Realiųjų skaičių aksiomos. Skaičių teorijos aksiomų sekimas

Kalbos numeriai, kurie nurodomi per (vadinamąjį R ruban), įvedama pridėjimo („+“) operacija, kad oda elementų pora ( x,y) su beasmeniais kalbos skaičiais, esančiais ties elementu vіdpovіdnіst x + y z tsієї w daugiklis, pavadinimai sumo xі y .

Daugiskaitos aksiomos

Įvedama daugybos operacija („·“), todėl odos elementų pora ( x,y) beasmeniams kalbos numeriams įdėkite elementą (kitaip sutrumpintą, xy) s tsієї w daugiklis, kūrybos pavadinimai xі y .

Zvyazok dodavannya kad daugiskaita

Aksiomos pagal užsakymą

Užsakymo „“ užduotyje (mažiau nei vienas), tada statymui x, y vykonuєtsya nori būti vienas iš protų abo.

Zv'yazok, kad sulankstymas

Zvyazok vіdnoshennia tvarka, kad daugiskaita

Tęstinumo aksioma

Komentaras

Ši aksioma reiškia Xі Y- du tušti realiųjų skaičių daugikliai, kad būtų bet koks elementas X neapverskite jokio elemento Y, tada tarp jų galite įterpti kalbos numerį. Dėl racionalūs numeriaiši aksioma nėra pergalinga; Klasikinis užpakalis: atpažįstamai teigiami racionalūs skaičiai ir akivaizdus beasmeniškumas X tie skaičiai, kurių kvadratas mažesnis už 2, o kitų – iki Y. Todis Mizh Xі Y negali įterpti racionalaus skaičiaus (ne racionalaus skaičiaus).

Tai yra pagrindinė aksioma, kuri užtikrina saugumą ir leidžia atlikti matematinę analizę. Norėdami parodyti jo svarbą, leiskite man nurodyti du pagrindinius jo padarinius.

Aksiomų paveldas

Be tarpinės aksiomos, diakonai yra svarbūs šiandienos skaičių galiai, pavyzdžiui,

nulio vienybė,
proliferacinių ir virulentinių elementų vienybė.

Literatūra

Zorichas V.A. Matematinė analizė. I tomas M.: Fazis, 1997, 2 dalis.

Div. taip pat

Posilannya

Wikimedia fondas. 2010 m.

Taip pat žr. „Realiųjų skaičių aksiomatika“ kituose žodynuose:

Kalba, kuri yra tikrasis skaičius, yra matematinė abstrakcija, kuriai vinikla z reikia panaudoti geometrinius ir fizikinius reikiamos šviesos dydžius, taip pat atlikti tokias operacijas kaip šaknų ištraukimas, logaritmų skaičiavimas, sprendimai.

Kalba, chi tikrieji skaičiai yra matematinė abstrakcija, ką tarnauti, zokrema, to fizikinių dydžių vertės panašumo pasireiškimas. Toks skaičius gali būti intuityviai pavaizduotas kaip apibūdinantis taško padėtį tiesioje linijoje.

Vikižodyne yra straipsnis "aksioma" Aksioma (graikiškai ... Vikipedija

Aksioma, nes ji naudojama įvairiose aksiominėse sistemose. Realiųjų skaičių aksiomatika Hilberto Euklido geometrijos aksiomatika Kolmogorovo imovirnosti teorijos aksiomatika ... Wikipedia

Skaičių sistema

Spėkime, kad objektų perkėlimui atsirado natūrali serija. Bet jei norime dirbti su objektais, mums reikia aritmetinių operacijų su skaičiais. Tobto, jei norime sulankstyti obuolį ar padalinti pyragą, turime išversti skaičių skaičių.

Gėdinga pagarba, kad įvedus operacijas + і * natūraliųjų skaičių kalboje reikia pridėti aksiomas, kurios reiškia šių operacijų galią. Aletodai ir beasmeniai naturalieji skaiciai tezh plečia.

Mes stebimės, kaip plečiasi beasmeniai natūralieji skaičiai. Paprasčiausia operacija, nes ji buvo būtina vienam iš pirmųjų - ce dodavannya. Jeigu norime paskirti papildomą operaciją, būtina paskirti grįžimą prie jos – sprendimą. Tiesa, kaip žinome, pridėjus, pavyzdžiui, 5 ir 2, mes esame kalti, kad į tipo eilę pridedame: ką reikia pridėti prie 4, paimti 11. vimagatimut vminnya viroblyat i zvorotnu diyu - vіdnіmannya. Ale, yakscho dodavannya natūralius skaičius vėl duoda natūralusis skaičius, tada žiūrint į natūraliuosius skaičius gaunamas rezultatas, kuris netelpa į N. Mums reikia daugiau skaičių. Pagal protingos vizijos analogiją didesnis skaičius Mažasis boulo įvedė vidnіmannya z mažesnio didesnio taisyklę – taip atsirado neigiamų skaičių.

Papildydami natūraliąją eilutę operacijomis + і - mi, gauname beasmenis sveikuosius skaičius.

Z = N + operacijos (+ -)

Racionaliųjų skaičių sistema jak mov aritmetika

Dabar pažiūrėkime, kaip tai yra sulankstoma diu – daugiskaita. Tiesą sakant, tai yra bagatarazės priedas. І papildomas sveikųjų skaičių skaičius užpildomas sveikuoju skaičiumi.

Ale, atvirkštinė operacija į kelis - tse podіl. Tačiau tai toli gražu ne visada duoda gerą rezultatą. Ir vėl susiduriame su dilema – ar susitaikyti taip, lyg rezultatas nebūtų „suprastas“, arba atspėti naujo tipo skaičių. Taigi jie kaltino racionalius skaičius.

Paimkime sveikųjų skaičių sistemą ir papildykime ją aksiomomis, kurios lemia daugybos ir dugno veiksmą. Atimame racionaliųjų skaičių sistemą.

Q = Z + operacijos (*/)

Tėve, racionalių skaičių kalba leidžia dirbti visi aritmetiniai veiksmai per skaičius. Natūralių skaičių kalbos nepakako.

Aksiomatiškai pristatykime racionaliųjų skaičių sistemą.

Paskyrimas. Beasmenis Q vadinamas racionaliųjų skaičių beasmeniškumu, kaip ir elementai - racionalieji skaičiai, kaip besivystantis proto kompleksas, titulai vadinamas racionaliųjų skaičių aksiomatika:

Lankstymo operacijos aksiomos. Už statymą x,y elementai K dejakas elementas x+yÎQ, reitingai sumoje Xі adresu. Kai laimėsi, galvok taip:

1. (Isnuvannya nulis) Iznuє elementas 0 (nulis), kad bet kokiam XОQ

X+0=0+X=X.

2. Bet kuriam elementui X Q Q pagrindinis elementas - XО Q (priešingai X) toks

X+ (-X) = (-X) + X = 0.

3. (Komutatyvumas) Dėl bet ko x,yО Q

4. (Asociatyvumas) Bet kuriam x, y, z Q

x + (y + z) = (x + y) + z

Daugybos operacijos aksiomos.

Už statymą x, y Q elementai, priskirti tikrajam elementui huÎ Q, kūrinių pavadinimai Xі y. Kai laimėsi, galvok taip:

5. (Isnuvannya vienas elementas) Iznuє elementas 1 Q toks, kad bet kam XО Q

X . 1 = 1. x = x

6. Bet kuriam elementui X Q Q , ( X≠ 0) pagrindinis elementas X-1 ≠0 toks, kad

X. x -1 = x -1. x = 1

7. (Asociatyvumas) Dėl būti-daiktų x, y, zО Q

X . (at . z) = (x . y) . z

8. (Komutaciškumas) Dėl bet ko x, yО Q

Axiom zv'azku sulankstytas ir padaugintas.

9. (Paskirstymo) Dėl bet ko x, y, zО Q

(x+y) . z=x . z+y . z

Aksiomos yra tvarkingos.

Būkite kaip du elementai x, y, Q Q pradžia eilutės pabaigoje ≤. Kai laimėsi, galvok taip:

10. (X≤adresu)L ( adresu≤x) ó x=y

11. (X≤y) L ( y≤ z) => x≤z

12. Dėl be-yakah x, yО Q arba x< у, либо у < x .

Nustatymas< называется строгим неравенством,

Santykis = vadinamas Q elementų lygybe.

Aksioma zv'yazku dodavannya ta tvarka.

13. Bet kuriam x, y, z нQ, (x £ y) z x+z £ y+z

Aksioma zv'yazku mnozhennya kad tvarka.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) z (0 £ x´y)

Archimedo amžinybės aksioma.

15. Jei a > b > 0, turime m N ir n Q, kad m ³ 1, n< b и a= mb+n.

*****************************************

Taigi racionaliųjų skaičių sistema yra Zemo aritmetika.

Prote, be praktinių skaičiavimo užduočių, filmo neužtenka.

Aksiominis metodas matematikoje.

Pagrindinis natūralių eilučių aksiomatinės teorijos supratimas ir supratimas. Natūralaus skaičiaus paskyrimas.

Natūralių skaičių sudėjimas.

Natūralių skaičių padidėjimas.

Natūraliųjų skaičių daugiklio galia

Vіdnіmannya raspodіl natūralūs skaičiai.

Aksiominis metodas matematikoje

Aksiomatiniu raginimu papildoma tam tikra matematinė teorija dainuoti taisykles:

1. Deyakі suprasti teoriją vibirayutsya patinka majoras ji priimama be orderio.

2. Suformuluota aksiomos, kurias šios teorijos priima be įrodymų, kurios turi galią suprasti pagrindines.

3. Oda supranta teoriją, kad nekeršytų pagrindinių sąraše, ji pateikiama paskyrimas, naujam, paaiškinama yogo zmist pagrindiniams pagalbai ir priekio prie šio supratimo.

4. Teorijos teiginys, kurio negalima praleisti pagal aksiomų sąrašą, gali būti iškeltas į dienos šviesą. Tokie pasiūlymai vadinami teoremos ir pateikti juos remiantis aksiomomis ir teoremomis, kurios turi būti perdirbtos.

Aksiomų sistema gali būti:

a) neapgalvotas: mes kalti buti vpevnenі, scho, roblyachi raznі vysnovki z duota aksiomų sistema, o ne ateiti į superechnosti;

b) nepriklausomas: nė viena iš aksiomų nėra kalta dėl kitų sistemos aksiomų.

in) vėl, net ir šiame rėme visada galima atsinešti firmos chi, kurios jogas yra išvardytas.

Pirmuoju teorijos aksiomatinės motyvacijos įrodymu turi būti atsižvelgta Euklido geometrijos knygoje Jogo „Cobs“ (III a. e.). Reikšmingą indėlį kuriant aksiomatinį metodą, įkvepiantį geometriją ir algebrą, sukūrė N.I. Lobačevskis ir E. Galois. Pavyzdžiui, 19 g. Italų matematikas Peano sugriovė aritmetikos aksiomų sistemą.

Pagrindinis natūraliųjų skaičių aksiomatinės teorijos supratimas ir supratimas. Natūralaus skaičiaus paskyrimas.

Kaip pagrindinis (nereikšmingas) supratimas deakіy daugialypėje N pasirinkti sklendė , ir navіt vikoristovuyutsya teorinis-daugialypis supratimas, і navіt logikos taisyklės.

Elementas, kuris be pertraukų seka elementą a, reikšti a".

Atrodo, „be tarpininko sekimo“ yra patenkinti būsimomis aksiomomis:

Aksiomos Peano:

1 aksioma. Pas beveidį N іsnuє elementas, be vidurio neįžeidžiantis jokiam elementui nėra dauginamųjų. Pavadinkime joga vienatvė kurie simbolizuoja 1 .

2 aksioma. Odos elementui a h N pagrindinis vienas elementas a" , nenumaldomai žengia į priekį už a .

3 aksioma. Odos elementui a h Nіsnuє ne daugiau kaip vienas elementas, kuriam jis seka be tarpininko a .

4 aksioma. Būk kaip daugiklis M beveidis N spіvpadє z N , Yakscho galia: 1) 1 atkeršyti M ; 2) nuo ko a atkeršyti M , toliau, ką aš a" atkeršyti M.

Paskyrimas 1. Bezlich N , kurio elementams sumontuota langinė „Nedelsdami sekite“, kuris tenkina 1–4 aksiomas, vadinamas bezlіchchu natūralūs skaičiai, ir jogos elementai - natūraliuosius skaičius.

Šis paskirtas asmuo neturi nieko pasakyti apie daugiklio elementų pobūdį N . Taigi, jūs galite būti ten. Vibirayuchi kaip beveidis N diena yra specifinis daugiklis, ant kurio pateikiama konkreti nuoroda "be tarpinio sekimo", kuri tenkina aksiomas 1-4, mes ją imame šios sistemos modelis aksiomos.

Standartinis Peano aksiomų sistemos modelis yra skaičių eilutė, kuri yra istorinės eilės raidos proceso šaknis: 1,2,3,4,... Natūralioji eilutė prasideda nuo skaičiaus 1 (aksioma 1). ); po natūralaus odos skaičiaus iškart seka vienas natūralusis skaičius (2 aksioma); odos natūralusis skaičius seka ne daugiau kaip po vieną natūralųjį skaičių (3 aksioma); pradedant nuo skaičiaus 1 ir pereinant prie vienas po kito einančių natūraliųjų skaičių, imame visus skaičių daugiklius (4 aksioma).

Otzhe, mes sukūrėme aksiomatinę pobudovo natūraliųjų skaičių sistemą, pasirinkdami pagrindinį vodnosiny "be tarpininko sekti už" ta aksioma, kai kuriuose jėgos jogos aprašymuose. Šiek tiek toliau pobudovo teorija, perkelianti žvilgsnį į natūraliųjų skaičių galias ir operacijas iš jų. Smarvė gali būti rozkritі ties paskirta ir teoremos, tobto. įvedamas kasdienis loginis įvedimo kelias „be vidurio“, ir aksiomos 1-4.

Pirmas dalykas, kurį reikia suprasti, kaip mes pristatome po natūraliojo skaičiaus žymėjimo, yra sklendė "iš karto į priekį" , jakas dažnai vikoristovuyut valandą pažvelgti į gamtos serijos galias.

2 susitikimas. Kas yra natūralusis skaičius b sekti be tarpininko natūralusis skaičius a, tą skaičių a paskambino tiesiai į priekį(kitaip priekis) numeris b .

Vidnoshennia "pereduє" maє šalia valdžios.

1 teorema. Vienybė neturi priekinio natūraliojo skaičiaus.

2 teorema. Oda yra natūralusis skaičius a, Vіdmіnne vіd 1, maє vienas pirminis numeris b, tai kas b"= a.

Aksiominis natūraliųjų skaičių teorijos pagrindimas nėra matomas nei vidurinėje, nei vidurinėje mokykloje. Prote viešpatavimas vіdnosinі "be tarpinio sekimo", kaip buvo Peano aksiomose, є studijų dalykas matematikos burbuolės kurse. Jau pirmoje klasėje valanda pažiūrėti į pirmojo dešimtuko skaičius, aišku, kaip galima gauti odos numerį. Kuriems suprantami žodžiai „slydo“ ir „prieš“. Oda yra naujas skaičius, kaip natūralios skaičių serijos susukto posūkio tęsinys. Išmok persvarstyti ties tsiom, scho su odos numeriu, tai tas pats, ir ne vienas, kad natūrali skaičių serija yra neišsemiama.

Natūralių skaičių sudėjimas

Dėl aksiomatinės teorijos skatinimo taisyklių, nurodančių natūraliųjų skaičių pridėjimą, būtina atlikti "nedelsiant sekite", aš suprantu "natūralus skaičius"і "ankstesnis numeris".

Viperedimo vyznachennya sulankstytas pažengus mirkuvannyami. Kaip į bet kurį natūralųjį skaičių a pridėkite 1, tada paimkite skaičių a“, nenumaldomai žengdamas į priekį a, tada. a+ 1= a" Ir tada mes priimame taisyklę pridėti 1 prie bet kurio natūraliojo skaičiaus. Ale jako pridėti prie a natūralusis skaičius b, vіdmіnne vіd 1? Mes pagreitiname artėjantį faktą: jei matome, kad 2 + 3 = 5, tada suma yra 2 + 4 = 6, o tai seka skaičių 5 be tarpininkų. Tokia tvarka 2 + 4 = 2 + 3 " =(2+3)". Karštoje atrodo gal, .

Šis faktas yra natūraliųjų skaičių žymėjimo aksiomatinės teorijos pagrindas.

3 susitikimas. Natūralių skaičių pridėjimas vadinama algebrinė operacija, kuri gali būti galinga:

Skaičius a + b paskambino skaičių suma aі b , ir patys skaičiai aі b - dodanki.

OMSKO VALSTYBINIS PEDAGOGINIS UNIVERSITETAS
OmDPU filialas prie G. TARI
LBC dirba dėl redakcijos ir leidybos sprendimų
22-asis 73-asis OmDPU filialas netoli Tari metro
Ch67

Rekomendacijos pripažįstamos pedagoginių universitetų studentams, nes jie dėsto discipliną „Algebra ir skaičių teorija“. Šios disciplinos rėmuose 6 semestre rengiamas skyrius „Sistemos skaičiai“. Šios rekomendacijos apima medžiagą apie natūraliųjų skaičių sistemų (Peano aksiomų sistemos), sveikųjų skaičių ir racionaliųjų skaičių sistemų aksiomatinį pagrindimą. Tsya aksiomatika leidžia geriau suprasti, kas yra toks skaičius, nes yra vienas iš pagrindinių norint suprasti mokyklos matematikos kursą. Norint trumpiausiai įsisavinti medžiagą, siūloma įvesti atitinkamas temas. Pavyzdžiui, rekomendacijos ir rekomendacijos, teiginiai, užduotys.

Recenzentas: Ph.D., prof. Dalingeris V.A.

Pasirašė draugui - 22.10.98

Laikraščių popierius
Tiražas 100 egz.
Operatyvinis metodas vienas kitam
OmDPU, 644099, Omskas, nab. Tuchačevskis, 14 m
filiya, 644500, Tara, g. Shkilna, 69 m

1. GAMTINIAI SKAIČIAI.

Aksiomatiškai samprotaujant natūraliųjų skaičių sistemą, svarbu atsižvelgti į daugiklio, mėlynos spalvos, funkcijų ir kitus daugiateorinius supratimus.

1.1 Peano aksiomų sistema ir paprasčiausios išvados.

Bendras supratimas aksiomatinėje Peano teorijoje yra beasmenis N (kaip jis vadinamas natūraliųjų skaičių beasmeniu), ypač skaičius nulis (0) iš naujo ir dvejetainio ryšio "seka" iki N, kuris žymimas S ( a) (arba a ().
AXIOMA:
1. ((a(N) a"(0 (tai yra natūralusis skaičius 0, kuris neseka jokiu skaičiumi.))
2. a=b (a"=b"
3. „=b“ (a=b (natūralusis skaičius eina po daugiau nei vieno skaičiaus).
4. (indukcijos aksioma) Kaip daugiklis M(N ir M) tenkina du protus:
A) 0 (M;
B) ((a(N) a(M® a)(M, tada M=N).
Funkcinėje terminologijoje ze reiškia, kad S:N®N yra neaktyvus. Iš 1 aksiomų aišku, kad S:N®N fermentacija nėra aktyvi. 4 aksioma yra pagrindas įrodyti sunkų darbą „matematinės indukcijos metodu“.
Reikšmingi natūraliųjų skaičių galios aktai, kurie be tarpininkų šaukiasi aksiomų.
Galia 1. Oda yra natūralusis skaičius a(0, einantis po vieno ir daugiau nei vieno skaičiaus.
Atneša. Žymiai per M beasmenius natūraliuosius skaičius, scho išnyksta nulis ir visi natūralieji skaičiai, bet kurio skaičiaus odelė. Pakanka parodyti, kad M=N, vienybė akivaizdi iš 3 aksiomų. Įrodykime 4 indukcijos aksiomą:
A) 0(M - pagal greitąjį daugiklį M;
B) net a(M, tie a"(M, daugiau a" seka a.
Vidurkis iš aksiomų 4 M=N.
Galia 2. Kaip a (b, tada a "(b").
Galia atnešama metodu „iš nepriimtino“, vikoristų aksioma 3. Panašiai tokia galia atnešama 3, vikoristų aksioma 2.
Galia 3. Kaip "(b", tada a (b.)"
4 laipsnis. ((a(N)a(a). (Po jo nėra natūralaus skaičiaus).)
Atneša. Tegu M=(x(x(N, x(x))). ) tokioje Umov A) aksiomoje 4 0(M - laimi. Jei x(M, tai x(x"), tai 2 x" ((x")" yra galioje, o tse reiškia, kad Umov B) x ( M ® x"(M. Aletodiškai seka aksioma 4 M=N.")
Tegu (- natūraliųjų skaičių laipsnio dvylika. Tai, kad skaičius a turi laipsnį (, užsirašykite (a)).
1.1.1 užduotis. Leiskite man pasakyti, kad beasmenių natūraliųjų skaičių žymėjimo aksioma 4 yra artimesnė besivystančiam kietumui: bet kokio tipo autoritetui (pvz., ((0) i, tada).
1.1.2 užduotis. Unarinis veiksmas (: a(=c, b(=c, c(=a))) taip apibrėžiamas trielementų daugikliu A=(a,b,c).)
1.1.3 užduotis. Tegu A \u003d (a) - vieno elemento daugiklis, a (= a) Yaki su Peano tiesos aksiomomis daugikliu A su operacija (?)
1.1.4 užduotis. Daugelyje N reikšminga vienareikšmė operacija, nesvarbu, kas. Paaiškinkite, kas bus tiesa iš Peano aksiomų, suformuluotų operacijos požiūriu.
1.1.5 užduotis. Nagi. Įrodykite, kad A uždarytas naudojant operaciją (. Apverskite Peano aksiomų tiesą daugikliu A su operacija (.).
1.1.6 užduotis. Nagi, . Tačiau A yra vienareikšmė operacija. Kaip teisingos Peano aksiomos operacijos daugikliui A?

1.2. Peano aksiomų sistemos nesuperlektyvumas ir kategoriškumas.

Aksiomų sistema vadinama neviršijančia, nes su її aksiomomis teoremos T ir її neįmanoma išvesti skersai (T. Buvo suprasta, kad superefektyvios aksiomų sistemos matematikoje negali turėti vienodos reikšmės, nes tokioje teorija galima pateikti viską, kas Todėl aksiomų sistemos puikybės trūkumas yra absoliučiai būtinas.
Jakščas Aksіomatic Theoret teoremos sraute t і ї ї ї ї ї ї ї nereiškia, aksi sistema nėra perkrauta; į tai, kad aksiomų sistemos aiškinimas akivaizdžiai neperlyginama teorija S, tada pati aksiomų sistema yra nelygybė.
Peano aksiomų sistemai galima pateikti daugybę skirtingų interpretacijų. Ypač turtinga daugybos teorijos interpretacija. Viena iš tokių interpretacijų yra reikšminga. Natūraliaisiais skaičiais galime paimti kartotinius (, (), ((())), ((())),..., nulį skirsime pagal skaičių (. (M), vienintelį elementą toks ir toks M. Šia tvarka ("=(), (()"=((()) ir pan.)). yra mažas: tai rodo, kad Peano aksiomų sistema yra nors kartotinių teorija nėra superlatyvas, bet dar svarbesnis yra kartotinių teorijos aksiomų sistemos neviršutiniškumo įrodymas.
Aksiomų sistema, kuri nėra superlatyvinė, vadinama nepriklausoma, nes šios sistemos odos aksioma negali būti įrodyta kaip teorema remiantis kitomis aksiomomis. Išryškinti tą aksiomą
(1, (2, ..., (n, (1))
pakanka įrodyti, kad aksiomų sistema nėra superinė
(1, (2, ..., (n, ((2)))
Tiesa, yakby (buvo galima skirtis nuo kitų sistemos (1) aksiomų, tada sistema (2) buvo itin protinga, jos šukės būtų teisingos teoremai (ir aksiomai ((.)).
Taip pat, norint atnešti aksiomų nepriklausomumą (nuo kitų sistemos aksiomų (1), pakanka paskatinti aksiomų sistemos (2) aiškinimą.
Aksiomų sistemos nepriklausomumas yra puikus neobov'yazkova. Kartais, norėdami išvengti „svarbių“ teoremų įrodymo, sukursime viršpasaulinę (indėlių) aksiomų sistemą. Tačiau „zayv“ aksiomos leidžia lengviau įžvelgti aksiomų vaidmenį teorijoje, taip pat vidinius loginius ryšius tarp skirtingų teorijos skyrių. Be to, pobudova іinterpretatsіy nedirbamoms aksiomų sistemoms yra žymiai sulenkta, mažesnė nepriklausomoms; net jei tektų persvarstyti „zayvih“ aksiomų pagrįstumą. Tarp seniausių laikų aksiomų pirmiausia buvo suteiktos pūdymų mitybos priežastys. Pabandykite suprasti, kad 5-asis Euklido aksiomatikos postulatas „Tai yra ne daugiau kaip viena tiesė, kuri eina per tašką A lygiagrečiai tiesei“ (", є pagal teoremą (gulėti kitose aksiomose) ir priėjo prie Lobačevskio geometrijos išvadų).
Nesuperskriptyvi sistema vadinama dedukciškai nauja, tarsi pateiktos teorijos teiginys A gali būti pateiktas arba paskelbtas, tada arba A, arba (A yra pateiktos teorijos teorema. aksioma vadinama Dedukcine povnota tezh ne obov'yazkova vimoga, pavyzdžiui, grupių teorijos aksiomų sistema, teritorijos teorija, laistymo teorija - netiesa, šukės yra pagrįstos ir kіntsevі ir neskіnchennі grupėmis, kіltsya, laukais, tada šiuose teorijų, kurių negali klausti, negali pareikšti pasiūlymo.: "Grupė (kiltse, laukas) atkeršyti kiltse kilkіst elementams".
Pažymėtina, kad turtingose aksiomatinėse teorijose (pačiose, neformalizuotose) į beasmenius teiginius negalima tiksliai atsižvelgti, o tokios teorijos aksiomų sistemos dedukcinio užbaigtumo pateikti neįmanoma. Antrasis pokytis dažnai vadinamas kategorišku. Aksiomų sistema vadinama kategorine, taigi dvi interpretacijos yra izomorfinės, kad būtų toks abipusiškai nedviprasmiškas skirtumas tarp kelių burbuolių objektų ir kitų interpretacijų. Kategoriškumas - tezh neobov'yazkova protas. Pavyzdžiui, grupių teorijos aksiomų sistema nėra kategoriška. Priežastis ta, kad Kintsevo grupė negali būti izomorfinė grupė be odos. Tačiau aksiomatizavus skaitinės sistemos teoriją, obov'yazkovos kategoriškumas; Pavyzdžiui, aksiomų sistemos, žyminčios natūraliuosius skaičius, kategoriškumas reiškia, kad iki izomorfizmo yra tik viena natūralioji eilutė.
Pateiksime Peano aksiomų sistemos kategoriškumą. Tegu (N1, s1, 01) ir (N2, s2, 02) yra dvi Peano aksiomų sistemos interpretacijos. Būtina nurodyti tokią biektyvinę (abipusiai nedviprasmišką) išraišką f: N1®N2, dėl kurios turėtumėte pagalvoti:
a) f(s1(x)=s2(f(x)) bet kuriam x N1;
b) f(01) = 02
Jei unarinės operacijos s1 ir s2 pažeidžiamos dėl to paties potėpio, tada umova a) perrašykite
a) f(x()=f(x)(.
Žymiai dėl daugiklio N1(N2)
1) 01f02;
2) kaip xfy, x(fy(.
Pakeiskime, kam naudinga fermentacija N1 į N2, tada dermalinei x s N1
(((y(N2)xfy(1)
Žymiai per M1 beasmenis elementus x N1, kai kuriems protams (1) laimi. Todi
A) 01 (M1 z 1);
B) x(M1 ® x((M1 pagal 2) ir 1 taško laipsnis 1).
Todėl pagal 4 aksiomą gali būti, kad M1=N1, o tse i reiškia, kad N1 N2 fermentacijos įvedimas f є. Esant timu z 1) akivaizdu, kad f (01) = 02. Umov 2) parašytas taip: f(x)=y, tada f(x()=y(. Skamba taip: f(x()=f(x)(.). Taip pat, kad atspindėtų f, pagalvokite )) ir b.
Žymiai per M2, beasmenius tylius N2 elementus, bet kurio iš jų odą vieno ir tik vieno N1 elemento pavidalu, kai rodomas f.
Skeveldros f(01)=02, tada 02 є. Jei taip x(N2 і x(01), tai 1 galiai 1 x elementas seka dabartinį elementą c z N1 і tada f(x)=f(c()=f(c)((02. Vidurkis, 02 f) vieno elemento rangas 01, tada 02 (M2.
Eikite į priekį y(M2 і y=f(x), kur x yra vienas elemento y pradinis vaizdas. Tada pagal a) y(=f(x)(=f(x()), tada y( є elemento x vaizdas ) (. Tegul c yra elemento y(, tada f(c)=y(. Skіlki y((02, tada c(01 і c)) pirminis elementas), kuris yra prasmingas per d.)) Tada y( =f( c)=f(d()=f(d)(, dėl 3 aksiomos y=f(d)). M2 ® y
Visa ikigraikiška matematika turi mažai empirinio pobūdžio. Visi teorijos elementai paskendo empirinių požiūrių į praktinių užduočių rengimą masėje. Graikai davė šią empirinę loginės analizės medžiagą, bandė rasti ryšį tarp skirtingų empirinių duomenų. Kuriems visą geometrijos pojūtį turi didelį vaidmenį Pitagoras ir mokykla (V a. po Kr.). Aksiominio metodo idėjos aiškiai išsakytos Aristotelio (IV a. po Kr.) darbuose. Prote, praktinį šių idėjų vystymą atliko Euklidas jogoje „Cobs“ (3 mūsų eros amžiai).
Galima įvardyti tris aksiomatinių teorijų formas.
vienas). Zmistovna aksiomatika, tarsi ji buvo viena iki praėjusio amžiaus vidurio.
2). Napіvformali aksiomatika, scho vinilas paskutiniame praėjusio amžiaus ketvirtyje.
3). Formalioji (kitaip formalizuota) – aksiomatika, kurios gimimo data galima laikyti 1904 m., jei D. Hilbertas paskelbė savo garsiąją programą apie pagrindinius formalizuotos matematikos principus.
Nauja odos forma nėra užblokuota priekyje, tačiau vystantis ir nuskaidrėjus, tas pats pasakytina ir apie naujos odos formos vystymąsi, žemesnę priekyje.
Zmistovnos aksiomatikai būdinga tai, kad prieš formuluojant aksiomas jas galima intuityviai aiškiai suprasti. Taigi, Euklido burbuliukuose, pagal supratimo tašką, tie, kurie pagal šiuos supratimus yra intuityviai savaime aiškūs. Tuo pačiu metu yra puiki kalba ir puiki intuityvi logika, kuri labiau primena Aristotelį.
Formaliosios aksiomatinės teorijos taip pat turi stiprią kalbą ir intuityvią logiką. Tačiau pirmieji suprantantys nepasikliauja tuo pačiu intuityviu pojūčiu, jiems būdingos tik aksiomos. Pats Timas juda griežtumu, intuicijos šukės su dainingu pasauliu užkariauja griežtumą. Be to, auga mieguistumas, nes tokioje teorijoje pateikta odos teorema bus teisinga bet kokiu aiškinimu. Aiškiai formalios aksiomatinės teorijos forma – Hilberto teorija, įtraukta į knygą „Įsivaizduok geometriją“ (1899). Nap_vformalnyh teorijų užpakalis taip pat yra kiletų teorija ir kitos teorijos, pateiktos algebros metu.
Formalizuotos teorijos užpakalis yra žodžių skaičiaus skaičiavimas, kuris plėtojamas matematinės logikos eigoje. Dėl vіdmіnu vіd zmіstovnoї ir napіvformalії aksiomatikos teorijos formalizavimas pergalingas ypač simbolinis mova. Teorijos abėcėlė priskiriama jai pačiai, todėl tai yra beasmenių simbolių, atliekančių tą patį vaidmenį kaip ir originalo kalbos raidės, rinkinys. Ar tai būtų kintseva simbolių seka, vadinama viraz ar žodžiu. Tarp virusų yra formulių klasė, o tikslus kriterijus, leidžiantis atpažinti odos virusą, nurodomas formule. Formulės atlieka tą patį vaidmenį kaip ir didžiosios kalbos kalba. Deyakі formulės goloshuyutsya aksiomos. Be to, nustatomos loginės regėjimo taisyklės; Tokia taisyklė reiškia, kad formulių visumos eigoje visa formulė yra be vidurio. Pačios teoremos įrodymas yra formulių lantzo pabaiga, likusi formulės dalis yra pati teorema, o odos formulė yra arba aksioma, arba teorema buvo atnešta anksčiau, kitaip ji dainuoja iš į priekį vidurio strypo formulės pagal vieną iš stebėjimo taisyklių. Esant tokiam rangui, mes neturėtume stovėti už įrodymų apie įrodymų pagrįstumą: kitaip danų lanciugє įrodymas, arba є, nėra įtikinamų įrodymų. Ryšyje su cim aksiomatika yra formalizuota, kad priprastų prie ypač subtilių pradmenų principų matematines teorijas, jei akivaizdi intuityvi logika gali paskatinti atleidimą, kuris yra pagrindinis rangas dėl mūsų didžiojo judėjimo netikslumų ir dviprasmybių.
Taigi, kaip ir formalizuojant teoriją apie odos virazą, galima sakyti, kad tai yra formulė, tuomet galima atsižvelgti į formalizuotos teorijos beasmenius teiginius. Atsižvelgiant į tai, iš esmės galima išskaidyti argumentą dėl dedukcinės priežasties įrodymo, taip pat dėl nepaviršutiniškumo įrodymo, nesileidžiant į interpretaciją. Skirtumą galite pamatyti keliais paprasčiausiais būdais. Pavyzdžiui, skaičiavimo paviršutiniškumo trūkumas atliekamas be aiškinimo.
Neformalizuotose teorijose beasmeniai teiginiai nėra aiškiai apibrėžti, todėl nepaviršutiniškumo įrodymo priežastis, nesikreipiant į interpretaciją, pateikiama kvailai. Tos pačios vertės ir maisto apie dedukcinio povnoti įrodymą. Tačiau kadangi buvo išgirstas toks neformalizuotos teorijos teiginys, nes neįmanoma jos pateikti ar paklausti, tai teorija, akivaizdu, yra dedukciškai netiksli.
Aksiomatinis metodas jau seniai įsitvirtino ne tik matematikoje, bet ir fizikoje. Pirmiausia pabandykite tai padaryti tiesiogiai, Aristotelis bandė tai padaryti, bet jis taip pat pataisė savo aksiomatinį metodą fizikoje, neįtraukdamas Niutono robotų iš mechanikos.
Ryšyje su audringu mokslų matematizacijos procesu yra ir aksiomatizacijos procesas. Nė vienas iš aksiominių metodų nerandamas įvairiuose biologijos skyriuose, pavyzdžiui, genetikoje.
Aksiominio metodo galimybės nėra begalinės.
Svarbu tai, kad neturėtume pamiršti teorijų formalizavimo, nepaisydami intuicijos. Pati teorija įforminama be jokios norimos reikšmės interpretacijos. Dėl to nekaltas ryšys tarp formalizuotos teorijos ir interpretacijos. Be to, kaip ir teorijų formalizavime, kyla klausimas apie aksiomų sistemos neviršutiniškumą, savarankiškumą ir užbaigtumą. Viso tokio maisto visuma tampa kitos teorijos esme, nes ji vadinama formalizuotos teorijos metateorija. Remiantis formalizuota teorija, kalbos metateorija yra svarbiausia kasdienė kalba, o loginis atspindėjimas atliekamas pagal natūralios intuityviosios logikos taisykles. Tokiu būdu intuicija, kuri vėl paimta iš formalizuotos teorijos, metateorijoje vėl atsiranda.
Tačiau pagrindinis aksiominio metodo trūkumas nėra tsoma. Anksčiau jau buvo galvojama apie D. Hilberto programą, nes ji padėjo pagrindą formalizuotam aksiomatiniam metodui. Pagrindinė Hilberto mintis – klasikinę matematiką paversti formalizuota aksiomatine teorija, atnešti neprilygstamumą. Tačiau programa iš esmės atrodė utopinė. 1931 metais garsus austrų matematikas K. Gödelis sukūrė savo garsiąsias teoremas, kurios aiškiai leido suprasti, kad įžeidžiančios pagrindinės Hilberto iškeltos užduotys nebuvo paskelbtos. Yomu peržengė savo kodavimo metodo pagalbą, kad išmoktų formalizuotos aritmetikos formules ir pasitelktų metateoriją, kad šios formulės nėra matomos formalizuojant aritmetiką. Tokiu būdu formalizuota aritmetika pasirodė dedukciškai netiksli. Iš Gödelio rezultatų buvo akivaizdu, kad net jei neįrodoma formulė yra įtraukta į aksiomų skaičių, yra kita neįrodoma formulė, išreiškianti tą patį teisingą teiginį. Visa tai reiškė, kad ne tik visos matematikos, bet ir išmokti aritmetikos – paprasčiausios dalies, neįmanoma formalizuoti. Zokrema, Gödelis, įkvėpęs formulę, kuri parodo teiginius „Formalizuota aritmetika yra neprilygstama“ ir parodydama, kad formulės taip pat negalima parodyti. Šis faktas reiškia, kad formalizuotos aritmetikos netobulumas negali būti perkeltas į pačios aritmetikos vidurį. Zrozumіlo, galite paskatinti tvirtą formalizuotą teoriją ir її, pateikdami formalizuotos aritmetikos neprilygstamą, ir tuo pačiu kaltinti, kad naujosios teorijos neviršija.
Gödelio rezultatai rodo aksiominio metodo pagrįstumą. Ir, dar svarbiau, podstav pesimistiniam visnovkіv žinių teorijoje to, kuris nežino tiesos, - ne. Tai, kad nustatomos aritmetinės tiesos, kurių neįmanoma įforminti aritmetikos, nereiškia tiesų nežinojimo pasireiškimo ir nereiškia žmogaus mąstymo užtemimo. Vin reiškia tik tai, kad mūsų proto galimybės nesumažės iki procedūrų, kad jos bus labiau formalizuotos, o žmonėms dar reikia išbandyti ir surasti naujus įrodinėjimo principus.

1.3 Natūraliųjų skaičių saugojimas

Natūraliųjų skaičių lankstymo ir daugybos pagal Peano ašių sistemą operacijos yra ne postuluojamos, o vietoj operacijos.
Paskyrimas. Natūralių skaičių sudėjimas vadinamas dvejetaine algebrine operacija + daugikliu N, kuri gali būti galinga:
1s. ((a(N)a+0=a);
2c. ((a, b (N) a + b (= (a + b)).
Kaltinti mitybą – kas yra tokia operacija, bet jei taip, tai kas tai?
Teorema. Natūralių skaičių sudėtis būtina ir tik viena.
Atneša. Dvejetainis algebros veiksmas daugybei N yra fermentacija (:N(N®N. Būtina nustatyti, kad būtų tik viena fermentacija (:N(N®N), kurios galios: 1)) ((x(N) ((x,0)= x ; 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y))). 0) )=x; ).
Reikšminga daugiklio N dvejetainė išraiška fx pagal mintis:
a) 0fxx;
b) kaip yfxz, y(fxz(.
Pakeiskime, kokia nauda iš N į N, tada odai y z N
(((z(N) yfxz (1))
Svarbu tai, kad per M natūraliųjų skaičių y daugiklis, kurį laimi protai (1). Taigi pagalvokite, kad a) vyplyaє, scho 0 (M, a z um b) ir galia 1 p. ir reiškia, kad fx yra N fermentacija į N. Kuriai fermentacijai pagalvokite:
1() fx(0)=x - s a);
2() fx((y)=fx(y() - iki b).
Pats Timas atnešė lankstymo motyvus.
Atnešame vienybę. Tegul + i (- yra kaip dvi dvejetainės algebros operacijos aibėse N, kurių laipsniai yra 1c ir 2c. Būtina pateikti, kad
((x, y(N) x + y = x(y)
Pakankamai fiksuotas skaičius x i yra reikšmingas per beasmenių natūraliųjų skaičių y S, kurių lygybė
x+y=x(y (2)
laimėti. Skіlki zgіdno 1с x+0=x і x(0=x, tada
A) 0 (S
Dabar tegul y(S, kad laimėtų lygybė (2). Taigi x+y(=(x+y)(), x(y(=(x(y))(і x+y=x(y, then) ) aksiomos 2 x+y(=x(y(, kad protas laimės)
B) y(S ® y((S.)
Taigi pagal aksiomą 4 S=N, kuri užbaigia teoremos įrodymą.
Atveskime valdžią į dodavanną.
1. Skaičius 0 yra neutralus sudėjimo elementas, taigi a+0=0+a=a odos natūraliam skaičiui a.
Atneša. Ramybė a+0=a rėkia iš proto 1s. Pateikiame lygybę 0+a=a.
Žymiai per M beasmenis skaičius, kurie nelaimės. Akivaizdu, kad 0+0=0 ir 0(M. Tegul a(M, tada 0+a=a.) Tada 0+a(=(0+a)(=a(i, aka, a((M) ) Otzhe, M=N, kaip ir reikia atvežti.
Duok mums lemą.
Lemma. a(+b=(a+b)(.
Atneša. Tegu M yra beasmenis visų natūraliųjų skaičių b, kurių lygybė yra a(+b=(a+b)(teisinga bet kuriai a reikšmei):
A) 0(M, skeveldros a(+0=(a+0)(;););
C) b(M ® b((M. Tikrai, nes b(M ir 2c) galimi))
a(+b(=(a(+b))(=((a+b)()(=(a+b()(,
taigi b ((M. Reiškia, M = N, ką man reikia atsinešti).
2. Natūraliųjų skaičių sudėtis yra komutacinė.
Atneša. Tegul M=(a(a(N(((b(N)a+b=b+a))) Pasakyk man, kad M=N. Galbūt:
A) 0 (M – kaina 1.
C) a(M ® a((M)
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(.)).
Vidurkis a((M, i iš 4 aksiomos M=N).
3. Pridėjimas asociatyviai.
Atneša. Nagi
M=(c(c(N(((a,b(N))(a+b)+c=a+(b+c))
Reikia atvesti, kad M=N. Taigi (a+b)+0=a+b ir a+(b+0)=a+b, tada 0(M. Tegul s(M, tada (a+b)+c=a+(b+c) ) .
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c())).
Vidurkis c((M i pagal aksiomą 4 M=N).
4. a+1=a(, de 1=0(.
Atneša. a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. Jei b(0), tai ((a(N)a+b(a)).
Atneša. Tegul M=(a(a(N(a+b(a)) 0+b=b(0, tada 0(M)). 2 p.1 (a+b)((a(kitaip a( +b) (a)) reiškia a((M і M=N)).
6. Jei b(0, tada ((a(N)a+b(0))
Atneša. Jei a=0, tai 0+b=b(0, jei a(0 і a=c(, tada a+b=c(+b=(c+b))((0. Taigi, y bus laikas a) + b (0.
7. (Trichotomijos lankstymo dėsnis). Bet kokiems natūraliems skaičiams a ir b teisinga tik viena ir tik viena iš trijų panašumų:
1) a = b;
2) b=a+u de u(0;
3) a=b+v de v(0.
Atneša. Fiksuojame tam tikrą skaičių a ir jis yra reikšmingas per M visų natūraliųjų skaičių b daugiklį, už kurį galime laimėti nors vieną iš skaičių 1), 2), 3). Reikia atvesti, kad M=N. Tegu b = 0. Jei a=0, tai 1), o jei a(0, tik 3), tai a=0+a. Otzhe, 0 (M.
Dabar priimtina, kad b(M, kad atvirkštinė a yra viena iš 1), 2), 3 atvirkštinių. Jei a=b, tada b(=a(=a+1, tada b(skaičiuojamas 2 poslinkis).) Jei b=a+u, tada b(=a+u(, tada b(pokrypis) skaičiuojamas) 2 ) Jei a=b+v, tai galimi du deklinacijos: v=1 ir v(1. Jei v=1, tai a=b+v=b), tai b" atvirkštinis santykis 1 paimta. ir v(1 , tada v=c", de c(0 ir tada a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c, de c(0, taigi b " turime priešingą 3). Vėliau atnešėme, kad b (M ® b "(M, i, taip pat M = N, taigi, ar a ir b, norima naudoti vieną iš sąskambių 1), 2), 3) jų negalima nugalėti iš karto. spіvvіdnoshennia 2) ir 3), tada mažas b a = (a + u) + v = a + + (u + v), bet tai neįmanoma naudojant 5 ir 6 laipsnius. 7 galia baigiasi.
1.3.1 užduotis. Tegu 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9)))).) Pasakykite man 3+5 =) 8, 2+4=6.

1.4. GAMTINIŲ SKAIČIŲ PAdauginimas.

Paskyrimas 1. Natūralių skaičių daugyba vadinama tokia dvejetaine operacija (daugikliu N, kuriai skaičiuojamas protas:
1u. ((x(N) x(0=0);
2m. ((x, y(N)x(y)=x(y+x).
Aš vėl pateisinu mitybą - kodėl tokia operacija ir kaip ji yra, tada kas yra vienintelis dalykas?
Teorema. Natūraliųjų skaičių dauginimo operacija yra tik viena.
Įrodinėjimas gali būti atliekamas taip pat, kaip ir papildomas įrodymas. Būtina žinoti tokią išraišką (:N(N®N), kaip
1) ((x(N)) ((x,0)=0;
2) ((x, y (N) ((x, y")) = ((x, y) + x).
Pataisome nemažą skaičių x. Tai taip pat įmanoma odai x (N іsnuvannya vіrazhennya fx: N®N autoritetas
1") fx(0)=0;
2") ((y(N) fx(y")=fx(y)+x,
tada funkcija ((x,y), kuri yra lygi ((x,y)=fx(y) ir tenkina protus 1) ir 2).
Vėliau teoremos įrodymas pereina į tos funkcijos fx(y) odos x vienybės pagrindo įrodymą su laipsniais 1") ir 2"). Nustatykime N reikšmių skaičių pagal šią taisyklę:
a) skaičius nulis nustatomas į skaičių 0,
b) kadangi skaičiui y duotas skaičius c, tai skaičius y (skaičius c + x lygus).
Dar kartą apsvarstykime, kad tokiame parametre odos skaičius y gali būti vienas vaizdas: ir reikšminga tai, kad galima N paversti į N. Svarbu tai, kad per M visų natūraliųjų skaičių y beasmeniškumą galima sudaryti vieną vaizdą. Pagalvokite a) kad aksioma 1 yra aiški, taigi 0(M. Tegul y(M. Pagalvokite b) ir aksioma 2 yra aiški, kad y((M. Taigi, M=N, taigi mūsų priežastis yra N) N , yra reikšmingai pagal fx, tada fx(0)=0 dėl a) ir fx(y()=fx(y)+x - dėl b).
Vėliau dauginimo operacijos priežastis buvo patvirtinta. Leiskite man dabar (i (- būti dvi dvejetainės operacijos su daugikliu N su laipsniais 1y ir 2y. Belieka pasakyti, kad ((x,y(N) x(y=x(y)) Mes nustatome gana didelį skaičių x ir ne))
S=(y?y(N(x(y=x(y))
Praleisti 1y x(0=0 і x(0=0, tada 0(S. Tegul y(S), tada x(y=x(y)))
x(y(=x(y+x=x(y+x=x(y(
i, tada, y((S. Taigi, S=N, mažesnis i, teoremos įrodymas baigiasi).
Žymiai daug valdžios diakonų.
1. Neutralus elementas dažniausiai yra skaičius 1=0(, taigi ((a(N) a(1=1(a=a)))).
Atneša. a(1=a(0(=a(0+a=0+a=a)) Tokiu būdu a(1=a) lygybė baigta. N) (1(a=a). Taigi 1 (0=0, tada 0(M. Tegu a(M, tada 1(a=a)). Tada 1(a(=1(a+1=a +1=) a(, i, otzhe, a() (M. Taigi iš aksiomų 4 M=N, kurią reikėjo atnešti).
2. Mugių rinkiniui, teisės paskirstymo dėsniui, tada
((a,b,c(N) (a+b)c=ac+bc).
Atneša. Tegul M=(c(c(N(((a,b(N))(a+b)c=ac+bc))). , tada 0(M. Taigi c(M, tada (a+b)) c=ac+bc), tada (a + b)(c(= (a + b)c +(a + b) = ac + bc +a+b=(ac+a)+(bc+b)= ac(+bc(.) Taigi, c((M і M=N).
3. Natūraliųjų skaičių daugyba yra komutacinė, tai yra ((a,b(N) ab=ba).
Atneša. Pataisykime, kad b (N lygus 0 (b = b (0 = 0. Lygus b (0 = 0)) yra aiškus 1y. Tegul M = (b (b (N (0 (b = 0))) ) 0 =0, tada 0(M. Taigi b(M, tada 0(b=0, tada 0(b(=0(b+0=0))) i, taip pat, b((M. Taigi, M= N, tada lygybė 0(b=b(0 atnešta visiems b(N. Eikime toliau) S=(a (a(N(ab=ba))). a) (S, tada ab = ba. Tada a (b) = (a + 1) b = ab + b = ba + b = ba (, tada a ((S. Taigi S = N), kurią reikia atnešti) .
4. Daugkartinis paskirstomasis lankstymas. Tsya dominion viplivaє z dominion 3 ir 4.
5. Daugiskaita yra asociatyvi, tai yra ((a, b, c (N) (ab) c = a (bc)).
Įrodymas atliekamas, kaip ir sandėlyje, indukcija s.
6. Jei a(b=0, tada a=0 ir b=0, tai N neturi nulio daliklių.
Atneša. Tegu b(0 і b=c(. Jei ab=0, tai ac(=ac+a=0, ženklai seka 6 punkto 3 laipsniu, taigi a=0).
1.4.1 užduotis. Tegul 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9)))).) Pasakykite man, kas 2(4)) =8, 3(3=9.
Tegul n, a1, a2, ..., an yra natūralieji skaičiai. Skaičių a1, a2,...,an suma vadinama skaičiumi, kaip per jį žymima protai; bet kuriam natūraliam skaičiui k
Skaičių a1, a2,...,an poaibis yra natūralusis skaičius, kaip jis žymimas i ir žymimas protais: ; bet kuriam natūraliam skaičiui k
Kaip tas skaičius nurodomas per an.
1.4.2 užduotis. Atnešk ką
a);
b);
in);
G);
e);
e);
ir);
h);
і) .

1.5. GAMTINIŲ SKAIČIŲ SISTEMOS TVARKA.

Teiginys „seka“ yra antirefleksinis ir antisimetriškas, bet ne tranzityvus ir nesilaiko tos tvarkos. Ženkliai keičiame tvarką, pasikliaujame natūraliųjų skaičių pridėjimu.
Paskyrimas 1. a
Paskirtis 2. a(b (((x(N) b=a+x)).
Perekonaєmosya, scho vіdnoshennia Vіdznachimo deyaki vlastnostі natūralūs skaičiai, povyazanih іz vіdnosinami іnоnostі і nerіvnostі.
1.
1.1 a=b (a+c=b+c).
1.2 a = b (ac = bc).
1.3a
1.4a
1,5 a+c=b+c (a=b).
1.6ac=bc(c(0(a=b).
1.7a+c
1.8ac
1.9a
1.10a
Atneša. Dominavimas 1.1 ir 1.2 išsiskiria lankstymo ir daugybos operacijų unikalumu. Jakšo a
2. ((a(N) a
Atneša. Oskils a(=a+1, tada a
3. Mažiausias elementas N yra 0, o mažiausias elementas N\(0) yra skaičius 1.
Atneša. Taigi ((a(N) a=0+a, tada 0(a, i, vadinasi, 0 yra mažiausias N elementas.) Tada, kaip x(N\(0), tada x=y(, y() N ) , kitaip x = y + 1. Atsakymas yra toks, kad ((x (N \ (0)) 1 (x, taigi 1 yra mažiausias elementas N \ (0)).
4. Pasiūlymas ((a, b (N) ((n (N)) b (0 (nb> a)).
Atneša. Akivaizdu, kad bet kuriam natūraliam a yra ir natūralusis skaičius n, kuris
a Toks skaičius є, pavyzdžiui, n = a (. Dahl, jei b (N \ (0), tada laipsniui 3
1(b(2)
Z (1) ir (2) pagal 1.10 ir 1.4 įgaliojimus imti aa.

1.6. TIKROJI GAMTINIŲ SKAIČIŲ SISTEMOS TVARKA.

Paskyrimas 1. Kaip sutvarkyto daugiklio odos netuščias daugiklis (M; Dar kartą apsvarstykite, kad nauja tvarka yra tiesinė. Tegul a ir b yra du elementai iš visos sutvarkyto daugiklio (M; Lema) . 1) a
Atneša.
1) a((b (b=a(+k, k(N))(b=a+k(, k((N\(0)))
2) a(b(b=a+k, k(N)(b(=a+k(, k((N\(0)))
Teorema 1. Natūralioji natūraliųjų skaičių aibės tvarka yra aukštesnė.
Atneša. Tegul M yra tuščias beasmenių natūraliųjų skaičių, o S yra žemesnių tarpų N nematerialumas, taigi S = (x (x (N (((m (M))) x (m)). Kitas, 0(S) . Yakby nugalėjo ir kitos Umovo aksiomos 4 n(S(n((S, then small b S=N)).
2 teorema. Jei yra netuščia beasmenių natūraliųjų skaičių žvėries riba, gali būti didžiausias elementas.
Atneša. Tegul M yra netuščia riba tarp beasmenių natūraliųjų skaičių žvėries, o S yra viršutinių kordonų beasmeniškumas, taigi S=(x(x(N((m(M)) m(x)).) Žymiai per x0, mažiausias y elementas S. Jei m
1.6.1 užduotis. Atnešk ką
a);
b);
in).
1.6.2 užduotis. Nagi (- deak galia natūraliųjų skaičių ir k - daugiau nei natūralusis skaičius. Atnešk ką
a) būti kaip natūralusis skaičius gali būti laipsnis (kaip tik 0 gali būti bet kurio n laipsnis (0
b) ar tai yra natūralusis skaičius, didesnis arba lygus k, maє galia (, jei tik k maє tsyu galia i bet kokiam n (k (n) praleidimui, scho n maє galia (, kitas, scho skaičius n + 1 taip pat Volodya tsієyu galia).
c) ar tai yra natūralusis skaičius, didesnis arba lygus k, gali turėti galią (kaip tik k gali turėti galią ir bet kokiam n (n>k) yra prielaida, kad visi skaičiai t, priskirti mentaliniu k (t

1.7. INDUKCIJOS PRINCIPAS.

Vikoristovuyuchi povryadkovannost natūraliųjų skaičių sistemą, galite pateikti tokią teoremą, vieną iš įrodinėjimo metodų pagrindų, pavadinimus matematinės indukcijos metodu.
Teorema (indukcijos principas). Usі vyslovlyuvannya z seka A1, A2, ..., An, ... є іstnymi, yakshcho vykonuyutsya mind:
1) A1 yra tiesa;
2) kaip naudoti Ak su k
Atneša. Leidžiama nepriimti: pagalvokite 1) ir 2) laimėti, bet jei teorema neteisinga, tada neleisime є beasmenio M = (m (N (N \ (0), Am - hibno)). elementas, kuris yra reikšmingas n požiūriu. psichiškai 1) A1 yra tiesa, o An yra blogas, tada 1 (n, i, dar žinomas kaip 1)
Norint patvirtinti indukcijos metodu, galima pamatyti du etapus. Pirmajame etape, kuris vadinamas indukcijos pagrindu, proto mentalitetas apverčiamas 1). Iš kitos scenos pusės, vadinamos indukciniu krosniu, mintys atkeliauja į protą 2). Dažniausiai važiuojama vipadais, jei An tiesai įrodyti negalima panaudoti Ak tiesos pergalės ties k
užpakalis. Atnešti nelygumus Mokėtina = Sk. Reikia atvesti išvedimo Ak=(Sk) tiesą Dedukcijos seka, kaip aprašyta 1 teoremoje, gali kilti iš predikato A(n), priskirto aibei N arba iš aibės Nk=(x( x(N, x(k)), kur k yra fiksuotas natūralusis skaičius.
Sokrema, jei k=1, tai N1=N(0), o numeracija gali būti atliekama papildomoms lygybėms A1=A(1), A2=A(2), ..., An=A(n), .. Jei k(1, tai įvykių seką galima paimti iš papildomų lygybių A1=A(k), A2=A(k+1), ..., An=A(k+n-1), . .Vidpovidno prie tokių reikšmių, 1 teorema gali būti suformuluota kitokia forma.
2 teorema. Predikatas A(m) taip pat teisingas daugikliui Nk, todėl žinote:
1) A(k) yra tiesa;
2) kaip naudoti A(m) m
1.7.1 užduotis. Leiskite man pasakyti, kad tokia lygybė neapsprendžia natūraliųjų skaičių galerijoje:
a) x + y = 1;
b) 3x = 2;
c) x2 = 2;
d) 3x+2=4;
e) x2+y2=6;
f) 2x+1=2m.
1.7.2 užduotis. Pateikite pergalingą matematinės indukcijos principą:
a) (n3+(n+1)3+(n+2)3)(9;
b);
in);
G);
e);
e).

1.8. VIDCHITANNYA I DELENNYA NATŪRALIAI NUMERIAI.

Pavadinimas 1. Skirtumas tarp natūraliųjų skaičių a ir b yra toks natūralusis skaičius x, kad b+x=a. Natūraliųjų skaičių a ir b skirtumas žymimas per a-b, o skirtumo skirtumo operacija vadinama skirtumu. Vіdnimannya nėra algebros operacija. Tse vyplyvaє iz nastupnoї teorema.
Teorema 1. Mažmeninė prekyba a-b yra vienintelis skirtumas ir vienintelis, jei b(a. Jei yra skirtumas, tai tik vienas).
Atneša. Jei b(a, tai nuorodos žymėjimui (jei tai natūralusis skaičius x, tai b+x=a. Ale ce i reiškia, kad x=a-b. kad b + x = a. Alece reiškia, kad b (a) .
Atnešame vienybę mažmeninė prekyba a-b. Tegu a-b=x ir a-b=y. Tas pats pasakytina ir apie susitikimus 1 b+x=a, b+y=a. Zvіdsi b+x=b+y і, taip pat, x=y.
Paskirtis 2. Dviejų natūraliųjų skaičių a ir b(0) trupmena vadinama natūraliuoju skaičiumi c, kad a = bc.
2 teorema. Tai labiau privati nei viena.
Atneša. Nagi = x tai = y. Tas pats pasakytina apie 2 susitikimus a=bx ir a=by. Zvіdsi bx=by і, taip pat, x=y.
Verta pažymėti, kad ta proga atliktas operacijas galima skaičiuoti pažodžiui taip pat, kaip ir mokinių padėjėjų atveju. Tse reiškia, kad 1–7 dalyse, remiantis Peano aksiomomis, buvo padėtas teorinis natūraliųjų skaičių aritmetikos pagrindas, o tolimesni pokyčiai vėliau nustatomi vidurinės mokyklos matematikos kurse ir universiteto kurse „Algebra ir skaičius“. Teorija“.
1.8.1 užduotis. Pateisinkite tokius teiginius, pripažindami, kad visi jų formulėse nurodyti skirtumai yra aiškūs:
a) (a-b)+c=(a+c)-b;
b) (a-b) (c = a (c-b (c);
c) (a+b)-(c+b)=a-c;
d) a-(b+c)=(a-b)-c;
e) (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d);
e) (a-b)-(c-d)=a-c;
g) (a+b)-(b-c)=a+c;
h) (a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c);
i) a-(b-c)=(a+c)-b;
į) (a-b)-(c+d)=(a-c)-(b+d);
k) (a-b)(c+d)=(ac+ad)-(bc+bd);
l) (a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc);
m) (a-b)2=(a2+b2)-2ab;
o) a2-b2=(a-b)(a+b).
1.8.2 užduotis. Teisybę atnešti būsimiems sunkumams, pripažįstant, kad viskas yra privatu, kad jie nurodyti pateiktoje formulėje, aišku.
a); b); in); G); e); e); ir); h); i); iki); l); m); n); apie); P); R).
1.8.3 užduotis. Įrodyti, kad dviejų skirtingų natūralių sprendimų motinos negali būti tokios lygios: a) ax2+bx=c (a,b,c(N); b) x2=ax+b (a,b(N); c) 2x= ax2 + b(a,b(N).
1.8.4 užduotis. Atsieti natūraliuosius skaičius lygus:
a) x2+(x+1)2=(x+2)2; b) x + y = x (y; c); d) x2+2y2=12; e) x2-y2 = 3; e) x + y + z = x (y (z.
1.8.5 užduotis. Įrodyti, kad natūraliųjų skaičių sferoje tokio lygaus sprendinio nėra: a) x2-y2=14; b) x-y = xy; in); G); e) x2=2x+1; f) x2 = 2y2.
1.8.6 užduotis. Nelygumo natūraliųjų skaičių išnarpliojimas: a) ; b); in); d) x+y2 1.8.7 užduotis. Pasakyk man, kad natūraliųjų skaičių srityje svyravimų pradžia yra teisinga: a) 2ab(a2+b2; b) ab+bc+ac(a2+b2+c2; c) c2=a2+b2 (a2+b2) +c2 1.9.KILKISNIY DEATH natūralieji skaičiai.
Tiesą sakant, natūralieji skaičiai turėtų būti pateikiami kaip elementų rahunka galvos rangas, o kurį Peano teoriškai reikia įtraukti į natūraliųjų skaičių skaičiavimą.
Paskirtis 1. Anoniminis (x(x(N, 1(x(n))) vadinamas priešingai nei natūralioji eilutė) ir žymimas per (1; n ()).
Paskyrimas 2. Kіntsevoj daugiklis vadinamas, ar jis yra daugiklis, lygus bet kuriam natūralios serijos skaitikliui, taip pat tuščias daugiklis. Bezlichas, kaip ir ne є kіtsevim, vadinamas nenuodytas.
1 teorema į šlapią(Tobto podmnozhini, vіdmіny vіd A).
Atneša. Kaip A=(, teorema teisinga, tuščių tuščių dauginių skeveldrų nebūna. Tegu A((і A vienodai kietas (1,n((A((1,n()).))) Galime įrodyti teorema indukcija ant n. Yakscho n= 1, tada A((1,1(, tada naudojame daugiklio vieną daugiklį A yra tuščias daugiklis). Buvo aišku, kad A(i, taip pat, jei n=1 , teorema teisinga. Tarkime, kad teorema teisinga, kai n=m, tada visi terminalų daugikliai, vienodi stiprumai (1,m(, negalvokite apie vienodus stiprumus). atvirkščiai)) (1,m+1(in A . Jei ((k) žinomas ak, k=1,2,...,m+1, tai beasmenis A galima parašyti kaip A=(a1, a2, ...)) , am, am+ 1) Mūsų tikslas yra įrodyti, kad A neturi vienodai stiprių galios dauginių.
Pažiūrėkime į daugiklius A1 = A (am + 1) ir B1 = B (am + 1). Kadangi f(am+1)=am+1, tada funkcija f zdіysnyuvatime bioaktyviai rodo daugiklį A1, daugikliu B1. Šiame range beasmenis A1 bus lygus jo galingam B1 daliniui. Ale oskіlki A1((1,m(, nepakeičia indukcijos leidimo).
Išvada 1. Natūraliųjų skaičių nebuvimas neribojamas.
Atneša. Iš Peano aksiomų aišku, kad S:N®N\(0), S(x)=x(objektyviai) yra fermentuotas.
Išvada 2. Jei kintsevo daugiklis A nėra tuščias, jis yra lygus vienam ir tik vienam natūraliosios eilutės atitikmeniui.
Atneša. Tegu A((1,m(і A((1,n(. Todі)) (1,m(((1,n(, dėl 1 teoremos tai aišku), taigi m=n.)).
Paskutiniai 2 leidžia įvesti pavadinimą.
Pavadinimas 3. Kaip A((1,n(, tada natūralusis skaičius n vadinamas daugiklio A elementų skaičiumi), o daugiklių A ir (1,n) abipusio nedviprasmiško panašumo nustatymo procesas (vadinamas skaičiumi elementų daugiklio A. Natūraliųjų elementų skaičius kartotinis tuščias įveskite) skaičių nulį.
Kalbėkite Zayve apie rahunkos reikšmės praktiniam gyvenimui didybę.
Pagarbiai, žinant natūraliojo skaičiaus skaičiavimą, daugybos operaciją būtų galima apskaičiuoti per patį sudėjimą:
.
Kol kas nesiuntėme šiuo keliu, kad parodytume, kad skaičiavimo prasme pati aritmetika nereikalinga: natūraliojo skaičiaus skaičiavimo reikšmė reikalinga tik aritmetikos papildymams.

1.10. NATŪRALIŲ SKAIČIŲ SISTEMA KAIP DISKRETUS REVERSAS YRA TAIKYTI BAGATO.

Mes parodėme, kad beasmeniai natūralieji skaičiai yra suderinami su natūraliąja tvarka ir visa tvarka. Jei taip, ((a(N) a
1. bet kuriam skaičiui a(N іsnuє sudіdnє po jo 2. bet kuriam skaičiui a(N \ (0) іsnuє suіdnє joma priešais jus) Visa beasmenio (A;()) tvarka su 1 ir 2 galiomis vadinamas atmintinės diskrečiuoju ciklu Atrodo, kad tvarka su laipsniais 1 ir 2 yra būdinga natūraliųjų skaičių sistemos galia.elementas i taip pat laimi aksioma 1 Peano).
Taigi, tai tarsi tiesinė tvarka, tada bet kuriam elementui a yra vienas elementas, o po jo - ne daugiau kaip vienas pirminis sudidny elementas. Pagalvokite:
1) a0(M, kur a0 yra mažiausias A elementas;
2) a(M (a((M.))
Tarkime, kad M = N. Priimtinas nepriimamas, tada A\M((. Svarbu, kad per b, mažiausias elementas A\M.
Taip pat pateikėme galimybę kitą natūraliųjų skaičių sistemos pavadinimą.
Paskyrimas. Natūraliųjų skaičių sistema vadinama tuo, ar daugybinė tvarka yra išdėstyta kaip visuma, pagal kurią skaičiuojami protai:
1. bet kuriam elementui už jo yra kitas einantis elementas;
2. bet kuriam elementui mažiausiai matomas elementas – pagrindinis teisminis elementas.
Іsnuyut іnshі pіdhodi paskirties natūraliųjų skaičių sistema, dėl kurios mes čia ne zupinaєmosya.

2. TSILI IR RACIONALINIAI SKAIČIAI.

2.1. SKAIČIŲ SISTEMOS REIKŠMĖ IR GALIA.
Atrodo, kad intuityvaus proto galvoje nėra sveikųjų skaičių, o žiedas sugeba tą daugiklį išlankstyti, be to, žiedas yra keršyti už natūraliuosius skaičius. Buvo suprasta, kad kilts tsіlih skaičiais nėra keikiamasi, tarsi tai atkeršytų už visus natūraliuosius skaičius. Atrodo, kad galios qi gali būti pagrindas griežtai apibrėžti skaičių sistemą. 2.2 ir 2.3 punktuose bus nurodytas tokio pavadinimo teisingumas.
Paskyrimas 1. Skaičių sistema vadinama algebrine sistema, kuriai protas yra:
1. Algebrinė sistema є kiltse;
2. Reikėtų atsižvelgti į natūraliųjų skaičių anonimiškumą, be to, to daugybos sudėjimas kiltsі ant dalinio paimamas iš to natūraliųjų skaičių daugiklio pridėjimo, tobto
3. (umova minimalumas). Z yra minimumas, norint įtraukti daugiklį su laipsniais 1 ir 2. Kitaip tariant, norint atkeršyti už natūraliuosius skaičius, tada Z0=Z.
1 paskyrimui gali būti suteiktas aksiominis pobūdis. Pirmosios šios aksiomatinės teorijos sąvokos bus šios:
1) Anoniminis Z, kurio elementai vadinami sveikaisiais skaičiais.
2) Specialus sveikasis skaičius, kaip jis vadinamas nuliu ir nurodomas per 0.
3) Trečias vіdnosini + ta (.
Per N, kaip įprasta, beasmeniai natūralieji skaičiai žymimi lankstymu (ir daugyba (. Tiesą sakant, iki žymėjimo 1 sveikųjų skaičių sistema vadinama tokia algebros sistema (Z; +, (, N). ), kurioms nugalėjo šios aksiomos):
1. (Kiltsos aksiomos.)
1.1.
Ši aksioma reiškia, kad + є yra dvejetainis algebros veiksmas aibėje Z.
1.2. ((a,b,c(Z) (a+b)+c=a+(b+c)).
1.3. ((a, b (Z) a + b = b + a).
1.4. ((a(Z) a+0=a, todėl skaičių 0 galima pridėti kaip neutralų elementą).
1.5. ((a(Z)((a((Z) a+a(=0), taigi odos sveikajam skaičiui yra priešingas skaičius a()).)).
1.6. ((a,b(Z))((! d(Z) a(b=d)).
Ši aksioma reiškia, kad dauginimas yra dvejetainis algebros veiksmas daugikliu Z.
1.7. ((a, b, c(Z)) (a(b)(c = a((b(c))).
1.8. ((a, b, c (Z) (a + b) (c = a (c + b (c, c ((a + b))) = c (a + c (b))
2. (Z ir natūraliųjų skaičių sistemos ryšio aksiomos.)
2.1. N(Z.
2.2. ((a, b (N) a + b = a (b).
2.3. ((a, b(N)) a(b = a(b).
3. (Minimalumo aksioma.)
Jei Z0 yra žiedo Z galas ir N(Z0, tai Z0=Z.
Reikšmingi skaičių sistemos galios aktai.
1. Odos skaičių galima pavaizduoti žiūrint į dviejų natūraliųjų skaičių skirtumą. Išvaizda dviprasmiška, be to, z=a-b ir z=c-d, de a, b, c, d (N, abu ir tik jei a+d=b+c).
Atneša. Svarbu tai, kad per Z0 visų sveikųjų skaičių nebuvimas, bet kurio iš jų oda atrodo kaip du natūralūs skaičiai. Akivaizdu, kad ((a(N) a=a-0, i, dar žinomas kaip, N(Z0).
Eikime x,y(Z0, tada x=a-b, y=c-d, de a,b,c,d(N. Tada x-y=(a-b)-(c-d)=(a+d)--(b + c )=(a(d)-(b(c)), x(y=(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)=(a(c(b(d)))- ( a(d(b(c). Matyti, kad x-y, x(y(Z0 i, nuo šiol Z0 yra žiedo Z poaibis, atkeršyti už beasmenį N.)).
2. Sveikųjų skaičių žiedas yra komutacinis žiedas su vienetu, o žiedo nulis yra natūralusis skaičius 0, o žiedo vienetas yra natūralusis skaičius 1.
Atneša. Tegu x,y(Z. Galioja 1 laipsniui x=a-b, y=c-d, de a,b,c,d(N.) Tada x(y=(a-b)((c-d)=(ac+bd)- (ad) +bc)=(a(c(b(d))-(a(d(b(c)), y(x=(c-d))(a-b)=(ca+db)-(da+ cb) )=(c( a(d(b)-(d(a(c(b)))).). Todėl dėl natūraliųjų skaičių daugybos komutatyvumo tinka xy=yx. Daugybos komutatyvumas m. atneštas žiedas Z. 2 vyplyvayut iš įžeidžiančių akivaizdžių lygybių, kuriose per 0 ir 1 yra žinomi natūralūs skaičiai nulis ir vienas: x+0=(a-b)+0=(a+(-b))+0= (a+0)+(-b) =(a(0)+ (-b) = a-b = x x (1 = (a-b) (1 = a (1-b (1 = a (1-b (1 =)) a-b = x)))

2.2. ІSNUVANNYA SISTEMOS CYLIKH NUMERIS.

Skaičių sistema priskiriama 2.1, kaip mažiausias žiedo įtraukimas, kuris atkeršija už natūraliuosius skaičius. Vikaє pitanya - kas yra tas pats kiltse? Kitaip tariant, aksiomų sistema s 2.1 yra labai supaprastinta. Norint pareikšti aksiomų sistemos neviršutiniškumą, būtina sukelti aiškinimą aiškiai neprižiūrimoje teorijoje. Į tokią teoriją atsižvelgiama natūraliųjų skaičių aritmetika.
Vėlgi būtina paaiškinti aksiomų sistemos aiškinimą 2.1. Paliekame beasmeniui. Kuriems beasmenis reikšmingai yra dvi dvejetainės operacijos ir dvejetainis nustatymas. Jei to porų daugybos sudėjimas sumažinamas iki to natūraliųjų skaičių daugybos, tai natūraliųjų skaičių to porų daugybos sudėjimas yra komutacinis, asociatyvus, o daugyba paskirstymo požiūriu yra panaši į sudėjimą. Dar kartą apsvarstykime, pavyzdžiui, porų sudėjimo komutatyvumą: +===+.
Pažvelkime į vіdnoshennia ~ galią. Oskіlki a + b = b + a, tada ~, tada nustatykite ~ refleksiškai. Jei ~, tai a+b1=b+a1, tai a1+b=b1+a, tai ~. Otzhe, nustatant ~ simetriškai. Pirmyn ~ aš ~. Taip pat galioja lygybės a+b1=b+a1 ir a1+b2=b1+a2. Sudėjus lygybių skaičius, atimame a + b2 = b + a2, tada ~. Otzhe, nustatymas ~ taip pat tranzityviai і, otzhe, є ekvivalentas. Lygiavertiškumo klasė, kuri keršija porai, bus nustatyta. Šiame range lygiavertiškumo klasė gali būti priskirta jūsų porai ir su ja
(1)
Visų lygiavertiškumo klasių anonimiškumas yra reikšmingas. Mūsų užduotis yra parodyti, kad daugiklis nurodytos lankstymo ir daugybos operacijos atveju bus aksiomų sistemos interpretacija iš 2.1. Operacijos su beveidiu yra reikšmingos lygybėmis:
(2)
(3)
Jei i yra, tada daugiklyje N galioja lygybė a+b(=b+a(, c+d(=a+c(,)), lygybė (a+c)+(b(+d() )=(b ) +d)+(a(+c(), kuris pagal (1) yra priimtinas, o tai. Tse reiškia, kad lygiavertiškumas (2) reiškia unikalią sudėjimo operaciją daugikliu, taigi kaip nemeluoti renkantis poras, o tai reiškia priedus) ir klasių daugybos unikalumą Tokiu būdu algebros dvejetainių operacijų daugybei priskiriamos lygybės (2) ir (3).
Oskіlki sudėjimo ir dauginimo klases galima sudaryti iki lankstymo ir dauginimo porų, šios operacijos yra komutacinės, asociatyvinės ir dauginimo klasės yra paskirstymo požiūriu lengvai sulankstomos. Iš lygybių nustatyta, kad klasė yra neutralus lankstymo būdo elementas, o odos klasė – proliferacinė viena klasė. Taigi, daugiklis yra apskritimas, todėl skaičiuojamos grupės 1 aksiomos iš 2,1.
Pažvelkime į kil'tsі podmnozhina. Jei a(b), tai per (1) , o jei a
Beasmenyje dvejetainis yra reikšmingas (sekantis (; pati, sekanti klasę, sekanti klasę, de x (є natūralusis skaičius, einantis po x. Klasė, einantis po natūraliai žymimas per). Klasė seka ją, klasė i vis dar tik vienas.
Pažiūrėkime į vaizdą. Akivaizdu, kad fermentacijos tikslas yra biaktyvus ir protas f(0)= , f(x()==(=f(x)(.)). ;, () Kitaip tariant, algebra (;, () yra Peano aksiomų sistemos interpretacija. Išvesta iš izomorfinių algebrų, todėl galite pagarbiai manyti, kad pats beasmenis N yra padaugintas. ) \u003d a + c, a (c \u003d ac, o tai reiškia, kad pridėjus tą prie natūraliųjų skaičių sudėjimo ir daugybos pridedama daugyba kiltsi ant podaugio N. Taigi įrengiamas 2 grupės aksiomų pridėjimas.
Nagi Z0 – būk kaip kiltse pіdkіltse, scho atkeršyti už beasmenį N i. Su pagarba, scho th, otzhe,. Ale oskіlki Z0 - kilce, tada skirtumas tarp šių klasių taip pat gali slypėti su kiltsu Z0. З lygybės -= (= tinka, sho (Z0 і, aka, Z0=. Pateikiamas 2.1 punkto aksiomų sistemos ne superiškumas).

2.3. SKAIČIŲ SISTEMOS VIENYBĖ.

Savo intuityviam protui turiu tik vieną skaičių sistemą. Tse reiškia, kad aksiomų sistema, nurodanti skaičių skaičius, gali būti kategoriška, todėl aksiomų sistemos aiškinimas gali būti izomorfinis. Kategoriškas ir reiškia, kad iki izomorfizmo yra tik viena skaičių sistema. Perekonayemosya, scho tse tiesa taip.
Tegu (Z1;+,(,N) ir (Z2;(,(,N))) yra dvi 2.1 punkto aksiomų sistemos interpretacijos.) užpildytos nepaklusniais ir kreminiais bet kurių elementų x ir y iš žiedo Z1. sąžiningumas
(1)
. (2)
Pagarbiai, skeveldros N(Z1 ir N(Z2, tada
, a(b=a(b. (3))
Tegu x(Z1 і x=a-b, de a,b(N. Elementą x=a-b nustatykite į elementą u=a(b, de) , žvaigždutės z (3) a(d=b(c і, otzhe, a(b=c(d)) tse reiškia, kad mūsų gebėjimas nukristi kaip elemento x atstovas kaip skirtumas tarp dviejų natūraliųjų skaičių ir cim parodytas f: Z1® Z2, f(a-b)=a(b). Suprasdami, kad v(Z2 і v=c(d), tada v=f(c-d).) išraiška f yra surjektyvi.
Jei x = a-b, y = c-d, de a, b, c, d (N і f (x) = f (y), tada a (b = c (d). Alethodі a (d = b (d, c) ) jėga (3) a+d=b+c, taigi a-b=c-d Išsiaiškinome, kad x=y lygybė akivaizdi iš lygybės f(x)=f(y), tada išraiška f yra neaktyvus.
Jei a(N, tai a=a-0 і f(a)=f(a-0)=a(0=a.) Taigi, natūralūs skaičiai yra nesmurtūs, kai f yra perdėtas. Toli, kaip x=a-b , y=c-d , de a, b, c, d (N, tada x + y = (a + c) - i f (x + y) = (a + c) ((b + d) = (a (c) ) (( b (d)=(a(b)((c(d)=f(x)+f(y)). Įrodytas lygybės (1) teisingumas. Grįžtamoji lygybė (2). Skalės f( xy)=(ac+ bd) )((ad+bc)=(a(c(b(d)))((a(d(b(c))), o kitoje pusėje f(x)(f( y))=(a(b)((c(d)=(a(c(b(d)))((a(d(b(c))). Taigi, f(xy)=f(x) (f(y)) , kuris užbaigia aksiomų n sistemos kategoriškumo įrodymą.) 2.1.

2.4. RACIONALIŲJŲ SKAIČIŲ SISTEMOS VERTĖ IR GALIA.

Anoniminiai Q racionalūs skaičiai duotame intuityviajame rozumіnnі lauke, kai kuriems beasmeniams Z sveikiesiems skaičiams є pіdkіltsem. Jei taip, akivaizdu, kad Q0 yra lauko Q polaukis, atkeršyti už skaičius, tada Q0 = Q.
Paskyrimas 1. Racionaliųjų skaičių sistema yra tokia algebros sistema (Q; +, (; Z), kuriai naudojamas protas:
1. algebrinė sistema (Q; +, () є laukas;
2. žiedas Z sveikieji skaičiai є pіdkіltsem laukas Q;
3. (mažiausiai), jei lauko Q polaukis Q0 keršija už polaukį Z, tai Q0=Q.
Trumpai tariant, racionaliųjų skaičių sistema yra minimumas, kad įtrauktas laukas atkeršytų už skaičių skaičių. Galite pateikti daugiau ataskaitų apie aksiomatinį racionaliųjų skaičių sistemos apibrėžimą.
Teorema. Odos racionalusis skaičius x gali būti pavaizduotas kaip privatūs du sveikieji skaičiai, taigi
, de a, b (Z, b (0. (1))
Išvaizda dviprasmiška, be to, de a, b, c, d (Z, b (0, d (0)).
Atneša. Labai svarbu, kad Q0 yra beasmeniai racionalūs skaičiai, kaip matyti iš (1). Norėdami baigti derinimą, tai Q0 = Q. Nagi, de a, b, c, d (Z, b (0, d (0). Tada lauko galiai: , ir c) (0) Vidutinis Q0 uždarytas ne nuliui skaičiui, i, tada, є lauko Q polaukis. Taigi, jei skaičius a yra reprezentuojamas akyse, tada Z (Q0. Dėl to, kad jis yra minimalus ir akivaizdus , Q0 = Q. Kitos akivaizdžios teoremos dalies įrodymas.

2.5. RACIONALIŲJŲ SKAIČIŲ SISTEMOS PAGRINDAS.

Racionaliųjų skaičių sistema yra nurodyta kaip minimalus laukas, skirtas atkeršyti už skaičių skaičių. Zvichayno vinikaє pitanya - chi іsnuє toks laukas, kad chi є є nesuperechlivuyu aksiomų sistema, scho vyznaє racionalūs skaičiai. Norint patvirtinti ne-superiškumą, būtina sukelti aksiomų sistemos interpretaciją. Kuriuo galima spirale susukti sveikųjų skaičių sistemos pagrindą. Skirkime šiek tiek laiko ir interpretuokime Z(Z\(0) kaip nekintantį skaičių. Dvi algebros dvejetainės operacijos yra reikšmingos daugikliui
, (1)
(2)
kad dvejetainis
(3)
Dotsіlnіst sama toks operacijų žymėjimas ir vіdnosinі ~ vyplyaє z, kad іy іyіnpretatsії, kaip aš ketinu būti, pora žodžių yra labiau privatūs.
Nesunku permąstyti, kad operacijos (1) ir (2) yra komutacinės, asociatyvios ir dauginasi paskirstant. Visos galios galios yra gerbiamos remiantis aukštesnėmis galiomis sudėti tą skaičių dauginimą. Pereverimo, pavyzdžiui, kelių porų asociatyvumas: .
Panašiai persvarstoma, kad skirtumas yra ~ є ekvivalentas, todėl beasmenis Z(Z \ (0)) yra padalintas į lygiavertiškumo klases. Porose i pagal protą (3) imame:
. (4)
Mūsų užduotis yra paskirti to daugiklio sulankstymo į daugiklį operaciją, kad tai būtų laukas. Operacijų skaičius reikšmingas lygybėmis:
, (5)
(6)
Taigi, tada ab1=ba1 ir cd1=dc1, tada padauginus lygybės reikšmes, gauname (ac)(b1d1)=(bd)(a1c1), o tse reiškia, kad Tse pakeis mus iš tos, kuri yra lygus (6) ) efektyviai reiškia nedviprasmišką operaciją beasmenėje klasėje, pavyzdžiui, renkantis odos klasės atstovus. Panašiai peržiūrimas operacijos unikalumas (5).
Kadangi klasių pridėjimas ir dauginimas gali būti sumažintas iki lankstymo ir dauginimo porų, operacijos (5) ir (6) yra komutacinės, asociatyvinės ir paskirstomos ir gali būti pridedamos.
Iš lygybių nustatyta, kad papildant klasė yra neutralus elementas, o odos klasei naudojamas protella yoma elementas. Taip pat akivaizdu, kad klasė yra neutralus daugumos elementas, o odos klasė yra korekcinė klasė. Be to, є operacijų sritis (5) ir (6); pirmas Umovas paskirtame taške 2,4 laimi.
Pažvelkime į beasmenį atstumą. Akivaizdu,. Beasmeniškumas uždaromas matant tą daugiskaitą, o vėliau ir lauko pidkilą. Teisingai,. Pažvelkime į viziją, . Šios apraiškos surjektyvumas yra akivaizdus. Jei f(x)=f(y), tai x(1=y(1 arba x=y. Reiškia f ir injektyviai. Be to, izomorfinė kiltsya, galima suprasti, kad Z kіlce yra lauko subkіlcem, todėl protas plakamas 2 pagal paskirtą 2.4 punktą. laukai i, Nagi. Bo, ak, tada. Ale oskіlki - laukas, tada privatūs tsikh elementai tezh guli ant lauko. Pats Timas tai iškėlė, kas tai tada, tobto. Sukurtas racionaliųjų skaičių sistemos pagrindas.

2.6. RACIONALIŲJŲ SKAIČIŲ SISTEMOS VIENYBĖ.

Jei yra tik viena racionaliųjų skaičių sistema šiuolaikine intuityvia prasme, tai aksiomatinė racionaliųjų skaičių teorija, kaip čia matyti, gali būti kategoriška. Kategoriškas ir reiškia, kad iki izomorfizmo yra tik viena racionaliųjų skaičių sistema. Parodykime, kad tai tiesa.
Tegu (Q1;+, (; Z) ir (Q2; (, (; Z))) – kaip dvi racionaliųjų skaičių sistemos.
(1)
(2)
bet kokiems elementams x ir y iš lauko Q1.
Privatūs elementai a ir b laukelyje Q1 bus žymimi, o lauke Q2 - a:b. Kadangi Z є pіdkіltse kozhny s polіv Q1 і Q2, tai bet kokiam skaičių skaičiui a і b ekvivalentas
, . (3)
Nagi ir de,. Duotajam elementui x priskiriame elementą y=a:b iš lauko Q2. Jei lygybė teisinga lauke Q1, tada 2.4 punkto teorema žiede Z laimi lygybę ab1=ba1, kitu atveju dėl (3) lygybės ir panašiai tai pačiai teoremai lygybė a: b=a1:b1 galioja lauke Q2. Tse reiškia, kad lauko Q1 elementui priskirdami elementą y=a:b iš lauko Q2, jį parodysime, .
Bet kuris elementas iš lauko Q2 gali būti pavaizduotas kaip a:b, de, otzhe, є elemento rangas iš lauko Q1. Otzhe, vodobrazhennya f є sur'єktivnym.
Taip, tada lauke Q1 ir tas pats. Tokiu būdu fermentacija f є bієktivnym ir visi tsіlі skaičiai tampa nepaklusnūs. Būtina užtikrinti lygybę (1) ir (2). Tarkime a,b,c,d(Z, b(0, d(0). Tada i, ženklai dėl (3) f(x+y)=f(x)(f(y). Panašiai ir žvaigždės.
(Q1; +, (; Z) ir (Q2; (, (; Z))) interpretacijų izomorfizmas.

VІDPOVIDI, VKAZIVKI, RIŠENJA.

1.1.1. Sprendimas. Nehai Umovo 4 aksiomija yra teisinga (tokia natūraliųjų skaičių galia, kad ((0) i. Darykime. Taigi M tenkina 4 aksiomos laipsnius, skeveldras ((0)) (0(M i. Otzhe), M=N, taigi būk natūralus) ).skaičius galingas (. Atgal. Priimtinas, ar yra galia, ar ne (iš to ((0) i, kitas. Tegul M yra N daugiklis, kad 0(M i). ) Bus parodyta, kad M = N. Įveskime galią (, pagarbiai. Todi ((0), oskіlki, i.) Otzhe, M=N.
1.1.2. Verdiktas: tikras 1-osios ir 4-osios Peano aksiomų tvirtinimas. 2-osios Hibnės aksiomos patvirtinimas.
1.1.3. Verdiktas: teisingas 2,3,4 Peano aksiomos tvirtinimas. 1-osios Hibnės aksiomų patvirtinimas.
1.1.4. Tikri teiginiai 1, 2, 3 Peano aksiomos. 4-osios Hibnės aksiomų teiginys. Vkazіvka: atnešti, scho patenkintas 4 aksiomos galimybėmis, suformuluotas operacijos požiūriu, ale.
1.1.5. Vkazіvka: norėdami įrodyti 4 aksiomos teisingumą, pažvelkite į daugiklį M z A, nes jis tenkina protus: a) 1 ((M, b), ir beasmenis.
1.1.6. Tikras Peano 1,2,3 aksiomų teiginys. Peano Hibne 4-osios aksiomos teiginys.
1.6.1. a) Sprendimas: praneškite man, jei 1 val. Atgal. Nagi am
1.6.2. a) Sprendimas: priimtinas. Per M mes esame reikšmingai beasmeniai visiems skaičiams, kad nebūtume galingi (. Darant prielaidą, M((. Remiantis 1 teorema, M turi mažiausią elementą n(0). Ar skaičius x).
1.8.1. f) Pažymėkite p. e) ir p. c): (a-c)+(c-b)=(a+c)-(c+b)=a-b, taip pat (a-b)-(c-b)=a-c.
h) Laimėjimo galia.
l) Pažymėkite p. b).
l) Pažymėkite p. b) ir p. h).
1.8.2. c) Maєmo, otzhe,. Tėvas,.
d) Maemo. Tėvas,.
ir).
1.8.3. a) Kaip (i (skirtingas sprendimas lygus ax2+bx=c), tada a(2+b(=a(2+b(.))) . Tiksliai ((. Tačiau (2=a(+b>a(, taip pat, (>a.))).
c) Nehai (i (- skirtingos vienodo i šaknys (>(. Todі 2((-()=(a(2+b))-(a(2+b))=a((-())( ( (+( ) Vėliau a((+()=2), bet (+(>2), vėliau) a((+()>2), o tai neįmanoma).
1.8.4. a) x = 3; b) x = y = 2 c) x=y(y+2), y yra natūralusis skaičius; d) x = y = 2; e) x = 2, y = 1; f) Tiksliai iki permutacijų x=1, y=2, z=3. Sprendimas: Pavyzdžiui, tarkime x(y(z. Tada xyz=x+y+z(3z, taigi xy(3.) Taigi xy=1, tada x=y=1 і z=2+z, taigi)) Neįmanoma : jei xy = 2, tai x = 1, y = 2. Tokiu atveju 2z = 3 + z, tada z = 3. Jei xy = 3, tai x = 1, y = 3. Tada 3z = 4+z , taigi z=2, kad būtų uždėta nuolaida y(z.
1.8.5. b) Jei x=a, y=b yra padalijimas, tai ab+b=a, tada. a>ab, o tai neįmanoma. d) Jei x=a, y=b yra padalijimas, tai b
1.8.6. a) x=ky, de k,y - pakankamai natūraliųjų skaičių ir y(1. b) x - pakankamai natūraliųjų skaičių, y=1. c) x yra gana natūralus skaičius y=1. d) Nėra sprendimo. e) x1 = 1; x2=2; x3=3. f) x>5.
1.8.7. a) Jei a = b, tai 2ab = a2 + b2. Nagi, pavyzdžiui, a

LITERATŪRA

1. Redkovas M.I. Skaitmeninės sistemos. /Metodinės rekomendacijos kursui „Skaičių sistemos“. 1 dalis. - Omskas: OmDPІ, 1984. - 46s.
2. Ershova T.I. Skaitmeninės sistemos. / Metodinis tobulinimas praktiniam naudojimui. - Sverdlovskas: SDPI, 1981. - 68s.