Zavdannya, što razumiješ underwire integral.

Prihvatljivo je da je funkcija elemenata dodijeljena i zapišite iznos

kako se zove integralni.

P: Pod sing integral (o.i.) kao funkcija i kao izbor

Oznaka:

Brojevi se nazivaju integrirani (prema Rímanu) na .

T. ísnuvannya: Za tvoj um, sho.

Vídpovídno do imenovanja o.i. značajno je da se integral može pohraniti u obliku

Vídpovídno do cl.17.1.1 i 17.1.2 i o. zapisujemo formule za područje krivuljastog trapeza: , robotske snage

na:

Razumijevanje subintegralnih, integralnih suma.

Osnova underwire integrala, tako da je interintegralni zbroj očigledan za zadano, tako da granica daje volumen cilindričnog tijela. Međutim, tse mirkuvannya nije suvorim. U višim tečajevima kaljenja potrebno je iznijeti i pozvati teorem na temelju subvertikalnog integrala.

Teorem ísnuvannya. Jer, radi li se o funkciji, bez prekida u zatvorenom prostoru, gdje mogu mjeriti a, postoji podintegral, tako da postoji interintegralni zbroj s neograničenim povećanjem broja malih majdančika za um, da se koža s njih uvlači u mrlju. Tsya granica ne može biti postavljena na način razbijanja regije, već sa strane, ne u izboru točaka.

Nadalí mi vzglyaditimemo bez funkcije, bez prekida u sferi integracije.

Iz teorema o temelju, možemo, na primjer, podijeliti područje u male pravokutnike s ravnim stranicama paralelnim s koordinatnim osima (slika 230). Kada tsimu. Vibirayuchi potim na koži malog rektuma po točkama koje možemo napisati, zgídno z denominacijama subvertikalnog integrala

Kako bi se potkrijepilo da se temeljni integral može dobiti, kao između zbroja uma, naziv znaka vicorista također je znak

Viraz se naziva element kvadrata u Kartezijevim koordinatama i dodatni kvadrat pravokutnika sa stranicama paralelnim s koordinatnim osima.

Važno je da, kada je cjelovita vrećica presavijena, majdani, koji graniče s međuregijom, ne tvore pravokutnike. Međutim, može se reći da će se oprost za zamjenu takvih maidanchika s kvadratima između kvadrata svesti na nulu.

Potencija subordiniranih integrala

Dominacija podintegrala (onog yogo visnovoka) analogna je dominaciji jednokratnog pjevnog integrala.

1°. Aditivnost. Koja je funkcija f(x, g) integrirani u regiju D i kao područje D za krivulju pomoći G nulto područje je podijeljeno u dvije veze i ne prigušuje visoke unutarnje točke regije D 1 ta D 2 , zatim funkcija f(x, g) integrirana u područja kože D 1 ta D 2, štoviše

2°. Linearna snaga . Koje funkcije f(x, g) to g(x, g) integracija u području D, a α і β - bili to brojevi govora, zatim funkcija [ α · f(x, g) + β · g(x, g)] također je integriran u regiju D, štoviše

3°. Koje funkcije f(x, g) to g(x, g) integracija u području D, tada su dodatne funkcije tih funkcija integrirane u D.

4°. Koje funkcije f(x, g) to g(x, g) ofenzivna integracija u regiji D i posvuda u mojoj galeriji f(x, g) ≤ g(x, g), zatim

5°. Koja je funkcija f(x, g) integrirani u regiju D, te funkcije | f(x, g)| integrirani u regiji D, štoviše

(Naravno, uz integraciju | f(x, g)| u D ne pokazujući integraciju f(x, g) u D.)

6°. Teorem srednje vrijednosti. Kakva uvredljiva funkcija f(x, g) to g(x, g) integracija u području D, funkcija g(x, g) je nevidljiv (nepozitivan) posvuda u ovoj galeriji, Mі m- točne gornje i donje granice funkcije f(x, g) u regiji D, onda postoji broj μ koji zadovoljava nervozu m ≤ μ ≤ M a tako da formula vrijedi

Zocrema, kao funkcija f(x, g) neprekinut je u D, i područje D zv'yazkova, onda u ovoj galeriji postoji takva točka ( ξ , η ), što μ = f(ξ , η ), a formula (11) izgleda ovako

POKRETNI INTEGRALI

predavanje 1

Trajni integrali.Svrha podvodnog integrala je snaga. Ponovljene integracije. Veze nižih integrala na ponovljene. Postavljanje između integracije. Izračun temeljnih integrala Kartezijevog koordinatnog sustava.

Subintegral je produbljivanje razumijevanja inte- grala u različitim funkcijama dviju varijabli. Na taj će način obrnuto integriranje biti prisutno kao ravna figura.

dođi D- Dejaka je zatvoreno, omeđeno područje, i f(x,y) - dovoljna funkcija, istaknula je ova galerija. Pretpostavimo da između regija D zbrajaju se od posljednjeg broja krivulja, zadaci od strane vršnjaka um g=f(x) ili x=g( g), de f(x) to g(g) su neprekinute funkcije.

Rozib'ëmo regija D pristojan rang na n dio. područje ja-í̈ delyanki ima značenje simbolom D s i. Na koži dilyantsi, prilično vibra je točka pi, I maknimo se odatle u bilo kojoj fiksaciji Kartezijevog sustava koordinata ( x i ,y i). Sklademo integralni zbroj za funkciju f(x,y) po regiji D, za koju je vrijednost funkcije poznata u svim točkama Pi, množeći ih s površinom dvostrukih ploha Ds ja I pretpostavljamo da su svi rezultati oduzeti:

Nazvemo promjer(G) područja G najveća udaljenost između graničnih točaka regije.

Sastavni funkcije f(x,y) u području D naziva se granica, u kojoj mjeri niz integralnih suma (1.1) uz neograničeno povećanje broja prekida n (kod koga). Zapiši ovako

Vrijedno je napomenuti da, očito, integralni zbroj za danu funkciju i dano područje integracije treba pasti na put proširenju područja D odaberite točku Pi. Prote yakshcho podviyny ísnuê ísnuê, tse znači, da između vídpovídíkh íntegralny zbrojeva nije moguće ležati između imenovanih chinnikív. U redu(ili, kako se čini, opća funkcija f(x,y) integrirana u domenu D), dovoljno je da je integralna funkcija bool neprekidan na integraciji galerije zadataka.

Ajde funkcija f(x,y) integrirani u regiju D. Krhotine između kumulativnih zbrojeva za takve funkcije ne mogu se akumulirati metodom cijepanja područja integracije, cijepanje se može izvesti uz pomoć okomitih i vodoravnih linija. Todí više gospodarstvenika regije D matime ravnog kroja izgleda, područje takvog dorivnuê D s i=D x i D y i. Stoga se diferencijal površine može napisati kao ds=dxdy. Otzhe, u kartezijevom koordinatnom sustavu pod integralima možete zapisati na vidiku

Poštovanje. Kao funkcija integrand f(x,y)º1, tada je podintegral površine regije integracije:

Značajno je da podcrtane integracije mogu biti iste snage, kao i pojedinačno integrirane. Djela njihova su značajna.

Potencija subordiniranih integrala.

1 0 .Linearna snaga. Integral zbroja funkcija drugog zbroja integrala:

a konstantni množitelj može se okriviti za predznak integrala:

2 0 .Dodatna snaga. Budući da je područje integracije D podijeljeno na dva dijela, tada je subintegral potpuniji od zbroja integracija preko kožnog dijela:

3 0 .Srednji teorem. Koja je funkcija f( x,y)je kontinuirana u području D, onda postoji takva točka u galeriji(x, h) , što:

Daljnja post prehrana: kako se izračunavaju subintegrali? Yogo se može virahuvati približno, s ovom metodom je slomljen učinkovite metode presavijeni zbrojevi kumulativnih zbrojeva, koji se zatim numerički izračunavaju s dodatnim EOM-om. Analitičkim izračunom subintegrala, oni se svode na dva jednostruka integrala.

Viseći integrali za čajnike

Ova lekcija uvodi veliku temu višestrukih integrala, iz koje će studenti izvući još jedan tečaj. Pomakni to trostrukim integralima možete zalyakate tapetar ne viši, niži diferencijalni jednaki tomu vídrazu, pogledajmo hranu: dobro, što je? Zvichayno, deakim će biti sklopivi, i, iskreno, malo sam klevetao statistikom imenovanja - da biste naučili kako virishuvati podvíyní íntegrali, potrebna je majka deyakí navichki. Prvo, ako idete na integracije, onda ćete se, očito, morati integrirati. Logika. Otzhe, za razvoj aplikacija morate znati beznačajni integrali taj broj linearni integrali hot bi na srednjoj razini. Dobra novost je u činjenici da su se uz pomoć moćnih sila integrirali u veći vipadkiv kako bi to učinili jednostavno.

Kome postaje teško? Shvatio sam desno. Tim, koji je pio puno piva tijekom prvih semestara. Međutim, normalni studenti mogu biti preopterećeni - na stranici postoje svi materijali za popunjavanje praznina ili nerazumljivosti. Slučajno provedete više od sat vremena. Possilannya na one, yakí slid vyvchiti ili ponoviti, dodavatimutsya píd sat statti.

Na uvodnoj lekciji, korak po korak, bit će riječi o sljedećim osnovnim momentima:

– Razumijevanje podstrujnog integrala

– Područje integracije. Redoslijed zaobilaženja regije integracije. Kako promijeniti redoslijed premosnice?

Nakon toga, kako DOBRO razumijete cijelu Aziju, možete prijeći na članak Kako izračunati podcijenjeni integral? Nanesite otopinu. Osim toga, postoji i širi zadatak izračun tekućeg integrala u polarnim koordinatama taj tipični dodatak o značaj za težište ravnog opisanog lika.

Počnimo s drskom hranom - što je to?

Razumijevanje integrala podzemne struje

Podvarijantni integral neuke osobe zapisan je na sljedeći način:

Pogledajmo pojmove i definicije:
- Ikona okomitog integrala;
- Područje integracije (ravna figura);
- Integralna funkcija dviju varijabli, često je jednostavna;
- Značke diferencijala.

Što znači izračunati podcijenjeni integral?

Izračunajte temeljni integral - tse znači znajte KILO. Najjednostavniji broj:

Í vkray bazhano znati yogo ispravno =)

Rezultat (broj) može biti negativan. I nula se lako može unijeti. Posebno zupinivsya za određeni trenutak, oskolki chimalo studenti su bili nemirni, ako izađe "nešto drugo čudesno."

Bagato tko se sjeća tog "vrhunskog" vrijednosni integral- Tezh broj. Ovdje je jednostavno tako. Integral za žicu ima ísnuê i vídminny geometrijski zmist, Ale o tse pízníshe, usumu svíy sat.

Kako izračunati podcijenjeni integral?

Kako bi se izračunao temeljni integral, potrebno ga je pozvati na sljedeće ponavljamo integrale. Zrobiti tse moguće dva puta. Najveće proširenje napadačke metode:

Zamjenik opskrbe hranom potrebno je postaviti između integracije. Štoviše, prehrambeni znakovi vanjskog integrala su sami - tse brojevima, a podžice prehrambenih znakova unutarnjeg integrala su funkcije odníêí̈ zminnoí̈ , scho za polog u obliku "iks".

Uzeti zvijezde između integracije? Smrad je ležati u v_d tsgogo, što se tiče uma glave datog područja. Područje je prekrasna ravna figura, s kojom ste više puta zapeli zajedno, na primjer, kada numerirana područja ravnih figura ili izračun volumena omatanja tijela. Nezabar znate kako pravilno postaviti granice integracije.

Nakon toga, kako se odlučuje o prijelazu na ponovljene integrale, bez posrednika se provodi sljedeći izračun: prvo se uzima unutarnji integral, a zatim vanjski. Jedan za drugim. Zvídsi naziv - iterativni integrali.

Grubo naizgled, zadatak je izbrojati do izračuna dva pjevajuća integrala. Kako sve nije tako koherentno i strašno, i kako ste naletjeli na “singularni” sing integral, što vam treba da se odvojite od dva integrala?!

Drugi način prijelaza na iterirane integrale je jednostavniji:

Što se promijenilo? Redoslijed integracije je promijenjen: sada se unutarnji integral uzima za "ix", a vanjski - za "iplayer". Između integracije, označeno zvjezdicama - budi drugačiji! Jedna po jedna zvijezda vanjskog integrala - tse brojevima, a ispod zvijezde unutarnjeg integrala su funkcije tokarenja, scho lagati u obliku "igrok".

Koji bi mi nisu odabrali način prijelaza na ponovljene integracije, zaostali zvuk obov'yazkovo viide to samo:

Molim, zapamtite važnost moći, kao što je moguće koristiti, zokrema, za ponovnu provjeru odluke.

Algoritam za rješavanje podintegrala:

Sistematiziramo informacije: kojim redoslijedom trebate pogledati zadatak?

1) Potrebno je viskonatirati stolicu. Bez fotelje, zadatak je ne slomiti se. Točnije, nećete pobijediti, ali će biti slično igri na dame. Na fotelji nacrtajte područje kao ravnu figuru. Većinu vremena figura je jednostavna i okružena linijama, parabolama, hiperbolama itd. Kompetentan da se shvidku tekhníku pobudoví koslene može savladati u lekcijama Grafovi i osnovne potencije elementarnih funkcija, geometrijska transformacija grafike. Otzhe, prva faza je vikonati fotelje.

2) Postavite između integracija i prijeđite na ponovljene integracije.

3) Uzmite unutarnji integral

4) Uzmite trenutni integral i oduzmite razliku (broj).

Područje integracije. Redoslijed zaobilaženja regije integracije.
Kako promijeniti redoslijed premosnice?

U ovom paragrafu možemo vidjeti najvažniju namirnicu - kako ići na ponovljene integracije i pravilno postavljati između integracija. Kao što je već rečeno, možete to učiniti ovako:

sviđa mi se ovo:

U praksi učenje najnezgodnijih zadataka dovodi do najviše poteškoća, a učenici se često izgube u procesu integracije. Pogledajmo konkretan primjer:

guza 1

Riješenje: Vizualizirajmo područje integracije na fotelji:

Zvichayna ravna figura i ništa posebno.

Sada ću vidjeti alat za njegu kože za vas - štap za kopanje, laserski pokazivač. Zadatak je skenirati točku kože osjenčanog područja:

Prominirajte laser da prođe područje integracije strogo nizbrdo, onda morate završiti svoju narudžbu niži plošne figure. Promin za ulazak u regiju kroz cijelu apscisu, kao što vas traže jednaki i izlaz iz regije kroz parabolu (crvena strelica). Da biste prosvijetlili cijelu regiju, trebate oštro ljut na desno nacrtajte vkazívku vzdovzh osí víd 0 do 1 (zelena strelica).

Otzhe, što se dogodilo:
"Ígrek" se mijenja od 0 do ;
"ix" se mijenja od 0 do 1.

Za zadatke se kaže da se gore piše u slučaju nedosljednosti:

Navedite podatke nedosljednosti zaobilazeći galeriju integracije ili samo red integracije

Nakon što smo razvrstali redoslijed zaobilaženja, možemo ići od integrala ispod struje do iteriranih integrala:

Pola zadatka je obavljeno. Sada je potrebno na drugačiji način prijeći na iterirane integrale. Za koga biste trebali znati ključne funkcije. Tko je upoznat s drugim paragrafom lekcije Obloga za volumen tijela to će biti lakše. Gledajući funkcije koje definiraju područje . Još je jednostavnije, onda idite na povratne funkcije, što znači reći "iksi" kroz "igreeks". Jedna funkcija, de ê ja "iks" i "iplayer", є.

Yakscho, dakle, štoviše:
funkcija preokreta postavlja desnu stranu parabole;
Funkcija preokreta postavlja lijevi kut parabole.

Nije neuobičajeno kriviti sumniv, os, na primjer, funkciju potpisivanja lijevo ili desno od parabole? Sumiranje razlika je još jednostavnije: uzmite paraboličku točku, na primjer, (od desne igle) i postavite koordinate u ravnu liniju, na primjer, istu liniju:

Točna jednakost je oduzeta, stoga se funkcija dodjeljuje desnoj strani parabole, ali ne i lijevoj.

Više od toga tsyu reverb(misli o crnom) provesti večer nakon toga, kao što ste prešli na povratne funkcije. Neću posuditi ništa za sat vremena, ali ću otpjevati proštenje na obali!

Regija integracije se zaobilazi na drugi način:

Sada možemo podrezati laserski pokazivač levoruč pogledajte integraciju galerije. Promin laser prolaz područje oštro ljut na desno. Na ovom posebnom tipu vín ući u područje kroz paraboličnu iglu i izaći iz područja kroz ravnu liniju, kako je postavljeno jednakostima (crvena strelica). Za skeniranje cijelog područja laserom, potrebno je izvršiti vzdovzh os strogo nizbrdo unesite 0 do 1 (zelena strelica).

Na ovaj način:
"iks" se mijenja od do 1;
"Ígrek" se mijenja od 0 do 1.

Postupak zaobilaženja područja pored evidentiranih nepravilnosti:

Zatim je prijelaz na ponovljene integracije sljedeći:

Vidpovid može se napisati ovako:

Još jednom, pretpostavljam da se rezidualni rezultat ne može izračunati ovisno o redoslijedu kojim su regije zaobiđene (prihvatljivost je utvrđena za to). No, to je još daleko od konačnog rezultata, sada više nije naš zadatak pravilno plasirati interintegraciju.

guza 2

Danska podintegralna s regijom integracije. Idite na ponovljene integracije i proširite se između integracija na dva načina.

Ovo je primjer neovisnog rješenja. Kompetentno probudite stolicu idite ravno na obilaznici(zvijezde i gdje svijetliti laserskim pokazivačem). Zrazok fine design like a lection.

Najviše tipični zadaci trohi se skupljaju u drugačijoj formuli:

guza 3

Potaknite područje integracije

Riješenje: Za um je dat prvi način zaobilaženja regije. Odluke ponovno kreću od stolice. Ovdje regija ne leži na srebrnom pladnju s blaky oblyamívkoy, ali da vas potakne da ne stvaraju posebne poteškoće. Na stražnjoj strani ruke "knímaêmo" funkcije iz interintegracije: , . Funkcija, proizvoljno, postavlja ravnu liniju, ali što funkcija postavlja? Hajdemo malo promijeniti:
- blizu središta na klipu koordinata radijusa 2. Funkcija w postavlja gornju crtu (ne zaboravite, ako zbrojite, uvijek možete postaviti točku koja leži na gornjoj ili donjoj liniji).

Pitamo se između vanjskog integrala: "ix" se mijenja od -2 do 0.

Vikonaemo fotelje:

Da budem precizan, strelicama sam označio prvi način zaobilaženja regije, što zauzvrat govori iterativnim integralima uma: .

Sada je potrebno promijeniti redoslijed zaobilaženja regije, za što ćemo ići na funkcije okretanja (tj. "iksi" kroz "ígreki"):

Nedavno smo funkciju preuredili na razinu uloga, recimo “iks”:
Kao rezultat toga, potrebne su dvije ključne funkcije:
- Potpisivanje desnog pivkola;
- Značajno leva pívkolo.
Znam isto, kao da krivim sumniv, uzmem ulog i kažem, de lijevo, a de desno.

Promjena redoslijeda zaobilaženja područja:

Zgidno s drugim putem, laser promin Unesi u regiju levoruč kroz lava pivkolo i ići desnom rukom kroz ravnu liniju (crvena strelica). U isti sat lasersko umetanje biti izvedena na osi ordinata uzbrdo unesite 0 do 2 (zelena strelica).

Ovim redoslijedom, redoslijed zaobilaženja područja:

Zagal se može napisati savjet:

guza 4

Ovo je primjer neovisnog rješenja. Kundak više nije sklopiv, ali poštujte tu proceduru za zaobilaženje pregršt zadataka na drugačiji način! Zašto raditi u takvim vipadkah? Prvo, okrivljujući poteškoće stolice, krhotine stolice čine raspored hemoragične funkcije iznenada insinuirati mene samog. Preporučujem sljedeći redoslijed díy: prije svega, preuzimamo "primarnu" funkciju (kažemo "grobovi" kroz "iks"). Dat ćemo vam raspored za “ekstremnu” funkciju (uvijek se možete prepustiti ako želite krapkovo). Slično tome, možemo upotrijebiti veću jednostavnu linearnu funkciju: možemo "ukopati" i voditi ravnu liniju.

Analiziramo međuintegracijske praznine: ulazimo u srednju regiju kroz i i izlazimo kroz . Kada sve učinite kako treba, možete prijeći na "grčku" glatkoću od -1 do 0. Budući da ste odredili integracijsko područje na stolici, promijenite redoslijed kretanja u skladištu posebnih poteškoća. Zrazok osmislio rješenje za sat.

Sličan kundak sredit ću malo kasnije.

Navít yakscho ste sve dobro razumjeli, budite ljubazni, ne žurite, samo naprijed do izračuna tekućeg integrala. Red obilaznice je bogat, a važno je dohvatiti se neke glave, više je, nisam još sve pogledao!

U prednjim chotyroh kundacima, područje integracije se vidjelo kao cjelina u 1., 2., 3. i 4. koordinatnoj četvrtini. Zašto tako čekati? Ne, očito.

guza 5

Promjena redoslijeda integracije

Riješenje: To je poput stolice, s kojom je graf funkcije zapravo kubna parabola, samo što neće "ležati sa strane":

Redoslijed zaobilaženja regije koja daje instrukcije iteriranim integralima , označeno strelicama. Treba napomenuti da je tijekom vikonnannyja stolice naslikan još jedan ocrtani lik (levoruh u osi ordinata). Dakle, treba poštovati integraciju regije - za regiju možete oprostiti krivu brojku.

Prijeđimo na povratne funkcije:
- trebamo desnu glavu parabole;

Promijenimo redoslijed zaobilaženja regije. Kao što se sjećate, kod drugog načina zaobilaženja područja potrebno je skenirati područje laserskim prekidačem udesno. Ale ovdje posterígaêtsya cíkava rích:

Kako popraviti u sličnim situacijama? U takvim slučajevima podijelite područje integracije na dva dijela i za dio kože zbrojite ponovljenu integraciju:

1) Ako se "gravitacija" mijenja od -1 do 0 (zelena strelica), tada molimo uđite u područje kroz kubičnu parabolu i izađite kroz ravnu liniju (crvena strelica). Stoga će redoslijed zaobilaženja područja biti sljedeći:

2) Ako se "gravitacija" promijeni od 0 do 1 (smeđa strelica), tada odmah uđite u područje kroz paraboličnu iglu i izađite kroz tu ravnu liniju (grmizna strelica). Tada će redoslijed zaobilaženja područja biti sljedeći:

Ponovio sam ponovljene integrale:

Pjevanje i višestruki integrali imaju određenu snagu aditivnost tako da se mogu sklopiti, koji na zadani način i dalje rastu:
- I osovina i naš hod po regiji na drugačiji način, gledajući zbroj dvaju integrala.

Vidpovid napiši ovako:

Koji je redoslijed zaobilaženja najočitiji? Zvichayno ono, koje je slovo zadano u umu zadatka - brojat ćete dvostruko manje!

guza 6

Promjena redoslijeda integracije

Ovo je primjer neovisnog rješenja. U prisustvu novog pívkola, razbírki z yakim su navodno pregledani u Dodatku 3. Rješenje je sastavljeno kao lekcija.

I odmah, obítsyane zavdannya, ako je popis zadataka još jedan način za zaobilaženje regije:

guza 7

Promjena redoslijeda integracije

Riješenje: Ako je postupak za zaobilaženje zadataka na drugačiji način, prije stolice za buđenje, potrebno je prijeći na "nadređene" funkcije. Kod koga guzica, postoje dva pacijenta za transformaciju: i.
S linearnom funkcijom sve je jednostavno:

Graf funkcije je parabola s pravom na kanoničnost.

Virazimo "iplayer" do "ix":

Uzimamo dvije igle parabole: i. Yaku od njih vibrati? Najjednostavnije je vidjeti vikonat fotelje. A ako se sjećate materijala analitičke geometrije o paraboli, onda sve iste uvrede možete nazvati Krapkovo:

Još jednom, odajem počast što je na ovoj stolici bilo puno ravnih figura i važno je odabrati figuru! U izboru figura, koje se šale, pomoći će vam između integracije ostalih integrala:
, pri čemu nemojte zaboraviti što postavlja funkcija preokreta svi parabola.

Strelice, koje označavaju obilazak slika, točno označavaju granice integracije integracija .

Dosit shvidko naučite provoditi takvu analizu u svom umu i znate potrebu za područjem integracije.

Ako je lik pronađen, završni dio rješenja je još jednostavniji, mijenjamo redoslijed zaobilaženja područja:

Funkcije povratka su već poznate, a potrebna procedura za zaobilaženje područja:

Prijedlog:

Posljednji primjer odlomka za samostalan razvoj:

guzica 8

Promjena redoslijeda integracije

Izvana, rješenje je da je slično lekciji.

Započnimo promatranjem procesa izračuna podvarijantnog integrala i upoznavanjem njegove geometrijske složenosti.

Subintegral je numerički superioran u odnosu na područje ravne figure (regije integracije). Najjednostavniji oblik podintegrala, ako je funkcija dva promjenjiva: .

Možemo pogledati stražnji dio glave u zloglasnom izgledu. U isto vrijeme, krećete se, sve je stvarno jednostavno! Izračunajte površinu ravnih figura, okružena linijama. Za pjevanje je važno da imate vídrízku. Područja slika su brojčano naprednija:

Prikazujemo područje na fotelji:

Odaberite prvi način zaobilaženja područja:

Na ovaj način:

Í jednom važan tehnički trik: mogu se unijeti ponovljeni integrali. Prije svega unutarnji integral, zatim vanjski. Toplo preporučujem danski način za te čajnike.

1) Izračunajte interni integral s kojim se provodi integracija za promjenu "gravet":

Integral neznačajnosti ovdje je najjednostavnija, i dalje pobjednička, banalna Newton-Leibnitzova formula, s istom razlikom, da između integracija nisu brojevi, već funkcije. Stražnji dio glave stavljen je u "igrok" (izvorna funkcija) gornja granica, zatim donja granica

2) Rezultat, oduzimanjem od prve točke, mora se dodati trenutnom integralu:

Veći kompaktni zapis cijelog rješenja izgleda ovako:

Otrimanova formula - ovo je upravo radna formula za izračunavanje površine ravne figure uz pomoć "ekstremnog" pjevajućeg integrala! Zadivite se lekciji Izračunavanje površine uz pomoć sing integrala, Eno ga na koži croci!

Tobto, zadatak izračunavanja površine za pomoć integrala podžice malo je ljudi briga za pomoć pjevačkog integrala! Zapravo, to je isto!

Jasno, nije kriva za nikakve poteškoće! Bacit ću pogled na male opuške, krhotine vas, zapravo, više nego jednom zalijepljene zajedno s ovim zadacima.

guza 9

Uz pomoć integrala žice, izračunajte površinu ravne figure, okružene linijama,

Riješenje: Prikazujemo područje na fotelji:

Površina figure izračunava se uz pomoć subvertikalnog integrala za formulu:

Odaberite sljedeći redoslijed za zaobilaženje područja:

Ovdje i dalje, ne duljim o tome kako gledati po regiji, krhotine u prvom paragrafu su iznesene još jasnije.

Na ovaj način:

Kao što sam već naznačio, građanima je lakše brže izračunati ponovljene integrale, koje ću dodati metodi:

1) Redak iza poleđine Newton-Leibnizove formule analiziran je internim integralom:

2) Rezultat, oduzimanjem prvog koraka, zamjenjuje se postojećim integralom:

Točka 2 - zapravo odbijanje područja ravnog položaja uz pomoć sing integrala.

Prijedlog:

Osovina je tako loša i naí̈vne zavdannya.

Cicavi but za samostalnu trešnju:

stražnjica 10

Uz pomoć integrala žice, izračunajte površinu ravne figure, okružene linijama,

Pogled na konačno dizajnersko rješenje za lekciju.

U Prikladakh 9-10 značajno je važnije osvojiti prvi način zaobilaženja regije, piti više čitanja, prije govora možete promijeniti redoslijed zaobilaženja i izračunati područje na drugi način. Ako ne oprostite, onda ćete, naravno, vidjeti svoje značajno područje.

1.1 Određivanje vertikalnog integrala

1.2 Dominacija podintegrala

Dominacija podintegrala (onog yogo visnovoka) analogna je dominaciji jednokratnog pjevnog integrala.

1°. Aditivnost. Ako je funkcija f(x, y) integrirana u domenu D i ako je domena D izvan dodatne krivulje G, područje nule je podijeljeno na dvije veze, a ako nema zajedničkih unutarnjih točaka domene D 1 i D 2, tada je funkcija f(x, y) integrirana u kožu iz područja D 1 i D 2, štoviše

2°. Linearna snaga. Kako su funkcije f(x, y) i g(x, y) integrabilne u prostoru D, ha? ja? - bili to brojevi govora, zatim funkcija [? f (x, y) + ? g (x, y)] također je integriran u domenu D, štoviše

3°. Kako su funkcije f(x, y) i g(x, y) integrabilne u domeni D, onda su dodatne funkcije tih funkcija integrabilne u D.

4°. Kako se funkcije f(x, y) i g(x, y) mogu integrirati u domenu D i križati f(x, y)? g(x, y), tada

5°. Budući da je funkcija f(x, y) integrirana domenom D, onda je ta funkcija |f(x, y)| integrirani u regiju D, štoviše

(Očito, integracija | f (x, y) | D ne pokazuje integraciju f (x, y) u D.)

6°. Teorem srednje vrijednosti. Iako su napadne funkcije f(x, y) i g(x, y) integrirane u domeni D, funkcija g(x, y) je nevidljiva (nepozitivna) posvuda u ovom krugu, M i m su točni gornje i donje granice funkcije f( x, y) u području D, tada postoji broj? koji zadovoljava neravnomjernost m? ? ? M i tako da formula vrijedi

Dakle, budući da je funkcija f(x, y) kontinuirana D, a domena D je povezana, onda u ovoj domeni postoji takva točka (?, ?), Što? = f(?, ?), a formula izgleda ovako

7°. Važna geometrijska snaga. dnevni prostor D

Neka je tijelo T (sl. 2.1) dano prostoru, ispod područja D, zvijeri - graf neprekinute i nevidljive funkcije) z \u003d f (x, y,) kako je dodijeljeno prostoru D, sa strane - cilindrična površina, izravna ê između područja D, i paralelne su s osi Oz. Tijelo ove vrste naziva se cilindrično tijelo.

1.3 Geometrijska interpretacija vertikalnog integrala

1.4 Razumijevanje okomitog integrala pravokutnika

Neka je dovoljna funkcija f(x, y) posvuda pridružena pravokutniku R = ? (div. sl. 1).

Ružmarin segment a? x? b za n parcijalnih odsječaka iza pomoćne točke a = x 0< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.

Tsomu razbittya za pomoć ravnih linija, paralelne osi Ox í Oy dijeli pravokutnik R na n · p djelomičnih pravokutnika R kl = ? (k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). U oznaci podjele pravokutnika R označava se simbolom T. Pod pojmom "pravokutnik" dali smo podjelu pravokutnika sa stranicama paralelnim s koordinatnim osama.

Na skin chastkovy pravokutnik Rkl, biramo punu točku (?k,?l). Stavljajući ?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1, značajno je kroz ?R kl površine pravokutnika R kl . Očito je ?R kl = ?x k ?y l .

naziva se integralni zbroj funkcije f(x, y), koji daje danu distribuciju T pravokutnika R i dani izbor međutočaka (? k, l) na parcijalnim pravokutnicima distribucije T.

Dijagonala se naziva promjer pravokutnika R kl . Simbol? Značajno najveći od promjera svih uobičajenih rektoreza R kl.

Broj I zove se granica integralnih suma (1) na? > 0, kako to može biti bilo koji pozitivan broj? možete li tako reći datum?, Što u?< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство

| ? - ja |< ?.

Funkcija f(x, y) se zove integrirana (prema Riemannu) na pravokutniku R, jer postoji konačna granica između I integralnih suma funkcije na? >0.

Označena granica I naziva se podintegral funkcije f(x, y) pomoću pravokutnika R i označava se jednim od sljedećih simbola:

Poštovanje. Dakle, kao i za jednokratni integral, utvrđuje se da je funkcija f(x, y) integrirana na pravokutniku R i da je na tom pravokutniku opisana.

To daje mogućnost da se gleda dalje od granice funkcija f(x, y).

Podintegral ima snagu, analognu snazi ​​sing integrala. Znatno manje od glavnih:

1. Koje su funkcije
integracija u regiji
, onda je integracija u njih iznos i razlika, štoviše

2. Konstantni množitelj može se okriviti za predznak podvarijantnog integrala:

3. Yakscho
integrirani u regiji
, a ovo područje je podijeljeno na dva područja koja se ne preklapaju і
, onda

.

4. Yakscho
і
integracija u regiji
, u yakíy

, onda

.

5. Što je u okolici
funkcija
zadovoljan nedosljednostima


de
і
djela díysní brojevi, onda

,

de – područje regije
.

Dokazi ovih potencija analogni su dokazu drugog teorema za jednostavni integral.

Izračun vertikalnog integrala u pravokutnim Kartezijevim koordinatama

Neka je potrebno izračunati temeljni integral
, područje - Pravokutni, koji karakteriziraju nepravilnosti ,.

Pretpostavimo da
neprekinuto u istom pravokutniku i nabuvaj u novu nepoznatu vrijednost, iako je integral volumena tijela s osnovom , obrubljen zvijeri na vrhu
, sa strane - stanovi
,
,
,
:

.

S druge strane, takva se brojka može izračunati uz pomoć sintetskog integrala:

,

de
- područje presijecanja ovog tijela s ravninom koja prolazi kroz točku a okomito na os
. Krhotine analize ukrštene s krivolinijskim trapezom
, okružen zvijeri s grafom funkcije
, de fiksni, i , onda

.

Z tsikh triokh jednakosti vyplivaê, scho

.

Od sada je izračun osnovnog integrala bio izračun dva sing integrala; pri izračunavanju "unutarnjeg integrala" (napisano u lukovima) biti nepromjenjiv.

Poštovanje. Možete li objasniti da je ostatak formule točan kada
, kao i na prvi pogled, ako funkcija
promijenite predznak naznačenog pravokutnika.

Prava dijela formule nazivaju se iterirani integral i označavaju se na sljedeći način:

.

Slično se može pokazati da

.

Nad izrečenim kukate

.

Preostala jednakost znači da rezultat integracije treba pasti u red integracije.

Da bismo pogledali najdublji nagib, uvedimo razumijevanje standardnog područja. Standardno (ili ispravno) područje koje je izravno dano osi naziva se takvo područje, za koje bi trebalo biti ravno, paralelno sa središtem osi, isprekidano između područja ne više, niže u dvije točke. Inače, čini se, prevrćući samu regiju, da je njezin kordon samo jedan povjetarac.

Prihvatljivo je da je regija okružena

koji je okružen zvijeri s grafom funkcije
, na dnu - graf funkcije
. Ajde R ( ,) - minimalni pravokutnik u kojem je položeno područje
.

Idi na područje
dodijeljena je ta neprekinuta funkcija
. Predstavimo novu funkciju:

,

slično ovlastima underwire integrala

.

ja, kasnije,

.

Oskílki vídrízok
pokriti područje
zatim, kasnije,
na


, ali ležati u vídrízkom položaju, zatim
.

S fiksnim možemo napisati:

.

Tada prvi i treći integral na desnoj strani integracije daju zbroj nuli

.

Otzhe,

.

Zašto je potrebno koristiti formulu za izračunavanje tekućeg integrala preko područja standardne osi
putem poveznice na ponovljeni integral:

.

regija Yakscho
ê standardna y ravna os
ona se pokazuje kao nedosljednosti ,

, slično, to se može dokazati

.

Poštovanje. Za regiju
, standardne y ravne osi
і
, bit će vicona

Za ovu formulu dolazi do promjene redoslijeda integracije i sata izračuna sublinearnog integrala.

Poštovanje.Čim područje integracije prestane biti standardno (ispravno) na obje koordinatne osi, ona se raspada na zbroj standardnih područja i predstavlja integral kao zbroj integracija u tim područjima.

kundak. Izračunajte tekući integral
po regiji
, okruženo linijama:
,
,
.

Riješenje.

Tsya područje je standardna jaka schodo os
, pa ja
.

Izračunavamo integral, uzimajući u obzir područje standardne osi
.

.

Poštovanje. Kako izračunati integral, uzimajući u obzir područje standardne osi
, uzimamo isti rezultat:

.

kundak. Izračunajte tekući integral
po regiji
, okruženo linijama:
,
,
.

Riješenje. Reprezentativno, regija integracije je dana malom.

Tsya područje je standardna os schodo
.

.

kundak. Promjena redoslijeda integracije za ponovljenu integraciju:

Riješenje. Zamislimo regiju integracije.

Od međuintegracijskih linija poznajemo linije koje zatvaraju područje integracije: ,
,
,
. Da bismo promijenili redoslijed integracije, možemo kao funkcije u i znamo točku prijelaza:

,
,
.

Dakle, na jednom od intervala, funkcija izražava se s dva analitička vira, tada se područje integracije mora podijeliti na dva područja, a ponovljeni integral poreza zbroj je dviju integracija.

.