Ենթաինտեգրալն ունի ուժ, որը նման է երգող ինտեգրալի ուժին: Հիմնականներից զգալիորեն պակաս.

1. Որոնք են գործառույթները
ինտեգրումը տարածաշրջանում
, ապա դրանց մեջ ինտեգրումը չափն ու տարբերությունն է, ընդ որում

2. Նշանի համար կարելի է մեղադրել հաստատուն բազմապատկիչին underwire ինտեգրալ:

3. Յակշո
ինտեգրված տարածաշրջանում
, և այս տարածքը բաժանված է երկու տարածքի, որոնք չեն համընկնում і
, ապա

.

4. Յակշո
і
ինտեգրումը տարածաշրջանում
, ի yakіy

, ապա

.

5. Ինչ կա տարածքում
ֆունկցիան
գոհ է անհամապատասխանություններից


դե
і
 գործում dіysnі թվեր, ապա

,

դե - շրջանի տարածքը
.

Այս հզորությունների ապացույցները նման են պարզ ինտեգրալի երկրորդ թեորեմների ապացուցմանը։

Ուղղահայաց ինտեգրալի հաշվարկը ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատներում

Թող անհրաժեշտ լինի հաշվարկել հիմքում ընկած ինտեգրալը
, դե տարածք - Ուղղանկյուն, որը բնութագրվում է անկանոնություններով ,.

Ենթադրենք, որ
անխափան է նույն ուղղանկյունում և ուռչում է նոր անհայտ արժեքով, չնայած մարմնի ծավալի ինտեգրալը հիմքի հետ , ծայրամասային՝ գազանի գագաթին
, կողքից՝ բնակարան
,
,
,
:

.

Մյուս կողմից, երգող ինտեգրալի օգնությամբ կարելի է հաշվարկել այսպիսի ցուցանիշ.

,

դե
- այս մարմինը հատելու տարածքը հարթության հետ, որն անցնում է կետով. և առանցքին ուղղահայաց
. Անալիզի բեկորները խաչված են կորագիծ տրապեզիայի հետ
, շրջապատված գազանի կողմից ֆունկցիայի գրաֆիկով
, դե ամրագրված, և , ապա

.

Z tsikh triokh հավասարություններ vyplivaє, scho

.

Այսուհետ բազային ինտեգրալի հաշվարկը երկու երգող ինտեգրալների հաշվարկն էր. «ներքին ինտեգրալը» հաշվարկելիս (գրված է կամարներով) անփոփոխ լինել.

Հարգանք.Կարո՞ղ եք բացատրել, որ մնացած բանաձևը ճիշտ է, երբ
, ինչպես նաև մի հայացքով, եթե ֆունկցիան
փոխել նշված ուղղանկյան նշանը.

Բանաձևի մասի իրավունքները կոչվում են կրկնվող ինտեգրալ և նշանակվում են հետևյալ կերպ.

.

Նմանապես, կարելի է ցույց տալ, որ

.

Ասվածից վեր նվնվում ես

.

Հավասարության պահպանումը նշանակում է, որ ինտեգրման արդյունքը պետք է ընկնի ինտեգրման կարգով:

Ամենախոր լանջին նայելու համար եկեք ներկայացնենք ստանդարտ տարածքի հասկացությունը: Առանցքին ուղղակիորեն տրված ստանդարտ (կամ ճիշտ) տարածքը կոչվում է այնպիսի տարածք, որի համար այն պետք է լինի ուղիղ, առանցքի կենտրոնին զուգահեռ, հատվածի միջև ոչ ավելին, երկու կետից ցածր: Հակառակ դեպքում, թվում է, շրջելով բուն տարածաշրջանը, այդ її կորդոնը ուղիղ մեկ զեփյուռ է:

Ընդունելի է, որ շրջանը շրջապատված է

որը շրջապատված է գազանով ֆունկցիայի գրաֆիկով
, ներքևում՝ ֆունկցիայի գրաֆիկ
. Արի R ( ,) - նվազագույն ուղղանկյուն, որի մեջ դրված է շրջանը
.

Գնացեք տարածք
այդ անխափան ֆունկցիան նշանակված է
. Ներկայացնենք նոր ֆունկցիա.

,

նման է ստորին լարերի ինտեգրալի հզորություններին

.

Ես, ավելի ուշ,

.

Oskіlki vіdrіzok
տարածքը ծածկելու համար
հետո, ավելի ուշ,
ժամը


, բայց սուտ է vіdrіzkom դիրքում, ապա
.

Ֆիքսված հետ մենք կարող ենք գրել.

.

Առաջին և երրորդ ինտեգրալները ինտեգրման աջ կողմում գումարվում են զրոյի, այնուհետև

.

Օտժե,

.

Ինչու է անհրաժեշտ օգտագործել ստանդարտ առանցքի տարածքի վրա հոսող ինտեգրալը հաշվարկելու բանաձևը
կրկնվող ինտեգրալի հղման միջոցով՝

.

Յակշոյի շրջան
є ստանդարտ y ուղիղ առանցք
նա հայտնվում է որպես անհամապատասխանություն ,

, նմանապես, կարելի է դա ապացուցել

.

Հարգանք.Տարածաշրջանի համար
, ստանդարտ y ուղիղ առանցքներ
і
, կլինեն վիկոններ

Այս բանաձևի համար տեղի է ունենում ինտեգրման կարգի և ենթագծային ինտեգրալի հաշվարկի ժամի փոփոխություն։

Հարգանք.Հենց որ ինտեգրման տարածքը դադարում է լինել ստանդարտ (ճիշտ) երկու կոորդինատային առանցքներում, її բաժանվում է ստանդարտ տարածքների գումարով և ներկայացնում է ինտեգրալը որպես այս տարածքների ինտեգրումների գումար:

հետույք. Հաշվեք վազող ինտեգրալը
ըստ տարածաշրջանի
, շրջապատված տողերով.
,
,
.

Լուծում.

Tsya տարածքը є ստանդարտ yak schodo առանցք
, Այսպիսով ես
.

Մենք հաշվարկում ենք ինտեգրալը՝ հաշվի առնելով ստանդարտ առանցքի տարածքը
.

.

Հարգանք.Ինչպես հաշվարկել ինտեգրալը, հաշվի առնելով ստանդարտ առանցքի տարածքը
, վերցնում ենք նույն արդյունքը.

.

հետույք. Հաշվեք վազող ինտեգրալը
ըստ տարածաշրջանի
, շրջապատված տողերով.
,
,
.

Լուծում.Ներկայացուցչականորեն ինտեգրման շրջանը տրվում է փոքրիկին։

Tsya տարածքը є ստանդարտ schodo առանցք
.

.

հետույք. Փոխեք ինտեգրման կարգը կրկնվող ինտեգրման համար.

Լուծում.Եկեք պատկերացնենք ինտեգրման տարածաշրջանը։

Միջինտեգրման գծերից մենք գիտենք այն գծերը, որոնք ընդգրկում են ինտեգրման տարածքը. ,
,
,
. Ինտեգրման կարգը փոխելու համար մենք կարող ենք որպես գործառույթներ և մենք գիտենք անցման կետը.

,
,
.

Այսպիսով, ինտերվալներից մեկում գործառույթը արտահայտվում է երկու վերլուծական վիրուսներով, այնուհետև ինտեգրման տարածքը պետք է բաժանվի երկու տարածքի, իսկ հարկի կրկնվող ինտեգրալը երկու ինտեգրման գումարն է։

.

1.1 Ուղղահայաց ինտեգրալի որոշում

1.2 Ենթաինտեգրալի գերակայություն

Ենթաինտեգրալի ուժը (այդ յոգո վիսնովոկը) նման է մեկանգամյա երգող ինտեգրալի ուժին։

1°. Ավելացում. Եթե ​​f(x, y) ֆունկցիան ինտեգրված է D տիրույթում, և եթե D տիրույթը Գ լրացուցիչ կորից դուրս, զրոյի տարածքը բաժանված է երկու օղակների և չի կարող ունենալ D 1 և D 2 տիրույթի ներքին կետեր, ապա f(x, y) ֆունկցիան ինտեգրված է մաշկի մեջ D 1 և D 2 տարածքներից, ընդ որում

2°. Գծային հզորություն. Ինչպե՞ս են f(x, y) և g(x, y) ֆունկցիաները ինտեգրելի D տարածության մեջ, հա՞: ես - լինի դա խոսքի թվեր, ապա ֆունկցիան [? f (x, y) + ? g (x, y)] նույնպես ինտեգրված է D տիրույթում, ընդ որում

3°. Քանի որ f(x, y) և g(x, y) ֆունկցիաները ինտեգրելի են D տիրույթում, ապա այս ֆունկցիաների լրացուցիչ ֆունկցիաները ինտեգրելի են D-ում։

4°. Ինչպե՞ս կարող են f(x, y) և g(x, y) ֆունկցիաները ինտեգրվել D տիրույթում և խաչել f(x, y): g(x, y), ապա

5°. Քանի որ f(x, y) ֆունկցիան ինտեգրված է D տիրույթով, ապա րդ ֆունկցիան |f(x, y)| ինտեգրված Դ տարածաշրջանում, ընդ որում

(Ակնհայտ է, որ | f (x, y) | D-ի ինտեգրումը չի ցույց տալիս f (x, y)-ի ինտեգրումը D-ում):

6°. Միջին արժեքի թեորեմ. Չնայած վիրավորական f(x, y) և g(x, y) ֆունկցիաները ինտեգրված են D տիրույթում, g(x, y) ֆունկցիան անտեսանելի է (ոչ դրական) այս տարածաշրջանում ամենուր, M և m-ը ճշգրիտ են: f( x, y) ֆունկցիայի վերին և ստորին սահմանները D տարածքում, ապա կա մի թիվ, որը բավարարում է m-ի անհավասարությունը: ? ? M i, որպեսզի բանաձևը վավեր լինի

Sokrema, քանի որ f(x, y) ֆունկցիան շարունակական D է, իսկ D տիրույթը միացված է, ապա այս տիրույթում կա այսպիսի կետ (?, ?), Ի՞նչ։ = f(?, ?), և բանաձևը նման է

7°. Կարևոր երկրաչափական հզորություն. բնակելի տարածք Դ

Թող T մարմինը (նկ. 2.1) տրվի տարածությանը, D տարածքից ներքև, գազանին. D, կողմերից՝ գլանաձև մակերես, ուղիղ մեկ є D տարածքի միջև և զուգահեռ են Օզի առանցքին։ Այս տեսակի մարմինը կոչվում է գլանաձեւ մարմին:

1.3 Ուղղահայաց ինտեգրալի երկրաչափական մեկնաբանություն

1.4 Ուղղանկյունի ուղղահայաց ինտեգրալը հասկանալը

Թող F(x, y) բավարար ֆունկցիա վերագրվի R = ? (բաժանում. Նկ. 1):

Խնկունի հատված ա. x? b-ով n մասնակի հատվածով a = x 0 օժանդակ կետից դուրս< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.

Ինչու՞ Ox և Oy առանցքներին զուգահեռ ուղիղ գծերի օգնությամբ տրոհելը R ուղղանկյունը բաժանում է n · p մասնակի ուղղանկյունների R kl = : (k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p): Նշվում է R ուղղանկյան բաժանմամբ, այն նշանակալի է T նշանով: Մենք նրան բաժանել ենք «ուղղանկյուն» տերմինի տակ՝ հասկանալու համար ուղղանկյունը կոորդինատային առանցքներին զուգահեռ կողմերով:

Մաշկի chastkovy ուղղանկյուն Rkl, մենք ընտրում ենք ամբողջական կետ (?k,?l): Տեղադրելով ?x k = x k-x k-1, ?y l = y l-y l-1, այն նշանակալի է R kl ուղղանկյան տարածքի ?R kl-ի միջոցով: Ակնհայտորեն, ?R kl = ?x k ?y l .

կոչվում է f(x, y) ֆունկցիայի ինտեգրալ գումար, որը տալիս է R ուղղանկյան T բաշխում և T բաշխման մասնակի ուղղանկյունների վրա միջանկյալ կետերի (? k, l) տրված ընտրություն։

Անկյունագիծը կոչվում է ուղղանկյան տրամագիծ R kl : Խորհրդանիշ? Զգալիորեն ամենամեծն է բոլոր սովորական ուղղանկյուն կտրվածքների տրամագծերից R kl:

I թիվը կոչվում է (1) ինտեգրալ գումարների սահման: > 0, ինչպե՞ս կարող է դա լինել ցանկացած դրական թիվ: կարող եք այդպես ասել ամսաթիվը?, ինչ?< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство

| ? - Ես |< ?.

F(x, y) ֆունկցիան R ուղղանկյան վրա կոչվում է ինտեգրված (ըստ Ռիմանի), որովհետև կա վերջնական սահման՝ ժամը ֆունկցիայի I ինտեգրալ գումարների միջև։ >0.

Նշանակված I սահմանը կոչվում է f(x, y) ֆունկցիայի ենթաինտեգրալ R ուղղանկյունով և նշանակվում է հետևյալ նշաններից մեկով.

Հարգանք. Այսպիսով, ինչպես մեկանգամյա երգող ինտեգրալի դեպքում, հաստատվում է, որ f(x, y) ֆունկցիան ինտեգրված է R ուղղանկյան վրա և շրջագծված է այս ուղղանկյան վրա։

Սա հնարավորություն է տալիս ավելի հեռու նայել f(x, y) ֆունկցիաների սահմանից։

Ստորադասական ինտեգրալների հզորությունը.

Ենթաինտեգրալների լիազորությունների մի մասն առանց միջնորդի բղավում է, որի իմաստից հասկանալով ինտեգրալների այդ հզորությունը, բայց ինքն իրեն.

1. Ո՞րն է գործառույթը f (x, y)մեջ ինտեգրված Դ, ապա kf (x, y) tezh այն ինտեգրված է այս galusi-ում, ընդ որում (24.4)

2. Ինչ կա տարածքում Դինտեգրման գործառույթներ f (x, y)і g (x, y), ապա այդ գործառույթները ինտեգրված են այս պատկերասրահում f(x, y) ± g(x, y), ես ժամը

3. Ինչպես ինտեգրվել տարածաշրջանում Դգործառույթները f (x, y)і g (x, y) nerіvnіst f (x, y)≤g (x, y), ապա

(24.6)

Եկեք ավելի շատ հզորություն ավելացնենք թերինտեգրալին:

4. Յակշո տարածք Դբաժանված է երկու շրջանների Դ 1 տ Դ 2 առանց փայլուն ներքին կետերի և ֆունկցիայի f (x, y)տարածաշրջանում անխափան Դ, ապա

(24.7) Բերելով . Ինտեգրալ գումարը ըստ տարածաշրջանի Դդուք կարող եք տեսնել մի հայացքով.

շրջանի բաժանումը Դիրականացվում է այնպես, որ միջեւ Դ 1 տ Դ 2-ը կառուցված է ճակատամարտի մասերի միջև: Քրտինքը սահմանին փոխանցելով՝ հավասարությունը խլելով (24.7).

5. Ինտեգրման պահին վրա Դգործառույթները f (x, y)այս ֆունկցիան ինտեգրված է իմ գալուսում | f(x, y) |, եւ maє mistse nerіvnіst

(24.8)

Բերելով.

աստղեր՝ սահմանային անցակետում նյարդայնության դեպքում օգնության համար (24.8)

6. դե Ս Դ- շրջանի տարածքը Դ.Որի ապացույցը հանվում է` փոխարինելով ամբողջական գումարը f (x, y)≡ 0.

7. Դեռևս ինտեգրված է տարածաշրջանում Դֆունկցիան f (x, y)բավարարում է նյարդայնությունը

m ≤ f(x, y) ≤ M,

ապա (24.9)

Բերելով.

Ապացուցումն իրականացվում է ակնհայտ անհավասարությունից սահմանային անցումով

Հետևանք.

Ինչպես զսպել նյարդայնության բոլոր մասերը (24.9): Դ, կարող եք վերցնել այսպես կոչված միջին արժեքի թեորեմը.

Զոկրեմա՝ անխափան ֆունկցիայի մտքի համար զմեջ ԴՏարածաշրջանում կա այդպիսի կետ ( x 0, y 0), yakіy-ում զ(x 0, y 0) = μ , ապա

-

Միջին արժեքի թեորեմի մեկ այլ ձևակերպում.

Երկրաչափական զմիստստորին ինտեգրալ.

Եկեք տեսնենք մարմինը Վ, շրջապատված մասնակի մակերեսով, այն, ինչ խնդրում են հավասարները z = f (x, y),պրոյեկցիա Դ tsієї մակերեսը մեկ հարթության վրա հուուղղահայացից կտրված աղյուսակային գլանաձև մակերես, որը կապում է մակերևույթների միջև եղած կետերը դրանց ելուստներով։

z = f(x, y)

Վ

y P i DՆկ.2.

Շուկատիմեմո մարմնի ծավալը բալոնների ծավալների գումարի միջև, որոնց հիմքերը Δ մասերն են Սիշրջաններ Դ, և ըստ բարձունքների - vіdrіzki zavdovka զ(Պի), դե միավորներ Պիսուտ Դ Սի. Անցնելով սահմանին, otrimaemo, scho

(24.11)

որը գտնվում է այսպես կոչված գլանների ինտեգրալի ազդեցության տակ, որը շրջապատված է մակերեսի վրա գազանով z = f(x, y), իսկ ներքեւում՝ տարածքը Դ.

Ընդգծված ինտեգրալի հաշվարկը յոգայի կապի ճանապարհով դեպի երկրորդը:

Հեռանկարային տարածք Դ, եզրագծված գծերով x=a, x=b(ա< b ), de φ 1 ( X) և φ 2 ( X) առանց ընդմիջման [ ա, բ]. Այնուհետև եղեք ուղիղ, կոորդինատային առանցքին զուգահեռ ժամըև անցնել տարածքի ներքին կետով Դ, շրջանի շրջափակով անցնելով երկու կետով. Ն 1 տ Ն 2 (նկ. 1): Եկեք կոչենք այս տարածքը ճիշտվրա-

ժամըճիշտ առանցք O ժամը. Նմանապես, դա է

y=φ 2 (x) կա մի տարածք, որը գտնվում է ուղիղ ուղիղ գծի վրա

Ն 2 առանցք Օ X. Տարածաշրջան, ճիշտ է ուղղակի-

Nії երկու կոորդինատային առանցքները, մենք կանենք

Դուղղակի ճիշտ անվանեք: Օրինակ,

Ճիշտ տարածքը ներկայացված է Նկ.1-ում:

y=φ 1 (x) Ն 1

O a b x

Արի գործառույթ f (x, y)տարածաշրջանում անխափան Դ. Նայիր Վիրազին

, (24.12)

աստիճան dvorazovym ինտեգրալֆունկցիայի տեսակը f (x, y)ըստ տարածաշրջանի Դ. Ներքին ինտեգրալը (բազուկների մոտ կանգնած) հաշվարկենք՝ փոխելով ժամը, չնայած X postiynim. Արդյունքում մենք տեսնում ենք անխափան գործառույթդիտել X:

Otrimanu ֆունկցիան ինտեգրելի է Xմիջեւ անախքան բ. Արդյունքում մենք վերցնում ենք համարը

Բերում ենք բակային իմաստով ինտեգրալի կարեւոր ուժը։

Թեորեմ 1. Յակշոյի շրջան Դ, ուղղել ուղիղ առաջ ժամը, բաժանված է երկու տարածքի Դ 1 տ Դ 2 ուղիղ, զուգահեռ առանցք Pro ժամըաբո առանցք O X, ապա dvorazovy ինտեգրալը տարածաշրջանի վրա Դնույն ինտեգրալների ավելի շատ գումարներ ըստ տարածաշրջանների Դ 1 տ Դ 2:

Բերելով.

ա) Գնացեք ուղիղ առաջ x = cընդմիջումներ Դվրա Դ 1 տ Դ 2, ուղիղ առաջ ժամը. Թոդի

+

+

բ) Գնացեք ուղիղ առաջ y=hընդմիջումներ Դաջ կողմում՝ ուղիղ առջև ժամըշրջաններ Դ 1 տ Դ 2 (նկ. 2): Զգալիորեն միջոցով Մ 1 (ա 1 , հ) որ Մ 2 (բ 1 , հ) ուղիղ գծի խաչի կետերը y=hշրջափակից Լշրջաններ Դ.

yՏարածաշրջան Դ 1-ը շրջապատված է անխափան գծերով

y=φ 2 (x) 1) y=φ 1 (x);

Դ 2 2) կոր ԲԱՅՑ 1 Մ 1 Մ 2 ժամը, հավասար է մեր գրածին

ժ Մ 1 Մ 2 y=φ 1 *(x), դե φ 1 *(X) = φ 2 (X) ժամը ա ≤ x ≤ ա 1 տ

Ա 1 Դ 1 Բբ 1 ≤ x ≤ բ, φ 1 *(X) = հժամը ա 1 ≤ x ≤ բ 1 ;

3) ուղիղ x = a, x = b.

Տարածաշրջան Դ 2-ը շրջապատված է գծերով y=φ 1 *(x),

Ա յ= φ 2 (X),ա 1 ≤ x ≤ բ 1 .

y=φ 1 (x) Մենք կարող ենք ներքին ինտեգրալին ապացուցել թեորեմը

ինտեգրումը ճեղքելով.

Օ ա ա 1 բ 1 բ

+

Եկեք ուրիշ s otrimanih іntegraіv v vyglyadі sumi:

+ + .

Օսկիլկի φ 1 *(X) = φ 2 (X) ժամը ա ≤ x ≤ ա 1 տ բ 1 ≤ x ≤ բ, Առաջինն ու երրորդը հանում են ինտեգրալները և հավասարեցնում զրոյի։ Օտժե,

I D = , ապա .

Ենթաինտեգրալի հիմնական հզորությունը

Ենթաինտեգրալի ուժը (այդ յոգո վիսնովոկը) նման է մեկանգամյա երգող ինտեգրալի ուժին։

1°. Ավելացում. Ո՞րն է գործառույթը զ(x, y) ինտեգրված տարածաշրջանում Դև որպես տարածք Դօգնության կորի համար Գզրոյական տարածքը բաժանված է երկու օղակների և չի խլացնում տարածաշրջանի բարձր ներքին կետերը Դ 1 տ Դ 2, ապա ֆունկցիան զ(x, y) ինտեգրված մաշկի տարածքներում Դ 1 տ Դ 2, ընդ որում

2°. Գծային հզորություն. Ինչ գործառույթներ զ(x, y) որ է(x, y) ինտեգրումը տարածքում Դ, ա α і β - լինի դա խոսքի թվեր, ապա ֆունկցիան [ α · զ(x, y) + β · է(x, y)] նույնպես ինտեգրված է տարածաշրջանում Դ, ընդ որում

3°. Ինչ գործառույթներ զ(x, y) որ է(x, y) ինտեգրումը տարածքում Դ, ապա այս գործառույթների լրացուցիչ գործառույթները ինտեգրվում են Դ.

4°. Ինչ գործառույթներ զ(x, y) որ է(x, y) հարձակողական ինտեգրում տարածաշրջանում Դև իմ պատկերասրահում ամենուր զ(x, y) ≤ է(x, y), ապա

5°. Ո՞րն է գործառույթը զ(x, y) ինտեգրված տարածաշրջանում Դ, այդ ֆունկցիան | զ(x, y)| ինտեգրված տարածաշրջանում Դ, ընդ որում

(Իհարկե, ինտեգրմամբ | զ(x, y)| մեջ Դչցուցաբերելով ինտեգրում զ(x, y) մեջ Դ.)

6°. Միջին արժեքի թեորեմ. Ինչպիսի վիրավորական գործառույթ զ(x, y) որ է(x, y) ինտեգրումը տարածքում Դ, ֆունկցիա է(x, y) անտեսանելի է (ոչ դրական) այս պատկերասրահում ամենուր, Մі մ- ֆունկցիայի ճշգրիտ վերին և ստորին սահմանները զ(x, y) մարզում Դ, ապա կա մի թիվ μ որը բավարարում է նյարդայնությունը մ ≤ μ ≤ Մև որպեսզի բանաձևը վավեր լինի

ՇԱՐԺվող ԻՆՏԵԳՐԱԼՆԵՐ

դասախոսություն 1

Կայուն ինտեգրալներ.Ստորգետնյա ինտեգրալի նպատակը ուժն է: Կրկնվող ինտեգրումներ. Ստորին ինտեգրալների հղումները կրկնվողներին: Տեղադրում ինտեգրման միջև. Դեկարտյան կոորդինատների համակարգի հիմքում ընկած ինտեգրալների հաշվարկը:

Ենթաինտեգրալը երգող ինտեգրալի ըմբռնման խորացումն է երկու փոփոխականների տարբեր գործառույթներում: Այսպիսով, ինտեգրման հակառակը կհայտնվի որպես հարթ գործիչ։

Դե արի Դ-Դեժական փակ, սահմանամերձ տարածք է, և զ(x, y) - բավարար գործառույթ, այն նշված է այս պատկերասրահի կողմից: Ենթադրենք, որ մարզերի միջև Դամփոփվում են կորերի վերջնական թվից, որոնք տրված են մտքի հավասարների կողմից y=զ(x) կամ x=g( y), դե զ(x) որ է(y) անխափան ֆունկցիաներ են։

Rozib'ёmo շրջան Դարժանապատիվ կոչում nմաս. տարածք ես-ї delyanki-ն իմաստավորվում է D նշանով s i. Դիլյանցի մաշկի վրա բավական թրթռանք է Պի,և թողեք այն be-yak_y-ում` ամրագրելով կարտեզյան համակարգի մաշ կոորդինատները ( x i, y i) Սկլադեմո ինտեգրալ գումարֆունկցիայի համար զ(x, y) ըստ տարածաշրջանի Դ,որի համար ֆունկցիայի արժեքը հայտնի է բոլոր կետերում Պիїх-ը բազմապատկելով կրկնակի հողամասերի մակերեսով Ds եսԵվ մենք ենթադրում ենք, որ բոլոր արդյունքները հանվում են.

Նազվեմո տրամագիծ(Գ) տարածքներ Գամենամեծ հեռավորությունը տարածաշրջանի սահմանային կետերի միջև:

Անբաժանելի գործառույթները զ(x, y) D տարածքում կոչվում է սահման, թե որքանով է ամբողջական գումարների հաջորդականությունը (1.1) ընդմիջումների քանակի անսահմանափակ աճով n (ում մոտ) Գրեք այսպես

Սիրելիս, scho, vzagali թվացյալ, ինտեգրալ գումարը համար սահմանել գործառույթներըև ինտեգրման տվյալ տարածքը Դկետ ընտրելու համար Պի. Prote yakshcho podviyny іsnuє іsnuє, tse նշանակում է, որ vіdpovіdіkh іntegrаlny գումարների միջև հնարավոր չէ պառկել նշանակված chinnikіv-ի միջև: Որպեսզի(կամ, ինչպես թվում է, ընդհանուր ֆունկցիա զ(x, y) ինտեգրված է D տիրույթում), բավական է, որ bool-ի ինտեգրալ ֆունկցիան անխափանառաջադրանքների պատկերասրահի ինտեգրում.

Արի գործառույթ զ(x, y) ինտեգրված տարածաշրջանում Դ. Նման գործառույթների կուտակային գումարների միջև բեկորները չեն կարող կուտակվել ինտեգրման տարածքը բաժանելու մեթոդով, բաժանումը կարող է իրականացվել ուղղահայաց և հորիզոնական գծերի օգնությամբ: Տարածաշրջանի ավելի շատ գործարարներ Դժամանակին ուղիղ կտրվածքով տեսք, նման դորիվնյու Դ s i=D x iԴ y i. Հետևաբար, տարածքի դիֆերենցիալը կարելի է գրել այսպես ds=dxdy. Օտժե, ինտեգրալների տակ դեկարտյան կոորդինատային համակարգումտեսարանից կարող եք գրել

Հարգանք. Ինտեգրանդ f ֆունկցիայի նման(x, y)º1, ապա ինտեգրման տարածաշրջանի տարածքի ներինտեգրալը հետևյալն է.

Հատկանշական է, որ ընդգծված ինտեգրումները կարող են լինել նույն ուժը, ինչպես նաև առանձին ինտեգրված: Նրանց գործերը նշանակալից են։

Ստորադասական ինտեգրալների հզորությունը.

1 0 .Գծային հզորություն. Ինտեգրալների մյուս գումարի ֆունկցիաների գումարի ինտեգրալ:

իսկ հաստատուն բազմապատկիչին կարելի է մեղադրել ինտեգրալի նշանի համար:

2 0 .Ավելացման հզորություն. Քանի որ D ինտեգրման տարածքը բաժանված է երկու մասի, ապա ենթաինտեգրալն ավելի ամբողջական է, քան մաշկի մասի վրա ինտեգրումների գումարը.:

3 0 .Միջին թեորեմը. Ո՞րն է գործառույթըզ( x, y)D տարածաշրջանում շարունակական է, ապա պատկերասրահում կա այդպիսի կետ(x, h) , ինչ:

Հետագա սնուցում. ինչպե՞ս են հաշվարկվում ենթաինտեգրալները: Յոգոն մոտավորապես կարող է լինել virahuvati, այս մեթոդով այն կոտրված է արդյունավետ մեթոդներկուտակային գումարների ծալված գումարներ, որոնք այնուհետև հաշվարկվում են թվային եղանակով լրացուցիչ ԸԴԱ-ով: Ենթաինտեգրալների վերլուծական հաշվարկով դրանք կրճատվում են երկու sing-integrals-ի։