teorema apie podіl іz perteklių

1 teorema (pirmoji matematinės indukcijos metodo forma). Tegu P(s) – vienas predikatas, priskyrimai Z sveikųjų skaičių kartotiniams., 4 . Lygiai taip pat Deyaky SKAIČIUI ir Z teiginys P (o) і Esant pakankamam sveikajam skaičiui K > a z P (K) paslydo P (K -4- 1), tada teiginys P (g) yra teisingas Visiems skaičiams. z > a (taigi daugikliu Z є tikroji predikatų skaičiavimo formulė yra tokia:

P(a) cibulya > + 1)) Vus > aP(s)

bet kuriam fiksuotam sveikajam skaičiui a

Atneša. Tegu teiginiai P (c) yra teisingi viskam, kad eitų į teoremos mintį, tobto.

1) P(a) – tiesa;

2) KK SC į + taip pat yra tiesa.

Kažkaip nepriimtina. Tarkime, kad toks skaičius yra

b> a, sho RF) - labas. Akivaizdu, kad a, oskіlki R (a) yra tiesa. Tenkinamai beasmenis M = (z?> a, P (z) - hibno).

Todi bezlich M0, oskіlki L? M ir M apačioje ribojasi skaičius a. Vėliau, po teoremos apie na i m e n n m e l e l o m h i sl (4, 2 teorema), daugiklis M turi mažiausią skaičių c. Zvіdsi z\u003e a, sho, mano juoda, traukia s - 1\u003e a.

Tarkime, kad Р(с-1) yra tiesa. Jei c-1 = a, tai P (c-1) yra teisingas proto pagrindu.

Tegu c-1 > a. Todi pripuschennya, scho R (s-1) - hibno, traukiantis už savęs s 1 turėjimą? M, kurio negali būti, bet s skaičius yra mažiausias M.

Šia tvarka s - 1> a ir P (c - 1) - tiesa.

Pagalvokite apie teiginį P((c- 1) + 1) iš teiginio P((c- 1) + 1) – tai tiesa. R(s) – tiesa. Tse superechit skaičiaus c pasirinkimas, oskіlki? Teorema baigta.

Pagarbiai, ši teorema yra artima Peano aksiomų 1 išvados pasekmė.

2 teorema (kita sveikųjų skaičių matematinės indukcijos metodo forma). Tegu P (s) - deaky one-m_sny predshsatp, vizna-day) Z sveikųjų skaičių daugyboje. Tačiau teiginys P (c) galioja dešimtainiam sveikajam skaičiui K ir tinkamam sveikajam skaičiui s Pataisyti teiginį P (c) Visiems sveikiesiems skaičiams, atitinkantiems K nelygumus.< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >Prieš.

p align="justify"> Šios teoremos įrodymas yra turtingas, todėl pakartoju panašios natūraliųjų skaičių teoremos įrodymą (1, 55 teorema, III sk.).

3 teorema (trečioji matematinės indukcijos metodo forma). Tegu P(s) – viengubas predikatas, priskyrimai daugikliui Z cіlіs CHІСі. Jei P(c) yra teisingas Visiems nulio natūraliųjų skaičių dešimtainio daugiklio M skaičiams i Pakankamam sveikajam skaičiui C yra teisingas P(a), tada P(a - 1) yra teisingas, tada teiginys P(c) yra tiesa Visiems skaičiams.

Įrodymas yra analogiškas natūraliųjų skaičių dvigubos teoremos įrodymui.

Proponuemo yogo kaip cikava teisė.

Verta pažymėti, kad praktiškai trečioji matematinės indukcijos forma yra ryškesnė, žemesnė ir žemesnė. Paaiškinta, kad її zastosuvannya būtina žinoti begalinį natūraliųjų skaičių daugiklio M daugiklį, tai bus aišku teoremoje. Žinios apie tokį daugiklį gali pasirodyti sudėtingos užduotys.

Ale, trečiosios formos pranašumas prieš kitas yra tas, kad papildomas teiginys P (c) yra įtrauktas į visus sveikuosius skaičius.

Žemiau nukreipiame į trečios formos zastosuvanya užpakaliuką. Ale, atgal, damo yra dar vienas pagarbus supratimas.

Paskyrimas. Absoliuti sveikojo skaičiaus a reikšmė yra skaičius, priskirtas pagal taisyklę

0, jei a O a, jei a > O

A jakscho a< 0.

Otzhe, tai kaip 0? N.

Skaitytojui siūloma, kad jis turi teisę padidinti tokią galią iki absoliutaus dydžio:

Teorema (apie perpildymą). Bet kokiam skaičių a i b, de b 0, iсnuє i prieš tai yra tik viena skaičių pora q U m, kad a r: bq + T L D.

Atneša.

1. Statymo pagrindas (q, t).

Tegu a, b? Z i 0. Parodyta, kad yra skaičių pora q i

Įrodymas atliekamas indukcija trečiąja forma a kiekiui su fiksuotu skaičiumi b.

M = (mlm = n lbl, n? N).

Akivaizdu, kad M lt yra išraiška f: N M, kuri nustatoma pagal taisyklę f (n) = nlbl bet kuriam n? N yra bijekcija. Tse reiškia, kad M N, tai. M-neaiškiai.

Tarkime, kad nuo tam tikro skaičiaus a? M (і L-fiksuotas) teiginys teoremos apie skaičių poros q і t pagrindą yra teisingas.

Tiesa, tebūnie a (- M. Todi a pf! už tikrą p?

Jei b > 0, tai a \u003d n + O. Atsižvelgdami į dabar q \u003d n ir m O, paimame reikiamą skaičių q ir m porą.< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q

Zrobimo dabar indukcijos pašalpa. Tarkime, kad iš pakankamo sveikojo skaičiaus s (ir pakankamo fiksuoto b 0) teoremos teiginys yra teisingas. yra skaičių pora (q, m), tokia, kad

Galima parodyti, kad skaičiui (з 1) tinkamesnis i. Z lygus s \u003d bq -4 - viplivaє bq + (t - 1). (vienas)

Galbūt nukris.

1) t\u003e 0. Todі 7 "- 1\u003e 0. Šiuo metu, sudėję - t - 1, imame z - 1 - bq + Tl, de para (q, 7" 1,) akivaizdžiai džiugina protas

0. Todi h – 1 bq1 + 711 de q1

Be praktikos gali būti, kad 0< < Д.

Šia tvarka tvirtumas yra teisingas ir skaičių statymui

Pirmoji teoremos dalis baigta.

P. Vienkartinis statymas q і ir kt.

Tarkime, kad skaičiams a i b 0 galima nustatyti dvi skaičių poras (q, m) i (q1, kad būtų patenkinti protai (*)

Pažiūrėkime, kad smarvės bėga. Nagi

aš bq1 L O< Д.

Zvіdsi vyplivaє, scho b(q1 -q) t-7 1

Tarkime, kad q ql, tada q - q1 0, žvaigždės lq - q1l 1. – q11 D. (3)

Vodnocha іz nerіvnosti 0< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.

U r a f n i n nya:

1. Užbaikite 2 ir 3 teoremų iš 5 1 įrodymus.

2. Užbaikite 2 išvadą iš 3, 1 teoremos.

3. Sudėti, kokia yra NS Z suma, kas pridedama iš formoje pateiktų skaičių< п + 1, 1 >(n? N), uždaras to daugybos lankstymo būdas.

4. Tegul N reiškia tuos pačius beasmenis dalykus, į kuriuos turite teisę 3. Atsineškite tai, ką matote ј: M džiugina protus:

1) ј - bієktsіya;

2) j(n + m) = j(n) + j(m) ir j(nm) = j(n) j(m) bet kokiems skaičiams n, m , i (H, +,).

5. Užbaikite 1 iš 2 teoremos įrodymą.

6. Norint įrodyti, kad bet kokiam skaičių a, b skaičiui galioja šios implikacijos:

7. Pasakykite draugui tą trečdalį teoremos iš Z.

8. Įrodyti, kad Z sveikųjų skaičių skaičius neatkeršija už nulius.

Literatūra

1. Bourbaki N. Daugiamųjų teorija. M.: Svit, 1965 m.

2. Vinogradiv I. M. Skaičių teorijos pagrindai. M.: Nauka, 1972. Z. Demidovas I. T. Pateikite aritmetiką. M: Uchpedgiz, 1963 m.

4. Kargapolovas M. I., Merzlyakovas Yu. I. Grupių teorijos pagrindai.

M: Nauka, 1972 m.

5. Kostrikin A. I. Įvadas į algebrą. M: Nauka, 1994 m.

b. Kulikovas L. Ya. Algebra ir skaičių teorija. M: Višča. mokykla, 1979 m.

7. Kurosh A.G. Pažangiausios algebros kursas. M: Nauka, 1971 m.

8. Lyubetsky V. A. Pagrindinės mokyklinės matematikos sąvokos. M: Prosvitnitstvo, 1987 m.

9. Lyapin ES. kad in. Tiesiai iš grupių teorijos. M: Nauka, 1967 m.

10. Malcevas A. I. Algebrinės sistemos. M: Nauka, 1970 m.

11. MenDelsonas Ege. Įvadas į matematinę logiką. M: Nauka, 1971 m.

12. Nečajevas V. I. Skaitmeninės sistemos. M: Prosvitnitstvo, 1975 m.

13. Novikovas P.S. Matematinės logikos elementai. M.. Nauka, 1973 m.

14. Petrova V. T. Algebros ir geometrijos paskaitos.: U 2 m.

CHL. M: Vlados, 1999 m.

15. Sochasni pasalos mokyklos matematikos kursas Avt. kreditas: Vilenkin N.Ya., Dunichev K.I., Kalltzhnin LA Stolyar A.A. M: Prosvitnitstvo, 1980 m.

16. L. A. Kushnir, Algebros elementai. M: Nauka, 1980 m.

17. Stom R.R. Beasmeniškumas, logika, aksiomatinės teorijos. M.; Osvita, 1968 m.

18. Stolyar A. A. Loginis įvadas į matematiką. Minskas: VISCHII. mokykla, 1971 m.

19. V. P. Filippovas, Algebra ir skaičių teorija. Volgogradas: VGPІ, 1975 m.

20. Frenkelis A., Baras-Hilas I. Pateikite kartotinių teoriją. M: Svit, 1966 m.

21. Fuchs L. Chastkovo užsakymo sistemos. M.: Svit, 1965 m.

Iš pradžių matytas

Volodymyras Kostjantinovičius Kartašovas

Įvadinis MATEMATIKOS KURSAS

Vyriausioji pagalba

Redakcinis paruošimas O.I. Molokanova Originalus maketas, sukurtas O. P. Boshchenko

„PR 020048 96-12-20

Pasirašė tarpusavyje 99.08.28. Formatas 60x84/16. Druk biuras. bumas. tipas. M 2. Uel. pich. l. 8.2. Uch.-vaizdas. l. 8.3. Tiražas 500 egz. Užkerėjimas 2

Vidavnitstvo "Zmina"

Natūralusis skaičius yra sveikas skaičius, tarsi laimėtų daiktų rahunką. Vono viniklo z praktinius žmonių poreikius. Natūralaus skaičiaus supratimo ugdymą galima suskirstyti į keletą žingsnių: 1. seni žmonės, norėdami įveikti beasmenį, įtvirtino esminius dalykus: pavyzdžiui, vidpadžius, pirštus ant rankų. Nedolik - por_vnyuvani mnozhini vinni buli, tačiau apžiūrėti galima vieną valandą. 2. Bezlich - tarpininkai, pavyzdžiui, akmenys, vėžliai, lazdos. Kilkіst sąvoka yra labiau sulankstyta. І skaičiai susieti su konkrečiais dalykais. 3. Skaičiaus išvaizda (numerio žymėjimas matomais skaitmenimis). Matematikos gimimas. Aritmetika kaip mokslas atsirado senovės šalyse – Kinijoje, Indijoje, Egipte, tolimas vystymasis Graikijoje. Terminas „natūralus skaičius“ pirmą kartą buvo pavartotas romėnų Boetijaus mokymuose. Rakhunok reikia skirti daug pinigų. Rozіb'єmo visi kіlkіsnі daugikliai pagal lygiavertiškumo klasę, pavyzdžiui, vienoje lygiavertiškumo klasėje. pamatyti beveides trikutnikų viršūnes, aikštės šonus, beveides žodžio šviesa raides. Jei tęsite šį procesą, tada per tuos, kurie turi lygiavertiškumą - viskas yra vienodai stipru. Kіntsevі padaugintas vyyavlyatsya už klases. Tai. teoriškai - natūraliojo skaičiaus kіlkіsnogo daugiskaita - є zagalna vlastіvіst klasė kіncevih vienodai stiprūs daugiskaitos. Odos klasė turi savo numerį. Nulis nustatytas į tuščią daugiklį.

Skaičiai A ir B vadinami lygiais, nes jų skaičius yra lygus.

Toks metodas sustingsta burbuolių klasėse.

Technika dirbant su užduotimis, kurios atskleidžia specifines aritmetinio pasidarymo reikšmes.

Matematikos kurse reikšmingą vietą užima aritmetinės užduotys. Mayzhe likus pusvalandžiui iki matematikos pamokų supažindinti su užduoties atlikimu. Visas didysis dvasinis ir šviečiantis ritinys, kad smarvė groja po vaikų ugdymo valandą. Virishennya aritmetinės užduotys padeda atskleisti pagrindinius aritmetinių veiksmų matematiką, juos sukonkretinti, susieti su dainuojančia gyvenimo situacija. Zavdannya perimti matematika supranti, Vidnosin, dėsniai. Kai užduotis įvykdoma, vaikai ugdo gana pagarbą, atsargumą, logiškesnė mintis, Mova, kmіtlivist. Tikslas – plėtoti tokius pažintinės veiklos procesus kaip analizė, sintezė, derinimas ir tobulinimas.

Spręsdami aritmetinius uždavinius, besimokantieji mokosi planuoti ir kontroliuoti savo veiklą, atsiverti priėmimui, savikontrolei (užduočių pakartotinis patikrinimas, užduočių įvertinimas) svyruoja savo arogancija, valia, iki galo ugdo susidomėjimą. užduočių sprendimo. Puikus virishennya zavdan vaidmuo ruošiant vaikus gyvenimui, ateičiai darbinė veikla. Spręsdami siužeto užduotis, mokiniai pradeda pereiti nuo objektų ir vertybių į „matematikos kalbą“. Aritmetinėse užduotyse nugali skaitinė medžiaga, kuri įkvepia šalies sėkmę įvairiose liaudies valstybės, kultūros, mokslo galerijose. Tse spryaє praplečia mokinių akiratį, praturtina naujomis žiniomis apie aktualią veiklą. Uminnyam vyrishuvati aritmetikos zavdannya uchnі opanovuyut su dideliais sunkumais.

Vaikų atleidimo užduočių priežastys šaukiasi mūsų prieš jų proto ypatumus. Vykdant „navchannya rozvyazannyu“ užduotis turėtų būti išskirtinai ištemptos pirmojo proto užduoties viršuje, būtina atsižvelgti į požiūrį į užduoties „rozvyazannya“, orientuotis į paprastą gyvenimo situaciją, užduoties aprašymus. , užduoties svarstymas, pateiktos vizijos svarstymas. Dirbdami su bet kokia aritmetine problema, galite matyti šiuos etapus:

1. Dirbkite su užduočių tvarkykle.

2. Poshuk problemų sprendimas.

3. Problemų sprendimas.

4. Nuomonės suformulavimas.

5. Problemos sprendimo peržiūra.

6. Toli nuo roboto virš svarbiausių užduočių.

Turiu galvoje pagarbą šalia prikabinti robotus virš gamyklos zmist, tobto. per situacijos supratimą uždaviniuose, pūdymų tarp danimo ir šukanimo steigimą. Užduoties įveikimo darbų seka;

a) neišmanančių žodžių ir virazivų analizė;

b) mokytojo pateikto teksto skaitymas ir mokymasis;

c) užduoties atlikimo įrašas;

d) maisto užduoties kartojimas.

Vyraznym skaitant sekančio tyrimo vedėjo tekstą. Būtina atsiminti, kad vaikams ypač reikia skaityti reklaminį skaitinį, jie patys nemoka teisingai perskaityti užduoties, nesugeba išdėstyti logiškų balsų ir pan.

Užduočių papildomiems dalykams, trafaretams ir mažiems vaikams konkretizavimo tvarka robotų praktikoje plataus pločio mokyklose suformuota tokia užduoties skyrimo forma:

1. Pastabos forma sutrumpinama, kai užduoties tekste užrašomi skaitiniai duomenys ir tik keli žodžiai ir žodžiai, kiek reikia norint suprasti užduoties loginę prasmę.

2. Trumpoji struktūrinė rašymo forma, jei užduoties skin loginė dalis rašoma iš naujos eilės.

3. Scheminė įrašo forma.

4. Grafinė rašymo forma.

Kadangi vaikų kontrolės funkcija yra susilpnėjusi, pakartotinis rozvyazannya zavdannya patikrinimas gali būti apšviestas ir turėti reikšmės. Jaunesnėse klasėse būtina:

1. Žodžiu suformuluokite užduotis, klajodami po objektus.

2. Dar kartą persvarstykite situacijos tikrovę.

3. Dar kartą persvarstykite proto ir augalo maisto tinkamumą. Dar kartą patikrinti užduočių sprendimą kitais būdais її vyshennya galima nuo 4 klasės.

Norint kontroliuoti užduoties rengimo teisingumą, reikia pasirinkti ir veikti pagal programuojamo mokymo elementus. Šis elementas yra dar sudėtingesnis, todėl aš dar kartą atsižvelgsiu į chi teisingumą ir savo veiksmų atleidimą. Atleisk už vynų sprendimą, yra naujų vyšnių būdų.

Mokytojas mokykloje greičiausiai bus dainuojamas, kad rozvyazannya avdannya buvo apšviesta mokymų. Geriau, kad jis atliktų šios užduoties atlikimo darbus. Fiksuotų užduočių darbas gali būti atliekamas įvairiais būdais.

1. Sukurkite universiteto maistą, kad išgelbėtumėte dieną.

2. Proponuetsya rozpovіsti all rozvyazannya zadovі z obґruntuvannyam vyboru dіy.

3. Sudėkite maistą iki okremih diy chi maisto. Mokiniams svarbus analogiškų užduočių variacijų skaičius, tarp jų svarbus dalyko situacijos supratimas. Tsіy metі і toli tarnauti kaip robotas atliekant užduotis, nes matote, kaip svarbu suformuoti tokio tipo užduoties pradžią. Norint geriau suprasti dalyką, užduotį, pūdymus tarp duomenų ir shukani, užduoties tobulinimas iš kasdienių skaitinių duomenų kreditų, parašytų ne skaičiais, o žodžiais. Būkite atsargūs ir parodykite, kad geriausi mokytojai yra plačiai nugalėję kaip vienas iš būdų, kaip mokyti užduotis, kurias atlieka patys mokytojai.

Užduoties eiliškumas padeda vaikams geriau suvokti gyvenimišką praktinę užduoties reikšmę, geriau suprasti jos struktūrą ir išmokti atskirti skirtingų rūšių užduotį, suprasti sprendimą. Užduočių eiliškumas vykdomas lygiagrečiai su parengtų užduočių sprendimais. Dosvid, kad atsargumas parodys, kad lengviau atlikti uchnіv chastkovo sulankstytą užduotį. Slidinėjo, kad paskatintų įvairių siužetų vadovų mokymų formavimąsi. Tse spryaє razvitku їhnyoї vyavlyaet malonės, іnіtsiativi. Gėdingiau, jei mokyklos vadovo saugojimui jie gauna medžiagą, kurią „gauna“ per valandą ekskursijų, iš dovіdnikіv, laikraščių, žurnalų ir kt. Vyresniųjų klasių mokiniai turi išmokti rašyti ir rašyti verslo dokumentus, susijusius su šiomis ir kitomis rosrahunkomis. Pavyzdžiui, parašykite patvirtinimo laišką, puikiai užpildykite užsakymo už centą formą. Visi aukštesni susitikimai gali būti plačiai naudojami visų rūšių užduočių šventėje.

Paprasta aritmetinė užduotis vadinama užduotimi, tarsi reikia išspręsti vieną aritmetinę užduotį. Atleisk zavdannyai, kad ji atlieka pagrindinį matematikos mokymo valandos vaidmenį. Paprasčiausios užduotys leidžia praplėsti pagrindines žinias ir konkretizuoti aritmetines funkcijas, suformuluoti tas ir kitas matematines sąvokas. Atleiskite už sandėlio lankstymo tvarką, vėliau, formuodamas vminnya virishuvati їx, mokytojas paruošia mokinius lankstymo tvarkos atidarymui.

Remdamiesi odos gruntavimu, išmokite sužinoti apie naujus paprasčiausių užduočių tipus. Žingsnis po žingsnio jų įvedimas paaiškinamas skirtingais matematinio supratimo problemos etapais, ramių aritmetinių procesų ugdymo procesu, atskleidžiamas konkretus tokio smarvės sprendimas. Ne mažiau pagarba mokytojui renkantis kokio vadovo nuopelnus ir tos garbės konkretizavimas. Nareshti, skaitytojas konkretizuoti zmіst zavdannya, rozkrivayuchi zalezhnistі mіzh dannymi, kad shukanimi papildomoms trumpo įrašymo formoms.

Geriausių skaitytojų darbų atlikimas rodo, kad pasiruošimą atlikti aritmetines užduotis reikia pradėti nuo praktinių mokymosi žinių tobulinimo, jų orientavimo į reikiamą efektyvumą. Išmokus reikia vadovauti toje gyvenimo situacijoje, kurioje galima tobulėti, peržiūrėti aritmetines užduotis, dirbti, kad pasikeistų. Be to, šios situacijos nėra kitos, kurias reikia sukurti po gabalėlį, jos rečiau apsisuks ir atims mokinių pagarbą. Dėstytojas organizuoja kintančio elementų skaičiaus saugojimą dalyko gausose, o ne induose. bud., sho priyaє razvitku yavlen uchnіv pro kіlkіst to znajomstvo їх іz sing terminіnologiєyu, yak zstrіnetsya su žodine užduoties formuluote: tapo, viskas buvo prarasta, jie paėmė, padidino, pasikeitė ir tt. Būtina organizuoti tokią žaismingą ir praktišką mokinių veiklą, kad būdami nenutrūkstamais šios veiklos dalyviais, taip pat ir posterigayuchi, patys mokiniai galėtų dirbti visnovką ties odos kreminiu lašeliu; padaugėjo daugiklio elementų arba pakito daugiklio elementų skaičius ir kažkokia operacija, kad žodinis viraz rodo padidėjimą arba pasikeitimą. Šis darbo rengimo etapas prasideda nuo pirmojo dešimtuko skaičių darbo burbuolės ir susipažinimo su aritmetiniais veiksmais, sprendimais ir operacijų aplikacijomis iš dalykų daugiskaitos.

Visų pirma, aritmetinių užduočių mokymosi pradžia, mokytojas kaltas, kad aiškiai atsiskleidžia, kaip ir žinias, tuos įgūdžius reikia duoti mokiniams. Norėdami išspręsti užduotį, išmokite aritmetikos pareigas, taikykite, klausykite, o tada perskaitykite užduotį, pakartokite užduotį iš maisto, trumpam užrašui, iš atminties, pamatykite užduotyje esančius sandėlio komponentus, patikrinkite užduotį ir apverskite užduotį. gedimo teisingumas. 1 klasėje mokiniai pradeda tikrinti maišo ir perteklių subarimo užduotį. Užduoties qi įvedami prieš pirmojo dešimties skaičių pradžios valandos pradžią. Rozvyazannya pradžioje užduotis buvo pakeisti tų pačių dodankivų sumą, apačioje ant vienodos či dalies ėjo sidabras, o po to spirale ėjo supratimas apie kasdienius aritmetinius daugybos procesus ir apačia. Prieš pradedant mokymų skirtumo tvarką, būtina suprasti objektų tvarką vienoje visumoje, dvi objektyvias visumas, dydžius, skaičius, nustatant jų s-panašumą toje pačioje eilutėje. lygiavertiškumas ir nervingumas. Sudėkime, arba sudėkime, aritmetinės užduotys vadinamos užduotimis, kaip du žmonės negali daugiau aritmetiniai procesai. Psichologiniai aritmetinių sandėlio užduočių ypatybių raidos tyrimai rodo, kad vaikai neatpažįsta paprastų užduočių naujos sandėlio užduoties kontekste. Dėl darbo pasirengimo iki sandėlio užduočių įvykdymo kalta švietimo įstaigų teisių, priėmimo sistema, tinkamas elgesys iki sandėlio užduočių sprendinių įvykdymo. Prieš baigiant sandėlio vadybininką, galite pereiti į tą pačią vietą, jei apsigalvosite, kad mokslininkai gudrybių pagalba įsisavino nesudėtingų užduočių išdėstymą, jei einate pas sandėlio vedėją, galite patys įdėti kartu paprasta dainuojančio proto užduotis. Kai rozv'yazannі sandėliavimo zavdan uchnі povinnі arba į danih įdėti maisto ar maisto gauti duomenis. Taip pat parengiamuoju laikotarpiu, tobto. ištempiant paskutinę pirmojo likimo, kad ant kito likimo burbulo, mokantis, sekant užduoties pamokymus:

1. Išplaukite maistą, kol jis bus paruoštas.

2. Iš maisto sudėkite užduotį, paimdami kasdienius skaitinius duomenis.

Lankstyti paprastas ir sandėlio užduotis, išmokti žingsnis po žingsnio mokytis iš sandėlio užduočių paprasta, net jei jas atlikote dar taisyklingiau, turite teisę lankstyti užduotis. Tse priima trumpiausią paprastų užduočių vaizdų įsisavinimą, išmanina jas, kad atskirtų jas nuo sandėlio užduočių, ir padeda besimokantiesiems analizuoti užduotis. Kai vyrіshennі sandėlis zavdan uchnіv rogės nauchit zagalnyh priyom_v darbas z zavdannyam; vminnyu analizuoti zmist užduotis, matant pateiktuose duomenyse, shukane (nustatyti, ką reikia atpažinti užduotyje), priklausomai nuo to, kurie duomenys nenaudojami užduotyje esančios mitybos apžvalgai. Praktikoje mokyklos darbas yra tikras, naudojant darbus su kortelėmis, užduotis, kuriose nustatoma užduočių atlikimo seka. Atlikus užsakymą, sprendimas užrašomas su mityba arba užfiksuojamas ir paaiškinamas odos veiksmas. Nurodyto tam tikro tipo užduočių išdėstymo būdo variaciją užtikrina variantas užduočių išdėstymas su skirtingais tipais, brėžiniais, pačių mokinių paruoštais ir sulankstytais sprendimais, tam tikro tipo užduotys su anksčiau išspręstų problemų tipais, ir taip toliau.

1. Paaiškinkite skaičiavimo metodą vipadkіv 40 + 20, 50-30, 34 + 20, 34 + 2, 48-30, 48-3 turi būti skaičiuojami su šimto koncentracija.

1) 40+20= 4d+2d=6d=60

2) 50-30 = 5d-3d = 2d = 20

3) 34+20= 3d+4d+2d=5d 4d=54

4) 34+2 \u003d 3d + 4d + 2d \u003d 3d 6d \u003d 36

5) 48-30 \u003d 4d + 8d-3d \u003d 1d 8d \u003d 18

6) 48-3= 4d+8d-3d=4d 5d=45

Usі priyomi ir skaičiavimas usnі ir vykonuyutsya dėl lankstymo ir vіdnіmannya gretų pagrindu.

Pasirodo, nesuskaičiuojami natūralieji skaičiai gali būti išdėstyti eilės tvarka papildomai „mažiau“ išraiškai. Tačiau reikėtų pabrėžti aksiomatinės teorijos taisykles, kad tikslas būtų ne tik nustatytas, bet ir patobulintas remiantis jau priskirtais šioje teorijoje suprasti. Galite padaryti daugiau, mokėdami „mažiau“ naudodami papildymą.

Paskyrimas. Skaičius a yra mažesnis už skaičių b (a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.

Kad tsikh protai pasakytų tą patį, scho skaičius b daugiau a ji rašo b > a.

12 teorema. Bet kokiems natūraliems skaičiams aі b gali būti vienas ir tik vienas iš trijų gyvybingų: a = b, a > b, a < b.

Šios teoremos įrodymas praleistas. Teoremos Z ієї yra akivaizdi, kas tai yra

a ¹ b, te chi a< b, arba a > b tobto. vіdnoshennia "mažiau" gali būti pov'yazanostі galia.

13 teorema. Yakscho a< b і b< с. tada a< с.

Atneša. Ši teorema išreiškia tranzityvumo galią siūlydama „mažiau“.

toks jakas a< b і b< с. tada, norint pavadinti „mažiau“, yra tokie natūralieji skaičiai prieš ir ką b \u003d a + i c \u003d b + I. Ale todi h = (a + k)+ / і, remiantis lankstymo asociatyvumu, imamas: h \u003d a + (iki +/). Oskilki į + aš - tada yra natūralusis skaičius a< с.

14 teorema. Yakscho a< b, tai netiesa b< а. Atneša. Tsya teorema išreiškia galią antisimetrija vodnosini "mažiau".

Pradėkime nuo pradžių, o kas yra bet koks natūralusis skaičius a nesinaudok!>! ■ ) її atsistatydinimas a< a. Nepriimkim, tobto. ką a< а maє migla. Todi, mėlynos spalvos „mažiau“ tikslams yra toks natūralusis skaičius Su, ką a+ h= a, ir nepakeisti 6 teoremos.

Dabar sakykime, kad jakscho a< b, tada tai netiesa b < a. Nepriimkim, tobto. kas jakscho a< b , tada b< а laimėti. Lygybių sąrašas 12 teoremoje a< а, kas neįmanoma.

Taigi, kaip sakome, „mažiau“ yra antisimetriškas ir tranzityvus ir gali turėti galios tiesinės tvarkos atžvilgiu, bet natūraliųjų skaičių beasmeniškumas. tiesiškai užsakytas be veido.

Iš pavadinimo „mažiau“ tą jėgos jogą galima įvesti natūraliųjų skaičių daugiklio galios namuose.

15 teorema. Iš visų natūraliųjų skaičių vienas yra mažiausias skaičius, tobto. aš< а для любого натурального числа a¹1.

Atneša. Nagi a - būti natūralusis skaičius. Tada yra dvi galimybės: a = 1 ta a ¹ 1. Jakšo a = 1, tada tai yra natūralusis skaičius b, dėl kurių seka a: a \u003d b "\u003d b + I = 1+ b, tobto, siekiant vodnosini "mažiau", 1< a. Otzhe, ar tai būtų natūralus daugiau 1 chi daugiau nei 1. Abo, vienatvė yra mažiausias natūralusis skaičius.

„Mažiau“ įvedimas yra susijęs su skaičių lankstymu ir daugyba monotonijos galia.

16 teorema.

a \u003d b => a + c \u003d b + c, kad a c \u003d b c;

a< b =>a + c< b + с и ас < bс;

a > b => a + c > b + c ir ac > bc.

Atneša. 1) Šio tvirtumo teisingumas akivaizdus iš lankstymo ir dauginimo vienybės.

2) Jakšo a< b, tada tai yra natūralusis skaičius k, ką a + k = b.
Todi b+ c = (a + k) + c = a + (k + c) = a + (c+ į)= (a + c) + k. Nuosavas kapitalas b+ c = (a + c) + iki reiškia kad a + c< b + Su.

Taigi savaime suprantama a< b =>tūzas< bс.

3) būti atvežtam tokiu pat būdu.

17 teorema(16 atvirkštinė teorema).

1) a+ c = b + c arba ac ~ bc-Þ a = b

2) a + c< Ь + с arba tūzas< bcÞ a< Ь:

3) a + c > b+ w o ac > bcÞ a > b.

Atneša. Atvežame, pavyzdžiui, ką tūzas< bс Kitas a< b Nepriimkim, tobto. kad teorema nėra pergalinga. Todis negali buti, scho a = b.į tai, kad ir tada pavydas būtų pergalingas ac = bc(16 teorema); negaliu būti aš a> b, Bet kuriuo budu ac > bc(Teorema!6). Taigi, kalbant apie 12 teoremą, a< b.

Iš 16 ir 17 teoremų galima įvesti nelygybių sudėties po termino ir daugybos taisyklę. Mes tai praleidžiame.

18 teorema. Bet kokiems natūraliems skaičiams aі b; taip pat yra natūralusis skaičius n, kuris p a.

Atneša. Dėl būti-kam a rasti tokį skaičių P, ką n > a. Kam užtenka imti n = a + 1. Termino dauginimas iš termino nelygumo P> aі b> 1, priimtina pb > a.

Žvelgiant į autoritetus, galima pamatyti mėlyną „mažiau“, kad būtų išryškinti svarbūs natūraliųjų skaičių daugiklio ypatumai, kuriuos sukeliame be įrodymų.

1. Ні vienam natūraliajam skaičiui a tokio natūraliojo skaičiaus nėra P, ką a< п < а + 1. Tsya galia vadinama valdžioje
diskretiškumas beasmenis natūraliuosius skaičius ir skaičius aі + 1 vardas teisminis.

2. Be-yak ne tuščias natūraliųjų skaičių daugiklis, kad atkeršytų
mažiausias skaičius.

3. Jakšo M- Tuščias beasmenių natūraliųjų skaičių skaičius
ir yra tas pats numeris b, kas visiems skaičiams x s M nelaimės
lygumas x< b, paskui beveidyje Mє dauguma.

Iliustruojantis 2 ir 3 galias ant užpakalio. Nagi M- anoniminiai dviženkliai skaičiai. toks jakas Mє natūraliųjų skaičių daugiklis і visiems skaičiams< 100, то в множестве Mє didžiausias skaičius yra 99. M, - 10 numeris.

Tokiu būdu „mažiau“ įvedimas leido pažvelgti (ir įvesti vipadkiv eilutę) natūraliųjų skaičių daugiklio laipsnių skaičiaus reikšmę. Zokrema, ji yra tiesiškai išdėstyta, diskretiška, bent 1.

Su natūraliųjų skaičių nustatymu „mažiau“ („daugiau“), jauni moksleiviai yra susipažinę su pačia mokymosi pradžia. Ir dažnai jogo daugiklio-teorinių interpretacijų tvarka netiesiogiai patvirtinamas mūsų pateiktas apibrėžimas aksiomatinės teorijos rėmuose. Pavyzdžiui, mokiniai gali paaiškinti, kad 9 > 7, šukės 9 – ne 7 + 2. Dažnai ir netiesiogiai pergalinga galia monotonija lankstymas ir dauginimas. Pavyzdžiui, vaikai paaiškina, kad „6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».

teisingai

1, Kodėl beasmeniai natūralieji skaičiai negali būti išdėstyti mėlynos spalvos pagalba „be vidurinės eilės“?

Suformuluokite viziją a > b ir įrodyti, kad jis yra ir tranzityvus, ir antisimetriškas.

3. Pasakyk man, kas tai yra a, b, c- natūraliuosius skaičius, tada:

a) a< b Þ ас < bс;

b) a+ h< b + su> a< Ь.

4. Kai kurios teoremos apie sudėties ir daugybos monotoniškumą gali
vykoristovuvaty jauni moksleiviai, vykonuyuchi zavdannya "Porіvnya, ne vykonuyuchi apskaičiuoti":

a) 27+8...27+18;

b) 27-8...27-18.

5. Kaip ir natūraliųjų skaičių daugiklio galia, jauni moksleiviai netiesiogiai laimi, laimi tą pačią užduotį:

A) Užrašykite skaičius, pvz., didesni, mažesni 65, mažesni, mažesni 75.

B) Pavadinkite kitą skaičių pagal datą prieš skaičių 300 (800 609 999).

C) Įvardykite mažiausią ir didžiausią triženklį skaičių.

Vidnimannya

At aksiomatinė motyvacijaŽinoma, kad natūraliųjų skaičių teorija skamba kaip operacija, kuri grįžta į atsargas.

Paskyrimas. Atsižvelgiant į natūraliuosius skaičius a ir b, iškviečiama protą džiuginanti operacija: a - b = s tik ir tik keli, jei b + c = a.

Skaičius a - b vadinama skaičių skirtumu a i b, numerį a- pakeisti ir numerį b- matytas.

19 teorema. Natūraliųjų skaičių kitimas a- bіsnuє tоdі і mažiau nei tоdі, jei b< а.

Atneša. Leisti mažmeninei prekybai a- bІсnuє. Todi, nurodytai mažmeninei prekybai yra toks natūralusis skaičius Su, ką b + c = a, o tse reiškia tai b< а.

Jakščas b< а, tada, norint pavadinti „mažiau“, tai taip pat yra natūralusis skaičius, kad b + c = a. Todi, paskirtai mažmeninei prekybai, c \u003d a - b, tobto. mažmeninė a - bІсnuє.

20 teorema. Kuo skiriasi natūralieji skaičiai aі b Esu tikras, yra tik vienas.

Atneša. Priimtina, kad yra du skirtingos vertybės skaičių skirtumas aі b;: a - b= c₁і a - b= c₂, be to c₁ ¹ c2 . Todi paskirtiems mažmenininkams, galbūt: a = b + c₁,і a = b + c₂ : .Žiūrėkite toliau b+ s ₁ \u003d b + c ₂ : o remiantis 17 teorema galima pritaikyti c₁ = c₂. Tada jie priėjo prie praleidimo taško, tai neteisinga, bet teorema yra teisinga.

Vyhodyachi z vznachennya raznitsі natūralių skaičių, kad proto її іsnuvannya, galite vadovautis vіdnimannya skaičių iš sumi ir sumi iš skaičių taisyklių.

21 teorema. Nagi a. bі h- natūralūs skaičiai.

bet yakscho a > c, tada (a + b) - c \u003d (a - c) + b.

b) Jakšo b > c. tada (a + b) - h - a + (b - c).

c) Jakšo a > c ir b > c. tada galite vikoristovuvati ar-yaku iš šių formulių.
Atneša. Laikais a) skaičių skirtumas aі cіsnuє, oskelki a > c.Žymiai її per x: a - c \u003d x.žvaigždės a = c + x. Yakscho (a+ b) - c \u003d y. tada už nustatytą kainą, a+ b = h+ adresu. Mes atstovaujame qiu pusiausvyrą zamіst a viraz h + x:(h + x) + b = c + y. Mes pagreitiname asociatyvumo galią, kad pridėtume: c + (x + b) = c+ adresu. Pakeiskime šią pusiausvyrą, remdamiesi monotonijos galia, pridėdami, imkime:

x + b = y.. Danijos atitikmenyje x pakeistas viraz a - c, tegul mama (a - G) + b = y. Tokio rango mes buvome atvesti, scho yakscho a > c, tada (a + b) - c = (a - c) + b

Panašiai įrodinėjimas atliekamas b) atveju.

Teoremos rezultatą galima suformuluoti kaip taisyklę, kurią lengva įsiminti: norint paimti skaičių iš sumos, pakanka paimti skaičių iš vienos sandėlio sumos ir prie rezultato pridedant daugiau priedų.

22 teorema. Nagi a, b i c - natūraliuosius skaičius. Yakscho a > b+ c, tada a- (b + c) = (a - b) - c arba a - (b + c) \u003d (a - c) - b.

Šios teorijos įrodymas panašus į 21 teoremos įrodymą.

22 teorema gali būti suformuluota kaip vaizdinė taisyklė, norint atsižvelgti į skaičių sumą iš skaičiaus, pakanka atsižvelgti į nuoseklių odos priedų skaičių po vieną.

At burbuolės matematikai vyznachennya vіdnimannya jakų dії, zvorotnogo dodavannya, matant, garsą, neduoda, bet jie nuolat koristuyutsya, pochinayuchi z vikonannya dіy per vienženklius skaičius. Išmokite gerai suprasti, ką turite pasakyti apie raukšles, ir skaičiuodami laimite tarpusavio ryšius. Pažiūrėkite, pavyzdžiui, nuo skaičiaus 40 skaičių 16, išmokite žymėti taip: „Pažiūrėkite į skaičių 16 iš 40 – tai reiškia žinoti tokį skaičių, sulankstydami jį su skaičiumi 16, įveskite 40; šis skaičius bus 24, taigi 24 + 16 = 40. Vidurkis. 40–16 = 24".

Skaičių interpretavimo iš sumos ir sumos iš skaičių taisyklės matematikos burbuolės kurse є teorinis pagrindas Apskaičiuokite kitas pajamas. Pavyzdžiui, virazės reikšmę (40 + 16) - 10 galima sužinoti ne tik suskaičiavus sumą rankose, bet tada iš jos skaičiuojant skaičių 10, bet tokiu rangu;

a) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:

b) (40 + 16) - 10 = 40 + (16-10) = 40 + 6 = 46.

teisingai

1. Chi yra teisinga, koks yra natūralus odos skaičius, kad išeitų iš nepertraukiamai besivystančios vienatvės?

2. Kodėl 19 teoremos loginė struktūra ypatinga? Ar galite її pergalingai suformuluoti žodžius „būtina, kad pakanka“?

3. Ką atsinešti:

bet yakscho b > c, tada (a + b) - c \u003d a + (b - c);

b) yakscho a > b + c, tada a - (b+ c) = (a – b) – p.

4. Chi gali, neskaičiuojant, tarkime, tokio virazіv dorivnyuvatimut reikšmės:

a) (50 + 16) - 14; d) 50+ (16–14 ),

b) (50–14) + 16; e) 50 - (16 - 14);
c) (50–14) – 16, f) (50 + 14) – 16.

a) 50 – (16 + 14); d) (50–14) + 16;

b) (50–16) + 14; e) (50–14) – 16;

c) (50–16) – 14; e) 50 - 16-14.

5. Yakі galia vіdnіmannya є teorinis pažangos priyomіv skaičiavimo pagrindas, scho vychayutsya prie burbuolės matematikos kurso:

12 - 2-3 12 -5 = 7

b) 16-7 \u003d 16-6 - P;

c) 48 - 30 \u003d (40 + 8) - 30 \u003d 40 + 8 = 18;

d) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.

6. Apibūdinkite galimus vertės apskaičiavimo būdus. a - b- h ir iliustruoti juos ant konkrečių užpakalių.

7. Pasakyk man ką b< а ir būti bet kokia natūrali c virna pusiausvyra (a - b) c \u003d ac - bc.

Vkazivka. Įrodymas pagrįstas 4 aksioma.

8. Apskaičiuokite virazu vertę, neskaičiuodami raidžių. Vidpovidi įvyniojimas.

a) 7865 × 6 - 7865 × 5; b) 957 × 11 - 957; c) 12×36 – 7×36.

Podil

Pagal aksiomatinę natūraliųjų skaičių teoriją rozpodilis skamba kaip operacija, paversta daugyba.

Paskyrimas. Natūralių skaičių a ir b padalijimas yra operacija, kuri patenkina protą: a: b \u003d s todi ir tik todi, prieš jei b× h = a.

Skaičius a:b paskambino privatus numeriai aі b, numerį a dilimimas, skaičius b- dilnikas.

Atrodo, kad ant beasmenių natūraliųjų skaičių skirti natūraliųjų skaičių nebūtina, o ir tokių akivaizdžių privataus pagrindo požymių, kaip reikia mažmeninei prekybai, nėra. Є tilki reikalingas protas privataus pagrindas.

23 teorema. Norėdami privačiai sukurti du natūraliuosius skaičius aі b būtina b< а.

Atneša. Išsaugokite privačius natūraliuosius skaičius aі b Aš žinau tai. yra toks natūralusis skaičius c kad bc = a.„Oskіlki“ bet kuriam natūraliam skaičiui 1 galioja nervnіst 1 £ Su, tada pažeidžiančią dalį padauginus iš natūraliojo skaičiaus b, paimtas b£ bc. ale bc \u003d a, otzhe, b£ a.

24 teorema. Kaip yra privatūs natūralūs skaičiai aі bіsnuє, yra tik vienas.

Teoremos įrodymas panašus į teoremos apie natūraliųjų skaičių skirtumo vienybę įrodymą.

Vykhodyachi z vyznachennya natūralių skaičių dalis, kurios turi omenyje yogo іsnuvannya, galite suapvalinti taisyklę pagal sumi (mažmeninė prekyba, kurti) ant skaičiaus.

25 teorema. Kokie yra skaičiai aі b padalinti iš skaičiaus Su, tada ta suma a + b bendrinti su ir daugiau privačiai a+ b už skaičių Su, viena suma privačių a ant hі b ant h, tada. (a + b):c = a: c + b:Su.

Atneša. Oskіlki numeris a būti padalintas į Su, tada tai yra natūralusis skaičius x = a; h, sho a = cx. Panašus į esamą natūralųjį skaičių y = b:Su, ką

b= su. Ale todi a + b = cx+ su \u003d - s (x + y). Tse reiškia ką a + b padalintas iš c, be to, jis yra labiau privatus, kuris atimamas skleidžiant sumi a+ bį skaičių c, kuris yra brangesnis x + y, tobto. ax + b: c.

Teoremos rezultatą galima suformuluoti naudojant sumos padalijimo iš skaičiaus taisyklę: norint padalyti sumą iš skaičiaus, pakanka padalyti sumą iš odos priedų skaičiaus ir atimti rezultatus.

26 teorema. Kaip ir natūralūs skaičiai aі b padalinti iš skaičiaus hі a > b tada mažmeninė prekyba a - b būti padalintas iš c, be to, jis yra privatus, laimėjo, kai skirtumas yra padalintas iš skaičiaus c, labiau privatus, laimėjo, kai skirtumas yra padalintas a ant hі bį c, tobto. (a - b): c \u003d a: c - b: c.

Šios teoremos įrodymas atliekamas panašiai kaip ir ankstesnės teoremos įrodymas.

Ši teorema gali būti suformuluota kaip skaičiaus skirtumo padalijimo taisyklė: dėl Be to, norint padalyti skirtumą iš skaičiaus, pakanka padalyti iš sveiko skaičiaus, kuris pasikeičia ir matomas nuo pirmo privataus draugo pastebėjimo.

27 teorema. Kas yra natūralusis skaičius a dalijasi iš natūraliojo skaičiaus c, tada bet kurio natūraliojo skaičiaus b tvir ab pasidalinti p. Esant bet kokiam privatumui, kas atimama skleidžiant kūrybiškumą abį skaičių z , viena eilinio dobutka a ant Su, i numeris b: (a × b): c - (a: c) × b.

Atneša. toks jakas a būti padalintas į Su, tada yra natūralusis skaičius x kad a:s= x, žvaigždutės a = cx. Padauginęs įžeidžiančias pavydo dalis iš b, paimtas ab = (cx) b. Oskіlki daugiskaita asociatyviai, tada (cx) b = c(x b).Žvіdsi (a b): c \u003d x b \u003d (a: c) b. Teoremą galima suformuluoti kaip skaičiaus padalijimo iš skaičiaus taisyklę: skaičių padalyti iš skaičiaus, skaičių padalyti iš vieno iš daugiklių ir atimti rezultatą, padauginti kitą daugiklį.

Burbuoles išmanančiam matematikui podilas priskiriamas kaip apsisukimo operacija, laukinei išvaizdai jis neduoda garso, bet jie nuolat koristuoja, pradedant nuo pirmųjų podilų pažinimo pamokų. Išmokite kaltinti rimtą priežastį, kad jis skaičiavimų metu nurodė dauginimo ir pergalingų tarpusavio santykių priežastis. Pavyzdžiui, 48 jis padalino iš 16, besimokantieji sako taip: „48 padalinti iš 16 reiškia žinoti tokį skaičių, padauginus iš 16, gausime 48; šis skaičius bus 3, skeveldros 16 × 3 = 48. Taip pat 48: 16 = 3.

teisingai

1. Atsineškite ką:

a) tik dalis natūraliųjų skaičių a b jei yra, tada yra tik vienas;

b) kaip skaičiai a b Prenumeruok hі a > b tada (a - b): c \u003d a: c - b: c.
2. Ką galima patvirtinti, kad visi duomenys yra teisingi:
a) 48:(2×4) = 48:2:4; b) 56:(2×7) = 56:7:2;

c) 850:170 = 850:10:17.

Kokia yra taisyklė pasunkinti šiuos vipadkіv? Suformuluokite jogą ir atsineškite.

3. Yakі galia podіlu є teorinis pagrindas
vikonanna ateinančios dienos, pamokslavo moksleiviams burbuolės klasės:

Kaip galite, neatsižvelgdami į dugną, pasakyti, kad tokių žodžių reikšmės bus vienodos:

a) (40 + 8): 2; c) 48:3; e) (20 + 28): 2;

b) (30 + 16): 3; d) (21 +27): 3; f) 48:2;

Chi vіrnі іvnostі:

a) 48:6:2 = 48: (6:2); b) 96:4:2 = 96: (4-2);

c) (40–28): 4 = 10–7?

4. Aprašykite galimus viruso vertės apskaičiavimo būdus
protas:

a) (a+ b):c; b) a:b: Su; in) ( a × b): s .

Siūlomi metodai ir iliustracija ant konkrečių užpakalių.

5. Išsiaiškinti raiškos reikšmę racionaliai; savo
Dії įvyniojimas:

a) (7 × 63): 7; c) (15 × 18):(5× 6);

b) (3 × 4× 5): 15; d) (12 × 21): 14.

6. Tolesnius veiksmus ir apačią suapvalinkite dvigubu skaičiumi:

a) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 = 50 + 3 = 53;

b) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 = 49;

c) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:

d) (560 × 32): 16 = 560 (32:16) = 560 x 2 = 1120.

7. Nemušk savęs po sofa, surask racionaliausią
privačiu būdu; pasirinkite gruntavimo būdą:

a) 495:15; c) 455:7; e) 275:55;

6) 425:85; d) 225:9; e) 455:65.

34 paskaita

1. Anoniminis nežinomų skaičių skaičius. Daugybės tsilih nevid'emnyh skaičių galia.

2. Natūralių skaičių ir galutinio daugiklio elementų eilučių supratimas. Eiliniai ir kilkіsnі natūralūs skaičiai.

Iki specialybės suvereniteto

1. Tiesinė (vektorinė) erdvė virš lauko. taikyti. Pagal erdvę – paprasčiausia galia. Tiesiniai ir nepriklausomi vektoriai.

2. Pagrindas ir ramybė vektorinė erdvė. Vektorių sistemos koordinačių matrica. Perėjimas nuo vieno pagrindo prie kito. Vektorinės erdvės izomorfizmas.

3. Kompleksinių skaičių lauko algebrinis uždarymas.

4. Sveikųjų skaičių žiedas. Sveikųjų skaičių tvarka. Teoremos apie „didžiausią“ ir „mažiausią“ skaičių.

5. Grupuoti, taikyti grupę. Paprasčiausios galios grupės. Pogrupiai. Grupių homomorfizmas ir izomorfizmas.

6. Pagrindinė netikrų skaičių galia. Atleiskite už skaičius. Beasmenių pirminių skaičių begalybė. Kanoninis atsargų numerio išdėstymas yra tas unikalumas.

7. Kronecker-Capelli teorema (sistemos vientisumo kriterijus linijinės upės).

8. Pagrindinės kelių charakteristikos. Povna, kurią sukelia sistema v_drahuvan modulo. Kіltse kiltse v_drahuvan moduliui. Eilerio teorema ir Fermat.

9. Porіvnyan teorijos priedas prie vysnovka yra klaidingumo požymis. Zvernennya zvichaynogo frakcija iki dešimtosios ir paskutinio jogo laikotarpio paskyrimas.

10. Eksplicitinės daugianario šaknies sėkmė su efektyviais koeficientais. Atsitiko realiųjų skaičių lauke su turtingais terminais.

11. Linijinis derinimas su vienu pakeitimu (rozvyaznosti kriterijus, rozvyazannya būdai).

12. Lygiosios tiesinių išlyginimo sistemos. Vėlesnio pašalinimo būdas nežinomas.

13. Kiltse. Taikykite kilį. Paprasčiausia kiletų galia. Pidkiltse. Žiedo homomorfizmas ir izomorfizmas. Laukas. Drėkinimo pavyzdys. Paprasčiausia galia. Racionaliųjų skaičių lauko minimalumas.

14. Natūralūs skaičiai (natūraliųjų skaičių aksiomatinės teorijos pagrindai). Teoremos apie „didžiausią“ ir „mažiausią“ natūralųjį skaičių.

15. Turtingi segmentai virš lauko. Teorema apie podіl іz perteklių. Didžiausias dviejų turtingų narių bendradarbiavimas, to pažinimo būdo galia.

16. Dvejetainis bliuzas. Lygiavertiškumo pasiūlymas. Ekvivalentiškumo klasės, koeficientų daugiklis.

17. Natūraliųjų ir sveikųjų skaičių matematinė indukcija.

18. Abipusių pirminių skaičių dominavimas. Mažiausiai reikšmingas skaičių kartotinis, to pažinimo būdo galia.

19. Kompleksinių skaičių laukas, skaitiniai laukai. Geometrinė išvaizda trigonometrinė forma kompleksinis skaičius.

20. Teorema apie podіl іz perteklių sveikiesiems skaičiams. Didžiausias skaičių rinkinys, to pažinimo būdo galia.

21. Vektorinės erdvės tiesiniai operatoriai. Branduolys ir linijinio operatoriaus vaizdas. Tiesinių operatorių algebra vektorinėje erdvėje. Tiesinio operatoriaus galios vertės ir galios vektoriai.

22. Atėnų pertvarka bute, jų viešpatavimas yra zavdannya būdas. Plokštumos ir її pogrupių Atėnų transformacijų grupė.

23. Bagatokutniki. Bagatokutnik aikštė. Proto ir vienybės teorema.

24. Bagatokutnikiv lygiavertiškumas ir tolygumas.

25. Lobačevskio geometrija. Lobačevskio geometrijos aksiomų sistemos neviršutiniškumas.

26. Lygiagretumo samprata Lobačevskio geometrijoje. Abipusis tiesios Lobačevskio srities plėtimasis.

27. Formulės ruhіv. Vietovės griuvėsių klasifikacija. Dodatki į rozvyazannya užduotis.

28. Dviejų butų, tiesių butų, dviejų tiesių butų prie platybės abipusis plėtimasis (analitiniame pristatyme).

29. Projekcinė transformacija. Proto ir vienybės teorema. Projekcinių transformacijų formulės.

30. Skaliarinis, o ne vektorius sukurti zmіshane vektoriai, їх papildymai užduočių kūrimui.

31. Weylio trivimetrinės euklido erdvės ir її zmistovna neviršutiniškumo aksiomų sistema.

32. Teritorijos ruhi ir jėgos joga. Buto griuvėsių grupė. Judėjimo pagrindo ir vienybės teorema.

33. To її modelio projekcinė plokštuma. Projektinė transformacija, galia. Dizaino pakeitimų grupė.

34. Panašumo į butą reformacija, jų viešpatavimas. Grupė transformacijų, panašių į plokštumą ir її pogrupius.

35. Lygūs paviršiai. Pirmoji kvadratinė paviršiaus forma yra zastosuvannya.

36. Lygiagretus tos jėgos jogos projektavimas. Lygiagrečioje projekcijoje plokščių ir erdvių figūrų vaizdai.

37. Lygios linijos. Erdvės kreivės kreivė yra tokia pati.

38. Elipsai, hiperbolė ir parabolė kaip baigtinė parabolė. Kanoninė lygybė.

39. Elipsės, hiperbolės ir parabolės nukreipimo galia. Poliarinis derinimas.

40. Kai kurių tiesės taškų įtakoje to skaičiavimo galia. Harmoningai pasiskirstę garo taškai. Povniy chotirikutnik ir jėgos joga. Priedas prie rozvyazannya užduočių dėl pobudova.

41. Paskalio ir Brianchono teoremos. Poliai ir poliai.

Geras maistas matematinė analizė