Կորուստային ինտեգրալի հաշվարկման կարգը նման է գործող ինտեգրալի ընդհանուր գործողությանը: її նկարագրության համար մենք ներկայացնում ենք ճիշտ չնչին տարածքի ըմբռնումը.

Նշանակում 9.1. Չնչին V ​​շրջանը, որը շրջապատված է փակ մակերեսով S-ով, կոչվում է կանոնավոր, քանի որ.

1. լինել ուղիղ, առանցքին զուգահեռՕզ, որը գծվում է շրջանի ներքին կետով, երկու կետով հատելով S-ը.
2. ամբողջ V շրջանը նախագծված է Oxy հարթության վրա սովորական երկաշխարհային D տարածաշրջանում;
3. արդյոք V տարածքի մի մասը, որը տեսանելի է դրանում հարթությամբ, զուգահեռ կոորդինատային հարթություններից, կարող է ունենալ 1) և 2 հզորություն):

Եկեք նայենք ճիշտ V տարածքին, ես ներքևից և վերևից կսահմանեմ z=χ(x,y) և z=ψ(x,y) մակերևույթները և կհայտնվեն Oxu y հարթության վրա, ճիշտ D տարածքը, միջինը: որոնցից x-ը կփոխվի a-ից b սահմաններում, շրջապատված կլինի y=φ1(x) և y=φ2(x) կորերով (նկ. 1): Թող f(x, y, z) շարունակական ֆունկցիա լինի V տիրույթում։

Նշանակում 9.2. Այն կոչվում է f(x, y, z) ֆունկցիայի եռապատիկ ինտեգրալ V շրջանի վրա հետևյալ ձևով.

Trirazovy іntegrа maє tі zh vlastivostі, shcho ի dvorazovy. Պերերախույեմո їх առանց հաստատման, գարշահոտի բեկորները դաստիարակվում են բակի իմաստով ինտեգրալի անկման նման։

Կորուստային ինտեգրալի հաշվարկ.

Թեորեմ 9.1. V կանոնավոր տիրույթի f(x,y,z) ֆունկցիայի եռակի ինտեգրալը նույնն է, ինչ նույն տիրույթի եռակի ինտեգրալը.

. (9.3)

Բերելով.

Rozіb'ёmo տարածքի V հարթություններ, կոորդինատային հարթություններին զուգահեռ, n կանոնավոր տարածքներում: Todі z իշխանությունը 1 բղավում

որտեղ է տիրույթում f(x,y,z) ֆունկցիայի եռակի ինտեգրալը:

Vikoristovuyuchi բանաձեւը (9.2), առաջ հավասարությունը կարելի է վերաշարադրել մի հայացքով.

Պարզ է f (x, y, z) ֆունկցիայի շարունակականությունը հասկանալը, որն ինտեգրալ գումարի սահմանն է, որը կանգնած է հավասարության հավասարման աջ կողմում և հավասար է երրորդ ինտեգրալին։ Այնուհետև, անցնելով այն սահմանին, երբ վերցնում ենք.

այն, ինչ անհրաժեշտ էր բերել:

Հարգանք.

Ստորին հոսանքի ինտեգրալի անկման նման ձևով կարելի է բերել, որ ինտեգրման կարգի փոփոխությունը չի փոխում եռակի ինտեգրալի արժեքը։

հետույք. Ինտեգրալ de V-ը եռանկյունաձև բուրգ է (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) և (0, 0, 1) կետերում գագաթներով: Її պրոյեկցիա Oxy հարթության վրա є tricutnik գագաթներով (0, 0), (1, 0) և (0, 1): Ներքևից տարածքը եզերվում է z = 0 տարածքով, իսկ վերևից՝ x + y + z = 1 տարածքով: Անցնենք եռակի ինտեգրալին.

Բազմապատկիչները, որոնք չեն գտնվում փոփոխական ինտեգրման մեջ, կարող են մեղադրվել կրկնակի ինտեգրալի նշանի համար.

Չնչին տարածության կորագիծ կոորդինատային համակարգեր:

1. Գլանային կոորդինատային համակարգ.

Р(ρ,φ,z) կետի գլանաձեւ կոորդինատներ – Օհու հարթության վրա կետի պրոյեկցիայի ρ, φ գլխային կոորդինատները եւ տվյալ z կետի ապլիկատորը (նկ. 2):

Գլանային կոորդինատներից դեկարտյան կոորդինատներին անցնելու բանաձևերը կարող են սահմանվել հետևյալ կերպ.

x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (9.4)

1. Գնդային կոորդինատային համակարգ.

Գնդաձև կոորդինատների համար կետի դիրքը տարածության մեջ նշվում է ρ գծային կոորդինատով - Դեկարտյան կոորդինատների համակարգի կետից մինչև կոճ հեռավորությունը (կամ գնդաձև համակարգի բևեռները), φ - բևեռային եզրը դրականի միջև: pіvvіssyu Ox-ը և կետի պրոյեկցիան Oxy հարթության վրա, իսկ θ - կուտոմը դրական Oz-ի և կրկնակի OP-ի միջև (նկ. 3): Ում հետ

Հաշվի առնելով գնդաձև կոորդինատներից դեկարտին անցնելու բանաձևը.

x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ. (9.5)

Յակոբեան եւ յոգո երկրաչափական զմիստ.

Դիտարկենք մետրոյի ինտեգրալում փոփոխությունները փոխարինելու վայրի միտումը։ Նեհայը Ohu հարթ տարածքում D տրված է, որը շրջապատված է L գծով: Ենթադրենք, որ х і у є նոր փոփոխվող u և v-ի միարժեք և անընդհատ տարբերվող ֆունկցիաներ են.

x = φ(u, v), y = ψ(u, v): (9.6)

Դիտարկենք Ouv ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը, P(u, v) կետը, որը ցույց է տալիս P(x, y) D շրջանից: Բոլոր այդպիսի կետերը կազմում են D շրջանը Ouv հարթության մոտ, Ես շրջապատված եմ գծովԼ. Կարելի է ասել, որ (9.6) բանաձևերը հաստատում են մեկ առ մեկ համապատասխանություն D և D շրջանների կետերի միջև: Ո՞ր ուղիղների համար u =

v = const Ouv հարթության վրա նման կլինի Ohu հարթության գծերին:

Մենք կարող ենք Ouv հարթությունում տեսնել ուղղանկյուն մայդան ΔS, որը սահմանակից է ուղիղ գծերով u = const, u + Δu = const, v = const і v + Δv = const: Їy vіdpovidatimé curvilinear maidanchik ΔS Օհուի բնակարանի մոտ (նկ. 4): Մայդանչիկների վերլուծության տարածքները կնշանակվեն ΔS և ΔS: Ciomu ΔS = Δu Δv-ի համար: Մենք գիտենք ΔS տարածքը: Հատկանշական է, որ կորագիծ chotyrikutnik P1, P2, P3, P4 de գագաթները.

P1 (x1, y1), x1 = φ (u, v), y1 = ψ (u, v);

P2 (x2, y2), x2 = φ(u+Δu, v), y2 = ψ(u+Δu, v);

P3 (x3, y3), x3 = φ(u+Δu, v+Δv), y3 = ψ(u+Δu, v+Δv);

P4(x4, y4), x4 = φ(u, v+Δv), y4 = ψ(u, v+Δv):

Փոխարինելով փոքր zbіlshennya Δu ի Δv vіdpovіdmi դիֆերենցիալները: Թոդի

Որով chotirikutnik P1 P2 P3 P4 կարելի է ընդունել որպես զուգահեռագիծ և տարածքը վերագրել վերլուծական երկրաչափության բանաձևին.

(9.7)

Նշանակում 9.3. Տարբերակը կոչվում է φ(x, y) և ψ(x, y) ֆունկցիաների ֆունկցիոնալ տարբերակ կամ յակոբյան։

Հավասարությամբ (9.7) անցնելով սահմանին՝ մենք հանում ենք երկրաչափական յակոբյան տեղաշարժը.

Այսպիսով, Յակոբյան մոդուլը սահմանն է S և S անսահման փոքր քառակուսիների տարածքի միջև:

Հարգանք. Նմանատիպ աստիճանով կարելի է սահմանել յակոբյան և նրա երկրաչափական նշանակությունը n-աշխարհային տարածության համար. որ x1 = φ1(u1, u2,…,un), x2 = φ2(u1, u2,…,un) ,…, xn = φ(u1 , u2, ..., un), ապա

(9.8)

Սրանով Յակոբյան մոդուլը սահման է տալիս «obsyagiv» փոքր տարածքների միջև x1, x2, ..., xn և u1, u2, ..., un:

Փոփոխությունների փոխարինում բազմակի ինտեգրալներում:

Dolіdzhuєmo zagalny vpadok zameni zmini z հետույք podvіynogo іntegral:

Թող D տարածքում տրված լինի շարունակական z = f(x,y) ֆունկցիան, D, de տարածքում z = F(u, v) ֆունկցիայի նույն արժեքը.

F(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v)): (9.9)

Դիտարկենք ինտեգրալ գումարը

Աջ կողմում գտնվող ապաինտեգրալ գումարը վերցվում է D շրջանի վրա: Անցնելով սահմանին, երբ մենք հանում ենք կոորդինատների փոխակերպման բանաձևը ընդգրկող ինտեգրալում:

Փորձեք ինտեգրալները: Մարմնի ծավալի հաշվարկ.
Փորձնական ինտեգրալ գլանաձև կոորդինատներում

Երեք օր դեկանատում երկինքը պառկած էր Պիթագորասի հագուստի շալվարին,
Ֆիխտենգոլցի ձեռամբ տրիմավների հատոր կա, որ ճերմակ լույսի յոգին կենդանի է,
Նրանք կապեցին երրորդ ինտեգրալը և դիակը փաթաթեցին մատրիցով,
Իսկ աղոթքի պատգամավորը Բեռնուլիի թեորեմը կարդալուց հետո նահաբնիկի է նման.

Կորած ինտեգրումներն այն են, որոնցից այլևս չես կարող վախենալ =) Որովհետև եթե կարդում ես ամբողջ տեքստը, ապա ավելի լավ է այն ամենի համար, ինչ սխալ ես հասկացել «գերակա» ինտեգրալների տեսություն և պրակտիկա, Ինչպես նաեւ կախյալ ինտեգրալներ. Եվ այնտեղ, de podvіyny, մոտակայքում և կորած:

Իսկապես, ինչի՞ց վախենալու բան կա։ Ինտեգրալն ավելի փոքր է, ինտեգրալը՝ ավելի մեծ։

Եկեք նայենք արձանագրությանը.

- Երրորդության ինտեգրալի պատկերակը;
- Pidіntegralna եռակի փոփոխության գործառույթ;
- Dobutok դիֆերենցիալներ:
- Ինտեգրման տարածքը.

Հատկապես հատկանշական է պատկերասրահի ինտեգրում. Յակշոն ներս ընդգծված ինտեգրալհաղթել է հարթ գործիչ, ապա այստեղ - լայնածավալ մարմին , Յակա, գիտես գագաթին. Այս կոչումով, ձեր մեջ տեսողականորեն գուշակվածի հանցանքը մեղավոր է ձեզ կողմնորոշվելու համար հիմնական մակերեսներըև հիշիր շահել ամենապարզ տրիվիմիր բազկաթոռները:

Դեյակյանները ամաչեցին, իմաստուն… Ցավոք, հոդվածը չի կարելի անվանել «օգտակար ինտեգրալներ կեղծամների համար», և անհրաժեշտ է ինչ-որ բան իմանալ/հիշել: Ալե, ոչ մի սարսափելի բան. հրապարակումների ամբողջ նյութը ամենամատչելի ձևով կյուրացվի ամենակարճ ժամկետում:

Ի՞նչ է նշանակում հաշվարկել կորցրած ինտեգրալը և ի՞նչ է պահանջվել:

Հաշվեք կորցրած ինտեգրալը՝ tse-ն նշանակում է իմանալ ԿԻԼՈ:

Ամենապարզ ձևով, եթե. երրորդ ինտեգրալը թվային առումով ավելի առաջադեմ է մարմնի նկատմամբ. І deisno, vіdpovіdno դեպի ինտեգրում, tvir one անսահման փոքրմարմնի տարրական «ցեգլինկայի» ծավալը. Իսկ երրորդ ինտեգրալն է միասնական բոլորը qi անսահման փոքր մասնիկներըստ տարածաշրջանի, որից հետո դուրս է գալիս մարմնի ծավալի ինտեգրալ (ընդհանուր) արժեքը. .

Բացի այդ, երրորդ ինտեգրալը կարևոր է ֆիզիկական ծրագրեր. Ale about tse pіznіshe - դասի 2-րդ մասում, նվիրում ինտեգրալների լրացուցիչ կորուստների հաշվարկ, որի համար փոփոխականի ֆունկցիան հաստատուն է որպես հաստատուն և անխափան է ոլորտում։ Այս հոդվածում մենք կարող ենք մանրամասնորեն տեսնել պարտավորության իմաստը, քանի որ իմ սուբյեկտիվ գնահատականը 6-7 անգամ ավելի հաճախ է նկատվում։

Ինչպե՞ս լուծել կորցրած ինտեգրալը:

Vіdpovіd-ը տրամաբանորեն viplivає է նախորդ կետից: Պետք է նշանակել մարմնի շրջանցման կարգըես գնում եմ մենք կրկնում ենք ինտեգրալները. Դրանից հետո հաջորդաբար լուծեք երեք միայնակ ինտեգրալներով։

Yak bachite, ամբողջ խոհանոցը ավելի ու ավելի nagaduє հիմքում ընկած ինտեգրալները, From the tієyu vіdminnіstyu, scho միաժամանակ մեզ տրվել է dodatkova rozmіrnіst (մոտավորապես թվացյալ, բարձրություն): Ես, առանձին-առանձին, ձեզնից շատերն արդեն կռահել են, թե ինչպես են խախտվում ինտեգրալների կորուստները։

Եկեք ամփոփենք մեր կորցրածը.

հետույք 1

Եղիր բարի, թղթի վրա կնիքով վերաշարադրիր.

Ես խորհուրդ եմ տալիս հաջորդ ճաշի վերաբերյալ: Չին գիտի Դուք, որո՞նք են qi-ն հավասարեցնելու մակերեսները: Chi zrozumіly դուք ոչ ֆորմալ zmіst tsikh rivnyan? Chi yavlyaєєєєєєєєєєєєV, yak і մակերեսային raztashovanі տարածության մեջ:

Հենց որ դուք shilyatsya է գռեհիկ vіdpovіdі «ավելի nі, nizh so», ապա obov'yazkovo opratsyut դաս, հակառակ դեպքում դուք ավելի հեռու չեք գնա:

ԼուծումՎիկորիստի բանաձեւ

Որպեսզի schob z'yasuwati մարմնի շրջանցման կարգըես գնում եմ մենք կրկնում ենք ինտեգրալներըանհրաժեշտ է (ամեն ինչ հնարամտորեն պարզ է) հասկանալ, թե ինչ էր դա։ Եվ հիանալի է նման վարդի վրա բազկաթոռներ դնել հարուստ վիպադկաներում:

Մտքի հետևում մարմինը շրջապատված է կիլկոմ մակերեսներով: Ինչու՞ սկսել շքեղություն: Ես արտասանում եմ հաջորդ կարգը diy.

Գլխի վրա երևակայելի է զուգահեռ ուղղանկյունմարմնի պրոյեկցիան կոորդինատային հարթության վրա: Առաջին անգամ ասացի՝ պրոյեկցիայի անունը ինչ է, լոլ =)

Եթե ​​նախագիծը մեծ մասշտաբով պետք է իրականացվի, ապա Պերշ մակերեսներ, yakі զուգահեռ tsієї առանցքի. Ես կռահում եմ, թե ինչպիսի մակերեսներ են այդպիսին մի վրեժխնդիր «զե» տառերից. Հետազոտված ղեկավարն ունի երեք.

- Ռիվնյանյան սահմանում է կոորդինատային տարածքը, թե ինչպես անցնել ամբողջի միջով.
- Ռիվնյանյան սահմանում է կոորդինատային տարածքը, թե ինչպես անցնել ամբողջի միջով.
- հավասար առաջադրանք հարթ «հարթ» ուղիղառանցքին զուգահեռ:

Շվիդշե ամեն ինչի համար, shukana projection є գալիս trikutnik:

Հավանաբար, ոչ բոլորն ունեին մնացորդային հասկացողություն, թե ուր գնալ: Ցույց տվեք, որ ամեն ինչ դուրս է գալիս մոնիտորի էկրանից և կպչում է հենց ձեր փոխանցման մեջ ( tobto. Դուրս արի, դու հիանում ես գազանի 3-րդ համաշխարհային աթոռով). Մարմնի Doslіdzhuvane տարածությունները հայտնաբերված են եռանկյուն «միջանցքում» և դրա ելուստը naimovіrnіshe є ստվերավորված տրիկուտնիկի տարածքի վրա:

Ես առանձնահատուկ հարգանքով եմ վերաբերվում այն ​​ամենին, ինչ մենք ուղեկցում էինք ավելի շատ արդարացում պրոյեկցիայի մասինիսկ «նեյշվիդշե», «նայմովիրնիշե» նախազգուշացումները վիպադկովի էին։ Աջ կողմում, քանի որ դեռ ոչ բոլոր մակերեսներն են վերլուծվել, և կարող է լինել այնպես, որ նույնիսկ դրանցից «բացահայտվի» տրիկուտնիկի մի մասը։ Ինչպես այբբենարանի հետույքը, որ դուք հարցնում եք ոլորտըկենտրոնացած է մեկից փոքր շառավղով կոորդինատների կոճի վրա, օրինակ՝ գնդիկ – її պրոյեկցիա հարթության վրա (սյունակ Չեմ կրկնի «նակրի» ստվերված հատվածը, իսկ մարմնի պրոյեկցիան կկոչվի ոչ տրիկոտ. (kolo «zrіzhe» youmu gostrі kuti).

Բեմի մյուս կողմից դա z’yasovuєmo է, chim մարմինը շրջապատված է գազանով, ներքևից ցածր, իսկ բազկաթոռի տարածությունը vikonuemo: Մենք շրջվում ենք դեպի միտքը և հիանում մակերեսի վրա, կարծես մակերեսը վերացել է: Համահարթեցումը ինքնին սահմանում է կոորդինատային հարթությունը, իսկ հարթեցումը` պարաբոլիկ գլան, վերահամտեսում վերևումհարթ և անցնել ամբողջի միջով: Այս աստիճանում մարմնի պրոյեկցիան diisno є trikutnik է:

Ելույթից առաջ հայտնվեց այստեղ գերմարդկայինՄտածեք. նոր լամպում անհրաժեշտ չէ նույնիսկ հարթություններ, մակերեսի բեկորներ ներառելը, աբսցիսայի առանցքը դուրս հանելը, և այդպիսով մարմինը փակվում է: Նշանակում է, որ կոնկրետ այս պահին մենք չէինք կարողանա մկրտել պրոյեկցիան՝ տրիկուտնիկը «նկարված» միայն հավասարեցման վերլուծությունից հետո։

Ճշգրիտ պատկերված է պարաբոլիկ մխոցի մի հատված.

Vikonannya բազկաթոռից հետո ս շրջանցելով մարմինըխնդիրներ չկան!

Գլխի հետևի մասում նշանակալի է պրոեկցիայի անցման կարգը (Լավագույն ձեռքի օգնությամբ առաջնորդվեք երկաշխարհի բազկաթոռներով)։Ցե ամաչկոտ ԲԱՑԱՀԱՅՏ ԱՅՍՊԵՍ, yak i in ստորին ինտեգրալներ! Գուշակություն լազերային ցուցիչհարթ տարածքի սկանավորումը: Ընտրեք «ավանդական» 1-ին շրջանցման մեթոդը.

Դալին բռնում է հմայիչ կրակայրիչի ձեռքերը՝ հիանալով բազկաթոռի մանրուքով և խիստ վայրէջքլուսավորել հիվանդին. Փոփոխություններ՝ մակերևույթի միջով օրգանիզմ մտնելու և մակերեսի միջով դրանից դուրս գալու համար։ Այս կարգով մարմինը շրջանցելու կարգը.

Եկեք անցնենք կրկնվող ինտեգրումներին.

1) «Z» ինտեգրալից սկսեք հետևյալը. Վիկորիստովեմո Նյուտոն-Լայբնից բանաձև:

Պատկերացրեք «igame» ինտեգրալի արդյունքը.

Ինչ է պատահել? Ըստ էության, լուծումը վերածվել է ենթաինտեգրալի, իսկ ինքը՝ բանաձեւի։ գլանաձեւ փնջի ծավալը! Ավելի լավ իմացեք.

2)

Հարգեք 3-րդ ինտեգրալի լուծման ռացիոնալ տեխնիկան:

Վիդպովիդ:

Հաշվարկը կարելի է գրել և «մեկ շարքով».


Բայց այս կերպ զգույշ եղեք. եթե հաղթում եք swidkost-ում, ապա սպառնում եք ժամանակի կորստով, իսկ եթե ունեք կարևոր հետույք, ապա ներման ավելի շատ հնարավորություններ կան:

Նշում կարևոր սննդի մասին.

Ինչու՞ է պետք բազկաթոռ աշխատել, որպեսզի մտքի գլուխը չպահանջի նրանց վիկոնանիան։

Դուք կարող եք խմել խոտիրմա ուղիներով.

1) Գծե՛ք նույն մարմնի պրոյեկցիան. Լավագույն տարբերակն այն է, որ կարելի է վիկոնացնել երկու պարկեշտ բազկաթոռ, չողբել, թալանել վիրավորված բազկաթոռները։ Ես խորհուրդ եմ տալիս մեզ առաջ տանել:

2) Նկարեք ավելի շատ մարմին: Հարմար է, եթե մարմինը անշնորհք է, այդ ակնհայտ պրոյեկցիան: Այսպես, օրինակ, ընտրված հետույքի վրա խրված էր եռակի բազկաթոռը։ Այնուամենայնիվ, ահա մինուսը՝ ըստ 3D նկարի, հարմար չէ որոշել պրոյեկցիան շրջանցելու կարգը, և այս կերպ ես ուրախ եմ միայն լավ պատրաստվածության մակարդակ ունեցող մարդկանց համար։

3) Ցույց տալ ավելի շատ պրոյեկցիա: Tezh վատ չէ, բայց մասին obov'yazkovі dodatkovі pisletovі komentari, Nizh zamezhena տարածաշրջանը raznih storіn: Ցավոք սրտի, երրորդ տարբերակը հաճախ շփոթեցնող է. եթե շատ ուշ է, ապա չափազանց մեծ է այլ դժվարություններով զբաղվելու համար: І takі կիրառել mi այնքան razglyademom:

4) Շրջեք առանց բազկաթոռի: Անհրաժեշտ է, որ յուրաքանչյուր մարդ ներկայացնի մտքի մարմինը և գրավոր մեկնաբանի ձևը/ձևաչափը: Լավ է գնալ ամենապարզներին tіl chi zavdan, de vikonannya երկու բազկաթոռն էլ կարևոր է։ Բայց միևնույն է, ավելի լավ է, եթե ցանկանում եք օգտագործել ուրվագծային փոքրիկներ, «նպատակի» լուծման բեկորները կարող են մերժվել:

Եկեք մարմին անկախ օգնության համար.

հետույք 2

Կորուստային ինտեգրալի օգնության համար հաշվարկեք մարմնի ծավալը՝ շրջապատված մակերեսներով

ժամը այս կոնկրետ տեսակինինտեգրման տարածքն ավելի կարևոր է տալիս խախտումներով, իսկ գինը ավելի կարճ է՝ առանց որևէ խախտումների սահմանում է 1-ին օկտանտը, ներառյալ կոորդինատային հարթությունները, և անհավասարությունը. napіvspіr, ինչպես վրեժխնդիր լինել կոորդինատների կոճից (հակադարձ)+ տարածքն ինքնին: «Ուղղահայաց» հարթությունը տարածվում է պարաբոլոիդ պարաբոլայով, իսկ բազկաթոռի բազանի վրա անհրաժեշտ է առաջացնել խատուտիկներ։ Ում համար անհրաժեշտ է իմանալ լրացուցիչ հղման կետը, ավելի պարզ ասած՝ պարաբոլայի գագաթը։ (Մենք կարող ենք տեսնել իմաստը և rozrakhovuyemo vіdpovіdne «z»).

Շարունակենք հասկանալ.

հետույք 3

Անբաժանելի կորստի օգնության համար հաշվարկեք նշանակված մակերեսներով շրջապատված մարմնի ծավալը: Vikonati բազկաթոռ.

Լուծում«Բազկաթոռի վիկոնատի» բանաձևը մեզ թույլ է տալիս ազատություն, ալե, ավելի լավ ամեն ինչի համար՝ փոխանցելով ընդարձակ բազկաթոռի վիկոնանին։ Այնուամենայնիվ, կանխատեսումը նույնպես չի կարող ավարտվել, դա ամենահեշտ բանը չէ այստեղ անել:

Dotrimuёmosya vіdpratsovanoї ավելի վաղ մարտավարությունը մակերեսներ, կարծես կիրառման առանցքին զուգահեռ։ Նման մակերևույթների հավասարեցումը չպետք է վրեժխնդիր լինի «Z» հստակ փոխելով.

- Ռիվնյանյան սահմանում է կոորդինատային հարթությունը, որպեսզի անցնի ամբողջը ( բնակարանի յակը նշանակվում է «նույն անունով» հավասար);
- հավասար առաջադրանք հարթ, անցնել «նույն գծով» «հարթ» ուղիղառանցքին զուգահեռ:

Մարմինը, որ կատակում է, շրջապատված է հարթ հատակով և պարաբոլիկ գլանգազան:

Եկեք հավաքենք մարմինը շրջանցելու կարգը, որի հետ «igrokovі» և «igrokovі» ինտեգրվում են, ենթադրում եմ, ավելի լավ է երգել երկաշխարհի բազկաթոռների հետևում.

Այս ոճով:

1)

«iplayer»-ի հետևում ինտեգրվելիս «ix»-ը համարվում է հաստատուն, ապա հաստատունը պետք է մեղադրել ինտեգրալի նշանի համար։

3)

Վիդպովիդ:

Այսպիսով, առանց մի քիչ մոռանալու, zdebіlshogo otmany արդյունքը քիչ (և navit shkіdlivo) zvіryati z trivimirnym բազկաթոռներ, oskolki z մեծ ymovіrnіstyu vinikne. պատրանքը պարտավորեցնում է, Յակուի մասին ես rozpov_shche դասին Ծավալային մարմնի փաթաթան. Այսպիսով, գնահատելով նայված առաջնորդի մարմինը, ես հատկապես բախտավոր էի, որ նորի մեջ կա 4-ից ավելի «խորանարդ»:

Անկախ տեսողության համար վիրավորական հետույք.

հետույք 4

Անբաժանելի կորստի օգնության համար հաշվարկեք նշանակված մակերեսներով շրջապատված մարմնի ծավալը: Այս մարմնի բազկաթոռի աշխատանքը և դրա պրոյեկցիան ինքնաթիռում։

Զրազոկը նախագծված է որպես դասի առաջադրանք։

Հազվադեպ չէ, եթե տրիվիմիրի աթոռի վիկոննանն ավելի դժվար է.

հետույք 5

Կորուստային ինտեգրալի օգնությամբ իմանալ մարմնի ծավալը՝ տրված այն մակերեսների կողմից, որոնք շրջապատում են այն։

ԼուծումԱյստեղ պրոյեկցիան անշնորհք է, բայց շրջանցման կարգի շուրջ պետք է մտածել, թե ինչպես ընտրել 1-ին մեթոդը, այնուհետև գործիչը պետք է բաժանվի 2 մասի, ինչը անխուսափելիորեն կսպառնա սումիի հաշվարկը: երկուԵրրորդության ինտեգրալներ. Ավելի հարուստ հեռանկար ունեցողի համար մեկ այլ ճանապարհ կա: Այն կարելի է տեսնել և պատկերացնել բազկաթոռի վրա այս մարմնի պրոյեկցիայի միջոցով.

Ես նորից կխնդրեմ նման նկարների ճշգրտությունը, ես դրանք կցում եմ անմիջապես իմ սեփական ձեռագրերից:

Մենք ընտրում ենք ավելի կենսունակ կարգ՝ գործիչը շրջանցելու համար.

Այժմ մարմնի հետևի աջ կողմում: Ներքևից այն շրջապատված է հարթ տարածքով, գազանից՝ հարթ տարածքով, որպեսզի անցնի ամբողջ օրդինատի միջով։ Եվ ամեն ինչ ոչինչ չէր լինի, բայց բնակարանի մնացած մասը չափազանց զառիթափ է և այնքան էլ հեշտ չէ շրջանցել տարածքը: Այստեղ ընտրությունն աննախանձելի է՝ կա՛մ ոսկերչական ռոբոտը փոքր մասշտաբով է (որովհետև այն բարակ էր, որ բարակ լիներ), կա՛մ բազկաթոռը մոտ 20 սանտիմետր բարձրություն ունի (այդ և նրանք, որոնք կարող են տեղավորվել):

Ալեն և խնդիրը լուծելու երրորդ, հանգիստ ռուսական մեթոդը գոլ խփելն է =) և մի հարթ դեպի կողք, մի հարթ դեպի ներքև, և մի հարթ դեպի գազանը:

«Ուղղահայաց» միջինտեգրումն ակնհայտորեն այսպիսին է.

Հաշվենք մարմնի ծավալը՝ չմոռանալով, որ պրոյեկցիան շրջանցել ենք ավելի փոքր ընդլայնված ձևով.

1)

Վիդպովիդ:

Ինչպես հիշում եք, մարմնի զավդանյայի մեջ փաթաթելը թանկ չէ հարյուր դոլարով, որը հաճախ շրջապատված է ներքևում գտնվող բնակարանով: Բայց դա կանոն չէ, այնպես որ դուք պետք է պատրաստ լինեք. կարող եք օրն անցկացնել, de tilo roztashovani պիդհարթ. Այսպիսով, օրինակ, եթե դուք նայեք բնակարանին ընտրված zamіst-ում, ապա մարմինը սիմետրիկ կերպով կներկայացվի ստորին տարածության մեջ և շրջապատված կլինի ներքևից բնակարանով, իսկ գազանին` բնակարանով:

Նույն արդյունքը տեսնելու համար հեշտ է անցնել.

(Հիշեք, որ անհրաժեշտ է շրջանցել խիստ վայրէջք!)

Բացի այդ, բնակարանին «սիրահարված» կարող է հայտնվել առջևում ոչ աջ կողմում, ամենապարզ հետույքը. պարկ, ավելի շատ թաքցված, քան բնակարանը.

Մենք կարող ենք տեսնել այս բոլոր տեսակետները, բայց առայժմ անկախ տեսլականի խնդիրը նման է.

հետույք 6

Կորուստային ինտեգրալի օգնությամբ իմանալ մարմնի մասին՝ շրջապատված մակերեսներով

Հակիրճ, լուծումը դասի նկարազարդումն է:

Անցնենք ոչ պակաս հայտնի նյութերով մեկ այլ պարբերության.

Փորձնական ինտեգրալ գլանաձև կոորդինատներում

Գլանաձև կոորդինատներ - ce, փաստորեն, բևեռային կոորդինատներտարածության մեջ։
Գլանաձև կոորդինատային համակարգում կետի դիրքը տարածության մեջ որոշվում է կետի բևեռային կոորդինատներով՝ կետի պրոյեկցիան հարթության վրա և բուն կետի հավելվածով:

Տրիվիմեր Դեկարտյան համակարգից գլանային կոորդինատային համակարգին անցումը կատարվում է հետևյալ բանաձևերով.

Մեր փոխակերպումները հարյուր հիսունն ունեն հետևյալ տեսքը.

Ես, ըստ երևույթին, պարզ ձևով, որը հեշտությամբ երևում է այս հոդվածում.

Գոլովնե, մի մոռացեք «er» լրացուցիչ բազմապատկիչի մասին և ճիշտ դասավորեք բևեռականություն ինտեգրման միջևպրոյեկցիան շրջանցելիս.

հետույք 7

Լուծումնույն կարգի dotrimuєmosya diy. մենք առաջ ենք նայում հավասարին, որոշ օրերի «Z»-ը փոխվում է Այստեղ միայն մեկն է: պրոյեկցիա գլանաձեւ մակերեստարածքում є «համանուն» կոլո .

Քառակուսիներ շրջապատում են շուկանեի մարմինը ներքևից և գազանին («կախում» յոգան գլանից) և նախագծված են կոլոյում.

Սև տրիվիմիր բազկաթոռի վրա։ Հիմնական դժվարությունը մակերևույթի տարածքում է, կարծես մխոցը ոլորված է «թեք» գլխարկի տակ, որից հետո գնալ էլիպսներ. Եկեք վերլուծական կերպով պարզաբանենք այս վերագրումը, որի համար մենք վերագրում ենք ֆունկցիոնալ տեսքի հարթությունը. և մենք հաշվում ենք ֆունկցիայի արժեքը («բարձրություն») այն կետերում, որոնք մենք հարցնում ենք, կարծես պառկած լինենք միջպրոյեկցիայի վրա.

Կարծես գիտես բազկաթոռի կետերը և ուշադիր (և ոչ այնպես, ինչպես ես =)) zadnuєmo їх տող:

Մարմնի պրոյեկցիան հարթության վրա երկարությունն է, և գլանաձև կոորդինատային համակարգին անցնելու արագության փաստարկի երկարությունը.

Մենք գիտենք մակերևույթի հավասարեցումը գլանաձև կոորդինատներում.

Այժմ հետևեք մարմինը շրջանցելու կարգին.

Եկեք նայենք գլխի հետևի մասին պրոեկցիայից: Ինչպե՞ս որոշել շրջանցման կարգը: Հենց այդպես ենթաինտեգրալների հաշվարկը բևեռային կոորդինատներում. Այստեղ գինին տարրական է.

Ակնհայտ է նաև «ուղղահայաց» միջինտեգրումը. այն մտնում է մարմին ինքնաթիռով և դուրս է գալիս հարթության միջով.

Եկեք անցնենք կրկնվող ինտեգրումներին.

Որի համար «er» բազմապատկիչն անմիջապես դրվում է «սեփական» ինտեգրալում։

Vinik yak zavzhd ավելի հեշտ է ճեղքել ճյուղերը.

1)

Մենք վերցնում ենք հարձակողական ինտեգրալի արդյունքը.

Եվ այստեղ չի մոռացվում, որ fi-ն կարևոր է որպես հաստատուն։ Ալե ցե մինչև երգի ժամ.

Վիդպովիդ:

Նմանատիպ խնդիր անկախ տեսլականի համար.

հետույք 8

Անբաժանելի կորստի օգնության համար հաշվարկեք մակերեսներով շրջապատված մարմնի ծավալը: Այս մարմնի Vikonati բազկաթոռը և դրա պրոյեկցիան հրապարակի վրա:

Zrazok նուրբ ձևավորում, ինչպես դասը:

Համոզված եմ, որ նույն բառի խնդիրների մտքում չի ասվում գլանաձև կոորդինատային համակարգին անցնելու մասին, և անձը հայտնի չի լինի, որ պայքարում է դեկարտյան կոորդինատներում կարևոր ինտեգրալների հետ։ ... Կամ գուցե դա չի լինի, նույնիսկ եթե դա խնդիրների լուծման երրորդ, հանգիստ ռուսական ճանապարհն է:

Ամեն ինչ նոր է սկսվում: լավ իմաստով :)

հետույք 9

Կորուստային ինտեգրալի օգնությամբ իմանալ մարմնի մասին՝ շրջապատված մակերեսներով

Համեստորեն և հաճույքով:

Լուծում: Ամբողջական վերջավոր մակերեսі էլիպսային պարաբոլոիդ. Ընթերցողներ, ովքեր հարգանքով ծանոթ են հոդվածի նյութերին Տիեզերքի հիմնական մակերեսները, արդեն ներկայացված, կարծես մարմնին նայելով, բայց գործնականում ծալված վիպադները հաճախ թակարդում են, ուստի ես զեկույց կանցկացնեմ վերլուծական աշխարհի մասին։

Մենք գիտենք հետևի գծերը, որոնցով ներկված են մակերեսները։ Մենք կառուցում և կառուցում ենք հետևյալ համակարգը.

1-ին հավասարից մենք կարող ենք միմյանց տեսնել տերմիններով.

Արդյունքում երկու արմատ է վերացվում.

Պատկերացրեք, իմանալով, թե արդյոք համակարգը հավասար է.
աստղերը գոռում են
Otzhe, արմատը vіdpovіdaє մեկ կետ - կոորդինատների կոճը: Բնականաբար, նույնիսկ գագաթների գագաթները վեր են բարձրանում:

Հիմա եկեք պատկերացնենք մեկ այլ արմատ - նույնը, թե արդյոք համակարգը հավասար է.

Ո՞րն է արդյունքի երկրաչափական փոխարինումը: «Բարձունքների վրա» (ինքնաթիռի մոտ) պարաբոլոիդը և կոնը ներկված են երկայնքով կոլա- մեկ շառավիղ կենտրոնացած կետում:

Երբ պարաբոլոիդի «բաժակը» պարունակում է կոնի «ձագարը», հանգստացնելվերջնական մակերեսը պետք է հատել կետավոր գծով (որթատունկի հետևում մեր հեռավոր տեսարանն է, ինչպես երևում է այս տեսանկյունից).

Մարմնի պրոյեկցիան ինքնաթիռում կոլո 1 շառավղով կոորդինատների կոճի կենտրոնով, որը ես չհամարձակվեցի պատկերել այս փաստի ակնհայտության միջոցով (prote letter comment robimo!). Ելույթից առաջ, աթոռի վրա դրված երկու առջևի աթոռների վրա, կանխատեսումները կարելի էր ծեծել, բայց դեմ չէ:

Գլանաձև կոորդինատներին անցնելիս ստանդարտ բանաձևերը կարող են օգտագործվել անհավասարությունները գրելու համար ամենապարզ ձևով և կենցաղային խնդիրների պրոյեկցիան շրջանցելու համար.

Մենք գիտենք գլանաձև կոորդինատային համակարգի մակերևույթի հավասարեցումը.

Քանի որ խնդիրը նայում է կոնի վերին հատվածին, ապա այն կարելի է տեսնել.

«Scanuemo body» ներքևից վերև. Փոխեք լույսը, որպեսզի մուտք գործեք մինչև նորը էլիպսային պարաբոլոիդև դուրս եկեք վերջի մակերեսով: Այս կարգով մարմինը շրջանցելու «ուղղահայաց» կարգը.

Երկրորդ ճիշտ տեխնիկա.

Վիդպովիդ:

Հազվադեպ չէ, եթե մարմնին խնդրում են այն չշրջապատել մակերեսներով, բայց առանց որևէ անկանոնության.

հետույք 10

Երկրաչափական զմիստխախտումների ծավալը, ես, ըստ տեղեկությունների, բացատրեցի նույն ապացուցող հոդվածից: Տիեզերքի հիմնական մակերեսները.

Tse zavdannya ցանկանում և թաքցնում է պարամետրը, բայց թույլ տուր ճշգրիտ բազկաթոռը, որը ոգեշնչում է մարմնի կարևոր տեսքը: Մտածեք վիկոնատի պոբուդովայի պես: Մի խոսքով, լուծումը դա ապացուցելն է՝ դասի նման։

... լավ, ինչ, դա շղարշ է: Մտածում եմ դասն ավարտելու մասին, բայց հետո կռահում եմ, թե ինչ ես ավելի շատ ուզում =)

հետույք 11

Կորուստային ինտեգրալի օգնությամբ հաշվե՛ք տվյալ մարմնի ծավալը.
, Դե - Ավելի դրական թիվ:

Լուծում: անհավասարություն կոորդինատների կոճի կենտրոնով սյունակը շառավղով դնել, իսկ անհավասարությունը - Շառավիղի ողջ համաչափությամբ շրջանաձև գլանների «ներքինություն»: Այս կարգով մարմինը, կարծես շշնջալով, շրջապատված է կողային մասում շրջանաձև գլանով, իսկ վերևում և ներքևում մակերեսին համաչափ գնդաձև հատվածներով:

Վերցնելով աշխարհի հիմնական միավորը, մենք վերցնում ենք բազկաթոռը.

Ավելի ճիշտ, յոգա պետք է անվանել փոքրիկ, բայց առանցքի երկայնքով հարաբերակցությունն ավելի լավ չեմ տեսել։ Պրոտե, հանուն արդարության, հանուն մտքի, պետք չէր որևէ բան բարձրաձայնել, և նման օրինակը միանգամայն բավարար թվաց։

Հարգանք դրսևորելու համար, որ այստեղ դա ոչ obov'yazkovo z'yasovuvati բարձրությունն է, «գլխարկի» հետևից կախված նման մխոցի վրա, պարզապես վերցրեք կողմնացույցը և նշեք կենտրոնով սյունակը կոորդինատների կոճի վրա շառավղով: 2 սմ-ով, այնուհետև գլանով խաչաձողի կետերը կհայտնվեն ինքնուրույն:

1. Գլանաձև կոորդինատները բևեռային կոորդինատների մի շարք են xy հարթության վրա և նշանակալի դեկարտյան կիրառիչից (նկ. 3):

Թող M(x, y, z) լինի բավարար կետ xyz տարածության մեջ, P-ն M կետի պրոյեկցիան է xy հարթության վրա: M կետը եզակիորեն նշանակված է թվերի եռամիասնությամբ՝ P կետի բևեռային կոորդինատները, z՝ M կետի կիրառումը: Բանաձևերը, որոնք դրանք անվանում են դեկարտյան, կարող են թվալ:

Յակոբյան խմորում (8)

հետույք 2.

Հաշվիր ինտեգրալը

de T - մակերեսներով շրջապատված տարածք

Լուծում. Մենք ինտեգրալից անցնում ենք գնդային կոորդինատներին՝ օգտագործելով բանաձևերը (9): Ինտեգրման նույն ոլորտը կարող է սահմանվել անկանոնություններով

Իսկ դա նշանակում է

հետույք 3Իմացեք մարմնի ծավալը՝ ծոպերով.

x 2 + y 2 + z 2 \u003d 8,

Maemo: x 2 + y 2 + z 2 \u003d 8 - գնդիկ R \u003d v8 շառավղով, կենտրոնով O կետում (000),

Կոնի վերին մասը z2 = x2 + y2 Օզի ողջ համաչափությամբ և գագաթնակետը O կետում (նկ. 2.20):

Մենք գիտենք կոնի ոլորտի խաչաձողի գիծը.

І բեկորներ մտքի համար z. 0, ապա

Շրջեք R=2, որն ընկած է z=2 հարթության մոտ:

Ճիշտ է (2.28)

de area u սահմանակից է գազանին

(ոլորտի մաս),

(Կոնի մաս);

U տարածքը նախագծված է Ohu տարածքի D տարածքի վրա - շառավիղ 2:

Նաև ինտեգրալում աստիճանաբար անցնել գլանաձև կոորդինատներին, հաղթական բանաձևերին (2.36).

Փոփոխությունների միջև r-ը նշանակալի է ըստ R=2 սյունակից դուրս գտնվող D v հեռավորության՝ կենտրոնով O կետում, նույն նշանով՝ 0?c?2p, 0?r?2: Այսպիսով, U շրջանը գլանաձև կոորդինատներում նշվում է առաջացող անկանոնություններով.

Մենք դա հարգում ենք

Zavantage Depositfiles-ից

Պոտենցիալ ինտեգրալ.

Վերահսկել սնունդը.

Հետևողական ինտեգրալ, ուժի յոգա:

Փոփոխությունների փոխարինում երրորդ ինտեգրալում. Կորուստային ինտեգրալի հաշվարկը գլանաձև կոորդինատներում:

Կորուստային ինտեգրալի հաշվարկը գնդային կոորդինատներում:

Արի գործառույթ u= զ(x, y,զ) նշանակված է փակ տարածքին Վտարածություն Ռ 3 . Rozib'ёmo շրջան Վարժանապատիվ կոչում nտարրական փակ տարածքներ Վ 1 , … ,Վ n, scho Վ 1 , …,  Վ nակնհայտորեն. Զգալիորեն դ- մարզերի տրամագծերից ամենամեծը Վ 1 , … ,Վ n. Մաշկի տարածքում Վ կընտրիր լավ կետ Պ կ (x կ , յ կ ,զ կ) և պահեստավորում ինտեգրալ գումարգործառույթները զ(x, y,զ)

Ս =

Նշանակում.Փորձնական ինտեգրալֆունկցիայի տեսակը զ(x, y,զ) ըստ տարածաշրջանի Վկոչվում է միջինտեգրալ գումար
yakscho vin isnuє.

նման կերպ,

(1)

Հարգանք.Ինտեգրալ գումար Սավանդ՝ տարածաշրջանը քայքայելու ճանապարհին Վ կետ ընտրելու համար Պ կ (կ=1, …, n) Այնուամենայնիվ, եթե կա սահման, ապա դա չի խանգարի տարածաշրջանը քանդել Վկետ ընտրելու համար Պ կ. Եթե ​​համեմատում եք ենթափոխանակության և աճող ինտեգրալների նշանակումը, ապա դրանցում հեշտ է օգտագործել նույն անալոգիան։

Կորուստային ինտեգրալի համար բավարար պատճառաբանություն:Փորձնական ինտեգրալը (13) օգտագործվում է որպես ֆունկցիա զ(x, y,զ) եզրագծված է Վես անխափան եմ Վ, ետևում թագը վերջնական թվով միանվագ-հարթ մակերեսների, փտում է Վ.

Կավագործության ինտեգրալի ուժի ակտերը:

1) Յակշո Վ- Թվային հաստատուն, ուրեմն

3) հավելումը՝ ըստ տարածաշրջանների. Յակշոյի շրջան Վ բաժանված է շրջանների Վ 1 і Վ 2, ապա

4) պիտանի մարմին Վ dorivnyuє

(2 )

Կորուստային ինտեգրալի հաշվարկ դեկարտյան կոորդինատներում.

Դե արի Դ մարմնի պրոյեկցիա Վբնակարանի վրա xOy, մակերեւույթ զ=φ 1 (x,y),զ=φ 2 (x, y) շրջապատել մարմինը Վայդ գազանի տակ պարզ է. Tse նշանակում է ինչ

Վ = {(x, y, զ): (x, y)Դ , φ 1 (x,y)≤ z ≤ φ 2 (x,y)}.

Նման մարմինը կոչվում է զ- գլանաձեւ: Փորձնական ինտեգրալ (1) զ- գլանաձեւ մարմին Վհաշվարկվում է կրկնվող ինտեգրալին անցումով, որը գումարվում է ինտեգրալի կախովի տեսակից.

(3 )

Ողնաշարի այս կրկնվող ինտեգրալում հաշվարկվում է փոփոխության ներքին երգող ինտեգրալը զ, որը x, y vvazhayutsya մոտալուտ. Եկեք հաշվենք ստորին ինտեգրալընտրված ֆունկցիայի դիտում ըստ տարածաշրջանի Դ.

Յակշո Վ x-գլանաձեւ կամ y-գլանաձև մարմին, այնուհետև ուղղեք բանաձևին

Առաջին բանաձեւի համար Դ  մարմնի պրոյեկցիա Վդեպի կոորդինատային հարթություն յՕզ, իսկ մյուսում՝ ինքնաթիռում xOz

դիմել. 1) Հաշվե՛ք մարմնի ընդհանուր թիվը Վ, շրջապատված մակերեսներով զ = 0, x 2 + y 2 = 4, զ = x 2 + y 2 .

Լուծում. Եկեք հաշվենք (2) բանաձևի հետևում գտնվող կորստի ինտեգրալի օգնության համար:

Անցնենք կրկնվող ինտեգրալին (3) բանաձևից հետո։

Դե արի Դ- կոլո x 2 +y 2 ≤ 4, φ 1 (x , y ) = 0, φ 2 (x , y )= x 2 +y 2. Տոդին (3) բանաձևով վերցված է

Այս ինտեգրալը հաշվարկելու համար անցնում ենք բևեռային կոորդինատներին։ Երբ tsimu kolo Դվերածվել անդեմի

Դ r = { (r , φ ) : 0 ≤ φ < 2 π , 0 ≤ r ≤ 2} .

2) Թիլո Վ շրջապատված մակերեսներով z=y , z=-y , x= 0 , x= 2, y= 1. Հաշվիր

Քառակուսիներ z=y , z=-yշրջապատել մարմինը ներքևից և դեպի գազանը, հարթ x= 0 , x= 2 շրջապատել մարմինը հետևի և առջևի մասում, իսկ հարթը y= 1 աջ ձեռք V-z-գլանաձեւ մարմին, յոգայի պրոեկցիա Դբնակարանի վրա հոյє ուղղանկյուն OABC. Եկեք ցած դնենք φ 1 (x , y ) = -y

Ուղղահայաց ինտեգրալի վերամշակում ուղղանկյուն կոորդինատների տեսքով դեպի բևեռային կոորդինատներ
, կապված ուղղանկյուն կոորդինատներով
,
, հետևեք բանաձևին

Ո՞րն է ինտեգրման տարածքը
շրջապատված երկու փոխանակումներով
,
(
), որոնք բեւեռներից դուրս են գալիս, այդ երկուսը ծուռ են
і
, ապա հիմքում ընկած ինտեգրալը հաշվարկվում է բանաձևով

.

հետույք 1.3.Հաշվեք այս տողերով շրջապատված նկարի մակերեսը.
,
,
,
.

Լուծում.Տարածքի տարածքը հաշվարկելու համար
արագացված բանաձևով.
.

Պատկերացնելի տարածք (նկ. 1.5): Ում համար մենք փոխարկում ենք կորերը. , , , . Եկեք անցնենք բևեռային կոորդինատներին. , . . Բևեռային կոորդինատային համակարգում տարածքը նկարագրել հավասարներով.

.

1.2. Պոտենցիալ ինտեգրալներ

Երրորդ ինտեգրալների հիմնական հզորությունները նման են ստորին ինտեգրալների հզորություններին։

Դեկարտյան կոորդինատներում երրորդ ինտեգրալը պետք է գրվի հետևյալ կերպ.

.

Յակշո
, ապա երրորդ ինտեգրալը տարածաշրջանի վրա մարմնի թվային ավելի մեծ ծավալ :

.

Կորուստային ինտեգրալի հաշվարկ

Թող ինտեգրման տարածքը այն ներքևից և դեպի գազանը շրջապատված է հստակ միանշանակ չընդհատվող մակերեսներով
,
, ընդ որում՝ տարածքի պրոյեկցիան դեպի կոորդինատային հարթություն
є հարթ տարածք
(Նկար 1.6):

Նույնը ֆիքսված արժեքների դեպքում վավեր դիմումներ տարածքի կետ փոփոխություններ սահմաններում. Todi otrimuemo: . Ինչ, առավել եւս, պրոյեկցիա նշանակում է խախտումներ , , դե - միանշանակ անխափան գործառույթներվրա , ապա

.

հետույք 1.4.Հաշվիր
, դե - ամուր, շրջապատված բնակարաններով.

	, , , ( , , ). Լուծում.Ինտեգրման տարածքը բուրգն է (նկ. 1.7): Տարածքի նախագծում є trikutnik , ուղիղ գծերով , , (նկ. 1.8): ժամը Կիրառական կետ բավարարել նյարդայնությունը դրան .
	Տրիքուտնիկի համար փոխինտեգրման կազմակերպում , վերցված

Փորձնական ինտեգրալ գլանաձև կոորդինատներում

Դեկարտյան կոորդինատներին անցնելիս
գլանաձև կոորդինատներին
(նկ. 1.9), pov'yazanih z
spіvvіdneshennya
,
,
, ընդ որում

	, ,, երրորդ ինտեգրալը վերածվում է. հետույք 1.5.Հաշվեք մարմնի ծավալը, որը շրջապատված է մակերեսներով. , , . Լուծում.Մարմնի ծավալը, ինչ կատակել dorivnyuє .
	Ինտեգրման տարածքները մխոցի մի մասն են, որը շրջապատված է հարթ հատակով: , բայց գազանը տափակ է (Նկար 1.10): Տարածքի նախագծում є kolo կենտրոնացած է կոորդինատների կոճի վրա և մեկ շառավղով: Անցնենք գլանաձեւ կոորդինատներին։ , , . ժամը Կիրառական կետ , բավարարում է նյարդայնությունը կամ գլանաձեւ կոորդինատներով.

Տարածաշրջան
, շրջապատված կորով
, անհամբեր սպասում ենք տեսնելու, հակառակ դեպքում
at tsimu polar kut
. Թող արդյունքները

.

2. Դաշտի տեսության տարրեր

Եկեք ժամանակից շուտ գուշակենք, թե ինչպես կարելի է հաշվարկել կորագիծ և մակերեսային ինտեգրալները:

Կորագիծ ինտեգրալի հաշվարկը կորերին վերագրված ֆունկցիաների կոորդինատների վրա , կրճատել ձևի առաջին ինտեգրալի հաշվարկին

որքան ծուռ տրված պարամետրային
ցույց տալով կորի կոճը , ա
- Її վերջնակետեր.

Մակերեւույթի ինտեգրալի հաշվարկը որպես ֆունկցիա
, նշված է երկկողմանի մակերեսի վրա , գումարեք թերագնահատված ինտեգրալի հաշվարկին, օրինակ՝ միտք

,

ինչպես մակերեսը , նշանակված է հավասարներին
, եզակիորեն նախագծված ինքնաթիռի վրա
դեպի տարածաշրջան
. Այստեղ - կտրել մեկ նորմալ վեկտորի միջև մակերեսին եւ բոլորը
:

.

Սպառվում է մակերեսի գլխի կողմի մտքերով որոշվում է (2.3) բանաձևի նշանի ընտրությամբ։

Նշանակում 2.1. վեկտորային դաշտ
կոչվում է կետի վեկտորային ֆունկցիա
միանգամից її նշանակված տարածքից.

վեկտորային դաշտ
բնութագրվում է սկալյար արժեքով - տարաձայնություն:

Նշանակում 2.2. հոսքը վեկտորային դաշտ
մակերեսի միջոցով կոչվում է մակերեսային ինտեգրալ.

,

դե - մեկ նորմալ վեկտոր դեպի մակերեսի ընտրված կողմը , ա
- scalar doboot vector_v і .

Նշանակում 2.3. շրջանառություն վեկտորային դաշտ

վրա փակ կոր կոչվում է կորագիծ ինտեգրալ

,

դե
.

Օստրոգրադսկի-Գաուսի բանաձևը կապ սահմանել վեկտորային դաշտի հոսքի միջև փակ մակերեսի միջոցով և դաշտի տարբերությունը.

դե - Վերևում, շրջապատված փակ օղակով , ա - Մակերեւույթի մեկ նորմալ վեկտոր: Ուղղակիորեն նորմալ է, ուրվագծի ուղղակի շրջանցումից կարող է լինել օգուտ .

հետույք 2.1.Հաշվեք մակերեսի ինտեգրալը

,

դե - Զովնիշնյա մասի կոն
(
), որը երևում է ինքնաթիռով
(Նկար 2.1):

Լուծում.գագաթին եզակի ձևավորված տարածքում
բնակարաններ
, իսկ ինտեգրալը հաշվարկվում է (2.2) բանաձևից հետո։

Մեկ նորմալ վեկտոր դեպի մակերես մենք գիտենք բանաձևից (2.3). . Այստեղ նորմալի համար ընտրված է գումարած նշանը, բեկորները կտրված են օդի մեջ դա նորմալ է - հիմար ես, otzhe, կարող է բացասական լինել: Վրախովույուչի շո , մակերեսին ընդունելի

Տարածաշրջան
є kolo
. Ուստի մնացած ինտեգրալում անցնում ենք բևեռային կոորդինատներին, ինչի համար
,
:

հետույք 2.2.Գտեք վեկտորային դաշտի շեղումը և ոլորումը
.

Լուծում.Բանաձևի համար (2.4) վերցնում ենք

Վեկտորային դաշտի ռոտորը հայտնի է բանաձևից (2.5)

հետույք 2.3.Իմացեք վեկտորային դաշտի արժեքը
տարածքի մի մասով :
, roztashovanu առաջին oktantі
).

	Լուծում.Բանաձևի ուժը (2.6) . Մենք ներկայացնում ենք տարածքի մի մասը : , raztashovanu առաջին octant. Տվյալ տարածքի հավասարեցումը հողմակայիչների մոտ կարող է տեսք ունենալ (Նկար 2.3): Հարթության նորմալ վեկտորը կարող է համակարգել. , մեկ նորմալ վեկտոր
	. . , , աստղեր , otzhe,

դե
- տարածքի նախագծում վրա
(Նկար 2.4):

Օրինակ 2.4.Հաշվեք վեկտորային դաշտի հոսքը փակ մակերեսով , բնակեցված է բնակարանով
կոնի այդ հատվածը
(
) (նկ. 2.2):

Լուծում.Արագացված Օստրոգրադսկի-Գաուսի բանաձևով (2.8)

.

Մենք գիտենք վեկտորային դաշտի դիվերգենցիան բանաձև (2.4):

դե
- obsyag կոն, yakim անցկացրել іtegruvannya. Արագացրեք կոնի ծավալը հաշվարկելու տնային բանաձևը
(- կոնի հիմքի շառավիղը, - Յոգոյի բարձրություն): Մեր մտքի համար մենք կարող ենք վերցնել
. Մնացորդային

.

հետույք 2.5.Հաշվեք վեկտորային դաշտի շրջանառությունը
եզրագծի երկայնքով , վրան պատված պերատինով
і
(
) Ստուգեք արդյունքը՝ օգտագործելով Stokes բանաձևը:

Լուծում. Peretina zaznachenih մակերեսային є colo
,
(Նկար 2.1): Ուղիղ շրջանցելով թրթռումը, ձայնը շրջապատվածներին, տարածքը մնաց չարիքով: Գրենք եզրագծի պարամետրային հավասարեցումը :

աստղեր

ընդ որում՝ պարամետրը փոփոխություն մեջ նախքան
. (2.1) և (2.10) հավասարումների (2.7) բանաձևի հետևում վերցնում ենք.

.

Այժմ բերենք Stokes բանաձևը (2.9): Յակ մակերես , ձգված եզրագծի վրա , կարող եք վերցնել տարածքի մի մասը
. Ուղիղ նորմալ
դեպի tsієї surfy zgodzhuєtsya z ուղիղ միացում շրջանցում . Հաշվարկների վեկտորային դաշտի ռոտորը 2.2 հավելվածում.
. Այնպես որ, shukana շրջանառություն

դե
- շրջանի տարածքը
.
- շառավղով մոտ
, աստղեր