Algebrinis lauko išplėtimas. Atleiskite už laistymo išplėtimą. Algebros laukų sandėlio išplėtimas

algebrinio lauko išplėtimas- — Informacijos apsaugos tema EN išplėtimo laukas … Dovіdnik techninis vertimas

E laukas, kuriam K laukas suteikiamas kaip polaukis. Tipo plėtinys Algebros plėtinio išplėtimas, visi tokio є algebriniai elementai virš K, tai yra toks є elementas yra turtingo termino f (x) c šaknis ... Vikipedija

Algebrinis lauko EÉ K plėtinys, kuris yra normalus ir atskiriamas. Tsikhų protams E bus didžiausias automorfizmų skaičius, o ne K (kadangi E yra unikalus, automorfizmų skaičius taip pat yra reikšmingas ir labiau pažengęs plėtimosi laipsnis).

Nap_vugroup A nap_vgroup S, scho revenge Av yak p_demigroup. Skamba apie A grupės pavadinimų išplėtimą, susiejimą su Atemu su kitais protais. Pažangiausia idealaus R. nap_vgroup teorija (nap_vgroup, už ką atkeršyti Av jakui ......) Matematinė enciklopedija

Lygu n-osios pakopos de rich termino protui vieno ar kelių pakeitimų pavidalu. A. in. su vienu nežinomu garsu. lygus protui: Nėra skaičiaus, garso. koeficientai lygūs ir є danimi, hnaz. nevidomimas ir є… Matematinė enciklopedija

Laukai k algebriniai. lauko k, kuris yra uždaras algebrinis laukas, išplėtimas. Toks bet kurio lauko plėtinys yra vienareikšmiškai priskiriamas iki izomorfizmo. A. h. laukai dienų numeriaiє laukas kompleksiniai skaičiai(Padalinys … … Matematinė enciklopedija

Įprastai išplėstas algebrinis lauko EÉ K plėtinys bet kuriam neredukuojamam turtingam terminui f(x) virš K, kuris gali turėti vieną šaknį E, gali būti išplėstas E į tiesinius daugiklius. Lygiaverčiai paskirti: Yakscho KÌ EÌ K *, de K * ... ... Vikipedija

Atskiriamas lauko, kurį sudaro atskiriami elementai, algebrinio plėtinio plėtinys, kad tokie elementai būtų α, yra mažiausias anuliatorius f(x) virš K, kuriam nėra kelių šaknų. Pokhіdna f (x) gali buti už vishchevkazanim ... ... Vikipedija

Išplėsti lauką, toks, kad E, yra puikus, per K jak vektorinė erdvė. Vektorinės erdvės E plėtimasis virš K vadinamas plėtimosi laipsniu ir yra žymimas. Paskutinių išsiplėtimų galia ... ... Vikipedijoje

Laukai yra L lauko K algebrinis plėtinys, kuris patenkina vieną iš besivystančių lygiaverčių minčių: 1) ar laukas L yra įterptas į algebrinį lauką. lauko uždarymas є lauko L automorfizmu; 2) Duotos daugianario šeimos išdėstymo L laukas s ... ... Matematinė enciklopedija

Algebrinis laukų išplėtimas

Įvadas.

Pedagoginiai universitetai pradėjo vykdyti vieningo algebros ir skaičių teorijos kurso programą. Metakurso vadovas yra pagrindinių algebros sistemų kūrimas ir algebrinės kultūros ugdymas, kuris reikalingas būsimam mokytojui, norint giliai suprasti pagrindinio mokyklinio matematikos kurso tikslus ir užduotį, taip pat mokykliniai pasirenkamieji kursai.

Mūsų nuomone, svarbiausias įvadas į mokyklos programą yra šiuolaikinės abstrakčios algebros elementai.

Dvidešimtajame amžiuje prasidėjęs matematikos algebrazavimo procesas nepriimtinas, o priverstas bandyti suprasti algebros pagrindus mokykliniame matematiniame ugdyme.

Matematinis gylis ir nepaprastai plati laukų tankio sfera bus derinama su pagrindinių nuostatų paprastumu – norint suprasti laukus, galima suformuluoti ir iškelti į dienos šviesą daugybę svarbių teoremų, kurios dažnai atsiranda daugybinės teorijos visatoje. Todėl lauko teorija labiau tinka norint parodyti moksleiviams šiuolaikinės matematikos įžvalgą.

Be to, šios srities teorijos elementų raida yra pažįstama moksleiviams, skatinanti jų intelektualinį augimą, kuris pasireiškia skirtingų jų proto pusių, savybių ir savybių praturtėjimo vystymusi, taip pat mokslininkų tobulėjimu. , mokslas ir matematika.

1. Paprastas lauko algebros išplėtimas.

1.1.Tiesiog išplėskite lauką.

Tegul P[x] yra polinomų, tokių kaip x, žiedas virš lauko P, kur P yra lauko F polaukiai. Tarkime, kad lauko F elementas a vadinamas algebriniu virš lauko P, nes a yra lauko šaknis toks teigiamo žingsnio P[x] daugianario.

Paskyrimas. Tegul P< F и a0F. Простым расширением поля P с помощью элемента a называется наименьшее подполе поля F, содержащее множество Р и элемент a. Простое расширение P с помощью a обозначается через P (a), основное множество поля P (a) обозначается через Р(a).

Tegu a0F, P [x] - daugianario žiedas x i

P[x]=(f(a)*f0P[x]),

taigi P [a] yra beasmenis iš visų formų a 0 + a 1 a + ... + a n a n de a 0 , a 1, ... a n 0P i n - būti natūralusis skaičius.

Nesunku pastebėti, kad algebra +P[a], +, -, ., 1, yra lauko P(a) polaukis - polaukis; visas žiedas žymimas simboliu P[a].

1.1 teorema. Tegu P [x] – daugianario x žiedas virš P ir P (a) – paprastas lauko P plėtinys. Tegu y – išplėskite P [x] ties P [a] taip, kad y (f) = f ( a) be -th f іz P[x]. Todi:

(a) bet kuriam a z P y (a) = a;

(c) y yra žiedo P[x] ant žiedo P[a] homomorfizmas;

(d) Ker y = (f0P[x] * f(a) = 0);

e) faktoriaus apskritimas P[x]/Ker y, izomorfinis žiedui P[a].

Atneša. Teiginys (a) ir (b) girgžda be tarpininko nuo y paskyrimo. Įvedus y išsaugomos pagrindinės žiedo P[x] operacijos, todėl bet kuriam f і g з P[x]

y(f + g)=f(a)+g(a), y(fg)= f(a)g(a), y(1)=1.

Tvirtumas (d) išryškėja be pėdsakų iš y.

Jei žiedas y yra žiedo P[x] homomorfizmas į P[a], tai faktoriaus žiedas P[x]/Ker y yra izomorfinis žiedui P[a].

Paskutinį 1.2. Tegu a yra transcendentinis elementas virš lauko P. Jei daugianario žiedas P[x] yra izomorfinis žiedui P[a].

Atneša. Žvelgiant atgal į a virš P Kery=(0) transcendenciją. Į tą P[x]/(0) - P[a]. Be to, žiedo faktorius P[x], esantis už nulinio idealo, yra izomorfinis P[x]. Taip pat P[x] – P[a].

1.2.Mažiausias algebrinio elemento daugianario.

Tegul P [x] yra daugianario žiedas virš lauko P.

Paskyrimas. Tegu a yra algebrinis elementas virš lauko P. Minimalus elemento a daugianomas virš P yra mažiausio laipsnio P [x] vertinimo polinomas, kurio šaknis yra є a. Minimalaus daugianario žingsnis vadinamas elemento a žingsniu virš P.

Nesunku suprasti, kad bet kuriam elementui a, kuris yra algebrinis virš P, yra minimalus daugianario dydis.

1.3 pasiūlymas. Jei a yra algebros elementas virš lauko P, o g ir j yra mažiausiasis P daugianaris, tada g = j.

Atneša. Praleidžiami minimalių daugianario g ir j žingsniai. Jei g ¹ j, tada elementas a (žingsnis n virš P) bus daugianario g - j šaknis, kurio žingsnis yra mažesnis už daugianario j žingsnį (mažiau nei n), o tai neįmanoma. Vėliau g = j.

1.4 teorema. Tegul a yra n laipsnio algebros elementas virš lauko P (aóP), o g yra P minimalus polinomas. Tada:

a) apskritime P [x] daugianomas g nėra indukuotas;

(b) taigi f (a) = 0, kur f 0 P[x], g dalija f;

c) koeficientas-apskritimas P[x]/(g) izomorfinis apskritimui P[a];

(d) P [x]/(g) yra laukas;

(e) žiedas P [a] suderinamas su lauku P (a).

Atneša. Tarkime, kad apskritime P [x] indukuotas polinomas g, tada P [x] galima nustatyti tokius daugianorius j ir h, kad

g = jh, 1£deg j, deg h

Tada g(a) = j(a)h(a) = 0. Kadangi P(a) yra laukas, tai j(a) = Pro arba h(a) = 0, o tai neįmanoma, šukės, už proto , žingsnių elementas a virš P yra daugiau p.

Tarkime, kad f 0 P[x] ir f(a) = 0. Protui g(a) = 0. Tada f ir g negali būti atleisti vienas kitam. Jei daugianomas g yra neredukuojamas, tada g dalijasi f.

Tegu j yra žiedo P[x] ant žiedo P[a] homomorfizmas (y(f)=f(a) bet kuriam f ⊂ P[x], atsižvelgiant į 2.1 teoremą. 3(b) homomorfizmo y branduolys sudarytas iš daugianario g kartotinių, taigi. Ker y = (g). Taip pat žiedo faktorius P = P[x]/(g) yra izomorfinis žiedui P[a].

Oskilki P[a]ÌP(a), tada P[a] yra vientisumo sritis. Kadangi P @ P [a], tai koeficientas P taip pat yra vientisumo sritis. Turime parodyti, kad bet kurį nulinį elementą f iš P galima redukuoti į P. Tegul f yra sumos klasės f elementas. Oskilki f ¹ 0, tada f(a)¹0; Todėl daugianario g negalima padalyti iš daugianario f. Oskilki daugianaris g yra neredukuojamas, žvaigždės aiškios, bet daugianariai f ir g yra paprasti. Taip pat Р[x] nustato tokius daugianario u ir v, kad uf + vg=1. Reikšmė uf = 1 rodo, kad elementas f yra žvėriškai P žiede.

З (с) і (d) P [a] є laukas ir tūris P(a)ÌP[a]. Iš kitos pusės, aišku, P[a]ÌP(a). Taip pat P[a] = P(a). Be to, žiedas P[a] suderinamas su lauku P(a).

1.3. Budovo paprastas lauko algebros išplėtimas.

1.5 teorema. Tegu a yra teigiamos n klasės algebrinis elementas virš lauko P. Bet kuris lauko P(a) elementas gali būti vienareikšmiškai pavaizduotas tiesine n elementų 1, a, ..., a n-1 kombinacija su koeficientais Р.

Atneša. Tegul b-be-yakie lauko P (a) elementas. Pagal 1.4 teoremą P(a) = P[a]; taip pat P[x] daugianomas f yra toks, kad

Tegul g yra minimalus daugianario virš P; pagal teoremą pirmasis žingsnis yra labiau pažengęs.

(2) f = gh + r, de r = 0 arba der r< der g = n , т. е. r=c 0 +c 1 x +…c n -1 x n -1 (c i 0P). Полагая в (2) x = а и учитывая равенство (1), имеем

(3) b = c 0 + c 1 a + ... c n -1 a n-1

Parodyta, kad elementas yra vienareikšmiškai atvaizduojamas linijinėje elementų 1, a, ..., a n-1 kombinacijoje. Nagi

(4) b = d 0 + d 1 a + ... d n -1 a n-1 (d i 0 P)

Be-yaké toks pasireiškimas. Pažiūrėkime į daugianarį j

j \u003d (s 0 - d 0) + (c 1 - d i .)x + . . . + (З n-1 -d n -1)x n -1

Vipadok, jei žingsnis j yra mažesnis už n, neįmanoma, nusipliko dėl (3) і (4) j(a) = 0 і žingsnis j yra mažiausias žingsnio g tipas. Mažiau įmanoma pakeisti, jei j \u003d 0, tada s 0 \u003d d 0. . . , Z n-1 = d p-1. Be to, elementas b gali būti vienareikšmiškai pavaizduotas kaip linijinis elementų 1, a,…,a n-1 derinys.

1.4. Algebrinio neracionalumo pokytis trupmenos reklamjuostėje.

Užduotis apie zvіlnennya algebros neracionalumo forma žingsnio trupmenos reklamjuoste. Tegu a yra n>1 laipsnio algebros elementas virš lauko P; f і h - daugianariai iš daugianario P[x] ir h(a) ¹0 apskritimo. Būtina pateikti elementą f(a)/h(a)0P(a), jei elemento a pakopų derinys yra tiesinis, tada j(a) atveju,

Tse vdannya virishuєtsya taip. Tegul g yra minimalus daugianario a virš P. Oskilki, pagal 1.4 teoremą daugianomas neindukuojamas per P і h(a) ¹ 0, tada g nedalija h і, taip pat daugianariai h і g yra tarpusavyje susiję paprastas. Todėl P[x] turi tokius daugianorius u ir v, kad

Oskіlki g(a) = 0, іz (1)

u(a)g(a) = 1, 1/h(a) = u(a).

Taip pat f(a)/h(a) = f(a)u(a), be to, f,u 0P[x] ir f(a)u(a)0P[a]. Otzhe, mes zvіlnilis vіd іrrationalnosti f(a)/h(a) .

Skamba kaip neracionalumas ant reklaminio skydelio

Turtingi terminai p(x) ir g(x)=-x 2 +x+1 yra paprasti. Todėl yra tokių turtingų terminų j ir y, kad

Dėl vіdshukannya j і y zastosuemo Euklido algoritmas į polinomus p і g:

X 3 -2 -x 2 +x+1 -x 2 +x+1 2x-1

x 3 -x 2 -x -x-1 -x 2 +1/2x -1/2x + 1/4

x 2 -x-1 1/2x-1/4

tokiu būdu,

p=g(-x-1)+(2x-1),

g=(2x-1)(-1/2x+1/4)+5/4.

Zvіdki žinoti

(2x-1)=p+g(x+1),

5/4=g-(p+g(x+1))(-1/2x+1/4)

p1/5(2x-1)+g(4/5+1/5(2x2 +x-1))=1,

p1/5(2x-1)+g(2/5x2+1/5x+3/5)=1.

tokiu būdu,

y(x)= (2/5x2 +1/5x+3/5).

Otzhe

.

2. Sulankstomas lauko algebros pratęsimas.

2.1. Kіntseve lauko išplėtimas.

Tegu P yra lauko F polaukiai. Tada galime žiūrėti į F kaip vektorinę erdvę virš P, taigi galime žiūrėti į vektorinę erdvę +F, +, (w l ½l 0P),

de w l – F elementų dauginimo iš skaliro l0P operacija.

Paskyrimas. Lauko F išplėtimas vadinamas terminaliniu, kaip ir F, kaip vektorinė erdvė virš P, galima baigti plėtimąsi. Tsya rozmirnіst reiškė per.

2.1 pasiūlymas. Jei a yra n laipsnio algebrinis elementas virš P, tai = n.

Šis teiginys akivaizdžiai perša 1.5 teoremą.

Paskyrimas. Lauko P plėtinys F vadinamas algebriniu, nes F odos elementas yra algebrinis prieš P.

2.2 teorema. Ar baigtinis lauko F plėtinys yra algebrinis per P.

Atneša. Tegu F yra n lygus virš P. Teorema akivaizdžiai teisinga, nes n = 0. Tarkime, kad n>0. Jei n+1 F elementų yra tiesiškai pūdymas virš P. Sokremos, 1, a, ..., a n elementų sistemos tiesinio pūdymo, tai P tokie 0 , 1, ..., c n elementai ne visi lygūs nulis , s 0 × 1+ 1 a +…+c n a n = 0.

Elementas a taip pat yra algebrinis per P.

Svarbu, kad yra lauko algebros plėtinių, kurie nėra galiniai plėtiniai.

2.2. Algebros lauko sandėlio išplėtimas.

Lauko P plėtinys F vadinamas sulankstomas, koks jis yra

augantis lancetinis polaukis L i lauko F toks, kad

P = L 0 - L 1 - ... L k = F і k>1.

2.3 teorema. Tegu F – lauko išplėtimas L і L – lauko P galas. Tada F – lauko P i galas išplėtimas

=@[L:P].

Atneša. Nagi

(1) a 1 ,…,a m - lauko L pagrindas virš P (kaip vektorinė erdvė) ir

(2) b 1 ..., b n - lauko F pagrindas virš L . Bet kuris elementas d iš F gali būti tiesiškai išreikštas pagrindu:

(3) d = l 1 b 1 +...+l n b n (l k 0L).

Koeficientas 1 k gali būti tiesiškai išreikštas per bazę (1):

(4) l k = p 1k a + ... + p mk a m ​​(p ik 0P).

Koeficientus l k (3) pakeičiant balu, tai priimtina

d = p a a b k .

Tokiu būdu lauko F odos elementas gali būti pavaizduotas kaip tiesinis daugiklio B elementų derinys, de

B = (a i b k ½ (1, ..., m), k 0 (l, ..., n)).

Svarbu, kad daugiklis B sudaro nm elementų.

Rodome, kad F yra pagrindas prieš P. Turime parodyti, kad daugiklio B elementų sistema yra tiesiškai nepriklausoma. Nagi

(5) åc ik a i b k = 0,

de c ik 0 P. Kadangi sistema (2) yra tiesiškai nepriklausoma nuo L , tai (5) atitinka lygybę

(6) s 1 k a 1 +...+s mk a m ​​= 0 (k = 1,..., n).

Kadangi elementai a 1 , ..., a m yra tiesiškai nepriklausomi nuo P, tada (6) seka lygybė

c 1 k = 0, ..., c mk = 0 (k = 1, ..., n),

parodyti, kad (5) koeficientai lygūs nuliui. Taigi elementų B sistema yra tiesiškai nepriklausoma ir yra F pagrindas virš P.

Otzhe, įdėta, scho = nm = ×. Taip pat F є paskutiniai lauko plėtiniai P і maє misce formula (I).

Paskyrimas. Lauko P plėtinys F vadinamas sulankstomu algebriniu, nes tai yra lauko P polaukių augantis lancetas.

P \u003d L 0 - L 1 - ... L k \u003d F і k> 1 (1)

taip, kad i = 1,..., k laukams L i є tiesiog išplėskime lauko L i-1 algebrą. Skaičius k vadinamas dozhina lance (1).

Paskutinį 2.4. P lauko algebros F sandėlio plėtiniai yra lauko P terminaliniai plėtiniai.

Įrodymas gali būti lengvai atliktas indukcija už lanceto (1) remiantis 2.3 teoremos pagrindimu.

2.5 teorema. Tegul a 1 ,..., ak yra algebrinis virš lauko F elementų lauko P. Tas pats laukas P(a 1 ,..., ak) yra paskutinis lauko P plėtinys.

L 0 = P, L 1 = P, L 2 = P, ..., L k = P.

Tada L 1 = P yra paprastas lauko L 0 algebros plėtinys; L 2 yra paprastas lauko L 1 algebros plėtinys, nes

L 2 = P = (P) = L 1 = L 1 (a 2) ir kt.

tokiu būdu,

P = L 0 - L 1 - ... - L k = F

de L i = L i -1 (a i), kai i = 1, ..., k, tada Lanziuko (2) odos narys yra paprastas Lanziuko priekinio nario algebros plėtinys. Vėliau laukas F yra sulankstomas lauko P algebros plėtinys. Vėlgi, pagal 2.4 išvadą, laukas F yra lauko P galinis plėtinys.

Paskutinį 2.6. Lauko algebros sandėlio išplėtimas є algebrinio lauko išplėtimas.

2.3. Lauko algebros sandėlio išplėtimo paprastumas.

2.7 teorema. Tegul skaičių laukas F yra sulankstomas lauko algebros P plėtinys. Tada F є supaprastinsime lauko P algebros plėtinius.

Atneša. Tegu P - L - F, be to, L = P (a), F = L (b) i, taip pat, F = P (a, b).

Tegul f ir g yra minimalūs polinomai virš P, kurie galioja skaičiams a ir b ir deg f = m, deg g = n. Polinomai f і g negali būti dedami ant P і, todėl jie negali būti kelių šaknų kompleksinių skaičių E lauke. Nagi

a = a 1 ,..., a m - daugianario f C i šaknys

b = b 1 ,..., b n - daugianario g C šaknis.

Pažvelkime į kіtsev bezlіch M:

M = ((a i-a)/(b-b k)½i0(1,…,m), k0(2,…,n)).

Oskіlki P yra skaitinis daugiklis (i, todėl neribotas), tada P yra skaičius c, vidminne daugiklio M elementuose, c0P (M, cóM. Nehai

Todi vykonuyutsya spіvvіdnoshennia

(2) g 1 a i + cb k = (i0 (1, ..., m), k0 (2, ..., n)).

Tiesa, lygybės laikais a + cb = a i + cb k bulo b

h \u003d (a i -a) / (b-b k) 0 M

scho superchilo pasirinko skaičių c.

Tegu F 1 = P(g) ir F 1 – daugianario x žiedas. Tegul h = f(g - cx) yra daugianario iš F 1 [x] (g, c0P(g) = F 1). Galima parodyti, kad x-b yra didžiausias daugianario h ir g priebalsis žiede F 1 [x]. Skalės g(b) = 0, tada x-b dalija g E[x]. Daly, dėl (1)

h(b) = f(g-cb) = f(a) = 0.

Į tą x-b padalinkite daugianarį h E[x]. Šia tvarka x-b yra miegamasis h ir g žiede E[x].

Pranešama, kad g і h С nėra šaknų, vіdmіnkh vіd b. Tarkime, kad b k , k0(2 ,..., n) yra jo laukinė šaknis. Tada h(b k) = f(g - сb k) = 0. Tada yra toks indeksas i0(1 ,..., m) ). Todėl gali būti, kad x-b yra didžiausias g ir h pabėgis E[x]. Oskіlki x - b - normalizavimo daugianario, tada žvaigždė yra aiški, scho x - b є didžiausias karštas dilnik g ir h y kiltsi F 1 [x]. Tomas

(x-b) 0 F 1 [x] ir b 0 F 1 = P(g).

Be to, a = g - cb 0 F 1 . tokiu būdu,

F = P(a, b) Ì F 1 , F 1 ÌF.

2.4. Laukas algebriniai skaičiai.

Kompleksinių skaičių lauko polaukių klasė yra viena svarbiausių – algebrinių skaičių laukas.

Paskyrimas. Algebrinis skaičius vadinamas kompleksiniu skaičiumi, kuris yra teigiamo laipsnio daugianario su racionaliais koeficientais šaknis.

Svarbu, kad algebros skaičius, nesvarbu, ar tai kompleksinis skaičius, yra algebrinis virš lauko Q. Sokrema, nesvarbu, ar tai racionalusis skaičius, yra algebrinis.

2.8 teorema. Visų algebrinių skaičių beasmenis A uždaras kompleksinių skaičių E = +C, +, -, 1 žiede. Algebra A = +А, +, -, , 1 yra laukas, lauko E polaukis.

Atneša. Tegul a ir b yra A elementai. Paskutiniame 2.6 lauke Q(a, b) yra algebrinis Q. Todėl skaičiai a + b, -a, ab, 1 yra algebriniai, todėl A kartotiniai yra . , beasmenis A uždaromas pagal ciklo E galvos operacijas. Todėl algebra A yra ciklo E pociklas – yra ciklas.

Be to, kadangi a yra nulinis elementas A, a -1 0 Q (a, b) ir kad -1 yra A. Vėlgi, algebra A yra laukas, lauko E polaukiai.

Paskyrimas. Laukas A = +A, +, -, , 1 vadinamas algebrinių skaičių lauku.

Parodykite, kad skaičius a = algebrinis.

Sprendimas. Z a \u003d rėkia a-.

Žavingai įžeidžiančios likusios lygiavertės dalis trečiajame žingsnyje:

a 3 -3a 2 9a-3=2

a 3 +9a-2 = 3 (a 2 +1).

Dabar įžeidžiančios pavydo dalys perkeliamos į kitą lygį:

a 6 +18a 4 +81a 2 -4a 3 -36a+4=27a 4 +54a 2 +27

a 6 -9a 4 -4a 3 +27a 2 -36a-23 = 0.

Šiame range a є turtingo termino šaknis

f(x) = a 6 -9a 4 -4a 3 +27a 2 -36a-23 = 0

nuo racionaliųjų koeficientų. Ce reiškia, kad a yra algebrinis skaičius.

2.5. Algebrinis skaičių lauko uždarymas.

2.9 teorema. Algebros skaičių laukas algebriškai uždaras.

Atneša. Tegul A [x] yra daugianario x žiedas virš algebrinių skaičių lauko A. Nagi

f = a 0 + a 1 x+... + a n x n (a 0 ..., a n 0 A)

Būkite koks nors teigiamo žingsnio A[x] daugianomas. Turime įrodyti, kad f gali būti įsišaknijęs iš A. Jei f0C[x] ir laukas E algebriškai uždaras, tai f gali būti įšaknijęs E, kad jis turėtų tokį kompleksinį skaičių s, kad f (c) = 0. Tegu L = Q (a 0 , ... ir n), o L(c) yra paprastas lauko L algebros plėtinys už c pagalbos ribų. Tada Q - L - L (c) yra lauko L algebros galinis plėtinys. Pagal 2.2 teoremą L yra lauko Q galinis plėtinys. Pagal 2.3 teoremą L (c) yra galinis lauko plėtinys. laukas Q. laukas L (c) yra lauko Q i algebros plėtinys, vadinasi, c0A. Taigi, jei teigiamo žingsnio A polinomas A[x] gali turėti šaknį, tai laukas A algebriškai uždaras.

3. Atskiriami ir neatskiriami plėtiniai.

Nagi D - laukas.

Žinoma, kaip neskaidomas D[x] daugianomas gali būti kelių šaknų motina?

Tam, kad f(x) būtų kelios šaknys, turtingi terminai f(x) ir fN(x) atsiranda dėl motinos bendro dvigubo konstantos daugiklio, kurį galima apskaičiuoti jau D[x]. Nors polinomas f(x) nėra dalomas, joks žemesnio laipsnio f(x) turtingas daugianomas negali būti nenuoseklių visuotinių daugiklių motina, todėl lygybė f "(x) = 0.

f(x) =3a n x n fN(x) =3na n x n -1

Taigi fN(x) = O, odos koeficientas yra lygus nuliui:

n = 0 (n = l, 2, ..., n).

Svarbus yra būdingas žvaigždės nulis, kad a n \u003d 0 visi n ¹ 0. Be to, nenuoseklus daugianomas gali būti kelių šaknų motina. Charakteristikos p_lygumo na n \u003d 0 metu galima turėti n ¹ 0, bet gali būti ir lygi

f(x) = a 0 + a p x p + a 2p x 2p +…

Atgal: jei f(x) gali atrodyti taip, tai fN(x)=0.

Su šia vipadka galime rašyti:

Pats Timas iškėlė teiginį: Charakteringo nulio atveju turtingas terminas f (x) nesidalija iš D [x], jis gali būti tik paprasta šaknis, charakteristikos p atveju daugianomas f ( x) (kuri taip pat sutampa su konstanta) gali būti šaknies kartotinis, jei įmanoma jį parodyti kaip daugianarį j vіd x p.

Kartais gali būti, kad j(x) savaip yra daugianario x p . Tada f(x) yra daugianomas kaip x p 2 . Tegul f(x) – turtingas terminas, pavyzdžiui, xpe

ale є daugianomas vіd x pe +1 . Suprantama, daugianomas y(y) yra neskaidomas. Dali, y¢(y) ¹ 0, nes kitaip y(y) atrodytų kaip c(y p) i, tada f(x) atrodytų kaip c(x pe + 1), o tai pakeistų praleidimą. Otzhe, y (y) gali būti tik paprasta šaknis.

Išplėskime daugianarį y, norėdami išplėsti pagrindinį tiesinių faktorių lauką: m

y(y) = J(y-b i).

f(x) = J(x pe -b i)

Tegu a i yra daugianario x pe - bi šaknis. Tada x i pe \u003d b i,

x pe - bi = x pe - a i pe = (x-a i) pe .

Taip pat a i є r e -daugiaskaito x pe - b i daugybinė šaknis

f(x) = J(x -a i) p e.

Dauginamo f(x) šaknies ūsai tokiu būdu gali turėti tą patį p e daugumą.

Dauginamo y žingsnis m vadinamas daugianario f(x) (arba šaknies a i) redukcijos žingsniu; skaičius e vadinamas daugianario f (x) (arba šaknies a i) laipsniu virš lauko D.

de m brangesnis įvairių daugianario f(x) šaknų skaičius.

Jei q yra daugianario, kuris neskaidomas žiede D[x], kuris gali būti tik paprastos šaknys, šaknis, tai q vadinamas atskiriamu elementu virš D arba pirmosios rūšies elementu virš D 1). Tai reiškia, kad neatsiejamas turtingas terminas, kurio visos šaknys yra atskiriamos, vadinamos atskirtomis. Priešingu atveju algebrinis elementas q ir neišskaidomas turtingas terminas f(x) vadinami neatskiriamais arba skirtingos rūšies elementu (kaip turtingas terminas). Dabar algebros S plėtinys, kurio visi elementai yra atskiriami nuo D, vadinami atskiriami nuo D, o bet kuris kitas algebros plėtinys vadinamas neatskiriamu.

Būdingo nulio laikais sakoma, kad oda nėra neišardomas turtingas terminas (todėl algebros odos pratęsimas) yra atskiriamas. Norėtume žinoti, kad dauguma svarbiausių ir svarbiausių laukų plėtinių yra atskiriami ir žinome laukų klasės kokybę, todėl neatskiriami plėtiniai (vadinamasis „užbaigtas laukas“) nėra įmanomi. Z tsієї causa all pov'yazane specialiai su neatskiriamais plėtiniais, įvestais laisvu šriftu.

Dabar pažiūrėkime į algebros S = D (q) plėtinį. Jei žingsniai n yra lygūs f(x) = 0, o tai reiškia didesnį, labiau pažengusį žingsnį (S: D), žingsnių m sumažinimas yra lygus lauko S izomorfizmų skaičiui pažangiąja prasme: mes gali pažvelgti tik į šiuos izomorfizmus [apsaugotas el. paštas]", jei bet kurie polaukio D elementai yra užpildyti nesmurtu i, tada S perkeliamas į ekvivalentinį lauką S" (lauko S izomorfizmas virš lauko D), o bet koks lauko vaizdas S "guli kartu su lauku S lauko viduryje W. tsikh umovah maє mistse teorema:

Tinkamai parinkus lauką W, plėtinys S=D(q) gali turėti lygiai m izomorfizmų virš D, o pasirinkus bet kokį lauką W, laukas S negali turėti daugiau nei m tokių izomorfizmų.

Atneša. Odos izomorfizmas virš D yra atsakingas už elemento q pavertimą jo sąsajomis su elementu q" iš W. Pasirinkite W, kad f(x) išsiplėstų virš W į tiesinius daugiklius; tada atrodo, kad elementas q gali turėti tiksliai m atvejų. elementai q, q Jei taip, kaip bi, laukas W nebuvo pasirinktas, elementas q nėra matima daugiau nei m atvejų. Dabar garbinga, kad odos izomorfizmas D(q)@D(q") virš D visiškai priklauso nuo nurodytos tapatybės q® q". Akivaizdu, kad jei q pereina į q "ir visi elementai iš D paliekami vietoje, tada elementas

3a k q k (jakas 0D)

kaltas eiti pas

o cym reiškia izomorfizmą.

Sokrema, kadangi q yra atskiriamas elementas, tada m = n і, vadinasi, izomorfizmų skaičius pagrindiniame lauke yra tolygiau išplėstas.

Jei taip, jei laukas yra fiksuotas, kuris gali apimti visus laukus, į kuriuos žiūrima, kuriame gali būti visos odos išlyginimo šaknys f (x) = 0 (kaip, pavyzdžiui, kompleksinių skaičių lauke) , tada W galioje galite kartą ir visiems laikams paimti lauką i. Prie to visuose teiginiuose apie izomorfizmą pridėkite priedą „deaky W viduryje“. Taigi pradėkite taisyti teoriškai skaitinius laukus. Norime priminti, kad abstrakčiams laukams galite naudoti ir W lauką.

Cituota teorema yra toks teiginys:

Kaip išplėsti S, kad išvažiuotumėte iš D į vėlesnius atvykimus m

algebriniai elementai a 1 , ..., a m , be to, oda už i , є šaknies

neišplečiamas per D(a 1 , ..., a i-1) yra lygus sumažintai pakopai n" i , tada

S išplėtimas gali būti lygiai n i ¢ izomorfizmas virš D i tokiu pačiu būdu

jokių pratęsimų didesnis skaičius tokie lauko S izomorfizmai.

Atneša. Jei m = 1, teorema buvo toliau plėtojama. Tarkime, kad її galioja plėtiniui S 1 = D(a 1 , ..., a m-1):

W 1 є tiksliai n i ¢ lauko S izomorfizmas virš D.

Tegu S 1 ®S 1 yra vienas iš Õ n i ¢ izomorfizmų. Teigiama, kad atvirkštine atvirkštinio lauko tvarka W vynas gali būti tęsiamas iki izomorfizmo S = S 1 (am) @ S = S (am) ne daugiau kaip n_zh n m būdais.

Elementas a m tenkina lygtį f 1 (x) = 0 virš S 1 su n¢ m skirtingų šaknų. Po papildomo izomorfizmo S 1 ® S 1 turtingas terminas f 1 (x) gali būti išverstas į kitą turtingą terminą f 1 (x). Ale todі f 1 (x) plačiai išsiplėtusiu būdu, bet n m skirtingų šaknų ir ne daugiau. Tegul a m - viena iš šių šaknų. Žvelgiant į elemento a m pasirinkimą, izomorfizmas S 1 @S 1 yra trys izomorfizmas S (a m) @ S (am) a m ®a m vienu ir tik vienu būdu: faktiškai tęsinys pateikiamas formule.

åc k a m ​​​​k ®å c k a m ​​​​k

Elemento a m pasirinkimo pavyzdžiai gali būti apibrėžti n "m būdų, naudojant n" m tokios rūšies tęsinį atvirkštiniam izomorfizmui å 1 ®å 1

Oskіlki turi savo liniją, ir šis izomorfizmas gali būti konvertuojamas

Х n" i būdų,

tada viskas tiesa (tas laukas W, kuriame yra visos lygybės šaknys, į kurias žiūrima))

Õ n" i × n" m = Õ n" i

S pratęsimo virš lauko D izomorfizmus, kurį reikėjo atnešti.

Jei n i yra realus (nesumažintas) elemento a i žingsnis virš D (a 1 ,...,a i-1), tai dar n i lauko plėtinio D (a 1 , ... , a i) žingsnių. D(a 1, .. ., a i-1);

otzhe, žingsniai (S: D) daugiau

Kaip suderinti skaičių su izomorfizmų skaičiumi

Plėtinio S izomorfizmų skaičius = D(a 1 , ... , a m) virš D (bet kuriam duotam W plėtiniui) papildomas žingsnis (S: D) net ir tik vieną kartą, jei odos elementas a i yra atskiriamas per laukas D(a 1 , . .. , a i-1). Jei norite, kad vienas elementas a i būtų neatskiriamas atskirame lauke, tada izomorfizmų skaičius yra mažesnis nei plėtimosi laipsnis.

Iš teoremos taško iškart atsiras keletas svarbių pastabų. Mums teorema teigia, kad odos elemento a i galia yra atskiriama per priekinį lauką, o paties plėtinio S galia nepriklauso nuo elementų, generuojančių a i, pasirinkimo. Kadangi papildomas lauko elementas gali būti laikomas pirmosios kartos elementu, elementą b galima atskirti, nes visi a i yra tokie. Tėvas:

Elementai a i , ... , a n i nuosekliai pridedami prie lauko D, odos elementas a i atrodo atskiriamas per lauką, atimant gretimus priekinius elementus a 1, a 2 ,...,a i-1 plėtinį.

S = D(a 1 , ... ,a n)

galima atskirti nuo D.

Zokrema, suma, mažmeninė prekyba, tvir, kad privačiai atskirti elementai yra atskiriami.

Be to, kadangi b yra atskiriamas nuo S, o laukas S yra atskiriamas nuo D, tai elementas b yra atskiriamas nuo D. Tai paaiškinama tuo, kad b atitinka galutinį koeficientų skaičių a 1 , ... , a m з S i vėlgi yra atskiriamas per D (a 1, ..., a m). Pats Timas yra atskiriamas pratęsimas

D (a 1, ..., a m, b).

Nareshti, gali būti nurodyta ta pati vieta: galinio atskiriamo plėtinio S izomorfizmų skaičius per lauką D iki didesnio išplėtimo laipsnio (S: D).

4. Neribotas laistymo išplėtimas.

Odos laukas iškyla iš savo paprasto polaukio, kad padėtų galutiniam neišsenkančio išsiplėtimo chi. Šiame padalinyje matomi nesuskaičiuojami laukų išsiplėtimai, pirmiausia algebriniai, o paskui transcendentiniai.

4.1. Algebriškai uždaryti laukai

Tarp tam tikro lauko algebros išplėtimo svarbų vaidmenį atlieka, ypač maksimalus algebros išplėtimas, kad nebūtų leista toliau plėsti algebrą. Tokio pratęsimo priežastis bus pateikta šioje dalyje.

Tam, kad laukas W būtų maksimalus algebros tęsinys, reikia kelti protą į priekį: apskritimo W[x] odos daugianario galima išskaidyti į tiesinius daugiklius. Tsya proto pakanka. Iš tiesų, kadangi odos polinomas W[x] yra išskaidomas į tiesinius daugiklius, tada visi paprasti daugianariai W[x] yra tiesiniai ir atrodo, kad bet kurio lauko W algebros W plėtinio odos elementai yra bet kokio tiesinis turtingas terminas x - a W[x] , t. y. jis veikia su tikruoju lauko W elementu a.

Tam damui toks pat likimas:

Laukas W vadinamas algebros uždarymu, nes bet kuris W [x] daugianomas gali būti išskaidytas į tiesinius veiksnius.

Laukas W algebriškai uždaras, todėl W[x] daugianomas gali turėti vieną šaknį, tai yra, vieną tiesinį daugiklį W[x].

Tikrai, kaip toks gudrus vikonanas ir gana daug imčių, daugianomas f (x) išskaidomas į daugiklius, bet jie neskaidomi, tada kaltas visas smarvė, bet tiesinis.

„Pagrindinė algebros teorema“ teigia, kad kompleksinių skaičių laukas algebriškai uždaras. Artėjantis algebriškai uždaro lauko užpakalis gali būti visų kompleksinių algebrinių skaičių laukas, todėl beasmeniai kompleksiniai skaičiai tarsi tenkintųsi bet kokia lygybe su racionaliais koeficientais. Kompleksinė šaknis lygi algebros koeficientams є ir tikrai algebrinė ne tik algebrinių skaičių lauke, bet ir lauke racionalūs numeriai, ty patys yra algebriniai skaičiai.

Čia parodysime, kaip grynai algebriniu būdu indukuoti uždarą algebrinį plėtinį pakankamai duotam lauko P. Steinitzui taip atsigulti

Pagrindinė teorema. Odos laukui P yra uždaras algebros W plėtinys. Tiksliai iki ekvivalentiškumo plėtinys yra vienareikšmiškai apibrėžtas: ar yra du algebriškai uždari lauko P algebriniai plėtiniai W, W " yra lygiaverčiai.

Šių teoremų įrodymas yra dėl lem pertekliaus:

Lema 1. Tegul W yra lauko algebros P plėtinys. Pakankamas protas kad W būtų algebros uždarymas, є išplėtimas į bet kurio P[x] žiedo W[x] daugianario tiesinius veiksnius.

Atneša. Tegu f(x) yra papildomas daugianomas iš W[x]. Jei vin nėra išskaidomas į tiesinius daugiklius, tada galima paimti th šaknį a i, kad būtų pasiektas viršutinis superlaukas W. Elementas a yra algebrinis virš W, o W yra lauko P algebros plėtinys; kitas daugianomas g(x) P[x]

2 lema. Jei laukas P yra holistiškai sutvarkytas, tai daugianario P[x] žiedas gali būti tvarkomas holistiškai ir tiek, kiek šis sutvarkytas laukas P bus dviguba tvarka.

Atneša. Žymiai pakeiskite tvarką tarp polinomų f(x) P[x] taip: tegul f(x)

1) žingsnis f(x) yra mažesnis g(x) žingsnio tipas;

2) žingsnis f(x) dar žingsnis g(x) ir daugiau n, tada.

f(x) = a 0 x n + ...+ a n , g (x) = b 0 x n + ... + b n

i kitam indeksui k:

ir i = b i i

a k

Jei taip, tai dėl daugianario 0 kaltink daugianarį: jam priskiriamas žingsnis 0. Akivaizdu, kad toks būdas išeiti iš eilės yra, kurio prasme P [x] yra visiškai tvarkingas. Jis bus rodomas taip: netuščiame turtingų segmentų daugiskaitoje yra netuščias mažiausio laipsnio turtingų segmentų pogrupis; tegul būna taip gerai. prie paskirto daugiklio є turi savo turtingų terminų eilutės daugiklį su pirmuoju a 1 ir tt minimnosti, kurie iš eilės laimi, pasirenkant); šis daugianomas yra pirmasis duotojo daugiklio elementas.

3 lema. Jei laukas P sutvarkytas kaip visuma, n і n etapo turtingasis terminas f(x) reiškia a 1 ..., a n, tada laukas P (a 1 ,..., a n), kuriame f(x) bus išplėstas tiesiniuose daugikliuose

Õ(x-a i), bus vienas rangas ir visuma

įsakymas. Laukas P in sensi tsiy є vіdrіzkom.

Atneša. Iš eilės pridedame šaknį a 1 ..., a n, po kurios P ​​= P 0 paeiliui laimime laukus Р 1 , ..., Р n . Tarkime, kad R i-1 = P(a 1 ..., a i-1) - laukas jau buvo indukuotas ir kad P yra sutartis su R i-1; tada R i bus toks.

Prieš 2 uždavinį daugianario žiedas Р i-1 [x] išdėstytas visumoje. Dauginamas f kiekviename kiltsi skaidomas į neatskiriamus veiksnius, kurių vidurys yra pirmoji vieta x - a 1 ,..., x - a i-1 ; tarp kitų daugiskaitų tegul f i (x) yra pirmasis aiškios tvarkos prasme. Kartu su simboliu a i, kuris žymi turtingo termino f i (x) šaknį, lauką P i = P i -1 žymime kaip sumų visumą.

de h yra turtingojo termino f i (x) žingsnis. Jei f i (x) yra tiesinis, tai, žinoma, gerbiame P i = P i -1; simbolis a i nereikalingas. Skatinkite, kad visa laukas būtų užsakytas dėl papildomo įžeidžiančio intelekto: lauko elemento

galbūt turtingas narys

Ir lauko elementai išdėstyti taip pat, kaip ir turtingi jų terminai.

Akivaizdu, kad tas pats Р i-1 yra Р i atžvilgiu, o tas і P - Р i atžvilgiu.

Tim patys laukai P 1 ,..., P n yra motyvuoti visu užsakymu. Lauko Р n galima vienareikšmiškai ieškoti pagal pirmąjį lauką P(a 1 ,..., a n).

Lemma4

Atneša. Bet kuriems dviem elementams a, b sujunkite du laukus S a , S b, kad pakeistumėte a, b ir bet kurį vieną prieš kitą. Užkimštame lauke elementams a + b і a × b i priskiriamas toks pat elementų skaičius odos lauke, siekiant atkeršyti a ir b, nes dėl dviejų tokių laukų vienas perkeliamas į kitą lauką. Pavyzdžiui, įvesti asociatyvumo dėsnį

ab g = a bg,

žinome vidurinius laukus S a , Sb, S g tuos, kurie apima du kitus laukus (didžiausias); kuriame lauke yra a, b ir g i naujajame asociatyvumo dėsnyje vikonano. Lygiai taip pat peržiūrimos ir asociacijos elementų skaičiavimo reshta taisyklės.

Pagrindinės teoremos įrodymas skirstomas į dalis: polaukį W ir vienybės įrodymą.

Pobudovo laukai W. Lemma 1 įrodo, kad iš pažiūros algebriškai uždaram lauko P plėtiniui W pakanka indukuoti tokį lauko P algebros išplėtimą, kad P[x] daugianarį būtų galima išplėsti per šiuos plėtinius. į tiesinius daugiklius.

1. Laukas P f є ob'ednannyam laukas P і visi laukai S g for g

2. Laukas P f išdėstytas taip, kad P ir visi laukai S g su g

3. Laukas S f ateina iš R f į duotąsias turtingojo nario f šaknis po papildomų simbolių a 1 ,..., a n galioja iki lemi 3.

Būtina paaiškinti, kad tokiu būdu visas laukų Р f , S f eiliškumas yra faktiškai priskiriamas visu rikiavimo lauku, taip pat visi pirmieji Р g , S g jau yra priskirti ne vieną kartą.

Yakshcho vikonano 3, tada nasampered P f - vіdrіzok S f . Z ogo i vimogi 2 matome, kad laukas P i odos laukas S g (g

Р - vіdrіzok S h val

S g - dvigubas S h ties g

Skamba kaip P i laukai S h (h b, jaką galima išsaugoti Pf. Ta pati tvarka yra viena ir ta pati visuose laukuose P abo S g yak jak yak a, taigi ib, prie to visi ts laukai є v_drіzkami vienas iš vieno. Otz, steigimas pagal užsakymą yra paskirtas. Tie, kurie yra visiškai sutvarkyti beasmeniai, aišku, kadangi oda nėra tuščia beasmenė x P f, atkeršyti bent už vieną deyakogo lauko S g darbo elementą, o tai yra pirmasis x x Ç Darbas x Ç S elementas. g. Šis elementas yra viena valanda є i pirmasis elementas x.

Žvelgiant į savo mintis 3, polinomas f(x) vėl išskaidomas į tiesinius veiksnius lauke S f . Be to, panaudojus transribinę indukciją, parodyta, kad S f yra algebrinis virš P. Iš tiesų, daroma prielaida, kad visi laukai S g (g

Dabar saugome visų laukų Sf telkinį W; zgіdno z lemoy 4 laimėjo є lauke. Visas laukas algebriškai yra virš P ir visi turtingieji terminai f yra išplėsti virš jo (mažieji sluoksnio polinomai f jau išplėsti virš S f). Taip pat laukas W algebriškai uždaras (Lema 1).

Lauko W vienybė. Tegul W ir W" yra du laukai, kurie yra algebriniai, ir uždari algebriniai lauko P plėtiniai. Pateikime šių laukų ekvivalentiškumą. taip pat nagrinėjamas vienu iš šių argumentų) submultiple ¢ in W " ir tam tikras izomorfizmas

P(Â) @ P(¢).

Likusią gegužę tenkins artėjantis pasikartojantis spipingas.

1. Izomorfizmas P(Â) @ P(¢) atsiranda dėl lauko P odos elemento išeikvojimo lauke.

2. Izomorfizmas P(Â) @ P(¢) su ÁÌ Â gali būti izomorfizmo P(Â) @ P(Á) tęsinys.

3. Jei  yra likęs elementas a, taigi  = ÁÈ(a), ir jei a yra turtingojo termino f(x), kurio negalima išskaidyti į P (Á), šaknis, tada elementas a" yra kaltas dėl pirmosios genties šaknies P(Á) @ P(I"), daugianario f¢(x) gerai sutvarkytame lauke W".

Būtina parodyti, kad izomorfizmas P(Â) @ P(¢) gali būti efektyviai priskirtas taip pat, nes tai jau yra visų priekinių ÁÌ Â kraštinių priskyrimas. Čia būtina atskirti du dalykus.

Pirmas lašas. Beasmenis  negali turėti likusio elemento. Tas pats odinis elementas turi gulėti ant giedančio priekinio bridžo Á; į tą  є į bendrą Á laistymą, į tą P(Â) - į kaupiamuosius ÁÌ Â laukus P(Á). Jei odos elementai iš izomorfizmų P(Á) @P(Á") eina iš ankstesnių, tai odos elementas a su visais šiais izomorfizmais turi tik vieną elementą a". Todėl yra vienas ir daugiau nei vienas linksnis P(Â) → P(¢), kuris tęsia visus pirminius izomorfizmus P(Á) → P(Á"), o pati linksniuotė a®a". Akivaizdu, kad tai izomorfizmas ir 1 bei 2 derinys.

Dar vienas lašas. Anoniminis likęs elementas a; taip pat  = ÁÈ(a). Galiausiai elementas a", susietas su elementu a, yra priskiriamas vienareikšmiškai. Kadangi a" virš lauko P(I) (analizuoto izomorfizmo prasme) tenkina "tą patį" nenuosekliai lygų i a virš P(I), tada izomorfizmas P(I)→P(I") (tuo atveju, jei aš tuščias, tai tas pats izomorfizmas P®P) pakyla iki izomorfizmo P(I, a) ®P(I", a¢ ), kai a eina ties a". Odos izomorfizmas buvo vienareikšmiškai identifikuotas pagal odos pasiūlymą, todėl racionali odos funkcija j(a) su bendrinės kalbos koeficientais pereina į funkciją j "(a") su ekvivalentiniais Á koeficientais. ) ® P(¢) akivaizdžiai atitinka 1 ir 2.

Taigi izomorfizmo P(Â)→P(¢) pakeitimas baigtas. Žymiai per W" visų laukų P(В¢) apibendrinimas; tada yra izomorfizmas P(W)®W" arba W®W", kuriame nėra lauko P elemento odos erdvėje. Kadangi laukas W algebriškai uždarytas, tai Buti і W ", o prie to W" yra suderinamas su reikiamu lauku W¢.

Tam tikro lauko algebriškai uždaro plėtinio prasmė ta pati, kad iki ekvivalentiškumo galima įveikti galimus algebrinio lauko plėtinius. Tiksliau:

Jei W yra algebriškai uždaras lauko P algebros plėtinys, o S yra gana algebrinis lauko P plėtinys, tai W viduryje yra bendras S 0 plėtinys, kuris yra lygiavertis S plėtiniui.

Atneša. Mes galime išplėsti S iki tam tikro uždaro algebrinio plėtinio W". Jis bus algebrinis ir virš P, todėl lygiavertis plėtiniui W. Esant bet kokiam izomorfizmui, norint W" paversti W į W, imant nepertraukiamą P odos elementą, laukas S pereina į deak, atitinkantį yoma polaukį S 0W.

4.2. Atleiskite už transcendentinį išsiplėtimą.

Oda yra tiesiog transcendentinis lauko D tęsinys, matyt, lygiavertis daugianario D[x] žiedo privačiojo D(x) laukui. Į tą mi vivchimo tse privatų lauką

Lauko W elementai yra racionalios funkcijos

Teorema. n žingsnio transcendentinis elementas h yra transcendentinis virš D і laukas D(x) yra n žingsnio lauko D(h) algebros plėtinys.

Atneša. Pateikimas h = f(x)/g(x) nėra trumpalaikis. Tas pats elementas x patenkintas

g(x)×h – f(x)=0

su koeficientais D(h). Koeficientų skaičiai negali būti lygūs nuliui. Iš tiesų, jei visi dvokiai būtų lygūs nuliui ir ak raidė bi tame pačiame pasaulyje x būtų daugianario g (x) koeficientas, kuris skiriasi nuo nulio, o b k - daugianario f (x) koeficientas, kuris nėra nulis, tada jis neužtektų, kad mama būtų lygi

žvaigždės h = b k / ak = const, o tai yra prietaras. Vėlgi, elementas x yra algebrinis per D(h).

Jei elementas h yra algebrinis virš D, tai x yra nors ir bi algebrinis virš D, tačiau taip nėra. Vėlgi, elementas h yra transcendentinis virš D.

Elementas x yra n žingsnio turtingojo termino šaknis

žiede D(h)(z). Šis daugianomas yra neskaidomas D(h)[z], skeveldros taip pat yra vin bouv bi gali būti skaidomos n kilci D, і, vin skeveldros yra tiesinės h, vienas iš maw bi kartotinių negalimas deponuoti h arba mažiau z. Bet toks daugiklis negali būti, nes g(z) ir f(z) yra tarpusavyje paprasti.

Be to, elementas x yra algebros n žingsnis virš lauko D(h). Žvaigždės yra kietos, todėl (D(x) : D(h)) = n

Piktesniam reikšminga, kad turtingas narys

nėra kartotinių, kurie galėtų gulėti tik šalia z (gulėti šalia D[z]). Tse kietėjimas yra nepaisomas, jei h pakeičiama jo reikšmėmis f (x) / g (x) ir padauginama iš reklamjuostės g (x), mes patys esame daugianario.

g(z)f(x) – f(z)g(x)

kiltsya D nėra dauginamųjų, patenka tik į vіd z.

Iš aukščiau pateiktų teoremų yra trys pastabos.

1. Funkcijos žingsnis h - f(х)/g(х) turi būti deponuojamas tik D(h) ir D(x) laukuose, o ne pasirenkant kitą elementą, generuojantį x.

2. Rivnistas D(h) = D(x) yra mažesnis nei tas pats, jei h yra mažesnis už 1, tai yra tiesinė funkcija. Tse reiškia: pirminis lauko elementas, elemento x krimtinys, gali būti trupmeninė-tiesinė funkcija kaip x ir tik tokia funkcija.

3. Bet koks lauko D(x) automorfizmas, paliekantis D lauko elementą drobėje, yra kaltas dėl elemento x vertimo į bet kurį lauko elementą. Atgal, jei x paverčiamas pirminiu elementu x = (ax + b) / (cx + d) ir odos funkcija j (x) - y funkcija j (x), tada išeina automorfizmas, kai paliekami visi elementai D ant tikslo. Otzhe,

Visi lauko D(x) automorfizmai virš lauko D yra tiesioginiai pakaitalai

x = (ax+b)/(cx+d), ad – bc ¹ 0.

Svarbus kai kuriems geometriniams pasiekimams

Lurot teorema. Odos tarpinis laukas S, kuriam DÌSID(x) yra paprasti transcendentiniai plėtiniai: S = D(q).

Atneša. Elementas x yra kaltas, kad yra algebrinis virš S, nes jei h - jei kuris nors S elementas nepriklauso laukui D, tai, kaip buvo parodyta, elementas x yra algebrinis virš D (h) ir dar labiau algebrinis per S Gali atrodyti S [z] turtingas terminas su vyresniuoju koeficientu 1 ir šaknimi x

f 0 (z) \u003d z n + a 1 z n -1 + ... + a n. (vienas)

Z'yasuєmo Budov turtingas narys.

Elementai a i є racionalios funkcijos x. Norėdami padauginti iš miegančios їх reklamjuostės, galite ją naudoti su daugybe racionalių funkcijų ir, be to, vietoj 1 paimkite turtingą terminą, pvz., x іz:

f(x, z) = b 0 (x) z n + b 1 (x) z n-1 + ... + b n (x).

Dauginamo žingsniai reikšmingi m, o z - n.

Koeficientai a i \u003d b i / b 0 z (1) negali būti nepriklausomi x, todėl x priešingu atveju būtų rodomas kaip algebrinis elementas virš D; taigi vienas iš jų, tarkim,

q = a i = b i (x) / b 0 (x),

iš tikrųjų yra kaltas dėl deponavimo vіd x; Trumpai užrašykime jogą:

Daugiavardžių g(x) ir h(x) žingsniai neviršija m. Polinomas

g(z) – qh(z) = g(z) – (g(x)/h(x))h(z)

(kuris nėra tas pats nulis), jei šaknis z = x, tai vin žiede S[z] dalijasi iš f 0 (z). Jei norite pereiti nuo racionalaus x turtingų terminų prie tsilih x turtingų terminų su zmist 1, tuomet turėtumėte išsaugoti dalijamumą ir mes jį paimsime

h(x)g(z)-g(x)h(z) = q(x, z)f(x, z).

Kairėje šio lygumo dalyje yra žingsniai išilgai x, bet ji nejuda t. Ale dešinėje jau yra turtingas f stupіn t narys; otzhe, kairiosios dalies žingsniai yra tiksliai seni ir q(x, z) nėra x. Tačiau įnešti mažiau nei z daugiklį kairiajai daliai padalyti (div. more) neįmanoma; kad q(x, z) yra konstanta:

h(x)g(z)-g(x)h(z) = qf(x, z).

Kadangi konstantos q buvimas nevaidina jokio vaidmens, Budovo polinomas f(x, z) aprašomas visiškai. Dauginamo f(x, z) žingsniai x yra labiau pažengę (su simetrijos simetrija), o žingsniai z yra labiau pažengę, todėl m = n. m, vėliau i funkcija q yra dėl motinos žingsnių m x.

Timas patys, skeveldros iš vienos pusės nustatomos lygiomis

(D(x):D(q)) = m,

o likusiems – pavydas

tos šukės atkeršyti už D(q),

Visnovok.

Robotai atrodė taip, žiūrėkite skaitmeninio lauko P išplėtimą:

Paprastas lauko algebros išplėtimas.

Algebros lauko sandėlio išplėtimas.

Atskiriami ir neatskiriami plėtiniai.

Neribotas laistymo išplėtimas.

Analizuodami darbą, galite sukurti deaky visnovki.

Z pažvelgė į pirmąsias dvi išplėtimo dalis, pavyzdžiui:

paprastas algebros išplėtimas;

pabaigos išplėtimas;

algebros sandėlio išplėtimas.

Toliau, jei matote plėtinius zbіgayutsya і, zokrema, nubrėžiami paprastais algebriniais lauko P plėtiniais.

Literatūros sąrašas

1. L.Ya. Kulikiv. Algebra ir skaičių teorija. - M.: Viščas. Mokykla, 1979.-528-538s.

2. B.L. Van der Waerden. Algebra.- M., 1976 - 138-151s., 158-167s., 244-253s.

3. E.F. Šmigiriovas, S.V. Ignatovičius. Turtingų terminų teorija. - Mosiras 2002 m.

Šiam darbui ruošti surinkome medžiagą iš svetainės