Զավդաննյա, ի՞նչ ես հասկանում underwire ինտեգրալ.

Ընդունելի է, որ տարրերի ֆունկցիան նշանակված է և գրիր գումարը

ինչպես կոչվում է ինտեգրալ։

Հարց՝ երգող ինտեգրալի տակ (o.i.)՝ որպես ֆունկցիա և որպես ընտրություն

Նշանակում:

Թվերը կոչվում են ինտեգրված (ըստ Ռիմանի) վրա .

T. іsnuvannya. Ձեր մտքի համար, շո.

Vіdpovіdno մինչեւ նշանակումը o.i. Հատկանշական է, որ ինտեգրալը կարող է պահվել ձևով

Vіdpovіdno մինչև cl.17.1.1 և 17.1.2 և o. մենք գրում ենք կորագիծ trapezoid-ի տարածքի բանաձևերը. , ռոբոտային ուժեր

վրա:

Հասկանալով ենթաինտեգրալ, ինտեգրալ գումարները:

Ստորալարային ինտեգրալի հիմքը, այնպես, որ միջինտեգրալ գումարը տվյալի համար ակնհայտ է, այնպես որ սահմանը տալիս է գլանաձև մարմնի ծավալ։ Այնուամենայնիվ, tse mirkuvannya չի є suvorim. Կարծրացման բարձրագույն կուրսերում անհրաժեշտ է թեորեմը վեր հանել և անվանել սուբվերտիկ ինտեգրալի հիման վրա։

Թեորեմ іsnuvannya. Եթե ​​դա լինի ֆունկցիա, առանց ընդհատումների փակ տարածքում, որտեղ ես կարող եմ չափել a-ն, կա ենթաինտեգրալ, այնպես որ կա միջինտեգրալ գումար՝ մտքի համար փոքր մայդանչիկների քանակի անսահմանափակ աճով, որ դրանցից մաշկը քաշվում է բծի մեջ։ Ցյա սահմանը չի կարող տեղակայվել տարածաշրջանի տրոհման ճանապարհին, այլ մասով, ոչ թե կետերի ընտրության հարցում:

Nadalі mi vzglyaditimemo ոչ մի գործառույթ, առանց ընդհատումների ինտեգրման ոլորտում:

Հիմնադրամի թեորեմից մենք կարող ենք, օրինակ, շրջանը բաժանել փոքր ուղղանկյունների, որոնց ուղիղ կողմերը զուգահեռ են կոորդինատային առանցքներին (նկ. 230): Երբ tsimu. Vibirayuchi potim է մաշկի փոքր ուղիղ աղիք, ըստ կետերի, մենք կարող ենք գրել, zgіdno z անվանական արժեքները ենթավերսալ ինտեգրալ.

Որպեսզի հիմնավորվի, որ հիմքում ընկած ինտեգրալը կարելի է ձեռք բերել, քանի որ մտքի գումարի միջև վիկորիստի նշանի անունը նույնպես նշան է.

Վիրազը դեկարտյան կոորդինատներում կոչվում է քառակուսիի տարր և կոորդինատային առանցքներին զուգահեռ կողմերով ուղղանկյան լրացուցիչ քառակուսի։

Կարևոր է, որ ինտեգրալ պայուսակը ծալելիս մայդանները, որոնք հարում են միջտարածաշրջանին, ուղղանկյուններ չառաջանան։ Սակայն կարելի է բերել, որ նման մայդանչիկները քառակուսիներով քառակուսիներով փոխարինելու ներումը կզրոյի։

Ստորադասական ինտեգրալների հզորությունը

Ենթաինտեգրալի ուժը (այդ յոգո վիսնովոկը) նման է մեկանգամյա երգող ինտեգրալի ուժին։

1°. Ավելացում. Ո՞րն է գործառույթը զ(x, y) ինտեգրված տարածաշրջանում Դև որպես տարածք Դօգնության կորի համար Գզրոյական տարածքը բաժանված է երկու օղակների և չի խլացնում տարածաշրջանի բարձր ներքին կետերը Դ 1 տ Դ 2, ապա ֆունկցիան զ(x, y) ինտեգրված մաշկի տարածքներում Դ 1 տ Դ 2, ընդ որում

2°. Գծային հզորություն . Ինչ գործառույթներ զ(x, y) որ է(x, y) ինտեգրումը տարածքում Դ, ա α і β - լինի դա խոսքի թվեր, ապա ֆունկցիան [ α · զ(x, y) + β · է(x, y)] նույնպես ինտեգրված է տարածաշրջանում Դ, ընդ որում

3°. Ինչ գործառույթներ զ(x, y) որ է(x, y) ինտեգրումը տարածքում Դ, ապա այս գործառույթների լրացուցիչ գործառույթները ինտեգրվում են Դ.

4°. Ինչ գործառույթներ զ(x, y) որ է(x, y) հարձակողական ինտեգրում տարածաշրջանում Դև իմ պատկերասրահում ամենուր զ(x, y) ≤ է(x, y), ապա

5°. Ո՞րն է գործառույթը զ(x, y) ինտեգրված տարածաշրջանում Դ, այդ ֆունկցիան | զ(x, y)| ինտեգրված տարածաշրջանում Դ, ընդ որում

(Իհարկե, ինտեգրմամբ | զ(x, y)| մեջ Դչցուցաբերելով ինտեգրում զ(x, y) մեջ Դ.)

6°. Միջին արժեքի թեորեմ. Ինչպիսի վիրավորական գործառույթ զ(x, y) որ է(x, y) ինտեգրումը տարածքում Դ, ֆունկցիա է(x, y) անտեսանելի է (ոչ դրական) այս պատկերասրահում ամենուր, Մі մ- ֆունկցիայի ճշգրիտ վերին և ստորին սահմանները զ(x, y) տարածքում Դ, ապա կա մի թիվ μ որը բավարարում է նյարդայնությունը մ ≤ μ ≤ Մև որպեսզի բանաձևը վավեր լինի

Զոկրեմա, որպես ֆունկցիա զ(x, y) անխափան է Դ, և տարածքը Դ զվյազկովա, ապա այս պատկերասրահում կա այսպիսի կետ ( ξ , η ), ինչ μ = զ(ξ , η ), և բանաձևը (11) կարծես

ՇԱՐԺվող ԻՆՏԵԳՐԱԼՆԵՐ

դասախոսություն 1

Կայուն ինտեգրալներ.Ստորգետնյա ինտեգրալի նպատակը ուժն է: Կրկնվող ինտեգրումներ. Ստորին ինտեգրալների հղումները կրկնվողներին: Տեղադրում ինտեգրման միջև. Դեկարտյան կոորդինատների համակարգի հիմքում ընկած ինտեգրալների հաշվարկը:

Ենթաինտեգրալը երգող ինտեգրալի ըմբռնման խորացումն է երկու փոփոխականների տարբեր գործառույթներում: Այսպիսով, ինտեգրման հակառակը կհայտնվի որպես հարթ գործիչ։

Դե արի Դ-Դեժական փակ, սահմանամերձ տարածք է, և զ(x, y) - բավարար գործառույթ, այն նշված է այս պատկերասրահի կողմից: Ենթադրենք, որ մարզերի միջև Դգումարվում են կորերի վերջին քանակից, առաջադրանքներ հասակակիցների կողմիցմիտք y=զ(x) կամ x=g( y), դե զ(x) որ է(y) անխափան ֆունկցիաներ են։

Rozib'ёmo շրջան Դարժանապատիվ կոչում nմաս. տարածք ես-ї delyanki-ն իմաստավորվում է D նշանով s i. Դիլյանցի մաշկի վրա բավական թրթռանք է Պի,և թողեք այն be-yak_y-ում` ամրագրելով կարտեզյան համակարգի մաշ կոորդինատները ( x i, y i) Սկլադեմո ինտեգրալ գումարֆունկցիայի համար զ(x, y) ըստ տարածաշրջանի Դ,որի համար ֆունկցիայի արժեքը հայտնի է բոլոր կետերում Պիїх-ը բազմապատկելով կրկնակի հողամասերի մակերեսով Ds եսԵվ մենք ենթադրում ենք, որ բոլոր արդյունքները հանվում են.

Նազվեմո տրամագիծ(Գ) տարածքներ Գամենամեծ հեռավորությունը տարածաշրջանի սահմանային կետերի միջև:

Անբաժանելի գործառույթները զ(x, y) D տարածքում կոչվում է սահման, թե որքանով է ամբողջական գումարների հաջորդականությունը (1.1) ընդմիջումների քանակի անսահմանափակ աճով n (ում մոտ) Գրեք այսպես

Հարկ է նշել, որ, ըստ երևույթին, տվյալ ֆունկցիայի և ինտեգրման տվյալ տարածքի ինտեգրալ գումարը պետք է ընկնի տարածքի ընդլայնման ճանապարհին: Դկետ ընտրելու համար Պի. Prote yakshcho podviyny іsnuє іsnuє, tse նշանակում է, որ vіdpovіdny іntegrаlny գումարների միջև հնարավոր չէ պառկել նշանակված chinnikіv-ի միջև: Որպեսզի(կամ, ինչպես թվում է, ընդհանուր ֆունկցիա զ(x, y) ինտեգրված է D տիրույթում), բավական է, որ bool-ի ինտեգրալ ֆունկցիան անխափանառաջադրանքների պատկերասրահի ինտեգրում.

Արի գործառույթ զ(x, y) ինտեգրված տարածաշրջանում Դ. Նման գործառույթների կուտակային գումարների միջև բեկորները չեն կարող կուտակվել ինտեգրման տարածքը բաժանելու մեթոդով, բաժանումը կարող է իրականացվել ուղղահայաց և հորիզոնական գծերի օգնությամբ: Տարածաշրջանի ավելի շատ գործարարներ Դժամանակին ուղիղ կտրվածքով տեսք, նման դորիվնյու Դ s i=D x iԴ y i. Հետևաբար, տարածքի դիֆերենցիալը կարելի է գրել այսպես ds=dxdy. Օտժե, ինտեգրալների տակ դեկարտյան կոորդինատային համակարգումտեսարանից կարող եք գրել

Հարգանք. Ինտեգրանդ f ֆունկցիայի նման(x, y)º1, ապա ինտեգրման տարածաշրջանի տարածքի ներինտեգրալը հետևյալն է.

Հատկանշական է, որ ընդգծված ինտեգրումները կարող են լինել նույն ուժը, ինչպես նաև առանձին ինտեգրված: Նրանց գործերը նշանակալից են։

Ստորադասական ինտեգրալների հզորությունը.

1 0 .Գծային հզորություն. Ինտեգրալների մյուս գումարի ֆունկցիաների գումարի ինտեգրալ:

իսկ հաստատուն բազմապատկիչին կարելի է մեղադրել ինտեգրալի նշանի համար:

2 0 .Ավելացման հզորություն. Քանի որ D ինտեգրման տարածքը բաժանված է երկու մասի, ապա ենթաինտեգրալն ավելի ամբողջական է, քան մաշկի մասի վրա ինտեգրումների գումարը.:

3 0 .Միջին թեորեմա. Ո՞րն է գործառույթըզ( x, y)D տարածաշրջանում շարունակական է, ապա պատկերասրահում կա այդպիսի կետ(x, h) , ինչ:

Հետագա սնուցում. ինչպե՞ս են հաշվարկվում ենթաինտեգրալները: Յոգոն մոտավորապես կարող է լինել virahuvati, այս մեթոդով այն կոտրված է արդյունավետ մեթոդներկուտակային գումարների ծալված գումարներ, որոնք այնուհետև հաշվարկվում են թվային եղանակով լրացուցիչ ԸԴԱ-ով: Ենթաինտեգրալների վերլուծական հաշվարկով դրանք կրճատվում են երկու sing-integrals-ի։

Կախովի ինտեգրալներ թեյնիկների համար

Այս դասը ներկայացնում է բազմաթիվ ինտեգրալների մեծ թեման, որից ուսանողները կհնչեն մեկ այլ դասընթաց: Տեղափոխեք դա եռակի ինտեգրալներովդուք կարող եք zalyakate պաստառագործությունը ոչ ավելի բարձր, ցածր դիֆերենցիալ հավասար էէդ vіdrazu-ին, արի մի հատ նայենք ուտելիքին՝ լավ, ի՞նչ է։ Zvichayno, deakim-ը ծալովի կլինի, և, ազնվորեն, ես մի փոքր զրպարտել եմ անվանման վիճակագրությամբ, որպեսզի սովորեմ, թե ինչպես կարելի է virishuvati podvіynі іntegrali, անհրաժեշտ է մայրիկ deyakі navichki: Նախ, եթե դուք գնում եք ինտեգրացիաների, ապա, ակնհայտորեն, պետք է ինտեգրվեք։ Տրամաբանություն. Otzhe, հավելվածների զարգացման համար դուք պետք է իմանաք աննշան ինտեգրալներայդ հաշվարկը գծային ինտեգրալներտաք բի միջին մակարդակի վրա: Լավ նորությունն այն է, որ հզոր ուժերի օգնությամբ նրանք ինտեգրվել են մեծ վիպադկիվ՝ դա պարզապես անելու համար։

Ո՞վ է դժվարանում: Ես հասկացա աջ կողմում. Թիմը, ով առաջին կիսամյակների ընթացքում շատ գարեջուր էր խմում։ Այնուամենայնիվ, նորմալ ուսանողները կարող են ծանրաբեռնված լինել՝ կայքում առկա են բացերը լրացնելու կամ անհասկանալի բոլոր նյութերը։ Դուք պարզապես պատահաբար ծախսում եք մեկ ժամից ավելի: Possilannya նրանց վրա, yakі սահեց vyvchiti կամ կրկնել, dodavatimutsya pіd ժամ statti:

Ներածական դասին քայլ առ քայլ կքննարկվեն հետևյալ հիմնական պահերը.

– Հասկանալով հոսանքի ինտեգրալը

- Ինտեգրման տարածք: Ինտեգրման տարածաշրջանը շրջանցելու կարգը. Ինչպե՞ս փոխել շրջանցման կարգը:

Դրանից հետո, ինչպես ԼԱՎ հասկանում եք ամբողջ Ասիան, կարող եք գնալ հոդվածին Ինչպե՞ս հաշվարկել թերագնահատված ինտեգրալը: Կիրառել լուծում. Բացի այդ, կա ավելի լայն խնդիր վազող ինտեգրալի հաշվարկը բևեռային կոորդինատներումայդ բնորոշ հավելումը մասին նշանակությունը հարթ շրջագծված գործչի ծանրության կենտրոնի համար.

Սկսենք լկտի ուտելիքից՝ ի՞նչ է դա։

Հասկանալով հոսանքի ինտեգրալը

Անգրագետի ենթափոխանակային ինտեգրալը գրվում է այսպես.

Եկեք նայենք տերմիններին և սահմանումներին.
- Ուղղահայաց ինտեգրալի պատկերակը;
- Ինտեգրման տարածք (հարթ գործիչ);
- Երկու փոփոխականների ինտեգրալ ֆունկցիա, հաճախ դա պարզ է.
- Դիֆերենցիալների կրծքանշաններ:

Ի՞նչ է նշանակում հաշվարկել թերագնահատված ինտեգրալը։

Հաշվեք հիմքում ընկած ինտեգրալը՝ tse-ի միջոցները իմանալ ԿԻԼՈ. Ամենապարզ թիվը.

І vkray bazhano ճիշտ գիտեմ յոգո =)

Արդյունքը (թիվը) կարող է բացասական լինել: Իսկ զրո կարելի է հեշտությամբ մուտքագրել: Հատուկ zupinivsya տվյալ պահին, oskolki chimalo ուսանողները էին անհանգիստ, եթե դուք դուրս գալ «ինչ-որ այլ հրաշալի բան»:

Բագատոն, ով հիշում է այդ «հոյակապը» արժեքային ինտեգրալ- Թեժ համարը։ Այստեղ հենց այդպես է։ The underwire ինտեգրալն ունի іsnuє i vіdminny երկրաչափական զմիստ, Ale մասին tse pіznіshe, usumu svіy ժամ.

Ինչպե՞ս հաշվարկել թերագնահատված ինտեգրալը:

Հիմքում ընկած ինտեգրալը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է այն անվանել հետևյալ կերպ մենք կրկնում ենք ինտեգրալները. Zrobiti tse հնարավոր է երկու ճանապարհ. Հարձակողական մեթոդի ամենամեծ ընդլայնումը.

Սննդի մատակարարման տեղակալն անհրաժեշտ է ինտեգրման միջև ստեղծելու համար: Ընդ որում, արտաքին ինտեգրալի սննդային նշանները միայնակ են՝ tse թվեր, իսկ ներքին ինտեգրալի սննդային նշանների ենթալարերն են գործառույթները odnієї zminnoї , scho ավանդադրել «iks»-ի տեսքով։

Վերցրեք աստղերը ինտեգրման միջև:Գարշահոտը վ_դ ծգոգոյում պառկելն է, ինչ վերաբերում է տվյալ տարածքի ղեկավարի խելքին։ Տարածքը հոյակապ հարթ գործիչ է, որի հետ դուք բազմիցս կպել եք, օրինակ, երբ հարթ թվերի համարակալված տարածքներկամ մարմնի փաթաթման ծավալի հաշվարկը. Նեզաբար դուք գիտեք, թե ինչպես ճիշտ տեղադրել ինտեգրման սահմանները:

Դրանից հետո, քանի որ որոշվում է անցումը կրկնվող ինտեգրալներին, առանց միջնորդի կատարվում է հետևյալ հաշվարկը՝ սկզբում վերցվում է ներքին ինտեգրալը, իսկ հետո՝ արտաքինը։ Մեկը մյուսի հետեւից. Zvіdsi անունը - կրկնվող ինտեգրալներ:

Մոտավորապես թվացյալ խնդիրն է հաշվել մինչև երկու երգող ինտեգրալների հաշվարկը։ Ինչպես ամեն ինչ այնքան էլ համահունչ և սարսափելի չէ, և ինչպես եք բախվել «եզակի» երգի ինտեգրալին, ի՞նչ է պետք ձեզ երկու ինտեգրալից բաժանվելու համար:

Կրկնվող ինտեգրալներին անցնելու մեկ այլ եղանակ ավելի պարզ է.

Ի՞նչ է փոխվել։ Ինտեգրման կարգը փոխվել է՝ այժմ ներքին ինտեգրալը վերցվում է «ix», իսկ արտաքինը՝ «iplayer»-ի համար։ Աստղերով նշված ինտեգրման միջև. լինել տարբեր!Մեկ առ մեկ արտաքին ինտեգրալի աստղերը՝ tse թվեր, իսկ ներքին ինտեգրալի հիմքում ընկած աստղերն են շրջադարձային գործառույթներ, scho ստել «igrok» ձեւով։

Որ բին չի ընտրել կրկնվող ինտեգրումներին անցնելու ճանապարհը, մնացորդային ձայնը obov'yazkovo viide որ ինքնին:

Խնդրում եմ, հիշեք ուժի կարևորությունը, քանի որ հնարավոր է vikoristovuvati, zokrema, որոշման վերստուգման համար։

Ենթաինտեգրալի լուծման ալգորիթմ.

Մենք համակարգում ենք տեղեկատվությունը. ի՞նչ հերթականությամբ պետք է նայեք առաջադրանքին:

1) Անհրաժեշտ է վիսկոնացնել աթոռը. Առանց բազկաթոռի խնդիրը չկոտրվելն է. Ավելի ճիշտ, դուք չեք հաղթի, բայց դա նման կլինի չեկային խաղի: Բազկաթոռի վրա պատկերեք տարածքը հարթ կերպարանքի տեսքով: Շատ ժամանակ պատկերը պարզ է և շրջապատված է գծերով, պարաբոլաներով, հիպերբոլաներով և այլն: Իրավասու է, որ shvidku tekhnіku pobudovі koslene կարող է տիրապետել դասերին. Տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկները և հիմնական հզորությունները, գրաֆիկայի երկրաչափական վերափոխում։ Օտժե, առաջին փուլը բազկաթոռի վիկոնատին է։

2) Ստեղծեք ինտեգրումների միջև և անցեք կրկնվող ինտեգրումների:

3) Վերցրեք ներքին ինտեգրալը

4) Վերցրեք ընթացիկ ինտեգրալը և հանեք տարբերությունը (թիվը):

Ինտեգրման տարածք. Ինտեգրման տարածաշրջանը շրջանցելու կարգը.
Ինչպե՞ս փոխել շրջանցման կարգը:

Այս պարբերությունում մենք կարող ենք տեսնել ամենակարևոր սնունդը՝ ինչպես գնալ կրկնվող ինտեգրումների և ճիշտ տեղավորել ինտեգրումների միջև: Ինչպես ասվեց ավելին, դուք կարող եք դա անել այսպես.

Հավանում եմ սա:

Գործնականում ամենաանհարմար առաջադրանքները սովորելը հանգեցնում է ամենաշատ դժվարությունների, և ուսանողները հաճախ մոլորվում են ինտեգրվելու գործընթացում: Դիտարկենք կոնկրետ օրինակ.

հետույք 1

Լուծում:Եկեք պատկերացնենք բազկաթոռի վրա ինտեգրման տարածքը.

Zvicayna հարթ գործիչ և ոչ մի առանձնահատուկ բան:

Այժմ ես կտեսնեմ մաշկի խնամքի միջոց՝ փորելու փայտ, լազերային ցուցիչ: Խնդիրն է սկանավորել ստվերավորված տարածքի մաշկի կետը.

Նշեք լազերը, որպեսզի անցնի ինտեգրման տարածքը խիստ վայրէջք, ապա դուք պետք է ավարտեք ձեր պատվերը ավելի ցածրհարթ գործիչներ. Պրոմին մտնել տարածաշրջան ամբողջ աբսցիսայի միջով, քանի որ ձեզ հարցնում են հավասարները և շրջանից դուրս եկեք պարաբոլայի միջոցով (կարմիր սլաքը): Ամբողջ տարածաշրջանը լուսավորելու համար անհրաժեշտ է կտրուկ զայրացած դեպի աջնկարեք vkazіvka vzdovzh osі vіd 0-ից 1 (կանաչ սլաք):

Օտժե, ինչ է պատահել.
«Іgrek»-ը փոխվում է 0-ից մինչև ;
«ix»-ը փոխվում է 0-ից 1-ի:

Առաջադրանքների համար անհամապատասխանության դեպքում վերը նշվածը գրված է.

Անվանեք անհամապատասխանության տվյալները շրջանցելով ինտեգրման պատկերասրահըկամ պարզապես ինտեգրման կարգը

Շրջանցման կարգը դասավորելուց հետո մենք կարող ենք ներհոսքի ինտեգրալից անցնել կրկնվող ինտեգրալներին.

Առաջադրանքի կեսն ավարտված է։ Այժմ անհրաժեշտ է այլ կերպ անցնել կրկնվող ինտեգրալներին։ Ում համար պետք է իմանաք առանցքային գործառույթները: Ով ծանոթ է դասի մեկ այլ պարբերությանը Ծավալային մարմնի փաթաթանդա ավելի հեշտ կլինի: Նայելով տարածքը սահմանող գործառույթներին . Նույնիսկ ավելի պարզ է, հետո անցեք վերադարձի գործառույթներին, ինչը նշանակում է «igreeks»-ի միջոցով ասել «iksi»: Մեկ ֆունկցիա, դե є ես «iks» և «iplayer», є.

Յակշչոն, ապա, ընդ որում.
հակադարձ ֆունկցիան սահմանում է պարաբոլայի աջ կողմը.
Հակադարձ գործառույթը սահմանում է պարաբոլայի ձախ անկյունը:

Հազվադեպ չէ՞ մեղադրել սումնիվը, առանցքը, օրինակ, պարաբոլայի ձախ կամ աջ ստորագրելու ֆունկցիան։ Տարբերությունների ամփոփումն ավելի պարզ է. վերցրեք պարաբոլիկ կետ, օրինակ, (աջ ասեղից) և կոորդինատները դրեք ուղիղ գծով, օրինակ՝ նույն գիծը.

Ճիշտ հավասարությունը հանվում է, այսուհետ ֆունկցիան վերագրվում է պարաբոլայի աջ ձեռքին, բայց ոչ ձախին։

Դրանից ավելին tsyu ռեվերբ(մտքերը սևով) անցկացնել երեկոդրանից հետո, քանի որ անցել եք վերադարձի գործառույթներին։ Ես մեկ ժամով ոչինչ չեմ վերցնի, բայց ափին ներում եմ երգելու:

Ինտեգրման տարածաշրջանը շրջանցվում է մեկ այլ ձևով.

Այժմ մենք կարող ենք կտրել լազերային ցուցիչը լևորուչդիտել պատկերասրահի ինտեգրումը: Promin լազերային անցման տարածք կտրուկ զայրացած դեպի աջ. ժամը այս կոնկրետ տեսակին vіn մուտք գործել շրջան պարաբոլիկ ասեղով և դուրս գալ տարածաշրջանից ուղիղ գծով, ինչպես սահմանված է հավասարներով (կարմիր սլաք): Ամբողջ տարածքը լազերային սկանավորելու համար անհրաժեշտ է իրականացնել vzdovzh առանցք խիստ վայրէջքմուտքագրեք 0-ից 1 (կանաչ սլաք):

Այս ոճով:
«iks»-ը փոխվում է մինչև 1;
«Іgrek»-ը փոխվում է 0-ից 1-ի։

Որպես անկանոնություններ արձանագրվող տարածքը շրջանցելու կարգը.

Այնուհետև կրկնվող ինտեգրման անցումը հետևյալն է.

Վիդպովիդկարելի է գրել այսպես.

Եվս մեկ անգամ կկռահեմ, որ մնացորդային արդյունքը չի կարող հաշվարկվել՝ կախված շրջանների շրջանցման հաջորդականությունից (դրա համար սահմանված է իրավասություն)։ Սակայն վերջնական արդյունքից դեռ շատ հեռու է, այժմ մեր խնդիրն այլևս ինտերինտեգրումը պատշաճ կերպով տեղավորելը չէ։

հետույք 2

Դանիայի ենթաինտեգրալը ինտեգրման տարածաշրջանի հետ. Գնացեք կրկնվող ինտեգրումների և ընդլայնեք ինտեգրումների միջև երկու եղանակով:

Սա անկախ լուծման օրինակ է։ Գրագետ արթնացրեք աթոռը ուղիղ գիծ վերցրեք շրջանցման վրա(աստղեր և որտեղ պետք է փայլել լազերային ցուցիչով): Զրազոկ դասի պես նուրբ ձևավորում։

Մեծ մասը բնորոշ առաջադրանքներտրոխները մանրացվում են այլ բանաձևով.

հետույք 3

Ներդնել ինտեգրման տարածքը

Լուծում:Մտքի համար տարածաշրջանը շրջանցելու առաջին ուղին տրվեց. Որոշումները նորից սկսվում են ամբիոնից։ Այստեղ տարածաշրջանը ոչ թե պառկած է արծաթյա սկուտեղի վրա՝ սև oblyamіvkoy, այլ խրախուսելու համար, որ հատուկ դժվարություններ չստեղծեն: Ձեռքի հետևի մասում «knіmaєmo» գործում է ինտերինտեգրումից՝ , . Ֆունկցիան, կամայականորեն, սահմանում է ուղիղ գիծ, ​​բայց ի՞նչ է սահմանում ֆունկցիան: Եկեք її troch փոխել:
- 2-րդ շառավղով կոորդինատների կոդի կենտրոնի մոտ: w ֆունկցիան սահմանում է վերին գիծը (մի մոռացեք, եթե այն ամփոփում եք, ապա միշտ կարող եք մի կետ դնել, որը գտնվում է վերին կամ ստորին գծի վրա):

Մենք զարմանում ենք արտաքին ինտեգրալի միջև. «ix»-ը փոխվում է -2-ից մինչև 0:

Vikonaemo բազկաթոռներ.

Ավելի ճիշտ, ես սլաքներով նշել եմ տարածաշրջանը շրջանցելու առաջին ճանապարհը, որն իր հերթին ասում է մտքի կրկնվող ինտեգրալներին. .

Այժմ անհրաժեշտ է փոխել տարածաշրջանը շրջանցելու կարգը, ինչի համար մենք կանցնենք շրջադարձային գործառույթներին (այսինքն՝ «iksi»՝ «іgreki» միջոցով).

Ոչ վաղ անցյալում մենք գործառույթը վերադասավորեցինք ցցի մակարդակին, ասենք «iks»:
Արդյունքում երկու առանցքային գործառույթ է պահանջվում.
- աջ պիվկոլոյի ստորագրում;
- Զգալի leva pіvkolo.
Ես նույնը գիտեմ, իբր մեղադրում եմ սումնիվին, վերցրու մի կետ ու ասա՝ դե ձախ, դե աջ։

Փոխեք տարածքը շրջանցելու կարգը.

Զգիդնո այլ կերպ, լազերային պրոմին մտնելդեպի տարածաշրջան լևորուչառյուծի միջոցով pivkolo i գնալ աջ ձեռքովուղիղ գծի միջոցով (կարմիր սլաք): Նույն ժամին լազերային տեղադրումիրականացվի օրդինատների առանցքի վրա վերևմուտքագրեք 0-ից 2 (կանաչ սլաք):

Այս կարգով տարածքը շրջանցելու հրամանը.

Զագալը կարելի է գրել հուշում:

հետույք 4

Սա անկախ լուծման օրինակ է։ Հետույքն այլևս ծալովի չէ, բայց հարգեք մի քանի առաջադրանքները այլ կերպ շրջանցելու կարգը: Ինչու՞ աշխատել նման վիպադկայում: Նախ, մեղադրելով աթոռների դժվարություններին, աթոռի բեկորները ստիպում են, որ հեմոռագիկ ֆունկցիայի գրաֆիկը հանկարծ ինքս ինձ ներշնչի։ Ես խորհուրդ եմ տալիս հաջորդ կարգը dіy. առաջին հերթին մենք վերցնում ենք «առաջնային» գործառույթը (մենք ասում ենք «գրավետներ»՝ «iks»): Մենք ձեզ ժամանակացույց կտանք «ծայրահեղ» գործառույթի համար (միշտ կարող եք անձնատուր լինել, եթե ցանկանում եք krapkovo): Նմանապես, մենք կարող ենք օգտագործել ավելի մեծ պարզ գծային ֆունկցիա. մենք կարող ենք «գերեզմանել» և ուղիղ գիծ անցկացնել:

Մենք վերլուծում ենք միջինտեգրացիոն բացերը. մենք i-ով մտնում ենք միջին շրջան և դուրս ենք գալիս . Երբ ամեն ինչ ճիշտ եք անում, կարող եք անցնել «հունական» սահունության՝ -1-ից մինչև 0: Քանի որ ամբիոնի վրա ինտեգրացիոն տարածք եք նշանակել, փոխեք հատուկ դժվարությունների պահեստում շրջելու կարգը: Zrazok-ը մշակել է դասի լուծում.

Նմանատիպ հետույք, ես մի փոքր ավելի ուշ կկարգավորեմ:

Navіt yakscho դու ամեն ինչ լավ հասկացար, բարի եղիր, մի շտապեք, գնացեք ուղիղ մինչև վազող ինտեգրալի հաշվարկը. Շեղման կարգը հարուստ է, և կարևոր է ձեռքերդ բռնել որոշ գլուխների վրա, ավելին, ես դեռ ամեն ինչ չեմ նայել:

Առջևի չոտիրոյի հետույքներում ինտեգրման տարածքը դիտվում էր որպես ամբողջություն 1-ին, 2-րդ, 3-րդ և 4-րդ կոորդինատային եռամսյակներում: Ինչու՞ այդպես սպասել: Ոչ, ակնհայտորեն:

հետույք 5

Փոխեք ինտեգրման կարգը

Լուծում:Այն նման է աթոռի, որի հետ ֆունկցիայի գրաֆիկը իրականում խորանարդ պարաբոլա է, պարզապես չի «կողքի պառկած».

Տարածաշրջանը շրջանցելու կարգը, որը հրահանգում է կրկնվող ինտեգրալները , նշված սլաքներով: Հարկ է նշել, որ ամբիոնի վիկոնաննի ընթացքում նկարվել է ևս մեկ ուրվագծված կերպար (օրդինատների առանցքում Լևորուչը)։ Ուստի մենք պետք է հարգենք տարածաշրջանի ինտեգրումը. տարածաշրջանի համար դուք կարող եք ներում շնորհել սխալ գործչին։

Եկեք անցնենք վերադարձի գործառույթներին.
- մեզ անհրաժեշտ է պարաբոլայի ճիշտ գլուխը;

Փոխենք շրջանը շրջանցելու կարգը. Ինչպես հիշում եք, տարածքը շրջանցելու մեկ այլ եղանակով անհրաժեշտ է սկանավորել տարածքը լազերային անջատիչով դեպի աջ։ Ale այստեղ posterіgaєtsya cіkava rіch:

Ինչպե՞ս վերանորոգել նմանատիպ իրավիճակներում: Նման դեպքերում ինտեգրման տարածքը բաժանեք երկու մասի և մաշկի մասի համար ավելացրեք ձեր կրկնվող ինտեգրումը.

1) Եթե «ձգողականությունը» փոխվում է -1-ից մինչև 0 (կանաչ սլաք), ապա խնդրում ենք մուտք գործել շրջան խորանարդ պարաբոլայով և դուրս գալ ուղիղ գծով (կարմիր սլաք): Հետևաբար, տարածքը շրջանցելու կարգը կլինի հետևյալը.

2) Եթե «ձգողականությունը» փոխվում է 0-ից 1-ի (շագանակագույն սլաք), ապա անհապաղ մուտք գործեք տարածք պարաբոլիկ ասեղով և դուրս եկեք հենց այդ ուղիղ գծով (կարմիր սլաք): Այնուհետև տարածքը շրջանցելու կարգը կլինի հետևյալը.

Ես կրկնեցի կրկնվող ինտեգրալները.

Երգելը և բազմակի ինտեգրալները որոշակի ուժ ունեն հավելումորպէսզի ծալուին, որոնք տուեալ ձեւով եւ յաջորդաբար աճին.
-Իսկ առանցքն ու մեր շրջագայությունը տարածաշրջանով մեկ այլ կերպ՝ նայելով երկու ինտեգրալների գումարին։

Վիդպովիդգրել այսպես.

Շրջանցման ո՞ր կարգն է առավել ակնհայտ: Զվիչայնո այն, որ տառը տրվում է առաջադրանքի մտքում, դու կրկնակի քիչ կհաշվես։

հետույք 6

Փոխեք ինտեգրման կարգը

Սա անկախ լուծման օրինակ է։ Հաղորդվում է, որ նոր pіvkol-ի առկայության դեպքում razbіrki z yakim-ը վերանայվել է Հավելված 3-ում: Լուծումը կազմվել է դասի նման:

Եվ միանգամից, obіtsyane zavdannya, եթե առաջադրանքների ցանկը տարածաշրջանը շրջանցելու ևս մեկ միջոց է.

հետույք 7

Փոխեք ինտեգրման կարգը

Լուծում:Եթե ​​առաջադրանքները այլ կերպ շրջանցելու կարգը, նախքան արթնացման աթոռը, անհրաժեշտ է անցնել «վերադաս» գործառույթներին: Ում հետույքի մոտ փոխակերպման համար կա երկու հիվանդ՝ i.
Գծային ֆունկցիայով ամեն ինչ պարզ է.

Ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլա է՝ կանոնականության պահանջով։

Virazimo «iplayer»-ը «ix»-ի միջոցով.

Վերցնում ենք պարաբոլայի երկու քորոց՝ i. Յակու նրանցից vibrati? Ամենապարզը բազկաթոռի վիկոնատը տեսնելն է։ Եվ եթե հիշում եք պարաբոլայի մասին վերլուծական երկրաչափության նյութը, ապա նույն վիրավորանքները կարող եք անվանել Կրապկովո.

Եվս մեկ անգամ հարգում եմ այն ​​փաստը, որ այս աթոռի վրա հարթ ֆիգուրներ էին շաղ տալիս, և կարևոր է ֆիգուր ընտրել: Ընտրելով այն ֆիգուրները, ովքեր կատակում են, նրանք կօգնեն ձեզ մյուս ինտեգրալների ինտեգրման միջև.
, այդ պահին մի մոռացեք, թե ինչ է սահմանում հակադարձ գործառույթը բոլորըպարաբոլա.

Սլաքները, որոնք ցույց են տալիս թվերի շեղումը, ճշգրտորեն ցույց են տալիս ինտեգրումների ինտեգրման սահմանները .

Dosit shvidko դուք սովորում եք ձեր մտքում նման վերլուծություն կատարել և գիտեք ինտեգրման տարածքի անհրաժեշտությունը:

Եթե ​​պատկերը գտնվի, լուծման վերջնական մասը նույնիսկ ավելի պարզ է, մենք փոխում ենք տարածքը շրջանցելու կարգը.

Արդեն հայտնի են վերադարձի գործառույթները, իսկ տարածքը շրջանցելու անհրաժեշտ ընթացակարգը.

Առաջարկություն:

Անկախ զարգացման համար պարբերության վերջնական օրինակ.

հետույք 8

Փոխեք ինտեգրման կարգը

Արտաքնապես լուծումն այն է, որ այն նման է դասին։

Սկսենք դիտարկելով ենթափոխանակային ինտեգրալը հաշվարկելու և երկրաչափական բարդությամբ ծանոթանալու գործընթացը։

Ենթաինտեգրալը թվային առումով գերազանցում է հարթ գործչի մակերեսին (ինտեգրման շրջաններ): Ստորինտեգրալի ամենապարզ ձևը, եթե երկու փոփոխականների ֆունկցիան է.

Մենք կարող ենք գլխի հետևից նայել տխրահռչակ հայացքին: Միևնույն ժամանակ, դուք շարժվում եք, ամեն ինչ իսկապես պարզ է: Հաշվել հարթ թվերի մակերեսը, շրջապատված գծերով. Երգելու համար կարևոր է, որ դուք ունեք vіdrіzku: Նկարների տարածքները թվային առումով ավելի առաջադեմ են.

Մենք պատկերում ենք բազկաթոռի տարածքը.

Ընտրեք տարածքը շրջանցելու առաջին ճանապարհը.

Այս ոճով:

Ժամանակին կարևոր տեխնիկական հնարք. կրկնվող ինտեգրալները կարող են մուտքագրվել. Առաջին հերթին ներքին, ապա արտաքին ինտեգրալը։ Ես խստորեն խորհուրդ եմ տալիս դանիական ճանապարհը դեպի այդ թեյնիկները:

1) Հաշվեք ներքին ինտեգրալը, որի հետ ինտեգրումն իրականացվում է «գրավետ» փոփոխության համար.

Ոչ նշանակալի ինտեգրալահա Նյուտոն-Լեյբնիցի ամենապարզ և ավելի հաղթական բանաձևը, նույն տարբերությամբ, որ. ինտեգրումների միջև ոչ թե թվեր են, այլ գործառույթներ. Գլխի հետևի մասը դրվեց «իգրոկ» (բնօրինակ գործառույթ) վերին սահմանի մեջ, այնուհետև ստորին սահմանը

2) Արդյունքը, հանելով առաջին կետից, պետք է ավելացնել ընթացիկ ինտեգրալին.

Ամբողջ լուծման ավելի մեծ կոմպակտ գրառումը հետևյալն է.

Otriman բանաձեւը - սա հենց աշխատանքային բանաձև է հարթ գործչի տարածքը հաշվարկելու համար «ծայրահեղ» երգող ինտեգրալի օգնությամբ: Հիանալ դասից Երգող ինտեգրալի օգնության մակերեսի հաշվարկ, Ահա այն մաշկի վրա croci!

Տոբտո, Անդրլարային ինտեգրալի օգնության համար տարածքի հաշվարկման առաջադրանքը քչերին է հետաքրքրումերգեցողության ինտեգրալի օգնության համար:Փաստորեն, դա նույնն է։

Պարզ է, որ դա մեղավոր չէ որևէ դժվարության համար: Ես կնայեմ փոքր հետույքներին, ձեր բեկորներին, իրականում մեկ անգամ չէ, որ խրված են այս առաջադրանքների հետ միասին:

հետույք 9

Ստորալարերի ինտեգրալի օգնության համար հաշվարկեք հարթ գործչի մակերեսը, որը շրջապատված է գծերով,

Լուծում:Մենք պատկերում ենք բազկաթոռի տարածքը.

Նկարի տարածքը հաշվարկվում է սուբվերտիկ ինտեգրալի օգնությամբ բանաձևի համար.

Տարածքը շրջանցելու համար ընտրեք հաջորդ կարգը.

Այստեղ և հետագա, ես չեմ խոսում այն ​​մասին, թե ինչպես պետք է նայենք տարածաշրջանին, առաջին պարբերության բեկորներն էլ ավելի պարզ են արտահայտվել:

Այս ոճով:

Ինչպես արդեն նշել եմ, քաղաքացիների համար ավելի հեշտ է ավելի արագ հաշվարկել կրկնվող ինտեգրալները, ինչը ես կավելացնեմ մեթոդին.

1) Նյուտոն-Լայբնից բանաձևերի հետևի հետևի տողը վերլուծվում է ներքին ինտեգրալով.

2) Արդյունքը, հանելով առաջին croc-ը, փոխարինվում է գոյություն ունեցող ինտեգրալով.

Կետ 2 - փաստորեն, հարթ դիրքի տարածքը ետ մղել երգող ինտեգրալի օգնությամբ:

Առաջարկություն:

Առանցքը այնքան վատ է, և naїvne zavdannya:

Cicavi հետույք անկախ բալի համար.

հետույք 10

Ստորալարերի ինտեգրալի օգնության համար հաշվարկեք հարթ գործչի մակերեսը, որը շրջապատված է գծերով,

Դասի վերջնական նախագծային լուծման շող:

Պրիկլադախ 9-10-ում էականորեն ավելի կարևոր է հաղթել շրջանը շրջանցելու առաջին ճանապարհով, ավելի շատ ընթերցանությամբ խմել, ելույթից առաջ կարող եք փոխել շրջանցման կարգը և այլ կերպ հաշվարկել տարածքը։ Եթե ​​չներեք, ապա, բնականաբար, կտեսնեք ձեր սեփական նշանակալի տարածքը։

1.1 Ուղղահայաց ինտեգրալի որոշում

1.2 Ենթաինտեգրալի գերակայություն

Ենթաինտեգրալի ուժը (այդ յոգո վիսնովոկը) նման է մեկանգամյա երգող ինտեգրալի ուժին։

1°. Ավելացում. Եթե ​​f(x, y) ֆունկցիան ինտեգրված է D տիրույթում, և եթե D տիրույթը Գ լրացուցիչ կորից դուրս, զրոյի տարածքը բաժանված է երկու օղակների և չի կարող ունենալ D 1 և D 2 տիրույթի ներքին կետեր, ապա f(x, y) ֆունկցիան ինտեգրված է մաշկի մեջ D 1 և D 2 տարածքներից, ընդ որում

2°. Գծային հզորություն. Ինչպե՞ս են f(x, y) և g(x, y) ֆունկցիաները ինտեգրելի D տարածության մեջ, հա՞: ես - լինի դա խոսքի թվեր, ապա ֆունկցիան [? f (x, y) + ? g (x, y)] նույնպես ինտեգրված է D տիրույթում, ընդ որում

3°. Ինչպես f(x, y) և g(x, y) ֆունկցիաները ինտեգրված են D տիրույթում, այնպես էլ այս ֆունկցիաների լրացուցիչ ֆունկցիաները ինտեգրված են D-ում։

4°. Ինչպե՞ս կարող են f(x, y) և g(x, y) ֆունկցիաները ինտեգրվել D տիրույթում և խաչել f(x, y): g(x, y), ապա

5°. Քանի որ f(x, y) ֆունկցիան ինտեգրված է D տիրույթով, ապա րդ ֆունկցիան |f(x, y)| ինտեգրված Դ տարածաշրջանում, ընդ որում

(Ակնհայտ է, որ | f (x, y) | D-ի ինտեգրումը չի ցույց տալիս f (x, y)-ի ինտեգրումը D-ում):

6°. Միջին արժեքի թեորեմ. Չնայած վիրավորական f(x, y) և g(x, y) ֆունկցիաները ինտեգրված են D տիրույթում, g(x, y) ֆունկցիան անտեսանելի է (ոչ դրական) այս տարածաշրջանում ամենուր, M և m-ը ճշգրիտ են: f( x, y) ֆունկցիայի վերին և ստորին սահմանները D տարածքում, ապա կա մի թիվ, որը բավարարում է m-ի անհավասարությունը: ? ? M i, որպեսզի բանաձևը վավեր լինի

Sokrema, քանի որ f(x, y) ֆունկցիան շարունակական D է, իսկ D տիրույթը միացված է, ապա այս տիրույթում կա այսպիսի կետ (?, ?), Ի՞նչ։ = f(?, ?), և բանաձևը նման է

7°. Կարևոր երկրաչափական հզորություն. բնակելի տարածք Դ

Թող T մարմինը (նկ. 2.1) տրվի տարածությանը, D տարածքից ներքև, գազանին. D, կողմերից՝ գլանաձև մակերես, ուղիղ մեկ є D տարածքի միջև և զուգահեռ են Օզի առանցքին։ Այս տեսակի մարմինը կոչվում է գլանաձեւ մարմին:

1.3 Ուղղահայաց ինտեգրալի երկրաչափական մեկնաբանություն

1.4 Ուղղանկյունի ուղղահայաց ինտեգրալը հասկանալը

Թող F(x, y) բավարար ֆունկցիա վերագրվի R = ? (բաժանում. Նկ. 1):

Խնկունի հատված ա. x? b-ով n մասնակի հատվածով a = x 0 օժանդակ կետից դուրս< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.

Tsomu razbittya ուղիղ գծերի օգնության համար, զուգահեռ առանցքներ Ox і Oy-ը R ուղղանկյունը բաժանում է n · p մասնակի ուղղանկյունների R kl = ? (k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p): Նշվում է R ուղղանկյան բաժանմամբ, այն նշանակալի է T նշանով: Մենք նրան բաժանել ենք «ուղղանկյուն» տերմինի տակ՝ հասկանալու համար ուղղանկյունը կոորդինատային առանցքներին զուգահեռ կողմերով:

Մաշկի chastkovy ուղղանկյուն Rkl, մենք ընտրում ենք ամբողջական կետ (?k,?l): Տեղադրելով ?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1, այն նշանակալի է R kl ուղղանկյան տարածքի ?R kl-ի միջոցով: Ակնհայտորեն, ?R kl = ?x k ?y l .

կոչվում է f(x, y) ֆունկցիայի ինտեգրալ գումար, որը տալիս է R ուղղանկյան T բաշխում և T բաշխման մասնակի ուղղանկյունների վրա միջանկյալ կետերի (? k, l) տրված ընտրություն։

Անկյունագիծը կոչվում է ուղղանկյան տրամագիծ R kl : Խորհրդանիշ? Զգալիորեն ամենամեծն է բոլոր սովորական ուղղանկյուն կտրվածքների տրամագծերից R kl:

I թիվը կոչվում է (1) ինտեգրալ գումարների սահման: > 0, ինչպե՞ս կարող է դա լինել ցանկացած դրական թիվ: կարող եք այդպես ասել ամսաթիվը?, ինչ?< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство

| ? - Ես |< ?.

F(x, y) ֆունկցիան R ուղղանկյան վրա կոչվում է ինտեգրված (ըստ Ռիմանի), որովհետև կա վերջնական սահման՝ ժամը ֆունկցիայի I ինտեգրալ գումարների միջև։ >0.

Նշանակված I սահմանը կոչվում է f(x, y) ֆունկցիայի ենթաինտեգրալ R ուղղանկյունով և նշանակվում է հետևյալ նշաններից մեկով.

Հարգանք. Այսպիսով, ինչպես մեկանգամյա երգող ինտեգրալի դեպքում, հաստատվում է, որ f(x, y) ֆունկցիան ինտեգրված է R ուղղանկյան վրա և շրջագծված է այս ուղղանկյան վրա։

Սա հնարավորություն է տալիս ավելի հեռու նայել f(x, y) ֆունկցիաների սահմանից։

Ենթաինտեգրալն ունի ուժ, որը նման է երգող ինտեգրալի ուժին: Հիմնականներից զգալիորեն պակաս.

1. Որոնք են գործառույթները
ինտեգրումը տարածաշրջանում
, ապա դրանց մեջ ինտեգրումը չափն ու տարբերությունն է, ընդ որում

2. Մշտական ​​բազմապատկիչին կարելի է մեղադրել ենթափոխանակային ինտեգրալի նշանի համար.

3. Յակշո
ինտեգրված տարածաշրջանում
, և այս տարածքը բաժանված է երկու տարածքի, որոնք չեն համընկնում і
, ապա

.

4. Յակշո
і
ինտեգրումը տարածաշրջանում
, ի yakіy

, ապա

.

5. Ինչ կա տարածքում
ֆունկցիան
գոհ է անհամապատասխանություններից


դե
і
 գործում dіysnі թվեր, ապա

,

դե - շրջանի տարածքը
.

Այս հզորությունների ապացույցները նման են պարզ ինտեգրալի երկրորդ թեորեմների ապացուցմանը։

Ուղղահայաց ինտեգրալի հաշվարկը ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատներում

Թող անհրաժեշտ լինի հաշվարկել հիմքում ընկած ինտեգրալը
, դե տարածք - Ուղղանկյուն, որը բնութագրվում է անկանոնություններով ,.

Ենթադրենք, որ
անխափան է նույն ուղղանկյունում և ուռչում է նոր անհայտ արժեքով, չնայած մարմնի ծավալի ինտեգրալը հիմքի հետ , ծայրամասային՝ գազանի գագաթին
, կողքից՝ բնակարան
,
,
,
:

.

Մյուս կողմից, երգող ինտեգրալի օգնությամբ կարելի է հաշվարկել այսպիսի ցուցանիշ.

,

դե
- այս մարմինը հատելու տարածքը հարթության հետ, որն անցնում է կետով. և առանցքին ուղղահայաց
. Անալիզի բեկորները խաչված են կորագիծ տրապեզիայի հետ
, շրջապատված գազանի կողմից ֆունկցիայի գրաֆիկով
, դե ամրագրված, և , ապա

.

Z tsikh triokh հավասարություններ vyplivaє, scho

.

Հետագայում ներքևի ինտեգրալի հաշվարկը հաշվարկվեց որպես երկու երգող ինտեգրալների հաշվարկ. «ներքին ինտեգրալը» հաշվարկելիս (գրված է կամարներով) անփոփոխ լինել.

Հարգանք.Կարո՞ղ եք բացատրել, որ մնացած բանաձևը ճիշտ է, երբ
, ինչպես նաև մի հայացքով, եթե ֆունկցիան
փոխել նշված ուղղանկյան նշանը.

Բանաձևի մասի իրավունքները կոչվում են կրկնվող ինտեգրալ և նշանակվում են հետևյալ կերպ.

.

Նմանապես, կարելի է ցույց տալ, որ

.

Ասվածից վեր նվնվում ես

.

Հավասարության պահպանումը նշանակում է, որ ինտեգրման արդյունքը պետք է ընկնի ինտեգրման կարգով:

Ամենախոր լանջին նայելու համար եկեք ներկայացնենք ստանդարտ տարածքի հասկացությունը: Առանցքին ուղղակիորեն տրված ստանդարտ (կամ ճիշտ) տարածքը կոչվում է այնպիսի տարածք, որի համար այն պետք է լինի ուղիղ, առանցքի կենտրոնին զուգահեռ, հատվածի միջև ոչ ավելին, երկու կետից ցածր: Հակառակ դեպքում, թվում է, շրջելով բուն տարածաշրջանը, այդ її կորդոնը ուղիղ մեկ զեփյուռ է:

Ընդունելի է, որ շրջանը շրջապատված է

որը շրջապատված է գազանով ֆունկցիայի գրաֆիկով
, ներքևում՝ ֆունկցիայի գրաֆիկ
. Արի R ( ,) - նվազագույն ուղղանկյուն, որի մեջ դրված է շրջանը
.

Գնացեք տարածք
այդ անխափան ֆունկցիան նշանակված է
. Ներկայացնենք նոր ֆունկցիա.

,

նման է ստորին լարերի ինտեգրալի հզորություններին

.

Ես, ավելի ուշ,

.

Oskіlki vіdrіzok
տարածքը ծածկելու համար
հետո, ավելի ուշ,
ժամը


, բայց սուտ է vіdrіzkom դիրքում, ապա
.

Ֆիքսված հետ մենք կարող ենք գրել.

.

Առաջին և երրորդ ինտեգրալները ինտեգրման աջ կողմում գումարվում են զրոյի, այնուհետև

.

Օտժե,

.

Ինչու է անհրաժեշտ օգտագործել ստանդարտ առանցքի տարածքի վրա հոսող ինտեգրալը հաշվարկելու բանաձևը
կրկնվող ինտեգրալի հղման միջոցով՝

.

Յակշոյի շրջան
є ստանդարտ y ուղիղ առանցք
նա հայտնվում է որպես անհամապատասխանություն ,

, նմանապես, կարելի է դա ապացուցել

.

Հարգանք.Տարածաշրջանի համար
, ստանդարտ y ուղիղ առանցքներ
і
, կլինեն վիկոններ

Այս բանաձևի համար տեղի է ունենում ինտեգրման կարգի և ենթագծային ինտեգրալի հաշվարկի ժամի փոփոխություն։

Հարգանք.Հենց որ ինտեգրման տարածքը դադարում է լինել ստանդարտ (ճիշտ) երկու կոորդինատային առանցքներում, її բաժանվում է ստանդարտ տարածքների գումարով և ներկայացնում է ինտեգրալը որպես այս տարածքների ինտեգրումների գումար:

հետույք. Հաշվեք վազող ինտեգրալը
ըստ տարածաշրջանի
, շրջապատված տողերով.
,
,
.

Լուծում.

Tsya տարածքը є ստանդարտ yak schodo առանցք
, Այսպիսով ես
.

Մենք հաշվարկում ենք ինտեգրալը՝ հաշվի առնելով ստանդարտ առանցքի տարածքը
.

.

Հարգանք.Ինչպես հաշվարկել ինտեգրալը, հաշվի առնելով ստանդարտ առանցքի տարածքը
, վերցնում ենք նույն արդյունքը.

.

հետույք. Հաշվեք վազող ինտեգրալը
ըստ տարածաշրջանի
, շրջապատված տողերով.
,
,
.

Լուծում.Ներկայացուցչականորեն ինտեգրման շրջանը տրվում է փոքրիկին։

Tsya տարածքը є ստանդարտ schodo առանցք
.

.

հետույք. Փոխեք ինտեգրման կարգը կրկնվող ինտեգրման համար.

Լուծում.Եկեք պատկերացնենք ինտեգրման տարածաշրջանը։

Միջինտեգրման գծերից մենք գիտենք այն գծերը, որոնք ընդգրկում են ինտեգրման տարածքը. ,
,
,
. Ինտեգրման կարգը փոխելու համար մենք կարող ենք որպես գործառույթներ և մենք գիտենք անցման կետը.

,
,
.

Այսպիսով, ինտերվալներից մեկում գործառույթը արտահայտվում է երկու վերլուծական վիրուսներով, այնուհետև ինտեգրման տարածքը պետք է բաժանվի երկու տարածքի, իսկ հարկի կրկնվող ինտեգրալը երկու ինտեգրման գումարն է։

.