Prstenaste i vektorske prostorne matrice. Linearni vektorski prostor: imenovanje, autoritet. Prostor linije vektora

Predavanje 6. Vektorski prostor.

Osnovna prehrana.

1. Vektorski linearni prostor.

2. Osnova je širenje prostora.

3. Orijentacija u prostoru.

4. Raspoređivanje vektora iza baze.

5. Vektorske koordinate.

1. Vektorski linearni prostor.

Anonimnost, koja se sastoji od elemenata bilo koje prirode, u kojoj su naznačene linearne operacije: zbrajanje dva elementa, množenje elementa brojem nazivaju se otvoreni prostori, I njihovi elementi - vektori th prostor í dodjeljuju se kao í, jak í vektorske veličine u geometriji: . Vektori takva se apstraktna prostranstva u pravilu ne mogu zamisliti s najvećim geometrijskim vektorima. Elementi apstraktnih prostora mogu biti funkcije, sustav brojeva, matrice i sl., au krajnjem slučaju i varijabilni vektori. Zato je uobičajeno imenovati vektorski otvoreni prostori .

vektorski prostor, na primjer, bezbroj nonarnih vektora koji su naznačeni V1 , bez koplanarnih vektora V2 , bezlični vektor velik (stvarni prostor) V3 .

Za ovu posebnu vipadku, moguće je dati odskočnu dasku do vektorskog prostranstva.

Imenovanje 1. Anonimni vektor se zove vektorski prostor, Kao linearna kombinacija, bilo da ima vektora u množitelju, to je također vektor tog množitelja. Sami vektori se nazivaju elementi vektorski prostor.

Ono je važnije i u teoretskoj i u primijenjenoj perspektivi i u apstraktnijem (apstraktnijem) razumijevanju vektorskog prostora.

Imenovanje 2. Bezlich R elemenata, u kojem se za bilo koja dva elementa i zbroj dodjeljuje i za bilo koji element se poziva width="68". vektor(ili linearni) otvoreni prostor, poput elemenata - vektora, poput operacije zbrajanja vektora i množenja vektora s brojem kako bi se zadovoljili nadolazeći umovi ( aksiomi) :

1) zbrajanje je komutativno, pa je gif width = "184" height = "25";

3) upotrijebite takav element (nulti vektor), koji za bilo što https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45". 99" height="27">;

5) za bilo koji broj vektora, takav broj λ može biti jednak;

6) za koje god vektore i za koje god brojeve λ і µ poštenje https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" λ і µ pravedan ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" .

Od aksioma koji označavaju vektorski prostor, uzviknite najjednostavniji dokaz :

1. Vektorski prostor ima više od jedne nule - element je nulti vektor.

2. Vektorski prostor ima jedan vektor.

3. Do elementa kože vykonuetsya staloženost.

4. Za bilo koji broj dana λ i nultog vektora.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> naziva se vektor koji zadovoljava jednakost https://pandia.ru/ tekst/ 80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Otzhe, fiyno i bezlični svih geometrijskih vektora u ê linearnom (vektorskom) prostoru, tako da za elemente čiji je množitelj dodijeljen zbrajanju i množenju brojem, koji zadovoljava formulaciju aksioma.

2. Osnova je širenje prostora.

Ístotnimi koncepti vektorskog prostora ê razumijevanje osnove i rozmírníst.

Ugovoreni sastanak. Zbirka linearno nezavisnih vektora preuzetih iz singl reda osnova kakav prostor. Vektor. Skladišna osnova za prostor, zv osnova .

Osnova bezličnih vektora, raširenih na donjoj ravnoj liniji, možete koristiti jedan kolinearni ravni vektor .

Osnova na avionu Imenujmo dva nekolinearna vektora na ovoj ravnini, uzeta istim redoslijedom.

Ako su bazni vektori u paru okomiti (ortogonalni), tada se baza naziva ortogonalni, a ako q vektora može biti dvostruko, jednako jedan, tada se zove baza ortonormalan .

Najveći broj linearno neovisni vektori nazivaju se u prostoru mir taj prostor, tj. širenje prostora raste s brojem osnovnih vektora u tom prostoru.

Otzhe, očito hvaljen dagi:

1. Jednosvjetski prostor V1 je ravna linija, a osnova je formirana od jedan kolinearni vektor https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39".

3. Veliko prostranstvo s trivijalnim prostranstvom V3 , čija je osnova nastala od tri nekomplanarna vektor_v.

Čini mi se da broj baznih vektora na pravoj liniji, na ravnini, u realnom prostoru varira s onim, što se u geometriji obično naziva brojem pravca, ravnine, prostora. Prirodno je da to dovede do očiglednijeg kažnjavanja.

Ugovoreni sastanak. Vektorski prostor R nazvao n- mirno, kao u novom svijetu više nema n linearno neovisni vektori i dodijeljeni su R n. Broj n nazvao mir prostor.

Vídpovídno do rozmírností otvoreni prostor podílyayutsya kíntsevíі neograničen. Otvorenost nulte površine izvan termina smatra se jednakom nuli.

poštovanje 1. U prostoru kože možete odrediti koliko je baza potrebno, ali sve baze ovog prostora se zbrajaju iz istog broja vektora.

Napomena 2. Na n- mirnom vektorskom prostoru, baza se naziva bez obzira na to postoji li uređeni poredak n linearno neovisni vektori.

3. Orijentacija u prostoru.

Za da bi se prostor orijentirao, potrebno je postaviti određenu osnovu i pozitivno je izraziti .

Može se pokazati da su bezlične osnove prostora podijeljene u dvije klase, da su podijeljene u dva podvišestruka, da se ne preklapaju.

a) sve baze koje pripadaju jednom višekratniku (klasi) mogu međutim orijentacija (na temelju istog izbornika);

b) bilo koje dvije baze koje leže život p_dmnozhin (klase), mayut protilezhnu orijentacija, ( drugačiji osnova).

Ako je jedna od dvije klase baza pozitivna, a druga negativna, tada se čini da je ekspanzija orijentiran .

Često se pri orijentiranju prema prostoru naziva jedna osnova vladati, i ostali - livimi .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> ime Pravilo, Međutim, kada je treći vektor čuvan, najkraći zavoj prvog vektora je protugodišnja strelica(Slika 1.8, a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Riža. 1.8. Desna baza (a) ta lijeva baza (b)

Zvonite s pozitivnom osnovom

Desna (livija) osnova može se dodijeliti prostoru, a za dodatno pravilo “desne” (“lijeve”) vijčane ili uvijene.

Po analogiji s cim uvodi se pojam desnice i ljevice trojke nekomunalne vektore, koji su zbog sređivanja (sl. 1.8).

Na taj način, u divljem trendu, dvije uređene trojke neplaniranih vektora mogu imati istu orijentaciju (istu) u prostoru V3 ako je smrad uvrede desni, ili ako je uvredljiv, lijevi je, a suprotno usmjerenje (različito), ako je jedno od njih desno, a drugo lijevo.

Slično da stane i ima prostora V2 (Kvadrati).

4. Raspoređivanje vektora iza baze.

Radi jednostavnosti, zrcaljenje se može vidjeti na primjeru trivimir vektorskog prostora R3 .

Hajde - dovílny vektor tsgo prostor.

VEKTORSKI PROSTOR (linearni prostor), jedno od temeljnih shvaćanja algebre, koje olakšava razumijevanje ukupnosti (slobodnih) vektora. U vektorskom prostoru vektori se razmatraju jesu li objekti, mogu li se zbrajati i množiti brojevima; ako je potrebno, tako da glavne snage algebarskih operacija budu iste kao i za vektore u elementarnoj geometriji. Na točno određenom broju zamjenjuju se elementima polja K. Vektorski prostor nad poljem K naziva se bezličnim V s operacijom zbrajanja elemenata iz V i operacijom množenja elemenata iz V elementima iz polja K , što može dovesti do dolaska na vlast:

x + y \u003d y + x je li x, y z V, tako da se V može saviti u Abelovu grupu;

λ(x + y) = λ χ + λy za bilo koje λ z K í x, y z V;

(λ + μ)h = λh + μh za bilo koje λ, μ z K í x z V;

(λ μ)h = λ(μh) za bilo koje λ, μ z K i x z V;

1x \u003d x za bilo koji x iz V, ovdje 1 znači jedinstvo polja K.

Uporišta vektorskog prostora ê: množitelji L 1 L 2 í L 3 svih vektora u elementarnoj geometriji, prividno na ravnoj liniji, ravnine í u prostoru s izvanrednim operacijama preklapanja vektora i množenja brojem; koordinatni vektorski prostor K n , čiji su elementi ê svi redovi (vektori) n s elementima iz polja K, a operacije su dane formulama

bezlični F(M, K) svih funkcija dodijeljenih fiksnom množitelju M i uzimaju vrijednosti u polju To, s najznačajnijim operacijama na funkcijama:

Elementi vektorskog prostora e 1 ..., e n nazivaju se linearno nezavisnima, zbog jednakosti λ 1 e 1 + ... n = 0 Ê K. U suprotnom smjeru elementi e 1 , e 2 , ·· ·> e n nazivaju se linearno ugar. Ako vektorski prostor V ima n + 1 element e 1 ,..., e n+1 linearno neodređenih i n linearno neovisnih elemenata, tada se V naziva n-svjetski vektorski prostor, a n je dimenzija vektorskog prostora V Baš kao vektorski prostor V za bilo kojih prirodnih n postojećih n linearno neovisnih vektora, tada se V naziva beskonačnim vektorskim prostorom. Na primjer, vektorski prostor L 1 , L 2 , L 3 í K n na isti način 1-, 2-, 3- i n-mírní; ako je M bezličan, tada vektorski prostor F(M, K) nije ograničen.

Vektorski prostor V i U nad poljem K nazivamo izomorfnim, tako da je φ : V -> U međusobno jedinstven, tako da je φ(x+y) = φ(x) + φ(y) za bilo x, y z V i φ (λx) = λ φ(x) za bilo koje λ z K i x z V. Izomorfni vektorski prostori su algebarski nerazlučivi. Klasifikacija konačnih vektorskih prostora do izomorfizma daje se njihovoj raznolikosti: postoji li n-dimenzionalni vektorski prostor nad poljem Do je izomorfan koordinatnom vektorskom prostoru Do n . Divite se istom prostranstvu Hilbertove, Linearne algebre.

Neka je R - polje. Elementi a, b, ... n R imenovat ćemo skalari.

Imenovanje 1. razreda V objekti (elementi) , , , ... dovoljne prirode nazivaju se vektorski prostor nad poljem R, a elementi klase V nazivaju se vektori iako je V zatvoren, ali operacija “+” je operacija množenja skalarima iz P (to jest, za bilo koji , nV + n V; "aÎ R aÎV), i vykonuyutsya tako um:

A 1: Algebra - Abelova grupa;

A 2: za to je li a, bÎR, za to je li ÎV, a(b)=(ab)-relevantan asocijativni zakon;

A 3: za bilo koji a, bÎP, za bilo koji ÎV, vikonuetsya (a+b)= a+ b;

A 4: za bilo koji a z P, za bilo koji s V, pobjeđujemo a(+)=a+a(povećani distributivni zakoni);

A 5: je li V pobjednik ili ne 1 = , de 1 - jedinstvo polja P - snaga unitarnosti.

Elementi polja P nazivaju se skalari, a elementi množitelja V vektori.

Poštovanje. Množenje vektora skalarom nije binarna operacija na množitelju V, ali je skaliranje PV®V.

Pogledajmo vektorske prostore.

primjer 1. Zero (zero-world) vektorsko prostranstvo - prostranstvo V 0 =() - koje je sastavljeno od jednog nultog vektora.

Za bilo koji aOR a=. Razmotrimo ponovno valjanost aksioma vektorskog prostora.

S poštovanjem, nul-dimenzionalni prostor nad poljem R. Dakle, nul-dimenzionalni prostor nad poljem racionalni brojevi ja iznad polja brojevi dana vvazhayutsya raznimi, hoch zbrajati iz jednog nultog vektora.

guza 2. Polje P je samo vektorski prostor nad poljem P. Neka je V=P. Razmotrimo ponovno valjanost aksioma vektorskog prostora. Budući da je P polje, tada je P aditivna grupa i A1 pobjeđuje. Osvrćući se na zdíysnenností u R asociativností mnozhennja vykonuêtsya A 2 . Aksiomi A 3 i A 4 pobjeđuju zbog činjenice da je R distributivan i slobodno se množi. Krhotine u polju R su jedan element 1, snaga unitarnosti A 5 . U ovom poretku, polje P je vektorski prostor nad poljem P.

primjer 3. Aritmetički n-dimenzionalni vektorski prostor.

Neka je R - polje. Prilično bezličan V = P n = ((a 1, a 2, …, a n) ½ a i P, i = 1, ..., n). Uvedimo na multiplikatoru V operaciju zbrajanja vektora i množenja vektora skalarom prema sljedećim pravilima:

"= (a 1 , a 2 , … , a n), = (b 1 , b 2 , … , b n) O V, "aO P += (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n + bn) (1)

a=(aa 1 , aa 2 , … , aa n) (2)

Elementi i umnošci V nazivaju se vektori n-svijeta. Dva vektora n-svijeta nazivamo jednakima, jer su im dvodimenzionalne komponente (koordinate) jednake. Može se pokazati da je V vektorski prostor nad poljem P. Budući da je operacija presavijanja vektora u i množenja vektora skalarom poznata, V je zatvoreni izbor ovih operacija. Kako se zbrajanje elemenata iz V svodi na zbrajanje elemenata polja P, a P je aditivna Abelova grupa, onda je í V aditivna Abelova grupa. Štoviše, = , de 0 je nula polja R, -= (-a 1, -a 2, ..., -a n). U ovom rangu pobjeđuje A1. Skaliranja množenja elementa V elementom P svode se na množenje elemenata polja P, tada:

A 2 pobjeđuje zbog asocijativnosti množitelja na P;

A 3 i A 4 su spojeni distributivnim množenjem kako se savija na P;

A 5 pobjeđuje, jer je 1 P neutralni element koji se može pomnožiti s R.

Imenovanje 2. Bezlični V = P n s operacijama definiranim formulama (1) i (2) naziva se aritmetički n-dimenzionalni vektorski prostor nad poljem R.

Pogledajmo slijed koji čine elementi radnje jednostavno polje GF(q) (a^, a......a p). Takav se niz naziva l-po

dosljednost preko polja GF)