Daugiavardžių skaičius iš koeficientų skaičiaus. Kіntsev laukai, pagrįsta kiltsy turtingai segmentuoti. Turtingi segmentai viename zminnoy virš lauko

Turtingų terminų žiedas virš lauko (remiantis turtingais terminais virš žiedo) gali turėti keletą specifinių galių, artimų sveikųjų skaičių žiedo Z laipsniams. Podіlnіst richom. Dobre vidomy daugianariams virš lauko R panašiai kaip "kutom" tik aritmetinis dії per koeficientus, todėl jis labai gausiai vadinamas bet kuriame lauke k. Vin suteikia galimybę dviem nenuliniams turtingiems terminams p,sk [x] sukelti tokius turtingus terminus q (ne labiau privatus) ir r (perteklius), kad p = q * s + r, be to, arba r = 0 , arba laipsnis (r)< deg(s). Если r =0 , то говорят, что s делит p (или является делителем p) и обозначают это так: s | p. Будем называть многочлен унитарным (или приведенным), если его старший коэффициент равен 1. Определение. Общим наибольшим делителем ненулевых многочленов p и s называется такой унитарный многочлен ОНД(p, s), что 1. ОНД(p, s) | p; ОНД(p, s) | s. 2. q | p, q | s q | ОНД(p, s). По определению, для ненулевого многочлена р со старшим коэффициентом а ОНД (р, 0) = ОНД (0, р) = р/а; ОНД (0, 0)=0. Аналогично определяется ОНД любого числа многочленов. Единственность ОНД двух многочленов непосредственно вытекает из определения. Существование его следует из следующего утверждения. Основная теорема теории делимости (для многочленов). Для любых двух ненулевых многочленов p и q над полем k можно найти такие многочлены u и v над тем же полем, что ОНД(p, q)= u*p+v*q. Доказательство этой теоремы очень похоже на приведенное в лекции доказательство аналогичной теоремы над Z. Все же наметим основные его шаги. Выберем такие многочлены u и v чтобы сумма w= u*p+v*q имела возможно меньшую степень(но была ненулевой!). Можно при этом считать w унитарным многочленом. Проверим, что w | p. Выполняя деление с остатком, получаем: p= s*w+r. Подставляя это равенство в исходное, находим: r = p - s*w =p - s*(u*p+v*q) = (1-s*u)*p+(-s*v)q = U*p + V*q . Если при этом r 0, то deg(r) Замечание. Используя индукцию, можно доказать, что для любого числа многочленов ОНД для подходящих многочленов. Более того, эта формула сохраняется даже для бесконечного множества многочленов, поскольку их ОНД в действительности является ОНД некоторого их конечного подмножества.

Pasekmė. Be-yaky іideal іѕ kiltї gausiai artikuliuotas per lauką є osnovnym. Tiesa, sakykime p - OND visų daugianarių, įtrauktų į idealą I. Todi, de Idealo tikslais žvaigždės vibruoja, kurios, taip pat, I = (p). Daugyba. Atneškite lauką į deyką, p, q, s yra gausiai artikuliuoti virš k. Jei p=q*s, be to, daugianariai q ir s gali būti mažesni, mažesni p, tai daugianomas p vadinamas varomuoju polinomu (virš k lauko). Kitu atveju p yra neredukuojamas. Neredukuojamas turtingas narys žiede k[x] yra pirminio skaičiaus žiede Z analogas. Suprantama, kad nulinį daugianarį p= galima išplėsti televizoriuje: p= *, kur visi daugianariai nesumažinami virš k ir gali turėti didesnį koeficientą, lygų 1. Jis gali būti padidintas iki tos pačios tikslios daugiklių eilės. Zrozumilo, tarp kartotinių gali būti tas pats; tokie daugikliai vadinami kartotiniais. Sujungę kelis veiksnius, galite parašyti tą patį išdėstymą taip: p = 0. Taikyti. vienas.. Verta gerbti, kad turtingi pirmojo žingsnio terminai nėra sumažinami aukščiau jokios srities. Daugiklis x є daugkartinis, інші - paprastas. 2. Turtingas terminas neturėtų būti dedamas virš racionaliųjų skaičių lauko Q. Tiesa, jei ()=(x-a)*q, tai pagrindžiant x=a lygybę, reikia:​, o tai neįmanoma jokiam racionalus skaičius a. Tas pats polinomas per kalbos skaičių R lauką indukuojamas: , be to, kitas daugiklis turi neigiamą diskriminantą ir toli gražu nėra skaidomas per R . Zreshtoyu, virš lauko C kompleksiniai skaičiai maєmo: , de = - kubinė šaknis iš 1. Tokiu atveju galima suprasti šaltinio redukuojamumą, kad virš tokio lauko būtų galima pamatyti daugianarį. Turtingų narių galia, kad nebūtų paskatinta. 1. Kadangi tai yra p-neredukcinis turtingas terminas i d = OND (p, q) 1, tai p | q. Tiesa, p = d*s і so deg(s)>0, norint superskaičiuoti p neredukuojamumą, і tai deg(s)=0, tada d | QP | q. 2. Kaip p | i p nėra indukuojamas, bet p | chi p | . Tiesa, kitu atveju gcd(p,) = gcd(p,) =1 ir todėl pagrindinės klaidingumo teorijos teoremos, žvaigždės: taip pat, tada gcd(p,)=1 i, taip pat, deg(p)=0 .

3. Daugiavardžių ratas virš visumos srities.

Be to, mes svarstysime tik turtingus terminus su koeficientais dydžio K matmenyje (apskritimas be nulinio išplėtimo vadinamas kiekio sritimi), tai yra. iš kiltsya K, kurio dviejų elementų pridėjimas gali pasiekti nulį, pavyzdžiui, vienas iš daugiklių gali pasiekti nulį. Tse zavzhdi keiks uvazi, navit yakscho specialiai nebus aptariamas.

Pridedant gausiai apibrėžtą etapą n, ta pakopa m yra vyresnysis narys, kaip ir formulėje (2), svarbesnis (koeficientas ties ). Kadangi kiltsі nėra nulių, tada, otzhe, . Iš mūsų mirkuvannya taip verkia

Tsya formulė є išaiškinta nerіvnostі (5) už vipadku, jei kiltsі K neturi nulių. Formulė (6) taip pat galioja ir net jei vienas iš turtingųjų terminų f(x), g(x) arba dar yra lygus nuliui. Todėl dviejų nenulinių turtingų terminų pridėjimas yra ne nulis turtingas terminas, tam galioja tokia teorema:

1 teorema

Pateikėme algebrinį daugianario apibrėžimą, kad neatkeršytume tų pačių mįslių apie funkcijas. Prote, kai odos polinomas yra K reikšmės srityje, natūralią tvarką galima susieti su funkcija, kuri priskirta K ir įgauna reikšmę K.

Nagi – turtingas K koeficientų narys. Kad ir kaip būtų, tai įmanoma

de virase dešinėje dalyje suprantama kaip K. Oberzhuvannya pabaigos operacijų rezultatas, kurio elementas vadinamas daugianario f (x) reikšme taške x0. (Žodis "speck" vartojamas kaip analogija su lašu, jei x0 gali būti pavaizduotas kaip taškas dinaminėje ašyje.) Tokiu būdu K žiedo odos elementui x0 priskiriamas elementas f (x0) tą patį žiedą, ir jie patys priskiria funkciją K su K reikšmėmis.

Bus parodyta, kad tos turtingų terminų daugybės pridėjimą atlieka svarbiausios operacijos, kurios atliekamos su funkcijomis, jei jos pridedamos arba, aišku, funkcijų reikšmės dauginamos odos taške. .

Pažvelkime į du daugianarius: , . Tegu h(x) = f(x) + g(x) – їх suma. Tarkime, kad h(x0)= =f(x0) + g(x0) odai. Atitinka formulę (1) = , de , Ką ir reikia atnešti.

Nagi - papildomi turtingi terminai f(x) ir g(x). Tarkime, kad odai. Padauginame lygiavertiškumą , . Koristuyuchis operacijų galia kiltsі K (zokrema, komutatyvumas ir asociatyvus daugiskaita), imame: , de . Paimto rezultato išlyginimas formule (2) leidžia augti ūsams, kurie .

Šia tvarka funkcija, kurią sudaro dviejų turtingų narių suma (tiksliai papildoma), yra funkcijų, kurioms atstovauja šie turtingi nariai, suma (tiksliai papildoma).

Atrodo, kad daugianario ir jų funkcijų panašumas nėra vienareikšmis. Prote, kadangi žiedas K yra neišsenkantis, tai skirtingi daugianariai nuo žiedo K[x] visada turi turėti skirtingas funkcijas.

Apie likučius (XTO). Teorema. Nagi - poromis tarpusavyje pirmauja skaičiai = , ..., paimkite tą patį 1, = , . Todi sistemos sprendimas atrodys: . Tsya teorema є stačiakampių bazių metodo pagrindas valandai Aš perkelsiu iš nereikalingų klasių sistemos į pozicinių skaičių sistemą. Tegul perteklinių klasių sistemos pagrindai; = = – Nustatykite sistemos diapazoną. Sistemos pasirinkimą lemia ...

4. Dvejetainis bliuzas. Matematika kaip mokslas kuria tarpusavyje paprastų ir suardomų objektų (kalbos, reiškinių, procesų) pasaulį. Abstrahuojantis nuo realybės, matematika žiūri į unarinę, dvejetainę ir kitą mėlyną spalvą. Mityboje būtina pažvelgti į dvejetainius bliuzus, jų autoritetas ypač gerbia lygiavertį ekvivalentiškumą, nustatytą ant vieno daugiklio. Pažiūrėkime...

X*y. Lauku vadinamas toks asociatyvinis komutacinis žiedas su vienybe k, kuriam gali būti koks nors nulinis elementas gyvūnas: . Esant tokiam rangui, skiriant lauką, paros dienų skaičius yra lygus nuliui. Žiedas vadinamas begalybe su dviem algebros R operacijomis (+, *), kurios yra: 0. Tie R žiedo elementai vadinami atvirkštiniais, nes gali apsisukti kaip daugybos operacija, infinityvas R duotoje vietoje. atvejis...

Quietas, kuris, dirbęs elektrotechnikos galerijoje, pradėjo galvoti apie galimybę sukurti duomenų išsaugojimo technologiją, kuri užtikrintų ekonomiškesnius erdvės langus. Vienas iš jų buvo įkūrėjas Claude'as Elwoodas Shannonas šiuolaikinė teorija informacija. Nuo to laiko buvo praktiškiau sužinoti apie Huffmano ir Shannon-Fano reljefo algoritmus. Ir 1977 m. matematikai Jokūbas Zivas ir Abraomas Lempelis...

Kіntsі laukus galima iškviesti iš gausiai padalintų skaičių krūvos taip pat, tarsi laukai būtų iškviesti iš sveikųjų skaičių krūvos. Leiskite man turėti turtingai artikuliuotą žiedą F[x] virš lauko F. Lygiai taip pat jie buvo paraginti žiedą Z, vodnozino žiedą, galite paskatinti ir vodnozino žiedą F[x]. Vibelyuchi s F [x] gana turtingas narys p(x), galite pavadinti vіdnosino, vikoristo žiedą p(x) kaip viso apskritimo aritmetikos uždavinio modulis. Esame apsėsti mažiau nei įtaigių turtingų narių žvilgsnio, obmezhennya skeveldros žino netinkamą proto nereikšmingumą.

Paskyrimas 2.4.1. Gana paskatintam turtingam nariui p(x) ne nulinis žingsnis per lauką F vadinamas visų daugianarių beasmeniškumu F, kurių žingsniai parenkami iš daugianario žingsnio p(x), s turtingų terminų lankstymo ir dauginimo viename modulyje operacijos p(x). Tse žiedas priimtas reikšti per F(x)/(p(x)).

Papildomas elementas r(x) kiltsya F[x] galite vizualizuoti žiedo elementą PF[x]/(p(x)) pagalbos r(x)-R P(X). Du elementai a(x)і b(x) h F[x], yra suskirstyti į vieną ir tą patį elementą F[x]/(p(x)), vadinami lygiaverčiai:

a(x) = b(x)(mod p(x)).

Todi b(x)= Oi)+Q (x) p (x) deyaky turtingam nariui Q(x).

2.4.2 teorema.Anoniminis F1х]/(р(х)) є kiltsem.

Atneša Tikiuosi, kad skaitytojas teisus.

Vibero į kiltsі turtingai artikuliuotas GF(2), pavyzdžiui, turtingas terminas p(x)= x 3+1. Tas pats turtingų terminų žiedas kiekviename modulyje p(x) vienas GF(2) [x] / (x 3 + vienas). Jis sudarytas iš elementų

{0, 1, x, x + 1, x 2, x 2 + 1, x 2 + x, x 2 + x + 1).Šiame žiede daugiskaita yra pergalinga, pavyzdžiui, tokia tvarka:

(x 2 +1) (x 2) = R x 3 + 1 ((x 2 +1) (x 2)) = R x 3 + 1 ((x 3 +1) x + x 2 + x) \u003d x 2 + x,

de vikoristano redukcija pagal taisyklę x 4 = x (x 3+ 1) + X.

2.4.3 teorema.Polinomų žiedas moduliuoja indukuotą turtingą terminą p(x) yra tas pats laukas ir tik tuo atveju, jei turtingas terminas p(x) yra paprastas Tarkime, kad paprastas turtingas terminas yra neindukuojamas ir indukuojamas. Norint paskatinti lauką įrodyti p(x) neredukuojamumą, pavyko rečiau žiūrėti į daugianarius, o vėliau rezultatai būtų ne tokie rimti) .

Atneša. Duok man turtingą penį p(x) paprastas. Norint parodyti, kas yra žiedas, į ką žiūrima, sudarantis lauką, pakanka parodyti, kad nulinio elemento oda gali būti dauginama grąža. Nagi s (X)-tam tikras nenulinis žiedo elementas. Todi deg s (X)< deg p(x). Oskіlki turtingas narys p(x) paprastas, tada gcd = 1. Po to 2.3.7

NID = 1 =a(x)p(x) + b(x) s(x)

tam tikriems turtingiems nariams Oi)і b(x). Otzhe,

1 = R p(x)[ 1] = R p(x)= R p(x){ R p(x)

Lengva bachiti, scho be jokių kitų turtingų narių su koeficientais in K Aš darau komutacinį žiedą, kuris yra žymimas k[x] ir rangas žiedas sodriai artikuliuotas virš k . Simbolis x pradėti vadinti „gyvatėle“, vinilo terminija aiški daugianario funkcijos aukščiau R arba daugiau C. Tačiau zagalnomu turi gausiai artikuliuotą daugianario funkciją – visą kalbą; pavyzdžiui, per galutinį lauką $\backslash mathbb\; F\_p$ iš paprasto elementų skaičiaus turtinguose segmentuose $x$і $x^p$ nustatyti vieną ir tą pačią funkciją, tačiau yra skirtingų turtingųjų terminų (turtingi terminai laikomi lygiais arba mažesniais už tą patį, jei turi visus koeficientus). Otzhe, pasikeisk x negali patekti į viršutinį lauką k; apie žiedą k[x] galite galvoti taip: prie kelių lauko elementų pridedame naują elementą x Ir tik dėl to Kinijos aksiomos buvo pergalingos ir x perjungimas nuo lauko elementų.

Elementų skaliarus ir turtingų terminų skaičių galima padauginti iš lauko skaliarų k, tai iš tikrųjų yra asociatyvi lauko algebra k. Kaip atrodyti k[x] jakas vektorinė erdvė(taigi pamiršk apie dauginimą), gali būti neišsenkantis pagrindas su elementais 1, x, x 2 ir tt