Postupak za izračunavanje integrala s gubicima sličan je općem radu tekućeg integrala. Za njezin opis uvodimo razumijevanje ispravnog trivijalnog područja:

Imenovanje 9.1. Trivijalno područje V, okruženo zatvorenom površinom S, naziva se pravilnim, jer:

1. budi iskren, paralelno s osi Oz koji je povučen kroz unutarnju točku regije, sijekući S u dvije točke;
2. cijelo područje V projicira se na ravninu Oxy u pravilnom području dva svijeta D;
3. može li dio područja V, vidljiv u njemu ravninom, paralelnom s koordinatnim ravninama, imati snagu 1) i 2).

Pogledajmo ispravno područje V, omeđit ću dno i vrh s površinama z=χ(x,y) i z=ψ(x,y) i projicirati ih na Oxu y ravninu, ispravno područje D, sredinu od kojih će se x mijenjati u granicama od a do b, bit će okružen krivuljama y=φ1(x) i y=φ2(x) (slika 1). Neka je f(x, y, z) kontinuirana funkcija u domeni V.

Imenovanje 9.2. Naziva se trostrukim integralom funkcije f(x, y, z) po području V u obliku:

Trirazovy íntegra maê tí zh vlastivostí, shcho í dvorazovy. Pererakhuyemo ih bez potvrde, krhotine smrada se podižu slično padu integralnog dijela dvorišta.

Izračun integrala s gubicima.

Teorem 9.1. Trostruki integral funkcije f(x,y,z) regularne domene V je isti kao trostruki integral nad istom domenom:

. (9.3)

Dovođenje.

Rozíb'ëmo područje V ravnine, paralelne s koordinatnim ravninama, na n pravilnih područja. Todí z power 1 vikanje

gdje je trovremenski integral funkcije f(x,y,z) u domeni .

Vikoristovuyuchi formula (9.2), naprijed paritet može se prepisati na prvi pogled:

Jasno je razumijevanje kontinuiteta funkcije f (x, y, z), koja se nalazi između integralnog zbroja, koji stoji na desnoj strani jednadžbe jednakosti, i jednaka je trećem integralu. Zatim, prelazeći na granicu kada, uzimamo:

što je bilo potrebno ponijeti.

Poštovanje.

Na sličan način kao i pad podstrujnog integrala, može se dovesti do toga da promjena reda integracije ne mijenja vrijednost trostrukog integrala.

kundak. Izračunavanje integrala de V je trokutasta piramida s vrhovima u točkama (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) i (0, 0, 1). Ena projekcija na ravninu Oxy je tricutnik s vrhovima (0, 0), (1, 0) i (0, 1). S donje strane površina je omeđena površinom z = 0, a s gornje strane – površinom x + y + z = 1. Prijeđimo na trostruki integral:

Množitelje, koji ne leže u promjenjivoj integraciji, možemo okriviti za predznak dvostrukog integrala:

Krivocrtni koordinatni sustavi u trivijalnom prostoru.

1. Cilindrični koordinatni sustav.

Cilindrične koordinate točke R(ρ,φ,z) – cepolarne koordinate ρ, φ projekcije točke na Ohu ravninu i aplikator zadane točke z (sl. 2).

Formule za prijelaz s cilindričnih koordinata na kartezijeve koordinate mogu se postaviti na sljedeći način:

x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (9.4)

1. Sferni koordinatni sustav.

Za sferne koordinate položaj točke u prostoru označen je linearnom koordinatom ρ - udaljenost od točke do klipa Kartezijevog koordinatnog sustava (ili polova sfernog sustava), φ - polarni rub između pozitivnih pívvíssyu Ox i projekcija točke na ravninu Oxy, a θ - kutom između pozitivnog Oz i dvostrukog OP (slika 3). S kim

Dana formula za prijelaz sa sfernih koordinata na kartezijanske:

x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ. (9,5)

Jacobian i yogo geometrijski zmist.

Pogledajmo divlji trend zamjene promjena u podzemnoj željeznici. Dan je Nehai na Ohu ravnom području D, okružen linijom L. Pretpostavimo da su h í u ê jednovrijedne i neprekinute diferencirajuće funkcije novih promjenjivih u i v:

x = φ(u, v), y = ψ(u, v). (9.6)

Pogledajmo pravokutni koordinatni sustav Ouv, točku P(u, v) koja pokazuje P(x, y) iz područja D. Sve takve točke tvore područje D u blizini ravnine Ouv, Okružen sam linijom L?. Može se reći da formule (9.6) uspostavljaju korespondenciju jedan na jedan između točaka područja D i D. Za koje je pravce u = const

v = const na ravnini Ouv bit će slične linijama na ravnini Ohu.

U ravnini Ouv možemo vidjeti pravokutni majdan ΔS, omeđen ravnim linijama u = const, u + Δu = const, v = const í v + Δv = const. Íy vídpovidatimé krivolinijski maidanchik ΔS u blizini Ohu stana (Sl. 4). Područja analize Maidanchiksa bit će označena kao ΔS i ΔS. Za ciomu ΔS = Δu Δv. Poznajemo područje ΔS. Značajno, vrhovi krivocrtnog chotyrikutnika P1, P2, P3, P4 de

P1(x1, y1), x1 = φ(u, v), y1 = ψ(u, v);

P2(x2, y2), x2 = φ(u+Δu, v), y2 = ψ(u+Δu, v);

P3(x3, y3), x3 = φ(u+Δu, v+Δv), y3 = ψ(u+Δu, v+Δv);

P4(x4, y4), x4 = φ(u, v+Δv), y4 = ψ(u, v+Δv).

Zamjena malih zbílshennya Δu í Δv vídpovídmi diferencijala. Todi

S kojim se chotirikutnik P1 P2 P3 P4 može uzeti kao paralelogram i područje se može dodijeliti formuli za analitičku geometriju:

(9.7)

Termin 9.3. Varijanta se naziva funkcionalna varijanta ili Jacobian funkcija φ(x, y) i ψ(x, y).

Prelazeći na granicu s jednakošću (9.7), oduzimamo geometrijski Jakobov pomak:

pa je Jacobianov modul granica između područja beskonačno malih kvadrata S i S.

Poštovanje. Sličnim rangom može se označiti razumijevanje jakobijana i njegovog geometrijskog značenja za prostor n-svijeta: da je x1 = φ1(u1, u2,…,un), x2 = φ2(u1, u2,…,un) ,…, xn = φ(u1 , u2, ..., un), tada

(9.8)

Uz to, Jacobian modul daje granicu između "obsyagiv" malih područja prostora x1, x2, ..., xn i u1, u2, ..., un.

Zamjena promjena u višestrukim integralima.

Dolídzhuêmo zagalny vpadok zameni zmini z butt podvíynogo íntegral.

Neka je u području D dana kontinuirana funkcija z = f(x,y), ista vrijednost funkcije z = F(u, v) u području D, de

F(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v)). (9,9)

Pogledajmo integralni zbroj

Deintegralni zbroj s desne strane preuzet je preko područja D. Prelazak na granicu kada oduzmemo formulu za transformaciju koordinata u brišući integral.

Pokušajte s integralima. Izračunavanje obujma tijela.
Probni integral u cilindričnim koordinatama

Tri dana u dekanatu nebo je ležalo, na hlačama Pitagorine haljine,
U rukama Fikhtengoltsa ima svezak trimava, da je jogi bijele svjetlosti živ,
Za níg su vezali treći integral, i umotali leš u matricu,
A zamjenik molitve je kao nahabnik nakon čitanja Bernoullijevog teorema.

Izgubljene integracije su one kojih se više ne možete bojati =) Jer ako pročitate cijeli tekst, onda je bolje za sve što ste krivo shvatili teorija i praksa "superiornih" integrala, kao i ovisni integrali. I tamo, de podvíyny, u blizini i izgubljeno:

Doista, čega se ima bojati? Integral je manji, integral je veći.

Pogledajmo zapisnik:

- ikona trojstva integralna;
- Pidíntegralna funkcija trostruke promjene;
- Dobutok diferencijali.
- Područje integracije.

Posebno se ističe za integracija galerije. Yakscho in podcrtani integral pobijedio ravna figura, onda ovdje - prostrano tijelo , jaka, znaš na vrhu. U ovom rangu, zločin visceralno pogodio si kriv orijentirati se u glavne površine i ne zaboravite osvojiti najjednostavnije trivimir fotelje.

Dejakovcima je bilo neugodno, mudri…. Nažalost, članak se ne može nazvati "korisni integrali za lutke", a potrebno je nešto znati / zapamtiti. Ale, ništa strašno - sav materijal publikacija u najpristupačnijem obliku bit će savladan u najkraćem roku!

Što znači izračunati izgubljeni integral i što je za to potrebno?

Izračunajte izgubljeni integral - tse znači znajte KILO:

Na najjednostavniji način, ako, treći integral je brojčano napredniji u odnosu na tijelo. Í deisno, vídpovídno to integracija, tvir jedan beskrajno malen volumen elementarne "ceglinke" tijela. I treći integral je ujedinjen sav qi beskonačno male čestice po regijama, nakon čega izlazi integralna (ukupna) vrijednost volumena tijela: .

Osim toga, važan je i treći integral fizički programi. Ale o tse pízníshe - u 2. dijelu lekcije, posveta proračun dodatnih gubitaka integrala, za koju je funkcija varijable konstantna kao konstanta i neprekinuta je u sferi. U ovom članku možemo detaljno vidjeti značenje obveze, jer se moja subjektivna procjena promatra 6-7 puta češće.

Kako riješiti izgubljeni integral?

Vídpovíd je logično viplivaê iz prethodne točke. Potrebno je imenovati nalog zaobilaženja tijela idem u ponavljamo integrale. Nakon toga sukcesivno rješavati s tri pojedinačna integrala.

Yak bachite, cijela kuhinja je sve više i više nagaduê temeljni integrali, Od tíêyu vídminnístyu, scho u isto vrijeme smo dobili dodatkova rozmírníst (otprilike naizgled, visina). Ja, pojedinačno, mnogi od vas već su pogodili kako se krše gubici integrala.

Rezimirajmo što smo izgubili:

guza 1

Budite ljubazni, prepišite pečatom na papiru:

Í dajem savjet o sljedećem obroku. Chi zna Ti, koje su površine za izjednačavanje qi-ja? Chi zrozumíly you neformalni zmíst tsikh rivnyan? Chi yavlyaêêêêêêêêêêêV, yak í površina raztashovaní u prostoru?

Čim shilyatsya na vulgarno vídpovídí "više ní, nizh tako", onda obov'yazkovo opratsyut lekciju, inače nećete stići dalje!

Riješenje: vicorist formula

Kako bi schob z'yasuwati nalog zaobilaženja tijela idem u ponavljamo integrale potrebno je (sve je genijalno jednostavno) shvatiti što je to bilo. I sjajno je staviti fotelje na takvu ružu u bogatim vipadkama.

Iza uma, tijelo je okruženo kilkom površinama. Zašto započeti šik? Izgovaram sljedeću narudžbu diy:

Na klipu je zamislivo paralelni ortogonalni projekcija tijela na koordinatnu ravninu. Prvi put sam rekao, kako se zove projekcija, lol =)

Ako se dizajn treba izvesti u velikim razmjerima, onda u Pershu površine, yakí paralelno s osi tsíêí̈. Pretpostavljam kakve površine takve ne osvećujte se za slova "ze". Ispitivani menadžer ima tri:

- Rivnyannya postavlja koordinatno područje, kako proći kroz cjelinu;
- Rivnyannya postavlja koordinatno područje, kako proći kroz cjelinu;
- jednak zadatak ravan "ravna" ravna paralelno s osi.

Brzo za sve, shukana projekcija ê dolazeći trikutnik:

Moguće je da nisu svi imali preostalo razumijevanje kamo ići. Pokažite da sve izlazi iz zaslona monitora i zalijepi se točno u vaš prijenos ( tobto. izađi, diviš se 3. svjetskoj stolici zvijeri). Doslídzhuvane prostranstva tijela nalaze se u trokutnom "hodniku" bez kože i njegovoj projekciji na područje naimovírníshe ê zasjenjenog tricutnik.

Posebno poštujem ovo što smo se družili više isprika o projekciji i upozorenje "neishvidshe", "nayimovirnishe" bili su vipadkovy. Desno, utoliko što još nisu sve površine analizirane, a može se dogoditi da se i s njih “otkrije” dio trikutnika. Pitate kao početnik sfera sa središtem na klipu koordinata s radijusom manjim od jedan, na primjer, sfera – njezina projekcija na ravninu (stupac ) Neću ponavljati osjenčano područje "nakry", a projekcija tijela nazvat će se ne triko (kolo "zrízhe" youmu gostrí kuti).

S druge strane pozornice, to je z’yasovuêmo, čim je tijelo okruženo zvijeri, niže od dna i vikonuemo prostranstvo fotelje. Okrećemo se umu i čudimo se površini, kao da površine više nema. Niveliranje postavlja samu koordinatnu ravninu, a niveliranje - parabolični cilindar, ponovno kušanje iznad ravna i prolazi kroz cjelinu. U ovom rangu, projekcija tijela je diisno ê trikutnik.

Prije govora, pojavio se ovdje nadzemaljski pomislite - u novoj žarulji nije obov'yazkovo uključiti čak i ravnine, krhotine površine, koje strše izvan apscisne osi, i tako se tijelo zatvara. To znači da u ovom trenutku ne bismo mogli krstiti projekciju - tricutnik “iscrtan” tek nakon analize izjednačenja.

Točno je prikazan fragment paraboličnog cilindra:

Nakon vikonannya fotelja z zaobilazeći tijelo nema problema!

Na potiljku je značajan redoslijed kojim se prelazi projekcijom (uz pomoć najbolje ruke, vodite se dvosvjetskim foteljama). Tse stidljiv APSOLUTNO TAKO, yak i in donji integrali! Nagađanje laserski pokazivač to skeniranje ravnog područja. Odaberite "tradicionalnu" prvu premosnu metodu:

Dali uzima u ruke šarmantni upaljač, čudeći se trivimiru fotelje i strogo nizbrdo prosvijetliti bolesnika. Promjene ulaze u tijelo kroz površinu i izlaze iz njega kroz površinu. Ovim redoslijedom, redoslijed zaobilaženja tijela:

Prijeđimo na ponovljene integracije:

1) Započnite sljedeće od "Z" integrala. Koristimo Newton-Leibnizova formula:

Zamislite rezultat integrala "igame":

Što se dogodilo? Naime, rješenje se svelo na subintegral, a samo na formulu. volumen cilindrične grede! Više dobro znati:

2)

Poštujte racionalnu tehniku ​​rješavanja 3. integrala.

Vidpovid:

Izračun se može zapisati i "u jednom redu":


Ali ovako, budite oprezni - ako dobijete na swidkostu, prijetit ćete nečim drugim, a ako imate važnu zadnjicu, veće su šanse za pomilovanje.

Napomena o važnoj prehrani:

Zašto je potrebno raditi fotelju, tako da glava uma ne zahtijeva njihovo vikonannia?

Možete piti chotirmu sa stazama:

1) Nacrtajte projekciju istog tijela. Najbolja opcija je da je moguće vikonati dvije pristojne fotelje, ne jadikovati, opljačkati uvrijeđene fotelje. Preporučam nas dalje.

2) Nacrtajte više tijela. Prikladno, ako je tijelo nespretno, ta očita projekcija. Tako je, primjerice, na odabranoj zadnjici zapela trostruka fotelja. Međutim, ovdje postoji minus - prema 3D slici nije zgodno odrediti redoslijed zaobilaženja projekcije, a ovako sam sretan samo za ljude s dobrom razinom obuke.

3) Prikaži više projekcija. Tezh nije loše, ali o obov'yazkoví dodatkoví pisletoví komentari, nizh zamezhena regija iz raznih storín. Nažalost, treća opcija je često zbunjujuća – ako je prekasno, preveliko je da bi se nosilo s drugim poteškoćama. Í takí primijeniti mi so razglyademom.

4) Krećite se bez naslonjača. Potrebno je da svaka osoba izloži tijelo misli i pismeno komentira formu/format. Dobro je ići na one najjednostavnije tíl chi zavdan, de vikonannya i fotelja je važna. Ali svejedno, bolje je ako želite koristiti nedorečene male, krhotine rješenja "gola" mogu se odbaciti.

Dođi tijelo za samostalnu pomoć:

guza 2

Uz pomoć integrala gubitaka izračunajte volumen tijela okruženog površinama

Na ovom posebnom tipu područje integracije dano je važnije od nepravilnosti, a cijena je kraća - bez ikakvih nepravilnosti postavlja 1. oktant, uključujući koordinatne ravnine, i neravnine - napívspír, kako osvetiti kob koordinata (obrnuto)+ samo područje. "Okomita" ravnina je raširena paraboloidnom parabolom, a na fotelji bazhan potrebno je inducirati maslačak. Kome je potrebno znati dodatnu referentnu točku, jednostavnije rečeno, vrh parabole. (Možemo vidjeti značenje i rozrakhovuyemo vídpovídne "z").

Nastavimo razumjeti:

guza 3

Izračunajte uz pomoć integrala gubitaka volumen tijela okruženog označenim površinama. Vikonati fotelja.

Riješenje: formula "viconati of the fotelja" daje nam deak slobodu, ale, bolje za sve, prenoseći vikonanny prostranog naslonjača. Međutim, ni projekcija se ne može naviti, ovdje to nije najlakše.

Dotrimuëmosya vídpratsovanoí̈ ranije taktike površine, kao da je paralelan s osi aplikacije. Izjednačavanje takvih površina ne bi se trebalo osvećivati ​​jasnom promjenom "Z":

- Rivnyannya postavlja koordinatnu ravninu da prolazi kroz cjelinu ( jak na stanu je dodijeljen "istom imenu" jednako);
- jednak zadatak ravan, proći kroz "istu liniju" "ravna" ravna paralelno s osi.

Tijelo koje se šali okruženo je ravnim dnom i parabolični cilindar zvijer:

Sastavimo proceduru za zaobilaženje tijela, s kojom je “iksoví” i “igrokoví” između integracije, valjda, bolje pjevati iza dvosvjetskih fotelja:

Na ovaj način:

1)

Kada se integrira iza "iplayera" - "ix" se smatra konstantom, onda konstantu treba okriviti za predznak integrala.

3)

Vidpovid:

Dakle, ne zaboravljajući malo, zdebílshogo otmany rezultat malo (i navit shkídlivo) zvíryati s trivimirnym foteljama, oskolki z velikim ymovírnístyu vinikne iluzija obvezati, O yaku sam rozpov_shche na lekciji Obloga za volumen tijela. Dakle, procjenjujući tijelo gledanog vođe, imao sam posebnu sreću da u novom ima više od 4 "kockice".

Napadna kundak za nezavisnu viziju:

guza 4

Izračunajte uz pomoć integrala gubitaka volumen tijela okruženog označenim površinama. Rad fotelje ovog tijela i njegova projekcija na ravninu.

Zrazok osmišljen kao zadatak za nastavni sat.

Nije rijetkost, ako je postavljanje trivimir stolice teže:

guza 5

Uz pomoć integrala s gubicima, znati volumen tijela, zadan površinama koje ga okružuju.

Riješenje: projekcija je ovdje nespretna, ali o redoslijedu zaobilaženja morate razmisliti Kako odabrati 1. metodu, tada će se lik morati podijeliti na 2 dijela, što će neizbježno ugroziti izračun sumi dva Trojstveni integrali. Za nekoga s bogatijom perspektivom postoji drugi put. Može se vidjeti i vizualizirati projekcijom ovog tijela na fotelji:

Opet ću pitati za točnost takvih slika, vrtim ih izravno iz svojih rukopisa.

Biramo održiviju narudžbu za zaobilaženje figure:

Sada desno iza tijela. Odozdo je okružen ravnim područjem, od zvijeri - ravnim područjem, tako da prolazi kroz cijelu ordinatu. I sve bi bilo ništa, ali ostatak ravnice je prestrm i nije tako lako zaobići područje. Izbor je ovdje nezavidan: ili je robot za nakit u malom mjerilu (jer je bio tanak da bi ga učinili tankim), ili je fotelja visoka 20-ak centimetara (to i oni koji mogu stati).

Ale i treća, mirno ruska metoda rješavanja problema je zabijanje =) i stan na stranu, stan na dno i stan na zvijer.

"Vertikalna" interintegracija očito izgleda ovako:

Izračunajmo volumen tijela, ne zaboravljajući da smo projekciju zaobišli na manji prošireni način:

1)

Vidpovid:

Kao što se sjećate, predlaganje u zavdannya tijela nije skupo za sto dolara, često okruženo stanom ispod. Ali to nije pravilo, stoga morate biti spremni - možete provesti dan, de tilo roztashovani pid ravan. Tako, na primjer, ako gledate stan u odabranom zamístu, tada će tijelo biti simetrično predstavljeno u donjem prostoru i bit će okruženo stanom odozdo, a stanom do zvijeri!

Lako se prebaciti da biste vidjeli isti rezultat:

(Zapamtite da je potrebno obilaziti striktno nizbrdo!)

Osim toga, "zaljubljen" u stan može se pojaviti ispred ne na desnoj, najjednostavnijoj stražnjici: vreća, sakrivena više od stana - s izračunom jogijske obveze, ne morate gledati ispred.

Možemo vidjeti sve te poglede, ali za sada je zadatak za neovisnu viziju sličan:

guza 6

Uz pomoć integrala s gubicima, saznati o tijelu, okruženom površinama

Ukratko, rješenje je ilustrirati lekciju.

Prijeđimo na drugi odlomak s ne manje popularnim materijalima:

Probni integral u cilindričnim koordinatama

Cilindrične koordinate - ce, zapravo, polarne koordinate u svemiru.
U cilindričnom koordinatnom sustavu položaj točke u prostoru određen je polarnim koordinatama točke – projekcijom točke na ravninu i aplikacijom same točke.

Prijelaz s trivimernog kartezijanskog sustava na cilindrični koordinatni sustav provodi se prema sljedećim formulama:

Stotinu pedeset naših transformacija izgleda ovako:

Ja, očito, na jednostavan način, što se lako vidi u ovom članku:

Golovne, ne zaboravite na dodatni množitelj "er" i pravilno rasporedite polaritet između integracije pri zaobilaženju projekcije:

guza 7

Riješenje: dotrimuêmosya istog reda diy: gledamo unaprijed na jednako, u nekim danima se "Z" mijenja. Ovdje je samo jedan. projekcija cilindrična površina na području ê "istoimenog" boja .

Trgovi okružuju shukane tijelo s dna i zvijer ("visi" yoga s cilindra) i dizajnirani su u boji:

Na crnoj trivimir fotelji. Glavna poteškoća leži u površini, kao da je cilindar uvrnut ispod "košene" haube, nakon čega treba ići elips. Pojasnimo ovo prepisivanje analitički: za koje prepisujemo ravninu funkcionalnog pogleda i izračunavamo vrijednost funkcije ("visinu") u točkama koje tražimo, kao da leže na interprojekciji:

Izgleda da znaš točke na fotelji i to pažljivo (a ne tako, kao ja =)) zadnji redak:

Projekcija tijela na ravninu je duljina, a duljina argument za brzinu prijelaza u cilindrični koordinatni sustav:

Poznato nam je poravnanje površine na cilindričnim koordinatama:

Sada slijedite postupak za zaobilaženje tijela.

Pogledajmo stražnji dio glave iz projekcije. Kako odrediti redoslijed premosnice? Točno tako izračunavanje podintegrala u polarnim koordinatama. Ovdje je vino elementarno:

Očita je i "vertikalna" interintegracija - ulazi u tijelo kroz ravninu i izlazi iz njega kroz ravninu:

Prijeđimo na ponovljene integracije:

Za koji se množitelj "er" odmah stavlja u "vlastiti" integral.

Vinik yak zavzhd lakše se probija kroz grančice:

1)

Uzimamo rezultat napadačkog integrala:

I tu se ne zaboravlja da je fi važan kao konstanta. Ale tse do sata pjevanja:

Vidpovid:

Sličan zadatak za neovisnu viziju:

guzica 8

Izračunajte uz pomoć integrala gubitaka volumen tijela okruženog površinama. Vikonati naslonjač ovog tijela i njegova projekcija na trg.

Zrazok fine design like a lection.

Da budemo sigurni, da se u mislima o problemima iste riječi ne govori o prijelazu na cilindrični koordinatni sustav, a osoba se neće znati boriti s važnim integralima u Kartezijevim koordinatama. ... Ili možda neće biti - makar to bio treći, mirno ruski način rješavanja problema.

Samo počnite! ...u dobrom smislu: =)

guza 9

Uz pomoć integrala s gubicima, saznati o tijelu, okruženom površinama

Skromno i s guštom.

Riješenje: cijeli konačna površinaі eliptični paraboloid. Čitatelji, koji su s poštovanjem upoznati s materijalima članka Glavne površine prostora, već predstavljen, kao da gleda tijelo, ali u praksi presavijeni vipadi često zarobe, pa ću izvesti izvješće o analitičkom svijetu.

Poznate su nam linije na poleđini, kojima su tonirane površine. Gradimo i gradimo sljedeći sustav:

Od 1. jednakog, možemo se vidjeti u terminima:

Kao rezultat, oduzimaju se dva korijena:

Zamislite da znate značenje je li sustav jednak:
zvijezde vrište
Otzhe, korijen vídpovídaê jednu točku - klip koordinata. Prirodno - čak i vrhovi vrhova vrhova trče gore.

Sada zamislimo još jedan korijen - isti je li sustav jednak:

Što je geometrijska zamjena za rezultat? "Na visinama" (blizu ravnine) paraboloid i stožac su zatamnjeni duž cola- jedan radijus sa središtem u točki.

Kada "čaša" paraboloida sadrži "lijevak" stošca, smiriti završnu plohu treba prekrižiti isprekidanom linijom (iza trsa je pogled na nas iz daljine, gledano iz ovog kuta):

Projekcija tijela na ravninu boja sa središtem na klipu koordinata polumjera 1, što se nisam usudio prikazati kroz očitost ove činjenice (prote pismo komentar robimo!). Prije govora, na dvije prednje stolice na stolici, projekcije su se mogle pobijediti, yakby ne smeta.

Kod prelaska na cilindrične koordinate standardne formule mogu se napisati najjednostavnijim izgledom i zaobići projekciju svakodnevnih problema:

Poznato nam je poravnanje površine cilindričnog koordinatnog sustava:

Budući da problem gleda na gornji dio konusa, tada se može vidjeti:

„Scanuemo body“ odozdo uzbrdo. Promijenite svjetlo za ulazak prije novog prolaza eliptični paraboloid i izlaz kroz krajnju površinu. Ovim redoslijedom, "vertikalni" redoslijed zaobilaženja tijela:

Druga desna tehnika:

Vidpovid:

Nije rijetkost, ako se od tijela traži da ga ne okružuju površine, ali bez ikakvih nepravilnosti:

stražnjica 10

Geometrijski zmist prostranstvo nepravilnosti, navodno sam objasnio iz istog dokaznog članka. Glavne površine prostora.

Tse zavdannya želite i sakrijte parametar, ali dopustite točnu fotelju, koja nadahnjuje važan izgled tijela. Razmišljaj kao vikonati pobudova. Ukratko, rješenje je dokazati – poput lekcije.

... pa šta, jel papalina? Razmišljam o završetku lekcije, ali onda pogađam što želiš više =)

guza 11

Uz pomoć integrala s gubicima izračunajte obujam zadanog tijela:
, De - Pozitivniji broj.

Riješenje: neravnina postavite stupac sa središtem na klipu koordinata na radijus i neravnine - "Internost" kružnog valjka sa svom simetrijom radijusa. Tim redoslijedom tijelo, kao da šapće, okruženo je kružnim valjkom sa strane i sfernim segmentima simetričnim površini s gornje i donje strane.

Uzimajući za osnovnu jedinicu svijeta, uzimamo fotelju:

Točnije, yoga bi se trebala zvati mala beba, krhotine proporcija po osi neću biti ništa bolje. Prote, pravde radi, pameti radi, nije bilo potrebno ništa podizati, a takva se ilustracija činila sasvim dovoljnom.

Da pokažete poštovanje, da ovdje nije obov'yazkovo z'yasovuvati visinu, na takvom cilindru koji visi sa stražnje strane "šešira" - samo uzmite kompas u ruke i označite stupac sa središtem na klipu koordinata s polumjera 2 cm, tada će se točke prečke s valjkom pojaviti same od sebe .

1. Cilindrične koordinate su skup polarnih koordinata u ravnini xy i od značajnog Kartezijevog aplikatora z (slika 3).

Neka je M(x, y, z) dovoljna točka u prostoru xyz, P je projekcija točke M na ravninu xy. Točki M je jedinstveno dodijeljeno trojstvo brojeva - polarne koordinate točke P, z - aplikativ točke M. Formule koje ih nazivaju kartezijanskim mogu izgledati

Jacobian fermentacija (8)

guza 2.

Izračunaj integral

de T - površina okružena površinama

Riješenje. Integral prenosimo na sferne koordinate koristeći formule (9). Isto područje integracije može se postaviti s nepravilnostima

A to znači

guza 3 Znati volumen tijela, obrubljen:

x 2 + y 2 + z 2 \u003d 8,

Maemo: x 2 + y 2 + z 2 \u003d 8 - sfera polumjera R \u003d v8 sa središtem u točki O (000),

Gornji dio stošca z2 = x2 + y2 sa svom simetrijom Oz i vrhom u točki O (sl. 2.20).

Znamo liniju prečke sfere stošca:

Í krhotine za um z? 0, dakle

Kružnica R=2 koja leži u blizini ravnine z=2.

Tako je (2.28)

de područje u koje graniči zvijer

(dio sfere),

(Dio stošca);

područje U projicira se na područje Ohu područje D - radijus 2.

Također, za inkrementalni prijenos integrala na cilindrične koordinate, pobjedničke formule (2.36):

Između promjena, r je značajan prema udaljenosti D v izvan stupca R=2 sa središtem u točki O, na isti način: 0?c?2p, 0?r?2. Na taj je način područje U u cilindričnim koordinatama označeno napredujućim nepravilnostima:

Mi to poštujemo

Zavantage iz Depositfilesa

Potencijalni integral.

Kontrolirajte hranu.

Dosljedni integral, joga moći.

Zamjena promjena u trećem integralu. Izračun integrala s gubicima u cilindričnim koordinatama.

Izračun integrala s gubicima u sfernim koordinatama.

Ajde funkcija u= f(x,y,z) dodijeljen zatvorenom području V prostor R 3 . Rozib'ëmo regija V pristojan rang na n elementarna zatvorena područja V 1 , … ,V n, scho V 1 , …,  V n očito. Značajno d- najveći od promjera regija V 1 , … ,V n. Na području kože V k odaberite dobru točku P k (x k ,y k ,z k) i skladištenje integralni zbroj funkcije f(x, g,z)

S =

Ugovoreni sastanak.Probni integral vrsta funkcije f(x, g,z) po regiji V koji se naziva interintegralni zbroj
yakscho vin isnuê.

na takav način,

(1)

Poštovanje. Integralni zbroj S depozit na način razbijanja regije V odaberite točku P k (k=1, …, n). Međutim, ako postoji granica, onda ona neće biti na putu razbijanja regije V odaberite točku P k. Ako usporedite oznaku podvarijante i inkrementalnih integrala, lako je koristiti istu analogiju u njima.

Dovoljno obrazloženje za integral s gubicima. Probni integral (13) koristi se kao funkcija f(x, g,z) je uokviren V ja sam neprekinut unutra V, iza krune konačnog broja kvrgavo-glatkih površina, truli na V.

Činovi moći integrala keramike.

1) Yakscho Z- Numerička konstanta, dakle

3) Aditivnost prema regiji. regija Yakscho V podijeljen na regije V 1 і V 2, dakle

4) Fit tijelo V dorivnyuê

(2 )

Izračun integrala s gubicima u Kartezijevim koordinatama.

dođi D projekcija tijela V na ravnom xOy, površina z=φ 1 (x,g),z=φ 2 (x, g) okružuju tijelo V ispod te zvijeri jasno je. Tse znači što

V = {(x, g, z): (x, g)D , φ 1 (x,g)≤ z ≤ φ 2 (x,g)}.

Takvo tijelo se zove z- Cilindrični. Probni integral (1) z- cilindrično tijelo V izračunato prijelazom na ponovljeni integral, koji se zbraja iz zglobnog tipa integrala:

(3 )

U ovom ponovljenom integralu okosnice izračunava se interni integral promjene z, na kojem x, g vvazhayutsya neizbježan. Ajmo računati donji integral prikaz odabrane funkcije po regijama D.

Yakscho V x- cilindrični ili y- cilindrično tijelo, a zatim ispravite na formulu

Za prvu formulu D  projekcija tijela V na koordinatnu ravninu yOz, au drugom - u avionu xOz

primijeniti. 1) Izračunajte ukupno tijelo V, okružena površinama z = 0, x 2 + g 2 = 4, z = x 2 + g 2 .

Riješenje. Računajmo uz pomoć integrala gubitaka iza formule (2)

Prijeđimo na ponovljeni integral nakon formule (3).

dođi D- boja x 2 +y 2 ≤ 4, φ 1 (x , g ) = 0, φ 2 (x , g )= x 2 +y 2. Uzima se Todi prema formuli (3).

Da bismo izračunali ovaj integral, prelazimo na polarne koordinate. Kad tsimu kolo D pretvoriti u bezličnu

D r = { (r , φ ) : 0 ≤ φ < 2 π , 0 ≤ r ≤ 2} .

2) Tilo V okružena površinama z=y , z=-y , x= 0 , x= 2, y= 1. Izračunaj

Trgovi z=y , z=-y da obuhvati tijelo odozdo i do zvijeri, stan x= 0 , x= 2 okružuju tijelo straga i sprijeda, a stan y= 1 desna ruka V-z- cilindrično tijelo, joga projekcija D na ravnom hejê pravokutnik OABC. Spustimo to φ 1 (x , g ) = -y

Prerada vertikalnog integrala u obliku pravokutnih koordinata na polarne koordinate
, povezan pravokutnim koordinatama
,
, slijedite formulu

Što je područje integracije
okružena dvjema mjenjačnicama
,
(
), koji izlaze iz polova, ona su dva kriva
і
, tada se temeljni integral izračunava pomoću formule

.

kundak 1.3. Izračunajte površinu figure okružene ovim linijama:
,
,
,
.

Riješenje. Za izračunavanje površine regije
ubrzano formulom:
.

Zamislivo područje (Slika 1.5). Za koga pretvaramo krivulje: , , , . Prijeđimo na polarne koordinate: , . . U polarnom koordinatnom sustavu područje opisati jednakostima:

.

1.2. Potencijalni integrali

Glavne potencije trećih integrala analogne su potencijama donjih integrala.

U kartezijevim koordinatama, treći integral treba napisati na sljedeći način:

.

Yakscho
, zatim treći integral nad regijom brojčano veći volumen tijela :

.

Izračun integrala s gubicima

Neka područje integracije okružen je odozdo i do zvijeri jasno nedvosmislenim neprekinutim površinama
,
, štoviše, projekcija područja na koordinatnu ravninu
ê ravno područje
(Slika 1.6).

Isto s fiksnim vrijednostima važeće prijave točka područja promjena na granicama. Todi otrimuemo: . Štoviše, projekcija označavaju nepravilnosti , , de - nedvosmislen neprekidne funkcije na , onda

.

kundak 1.4. Izračunati
, de - čvrsta, okružena stanovima:

	, , , ( , , ). Riješenje. Područje integracije je piramida (slika 1.7). Projekcija površine ê trikutnik , ravnim linijama , , (Slika 1.8). Na Aplicirana točka zadovoljiti nervozu za to .
	Uređenje interintegracije za trikutnik , poduzete

Probni integral u cilindričnim koordinatama

Pri prelasku na kartezijeve koordinate
na cilindrične koordinate
(Sl. 1.9), pov'yazanih z
spívvídneshennya
,
,
, štoviše

	, ,, treći integral se pretvara u: stražnjica 1.5. Izračunaj obujam tijela okruženog plohama: , , . Riješenje. Volumen tijela, što da se šalim dorivnyuê .
	Područja integracije dio su cilindra, okružena ravnim dnom. , ali zvijer je ravna (Slika 1.10). Projekcija površine ê kolo sa središtem na klipu koordinata i s jednim radijusom. Prijeđimo na cilindrične koordinate. , , . Na Aplicirana točka , utažuje nervozu ili u cilindričnim koordinatama:

Regija
, okružen krivuljom
, veselimo se vidjeti, inače
at tsimu polar kut
. svibanj rezultati

.

2. Elementi teorije polja

Pogodimo unaprijed kako izračunati krivocrtne i površinske integrale.

Izračun krivuljnog integrala po koordinatama funkcija pridruženih krivuljama , svesti na izračun prvog integrala u obliku

kako krivo dati parametarski
pokazujući klip krivulje , a
- Njena krajnja točka.

Izračunavanje površinskog integrala kao funkcije
, označeno na dvostranoj površini , dodati do izračuna podcijenjenog integrala, na primjer, um

,

poput površine , dodijeljen jednakima
, jedinstveno projiciran na ravninu
u regiju
. Ovdje - presjek između jednog normalnog vektora na površinu i sve
:

.

Potrošeno umovima glave strane površine određena je izborom predznaka formule (2.3).

Imenovanje 2.1. vektorsko polje
naziva se vektorska funkcija točke
odjednom iz područja koje joj je dodijeljeno:

vektorsko polje
karakterizira skalarna vrijednost - divergencija:

Imenovanje 2.2. teći vektorsko polje
kroz površinu naziva se površinski integral:

,

de - jedan vektor normale na odabranu stranu površine , a
- skalarni doboot vektor_v і .

Imenovanje 2.3. Cirkulacija vektorsko polje

na zatvorena krivulja naziva se krivolinijski integral

,

de
.

Ostrogradsky-Gauss formula postaviti vezu između protoka vektorskog polja kroz zatvorenu površinu i divergencija polja:

de - Iznad, okružen zatvorenom petljom , a - Jednostruki vektor normale na površinu. Izravno normalno, može biti koristi od izravnog premošćavanja konture .

kundak 2.1. Izračunajte površinski integral

,

de - Zovnishnya dio stošca
(
), koji se vidi iz aviona
(Slika 2.1).

Riješenje. na vrhu jedinstveno dizajniran u tom području
stanovi
, a integral se izračunava prema formuli (2.2).

Jedan vektor normale na površinu iz formule (2.3) znamo: . Ovdje je za normalu odabran znak plus, krhotine su izrezane u zraku to normalno - glupo ja, otzhe, može biti negativan. Vrakhovuyuchi sho , na površini prihvatljiv

Regija
ê kolo
. Stoga u preostalom integralu prelazimo na polarne koordinate, za koje
,
:

stražnjica 2.2. Pronađite divergenciju i zakrivljenost vektorskog polja
.

Riješenje. Za formulu (2.4) uzimamo

Rotor vektorskog polja poznat je iz formule (2.5)

stražnjica 2.3. Znati vrijednost vektorskog polja
kroz dio područja :
, roztashovanu na prvi oktanti
).

	Riješenje. Snaga formule (2.6) . Mi predstavljamo dio područja : , raztashovanu na prvom oktantu. Poravnanje zadanog područja na vjetrobranima može izgledati (Slika 2.3). Vektor normale na ravninu može koordinirati: , jedan normalni vektor
	. . , , zvijezde , otzhe,

de
- projekcija površine na
(Slika 2.4).

Primjer 2.4. Izračunajte tok vektorskog polja kroz zatvorenu plohu , naseljeno stan
taj dio stošca
(
) (Slika 2.2).

Riješenje. Ubrzano Ostrogradsky-Gaussovom formulom (2.8)

.

Znamo divergenciju vektorskog polja formula (2.4):

de
- obsyag konus, yakim provodi ítegruvannya. Ubrzajte s domaćom formulom za izračun volumena stošca
(- radijus baze konusa, - Yogo visina). Za naš um, možemo uzeti
. Ostatak

.

stražnjica 2.5. Izračunajte cirkulaciju vektorskog polja
duž konture , odozgo prekriven peratinom
і
(
). Potvrdite rezultat Stokesovom formulom.

Riješenje. Peretina označenih površina ê colo
,
(Slika 2.1). Izravno zaobilazeći vibraciju, zvuk onih koji su okruženi njime, područje je ostalo sa zlom. Zapišimo parametarsko poravnanje konture :

zvijezde

štoviše, parametar promijeniti se prije
. Iza formule (2.7) iz jednadžbi (2.1) i (2.10) uzimamo

.

Navedimo sada Stokesovu formulu (2.9). Površina jaka , rastegnut na konturi , možete uzeti dio područja
. Izravno normalno
to tsíêí̈ surfy zgodzhuêtsya z izravnim krugom obilaznice . Rotor th vektorskog polja izračuna u aplikaciji 2.2:
. Dakle, šukana cirkulacija

de
- područje regije
.
- blizu radijusa
, zvijezde