Algebarsko širenje polja. Oprostite širenje zalijevanja. Proširenje skladišta algebarskih polja

proširenje algebarskog polja- — Tema za zaštitu informacija EN polje proširenja … Dovídnik tehnički prijevod

Polje E, kojem je polje K dano kao potpolje. Proširenje tipa Proširenje proširenja algebre, svi elementi takvog ê algebarski nad K, to jest, takav element takvog ê korijen je bogatog člana f (x) c ... Wikipedia

Algebarsko proširenje polja EÉ K, koje je normalno i separabilno. Za tsikh umove E će predstavljati najveći broj automorfizama nad K (kako je E jedinstven, tada je broj automorfizama također značajan i napredniji stupanj širenja).

Nap_vugroup A nap_vgroup S, scho osveta Av yak p_demigroup. Zvuk o proširenju imena grupe A, povezujući Atem s drugim umovima. Najnaprednija teorija idealnog R. nap_vgroup (nap_vgroup, što osvetiti Av yak ......) Matematička enciklopedija

Jednako um de bogati pojam n-te faze u obliku jedne ili više promjena. A. u. s jednim nepoznatim zvukom. jednak umu: Nema broja, zvuka. koeficijenti su jednaki i ê danimi, hnaz. nevidomim i ê… Matematička enciklopedija

Polja k algebarska. proširenje polja k, koje je zatvoreno algebarsko polje. Takvo proširenje za bilo koje polje je jedinstveno dodijeljeno do izomorfizma. A. h. polja brojevi danaê polje kompleksni brojevi(Div. …… Matematička enciklopedija

Normalno prošireno algebarsko proširenje polja EÉ K za bilo koji nesvodljivi bogati član f(x) nad K, koji može imati jedan korijen E, može se rastaviti u E na linearne množitelje. Jednako imenovan: Yakscho KÌ EÌ K *, de K * ... ... Wikipedia

Separabilno proširenje algebarskog proširenja polja koje je sastavljeno od separabilnih elemenata, tako da su takvi elementi α, je minimalni anulator f(x) nad K za koji ne postoje višestruki korijeni. Pokhídna f (x) može buti za vishchevkazanim ... ... Wikipedia

Širenje polja, tako da E, je super, preko K jaka vektorski prostor. Proširenje vektorskog prostora E preko K naziva se stupanj proširenja i označava se. Snaga posljednjih proširenja U ... ... Wikipediji

Polja su algebarsko proširenje L polja K, koje zadovoljava jedan od naprednih ekvivalentnih umova: 1) je li polje L ugrađeno u algebarsko polje. zatvaranje polja ê automorfizmom polja L; 2) L polje rasporeda zadane obitelji polinoma s ... ... Matematička enciklopedija

Algebarsko širenje polja

uvod

Pedagoška sveučilišta pokrenula su program jedinstvenog kolegija iz algebre i teorije brojeva. Glava metakolegija je razvoj osnovnih sustava algebre i razvoj algebarske kulture koja je neophodna budućem učitelju za dublje razumijevanje ciljeva i zadaće glavnog školskog kolegija matematike, kao i školski izborni predmeti.

Smatramo da su najznačajniji uvod u školski kurikulum elementi suvremene apstraktne algebre.

Proces algebraizacije matematike, koji je nastao u dvadesetom stoljeću, ne prihvaća se, već se forsira da se u školskom matematičkom obrazovanju pokušaju razumjeti osnove algebre.

Matematička dubina i izvanredno široka sfera gustoće polja kombinirat će se s jednostavnošću osnovnih odredbi - za razumijevanje polja može se formulirati i iznijeti na vidjelo čitav niz važnih teorema koji se često pojavljuju u svemiru teorije višestrukosti. Stoga je teorija polja prikladnija da se školarcima pruži uvid u modernu matematiku.

Osim toga, razvoj elemenata u teoriji polja poznat je školarcima, ubrzavajući njihov intelektualni rast, koji se očituje u razvoju obogaćenih različitih strana njihovog uma, kvaliteta i karakteristika, kao i razvoju znanstvenika. , znanost i matematika.

1. Jednostavno proširenje algebre polja.

1.1.Jednostavno proširite polje.

Neka je P[x] prsten polinoma poput x nad poljem P, gdje su P podpolja polja F. Pretpostavimo da se element a polja F naziva algebarskim nad poljem P, jer je a korijen iz takav polinom pozitivnog koraka P[x].

Ugovoreni sastanak. Neka P< F и a0F. Простым расширением поля P с помощью элемента a называется наименьшее подполе поля F, содержащее множество Р и элемент a. Простое расширение P с помощью a обозначается через P (a), основное множество поля P (a) обозначается через Р(a).

Neka su a0F, P [x] - prsten polinoma od x i

P[x]=(f(a)*f0P[x]),

pa je P [a] bezličan od svih u obliku a 0 + a 1 a + ... + a n a n de a 0 , a 1, ... a n 0P i n - biti prirodan broj.

Lako je vidjeti da je algebra +P[a], +, -, ., 1, potpolje polja P(a) - potpolje; cijeli prsten je označen simbolom P[a].

Teorem 1.1. Neka P [x] - prsten polinoma od x preko P i P (a) - jednostavno proširenje polja P. Neka y - proširi P [x] na P [a] tako da je y (f) = f ( a) za be -th f íz P[x]. Todi:

(a) za bilo koji a z P y (a) = a;

(c) y je homomorfizam prstena P[x] na prstenu P[a];

(d) Ker y = (f0P[x] * f(a) = 0);

(e) faktor-krug P[x]/Ker y izomorfan prstenu P[a].

Dovođenje. Tvrdnje (a) i (b) skviče bez posrednika od imenovanja y. Uvođenjem y spremaju se glavne operacije prstena P[x], tako da za bilo koji f í g z P[x]

y(f + g)=f(a)+g(a), y(fg)= f(a)g(a), y(1)=1.

Čvrstoća (d) izbija bez traga iz y.

Ako je prsten y homomorfizam prstena P[x] na P[a], tada je faktor-prsten P[x]/Ker y izomorfan prstenu P[a].

Zadnji 1.2. Neka je a transcendentalni element nad poljem P. Ako je polinomski prsten P[x] izomorfan prstenu P[a].

Dovođenje. Gledajući unatrag na transcendenciju preko P Kery=(0). Na to P[x]/(0) - P[a]. Osim toga, faktor prstena P[x] iza nultog ideala je izomorfan P[x]. Također, P[x] - P[a].

1.2.Minimalni polinom algebarskog elementa.

Neka je P[x] prsten polinoma nad poljem P.

Ugovoreni sastanak. Neka je a algebarski element nad poljem P. Minimalni polinom elementa a nad P je polinom vrednovanja od P [x] najmanjeg stupnja, čiji je korijen ê a. Korak minimalnog polinoma naziva se korak elementa a nad P.

Lako je dokučiti da za svaki element a, koji je algebarski nad P, postoji minimalni polinom.

Propozicija 1.3. Ako je a element algebre nad poljem P, a g i j su minimalni polinom nad P, tada je g = j.

Dovođenje. Koraci minimalnih polinoma g i j su izostavljeni. Ako je g ¹ j, tada će element a (korak n preko P) biti korijen polinoma g - j, čiji je korak manji od koraka polinoma j (manji od n), što je nemoguće. Kasnije, g = j.

Teorem 1.4. Neka je a element algebre stupnja n nad poljem P (aóP) i g je minimalni polinom nad P. Tada:

(a) polinom g nije induciran u krugu P [x];

(b) pa je f (a) = 0, gdje je f 0 P[x], g dijele f;

(c) faktor-krug P[x]/(g) izomorfan krugu P[a];

(d) P [x]/(g) je polje;

(e) prsten P [a] je usklađen s poljem P (a).

Dovođenje. Pretpostavimo da je polinom g induciran u krugu P [x], tada se u P [x] mogu ustanoviti takvi polinomi j i h da

g = jh, 1£deg j, deg h

Tada je g(a) = j(a)h(a) = 0. Kako je P(a) polje, onda je j(a) = Pro ili h(a) = 0, što je nemoguće, krhotine, iza uma. , korača element a preko P je više p.

Pretpostavimo da je f 0 P[x] i f(a) = 0. Za um, g(a) = 0. Tada se f i g ne mogu međusobno oprostiti. Ako je polinom g nesvodljiv, onda g dijeli f.

Neka je j homomorfizam prstena P[x] na prstenu P[a] (y(f)=f(a) za bilo koji f ⊂ P[x]), s obzirom na teorem 2.1. 3(b) jezgra homomorfizma y sastavljena je od višekratnika polinoma g, dakle. Ker y = (g). Također, faktor prstena P = P[x]/(g) je izomorfan prstenu P[a].

Oskilki P[a]ÌP(a), tada je P[a] područje valjanosti. Kako je P @ P [a], onda je kvocijent P također domena cjelovitosti. Moramo pokazati da se bilo koji ne-nulti element f iz P može reducirati na P. Neka je f element klase zbroja f. Oskílki f ¹ 0, zatim f(a)¹0; Stoga se polinom g ne može podijeliti s polinomom f. Oskílkijev polinom g je nesvodljiv, zvjezdice su jasne, ali su polinomi f i g međusobno jednostavni. Također, R[x] uspostavlja takve polinome u i v da je uf + vg=1. Vrijednost uf = 1 pokazuje da je element f zvjerski u P prstenu.

Z (s) í (d) P [a] ê polje i volumen P(a)ÌP[a]. S druge strane, očito, P[a]ÌP(a). Također, P[a] = P(a). Također, prsten P[a] je usklađen s poljem P(a).

1.3. Budovljevo jednostavno proširenje algebre polja.

Teorem 1.5. Neka je a algebarski element pozitivne klase n nad poljem P. Bilo koji element polja P(a) može se jedinstveno prikazati linearnom kombinacijom n elemenata 1, a, ..., a n-1 s koeficijentima R.

Dovođenje. Neka je b-be-yakie element polja P (a). Prema teoremu 1.4, P(a) = P[a]; također, u P[x] polinom f je takav da

Neka je g minimalni polinom za a nad P; na temelju teorema, prvi korak je napredniji.

(2) f = gh + r, de r = 0 ili der r< der g = n , т. е. r=c 0 +c 1 x +…c n -1 x n -1 (c i 0P). Полагая в (2) x = а и учитывая равенство (1), имеем

(3) b = c 0 + c 1 a + ... c n -1 a n-1

Pokazuje se da je element jedinstveno reprezentativan u linearnoj kombinaciji elemenata 1, a, ..., a n-1 . dođi

(4) b = d 0 +d 1 a + ... d n -1 a n-1 (d i 0 P)

Be-yaké takva manifestacija. Pogledajmo polinom j

j \u003d (s 0 - d 0) + (c 1 - d i .)x + . . . + (Z n-1 -d n -1)x n -1

Padok, ako je korak j manji od n, nemoguće, opekotine zbog (3) í (4) j(a) = 0 í korak j je najmanji tip koraka g. Manje je moguće promijeniti, ako je j \u003d 0, tada s 0 \u003d d 0. . . , Z n-1 = d p-1. Također, element b može se jedinstveno predstaviti kao linearna kombinacija elemenata 1, a,…,a n-1 .

1.4. Varijacije u obliku algebarske iracionalnosti u banneru razlomka.

Zadatak o zvílnennya u obliku iracionalnosti algebre u banneru razlomka u koraku. Neka je a element algebre stupnja n>1 nad poljem P; f í h - polinomi iz kruga polinoma P[x] i h(a) ¹0. Potrebno je navesti element f(a)/h(a)0P(a) u slučaju linearne kombinacije koraka elementa a, zatim u slučaju j(a),

Tse vdannya virishuêtsya so. Neka je g minimalni polinom za a nad P. Oskilki, prema teoremu 1.4, polinom nije induciran nad P í h(a) ¹ 0, tada g ne dijeli h í, također, polinomi h í g su međusobno jednostavan. Prema tome, P[x] ima takve polinome u i v da

Oskílki g(a) = 0, íz (1)

u(a)g(a) = 1, 1/h(a) = u(a).

Također, f(a)/h(a) = f(a)u(a), štoviše, f,u 0P[x] i f(a)u(a)0P[a]. Otzhe, mi smo zvílnilis víd írracionalnosti f(a)/h(a) .

Zvuči kao iracionalnost zastavnika

Bogati članovi p(x) i g(x)=-x 2 +x+1 su međusobno jednostavni. Stoga postoje tako bogati pojmovi j i y da

Za vídshukannya j í y zastosuemo Euklidski algoritam za polinome p í g:

X 3 -2 -x 2 +x+1 -x 2 +x+1 2x-1

x 3 -x 2 -x -x-1 -x 2 +1/2x -1/2x+1/4

x 2 -x-1 1/2x-1/4

na takav način,

p=g(-x-1)+(2x-1),

g=(2x-1)(-1/2x+1/4)+5/4.

Zvídki znati

(2x-1)=p+g(x+1),

5/4=g-(p+g(x+1))(-1/2x+1/4)

p1/5(2x-1)+g(4/5+1/5(2x 2 +x-1))=1,

p1/5(2x-1)+g(2/5x2+1/5x+3/5)=1.

na takav način,

y(x)= (2/5x 2 +1/5x+3/5).

Otzhe

.

2. Sklopivo proširenje algebre polja.

2.1. Kíntseve proširenje polja.

Neka su P podpolja polja F. Tada možemo promatrati F kao vektorski prostor nad P, tako da možemo promatrati vektorski prostor +F, +, (w l ½l 0P),

de w l - operacija množenja elemenata od F skalarom l0P.

Ugovoreni sastanak. Proširenje polja F naziva se terminalno, kao i F, kao vektorski prostor nad P, moguće je završiti širenje. Tsya rozmirníst označeno kroz.

Propozicija 2.1. Ako je a algebarski element stupnja n nad P, tada je = n.

Ova tvrdnja očito probija kroz Teorem 1.5.

Ugovoreni sastanak. Proširenje F polja P naziva se algebarskim, budući da je element kože F algebarski nad P.

Teorem 2.2. Je li konačno proširenje polja F algebarsko nad P.

Dovođenje. Neka je F n-glatka nad P. Teorem je očito točan, jer je n = 0. Pretpostavimo da je n>0. Ako je n+1 elemenata od F linearno ugar preko P. Sokrema, linearno ugar sustav elemenata 1, a, ..., a n , tada P takvih elemenata od 0 , 1, ..., c n nisu svi jednaki nula , s 0 ×1+ 1 a +…+c n a n = 0.

Element a je također algebarski nad P.

Značajno je da postoje proširenja algebre polja koja nisu terminalna proširenja.

2.2. Proširenje skladišta polja algebre.

Proširenje F polja P naziva se sklopivim, kao što i jest

rastuće lancetno podpolje L i polja F tako da

P = L 0 - L 1 - ... L k = F í k>1.

Teorem 2.3. Neka je F - krajnje proširenje polja L í L - krajnje proširenje polja P. Tada je F - krajnje proširenje polja P i

=@[L:P].

Dovođenje. dođi

(1) a 1 ,…,a m - baza polja L nad P (kao vektorski prostor) i

(2) b 1 ..., b n - baza polja F nad L . Bilo koji element d iz F može se linearno izraziti kroz bazu:

(3) d = l 1 b 1 +...+l n b n (l k 0L).

Koeficijent 1 k može se linearno izraziti kroz bazu (1):

(4) l k = p 1k a + ... + p mk a m ​​​​(p ik 0P).

Zamjenom ocjene za koeficijente l k (3), to je prihvatljivo

d = p a a b k .

Na taj način se skin element polja F može prikazati kao linearna kombinacija elemenata množitelja B, de

B = (a i b k ½ (1, ..., m), k 0 (l, ..., n)).

Značajno je da množitelj B zbraja nm elemenata.

Pokazujemo da je F baza nad P. Trebamo pokazati da je sustav elemenata množitelja B linearno neovisan. dođi

(5) åc ik a i b k = 0,

de c ik 0 P. Kako je sustav (2) linearno neovisan nad L, tada (5) slijedi jednakost

(6) s 1 k a 1 +...+s mk a m ​​​​= 0 (k = 1,..., n).

Kako su elementi a 1 , ..., a m linearno neovisni nad P, tada (6) slijedi jednakost

c 1 k = 0, ..., c mk = 0 (k = 1, ..., n),

pokazati da su koeficijenti u (5) jednaki nuli. Dakle, sustav elemenata B je linearno neovisan i baza je F nad P.

Otzhe, umetnuto, scho = nm = ×. Također F ê zadnja proširenja polja P í maê misce formula (I).

Ugovoreni sastanak. Proširenje F polja P naziva se sklopivi algebarski, jer je rastuće koplje potpolja polja P

P \u003d L 0 - L 1 - ... L k \u003d F í k> 1 (1)

tako da za i = 1,..., k polja L i ê samo proširimo algebru polja L i-1 . Broj k naziva se dozhina lance (1).

Zadnji 2.4. Skladišna proširenja algebre F polja P su terminalna proširenja polja P.

Dokaz se lako može izvesti indukcijom iza koplja (1) na potkrepljenju teorema 2.3.

Teorem 2.5. Neka je a 1 ,..., ak algebarski nad poljem P elemenata polja F . Isto polje P(a 1 ,..., ak) je posljednje proširenje polja P.

L 0 = P, L 1 = P, L 2 = P, ..., L k = P.

Tada je L 1 = P jednostavno proširenje algebre polja L 0 ; L 2 je jednostavno proširenje algebre polja L 1, jer

L 2 = P = (P) = L 1 = L 1 (a 2) itd.

na takav način,

P = L 0 - L 1 - ... - L k = F

de L i = L i -1 (a i) za i = 1, ..., k, tada je kožni član Lanziuka (2) jednostavno proširenje algebre prednjeg člana Lanziuka. Kasnije, polje F je preklopna ekstenzija algebre polja P. Opet, prema korolaru 2.4, polje F je terminalna ekstenzija polja P .

Zadnji 2.6. Skladišno proširenje algebre polja ê proširenje algebarskog polja.

2.3. Jednostavnost proširenja skladišta algebre polja.

Teorem 2.7. Neka je brojevno polje F sklopiva ekstenzija algebre polja P . Tada ćemo F ê pojednostaviti proširenja algebre polja P.

Dovođenje. Neka je P - L - F, štoviše, L = P (a), F = L (b) i, također, F = P (a, b).

Neka su f i g minimalni polinomi nad P, što vrijedi za brojeve a i b i deg f = m, deg g = n. Polinomi f í g ne mogu se superponirati nad P í, dakle, ne mogu biti u polju E kompleksnih brojeva višestrukih korijena. dođi

a = a 1 ,..., a m - korijeni polinoma f C i

b = b 1 ,..., b n - korijen polinoma g C.

Pogledajmo kítsev bezlích M:

M = ((a i-a)/(b-b k)½i0(1,…,m), k0(2,…,n)).

Oskílki P je numerički množitelj (i, dakle, nije ograničen), tada je P broj c, vidminne u elementima množitelja M, c0P (M, cóM. Nehai

Todi vykonuyutsya spívvídnoshennia

(2) g 1 a i + cb k = (i0 (1, ..., m), k0 (2, ..., n)).

Istina, u vremenima jednakosti a + cb = a i + cb k bulo b

h \u003d (a i -a) / (b-b k) 0 M

scho superchilo upotrijebio je izbor broja c.

Neka je F 1 = P(g) i F 1 - prsten polinoma od x. Neka je h = f(g - cx) polinom iz F 1 [x] (g, c0P(g) = F 1). Može se pokazati da je x-b najveći suglasnik polinoma h i g u prstenu F 1 [x]. Vage g(b) = 0, zatim x-b dijele g E[x]. Dnevno, zbog (1)

h(b) = f(g-cb) = f(a) = 0.

Na taj x-b podijelite polinom h E[x]. U ovom redoslijedu, x-b je prag h i g u prstenu E[x].

Izvještava se da g í h S nema korijena, vídmínkh víd b. Recimo samo da je b k , k0(2 ,..., n) njegov divlji korijen. Tada je h(b k) = f(g - sb k) = 0. Tada postoji takav indeks i0(1 ,..., m) ). Stoga je moguće da je x-b najveći prag od g i h u E[x]. Oskílki x - b - normalizacijski polinom, tada je zvijezda jasna, scho x - b ê najveći vrući dilnik g i h y kíltsi F 1 [x]. Tom

(x-b) 0 F 1 [x] i b 0 F 1 = P(g).

Štoviše, a = g - cb 0 F 1 . na takav način,

F = P(a, b) Ì F 1 , F 1 ÌF.

2.4. Polje algebarski brojevi.

Klasa potpolja polja kompleksnih brojeva jedno je od najvažnijih – polje algebarskih brojeva.

Ugovoreni sastanak. Algebarski broj naziva se kompleksan broj, koji je korijen polinoma pozitivnog stupnja s racionalnim koeficijentima.

Značajno je da je broj algebre, bilo da je kompleksan broj, algebarski nad poljem Q. Sokrema, bilo da je racionalan broj, je algebarski.

Teorem 2.8. Bezlični A svih algebarskih brojeva zatvoren je u prsten E = +C, +, -, 1, kompleksnih brojeva. Algebra A = +A, +, -, , 1 je polje, podpolje polja E.

Dovođenje. Neka su a i b elementi od A. Za posljednji 2.6, polje Q(a, b) je algebarsko nad Q. Stoga su brojevi a + b, -a, ab, 1 algebarski, tako da višekratnici od A leže ., bezlični A je zatvoren prema operacijama glave ciklusa E. Prema tome, algebra A je podciklus ciklusa E - je ciklus.

Osim toga, budući da je a različit od nule element u A, a -1 0 Q (a, b) i da a -1 leži u A. Opet, algebra A je polje, potpolja polja E.

Ugovoreni sastanak. Polje A = +A, +, -, , 1 nazivamo poljem algebarskih brojeva.

Pokažite da je broj a = algebarski.

Riješenje. Z a \u003d vrišteći a-.

Zvedomlje vrijeđajući dijelove preostale ekvivalencije u trećem koraku:

a 3 -3a 2 9a-3=2

a 3 +9a-2 = 3 (a 2 +1).

Sada su uvredljivi dijelovi ljubomore podignuti na drugu razinu:

a 6 +18a 4 +81a 2 -4a 3 -36a+4=27a 4 +54a 2 +27

a 6 -9a 4 -4a 3 +27a 2 -36a-23 = 0.

U ovom rangu a ê korijen bogatog pojma

f(x)= a 6 -9a 4 -4a 3 +27a 2 -36a-23=0

od racionalnih koeficijenata. Ce znači da je a algebarski broj.

2.5. Algebarsko zatvaranje polja brojeva algebre.

Teorem 2.9. Brojevno polje algebre je algebarski zatvoreno.

Dovođenje. Neka je A [x] prsten polinoma od x nad poljem A algebarskih brojeva. dođi

f = a 0 + a 1 x+... + a n x n (a 0 ..., a n 0 A)

Neka je neki polinom pozitivnog koraka A[x]. Moramo dokazati da se f može ukorijeniti u A. Ako je f0C[x] i polje E algebarski zatvoreno, tada se f može ukorijeniti u E tako da ima takav kompleksni broj s da je f (c) = 0. Neka je L = Q (a 0 , ... i n) i L(c) je jednostavno proširenje algebre polja L izvan pomoći c. Tada je Q - L - L (c) terminalno proširenje algebre polja L. Prema teoremu 2.2, L je terminalno proširenje polja Q. Na temelju teorema 2.3, L (c) je terminalno proširenje polja polje Q. polje L (c) je proširenje algebre polja Q i, dakle, c0A. Dakle, ako postoji bilo koji polinom u A[x] pozitivnog koraka A koji može imati korijen, tada je polje A algebarski zatvoreno.

3. Rastavljivi i nerastavljivi nastavci.

Ajmo D - polje.

Naravno, kako nerastavljivi D[x] polinom može biti majka višestrukih korijena?

Da bi f(x) bio višestruki korijen, bogati članovi f(x) i fN(x) su zbog majčinog zajedničkog dvostrukog konstantnog množitelja, koji se već može izračunati u D[x]. Iako je polinom f(x) nerastavljiv, onda s bilo kojim bogatim članom nižeg stupnja f(x) ne može biti majka nerazumljivih globalnih množitelja, također, može postojati jednakost f"(x) = 0.

f(x) =3a n x n fN(x) =3na n x n -1

Dakle, fN(x) = O, skin koeficijent je kriv za nulu:

n = 0 (n = l, 2, ..., n).

Ono što je važno je karakteristična nula zvijezde, da je a n \u003d 0 sve n ¹ 0. Također, nekonzistentni polinom može biti majka višestrukih korijena. U trenutku karakteristike p_jednakost na n \u003d 0 moguće je imati n ¹ 0, ali može biti i jednako

f(x) = a 0 + a p x p + a 2p x 2p +…

Povratak: ako f(x) može izgledati ovako, tada je fN(x)=0.

Ovom vipadkom možemo napisati:

Tim je sam iznio tvrdnju: U slučaju karakteristike nula, bogati član f (x) nije djeljiv u D [x], može biti samo jednostavan korijen, u slučaju karakteristike p, polinom f ( x) (što je također isto što i konstanta) može biti višekratnik korijena, ako ga je moguće prikazati kao polinom j víd x p.

Ponekad je moguće da je j(x) polinom na svoj način x p . Tada je f(x) polinom poput x p 2 . Neka je f(x) bogat izraz poput xpe

ale ê polinom víd x pe +1 . Razumljivo, polinom y(y) je nerastavljiv. Dali, y¢(y) ¹ 0, jer bi inače y(y) izgledalo kao c(y p) i, tada bi f(x) izgledalo kao c(x pe + 1), što bi zamijenilo izostavljanje. Otzhe, y (y) može biti samo jednostavan korijen.

Proširimo polinom y kako bismo proširili glavno polje na linearne faktore: m

y(y) = J(y-b i).

f(x) = J(x pe -b i)

Neka je a i korijen polinoma x pe - bi. Zatim x i pe \u003d b i,

x pe - bi = x pe - a i pe = (x-a i) pe .

Također, a i ê r e -višestruki korijen polinoma x pe - b i

f(x) = J(x -a i) p e.

Brkovi korijena polinoma f(x) mogu, na taj način, imati istu višestrukost p e.

Korak m polinoma y naziva se korak redukcije polinoma f(x) (ili korijen a i); broj e naziva se eksponentom polinoma f (x) (ili korijenom a i) nad poljem D.

de m skuplji broj različitih korijena polinoma f(x).

Ako je q korijen polinoma koji nije rastavljiv u prstenu D[x], a koji mogu biti samo jednostavni korijeni, tada se q naziva separabilnim elementom nad D ili elementom prve vrste nad D 1). Ovim se neraskidivi bogati pojam, čiji su svi korijeni odvojivi, naziva rastavljivim. U suprotnom, algebarski element q i nerastavljivi bogati član f(x) nazivaju se neodvojivim ili elementom (poput bogatog člana) druge vrste. Sada, proširenje algebre S, čiji su svi elementi separabilni nad D, naziva se separabilnim nad D, a svako drugo proširenje algebre naziva se neodvojivim.

U vremenima karakteristike nula, kaže se da koža nije nerastavljiv bogati pojam (i stoga je kožna ekstenzija algebre) odvojiva. Zanima nas da je većina najvažnijih i najvažnijih ekstenzija polja odvojiva i da znamo kakvoću klase polja, tako da neodvojive ekstenzije (tzv. “gotovo polje”) nisu moguće. Z tsíêí̈ causa sve pov'yazane posebno s neodvojivim nastavcima upisanim drugim fontom.

Pogledajmo sada proširenje algebre S = D (q). Ako su koraci n jednaki f(x) = 0, što označava veći, napredniji korak (S: D), smanjenje koraka m jednako je broju izomorfizama polja S u naprednom smislu: mi mogu samo gledati ove izomorfizme [e-mail zaštićen]", jer su bilo koji elementi potpolja D ispunjeni nenasilnim i, tada se S prenosi u ekvivalentno polje S" (izomorfizam polja S preko polja D) i za bilo koju sliku polja S "leži zajedno s poljem S u sredini polja W. tsikh umovah maê mistse teorem:

Uz odgovarajući izbor polja W, ekstenzija S=D(q) može imati točno m izomorfizama nad D, a za bilo koji izbor polja W, polje S ne može imati više od m takvih izomorfizama.

Dovođenje. Izomorfizam kože nad D odgovoran je za prevođenje elementa q u njegove asocijacije s elementom q" iz W. Odaberite W tako da se f(x) širi preko W u linearne množitelje; tada se čini da element q može imati točno m pojavljivanja elementi q,q Ako je tako, kako bi, polje W nije odabrano, element q nije matima u više od m slučajeva. Sada je vrijedno poštovanja da je izomorfizam kože D(q)@D(q") nad D potpuno ovisan o danom identitetu q® q". Očito, ako q prijeđe u q "i svi elementi iz D ostanu na mjestu, tada element

3a k q k (jak 0D)

kriv otići na

a cym označava izomorfizam.

Dakle, budući da je q separabilni element, tada je m = n í, stoga je broj izomorfizama preko glavnog polja ravnomjernije proširen.

Ako je tako, ako je polje fiksno, koje može pokriti sva polja koja se gledaju, u kojem se mogu nalaziti svi korijeni skin izravnanja f (x) = 0 (kao, na primjer, u polju kompleksnih brojeva) , onda u svojstvu W možete uzeti polje i jednom zauvijek Ovome dodajte dodatak "u sredini deaky W" u svim izjavama o izomorfizmu. Dakle, počnite popravljati teoretski numerička polja. Podsjećamo da za apstraktna polja možete koristiti i polje W.

Citirani teorem je sljedeća tvrdnja:

Kako proširiti S za izlaz iz D do sljedećih dolazaka m

algebarski elementi a 1 , ..., a m , štoviše, koža iza a i , ê korijen

neproširiv preko D(a 1 , ..., a i-1) jednak je smanjenom stupnju n" i , tada

proširenje S može biti točno ?n i ¢ izomorfizam nad D i na isti način

bez ekstenzija veći broj takvi izomorfizmi polja S.

Dovođenje. Za m = 1, teorem je dalje razvijen. Pretpostavimo da vrijedi za ekstenziju S 1 = D(a 1 , ..., a m-1):

W 1 ê točno n i ¢ izomorfizam polja S nad D.

Neka je S 1 ®S 1 jedan od Õ n i ¢ izomorfizama. Tvrdi se da se obrnutim redoslijedom obrnutog polja W vino može nastaviti do izomorfizma S = S 1 (am) @ S = S (am) ne više od n_zh n m načina.

Element a m zadovoljava jednadžbu f 1 (x) = 0 nad S 1 s n¢ m različitih korijena. Nakon dodatnog izomorfizma S 1 ® S 1, bogati član f 1 (x) može se prevesti u drugi bogati član f 1 (x). Ale todí f 1 (x) na široko proširen način, ali n m različitih korijena i ništa više. Neka m - jedan od ovih korijena. Gledajući izbor elementa a m, izomorfizam S 1 @S 1 je tri prema izomorfizmu S (a m) @ S (am) za a m ®a m na jedan i samo jedan način: zapravo, nastavak je dan formulom

åc k a m ​​​​k ®å c k a m ​​​​k

Uzorci izbora elementa a m mogu se definirati na n "m načina, koristeći n" m nastavaka takve vrste za obrnuti izomorfizam å 1 ®å 1

Oskílki imaju vlastitu liniju, a ovaj se izomorfizam može pretvoriti

H n" ja načina,

onda je sve istinito (ono polje W u kojem se nalaze svi korijeni svih jednakih koji se gledaju)

Õ n" i ×n" m = Õ n" i

izomorfizam proširenja S preko polja D, koje je bilo potrebno dovesti.

Ako je n i stvarni (nereducirani) korak elementa a i nad D (a 1 ,...,a i-1), onda je n i više koraka proširenja D (a 1 , ... , a i) polja D(a 1 , .. ., a i-1);

otzhe, koraci (S: D) više

Kako uskladiti broj s brojem izomorfizama

Broj izomorfizama ekstenzije S = D(a 1 , ... , a m) preko D (za bilo koju datu ekstenziju W) je dodatni korak (S: D) čak i samo ako je element kože a i odvojiv preko polje D(a 1 , . . . , a i-1). Ako želite da jedan element a i bude neodvojiv preko zasebnog polja, tada je broj izomorfizama manji od stupnja širenja.

S točke teorema, odmah će se pojaviti nekoliko važnih napomena. Za nas, teorem tvrdi da je snaga elementa kože a i separabilna preko prednjeg polja, a snaga samog proširenja S neovisna je o izboru elemenata koji generiraju a i . Budući da se dodatni element polja može uzeti kao prva generacija, čini se da je element b odvojiv, budući da su svi a i takvi. Otac:

Elementi a i , ... ,a n i uzastopno se dodaju u polje D, element kože a i čini se odvojivim preko polja, oduzimajući susjedne prednje elemente a 1, a 2 ,...,a i-1 proširenje

S = D(a 1 , ... ,a n)

odvojivo preko D.

Zokrema, suma, maloprodaja, tvir, da su privatno odvojivi elementi odvojivi.

Nadalje, budući da je b separabilno nad S, a polje S je separabilno nad D, tada je element b separabilan nad D. To se objašnjava činjenicom da b zadovoljava konačni broj koeficijenata a 1 , ... , a m z S i je, opet, separabilan preko D (a 1, ..., a m). Sam odvojivi nastavak

D (a 1, ..., a m, b).

Nareshti, može biti isto mjesto: broj izomorfizama terminalne separabilne ekstenzije S preko polja D je ekstenzijski korak (S: D).

4. Neograničeno širenje navodnjavanja.

Polje kože izlazi iz svog jednostavnog podpolja za pomoć konačnog chija neiscrpne ekspanzije. U toj se podjeli vide bezbrojna proširenja polja, prije svega algebarskih, a potom i transcendentalnih.

4.1. Algebarski zatvorena polja

U širenju algebre datog područja važnu ulogu ima, posebice, maksimalno širenje algebre, kako se ne bi dopustilo daljnje širenje algebre. Razlozi za takva produženja bit će navedeni u ovom paragrafu.

Da bi polje W bilo maksimalno proširenje algebre, potrebno je unaprijediti um: kožni polinom kružnice W[x] može se rastaviti na linearne množitelje. Tsya um je dovoljan. Doista, budući da se kožni polinom u W[x] rastavlja na linearne množitelje, tada su svi jednostavni polinomi u W[x] linearni i čini se da su kožni elementi bilo kojeg proširenja algebre W" polja W korijen bilo kojeg linearni bogati izraz x - a u W[x], tj. radi sa stvarnim elementom a polja W.

Tom damu je ista sudbina:

Polje W se naziva zatvaranjem algebre, jer se svaki polinom u W [x] može rastaviti na linearne faktore.

Jednako je važno sljedeće: polje W je algebarski zatvoreno, tako da polinom u W[x] može biti poseban polinom u W[x] s jednim korijenom, odnosno s jednim linearnim množiteljem u W[x] .

Dapače, kako je tako pametan vikonan i dosta uzimanja, polinom f (x) se rastavlja na faktore koji se ne rastavljaju, onda je sve kriv smrad ali linearno.

"Osnovni teorem algebre" kaže da je polje kompleksnih brojeva algebarski zatvoreno. Približni dio algebarski zatvorenog polja može biti polje svih kompleksnih algebarskih brojeva, pa tako i bezlični kompleksni brojevi, kao da se mogu zadovoljiti bilo kojom vrstom jednakosti s racionalnim koeficijentima. Kompleksni korijen jednak je koeficijentima algebre ê i stvarno algebarski ne samo nad poljem algebarskih brojeva, već i nad poljem racionalni brojevi, tj. sami su algebarski brojevi.

Ovdje ćemo pokazati kako inducirati zatvoreno algebarsko proširenje dovoljno danog polja P i to na čisto algebarski način. Steinitz da tako leži

Glavni teorem. Za skin polje P, zatvoreno algebarsko proširenje algebre W. Točno do ekvivalencije, proširenje je jednoznačno definirano: postoje li dva algebarski zatvorena algebarska proširenja W, W" polja P su ekvivalentna.

Dokaz ovih teorema je zbog viška lema:

Lema 1. Neka je W proširenje algebre polja P. Dovoljan um da bi W bio zatvaranje algebre, ê proširenje u linearne faktore bilo kojeg polinoma u P[x] u prstenu W[x].

Dovođenje. Neka je f(x) dodatni polinom iz W[x]. Ako vin nije rastavljen na linearne multiplikatore, tada se može uzeti korijen th a i da bi se došlo do gornjeg superpolja W. Element a je algebarski nad W, a W je proširenje algebre polja P; korijen iz sljedeći polinom g(x) u P[x]

Lema 2. Ako je polje P holistički uređeno, tada prsten polinoma P[x] može biti holistički uređeno i do te mjere da će to uređeno polje P biti trostruko.

Dovođenje. Značajno promijenite redoslijed između polinoma f(x) u P[x] na sljedeći način: neka f(x)

1) korak f(x) je manji tip koraka g(x);

2) korak f(x) više koraka g(x) i više n, tada.

f(x) = a 0 x n + ...+ a n, g (x) = b 0 x n + ... + b n

i za sljedeći indeks k:

i i = b i za i

a k

Ako je tako, za polinom 0 je kriv: dodijeljen mu je korak 0. Očito je da je takav način da se izađe u red, za čiji je smisao P [x] potpuno uređen. Pokazat će se na sljedeći način: u nepraznoj množini bogatih segmenata kože, postoji neprazan podumnožak bogatih segmenata najmanjeg stupnja; ne hai tako dobar broj. U svakom podumnošku postoji neprazan podumnožak bogatih članova, koeficijent je 0, koji je prvi u smislu glavnog reda sredine velikih dijelova rich-terms, koji se gledaju; kod imenovanog višekratnika ê ima svoj vlastiti linijski submultiplikator bogatih članova s ​​prvim a 1 i tako dalje. minimnosti, koje su uzastopno pobjedničke, po izboru); ovaj polinom je prvi element zadanog množitelja.

Lema 3. Ako je polje P uređeno kao cjelina, bogati član f(x) stupnja n í n simbolizira a 1 ..., a n zatim polje P (a 1 ,..., a n), u koji će se f(x) proširiti na linearne množitelje

Õ(x-a i), bit će jedan red i cjelina

narudžba. Polje P u smislu tsiy ê vídrízkom.

Dovođenje. Redom dodajemo korijen a 1 ..., a n, nakon čega P = P 0 redom osvajaju polja R 1 , ..., R n . Pretpostavimo da je R i-1 = P(a 1 ..., a i-1) - polje je već inducirano i da je P ugovor s R i-1; onda će R i biti tako.

Prije zadatka 2, prsten polinoma R i-1 [x] je uređen u cjelinu. Polinom f se na svakom kíltsi rastavlja na nerazmrsive faktore, sredina kojih je prvo mjesto x - a 1 ,..., x - a i-1 ; među ostalim množinama neka je f i (x) prvi u smislu jasnog reda. Zajedno sa simbolom a i, koji označava korijen bogatog člana f i (x), označavamo polje P i = P i -1 kao ukupnost zbrojeva

de h je korak obogaćenog člana f i (x). Ako je f i (x) linearan, tada, naravno, poštujemo P i = P i -1; znak a i nije potreban. Potaknite polje kao cjelinu da bude uređeno za dodatnu napadačku inteligenciju: element kože polja

možda bogati član

I elementi polja poredani su na isti način kao i poredak njihovih bogatih pojmova.

Očito je isti R i-1 u odnosu na R i, a na taj í P - u odnosu na R i.

Tim su polja P 1 ,..., P n sama motivirana cijelim poretkom. Polje R n je jedinstveno pretraživo po prvom polju P(a 1 ,..., a n).

Lema4

Dovođenje. Za bilo koja dva elementa a, b, kombinirajte dva polja S a , S b , tako da zamijenite a, b i bilo koje jedno ispred drugog. U promuklom polju elementi a + b i a × b su pridruženi elementima u polju kože, tako da se a i b mogu osvetiti, jer su dva takva polja jedno ispred drugog i yogo podpolje. Na primjer, donijeti zakon asocijativnosti

ab g = a bg,

poznajemo srednja polja S a , Sb, S g ona koja pokrivaju druga dva polja (najveća); u kojem polju ima a, b i g i u novom zakonu asocijativnosti vikonano. Na isti način se revidiraju reshta pravila za izračun elemenata asocijacije.

Dokaz glavnog teorema podijeljen je na dijelove: podpolje W i dokaz jedinstva.

Pobudova polja W. Lema 1 dokazuje da je za naizgled algebarski zatvoreno proširenje W polja P dovoljno inducirati takvo proširenje algebre polja P, tako da se polinom u P[x] može proširiti preko tih proširenja u linearne množitelje.

1. Polje P f ê ob'ednannyam polje P í sva polja S g za g

2. Polje P f je uređeno na način da su P i sva polja S g s g

3. Polje S f dolazi od R f do zadanih korijena bogatog člana f nakon dodatnih simbola a 1 ,..., a n vrijedi do lemi 3.

Potrebno je napomenuti da se na ovaj način cijeli redoslijed polja R f , S f može eksplicitno dodijeliti cijelim redoslijednim poljem, kao što su i sva prednja R g , S g već češće dodijeljena.

Yakshcho vikonano 3, zatim nasampered P f - vídrízok S f . Z ogo i vimogi 2 vidimo da polje P i polje kože S g (g

R - vídrízok S h na h

S g - dvostruko S h na g

Zvuči kao P i polja S h (h b, jak se može spremiti u Pf. Isti redoslijed je jedan te isti u svim poljima P abo S g yak yak yak a, pa ib, na to sve ts polje ê v_drízkami jedan od jednog. Otzhe, postavljanje po narudžbi je imenovano. Oni koji su potpuno uređeni bezlični, očito, tako da koža nije prazna bezlična x u R f osvetiti barem jedan element rada deyakogo polja S g, a to je prvi element x x Ç Rad x Ç S g. Ovaj element je jedan sat ê i prvi element x.

Gledajući u vaš um 3, polinom f(x) se opet rastavlja na linearne faktore u polju S f . Nadalje, uz pomoć transfinitne indukcije, pokazuje se da je S f algebarski nad P. Doista, pretpostavlja se da su sva polja S g (g

Sada pohranjujemo skup W svih polja Sf; zgídno z lemoy 4 osvojio ê polje. Cijelo polje je algebarski nad P i svi bogati članovi f prošireni su preko njega (mali kožni polinomi f već su prošireni preko S f). Također, polje W je algebarski zatvoreno (lema 1).

Jedinstvo polja W. Neka su W i W" dva polja koja su algebarska i zatvorena algebarska proširenja polja P. Dovedimo ekvivalenciju ovih polja. također se razmatra jednim od ovih argumenata) podumnožak ¢ u W " i neki izomorfizam

P(Â) @ P(¢).

Ostatak svibnja bit će zadovoljan nadolazećim ponavljajućim špijuniranjem.

1. Izomorfizam P(Â) @ P(¢) nastaje zbog iscrpljenosti elementa kože polja P na polju.

2. Izomorfizam P(Â) @ P(¢) s ÁÌ Â može biti proširenje izomorfizma P(Â) @ P(Á").

3. Ako je  preostali element a, tako da je  = ÁÈ(a), i ako je a korijen bogatog člana f(x) koji se ne može rastaviti na P (Á), tada je element a" krivi za prvi korijen roda P(Á) @ P(I"), polinom f¢(x) u dobro uređenom polju W".

Potrebno je pokazati da je izomorfizam P(Â) @ P(¢) efektivno dodijeljen na isti način, iako su vina već dodijeljena za sve prednje rubove ÁÌ Â. Ovdje je potrebno razlikovati dvije točke.

Prva kap. Bezlično  ne može imati ostatak elementa. Isti kožni element trebao bi ležati na pjevajućem prednjem dijelu Á; na to  ê na kombinirana navodnjavanja Á, na to P(Â) - na kumulativna polja P(Á) za ÁÌ Â. Ako elementi kože iz izomorfizama P(Á) @P(Á") proizlaze iz prethodnih, tada element kože a sa svim tim izomorfizmima dobiva samo jedan element a". Dakle, postoji jedna i više od jedne fleksije P(Â) → P(¢), koja nastavlja sve naprijed izomorfizme P(Á) → P(Á"), a sama fleksija a®a". Očito je da se radi o izomorfizmu i kombinaciji 1 i 2.

Još jedna kap. Anonimni maê preostali element a; također,  = ÁÈ(a). Konačno, element a" pridružen elementu a je jedinstveno dodijeljen. Budući da a" nad poljem P(I") (u smislu analiziranog izomorfizma) zadovoljava "isto" nedosljedno jednako da i a nad P(I), tada izomorfizam P(I) → P(I") (u slučaju, ako je I prazno, tada isti izomorfizam P®P) ide do izomorfizma P(I, a) ®P(I", a¢ ), kada a prijeđe na a". Dermalni izomorfizam nedvosmisleno je identificiran sugestijom kože, pa racionalna kožna funkcija j(a) s koeficijentima općeg jezika prelazi u funkciju j "(a") s ekvivalentnim koeficijentima Á". ) ® P(¢) očito odgovara 1 i 2.

Na taj način je završena supstitucija izomorfizma P(Â)→P(¢). Značajno kroz W" generalizaciju svih polja P(V¢); tada postoji izomorfizam P(W)®W" ili W®W", koji ne sadrži element polja P na prostoru kože. Kako je polje W algebarski zatvoreno, pa buti í W ", a tome W" pristaje traženo polje W¢.

Značenje algebarski zatvorenog proširenja danog polja je isto utoliko što je, do ekvivalencije, moguće prevladati moguće proširenje algebarskog polja. Točnije:

Ako je W algebarski zatvoreno proširenje algebre polja P i S prilično algebarsko proširenje polja P, tada u sredini W postoji opće proširenje od S 0 , koje je ekvivalentno proširenju od S.

Dovođenje. Možemo proširiti S na određenu zatvorenu algebarsku ekstenziju W". Bit će algebarska i nad P, i stoga ekvivalentna ekstenziji W. Pod bilo kojim izomorfizmom, da bismo preveli W" u W, uzimajući neraskidivi element kože od P, polje S prelazi u deak ekvivalent yoma potpolju S 0W.

4.2. Oprostite transcendentnoj ekspanziji.

Koža je jednostavno transcendentalno proširenje polja D, očito ekvivalentno polju privatnog D(x) prstena polinoma D[x]. Tome mi vivchimo tse privatno polje

Elementi polja W su racionalne funkcije

Teorema. Transcendentni element h koraka n je transcendentan nad D í polje D(x) je proširenje algebre polja D(h) koraka n.

Dovođenje. Podnošenje h = f(x)/g(x) nije kratkotrajno. Isti element x zadovoljen

g(x)×h - f(x)=0

s koeficijentima D(h). Brojevi koeficijenata ne mogu biti jednaki nuli. Doista, ako su svi smradovi jednaki nuli i ako je slovo bi u istom svijetu x koeficijent različit od nule polinoma g (x), a b k - koeficijent različit od nule polinoma f (x), tada je ne bi bilo dovoljno da majka bude ravnopravna

zvijezde h = b k / ak = konst, što je praznovjerje. Opet, element x je algebarski nad D(h).

Ako je element h iako algebarski nad D, onda je x iako bialgebarski nad D, što, međutim, nije tako. Opet, element h je transcendentalan nad D.

Element x je korijen bogatog člana koraka n

u prstenu D(h)(z). Ovaj polinom je nerastavljiv u D(h)[z], krhotine su također vin bouv bi se mogu rastaviti n u kílci D, í, krhotine vin su linearne u h, jedan od višekratnika maw bi nije moguć položiti h, ili manje z. Ali takav množitelj ne može biti, jer su g(z) i f(z) međusobno jednostavni.

Također, element x je korak algebre n nad poljem D(h). Zvijezde su čvrste, pa je (D(x) : D(h)) = n

Za zlobnijeg je značajno da bogati član

ne postoje višekratnici koji mogu ležati samo blizu z (ležati blizu D[z]). Ovo skrućivanje se poništava, ako se h zamijeni njegovim vrijednostima f (x) / g (x) i pomnoži s natpisom g (x), mi smo sami polinom.

g(z)f(x) - f(z)g(x)

kíltsya D nema množitelja, pada samo u víd z.

Iz gore navedenih teorema postoje tri napomene.

1. Korak funkcije h - f(h)/g(h) treba deponirati samo u poljima D(h) i D(x), a ne u izboru drugog elementa koji generira x.

2. Rivnist D(h) = D(x) je manji od istog, ako je h manji od 1, tada je to linearna funkcija. Tse znači: roditeljski element polja, rub elementa x, može biti frakcijsko-linearna funkcija poput x i samo takva funkcija.

3. Svaki automorfizam polja D(x), koji ostavlja element polja D na platnu, kriv je za prevođenje elementa x u bilo koji element polja. Natrag, ako se x prevede u nadređeni element x = (ax + b) / (cx + d) i kožnu funkciju j (x) - y funkciju j (x), tada dolazi do automorfizma, kada su svi elementi D ostavljeni na meti. Otzhe,

Svi automorfizmi polja D(x) nad poljem D su linearne supstitucije

x = (ax+b)/(cx+d), ad – bc ¹ 0.

Važan za neka geometrijska postignuća

Lurotov teorem. Srednje polje kože S, za koje je DÌSID(x) jednostavna transcendentalna proširenja: S = D(q).

Dovođenje. Element x je kriv što je algebarski nad S, jer ako h - ako bilo koji element od S ne pripada polju D, tada je, kao što je pokazano, element x algebarski nad D (h) i još više algebarski nad S .S [z] obogaćeni pojam s višim koeficijentom 1 i korijenom x može izgledati

f 0 (z) \u003d z n + a 1 z n -1 + ... + a n. (jedan)

Z'yasuêmo Budov bogati član.

Elementi a i ê racionalne funkcije x. Za pomoć pri množenju sa zastavom za spavanje od njih, možete ga koristiti s mnogim racionalnim funkcijama i, štoviše, uzeti bogat izraz kao što je x íz umjesto 1:

f(x, z) = b 0 (x) z n + b 1 (x) z n-1 + ... + b n (x).

Koraci polinoma su značajni u smislu m, au z - u smislu n.

Koeficijenti a i \u003d b i / b 0 z (1) ne mogu biti neovisni o x, tako da bi se x inače pojavio kao algebarski element nad D; pa jedan od njih, recimo,

q = a i = b i (x) / b 0 (x),

zapravo je kriv za taloženje víd x; Zapišimo jogu ukratko:

Koraci polinoma g(x) i h(x) ne prelaze m. Polinom

g(z) - qh(z) = g(z) – (g(x)/h(x))h(z)

(što nije ista nula) ako je korijen z = x, tada je vin djeljiv s f 0 (z) u prstenu S[z]. Ako želite ići od svog racionalnog u smislu x bogatih izraza do tsilih u x bogatim izrazima sa zmist 1, tada biste trebali sačuvati svoju djeljivost, a mi ćemo je uzeti

h(x)g(z)-g(x)h(z) = q(x, z)f(x, z).

Lijevi dio ove ravnodušnosti ima korake po x, ali se ne miče t. Ale desno već je bogati član f stupín t; otzhe, koraci lijevog dijela su točno točno stari i q(x, z) ne leže u x. Međutim, nemoguće je položiti manje od množitelja z za dijeljenje lijevog dijela (div. više); da je q(x, z) konstanta:

h(x)g(z)-g(x)h(z) = qf(x, z).

Budući da prisutnost konstante q ne igra nikakvu ulogu, Budovljev polinom f(x, z) opisan je u potpunosti. Koraci polinoma f(x, z) u x su napredniji (sa simetrijom simetrije), a koraci u z su napredniji, pa je m = n. m, kasnije, i funkcija q je zbog majke koraka m x.

Sami, krhotine s jedne strane su jednake

(D(x):D(q)) = m,

a za ostalo – ljubomora

te krhotine za osvetu D(q),

Visnovok.

Roboti su izgledali ovako, pogledajte proširenje numeričkog polja P:

Jednostavno proširenje algebre polja.

Proširenje skladišta polja algebre.

Odvojivi i neodvojivi nastavci.

Neograničeno širenje zalijevanja.

Analizirajući rad, možete stvoriti deaky visnovki.

Z je pogledao prva dva dijela ekspanzije, kao što su:

jednostavno proširenje algebre;

proširenje kraja;

skladište proširenje algebre.

Dalje, ako vidite proširenja zbígayutsya í, zokrema, nacrtana su jednostavnim algebarskim proširenjima polja P.

Popis literature

1. L.Ya. Kulikiv. Algebra i teorija brojeva. - M.: Vishch. škola, 1979.-528-538s.

2. B.L. Van der Waerden. Algebra.- M., 1976 - 138-151s., 158-167s., 244-253s.

3. E.F. Shmigiryov, S.V. Ignatovič. Teorija bogatih pojmova. - Mosir 2002. (monografija).

Za pripremu ovog rada prikupili smo materijale sa stranice