Sužinokite visas racionalias turtingo termino šaknis internete. Visos matematikos lygtis.Racionalioji turtingųjų terminų šaknis. Hornerio schema. Chi є tse racionalus skaičius

Turtingas terminas kintamojo x forma vadinamas kitaip: anxn + an-1 xn-1 +. . . +a 1 x+a 0 de n yra natūralusis skaičius; an, an-1, . . . , a 1, a 0 – ar tai skaičiai, vadinami šio daugianario koeficientais. Virazi anxn, an-1 xn-1, . . . , a 1 x, a 0 vadinami daugianario nariais, o 0 – savavališku nariu. an - koeficientas xn, an-1 - koeficientas xn-1 ir pan. pavyzdžiui, turtingas terminas 0x2 + 0x + 0 yra nulis. Iš daugianario įrašo aišku, kad vin susumuojama iš terminų skaičiaus. Skamba kaip terminas „turtingas narys“ (turtingi nariai). Kartais turtingas terminas vadinamas daugianario. Šis terminas primena graikiškus žodžius πολι – turtingas ir νομχ – narys.

Turtingas narys vieno pokyčio x formoje žymimas: . f (x), g (x), h (x) ir tt, pvz., kaip pirmieji, kurie pateikia turtingesnius terminus f (x), tada galite parašyti: f (x) = x 4+2 x 3+ (- 3) x 2 + 3/7 x + √ 2. 1. Turtingas terminas h (x) vadinamas didžiausiu sodriųjų terminų f (x) ir g (x) miegančiuoju, todėl galima. pridėti f (x), g (x) ir odinį dilniką. 2. Turtingas terminas f(x) su koeficientais iš n žingsnio lauko P vadinamas redukuojamu per lauką P, taip sukuriant turtingesnius laipsnio n terminus h(x), g(x) Î P[x], kad f (x) = h( x)g(x).

Tai turtingas terminas f(x) = anxn+an-1 xn-1+. . . + a 1 x + a 0 і an≠ 0, tada skaičius n vadinamas sodriojo termino f (x) stadija (arba atrodo: f (x) yra n-oji pakopa) ir parašykite str. f(x) = n. Ir čia an vadinamas vyresniuoju koeficientu, o anxn yra vyresnysis šio daugianario narys. Pavyzdžiui, jei f (x) = 5 x 4 -2 x +3, tada str. f(x) = 4, vyresnio amžiaus koeficientas - 5, vyresniojo kadencija - 5 x4. Polinominis žingsnis yra didžiausias iš jo koeficientų skaičių, pirmaujančių nulių tipų. Turtingieji nulinio žingsnio nariai yra sveikieji skaičiai, kurie yra tokie patys kaip nulis. nulis turtingas žingsnio terminas negali būti; turtingas terminas f(x) = a, kur a yra skaičius, nelygus nuliui, didžiausias žingsnis yra 0; žingsnis taip pat turi būti koks nors kitas daugianomas, kuris yra brangesnis didžiausiam pokyčio x rodikliui, kito koeficientas lygus nuliui.

Rivnistas turtingų narių. Du turtingi dėmenys f(x) ir g(x) laikomi lygiais, nors jų koeficientai yra lygūs tais pačiais pokyčio x ir laisvųjų narių žingsniais (lygūs їх відпровідні koeficientai). f(x) = g(x). Pavyzdžiui, turtingi terminai f (x) \u003d x 3 + 2 x 2 -3 x + 1 і g (x) \u003d 2 x 23 x + 1 nėra lygūs, pirmojo iš jų koeficientas x3 yra lygesnis iki 1, o kitas turi nulį ( su priimtais intelektais galime rašyti: g (x) \u003d 0 x 3+2 x 2 -3 x + 1. Tokiu atveju: f (x) ≠ g (x ). x 2 -3 x + 5, s ( x) = 2 x 2+3 x+5

Ir turtingo termino ašis f 1 (x) \u003d 2 x 5 + 3 x 3 + bx + 3 і g 1 (x) \u003d 2 x 5 + ax 3 -2 x + 3 vienodai, net jei a = 3 , bet b = -2. Pateikite turtingą terminą f(x) = anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 yra skaičius c. Skaičius f(c) = ancn+an-1 cn-1+. . . +a 1 c+a 0 vadinama polinomo f(x) reikšme, kai x = c. Tokiu būdu, norint sužinoti f (c), reikia pagrįsti x ir atlikti reikiamus skaičiavimus. Pavyzdžiui, jei f(x) = 2x3+3x2-x+5, tai f(-2)=2(-2)3+(-2)2-(-2)+5=3. Galima paimti turtingą narį su skirtingomis pokyčio x reikšmėmis skirtingos vertybės. Skaičius vadinamas daugianario f (x) šaknimi, todėl f (c) =0.

Svarbu atkreipti dėmesį į skirtumą tarp dviejų teiginių: „turtingas terminas f(x) lygus nuliui (kitaip turtingas terminas f(x) lygus nuliui)“ ir „polinomo f(x) reikšmė kai x=z yra lygus nuliui“. Pavyzdžiui, polinomas f (x) \u003d x 2 -1 nėra lygus nuliui, vіn gali būti ne nuliniai koeficientai, pavyzdžiui, reikšmė x \u003d 1 yra lygi nuliui. f(x) ≠ 0 ir f(1) =0. Tarp turtingų terminų lygiavertiškumo supratimo ir turtingo termino reikšmės yra tas pats glaudus tarpusavio ryšys. Jei pateikiami du lygūs daugianariai f(x) ir g(x), tai їх yra lygūs lygybių koeficientai, taigi f(c) = g(c) odos skaičiui c.

Veiksmai su polinomais Turtingus terminus galima pridėti, matyti ir dauginti pagal įprastas lanko išplėtimo ir panašių terminų mažinimo taisykles. Dėl to aš vėl tapau turtingu nariu. Numatytų operacijų galia gali būti: f (x) + g (x) = g (x) + f (x), f (x) + (g (x) + h (x)) = (f (x) + g (x)) + h(x), f(x) g(x) = g(x) f(x), f(x)(g(x) h(x)) = (f(x) g( x)) h(x), f(x)(g(x) + h(x)) = f(x) g(x) + f(x) h(x).

Leiskite man pateikti du turtingus terminus f(x) = anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, an≠ 0, i g(x)=bmxm+bm-1 xm-1+. . . +b 1 x+bm≠ 0. Buvo aišku, kad str. f(x)=n ir str. g(x) = m. Jei padauginsite qi du daugianarius, gausite turtingą formos f(x) g(x)=anbmxm+n+ terminą. . . +a 0 b 0. Oskilki an≠ 0 ir bn≠ 0, tada anbm≠ 0, taip pat, str. (f(x)g(x))=m+n. Garsai yra garsūs ir svarbūs.

Žingsniai, skirti pridėti du nenulinius turtingus terminus prie daugiklių žingsnių sumos, str. (f(x)g(x)) = st. f(x) +st. g(x). Vyresnysis narys (koeficientas) dviejų nenulinių turtingųjų narių sudarymo, siekiant pridėti vyresniuosius dauginamųjų narių narius (koeficientus). Laisvas dviejų turtingų narių kūrimo narys yra vertas laisvųjų jungtinių daugiklių narių kūrimo. Sodriai artikuliuoti f(x), g(x) ir f(x) ±g(x) žingsniai yra susiję su artėjančia spivvіdnoshennia: str. (f (x) ± g (x)) ≤ max (st. f (x), st. g (x)).

Vadinama kelių dėmenų f(x) ir g(x) superpozicija. turtingas terminas, kuris žymimas f (g (x)), kuris taip pat gali eiti į daugianarį f (x), o ne x, pakeisti daugianarį g (x). Pavyzdžiui, jei f(x)=x 2+2 x-1 і g(x) =2 x+3, tada f(g(x))=f(2 x+3)=(2 x+3) 2 +2(2 x+3)-1 = 4 x 2+16 x+14, g(f(x))=g(x 2+2 x-1) = 2(x 2+2 x-1) + 3=2x2+4x+1. Matyti, kad f(g(x)) ≠g(f(x)), tai yra kelių terminų f(x), g(x) superpozicija ir kelių terminų g(x), f( x) kitoks. Tokiu būdu superpozicijos operacija neturi poslinkio galios.

, Nepakankamo įvertinimo ir perpildymo algoritmas Ar f(x), g(x) aišku q(x) (privačiai) ir r(x) (perteklius), kad f(x)=g(x)q(x) )+ r(x) ir žingsniai r(x)

Daugianario žodynai Turtingo termino žodynas f(x) yra turtingas terminas g(x), kad f(x)=g(x)q(x). Didžiausia dviejų gausiai segmentuotų lova Didžiausia gausiai segmentuotų f(x) ir g(x) lova yra tokia dvigulė d(x) lova, kurią galima padalyti į bet kurią kitą savo lovą.

Euklido algoritmas (paskutinės poeilės algoritmas) didžiausio bendrojo turtingų terminų f(x) ir g(x) dienoraščio Todi yra didžiausias f(x) ir g(x) dilnikas.

Keisti kitus Sprendimas: Žinome šių turtingų terminų GCD, taisydami euklido algoritmą 1) х3 + 6 х2 + 11 х + 6 х3 + 7 х2 + 14 х + 8 1 - х2 - 3 х - 2 8 x3 + 3 x2 + 2 x - x2 - 3 x - 2 - x - 4 4 x 2 + 12 x + 8 0 Otzhe, turtingas terminas (- x2 - 3 x - 2) Rezultatas yra po vidomy daugianario vėliava.

Sužinokime skaičiaus padalijimo rezultatą. x 3 + 6 x 2 + 11 x + 6 - x2 - 3 x - 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x - x - 3 3 x 2 + 9 x + 6 0

Hornerio schema iš per daug turtingo termino f(x) padalijimo į ne nulį turtingą terminą g(x) - ne reiškia f(x) vaizde atskleisti f(x)=g(x) s(x)+ r(x), de s(x) ) ) i r(x) -turtingi terminai i arba r(x) = 0, arba st. r(x)

Turtingi segmentai, stovintys kairėje ir dešinėje jo spіvvіdnoshennia dalyse, lygūs, taip pat lygūs їhnі vіdpovіdni koefіtsіentsi. Jis prilygsta jiems, atidarius lankus priekyje ir suleidus panašias galūnes dešinėje pusiausvyros linijos dalyje. Minusas: a = bn-1, a-1 = bn-2 - cbn-1, a-2 = bn-3 - cbn-2, a 2 = b 1 - cb 2, a 1 = b 0 - cb 1, a 0 = r - cb 0 Virazimo їх іz otrimanih lygybės: bn-1 = an, b n-2 = cbn-1 + an-1, b n-3 = cbn-2 + a n-2, b 1 = cb 2 + a 2, b 0 \u003d cb 1 + a 1, r \u003d cb 0 + a 0. Žinojome formules, pagal kurias galima apskaičiuoti nelyginio privataus s (x) ir pertekliaus r koeficientus. Tokiu būdu kaltinimai surašomi stalo priekyje; ji vadinama Hornerio schema.

1 lentelė. Koeficientai f(x) c an bn-1 an-1 bn-2=cbn-1+ an-1 an-2 bn-3 = cbn-2+an-2 … … a 0 r = cb 0 + a 0 Koeficientų s(x) yra per daug. Kitoje eilutėje, šalia pirmojo langelio, užrašykite skaičių c. Eilutės Reshta klitinas pildomas, po vieną skaičiuojant netiesinio privataus s (x) ir pertekliaus r koeficientus. Pas kitą klientą užsirašykite koeficientą bn-1, kuris, kaip mes įdiegėme, yra brangesnis an.

Koeficientas stovėti prie odos puolimo sienos apskaičiuojamas pagal šią taisyklę: skaičius c padauginamas iš skaičiaus stovėti prie priekinės sienos, ir skaičius pridedamas prie rezultato, stovėti virš sienos, kurį reikia atsiminti. . Tam, kad prisimintume, tarkime, penkis klitinus, kad žinotumėme, kaip stovėti pagal jos koeficientą, reikia padauginti c iš skaičiaus, kuris yra ketvirtajame klite, ir prie rezultato pridėti skaičių, esantį virš penktojo klitino. Padalinkime, pavyzdžiui, turtingą terminą f (x) \u003d 3 x 4 -5 x 2 + 3 x-1 į x-2 іz per daug, Hornerio schema. Pildant pirmąją eilutę negalima pamiršti ir schemos skaičių apie polinomo nulinius koeficientus. Taigi, koeficientai f(x) yra skaičių 3, 0, - 5, 3, - 1 reikšmės. Kitas dalykas, kurį reikia turėti omenyje, yra tai, kad neužbaigto privataus žingsnis yra vienu mažesnis už žingsnį turtingas terminas f(x).

Taip pat atrodo, kad ji buvo suskirstyta pagal Hornerio schemą: 2 lentelė. 2 3 3 0 6 -5 7 3 17 -1 33 Svarbu pažymėti, kad privatus s(x) =3 x 3+6 x 2+7 x+17 ir perteklius r=33. Pagarbiai apskaičiavome daugianario f (2) =33 reikšmę. Dabar labai turtingą terminą f(x) padalinkime į x + 2 іz per daug. Turiu vipadku su = -2. neprivaloma: 3 lentelė. -2 3 3 0 -6 -5 7 3 -11 -1 21 Dėl to f(x) = (x+2) (3 x 3 -6 x 2+7 x-11) + 21 .

Daugianamio šaknis Nehai с1, с2, …, сm - Skirtinga daugianario f(x) šaknis. Tada f(x) dalijasi iš x-c1, tada f(x) = (x-c1) s1(x). Sumokėkime už šią pusiausvyrą x=c2. Atimame f(c2) = (c2-c1) s1(c2) i, taigi f(c2) =0, tada (c2-c1) s1(c2) =0. Ale c2≠c1, tada c2 -c1≠ 0, o tai reiškia, kad s 1 (c 2) = 0. Taip pat c2 yra daugianario s 1 (x) šaknis. Tai rodo, kad s1(x) dalijasi iš x-c2, taigi s1(x) = (x-c2) s2(x). Įsivaizduokite, kad s 1 (x) y virazės atėmimas yra lygus f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Gegužės f(x) = (x-c1) (x-c2) s2(x). Įdėję likusią lygybės x \u003d c3 dalį, norėdami nustatyti, kad f (c 3) \u003d 0, c3 c1, c3 c2, darome prielaidą, kad c3 yra daugianario s 2 (x) šaknis. Taigi, s 2 (x) \u003d (x-c 3) s 3 (x), o tada f (x) \u003d (x-c 1) (x-c 2) (x-c 3) s 3 (x) ir pan. kurie buvo pamesti, c4, c5, ..., cm, mi, nareshti, f (x) = (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) sm (x) yra atimta, tai yra perkelta į žemesnę formulę.

Kadangi c1, c2, ..., cm yra skirtinga daugianario f (x) šaknis, tada f (x) galima gauti žiūrint į f (x) \u003d (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) cm (x). Skamba kaip svarbi pasekmė. Kadangi c1, c2, ..., cm yra daugianario f (x) šaknis, tai f (x) dalijamas iš daugianario (x-c1) (x-c2) ... (x-cm). Nenulinio daugianario f(x) skirtingų šaknų skaičius nėra didesnis už apatinį žingsnį. Tiesa, kadangi f(x) neturi šaknies, aišku, kad teorema teisinga, daugiau str. f (x) ≥ 0. Tegul f (x) dabar turi m šaknų c1, c2, ..., cm, be to, visi smirdžiai yra skirtingi. Lygiai taip pat, kaip f (x) yra padalintas iš (x-c1) (x-c2) ... (x-cm). Kartais str. f(x)≥st. ((X-C1) (X-C2) ... (X-Cm)) = st. (x-c1) + str. (X-C2) + ... + Art. (x-cm) \u003d m, tada g. f(x)≥m, o m yra turtingo termino, kurį galima apsvarstyti, šaknų skaičius. O nulinio turtingo termino ašis yra be galo turtinga šaknų, net jei ji turi reikšmę bet kokiam x gražesniam 0. Zokrema, dėl to, kad jį sukeltum, ir nebausk už tą patį dainavimo žingsnį. Iš gerai įrodytų teoremų matyti tas pats teiginys.

Jei polinomas f(x) nėra daugianario laiptelio, didesnio, mažesnio n, ir gali būti didesnis, žemesnių n šaknų, tai f(x) yra nulinis daugianario. Iš tiesų, iš firmos proto aišku, kad f (x) yra nulinis daugianomas arba menas. f(x) ≤n. Darant prielaidą, kad polinomas f(x) nėra lygus nuliui, tada str. f(x) ≤n, o tada f(x) negali būti daugiau, žemiau n šaknų. Mes artėjame prie puikybės. Vadinasi, f(x) yra ne nulis turtingas terminas. Tegul f(x) ir g(x) yra nuliniai turtingi žingsnio nariai, ne didesni, mažesni n. Jei q daugianariai įgyja tą pačią reikšmę n + 1 pokyčio x reikšmėms, tada f (x) = g (x).

Įrodymui pažvelkime į turtingą terminą h(x) = f(x) – g(x). Man pasirodė, kad - arba h (x) = 0, arba st. h (x) ≤n, tada h (x) nėra turtingas žingsnio narys, didesnis nei, mažesnis už n. Dabar paimsiu skaičių taip, kad f (c) = g (c). Tada h(c) = f(c) - g(c) = 0, tada h yra daugianario h(x) šaknis. Be to, turtingas terminas h(x) turi n+1 šaknų, o jei, kaip buvo padaryta, h(x) = 0, tai f(x) = g(x). Jei f(x) ir g(x) turi tas pačias reikšmes visoms kintamojo x reikšmėms, tada

Daugianario kelios šaknys Kadangi skaičius є yra daugianario f (x) šaknis, šis daugianaris, matyt, dalijasi iš x-s. Gali būti, kad f (x) gali būti pratęstas iki kito žingsnio bugato narys x-s, ty (x-c) k, k>1. Ši vipadka vadinama daugybine šaknimi. Suformuluokime susitikimą aiškiau. Skaičius vadinamas daugianario f (x) daugybos k šaknimi (k karto šaknis), todėl daugianomas dalijasi iš (x-c) k, k>1 (k yra natūralusis skaičius), bet nedalinamas iš ( x-c) k + 1. Jei k=1, tai ji vadinama paprasta šaknimi, o jei k>1, tai vadinama daugianario f (x) daugine šaknimi.

Taigi polinomas f(x) gali būti pavaizduotas kaip f(x)=(x-c)mg(x), m yra natūralusis skaičius, vin dalijasi iš (x-c) m+1, o jei g(x) dalijasi iš x-c. Iš tiesų, jei g(x) dalijasi iš x-c, tada g(x)=(x-c)s(x), tada f(x)=(x-c) m+1 s(x), taip pat, f(x ) yra padalintas iš (x-c) m+1. Atgal, kadangi f(x) dalijasi iš (x-c) m+1, tai f(x)=(x-c) m+1 s(x). Tada (x-c) mg (x) \u003d (x-c) m + 1 s (x) ir po trumpo laiko (x-c) m imama g (x) = (x-c) s (x). Atrodo, kad g (x) yra padalintas į x-s.

Pavyzdžiui, aišku, kad chi yra skaičius 2 kaip turtingojo termino šaknis f(x) = x 5 -5 x 4+3 x 3+22 x 2 -44 x+24, o jei taip, tada žinome jos gausybę. Norėdami patikrinti pirmąjį maitinimo šaltinį, galime patikrinti, ar nėra papildomos Hornerio schemos, kuri padalija f(x) iš x-2. gali būti: 4 lentelė. 2 1 1 -5 -3 3 -3 22 16 -44 -12 24 0 Kaip ir Bachimo, perteklius padalijus f(x) iš x-2 yra didesnis nei 0, todėl jį reikia padalyti iš x-2. Vadinasi, daugianario 2 šaknis. Be to, atėmėme f(x)=(x-2)(x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x-12). Dabar akivaizdu, chi є f (x) ant (x-2) 2. Tse, kaip deponuoti, kaip mi schoyno atnešė, atsižvelgiant į daugianario g (x) dalijamumą \u003d x 4 -3 x 3 -3 x 2 + 16 x-12 ant x-2.

Vėl paspartinti pagal Hornerio schemą: 5 lentelė. 1 -3 -3 16 -12 2 1 -1 -5 6 0 -x2 -5x +6). Tada f (x) \u003d (x-2) 2 (x 3 -x 2 -5 x + 6). Taip pat f(x) dalijasi iš (x-2) 2, dabar reikia pasakyti, kad f(x) dalijasi iš (x-2)3. Kurių atveju h(x) \u003d x 3 -x 2 -5 x + 6 yra padalytas iš x-2: 6 lentelė. 1 -1 -5 6 2 1 1 -3 0 x-2, taip pat f(x) dalijamas iš (x-2) 3, i f(x)=(x-2)3(x 2+x-3).

Tada panašiai galima patikrinti, ar f(x) padalintas iš (x-2)4, kad s(x)=x 2+x-3 būtų padalintas iš x-2: 7 lentelė. 2 1 1 1 3 -3 3 Yra žinoma, kad perteklius, kai s(x) dalijamas iš x-2, yra lygus 3, tada s(x) nėra padalintas iš x-2. Taip pat f(x) nesumuojasi į (x-2) 4. Tokiu būdu f(x) sumuojasi į (x-2)3, bet nepriima į (x-2)4. Be to, skaičius 2 yra turtingo termino 3 f(x) dauginio šaknis.

Skambinkite šaknies reverbą, kad būtų galima skaičiuoti mažiau prie stalo. Šios programos lentelė gali atrodyti taip: 8 lentelė. 1 -5 3 22 -44 -24 2 2 1 1 -3 -1 1 3 -3 -5 -3 3 16 6 0 -12 0 0 Horneris atėmė daugianaris f (x) iš x-2, kitoje eilutėje atimame daugianario g (x) koeficientus. Tada paimkime šią kitą eilutę į pirmąją naujosios Hornerio sistemos eilutę ir atimkime g (x) iš x-2 ir pan. Tokiu būdu šaknies dauginys yra lygus otrimanih nulio pertekliaus skaičiui. Iš eilės, norint atkeršyti už likusį nulinį perteklių, taip pat yra dalies koeficientai, kai f (x) dalijamas iš (x-2) 3.

Dabar, vikoristovuyuchi schoyno proponovan schemą pakartotinio patikrinimo šaknies daugybei, atrodo, kad užduotis ateina. Ar bet kurio a ir b atveju turtingas terminas f(x) \u003d x 4 + 2 x 3 + ax 2 + (a + b) x + 2 ar skaičius - 2 gali būti 2 daugybos šaknis? Taigi šaknies dauginys - 2 yra dėl to, kad pridedamas 2, tada, padalijus jį iš x + 2 pasiūlytai schemai, mes turime dvigubai paimti 0 perteklių, o trečiajame - perteklių, kuris yra lygus nuliui. Gegužė: 9 lentelė. -2 -2 -2 1 1 2 0 -2 -4 aa a+4 a+12 a+b -3 a+b-8 2 2 a-2 b+2

Šiame reitinge skaičius - 2 є šaknis iš iškvėpimo turtingo termino 2 daugumos, tada ir tik tada, jei

Racionalioji daugianario šaknis Jei netrumpasis terminas l/m (l, m yra sveikieji skaičiaus skaičiai) yra turtingojo termino f(x) su dauginiais koeficientais šaknis, tai didžiausias daugianario koeficientas dalijasi iš m, o ilgasis terminas dalijasi iš 1. Tiesa, kaip f (x )=anxn+an-1 xn-1+…+a 1 x+a 0, an≠ 0, de an, an-1, . . . , a 1, a 0 yra sveikieji skaičiai, tada f(l/m) = 0, tada an(l/m) n+an-1 (l/m) n-1+. . . +a 1 l/m+a 0=0. Pažeidžiančias lygiavertės kainos dalis padauginkite iš mln. Paimkite anln+an-1 ln-1 m+. . . +a 1 lmn-1+a 0 mn=0. Anln=m (-an-1 ln-1 -...- a 1 lmn-2 -a 0 mn-1) skamba.

Bachimo, visas skaičius anln dalijasi iš m. Ale l/m yra netrumpas dribas, todėl skaičiai l ir m yra vienas kitą paprasti, bet taip pat, remiantis sveikųjų skaičių galiojimo teorija, skaičiai ln ir m taip pat yra paprasti. Otzhe, anln padalinti į m ir m yra abipusiai paprastas iš ln, taip pat, an dalintinas į m. Mes žinome racionaliąją turtingojo termino šaknį f (x) \u003d 6 x 4 + 13 x 2 -24 x 2 -8 x + 8. Remiantis teorema, racionalioji daugianario šaknis randama tarp netrumpųjų trupmenų formoje l / m, de l yra laisvojo termino dilnikas a 0 \u003d 8, o m yra didžiausio koeficiento a dilnikas. 4 \u003d 6. jei taip, tada l / m yra neigiamas, tada ženklas „-“ pasirodo prie numerio rinkimo. Pavyzdžiui, - (1/3) = (-1)/3. Taip pat galime pasakyti, kad l yra skaičiaus 8 koeficientas, o m yra teigiamas skaičiaus 6 koeficientas.

Skaičiaus 8 osciliatoriai - tse ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, o teigiami skaičiaus 6 plėtikliai bus 1, 2, 3, 6, tada atrodyto turtingo termino racionali šaknis yra tarp skaičiai ± 1, ± 1/2, ± 1 /3, ±1/6, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8/3. Spėkime, kad užsirašėme daugiau nei trumpąsias trupmenas. Tokia tvarka galime turėti dvidešimt skaičių – „kandidatų“ į šaknis. Liko tik persvarstyti jų odą ir pasirinkti tokias, tarsi ištikimas šaknims. Ateina teorema, kuri palengvins roboto darbą. Kol l/m yra daugybinio termino f(x) su keliais koeficientais šaknis, tada f(k) yra padalintas iš l-km bet kuriam sveikajam skaičiui k protui, kad l-km≠0.

Norėdami įrodyti teoremą, per daug padaliname f(x) į x-k іz. Atimame f(x)=(x-k)s(x)+f(k). Oskіlki f(x) yra turtingas terminas su qlimi koeficientais, tada toks turtingas narys yra s(x), o f(k) yra sveikas skaičius. Tegu s(x)=bn-1+bn-2+…+b 1 x+b 0. Tada f(x)-f(k)=(x-k) (bnxn-1+bn-2 xn-2+ … +b1x+b0). Sumokėkime už šią pusiausvyrą 1 x=l/m. Jei f(l/m)=0, tai f(k)=((l/m)-k)(bn-1(l/m)n-1+bn-2(l/m)n- 2+ …+b 1(l/m)+b 0). Likusią nuosavo kapitalo dalį padauginkite iš mn: mnf(k)=(l-km)(bn-1 ln-1+bn-2 ln-2 m+…+b 1 lmn-2+b 0 mn-1) . Aišku, kad skaičius mnf (k) yra padalintas iš l-km. Ale oskіlki l і m yra abipusiai paprasti, tada mn і l-km taip pat yra abipusiai paprasti, taip pat, f (k) dalijamas iš l-km. Teorema baigta.

Atsigręžkime į užpakalį ir, įrodžius teoremą, ji dar labiau skamba apie racionalios šaknies garsą. Būtina priskirti teoremą k=1 і k=-1, tai yra, nes netrumpasis drіb l/m yra termino f(x) šaknis, tada f(1)/(l-m), ir f(-1)/(l + m) . Nesunku žinoti, kad laikais f(1)=-5, o f(-1)=-15. Pagarbiai, iš karto jį išjungėme iš pirmo žvilgsnio ± 1. Nuo šiol racionali mūsų turtingo termino šaknis yra toks vidurinių skaičių skaičius ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2 /3, ± 4/3, ± 8 /3. Pažiūrėkime l/m=1/2. Tada l-m=-1 ir f(1)=-5 dalijami iš sveikojo skaičiaus. Dalі, l+m=3 і f(1) =-15 taigi pati dalijama iš 3. Taigi, drіb 1/2 paliekama "kandidatų" viduryje šaknyje.

Leiskite man dabar lm=-(1/2)=(-1)/2. Šiuo atveju l-m=-3 і f(1) =-5 nesidalija iš - 3. Taigi, drіb -1/2 negali būti šio turtingo termino šaknis, ir mes galime jį išjungti iš toli. Būtina persvarstyti šūvių pritaikymą odai, atsižvelgiame į tai, kad šaknis yra tarp skaičių 1/2, ± 2/3, 2, - 4. Šiame range, norint užbaigti tą patį paprastą triuką, svarstomo daugianario racionaliųjų šaknų sritis skambėjo prasmingai. Na, o norėdami dar kartą patikrinti praleistus skaičius, galime naudoti Hornerio schemą: 10 lentelė. 6 13 -24 -8 8 1/2 6 16 -16 0

Bachimo, scho 1/2 yra turtingo termino f(x) ir f(x) = (x-1/2) (6 x 3+16 x 2 -16 x-16) = (2 x-1) šaknis ) (3 x 3+8 x 2 -8 x-8). Buvo aišku, kad kitos polinomo f(x) šaknys paimtos iš daugianario g(x) =3 x 3+8 x 2 -8 x-8 šaknų, tada, toliau tikrinant „kandidatus“ šaknis gali būti atlikta jau iš to paties daugianario. Žinome: 11 lentelė. 3 8 -8 -8 2/3 3 10 -4/3 -80/9 Atėmėme, kad perteklius, kai g(x) dalijamas iš x-2/3, yra didesnis - 80/9 , tada. 2/3 nėra daugianario g(x) šaknis, taip pat i f(x). Be to, žinome, kad - 2/3 yra daugianario g (x) ir g (x) \u003d (3 x + 2) (x 2 + 2 x-4) šaknis.

Tada f(x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Galima atlikti tolesnį daugianario x 2+2 x-4 patikrinimą, kuris yra žymiai paprastesnis, mažesnis g (x) arba didesnis, jei f (x). Dėl to atsižvelgiama į tai, kad skaičiai 2 i - 4 nėra įsišakniję. Taip pat turtingas terminas f(x) =6 x 4+13 x 3 -24 x 2 -8 x+8 turi dvi racionalias šaknis: 1/2 i - 2/3. Šis metodas leidžia žinoti tik racionalią turtingo termino šaknį su daugybe koeficientų. Timas kartais yra turtingas motinos narys ir neracionalus šaknis. Taigi, pavyzdžiui, žiūrint į turtingo termino užpakalį, yra tik dvi šaknys: - 1±√5 (šios turtingo termino šaknys yra x2 + 2 x-4). daugianarį galima vadinti nematerialia racionalia šaknimi.

Tikrindami „kandidatus“ turtingo termino f(x) šaknyje po to, kai toliau tobulinate kitas teoremas, kandidatams k=± 1 turėtumėte vadinti kairę. Kitaip tariant, jei l/m yra „kandidatas“ šaknį, tada per daug galvosite, kad f( 1 ) ir f(-1) l-m ir l+m yra teisingi. Bet tai gali būti, pavyzdžiui, f(1) =0, ty 1 yra šaknis, tada f(1) gali būti išplėstas kaip skaičius, ir pakartotinis patikrinimas yra prasmingas. Šiuo atveju padalykite f(x) iš x-1, taigi paimkite f(x)=(x-1)s(x) ir patikrinkite daugianarį s(x). Jei pamiršite, kad viena daugianario šaknis f(x)-x 1=1 – mes jau žinojome. Jei šaknyje apverčiami „kandidatai“, kurie buvo prarasti po kitos teoremos apie racionaliąją šaknį, pagal Hornerio schemą gali būti, kad, pavyzdžiui, l / m yra šaknis, tuomet turėtumėte žinoti jos daugumą. Jei jis yra brangesnis, tarkime, k, tai f(x)=(x-l/m) ks(x), ir galima atlikti tolesnį s(x) patikrinimą, kuris sutrumpins skaičiavimą.

Sprendimas. Pakeitę pokytį y=2 x, pereikime prie daugianario, kurio koeficientas lygus vienetui aukščiausiam žingsniui. Šiam pečiui virazą dauginame iš 4. Jei šaknies funkcija atimama, tai smarvė randasi laisvojo nario viduryje. Rašomas ix: ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15±, ±20, ±30, ±60

Iš eilės apskaičiuojame funkcijos g(y) reikšmę šiuose taškuose iki nulio. Tobto, y=-5 є šaknis, otzhe, є išorinės funkcijos šaknis. Vykdoma pagal dvinario turtingo termino stovpchik (ritę).

Pamesto dilnikovo pakartotinis patikrinimas turėtų būti atliktas nepilnai, todėl kvadratinį trinarį Otzhe lengviau išdėstyti į atimties daugiklius,

Vykoristannya greito daugybos ir Niutono dvinario formulės turtingam terminui išplėsti į veiksnius Inodi sena išvaizda daugianario pasiūlymas apie jogos sklaidos ant multiplikatorių metodą. Pavyzdžiui, po nenuoseklių transformacijų vishikovyvayutsya koeficientai iš eilės iš Paskalio trikotažo Niutono dvinario koeficientams. užpakalis. Išdėstykite daugiklio terminą.

Sprendimas. Atkreipiame dėmesį į tai: Koeficientų seka sumoje aiškiai parodo, kas tai yra. Iš to paties dabar suformuluosime kvadratų skirtumo formulę: Viraz kitas lankas neturi veiksmų šaknų, bet turtingam terminui iš pirmojo lanko dar kartą suformuluojame kvadratų skirtumo formulę.

Vietos formulės daugianario koeficientus išreiškia per šaknį. Naudodami šias formules galite rankiniu būdu pataisyti turtingo termino šaknies reikšmės teisingumą, taip pat sulenkti turtingą terminą tam tikroms šaknims. Formulė Kaip daugianario šaknis, tada koeficientai pasireiškia simetriškais turtingais šaknų nariais ir

Kitaip tariant, ak brangi visų įmanomų kūrinių suma iš k šaknų. Kaip vyriausiasis daugianario koeficientas, tada visus koeficientus reikia padalyti į 0 prieš Vietos formulę. Iš likusios formulės Vієta yra stipri, tarsi turtingojo nario šaknis yra sveikasis skaičius, tada smarvė yra yogo free nario dilnikas, kuris taip pat yra sveikasis skaičius. Įrodymas grindžiamas lygiavertiškumo požiūriu, atimant turtingo termino išdėstymą pagal šaknis, vrakhovuchi, kad a 0 = 1 Koeficientų prilyginimas tuose pačiuose x lygiuose yra apsėstas formulės Vієta.

Atriškite išlygiavimą x 6 – 5 x 3 + 4 = 0 Atriškite. Žymiai y \u003d x 3, net jei tai lygu žiūrėti y 2 - 5 y + 4 \u003d 0, kitaip Y 1 \u003d 1; Y 2 \u003d 4. Otzhe, vyhіdne r_vnyannya prilygsta rіvnyan santuokai: x 3 \u003d 1 chi x 3 \u003d 4, t.y. X 1 \u003d 1 chi X 2 \u003d: 1

Beouto paskirties teorema 1. Elementas vadinamas turtingo termino šaknimi, todėl f(c)=0. Bezouto teorema. Dauginamo Pn(x) padalijimo perteklius dvinariu (x-a) padidina daugianario reikšmę, kai x = a. Atvežimas. Pagal algoritmą f(x)=(xc)q(x)+r(x), de arba r(x)=0, kitaip. Vėliau f(x)=(x-c)q(x)+r, vėliau f(c)=(c-c)q(c)+r=r ir f(x)=(xc)q(x) + f(c).

Paskutinis 1: perteklius daugianario Pn (x) poskyryje pagal dvinarį ax+b yra vertingesnis daugianario atveju, kai x = -b/a, tada R = Pn (-b/a). Paskutinis 2: kadangi skaičius a yra daugianario P (x) šaknis, kurio daugianaris dalijasi iš (x-a) be pertekliaus. 3 pamoka. Kaip daugianario P(x) šaknys a 1 , a 2 , … , an, vin dalijamos iš tvir (x-a 1) … (x-an) be pertekliaus. 4 pamoka: turtingas n žingsnio narys gali turėti tris ar daugiau daugiau nei n skirtingų šaknų. 5 pamoka: Bet kurio daugianario P(x) šis skaičius a yra skirtingas (P(x)-P(a)) dalijasi iš dvejetainio (x-a) be pertekliaus. 6 pamoka: Skaičius a yra daugianario P(x), kurio laipsnis yra ne mažesnis už pirmąjį, šaknis ir tik tada, jei P(x) padalintas iš (x-a) be pertekliaus.

Racionaliosios trupmenos išdėstymas ant paprasčiausių Parodykime, ar teisinga racionalioji trupmena gali būti išskaidyta ant paprasčiausių trupmenų sumos. Tegu pateikiamas teisingas racionalus argumentas (1).

1 teorema. Tegul x=а є yra k stiliaus reklamjuostės šaknis, tada , de f(a)≠ 0, tada tą pačią teisingą trupmeną galima pateikti dviejų kitų taisyklingųjų trupmenų suma tokia tvarka: (2 ) , o F 1 (x) yra turtingas terminas, kurio žingsnis yra žemesnis už standarto žingsnį

de richomember, tam tikros žemesnės standarto pakopos pakopa. І panašiai kaip išankstinė formulė gali būti paimta: (5)

Kaip jau minėjome, vienas iš svarbiausių turtingai apibrėžtų terminų teorijos uždavinių yra suprasti jų šaknis. Norėdami atlikti šią užduotį, galite laimėti atrankos metodą tobto. paimkite realųjį skaičių ir pakeiskite jį – tai yra šio daugianario šaknys.

Su tuo jūs galite gerti shvidko ant šaknies arba iš viso to nežinote. Neįmanoma aje iškreipti visų skaičių, tiems, kurie per daug turtingi.

Insha upe, yakby mums pavyko įgarsinti regioną dėl pokšto, pavyzdžiui, sužinoti, kokia šaknis yra, tarkime, trisdešimties nurodytų skaičių viduryje. Ir trisdešimties numerių atveju taip pat galite dirbti su aidėjimu. Prie nuorodos su ūsais sakome svarbiau, ir matome tokį tvirtumą.

Kol l/m (l,m - sveikieji skaičiaus skaičiai) yra daugybinio dėmens f(x) su daugkartiniais koeficientais šaknis, tada didesnis daugianario koeficientas dalijasi iš m, o didesnis narys dalijasi iš 1.

Iš tiesų, jei f(x) = anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, an?0, de an, an-1,...,a1, a0 yra sveikieji skaičiaus skaičiai, tada f (l/m) = 0, tada an (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+...+a1l/m+a0=0.

Pažeidžiančias lygiavertės kainos dalis padauginkite iš mln. Paimkite anln+an-1ln-1m+... +a1lmn-1+a0mn=0.

Garsai šaukia:

anln=m (-an-1ln-1-... - a1lmn-2-a0mn-1).

Bachimo, visas skaičius anln dalijasi iš m. Ale l / m - ne trumpas drіb, tobto. skaičiai l ir m yra tarpusavyje paprasti, taip pat pagal sveikųjų skaičių dalijimosi teoriją skaičiai ln ir m taip pat yra paprasti. Otzhe, anln padalinti į m ir m yra abipusiai paprastas iš ln, taip pat, an dalintinas į m.

Tema buvo iškelta, kad sritis būtų prasmingai įgarsinta ieškant racionalaus turtingo termino su keliais koeficientais šaknies. Mes tai parodysime konkrečioje programoje. Žinome turtingojo termino f(x) = 6x4+13x2-24x2-8x+8 racionaliąją šaknį. Remiantis teorema, racionalioji daugianario šaknis randama tarp netrumpųjų trupmenų formoje l / m, de l yra ilgojo laikotarpio dilnikas a0 = 8, o m yra didžiausio koeficiento dilnikas. a4 = 6. jei taip, yakscho drіb l/m yra neigiamas, tai ženklas "-" vodnosimeme į skaičių. Pavyzdžiui, - (1/3) = (-1)/3. Taip pat galime pasakyti, kad l yra skaičiaus 8 koeficientas, o m yra teigiamas skaičiaus 6 koeficientas.

Skaičiaus 8 osciliatoriai - tse ±1, ±2, ±4, ±8, o teigiami skaičiaus 6 dilatatoriai bus 1, 2, 3, 6, tada nagrinėjamo turtingo nario racionalioji šaknis yra vidurinė. iš skaičių ±1, ±1/2, ± 1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3. Spėkime, kad užsirašėme daugiau nei trumpąsias trupmenas.

Tokia tvarka galime turėti dvidešimt skaičių – „kandidatų“ į šaknis. Liko tik persvarstyti jų odą ir pasirinkti tokias, tarsi ištikimas šaknims. Bet vėlgi, aš turėsiu daug ką perdaryti. O ašis ateina, teorema palengvins robotą.

Kol l/m yra daugybinio termino f(x) su keliais koeficientais šaknis, tada f(k) yra padalintas iš l-km, kad ir koks sveikasis skaičius k būtų, pavyzdžiui, l-km?0.

Norėdami įrodyti teoremą, per daug padaliname f(x) į x-k іz. Paimkite f (x) = (x-k) s (x) +f (k). Kadangi f(x) yra turtingas narys su keliais koeficientais, tai toks daugianomas yra s(x), o f(k) yra sveikas skaičius. Tegu s(x) = bn-1+bn-2+…+b1x+b0. Tada f(x) - f(k) = (x-k) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+...+b1x+b0). Sumokėkime už šią pusiausvyrą x=l/m. Vrahovoyuchi, scho f (l / m) = 0, tai įmanoma

f (k) = ((l/m) - k) (bn-1 (l/m) n-1+bn-2 (l/m) n-2+…+b1 (l/m) +b0) .

Padauginkite įžeidžiančią likusio pavydo dalį iš mn:

mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1+bn-2ln-2m+…+b1lmn-2+b0mn-1).

Aišku, kad skaičius mnf (k) yra padalintas iš l-km. Ale oskіlki l і m yra abipusiai paprasti, tada mn і l-km taip pat yra abipusiai paprasti, taip pat, f (k) dalijamas iš l-km. Teorema baigta.

Dabar atsigręžkime į savo užpakalį ir, įrodžius teoremą, ji skamba dar garsiau, kai kalbama apie racionalios šaknies garsą. Būtina priskirti teoremą k=1 і k=-1, taigi. kaip netrumpas drіb l/m yra f(x), tada f(1)/(l-m) ir f(-1)/(l+m) šaknis. Nesunku žinoti, kad f(1) =-5 ir f(-1) =-15. Pagarbiai išjungėme užkratą iš pirmo žvilgsnio ±1.

Be to, racionali mūsų turtingo termino šaknis yra vidurinių skaičių ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3.

Pažiūrėkime l/m=1/2. Tada l-m=-1 ir f(1)=-5 dalijami iš sveikojo skaičiaus. Dalі, l+m=3 і f(1) =-15 taigi pati dalijama iš 3. Taigi, drіb 1/2 paliekama "kandidatų" viduryje šaknyje.

Šiame range, norėdami užbaigti tą patį paprastą triuką, jie prasmingai įgarsino regioną, ieškodami racionalios analizuojamo daugianario šaknies. Na, o norėdami dar kartą patikrinti skaičius, naudojame Hornerio schemą:

10 lentelė

Jie atmetė, kad perteklius, kai g (x) buvo padalintas iš x-2/3, yra lygus 80/9, taigi 2/3 yra ne turtingo termino g (x) šaknis, o reiškia, i f (x) .

Be to, nesunku žinoti, kad - 2/3 yra daugybinio termino g(x) ir g(x) = (3x+2) (x2+2x-4) šaknis. Tada f(x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Tolesnis patikrinimas gali būti atliktas polinomui x2+2x-4, kuris yra akivaizdžiai paprastesnis, mažesnis g(x) arba didesnis f(x). Dėl to atsižvelgiama į tai, kad skaičiai 2 i - 4 nėra įsišakniję.

Taip pat turtingas terminas f(x) = 6x4+13x3-24x2-8x+8 turi dvi racionalias šaknis: 1/2 i - 2/3.

Spėjant, daugiau metodo aprašymų suteikia galimybę sužinoti turtingo termino su daug koeficientų racionalią šaknį. Timas kartais yra turtingas motinos narys ir neracionalus šaknis. Taigi, pavyzdžiui, žiūrint į turtingo nario užpakaliuką, yra tik dvi šaknys: - 1±v5 (šios turtingo nario šaknys yra x2 + 2x-4). Ir, matyt, turtingas narys gali būti ne racionalios šaknies motina.

Dabar ponia laiminga.

Išbandydami „kandidatus“ turtingo termino f(x) šaknyje, toliau išplėtę daugiau teoremų, skambinkite kairėje vipadkіv k=±1. Kitaip tariant, kadangi l/m yra „kandidatas“ prie šaknies, yra atvirkščiai, ar f (1) ir f (-1) gali būti suskirstyti į l-m ir l+m akivaizdžiai. Bet gali būti, kad, pavyzdžiui, f (1) = 0, tada 1 yra šaknis, o tada f (1) gali būti padalintas iš skaičiaus, ir mūsų pakartotinis patikrinimas yra prasmingas. І čia kitas žingsnis yra padalyti f (x) iš x-1, taigi. paimkite f(x) = (x-1) s(x) ir patikrinkite daugianarį s(x). Jei nepamiršite, kad viena turtingojo termino šaknis f(x) – x1=1 – jau žinojome. Kaip ir "kandidatų" apvertimo šaknyje atveju, kuris buvo prarastas po kitos teoremos apie racionaliąją šaknį, pagal Hornerio schemą gali būti, kad, pavyzdžiui, l / m yra šaknis, tuomet turėtumėte žinoti jos daugumą. Jei jis brangesnis, tarkime, k, tada f(x) = (x-l/m) ks(x) ir galima atlikti tolesnį s(x) patikrinimą, kuris sutrumpins skaičiavimą.

Šiame reitinge mes išmokome žinoti racionalią turtingo termino šaknį su dideliais koeficientais. Atrodo, kad mes patys išmokome pažinti neracionalią turtingo termino šaknį su racionaliais koeficientais. Tiesą sakant, kiek galiu, pavyzdžiui, turtingas terminas f (x) \u003d x4 + 2 / 3x3 + 5 / 6x2 + 3 / 8x + 2, tada, pridėjus koeficientus prie miego reklamjuostės ir pridėjus jogą pagal rankas imame f (x) \u003d 1 /24 (24x4+16x3-20x2+9x+48). Buvo aišku, kad daugianario f(x) šaknys sudaromos iš turtingojo termino šaknų, kurios stovi prie rankų, o naujajame koeficiente - skaičių. Tarkime, kad sin100 yra neracionalus skaičius. Paspartinti naudojant namų formulę sin3?=3sin?-4sin3?. Žvaigždės sin300 = 3sin100-4sin3100. Žvelgiant atgal į tuos, kuriuose sin300=0,5 ir atliekant nepatogias transformacijas, galime daryti prielaidą, kad 8sin3100-6sin100+1=0. Taip pat sin100 yra termino f(x) = 8x3-6x+1 šaknis. Lygiai taip pat, kaip mes racionaliai šukatimeme to turtingo nario šaknį, taip ir perekaєmosya, mes jų neturime. Otzhe, sin100 šaknis yra racionalus skaičius, tobto. sin100 yra neracionalus skaičius.

Nagi

- turtingas žingsnis n ≥ 1 kompleksinio kintamojo z efektyviojoje reikšmėje su kompleksinių koeficientų efektyvia reikšme a i . Įrodykime tokią teoremą.

1 teorema

Išlyginimas P n (z) = 0 Norėčiau vienos šaknies.

Eime, Lema.

1 lema

Tegul P n (z)- turtingas n, z žingsnio terminas 1 - upės šaknis:
P n (z1) = 0.
Todi P n (z) gali būti atskleista vienu būdu pažiūrėjus:
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z),
de P n- 1(z)- turtingo termino žingsnis n - 1 .

Atneša

Kad tai įrodytume, padarykime teoremą (dal. Daugelio dėmenų padalijimas iš daugybinio dėmens iš klostės ir kelmo), tai įmanoma bet kuriems dviem turtingiems nariams P n (z) aš Qk (z), žingsniai n ir k, be to, n ≥ k
P n (z) = P n-k (z) Q k (z) + U k-1 (z),
de P n-k (z)- turtingas žingsnis n-k, U k- 1(z)- turtingas žingsnio terminas yra ne didesnis kaip k- 1 .

Įdėkime k = 1 , Qk (z) = z - z 1 taip pat
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z) + c,
de c – greitas. Įsivaizduokite čia z = z 1 kad vrahuєmo, scho P n (z1) = 0:
P n (z 1 ) = (z 1 - z 1 ) P n-1 (z 1 ) + c;
0 = 0 + c.
Zvіdsi c = 0 . Todi
P n ,
ką reikėjo atnešti.

Turtingo termino išplėtimas į daugiklius

Taip pat, remiantis 1 teorema, turtingas terminas P n (z) Norėčiau vienos šaknies. Žymiai yogo yak z 1 , P n (z1) = 0. Tas pats stove lemy 1:
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z).
Dali, kaip n > 1 , tada daugianario P n- 1(z) taigi galiu norėti vienos šaknies, kuri yra reikšminga kaip z 2 , Pn- 1(z2) = 0. Todi
Pn- 1 (z) = (z - z 2) P n-2 (z);
P n (z) = (z - z 1) (z - z 2) P n-2 (z).

Tęsdami šį procesą, darome išvadą, kad turime n skaičių z 1, z 2, ..., z n toks kad
P n (z) = (z - z 1) (z - z 2) ... (z - z n) P 0 (z).
Ale P 0 (z)- tse postiyna. Sulyginus koeficientus ties z n , žinoma, kad jis yra brangesnis a n . Dėl to esame apsėsti formulės, kaip padalyti turtingą terminą į daugiklius:
(1) P n (z) = a n (z - z 1) (z - z 2) ... (z - z n).

Skaičiai z i є iki turtingojo termino P n šaknų (z).

Tuo zagalny vpadku ne visi z i, scho įvesti prieš (1) , Riznі. Tarp jų gali būti tos pačios vertės. Kaip išplėsti turtingą terminą į daugiklius (1) matydami galite parašyti:
(2) P n (z) = a n (z - z 1 ) n 1 (z - z 2 ) n 2 ... (z - z k ) n k;
.
Čia z i ≠ z j i ≠ j. Yakscho n i = 1 , tada šaknis z i pašaukė atleisti. Vіn įveskite daugintuvų išdėstymą prie žvilgsnio (z-z i ). Yakscho n i > 1 , tada šaknis z i vadinama daugybine daugybine šaknimi n i . Vіn įveskite daugiklių išdėstymą žiūrėdami į n i pirminių daugiklių ištraukimą: (z-z i )(z-z i ) ... (z-z i ) = (z-z i ) n i.

Turtingi terminai su efektyviais koeficientais

2 lema

Kadangi tai yra kompleksinė daugianario šaknis su efektyviais koeficientais, skaičius taip pat yra kompleksiškai susijęs su daugianario šaknimi, .

Atneša

Deisno, yakscho ir daugianario koeficientai - dіysnі skaičiai, tada.

Tokia tvarka sudėtinga šaknis įtraukiama į daugiklių išdėstymą poromis su jų sudėtingomis reikšmėmis:
,
de, - Realieji skaičiai.
Tas pats išdėstymas (2) gausus terminas su efektyviais daugiklių koeficientais gali būti įrašytas iškart, kai yra tik efektyvus greitas:
(3) ;
.

Turtingo termino padalijimo į daugiklius metodai

Patobulinus tai, kas buvo pasakyta aukščiau, norint išskaidyti daugianarį į veiksnius, būtina žinoti visas lygties šaknis P n (z) = 0 ir nurodykite jų daugumą. Sudėtingų šaknų daugikliai turi būti grupuojami kompleksiškai. Tas pats išdėstymas priklauso nuo formulės (3) .

Šiame range puolime naudojamas turtingo termino išskleidimo į daugiklius metodas:
1. Žinome šaknį z 1 išlyginimas P n (z1) = 0.
2.1. Jakščo šaknis z 1 efektyvus, tada makete pridedame daugiklį (z–z1) (z–z1) 1 :
.
1(z), pradedant nuo taško (1) , Kol nežinome visų šaknų.
2.2. Kaip sudėtinė šaknis, skaičius є yra kompleksiškai gaunamas kaip turtingo termino šaknis. Todі prieš išdėstydami įveskite daugiklį

,
de b 1 = - 2 x 1, c 1 = x 1 2 + y 1 2.
Mano galva, makete pridedame daugiklį (z 2 + b 1 z + c 1) aš praskiedžiu turtingąjį terminą P n (z). (z 2 + b 1 z + c 1). Dėl to mes pasirenkame turtingą n žingsnio terminą - 2 :
.
Pakartokime procesą polinomui P n- 2(z), pradedant nuo taško (1) , Kol nežinome visų šaknų.

Žinios apie turtingo nario šaknį

Pagrindinis biuras, daugianario išplėtimas į veiksnius, jogo šaknies reikšmė. Deja, jūs ne visada galite dirbti analitiškai. Čia mes analizuosime vipadkiv šprotą, jei galite analitiškai žinoti turtingo termino šaknį.

Pirmojo etapo turtingojo nario šaknis

Turtingas pirmojo žingsnio narys yra neatskiriama funkcija. Yra tik viena šaknis. Išdėstymas gali būti tik vienas daugiklis, skirtas atkeršyti už z pakeitimą:
.

Kito lygio turtingo nario šaknis

Norint sužinoti kito lygio turtingo termino šaknį, reikia atrišti kvadratą, lygų:
P 2(z) = a 2 z 2 + a 1 z + a 0 = 0.
Kaip diskriminantas, yra dvi tikrosios šaknys:
, .
Tiesiog pažiūrėkite į daugiklius:
.
Kas yra diskriminantas D = 0 , tada gali būti lygi vienai dvorazovo šaknims:
;
.
Kaip diskriminuojantis D< 0 , tada šaknis yra sudėtingesnė,
.

Sodriai artikuliuotas laiptelis aukščiau kitam

Іsnuyu formulės, skirtos 3 ir 4 žingsnių turtingųjų segmentų šaknų prasmei. Jie retai su jais gailisi, smarvės šukės yra stambios. Aukštesnio nei 4-ojo sodriai artikuliuoto laipsnio šaknų pažinimo formulių nėra. Nemokšiškai vietoje, deyakih vipadkose, imama platinti turtingą terminą į daugiklius.

Visos šaknies reikšmė

Atrodo, kad tai turtingas terminas, kai kuriems koeficientams – skaičių, šaknų skaičiaus, kurį galima sužinoti surikiavus visas įmanomas reikšmes.

3 lema

Duok man turtingą penį
,
koeficientai a i iš kurių - skaičiaus, kuris gali būti z šaknis, skaičius 1 . Ta pati šaknis kaip skaičiaus a dilnik 0 .

Atneša

Perrašome lygų P n (z1) = 0 matant:
.
Todi - tsile,
Mz 1 = - a0.
Padalinta iš z 1 :
.
Oskіlki M - qile, tada i - qile. Ko reikėjo atnešti.

Todėl kaip daugianario koeficientus - skaičių skaičius, galite pabandyti žinoti šaknies skaičius. Kam būtina žinoti visus laisvo nario dilnikus 0 і, išlyginimo pakeitimas P n (z) = 0, perverti, chi є smirda iki šaknų to lygaus.
Pastaba. Kadangi daugianario koeficientai yra racionalieji skaičiai, tai padauginus lygų P n (z) = 0 pagal aukštą skaičių a i standartą imame daugianario išlyginimą su sveikaisiais koeficientais.

Racionalios šaknies prasmė

Kadangi daugianario koeficientai - skaičiaus ir šaknų skaičiaus skaičiai nėra, tada n ≠ 1 , galite pabandyti žinoti racionalią šaknį. Kam būtina sukurti pakaitalą
z = y/a n
ir padauginkite iš a n n- 1 . Dėl to mes atsižvelgiame į turtingojo termino lygybę pokyčio forma ir su koeficientų skaičiumi. Dali shukaimo turtingojo nario šaknis laisvojo nario vidurinio nario šaknis. Kadangi žinojome tokią šaknį y i , tai pereidami prie pokyčio x , priimsime racionalią šaknį
z i = y i / a n.

Spalvotos formulės

Pateikiame formules, kurių pagalba galima daugianarį išplėsti į veiksnius.

Būkite žiauresni, išdėliokite turtingą narį
P n (z) = z n – a 0,
de a 0 - tai sudėtingiau, būtina žinoti visas jogo šaknis, kad galėtumėte išnarplioti lygias:
z n = a 0 .
Tsіvnyannya lengva klysti, tarsi įrodyti a 0 per modulio r i argumentą?
.
Oskilki a 0 nekeisti, kaip papildyti argumentą 2 pi, tada įsivaizduokite a 0 matant:
,
de k – qile. Todi
;
.
Reikšmių priskyrimas k k = 0, 1, 2, ... n-1, Paimame n daugianario šaknų. Daugintuvų Todi yogo išdėstymas gali atrodyti:
.

Bisquare bagatonic terminas

Pažvelkime į bikvadratinį terminą:
.
Biquadrate turtingas terminas gali būti suskirstytas į daugiklius, be šaknies.

Kada, galbūt:

,
de.

Dvikubiniai ir turtingi segmentai, kuriuos galima sumažinti iki kvadrato

Pažvelkime į turtingą narį:
.
Jogo šaknis reiškia lygybę:
.
Laimėjo vadovautis iki kvadratinis lygiavimas pakeitimas t = z n :
a 2 n t 2 + a n t + a 0 = 0.
Virishivshi tse išvakarėse, mes žinome jogo šaknį, t 1 , t 2 . Jei žinome išdėstymą matydami:
.
Dali metodu, pažiūrėkime, išplėskime į daugiklius z n - t 1 i z n - t 2 . Visnovka turi grupę daugiklių, kurie kompleksiškai atkeršija už šaknį.

Sukamieji stiebai

Turtingas narys vadinamas grąžinti yakscho yogo koeficientai yra simetriški:

Laikomo bagato nario užpakalis:
.

Kadangi atvirkštinio daugianario n žingsniai yra nesuporuoti, toks daugianomas gali turėti šaknį z = -1 . Padalijus tokį turtingą terminą į z + 1 , imame veiksmingo žingsnio terminą

Esant rozv'yazannі rivnyan i nerіvnjanі dažnai vykaє nіkaє nebhіdnіst razvіdnіє daugianario razvіdnіє ant daugianario, stupіnіy і і dіv dіv. Galime pažvelgti į šią statistiką, kaip ją supaprastinti.

Kaip zavzhd, žvėris už pagalbą teorijai.

Bezouto teorema stverzhuє, scho perteklius skaidant daugianarį į dvinarį dorivnyuє.

Bet mums svarbi ne pati teorema, o pasekmė iš to:

Kadangi skaičius yra daugianario šaknis, daugianario galima padalyti be per daug dvinario.

Prieš mus yra užduotis žinoti, kaip žinoti vieną turtingo termino šaknį, tada turtingą terminą padalijame į de - turtingo termino šaknį. Dėl to imame turtingą narį, vieno pėda yra viena mažesnė, apatinio – išorinio šonkaulis. Ir tada vartojimui galite pakartoti procesą.

Tse zavdannya padalinta į dvi dalis: kaip sužinoti turtingo termino šaknį ir kaip padalyti turtingą terminą į dvinarį.

Leiskite mums pranešti apie šias akimirkas.

1. Kaip žinoti turtingo nario šaknį.

Rankos nugarėlė yra gerbiama, chi yra turtingo nario šaknų skaičius 1 ir -1.

Štai keletas faktų, kurie mums padės:

Kadangi visų daugianario koeficientų suma lygi nuliui, skaičius yra daugianario šaknis.

Pavyzdžiui, koeficientų sumos daugianario lygus nuliui: . Lengva klaidingai suprasti, kas yra turtingo nario šaknis.

Kadangi daugianario koeficientų suma suporuotais žingsniais yra tokia pati, kaip ir neporuotų žingsnių koeficientų suma, skaičius yra daugianario šaknis. Vilniy narys vvazhaetsya koeficientas dvigubu lygiu, oskolki, ir - vaikino numeris.

Pavyzdžiui, suporuotų žingsnių koeficientų sumos polinome : , o neporuotų žingsnių koeficientų sumos : . Lengva klaidingai suprasti, kas yra turtingo nario šaknis.

Jei nі 1, nі -1 є iki daugianario šaknų, tada atstumas žlunga.

Indukuotajam sodriam žingsnio nariui (tobto turtingojo termino, kuriame vyresnis koeficientas yra koeficientas ties - pirmaujantis), galioja ši formulė:

De yra turtingo nario šaknis.

Yra ir daugiau Vієta formulių, kad yra ir kitų daugianario koeficientų, bet apie tai galime kalbėti patys.

Z tsієї formulė Vієta viplivaє, scho kaip sveikojo skaičiaus turtingojo nario šaknis, tada yogo laisvojo nario dilnikų kvapas, kuris taip pat yra sveikas skaičius.

Vihodyachi z tsogo, turime išdėstyti turtingo termino kintamąjį terminą į kartotinius ir nuosekliai, nuo mažiausio iki didžiausio, atvirkščiai, kuris iš daugiskaitų yra turtingo termino šaknis.

Pažvelkite į tai, pavyzdžiui, turtingas narys

Nemokami nario dienoraščiai: ; ; ;

Visų daugianario koeficientų suma yra brangesnė, tada skaičius 1 nustojo būti daugianario šaknimi.

Dvynių žingsnių koeficientų suma:

Nesuporuotų žingsnių koeficientų suma:

Be to, skaičius -1 taip pat yra daugianario šaknis.

Galima atšaukti, kad chi yra skaičius 2 kaip turtingo termino šaknis: taip pat skaičius 2 yra turtingo termino šaknis. Vėliau, vadovaujantis Bezouto teorema, turtingas terminas gali būti padalintas be pertekliaus į dvinarį.

2. Kaip atimti turtingą terminą į dvinarį.

Turtingas terminas gali būti suskirstytas į dvinarį su kelmu.

Turtingąjį terminą padalijame į dvinarį su stompčiku:

Antrasis būdas padalyti daugianarį į dvinarį yra Hornerio schema.

Norėdami suprasti, žiūrėkite vaizdo įrašą kaip padalyti turtingą terminą į dvejetainį terminą su i žingsniu papildomai Hornerio schemai.

Gerbsiu tai, kai rozpodіlі stovpchik mėgsta žingsnius, nepažįstamus vyhіdny daugianario vіdsutnya, її mіstsі parašykite 0 - kaip і, kaip iš sulankstytos Hornerio schemos lentelės.

Todėl, kadangi turime padalyti turtingą terminą į dvejetainį terminą ir dėl to paimti turtingą terminą, galime žinoti Hornerio schemos koeficientus:

Galime ir vikoristas Hornerio schema norint apversti, jei skaičius pateikiamas kaip turtingo termino šaknis: jei skaičius yra turtingo termino šaknis, tada turtingo termino polaukio perteklius yra lygus nuliui, taigi likusiame stulpelyje kitą Hornerio schemos eilutę imame 0.

Pagal Vikoristovuyuchi Hornerio schemą „sumušame du paukščius vienu akmeniu“: vieną valandą patikriname, ar skaičius yra turtingo termino šaknis, o turtingą terminą padalijame į dvinarį.

užpakalis. Virishiti Rivnyannia:

1. Užsirašykite laisvojo nario dilnikus, o shukatimemo laisvojo nario viduriniojo nario turtingo nario šaknį.

Skaičiaus 24 dialogai:

2. Grįžtamuoju būdu chi yra turtingo termino šaknis skaičius 1.

Polinomo koeficientų suma, taip pat skaičius 1 yra daugianario šaknis.

3. Padalinkite išorinį turtingą terminą į dvejetainį terminą, naudodami Hornerio schemą.

A) Užrašykite pirmąją išvesties daugianario koeficientų lentelės eilutę.

Oskіlki narys, scho vengeance vіdsutnya, prie tos stalo lentelės, kuri gali turėti koeficientą, kai rašome 0. Rašome blogio šaknį žinių: skaičių 1.

B) Išsaugokite pirmąją lentelės eilutę.

Likusioje stulpelio dalyje lyg ir aišku atėmėme nulį, paskutinę turtingą terminą pasaulis padalino į dvinarį be pertekliaus. Dauginamo koeficientai, kuriuos rezultatas turi po mėlynos spalvos atvaizdu kitoje lentelės eilutėje:

Lengva klaidingai suprasti, kad skaičiai 1 ir -1 nėra turtingo termino šaknys

C) Tęsiame lentelę. Atvirkščiai, chi yra skaičius 2 kaip turtingo termino šaknis:

Taigi daugianario žingsnis, atsirandantis podalinio rezultate, yra vienu mažesnis už išvesties turtingo nario žingsnį, taip pat koeficientų skaičius ir stulpelių skaičius yra vienu mažiau.

Likusioje stulpelio dalyje atėmėme -40 - skaičių, kuris neprideda prie nulio, todėl turtingas narys yra padalintas iš dvejetainio nario iš pertekliaus, o skaičius 2 nėra turtingojo nario šaknis.

C) Grįžtamai, chi yra skaičius -2 kaip turtingo termino šaknis. Taigi, kaip ir anksčiau, testas nebuvo toli, kad nebūtų sukčiavimo su koeficientais, aš eilėje, kad patvirtinu savo testą:

Stebuklingas! Nulis buvo atimtas iš pertekliaus, tada turtingas terminas buvo padalintas į dvinarį be pertekliaus, o skaičius -2 yra turtingo termino šaknis. Dauginamo koeficientai, kurie rezultate padalija daugianarį į dvinarį paveikslėlio lentelėje žalia spalva.

Dėl to mes atėmėme kvadratinį trinarį , kurios šaknis nesunku sužinoti už Viet teoremos:

Otzhe, išorinio atgimimo šaknis:

{}

Pasiūlymas:( }

Yakscho turtingas narys

Atneša

Tegul daugianario є koeficientai yra sveikieji skaičiai, o skaičius a yra turtingojo nario šaknis. Tam, kuriame garsas šviečia kiekvieną akimirką, koeficientas dalijamas iš a.

Pagarba. Ši teorema iš tikrųjų leidžia žinoti aukštesnių žingsnių turtingesnių terminų šaknį tokiu atveju, jei šių turtingų terminų koeficientai yra skaičiai, o šaknis yra racionalus skaičius. Teoremą galima performuluoti taip: kaip žinome, kad daugianario koeficientai yra skaičiaus skaičiai, o jogo šaknis yra racionali, tai racionalioji šaknis gali būti tik kaip de p kaip skaičiaus dilnikas. (laisvas terminas), o skaičius q yra skaičiaus plėtiklis (vyresnysis coy) .

Teorema apie visą šaknį, už ką atkeršyti sau

Kaip skaičius α yra turtingo termino su keliais koeficientais šaknis, taip α yra laisvojo jogo termino dilnikas.

Atvežimas. Nagi:

P(x)=a 0 xⁿ +a 1 xⁿ -1 +…+a n-1 x +a n

turtingas terminas su qlimi koeficientais ir qile skaičiumi α – jogo šaknis.

Tada šaknies reikšmė išlyginama P (α)=0;

a 0 αⁿ+a 1 αⁿ -1 +…+a n-1 α +a n =0.

Vinosyachi zagalny daugiklis α lankams, atimkite lygiavertiškumą:

α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)+a n =0 , žvaigždės

a n = -α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)

Skaičiaus a 0 , a 1 ,…a n-1 , an i α −tsіlі skeveldros, tada lankai turi būti sveiki skaičiai, tada a n padalyti iš α, kaip ir turėjo būti užbaigta.

Teorema iškelta, bet ją galima suformuluoti taip: daugianario šaknų skaičius su koeficientų skaičiumi yra pirmojo laisvojo nario plėtiklis.
Remiantis pagrindų teorema, turtingo termino sveikosios šaknies paieškos algoritmas su visu koeficientų skaičiumi:

2. Dodatkovos teorema apie šaknies reikšmę

Be turtingo termino P(x) α šaknų skaičiaus su sveikųjų skaičių koeficientais, tada α-1-skaičiaus P(1), α+1-skaičiaus P(-1)

Atvežimas. 3 tas pats

xⁿ-yⁿ=(x-y)(xⁿ -1 +xⁿ -2 y+…+ xyⁿ -2 +yⁿ -1)

matote, kad iš skaičių b і c skaičius bⁿ-cⁿ dalijasi iš b∙c. Ale bet kokiam turtingam nariui P mažmeninei prekybai

P(b)-P(c)= (a 0 b+a 1 bⁿ -1 +…+a n-1 b+a n)-(a 0 cⁿ+a 1 cⁿ -1 +…+a n-1 c +a n)=

=a 0 (bⁿ-cⁿ)+a 1 (bⁿ-1-cⁿ-1)+…+a n-1 (b-c)

і, taip pat, daugianario P su zіlimi koeficientais і zіlih skaičiais b і c skirtumas P(b)-P(c) skirstomas į b-c.

Prisiminkime: jei b = α, z = 1, P (α)-P (1) = -P (1), o tai reiškia, kad P (1) yra padalintas iš α-1. Panašiai yra ir kitas požiūris.

Hornerio schema

Teorema: Tegul trumpalaikis drіb p / q є šaknis lygus a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n =0 su keliais koeficientais, tas pats skaičius q є vyresniojo koeficiento a0 dilnik ir skaičius R є dilnik laisvas narys an.

Pagarba 1. Būkite santykio su koeficientų skaičiumi ir jogo laisvo nario dilniku šaknis.

Pagarba 2.Kadangi vyresnysis koeficientas lygus kelio 1 koeficientų skaičiui, visos racionalios šaknys, kaip smirda žinoma - skaičius.

Turtingo nario šaknis. Turtingo nario šaknis f(x)= a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n є x = c , tai kas f (c) = 0 .

3 pastaba. Jakšo x = c turtingo nario šaknis , tada turtingas terminas gali būti parašytas taip: f(x)=(x-c)q(x) , de tse privatus vaizdas pagal turtingas narys f(x) į monomiją x-c

Galite suskirstyti turtingą terminą į monomiją naudodami Hornerio schemą:

Jakšo f(x)=a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n , a0 ≠0 , g(x)=x-c , tada kai rozpodіlі f (x) ant g (x) privačiai q(x) gali atrodyti q(x)=b 0 x n − 1 +b 1 x n − 2 + +b n−2 x+b n−1 , de b 0 = a 0 ,

b k = c b k − 1 + a k , k=1, 2, ,n−1. perteklius r žinoti formulę r=c b n − 1 +a n

Sprendimas: Vyresniojo lygio koeficientas lygus 1; 2; 3; keturi; 6; 12. Vikoristovuyuchi Hornerio schema, žinome, kad šaknų skaičius lygus:

Hornerio schemai galima pasirinkti vieną šaknį. tada tu gali tai padaryti taip x 3 −x 2 −8x+12=(x−2)(x 2 +x−6)=0 (x−2) 2 (x−3)=0 x=2;x=3