Žiedo ir vektoriaus erdvės matricos. Tiesinė vektorinė erdvė: paskyrimas, autoritetas. Vektorinės linijos erdvė

6 paskaita. Vektorinė erdvė.

Pagrindinė mityba.

1. Vektorinė tiesinė erdvė.

2. Pagrindas – erdvės išplėtimas.

3. Orientacija į erdvę.

4. Vektoriaus, esančio už pagrindo, diegimas.

5. Vektorinės koordinatės.

1. Vektorinė tiesinė erdvė.

Anonimiškumas, susidedantis iš bet kokio pobūdžio elementų, kuriuose nurodomos tiesinės operacijos: sudėjus du elementus, kurie elementą padauginus iš skaičiaus vadinami atviros erdvės, Ir їх elementai - vektoriai tarpas і priskiriamas kaip і, jak і vektoriniai kiekiai geometrijoje: . Vektoriai tokios abstrakčios platybės, kaip taisyklė, negali būti įsivaizduojamos naudojant didžiausius geometrinius vektorius. Abstrakčių erdvių elementais gali būti funkcijos, skaičių sistema, matricos ir pan., o okreme atveju – kintamieji vektoriai. Todėl ir įprasta vadinti vektorinės atviros erdvės .

vektorinė erdvė, pavyzdžiui, nesuskaičiuojamas skaičius nenurodytų vektorių V1 , be koplanarinių vektorių V2 , didelis beasmenis vektorius (reali erdvė) V3 .

Šiai konkrečiai vipadkai galima duoti atspirties tašką vektoriaus platybei.

Paskyrimas 1. Anoniminis vektorius vadinamas vektorinė erdvė, Kaip tiesinis derinys, nesvarbu, ar daugiklyje yra vektorių, tai taip pat yra to daugiklio vektorius. Patys vektoriai vadinami elementai vektorinė erdvė.

Ji svarbiau tiek teorinėje, tiek taikomojoje perspektyvoje, tiek abstraktesniame (abstrakčiame) vektorinės erdvės supratime.

2 susitikimas. Bezlich R elementai, kuriuose bet kuriems dviem elementams priskiriama suma ir bet kuriam elementui iškviečiamas plotis = "68". vektorius(arba linijinis) atvira erdvė, kaip elementai – vektoriai, kaip veiksmas, kai pridedami vektoriai ir padauginamas vektorius iš skaičiaus, kad būtų patenkinti ateinantys protai ( aksiomos) :

1) priedas yra komutacinis, todėl gif plotis = "184" aukštis = "25";

3) naudokite tokį elementą (nulio vektorių), kuris bet kam https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45". 99" height="27">;

5) bet kokiam vektorių skaičiui toks skaičius λ gali būti lygus;

6) bet kokiems vektoriams ir bet kokiems skaičiams λ і µ sąžiningumas https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" λ і µ šviesus ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" .

Iš aksiomų, kurios reiškia vektorinę erdvę, sušukite paprasčiausias įrodymas :

1. Vektorių erdvėje yra daugiau nei vienas nulis – elementas yra nulinis vektorius.

2. Vektorinė erdvė turi vieną vektorių.

3. Iki odos elementas vykonuetsya pusiausvyrą.

4. Bet kuriam dienos numeriui λ i nulinio vektoriaus.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> vektorius, kuris tenkina lygybę https://pandia.ru/ text/ 80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Otzhe, fiyno ir beasmenis visų geometrinių vektorių є tiesinėje (vektoriaus) erdvėje, taigi kurių elementams daugiklis priskiriamas sudėjimui ir dauginimui iš skaičiaus, kuris tenkina aksiomų formulavimą.

2. Pagrindas – erdvės išplėtimas.

Іstotnimi vektorinės erdvės sąvokos є supratimas apie pagrindą ir rozmіrnіst.

Paskyrimas. Tiesiškai nepriklausomų vektorių rinkinys, paimtas iš dainavimo tvarkos pagrindu kokia erdvė. Vektorius. Sandėlio pagrindas erdvei, vadinamas pagrindu .

Beasmenių vektorių, išskleistų tiesioje linijoje, pagrindas gali būti vienas kolinearinis tiesus vektorius .

Pagrindas lėktuve Pavadinkime du nekolinearinius vektorius šioje plokštumoje, paimtus ta pačia tvarka.

Jei baziniai vektoriai yra poromis statmeni (stačiakampiai), vadinasi, pagrindas stačiakampis, o jei q vektoriai gali būti dvigubi, lygūs vienetui, vadinasi pagrindas ortonormalus .

Didžiausias skaičius erdvėje vadinami tiesiškai nepriklausomi vektoriai ramybė ta erdvė, t.y., erdvės plėtimasis didėja didėjant pagrindinių vektorių skaičiui šioje erdvėje.

Otzhe, akivaizdžiai pagyrė dagi:

1. Vieno pasaulio erdvė V1 yra tiesi linija, o pagrindas formuojamas iš vienas kolinearinis vektorius https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39".

3. Didelė erdvė su trivialia erdve V3 , kurio pagrindas formuojamas iš trys nelygios vektorius_v.

Man atrodo, kad bazinių vektorių skaičius tiesėje, plokštumoje, realioje erdvėje skiriasi nuo to, kas geometrijoje dažniausiai vadinama tiesės, plokštumos, erdvės skaičiumi. Natūralu, kad tai sukelia griežtesnes bausmes.

Paskyrimas. Vektorinė erdvė R paskambino n- taikiai, kaip naujajame pasaulyje nebėra n tiesiškai nepriklausomi vektoriai ir yra priskirti R n. Skaičius n paskambino ramybė erdvė.

Vіdpovіdno iki rozmіrnostі atviros erdvės podіlyayutsya kіntsevіі neribotas. Nulinės erdvės atvirumas už paskyrimų laikomas lygiu nuliui.

Pagarba 1. Odos erdvėje galite nurodyti, kiek bazių reikia, tačiau visos šios erdvės bazės sumuojamos iš tiek pat vektorių.

Užrašas 2. At n- į taikią vektorinę erdvę, pagrindas iškviečiamas neatsižvelgiant į tai, ar yra užsakyta tvarka, ar ne n tiesiškai nepriklausomi vektoriai.

3. Orientacija į erdvę.

Dėl norint orientuotis erdvėje, būtina nusistatyti tam tikrą pagrindą ir jį teigiamai įgarsinti .

Galima parodyti, kad beasmeniai erdvės pagrindai yra suskirstyti į dvi klases, kad jie skirstomi į du pogrupius, kad jie nesutampa.

a) visos bazės, priklausančios vienai daliai (klasei), gali tačiau orientacija (to paties meniu pagrindu);

b) bet kurios dvi esančios bazės gyvenimą p_dmnozhin (klasės), mayut protilezhnu orientacija, ( skirtinga pagrindu).

Jei viena iš dviejų bazių klasių yra teigiama, o kita – neigiama, tada atrodo, kad platumas orientuotas .

Dažnai, orientuojantis į erdvę, vadinamas vienas pagrindas valdyti, ir інші - livimi .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> pavadinimas taisyklė, Tačiau kai trečiasis vektorius yra apsaugotas, trumpiausias pirmojo vektoriaus posūkis yra prieš metus rodyklė(1.8 pav., a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Ryžiai. 1.8. Dešinysis pagrindas (a) tas kairysis pagrindas (b)

Skambinkite turėdami teigiamą pagrindą

Dešinysis (livy) pagrindas gali būti priskirtas erdvei, o papildomai taisyklei „dešinysis“ („kairysis“) varžtas arba susuktas.

Analogiškai cim įvedamos dešinės ir kairės sąvokos trynukai nebendruomeniniai vektoriai, kurie atsiranda dėl eilės (1.8 pav.).

Tokiu būdu, esant laukinei tendencijai, du sutvarkyti neplanuotų vektorių trigubai erdvėje gali turėti tą pačią orientaciją (tą pačią). V3 jei įžeidimo smarvė teisinga arba įžeidžianti, tai kairioji, o priešinga orientacija (skirtinga), jei viena iš jų yra dešinė, o kita – kairioji.

Panašus, kad tilptų ir būtų vietos V2 (Kvadratai).

4. Vektoriaus, esančio už pagrindo, diegimas.

Paprastumo dėlei veidrodį galima pamatyti trivimirinės vektorinės erdvės pavyzdyje R3 .

Nagi - dovіlny vektorius tsgo erdvę.

VEKTORINĖ ERDVĖ (tiesinė erdvė), vienas iš pagrindinių algebros supratimų, leidžiantis lengviau suprasti (laisvųjų) vektorių visumą. Vektorių erdvėje svarstoma, ar vektoriai yra objektai, jei juos galima sudėti ir padauginti iš skaičių; jei reikia, kad pagrindinės algebrinių operacijų galios būtų tokios pat kaip ir elementariosios geometrijos vektorių. Esant tikslui nurodytam skaičiui, jie pakeičiami lauko K elementais. Vektorinė erdvė virš lauko K vadinama beasmene V, kai atliekama elementų sudėjimas iš V ir elementų iš V dauginimas iš lauko K elementais. , kuris gali lemti valdžios atėjimą:

x + y \u003d y + x, ar x, y z V, kad V būtų sulankstytas į Abelio grupę;

λ(x + y) = λ χ + λy bet kuriam λ z K і x, y z V;

(λ + μ)х = λх + μх bet kuriam λ, μ z K і x z V;

(λ μ)х = λ(μх) bet kuriam λ, μ z K i x z V;

1x \u003d x bet kuriam x iš V, čia 1 reiškia lauko K vienybę.

Vektorių erdvės užpakalinės dalys є: visų elementariosios geometrijos vektorių daugikliai L 1 L 2 і L 3, matyt, tiesioje linijoje, plokštumos і erdvėje su išskirtinėmis vektorių lankstymo ir dauginimo iš skaičiaus operacijomis; koordinačių vektorių erdvė K n , kurios elementai є visos eilutės (vektoriai) yra n su elementais iš lauko K, o operacijos pateikiamos formulėmis

beasmenis F(M, K) visų funkcijų, priskirtų fiksuotam daugikliui M, ir paimkite reikšmes lauke To su svarbiausiomis funkcijų operacijomis:

Vektorių erdvės elementai e 1 ..., e n vadinami tiesiškai nepriklausomais, nes lygybė λ 1 e 1 + ... n = 0 Є K. Priešinga kryptimi elementai e 1 , e 2 , ·· ·> e n vadinami tiesiniu pūdymu. Jei vektorinė erdvė V turi n + 1 elementų e 1 ,..., e n+1 tiesiškai neapibrėžtų ir n tiesiškai nepriklausomų elementų, tai V vadinama n-pasauline vektorine erdve, o n yra vektorinės erdvės V matmuo. Kaip vektorinė erdvė V bet kokiam natūraliam n egzistuojančių n tiesiškai nepriklausomų vektorių, taip ir V vadinama begaline vektorine erdve. Pavyzdžiui, vektorinė erdvė L 1 , L 2 , L 3 і K n taip pat 1-, 2-, 3- ir n-mіrnі; jei M yra beasmenis, tai vektorių erdvė F(M, K) nėra ribojama.

Vektorių erdvė V ir U virš lauko K vadinama izomorfine, todėl φ : V -> U yra viena kitai unikali, taigi φ(x+y) = φ(x) + φ(y) arba x, y z V o φ (λx) = λ φ(x) bet kuriam λ z K i x z V. Izomorfinės vektorinės erdvės algebriškai nesiskiria. Baigtinių vektorinių erdvių klasifikacija iki izomorfizmo suteikiama jų įvairovei: ar virš lauko Do yra n-matė vektorinė erdvė, tai yra izomorfinė koordinačių vektorių erdvei Do n . Stebėkite tą pačią Hilberto platybę, tiesinę algebrą.

Tegul R – laukas. Elementai a, b, ... н R mes įvardinsime skaliarai.

Paskyrimas 1. klasė V vadinami pakankamo pobūdžio objektai (elementai) , , , ... vektoriaus erdvė virš lauko Р, o V klasės elementai vadinami vektoriai nors V yra uždarytas, tačiau operacija „+“ yra daugybos iš skaliarų iš P operacija (tai yra bet kuriam , нV + н V; "aÎ R aÎV), ir vykonuyutsya, todėl turėkite omenyje:

A 1: Algebra - Abelių grupė;

A 2: ar a, bÎР, ar ne ÎV, a(b)=(ab)-svarbi asociatyvinė teisė;

A 3: bet kokiam a, bÎP, bet kokiam ÎV, vikonuetsya (a+b)= a+ b;

A 4: bet kuriam a z P, bet kuriam s V laimime a(+)=a+a(padidinti skirstymo dėsniai);

A 5: ar V yra pergalingas, ar ne 1 = , de 1 - lauko vienybė P - vieneto galia.

Lauko P elementai vadinami skaliarais, o daugiklio V elementai – vektoriais.

Pagarba. Vektoriaus padauginimas iš skaliro nėra dvejetainė daugiklio V operacija, o mastelio keitimas yra PV®V.

Pažvelkime į vektorines erdves.

1 pavyzdys. Nulinio (nulinio pasaulio) vektoriaus plotis – plotis V 0 =() – kurį sudaro vienas nulinis vektorius.

Kad ir kokia aОР a=. Persvarstykime vektorinės erdvės aksiomų pagrįstumą.

Pagarbiai, nulinės dimensijos erdvė virš lauko R. Taigi nulinė erdvė virš lauko racionalūs numeriai aš virš lauko dienų numeriai vvazhayutsya raznimi, hoch pridėti iš vieno nulinio vektoriaus.

užpakalis 2. Laukas P pats yra vektorinė erdvė virš lauko P. Tegul V=P. Persvarstykime vektorinės erdvės aksiomų pagrįstumą. Kadangi P yra laukas, tai P yra adityvinė grupė ir A1 laimi. Žvelgiant atgal į zdіysnennostі į R asociativnostі mnozhennja vykonuєtsya A 2 . Aksiomos A 3 ir A 4 laimi dėl to, kad R yra paskirstomasis ir dauginamas laisvai. Skeveldros lauke R yra vienas elementas 1, vieneto galia A 5 . Šia tvarka laukas P yra vektorinė erdvė virš lauko P.

3 pavyzdys. Aritmetinė n matmenų vektorinė erdvė.

Tegul R – laukas. Žymiai beasmenis V = P n = ((a 1, a 2, …, a n) ½ a i P, i = 1, ..., n). Supažindinkime su daugikliu V vektorių pridėjimo ir vektoriaus dauginimo iš skaliro operaciją pagal šias taisykles:

"= (a 1 , a 2 , … , a n), = (b 1 , b 2 , … , b n) О V, "aО P += (a 1 + b 1, a 2 + b 2, … , a n) + mlrd.) (1)

a=(aa 1 , aa 2 , … , aa n) (2)

Vadinami elementai ir daugikliai V n-pasaulio vektoriai. Du n-pasaulio vektoriai vadinami lygiais, nes jų dvimačiai komponentai (koordinatės) yra vienodi. Galima parodyti, kad V yra vektorinė erdvė virš lauko P. Kadangi yra žinoma vektoriaus sulankstymo ir vektoriaus padauginimo iš skaliro operacija, V yra uždaras šių operacijų pasirinkimas. Kadangi elementų pridėjimas iš V yra sumažintas iki lauko P elementų pridėjimo, o P yra adityvioji Abelio grupė, tai і V yra adityvi Abelio grupė. Be to, = , de 0 yra lauko Р, -= (-a 1, -a 2, ..., -a n) nulis. Šiame reitinge laimi A1. Elemento V dauginimo iš elemento P masteliai sumažinami iki lauko P elementų dauginimo, tada:

A 2 laimi dėl P daugiklio asociatyvumo;

A 3 ir A 4 yra sujungti pagal paskirstymo dauginimą, kaip sulankstyti ant P;

Ir 5 laimi, nes 1 P yra neutralus elementas, kurį galima padauginti iš R.

2 susitikimas. Beasmenė V = P n su operacijomis, apibrėžtomis (1) ir (2) formulėmis, vadinama aritmetine n-mačių vektorių erdve virš lauko Р.

Pažvelkime į seką, kurią sudaro veiksmo elementai paprastas laukas GF(q) (a^, a......a p). Tokia seka vadinama l-by

nuoseklumas virš lauko GF)