Pronađite sve racionalne korijene bogatog izraza na internetu. Jednadžba u cijeloj matematici. Racionalni korijen bogatih članova. Hornerova shema. Chi ê tse racionalni broj

Bogati član u obliku varijable x naziva se na drugačiji način: anxn + an-1 xn-1 +. . . +a 1 x+a 0 de n je prirodan broj; an, an-1, . . . , a 1, a 0 - jesu li brojevi, koji se nazivaju koeficijenti ovog polinoma. Virazi anxn, an-1 xn-1, . . . , a 1 x, a 0 nazivamo članovima polinoma, a 0 proizvoljnim članom. an - koeficijent na xn, an-1 - koeficijent na xn-1 i tako dalje. na primjer, obogaćeni izraz 0x2 + 0x + 0 je nula. Iz zapisa polinoma jasno je da se vin zbraja od broja članova. Zvuči kao izraz "bogati član" (bogati članovi). Ponekad se bogati izraz naziva polinom. Ovaj izraz nalikuje grčkim riječima πολι - bogat i νομχ - član.

Bogati član u obliku jedne promjene x označava se: . f (x), g (x), h (x) i tako dalje, na primjer, kao prvi koji ukazuje na bogatije termine u smislu f (x), tada možete napisati: f (x) = x 4+2 x 3+ (- 3) x 2 + 3/7 x + √ 2. 1. Bogati član h (x) naziva se najvećim pragom od bogatih članova f (x) i g (x), pa je moguće dodati f (x), g (x) i kožni dilnik. 2. Bogati član f(x) s koeficijentima iz polja P koraka n naziva se reducibilnim nad poljem P, čime se uspostavljaju bogati članovi h(x), g(x) Î P[x] koraka manje n tako da je f (x) = h( x)g(x).

Ovo je bogati izraz f(x) = anxn+an-1 xn-1+. . . + a 1 x + a 0 í an≠ 0, tada se broj n naziva stupanj bogatog člana f (x) (ili se čini: f (x) je n-ti stupanj) i napišite čl. f(x) = n. I ovdje se an naziva viši koeficijent, a anxn je viši član ovog polinoma. Na primjer, ako je f (x) = 5 x 4 -2 x +3, tada je čl. f(x) = 4, seniorski koeficijent - 5, seniorski član - 5 x4. Korak polinoma je najveći od brojeva njegovih koeficijenata, vodeći tipovi nula. Bogati članovi nultog koraka su cijeli brojevi, koji su isti kao nula. nulti bogati član koraka ne može biti; obogaćeni izraz f(x) = a, gdje je a broj, koji nije jednak nuli, maksimalni korak je 0; korak dobro biti neki drugi polinom, koji je skuplji za najveći pokazatelj koraka promjene x, koeficijent kod sljedećeg je nula.

Rivnist od bogatih članova. Dva obogaćena člana f(x) i g(x) smatraju se jednakima, iako su im koeficijenti jednaki pri istim koracima promjene x i slobodnih članova (jednaki njihovi víd provídní koeficijenti). f(x) = g(x). Na primjer, obogaćeni pojmovi f (x) \u003d x 3 + 2 x 2 -3 x + 1 í g (x) \u003d 2 x 23 x + 1 nisu jednaki, prvi od njih ima koeficijent na x3 jednakiji na 1, a drugi ima nulu ( upravo s prihvaćenim inteligencijama, možemo napisati: g (x) \u003d 0 x 3+2 x 2 -3 x + 1. U tom slučaju: f (x) ≠ g (x ).x 2 -3 x + 5, s ( x) =2 x 2+3 x+5

A os obogaćenog člana f 1 (x) \u003d 2 x 5 + 3 x 3 + bx + 3 í g 1 (x) \u003d 2 x 5 + ax 3 -2 x + 3 jednako čak i ako je a = 3 , ali b = -2. Dajte bogati član f(x) = anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 je broj c. Broj f(c) = ancn+an-1 cn-1+. . . +a 1 c+a 0 naziva se vrijednost polinoma f(x) pri x = c. Na taj način, da bismo znali f (c), potrebno je potkrijepiti x i izvršiti potrebne proračune. Na primjer, ako je f(x) = 2x3+3x2-x+5, tada je f(-2)=2(-2)3+(-2)2-(-2)+5=3. Može se uzeti bogati član s različitim vrijednostima promjene x različite vrijednosti. Broj se naziva korijen polinoma f (x), pa je f (c) =0.

Važno je obratiti pozornost na razliku između dvije tvrdnje: "bogati član f(x) je jednak nuli (inače, bogati član f(x) je nula)" i "vrijednost polinoma f(x) pri x=z jednaka nuli". Na primjer, polinom f (x) \u003d x 2 -1 nije jednak nuli, vín mogu biti različiti od nule koeficijenti, kao što je vrijednost na x \u003d 1 jednaka nuli. f(x) ≠ 0, i f(1) =0. Između shvaćanja istovjetnosti bogatih izraza i značenja bogatog pojma postoji ista bliska međuodnosnost. Ako su dana dva jednaka polinoma f(x) i g(x), tada su njihovi jednaki koeficijenti jednakih, pa je, prema tome, f(c) = g(c) za kožni broj c.

Operacije na polinomima Bogati članovi mogu se dodavati, vidjeti i množiti prema uobičajenim pravilima za proširenje luka i smanjenje sličnih članova. Time ponovno ulazim u bogatog člana. Određene operacije mogu imati snagu: f (x) + g (x) = g (x) + f (x), f (x) + (g (x) + h (x)) = (f (x) + g (x)) + h(x), f(x) g(x) = g(x) f(x), f(x)(g(x) h(x)) = (f(x) g( x)) h(x), f(x)(g(x) + h(x)) = f(x) g(x) + f(x) h(x).

Dat ću vam dva bogata člana f(x) = anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, an≠ 0, i g(x)=bmxm+bm-1 xm-1+. . . +b 1 x+bm≠ 0. Bilo je jasno da čl. f(x)=n, i art. g(x) = m. Ako pomnožite qi dva polinoma, završit ćete s bogatim članom oblika f(x) g(x)=anbmxm+n+. . . +a 0 b 0. Oskilki an≠ 0 i bn≠ 0, zatim anbm≠ 0, također, čl. (f(x)g(x))=m+n. Zvukovi su glasni i važni.

Koraci za dodavanje dva obogaćena člana različita od nule zbroju koraka množitelja, čl. (f(x)g(x)) = st. f(x) +st. g(x). Stariji član (koeficijent) stvaranja dva bogata člana različita od nule kako bi se zbrojili stariji članovi (koeficijenti) množitelja. Slobodan član tvorevine dvaju bogatočlanih članova dostojan je tvorevine slobodnih članova zajedničkih množitelja. Koraci bogato artikuliranih f(x), g(x) i f(x) ±g(x) povezani su s nadolazećim spivvídnoshennia: umjetnost. (f (x) ± g (x)) ≤ max (st. f (x), st. g (x)).

Poziva se superpozicija više članova f(x) i g(x). bogat izraz, koji se označava s f (g (x)), koji također može ići u polinom f (x) umjesto x, zamijeniti polinom g (x). Na primjer, ako je f(x)=x 2+2 x-1 í g(x) =2 x+3, tada je f(g(x))=f(2 x+3)=(2 x+3) 2 +2(2 x+3)-1=4 x 2+16 x+14, g(f(x))=g(x 2+2 x-1)=2(x 2+2 x-1) + 3=2x2+4x+1. Može se vidjeti da je f(g(x)) ≠g(f(x)), to jest superpozicija višestrukih članova f(x), g(x) i superpozicija višestrukih članova g(x), f( x) različiti. Na taj način operacija superpozicije nema moć pomaka.

, Algoritam za podcjenjivanje i prelijevanje Za f(x), g(x) jasno je q(x) (privatno) i r(x) (višak), pa je f(x)=g(x)q(x )+ r(x), a koraci r(x)

Rječnici polinoma Rječnik bogatog termina f(x) je bogati termin g(x) takav da je f(x)=g(x)q(x). Najveća postelja od dva bogato segmentirana Najveća postelja bogato segmentiranih f(x) i g(x) je takva dupla postelja d(x), koja se može podijeliti u bilo koju drugu njihovu postelju.

Euklidov algoritam (algoritam posljednjeg podreda) najvećeg zajedničkog dnevnika bogatih termina f(x) i g(x) Todi je najveći dilnik f(x) i g(x).

Promijeni druge Rješenje: Znamo GCD ovih bogatih članova, popravljajući Euklidov algoritam 1) h3 + 6 h2 + 11 h + 6 h3 + 7 h2 + 14 h + 8 1 - h2 - 3 h - 2 8 x3 + 3 x2 + 2 x - x2 - 3 x - 2 - x - 4 4 x2 + 12 x + 8 0 Otzhe, obogaćeni član (- x2 - 3 x - 2) Rezultat je pod zastavom polinoma vídomy.

Saznajmo rezultat podjele broja. x 3 + 6 x2 + 11 x + 6 - x2 - 3 x - 2 x3 + 3 x2 + 2 x - x - 3 3 x2 + 9 x + 6 0

Hornerova shema dijeljenja iz prebogatog izraza f(x) u ne-nulti bogati izraz g(x) - ne znači otkriti f(x) u pogledu f(x)=g(x) s(x)+ r(x), de s(x) ) ) i r(x) -bogati članovi i ili r(x) = 0, ili st. r(x)

Bogati segmenti, koji stoje na lijevom i desnom dijelu njegovog spívvídnoshennia, jednaki su, a također, jednaki í̈hní vídpovídni koefítsíentsi. Jednako im je, otvorivši lukove ispred i usadivši slične udove na desnom dijelu linije ravnodušnosti. Minus: a = bn-1, a-1 = bn-2 - cbn-1, a-2 = bn-3 - cbn-2, a 2 = b 1 - cb 2, a 1 = b 0 - cb 1, a 0 = r - cb 0 Virazimo njihove íz otrimanih jednakosti: bn-1 = an, b n-2 = cbn-1 + an-1, b n-3 = cbn-2 + a n-2, b 1 = cb 2 + a 2, b 0 \u003d cb 1 + a 1, r \u003d cb 0 + a 0. Poznavali smo formule koje se mogu koristiti za izračunavanje koeficijenata neparnog privatnog s (x) i viška r. Time se optužbe iscrtavaju na prednjoj strani stola; naziva se Hornerova shema.

Tablica 1. Koeficijenti f(x) c an bn-1 an-1 bn-2=cbn-1+ an-1 an-2 bn-3 = cbn-2+an-2 … … a 0 r = cb 0 + a 0 Koeficijenti s(x) su previše. U drugom redu, blizu prve ćelije, upišite broj c. Reshta clitin retka se popunjava, brojeći, jedan po jedan, koeficijente nelinearnog privatnog s (x) i višak r. Kod drugog klijenta zapišite koeficijent bn-1 koji je, kako smo mi instalirali, skuplji.

Koeficijent za stajanje na skin ofensive zidu izračunava se prema sljedećem pravilu: broj c se množi s brojem za stajanje na prednjem zidu i broj se dodaje rezultatu, za stajanje iznad zida, koji se pamti . Da bismo upamtili, recimo, pet klitina, da bismo znali stajati na njenom koeficijentu, potrebno je c pomnožiti s brojem koji se nalazi u četvrtom klitinu, a rezultatu dodati broj koji stoji iznad petog klitina. Podijelimo, na primjer, bogati član f (x) \u003d 3 x 4 -5 x 2 + 3 x-1 na x-2 íz previše, Hornerova shema. Prilikom popunjavanja prvog retka, brojevi sheme ne smiju se zaboraviti na nulte koeficijente polinoma. Dakle, koeficijenti f(x) su vrijednosti brojeva 3, 0, - 5, 3, - 1. Još jedna stvar koju treba imati na umu je da je korak nepotpunog privatnog za jedan manji od koraka bogati član f(x).

Također, čini se da je dodatno podijeljen prema Hornerovoj shemi: Tablica 2. 2 3 3 0 6 -5 7 3 17 -1 33 Važno je primijetiti da je privatni s(x) =3 x 3+6 x 2+7 x+17 i višak r=33. Poštovana, izračunali smo vrijednost polinoma f (2) =33. Sada podijelimo vrlo bogati član f(x) na x + 2 íz previše. Imam vipadku s = -2. izborno: Tablica 3. -2 3 3 0 -6 -5 7 3 -11 -1 21 Kao rezultat, f(x) = (x+2) (3 x 3 -6 x 2+7 x-11) + 21 .

Korijen polinoma Nehai s1, s2, …, sm - Različiti korijen polinoma f(x). Tada je f(x) djeljiv s x-c1, tada je f(x) = (x-c1) s1(x). Platimo za ovu mirnoću x=c2. Oduzimamo f(c2) = (c2-c1) s1(c2) i, pa je f(c2) =0, zatim (c2-c1) s1(c2) =0. Ale c2≠c1, tada c2 -c1≠ 0, što znači da je s 1 (c 2) = 0. Također, c2 je korijen polinoma s 1 (x). Pokazuje da je s1(x) djeljiv s x-c2, pa je s1(x) = (x-c2) s2(x). Zamislite oduzimanje virase za s 1 (x) y jednako f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Može f(x) = (x-c1) (x-c2) s2(x). Stavljajući ostatak jednakosti x \u003d c3, da popravimo da je f (c 3) \u003d 0, c3 c1, c3 c2, pretpostavljamo da je c3 korijen polinoma s 2 (x). Dakle, s 2 (x) \u003d (x-c 3) s 3 (x), a zatim f (x) \u003d (x-c 1) (x-c 2) (x-c 3) s 3 (x) i tako dalje. za korijene koji su izgubljeni, c4, c5, ..., cm, mi, nareshti, f (x) = (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) sm (x) je oduzeto, ovo je doveo do niže formule.

Budući da je c1, c2, ..., cm različiti korijen polinoma f (x), tada se f (x) može dati promatranjem f (x) \u003d (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) sm (x). Zvuči kao važna posljedica. Kako je c1, c2, ..., cm korijen polinoma f (x), onda se f (x) dijeli s polinomom (x-c1) (x-c2) ... (x-cm). Broj različitih korijena različitog od nule polinoma f(x) nije veći od donjeg koraka. Istina, budući da f(x) nema korijen, jasno je da je teorem točan, više čl. f (x) ≥ 0. Neka f (x) sada ima m korijena c1, c2, ..., cm, štoviše, svi su smrdovi različiti. Baš kao što je f (x) podijeljeno s (x-c1) (x-c2) ... (x-cm). Ponekad se čl. f(x)≥st. ((X-C1) (X-C2) ... (X-Cm)) = st. (x-c1) + art. (X-C2) + ... + Art. (x-cm) \u003d m, zatim st. f(x)≥m, a m je broj korijena obogaćenog člana koji se može uzeti u obzir. A os nula bogatog pojma beskonačno je bogata korijenima, makar ima značenje za štogod x ljepše 0. Zokrema, radi uzroka, i ne kazni isti pjevajući korak. Iz dobro dokazanih teorema očita je ista tvrdnja.

Ako polinom f(x) nije multinom koraka, većeg, nižeg n, i može biti veće, niže n korijena, tada je f(x) nulti polinom. Doista, iz uma uma tvrtke, jasno je da je f (x) nulti polinom, ili art. f(x) ≤n. Uz pretpostavku da polinom f(x) nije nula, tada je art. f(x) ≤n, i tada f(x) ne može biti više, ispod n korijena. Dolazimo do točke izvrsnosti. Dakle, f(x) je obogaćeni član različit od nule. Neka su f(x) i g(x) različiti od nule obogaćeni članovi koraka, a ne veći, niži n. Ako q polinoma dobije istu vrijednost za n + 1 vrijednost promjene x, tada je f (x) = g (x).

Za dokaz, pogledajmo bogati član h(x) = f(x) – g(x). Sinulo mi je - ili h (x) = 0, ili st. h (x) ≤n, tada h (x) nije bogati član koraka, veći od, niži od n. Dopustite mi da sada uzmem broj tako da je f (c) = g (c). Tada je h(c) = f(c) - g(c) = 0, tada je h korijen polinoma h(x). Također, bogati član h(x) ima n+1 korijena, i ako je, kao što je učinjeno, h(x) = 0, tada je f(x) = g(x). Ako f(x) i g(x) imaju iste vrijednosti za sve vrijednosti varijable x, tada

Višestruki korijeni multinoma Kako je broj ê korijen multinoma f (x), ovaj polinom je, očito, djeljiv sa x-s. Možda je moguće da se f(x) može proširiti na sljedeći korak bugato-član x-s, tj. na (x-c) k, k>1. Ova vipadka naziva se višestruki korijen. Formulirajmo termin jasnije. Broj se naziva korijen višestrukosti k (k-struki korijen) polinoma f (x), pa je polinom djeljiv s (x-c) k, k>1 (k je prirodan broj), ali nije djeljiv s ( x-c) k + 1. Ako je k=1, onda se zove prosti korijen, a ako je k>1, naziva se višestruki korijen polinoma f (x).

Dakle, polinom f(x) može se predstaviti kao f(x)=(x-c)mg(x), m je prirodan broj, vin je djeljiv s (x-c) m+1 i onda ako je g(x) djeljiv s x-c . Zaista, ako je g(x) djeljiv s x-c, tada je g(x)=(x-c)s(x), tada je f(x)=(x-c) m+1 s(x), a također, f(x ) dijeli se s (x-c) m+1. Natrag, budući da je f(x) djeljiv s (x-c) m+1, tada je f(x)=(x-c) m+1 s(x). Zatim (x-c) mg (x) \u003d (x-c) m + 1 s (x) i nakon kratkog vremena za (x-c) m, uzima se g (x) = (x-c) s (x). Zvuči kao da je g(x) podijeljen na x-s.

Jasno je, na primjer, da je chi broj 2 kao korijen bogatog člana f(x) = x 5 -5 x 4+3 x 3+22 x 2 -44 x+24, a ako je tako, onda znamo njegovu mnogostrukost. Kako bismo provjerili prvo napajanje, možemo provjeriti dodatnu Hornerovu shemu, koja dijeli f(x) s x-2. može biti: Tablica 4. 2 1 1 -5 -3 3 -3 22 16 -44 -12 24 0 Kao kod Bachima, višak pri dijeljenju f(x) s x-2 je veći od 0, pa ga treba podijeliti s x-2. Dakle, 2-korijen polinoma. Osim toga, oduzeli smo da je f(x)=(x-2)(x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x-12). Sada je očito, chi ê f (x) na (x-2) 2. Tse to depozit, kako mi schoyno donio, s obzirom na djeljivost polinoma g (x) \u003d x 4 -3 x 3 -3 x 2 + 16 x-12 na x-2.

Opet ubrzavanje po Hornerovoj shemi: Tablica 5. 1 -3 -3 16 -12 2 1 -1 -5 6 0 -x2 -5x +6). Tada je f (x) \u003d (x-2) 2 (x 3 -x 2 -5 x + 6). Također, f(x) je djeljiv sa (x-2) 2, sada treba reći da je f(x) djeljiv sa (x-2)3. Za koje je reverzibilno da je h(x) \u003d x 3 -x 2 -5 x + 6 podijeljeno s x-2: Tablica 6. 1 -1 -5 6 2 1 1 -3 0 x-2, također, f(x) je podijeljeno sa (x-2) 3, i f(x)=(x-2)3(x 2+x-3).

Tada se na sličan način može provjeriti je li f(x) podijeljeno s (x-2)4, tako da je s(x)=x 2+x-3 podijeljeno s x-2: Tablica 7. 2 1 1 1 3 -3 3 Poznato je da je višak kada je s(x) podijeljen s x-2 jednak 3, tada s(x) nije podijeljen s x-2. Također, f(x) ne supsumira na (x-2) 4. Na ovaj način, f(x) supsumira na (x-2)3, ali ne supsumira na (x-2)4. Također, broj 2 je korijen višestrukosti bogatog člana 3 f(x).

Ozvučite odjek korijena za višestruko manje brojanja za stolom. Za ovu primjenu tablica može izgledati ovako: Tablica 8. 1 -5 3 22 -44 -24 2 2 1 1 -3 -1 1 3 -3 -5 -3 3 16 6 0 -12 0 0 Horner je oduzeo multinoma f (x) za x-2, u drugom redu oduzimamo koeficijente polinoma g (x). Onda uzmimo ovaj drugi red u prvi red novog Hornerovog sustava i oduzmimo g (x) za x-2 i tako dalje. Na taj način je višestrukost korijena jednaka broju otrimanih nula viškova. U nizu, kako bi se osvetio preostali višak različit od nule, postoje i koeficijenti dijela kada je f (x) podijeljeno s (x-2) 3.

Sada, vikoristovuyuchi schoyno proponovan shema ponovne provjere korijena za višestrukost, čini se da zadatak dolazi. Za bilo koji a i b, bogati član f(x) \u003d x 4 + 2 x 3 + ax 2 + (a + b) x + 2 može li broj - 2 biti korijen višestrukosti broja 2? Dakle, višestrukost korijena - 2 je zbog dodavanja 2, zatim, nakon što ga podijelimo s x + 2 za predloženu shemu, dužni smo udvostručiti da uzmemo višak od 0, au trećem - višak, koji je jednaka nuli. Svibanj: Tablica 9. -2 -2 -2 1 1 2 0 -2 -4 aa a+4 a+12 a+b -3 a+b-8 2 2 a-2 b+2

U ovom rangu, broj - 2 ê korijen višestrukosti 2 izdisajnog bogatog termina, tada i samo tada, ako

Racionalni korijen polinoma Ako je nekratki član l/m (l, m su cijeli brojevi broja) korijen bogatog člana f(x) s više koeficijenata, tada je najveći koeficijent polinoma djeljiv s m, a dugi rok je djeljiv s 1. Točno, kao f (x )=anxn+an-1 xn-1+…+a 1 x+a 0, an≠ 0, de an, an-1, . . . , a 1, a 0 su cijeli brojevi, tada je f(l/m) = 0, zatim an(l/m) n+an-1 (l/m) n-1+. . . +a 1 l/m+a 0=0. Uvredljive dijelove cijene ekvivalencije pomnožite s mn. Uzmi anln+an-1 ln-1 m+. . . +a 1 lmn-1+a 0 mn=0. Anln=m (-an-1 ln-1 -...- a 1 lmn-2 -a 0 mn-1) zvuči.

Bachimo, cijeli broj anln djeljiv je s m. Ale l/m je nekratak drib, pa su brojevi l i m medusobno jednostavni, ali su isto tako, prema teoriji valjanosti cijelih brojeva, i brojevi ln i m medusobno jednostavni. Otzhe, anln da se dijeli na m i m međusobno je jednostavno od ln, također, an da se dijeli na m. Znamo racionalni korijen bogatog člana f (x) \u003d 6 x 4 + 13 x 2 -24 x 2 -8 x + 8. Prema teoremu, racionalni korijen polinoma nalazi se među nekratkim razlomcima u obliku l / m, de l je dilnik slobodnog člana a 0 \u003d 8, a m je dilnik najvećeg koeficijenta a 4 \u003d 6. ako je tako, tada je l / m negativan, tada znak "-" dolazi do brojčanika. Na primjer, - (1/3) = (-1)/3. Također, možemo reći da je l faktor broja 8, a m pozitivan faktor broja 6.

Oscilatori broja 8 - tse ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, a pozitivni dilatatori broja 6 bit će 1, 2, 3, 6, tada je racionalni korijen gledanog bogatog člana među brojevi ± 1, ± 1/2, ± 1 /3, ±1/6, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8/3. Pretpostavljam da smo zapisali više od kratkih frakcija. U ovom redoslijedu možemo imati dvadesetak brojeva - "kandidata" za korijenje. Ostalo je samo preispitati ih kožu i odabrati one, kao vjerne korijenima. Stiže teorem koji će robotu olakšati. Sve dok je l/m korijen višestrukog člana f(x) s višestrukim koeficijentima, tada se f(k) dijeli s l-km za bilo koji cijeli broj k za um, da je l-km≠0.

Da bismo dokazali teorem, previše dijelimo f(x) na x-k íz. Oduzimamo f(x)=(x-k)s(x)+f(k). Oskílki f(x) je bogati član s qlimi koeficijentima, onda je takav bogati član s(x), a f(k) je cijeli broj. Neka je s(x)=bn-1+bn-2+…+b 1 x+b 0. Tada je f(x)-f(k)=(x-k) (bnxn-1+bn-2 xn-2+ … +b1x+b0). Platimo ovu mirnoću 1 x=l/m. Ako je f(l/m)=0, tada je f(k)=((l/m)-k)(bn-1(l/m)n-1+bn-2(l/m)n- 2+ …+b 1(l/m)+b 0). Pomnožite oštećeni dio preostalog kapitala s mn: mnf(k)=(l-km)(bn-1 ln-1+bn-2 ln-2 m+…+b 1 lmn-2+b 0 mn-1) . Jasno je da je broj mnf (k) podijeljen s l-km. Ale oskílki l í m su međusobno jednostavni, onda su mn í l-km također međusobno jednostavni, također, f (k) je podijeljeno s l-km. Teorem je dovršen.

Okrenimo se našem dupetu i, nakon što smo dokazali teorem, on je još zvučniji o zvuku racionalnog korijena. Potrebno je dodijeliti teorem za k=1 í k=-1, odnosno jer je ne-kratki dríb l/m korijen člana f(x), tada je f(1)/(l-m), i f(-1)/(l + m) . Lako je znati da je u vremenima f(1)=-5, a f(-1)=-15. S poštovanjem, odmah smo ga isključili na prvi pogled ± 1. Od sada je racionalni korijen našeg bogatog člana sljedeći broj srednjih brojeva ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2 /3, ± 4/3, ± 8 /3. Pogledajmo l/m=1/2. Tada se l-m=-1 i f(1)=-5 dijele s cijelim brojem. Dalí, l+m=3 í f(1) =-15 pa se sam dijeli s 3. Dakle, dríb 1/2 ostaje u sredini "kandidata" u korijenu.

Dopustite mi sada lm=-(1/2)=(-1)/2. U ovom slučaju, l-m=-3 í f(1) =-5 ne dijeli se s - 3. Dakle, dríb -1/2 ne može biti korijen ovog bogatog člana i možemo ga isključiti iz daljine. Potrebno je ponovno razmisliti o primjeni udaraca na kožu, uzimamo u obzir da se korijen nalazi među brojevima 1/2, ± 2/3, 2, - 4. U ovom rangu, da završimo isti jednostavan trik, područje racionalnih korijena razmatranog polinoma zvučalo je smisleno. Pa, za ponovnu provjeru brojeva koji su izostavljeni, možemo koristiti Hornerovu shemu: Tablica 10. 6 13 -24 -8 8 1/2 6 16 -16 0

Bachimo, scho 1/2 je korijen obogaćenog člana f(x) i f(x) = (x-1/2) (6 x 3+16 x 2 -16 x-16) = (2 x-1 ) (3 x 3+8 x 2 -8 x-8). Bilo je jasno da su ostali korijeni polinoma f(x) uzeti iz korijena polinoma g(x) =3 x 3+8 x 2 -8 x-8, zatim, daljnja ponovna provjera "kandidata" u korijen se može izvesti već iz istog polinoma. Znamo: Tablica 11. 3 8 -8 -8 2/3 3 10 -4/3 -80/9 Uzeli smo da je višak kada je g(x) podijeljen s x-2/3 veći - 80/9 , onda. 2/3 nije korijen polinoma g(x), također, i f(x). Nadalje, znamo da je - 2/3 korijen polinoma g (x) i g (x) \u003d (3 x + 2) (x 2 + 2 x-4).

Tada je f(x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Daljnja provjera može se provesti za polinom x 2+2 x-4, koji je znatno jednostavniji, manji za g (x) ili veći za f (x). Kao rezultat toga, uzima se u obzir da brojevi 2 i - 4 nisu ukorijenjeni. Također, bogati član f(x) =6 x 4+13 x 3 -24 x 2 -8 x+8 ima dva racionalna korijena: 1/2 i - 2/3. Ova metoda omogućuje poznavanje samo racionalnog korijena bogatog člana s velikim brojem koeficijenata. Tim je ponekad bogati član majke i iracionalnog korijena. Tako, na primjer, kada gledamo kraj bogatog člana, postoje samo dva korijena: - 1±√5 (ovi korijeni bogatog člana su x2 + 2 x-4). polinom se može nazvati nematerijalnim racionalnim korijenom.

Kada testirate "kandidate" u korijenu obogaćenog člana f(x) nakon daljnje razrade drugih teorema, trebali biste pozvati lijevu stranu za kandidate k=± 1. Drugim riječima, ako je l/m "kandidat" na korijen, tada ćete previše misliti da su f( 1 ) i f(-1) na l-m i l+m točni. Ali može biti, na primjer, f(1) =0, tj. 1 je korijen, tada se f(1) može proširiti kao broj, a ponovna provjera ima smisla. U ovom slučaju, podijelite f(x) s x-1, pa uzmite f(x)=(x-1)s(x) i testirajte polinom s(x). Ako zaboravite da je jedan korijen polinoma f(x)-x 1=1 - već smo znali. Ako su "kandidati" u korijenu obrnuti, koji su izgubljeni nakon drugog teorema o racionalnom korijenu, nakon Hornerove sheme moguće je da je npr. l / m korijen, tada bi trebalo znati njegovu višestrukost. Ako je skuplji, recimo k, onda je f(x)=(x-l/m) ks(x), a za s(x) se može napraviti daljnja reverifikacija, što će skratiti izračun.

Riješenje. Nakon promjene promjene y=2 x, prijeđimo na polinom s koeficijentom jednakim jedan za najviši korak. Za ovo pleće pomnožimo viraz sa 4. Ako se oduzme funkcija korijena, onda se smrad nalazi u sredini slobodnog člana. Mogućnost pisanja ix: ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15±, ±20, ±30, ±60

Izračunavamo sekvencijalno vrijednost funkcije g(y) u tim točkama do nule. Tobto, y=-5 ê korijen, otzhe, ê korijen vanjske funkcije. Provedeno pod stovpchikom (zavojnicom) bogatog člana na binomu

Ponovna provjera dilnikova, koja je izgubljena, trebala bi se provesti nepotpuno, tako da je lakše rasporediti kvadratni trinom Otzhe u množitelje oduzimanja,

Vykoristannya formule brzog množenja i Newtonov binom za proširenje bogatog člana na faktore Inodi stari izgled polinom sugerirati o metodi širenja yoge na množitelje. Na primjer, nakon nedosljednih transformacija, koeficijenti vishikovyvayutsya u nizu iz Pascalovog trikoa za koeficijente Newtonovog binoma. kundak. Navedite izraz množitelja.

Riješenje. Okrećemo to do točke: Niz koeficijenata u zbroju u krakovima jasno pokazuje što je to. Iz istog, Sada ćemo formulirati formulu za razliku kvadrata: Viraz drugi luk nema akcijske korijene, ali za bogati član iz prvog luka, još jednom ćemo formulirati formulu za razliku kvadrata

Vietine formule izražavaju koeficijente polinoma kroz th korijen. Pomoću ovih formula možete ručno ispraviti ispravnost značenja korijena obogaćenog izraza, kao i presavijanje obogaćenog izraza za dane korijene. Formula Kao korijen polinoma, tada se koeficijenti manifestiraju simetričnim bogatim članovima korijena, a

Drugim riječima, ak dragi zbroj svih mogućih tvorevina od k korijena. Kao viši koeficijent polinoma, tada je potrebno sve koeficijente podijeliti na 0 ispred Vieta formule. Od ostale formule Víêta je jaka, kao da je korijen bogatog člana cijeli, onda je smrad dilniks yogo slobodnog člana, koji je također cijeli broj. Dokaz se temelji na gledištu ekvivalencije, oduzimajući raspored bogatog člana prema korijenima, vrakhovuchi, da je a 0 = 1 Izjednačavanje koeficijenata na istim razinama x opsjednut je formulom Víêta.

Odvežite poravnanje x 6 – 5 x 3 + 4 = 0 Odvežite. Značajno y \u003d x 3, iako je jednako gledati y 2 - 5 y + 4 \u003d 0, inače Y 1 \u003d 1; Y 2 \u003d 4. Otzhe, vyhídne r_vnyannya je ekvivalentno braku rívnyan: x 3 = 1 chi x 3 \u003d 4, tj. X 1 = 1 chi X 2 \u003d Vidpovíd: 1;

Bezoutov teorem odredišta 1. Element se naziva korijen bogatog člana, pa je f(c)=0. Bezoutov teorem. Višak u podjeli polinoma Pn(x) binomom (x-a) povećava vrijednost polinoma pri x = a. Dovođenje. Na temelju algoritma, f(x)=(xc)q(x)+r(x), de ili r(x)=0, inače. Kasnije, f(x)=(x-c)q(x)+r, kasnije, f(c)=(c-c)q(c)+r=r, i f(x)=(xc)q(x) + f(c).

Zadnje 1: Višak u podjeli polinoma Pn (x) binomom ax+b je vredniji za polinom na x = -b/a, nego R = Pn (-b/a). Zadnje 2: Kako je broj a korijen polinoma P (x), čiji je polinom djeljiv sa (x-a) bez viška. Lekcija 3: Kako polinom P(x) može biti parno različitih korijena a 1 , a 2 , … , an, vin dijeljenjem s tvir (x-a 1) … (x-an) bez ekscesa. Lekcija 4: Bogati član koraka n može biti tri ili više više od n različitih korijena. Lekcija 5: Za svaki polinom P(x) taj broj a je različit (P(x)-P(a)) djeljiv bez ekscesa binomom (x-a). Lekcija 6: Broj a je korijen polinoma P(x) stupnja koji nije niži od prvog i samo ako se P(x) podijeli s (x-a) bez ekscesa.

Raspored racionalnog razlomka na najjednostavniji Pokažimo da li se ispravan racionalni razlomak može raširiti na zbroj najjednostavnijih razlomaka. Neka mu je dan točan racionalni argument (1).

Teorem 1. Neka je x=a ê korijen natpisa stila k, tada , de f(a)≠ 0, tada se isti točan razlomak može dati u zbroju dva druga pravilna razlomka u sljedećem redoslijedu: (2 ) , a F 1 (x) je bogati član, čiji je korak niži od koraka standarda

de richomember, korak neke vrste nižeg stupnja standarda. Í se može uzeti slično formuli za naprijed: (5)

Kao što smo već naznačili, jedan od najvažnijih zadataka teorije bogato definiranih pojmova jest zadatak razumijevanja njihovih korijena. Za izvršenje ovog zadatka možete osvojiti metodu odabira, tobto. uzeti realni broj i promijeniti ga, što su korijeni ovog polinoma.

Uz ovo, možete piti shvidko na korijenu, ili ga uopće ne možete znati. Nemoguće je za aje izopačiti sve brojke, za one koji su prebogati.

Insha rijeka, yakby uspjeli smo ozvučiti regiju za šalu, na primjer, da znamo koji je korijen, recimo, u sredini trideset navedenih brojeva. A za tridesetak brojeva možete raditi i na reverbu. Na poveznici s brkovima kažemo važnije i vidimo takvu čvrstinu.

Sve dok je l/m (l,m - cijeli brojevi broja) korijen višestrukog člana f(x) s višestrukim koeficijentima, tada je viši koeficijent polinoma djeljiv s m, a veći član djeljiv s 1.

Doista, ako su f(x) = anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, an?0, de an, an-1,...,a1, a0 cijeli brojevi broja, tada je f (l /m) = 0, tada je (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+...+a1l/m+a0=0.

Uvredljive dijelove cijene ekvivalencije pomnožite s mn. Uzmimo anln+an-1ln-1m+... +a1lmn-1+a0mn=0.

Zvukovi vrište:

anln=m (-an-1ln-1-... - a1lmn-2-a0mn-1).

Bachimo, cijeli broj anln djeljiv je s m. Ale l / m - nije kratak dríb, tobto. brojevi l i m su međusobno jednostavni, a prema teoriji djeljivosti cijelih brojeva i brojevi ln i m su međusobno jednostavni. Otzhe, anln da se dijeli na m i m međusobno je jednostavno od ln, također, an da se dijeli na m.

Tema je pokrenuta kako bi se to područje smisleno ozvučilo traženjem racionalnog korijena bogatog pojma s više koeficijenata. To ćemo demonstrirati na konkretnoj aplikaciji. Znamo racionalni korijen bogatog člana f(x) = 6x4+13x2-24x2-8x+8. Prema teoremu, racionalni korijen polinoma nalazi se u sredini nekratkih razlomaka u obliku l / m, de l je dilnik dugoročnog a0 = 8, a m je dilnik najvećeg koeficijenta. a4 = 6. ako je tako, yakscho dríb l/m je negativan, tada se znak "-" vodi prema broju. Na primjer, - (1/3) = (-1)/3. Također, možemo reći da je l faktor broja 8, a m pozitivan faktor broja 6.

Oscilatori broja 8 - tse ±1, ±2, ±4, ±8, a pozitivni dilatori broja 6 bit će 1, 2, 3, 6, tada je racionalni korijen ispitivanog bogatog člana srednji brojeva ±1, ±1/2, ±1 /3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3. Pretpostavljam da smo zapisali više od kratkih frakcija.

U ovom redoslijedu možemo imati dvadesetak brojeva - "kandidata" za korijenje. Ostalo je samo preispitati ih kožu i odabrati one, kao vjerne korijenima. Ali opet, morat ću puno preraditi. I os dolazi, teorem će olakšati robotu.

Sve dok je l/m korijen višestrukog člana f(x) s višestrukim koeficijentima, tada se f(k) dijeli s l-km za bilo koji cijeli broj k, na primjer, l-km?0.

Da bismo dokazali teorem, previše dijelimo f(x) na x-k íz. Uzmi f (x) = (x-k) s (x) +f (k). Budući da je f(x) bogat član s više koeficijenata, onda je takav polinom s(x), a f(k) je cijeli broj. Neka je s(x) = bn-1+bn-2+…+b1x+b0. Tada je f(x) - f(k) = (x-k) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+...+b1x+b0). Platimo ovu mirnoću x=l/m. Vrahovoyuchi, scho f (l / m) = 0, moguće je

f (k) = ((l/m) - k) (bn-1 (l/m) n-1+bn-2 (l/m) n-2+…+b1 (l/m) +b0) .

Pomnožite uvredljivi dio preostale ljubomore s mn:

mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1+bn-2ln-2m+…+b1lmn-2+b0mn-1).

Jasno je da je broj mnf (k) podijeljen s l-km. Ale oskílki l í m su međusobno jednostavni, onda su mn í l-km također međusobno jednostavni, također, f (k) je podijeljeno s l-km. Teorem je dovršen.

Okrenimo se sada našoj zadnjici i, nakon što smo dokazali teorem, on zvuči još glasnije kada je riječ o zvuku racionalnog korijena. Potrebno je zadati teorem za k=1 í k=-1, dakle. kao ne-kratki dríb l/m je korijen od f(x), zatim f(1)/(l-m) i f(-1)/(l+m). Lako je znati da je f(1) =-5, a f(-1) =-15. S poštovanjem, zarazu smo isključili na prvi pogled ±1.

Također, racionalni korijen našeg bogatog člana je slijedeći srednje brojeve ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3.

Pogledajmo l/m=1/2. Tada se l-m=-1 i f(1)=-5 dijele s cijelim brojem. Dalí, l+m=3 í f(1) =-15 pa se sam dijeli s 3. Dakle, dríb 1/2 ostaje u sredini "kandidata" u korijenu.

Dopustite mi sada lm = - (1/2) = (-1) / 2. U ovom slučaju, l-m=-3 í f(1) =-5 ne dijeli se s - 3. Dakle, dríb - 1/2 ne može biti korijen ovog bogatog člana i možemo ga isključiti iz daljine. Potrebno je ponovno razmotriti kod injekcija na dermalni recept, uzimamo u obzir da se korijen nalazi među brojevima 1/2, ±2/3, 2, - 4.

U ovom rangu, da bi završili isti jednostavni trik, smisleno su ozvučili regiju u potrazi za racionalnim korijenom analiziranog polinoma. Pa, za ponovnu provjeru brojeva koristimo Hornerovu shemu:

Tablica 10

Uzeli su da je višak kada je g (x) podijeljen s x-2/3 jednak 80/9, tako da 2/3 nije korijen bogatog člana g (x), već znači, i f (x) .

Nadalje, lako je znati da je - 2/3 korijen višestrukog člana g(x) i g(x) = (3x+2) (x2+2x-4). Tada je f(x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Daljnja provjera može se provesti za polinom x2+2x-4, koji je očito jednostavniji, manji g(x) ili veći f(x). Kao rezultat toga, uzima se u obzir da brojevi 2 i - 4 nisu ukorijenjeni.

Također, bogati član f(x) = 6x4+13x3-24x2-8x+8 ima dva racionalna korijena: 1/2 i - 2/3.

Nagađanje, više opisa metode daje mogućnost saznanja racionalnog korijena bogatog člana s mnogo koeficijenata. Tim je ponekad bogati član majke i iracionalnog korijena. Tako, na primjer, kada gledamo zadnjicu bogatog člana, postoje samo dva korijena: - 1±v5 (ovi korijeni bogatog člana su x2 + 2x-4). I, očito, bogata članica ne mora biti majka racionalnog korijena.

Sada je gospođa sretna.

Kada isprobavate "kandidate" u korijenu bogatog člana f(x), nakon daljnje razrade više teorema, zvučite lijevo za vipadkív k=±1. Drugim riječima, budući da je l/m "kandidat" u korijenu, obrnuto je mogu li se f (1) i f (-1) podijeliti na l-m i l+m očito. Ali može biti da je, na primjer, f (1) = 0, tada je 1 korijen, a zatim se f (1) može podijeliti s brojem, a naša ponovna provjera ima smisla. Í ovdje je sljedeći korak podijeliti f (x) s x-1, dakle. uzmite f(x) = (x-1) s(x) i testirajte polinom s(x). Ako ne zaboravite da jedan korijen obogaćenog člana f(x) – x1=1 – već znamo. Kako je u slučaju okretanja "kandidata" u korijenu, koji se izgubio nakon drugog teorema o racionalnom korijenu, nakon Hornerove sheme moguće da je npr. l / m korijen, tada treba znati njegovu višestrukost. Ako je skuplje, recimo, k, tada je f(x) = (x-l/m) ks(x), a daljnja ponovna provjera se može napraviti za s(x), što će skratiti izračun.

U ovom rangu smo naučili znati racionalni korijen bogatog člana s velikim koeficijentima. Čini se da smo i sami naučili znati iracionalni korijen bogatog člana s racionalnim koeficijentima. Zapravo, koliko ja mogu, na primjer, bogat izraz f (x) \u003d x4 + 2 / 3x3 + 5 / 6x2 + 3 / 8x + 2, zatim, dodajući koeficijente u zastavu za spavanje i dodajući jogu za krakove, uzimamo f (x) \u003d 1 /24 (24x4+16x3-20x2+9x+48). Bilo je jasno da su korijeni polinoma f(x) formirani od korijena bogatog člana, koji stoje na krakovima, au novom koeficijentu - brojevi. Recimo, na primjer, da je sin100 iracionalan broj. Ubrzavanje domaćom formulom sin3?=3sin?-4sin3?. Zvijezde sin300 = 3sin100-4sin3100. Gledajući unatrag na one koji sin300=0,5 i provode nespretne transformacije, možemo pretpostaviti da je 8sin3100-6sin100+1=0. Također, sin100 je korijen člana f(x) = 8x3-6x+1. Baš kao što shukatimemo racionalno korijen tog bogatog člana, onda perekaêmosya, nemamo ih. Otzhe, korijen sin100 je racionalan broj, tobto. sin100 je iracionalan broj.

dođi

- bogati član koraka n ≥ 1 u efektivnoj vrijednosti kompleksne varijable z s efektivnom vrijednošću kompleksnih koeficijenata a i . Dokažimo sljedeći teorem.

Teorem 1

Niveliranje P n (z) = 0 Mogu li poželjeti jedan korijen.

Hajdemo Lema.

Lema 1

Neka je P n (z)- bogati član koraka n, z 1 - korijen rijeke:
P n (z1) = 0.
Todi P n (z) može se otkriti na jedan način gledanjem na:
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z),
de P n- 1(z)- obogaćeni izraz korak n - 1 .

Dovođenje

Da bismo to dokazali, napravimo teorem (div. Dijeljenje višestrukog člana višestrukim članom naborom i batrljkom), moguće je za bilo koja dva bogata člana P n (z) i Qk (z), korake n i k, štoviše, n ≥ k
P n (z) = P n-k (z) Q k (z) + U k-1 (z),
de P n-k (z)- bogati član koraka n-k, U k- 1(z)- bogati član koraka nije veći od k- 1 .

Stavimo k = 1 , Qk (z) = z - z 1 također
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z) + c,
de c - brzo. Zamislimo ovdje z = z 1 da vrahuêmo, scho P n (z1) = 0:
P n (z 1 ) = (z 1 - z 1 ) P n-1 (z 1 ) + c;
0 = 0 + c.
Zvídsi c = 0 . Todi
P n ,
što je bilo potrebno ponijeti.

Proširenje bogatog izraza u množitelje

Također, na temelju teorema 1, bogati član P n (z) Mogu li poželjeti jedan korijen. Značajno yogo yak z 1 , P n (z1) = 0. Isto na štandu lemy 1:
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z).
Dali, kao n > 1 , tada polinom P n- 1(z) pa mogu li htjeti jedan korijen, koji je smislen kao z 2 , Pn- 1(z2) = 0. Todi
Pn- 1 (z) = (z - z 2) P n-2 (z);
P n (z) = (z - z 1) (z - z 2) P n-2 (z).

Nastavljajući ovaj proces, dolazimo do zaključka da imamo n brojeva z 1, z 2, ..., z n takav da
P n (z) = (z - z 1) (z - z 2) ... (z - z n) P 0 (z).
Ale P 0 (z)- tse postiyna. Izjednačujući koeficijente pri z n, poznato je da je skuplji a n. Kao rezultat toga, opsjednuti smo formulom za dijeljenje bogatog izraza u množitelje:
(1) P n (z) = a n (z - z 1) (z - z 2) ... (z - z n).

Brojevi z i ê korijenima bogatog pojma P n (z).

Na zagalny vpadku ne sve z i, scho unijeti prije (1) , Rizní. Među njima mogu biti iste vrijednosti. Kako proširiti bogati pojam u množitelje (1) možete napisati na vidiku:
(2) P n (z) = a n (z - z 1 ) n 1 (z - z 2 ) n 2 ... (z - z k ) n k;
.
Ovdje je z i ≠ z j za i ≠ j. Yakscho n i = 1 , onda korijen z i zove oprostiti. Vín unesite na rasporedu za množitelje na nišanu (z-z i ). Yakscho n i > 1 , onda korijen z i naziva višestruki korijen višestrukosti n i . Vín ući u raspored množitelja kada gledate ekstrakciju n i prostih množitelja: (z-z i )(z-z i ) ... (z-z i ) = (z-z i ) n i.

Bogati termini s efektivnim koeficijentima

Lema 2

Kako je riječ o kompleksnom korijenu polinoma s efektivnim koeficijentima, tada je broj također kompleksno povezan s korijenom polinoma, .

Dovođenje

Deisno, yakscho i koeficijenti polinoma - díysní brojevi, onda.

U ovom redoslijedu, složeni korijen je uključen u raspored množitelja u parovima sa svojim složenim značenjima:
,
de, - Realni brojevi.
Isti raspored (2) bogat izraz s efektivnim koeficijentima za množitelje može se podnijeti na uvid, u prisustvu samo efektivnog brzog:
(3) ;
.

Metode za dijeljenje bogatog izraza u množitelje

Uz poboljšanje gore rečenog, za rastavljanje polinoma na faktore potrebno je poznavati sve korijene jednadžbe P n (z) = 0 i označite njihovu višestrukost. Množitelje sa složenim korijenima treba grupirati na složen način. Isti raspored ovisi o formuli (3) .

U ovom se rangu u ofenzivi koristi metoda širenja bogatog izraza u množitelje:
1. Znamo korijen z 1 izjednačenje P n (z1) = 0.
2.1. Yakshcho korijen z 1 učinkovit, tada u izgledu dodajemo množitelj (z-z1) (z-z1) 1 :
.
1(z), počevši od točke (1) , Dok ne saznamo sve korijene.
2.2. Kao složeni korijen, broj ê se složeno dobiva kao korijen bogatog člana. Todí prije polaganja unesite množitelj

,
de b 1 = - 2 x 1, c 1 = x 1 2 + y 1 2.
Po mom mišljenju, u izgledu dodajemo množitelj (z 2 + b 1 z + c 1) razrjeđujem bogati pojam P n (z) po (z 2 + b 1 z + c 1). Kao rezultat toga, uzimamo bogati član koraka n - 2 :
.
Ponovimo postupak za polinom P n- 2(z), počevši od točke (1) , Dok ne saznamo sve korijene.

Poznavanje korijena bogatog člana

glavni ured, uz proširenje polinoma na faktore, značaj yogo korijena. Nažalost, ne možete uvijek raditi analitički. Ovdje ćemo analizirati papalinu vipadkiv, ako možete analitički znati korijen izraza bogati.

Korijen bogatog člana prve faze

Bogati član prvog koraka je integralna funkcija. Postoji samo jedan korijen. Raspored može biti samo jedan množitelj kako bi se osvetio za promjenu z:
.

Korijen bogatog člana druge razine

Da bismo znali korijen bogatog izraza druge razine, potrebno je odvezati kvadrat jednak:
P 2(z) = a 2 z 2 + a 1 z + a 0 = 0.
Kao diskriminant, tada postoje dva stvarna korijena:
, .
Pogledajte samo množitelje:
.
Što je diskriminant D = 0 , onda jednak može jedan dvorazovy korijen:
;
.
Kao diskriminator D< 0 , tada je korijen složeniji,
.

Bogato artikulirana stepenica više za drugu

Ísnuyu formule za značenje korijena bogatih segmenata 3. i 4. koraka. Rijetko kore s njima, krhotine smrada su glomazne. Ne postoje formule za poznavanje korijena bogato artikuliranog stupnja višeg od 4. Neznajući na licu mjesta, u deyakih vipadkas, ide se u širenje bogatog pojma u množitelje.

Značaj cijelog korijena

Čini se da je to bogat pojam, za neke koeficijente - broj brojeva, broj korijena, koji se mogu saznati sortiranjem svih mogućih vrijednosti.

Lema 3

Daj mi bogati kurac
,
koeficijenti a i od kojih - broj broja koji može biti korijen iz z 1 . Isti korijen kao dilnik broja a 0 .

Dovođenje

Prepišimo jednako P n (z1) = 0 na vidiku:
.
Todi - tsile,
Mz 1 = - a0.
Podijeljeno sa z 1 :
.
Oskílki M - qile, zatim i - qile. Što je trebalo donijeti.

Stoga, kao koeficijenti polinoma - brojevi brojeva, možete pokušati znati brojeve korijena. Za koga je potrebno znati sve dilnike besplatnog člana 0 í, zamjena izjednačenja P n (z) = 0, perverti, chi ê smrad do korijena toga ravna.
Bilješka. Budući da su koeficijenti polinoma racionalni brojevi, tada je množenje jednako P n (z) = 0 na visokom standardu brojeva a i uzimamo izjednačenje za polinom s cjelobrojnim koeficijentima.

Značenje racionalnog korijena

Budući da koeficijenti polinoma - brojevi broja i broj korijena nisu, tada za n ≠ 1 , možete pokušati saznati racionalni korijen. Za koga je potrebno napraviti zamjenu
z = y/a n
i pomnožite jednako s a n n- 1 . Kao rezultat, uzimamo u obzir jednakost za bogati član u obliku promjene i s brojem koeficijenata. Dali shukaimo korijen bogatog člana srednjeg člana slobodnog člana. Budući da smo poznavali takav korijen y i , tada ćemo prelazeći na promjenu x pretpostaviti racionalni korijen
z i = y i / a n.

Obojene formule

Uvodimo formule uz pomoć kojih je moguće rastaviti polinom na faktore.

Imati divlji temperament, izložiti bogatog člana
P n (z) = z n - a 0,
de a 0 - složenije je, potrebno je poznavati sve yogo korijene, kako biste mogli razotkriti jednake:
z n = a 0 .
Tsívnyannya je lako pogriješiti, kao da se dokazuje a 0 preko modula r i argument?
.
Oskilki a 0 nemojte mijenjati, kao dodati argumentu 2 π, onda zamislite a 0 na vidiku:
,
de k – qile. Todi
;
.
Dodjeljivanje vrijednosti k k = 0, 1, 2, ... n-1, Uzimamo n korijena polinoma. Todi yogo raspored za množitelje može izgledati:
.

Bisquare bagaton term

Pogledajmo bikvadratni član:
.
Bikvadratno bogat izraz može se podijeliti na množitelje, bez korijena.

Kada, možda:

,
de.

Bikubični i bogati segmenti koji se mogu svesti na kvadrat

Pogledajmo bogatog člana:
.
Yogo korijen označava jednako:
.
Bit ćete vođeni do kvadratno poravnanje zamjena t = z n :
a 2 n t 2 + a n t + a 0 = 0.
Virishivshi tse eve, poznajemo yogo korijen, t 1 , t 2 . Ako znamo raspored na vidiku:
.
Dali metodom, pogledajmo je, proširimo je u množitelje z n - t 1 i z n - t 2 . Visnovka ima skupinu množitelja, koji osvećuju korijen na složen način.

Rotacijske stabljike

Bogati član se zove povratak yakscho yogo koeficijenti su simetrični:

Kundak bagato člana koji se može pohraniti:
.

Budući da su koraci obrnutog polinoma n neupareni, takav polinom može imati korijen z = -1 . Dijeljenje tako bogatog pojma na z + 1 , uzimamo povratni bogati izraz koraka

U slučaju rozv'yazanní rivnyan i nerívnjaní često vykaê níkaê nebhídníst razvídníê polinom razvídníê na polinome, stupíníy í í dívníê tri ili više. Možemo pogledati ove statistike, kako to učiniti jednostavnijim.

Kao zavžd, zvjerski za pomoć teoriji.

Bezoutov teorem stverzhuê, scho višak u cijepanju polinoma u binom dorivnyuê.

Ali ono što nam je važno nije sam teorem, već posljedica toga:

Budući da je broj korijen polinoma, onda se polinom može podijeliti bez previše binoma.

Pred nama je zadatak znati kako znati jedan korijen bogatog pojma, zatim dijelimo bogati pojam na, de - korijen bogatog pojma. Kao rezultat, uzimamo bogati član, podnožje jednog je jedno manje, donje je rebro vanjskog. A onda za konzumaciju, možete ponoviti postupak.

Tse zavdannya podijeljena je na dva: kako znati korijen obogaćenog člana i kako podijeliti obogaćeni izraz u binom.

Izvijestimo o ovim trenucima.

1. Kako znati korijen bogatog člana.

Stražnja strana ruke je poštovana, chi je broj 1 i -1 korijena bogatog člana.

Evo nekoliko činjenica koje će nam pomoći:

Kako je zbroj svih koeficijenata polinoma jednak nuli, broj je korijen polinoma.

Na primjer, polinom zbroja koeficijenata jednak je nuli: . Lako je pogrešno protumačiti što je korijen bogatog člana.

Kako je zbroj koeficijenata polinoma u uparenim koracima jednak zbroju koeficijenata u neuparenim koracima, broj je korijen polinoma. Vilniy član vvazhaetsya koeficijent na dvostrukoj razini, oskolki, i - tip broj.

Na primjer, u polinomu zbroja koeficijenata na uparenim koracima : , i zbroju koeficijenata na nesparenim koracima : . Lako je pogrešno protumačiti što je korijen bogatog člana.

Ako je ní 1, ní -1 ê do korijena polinoma, tada se udaljenost ruši.

Za inducirani bogati član koraka (odnosno bogati član, u kojem je stariji koeficijent koeficijent na - vodećem), vrijedi sljedeća formula:

De je korijen bogatog člana.

Postoji više formula Víêta, da postoje drugi koeficijenti polinoma, ali o tome možemo govoriti sami.

Z tsíêí̈ formula Víêta viplivaê, scho kao korijen bogatog člana cijeloga, zatim smrad dilnika jogo slobodnog člana, koji je i cijeli broj.

Vihodyachi z tsogo, trebamo rasporediti varijabilni izraz bogatog izraza u višekratnike, i redom, od najmanjeg do najvećeg, obrnuti, koji je od množine korijen bogatog izraza.

Pogledajte ga, na primjer, bogati član

Besplatni dnevnici članova: ; ; ;

Zbroj svih koeficijenata polinoma je skuplji, tada je broj 1 prestao biti korijen polinoma.

Zbroj koeficijenata za dva koraka:

Zbroj koeficijenata za nesparene korake:

Također, broj -1 također je korijen polinoma.

Reverzibilno je da je chi broj 2 kao korijen bogatog izraza: također, broj 2 je korijen bogatog izraza. Kasnije, slijedeći Bezoutov teorem, bogati se član može bez ekscesa podijeliti u binom.

2. Kako oduzeti bogati član u binom.

Bogati izraz može se podijeliti na binom s panjem.

Dijelimo bogati izraz u binom sa stompchikom:

Drugi način podjele polinoma na binom je Hornerova shema.

Pogledajte video kako biste razumjeli kako podijeliti bogati izraz u binarni izraz s korakom i za dodatnu Hornerovu shemu.

Poštovat ću to kada rozpodílí stovpchik poput koraka koji nisu poznati vyhídny polinom vídsutnya, njezina místsí piše 0 - kao í, kao iz presavijene tablice za Hornerovu shemu.

Stoga, kako trebamo podijeliti obogaćeni izraz u binarni izraz i kao rezultat uzimamo bogati izraz, tada možemo znati koeficijente iza Hornerove sheme:

Možemo i vicorist Hornerova shema kako bi se obrnulo, ako je broj dan kao korijen bogatog izraza: ako je broj korijen bogatog izraza, tada je višak u potpolju bogatog izraza jednak nuli, pa je u preostalom stupcu drugi red Hornerove sheme uzimamo 0.

Vikoristovuyuchi Hornerova shema, mi "ubijamo dvije muhe jednim udarcem": jedan sat provjeravamo je li broj korijen obogaćenog izraza i dijelimo bogati izraz u binom.

kundak. Virishiti Rivnyannia:

1. Zapiši dilnike slobodnog člana, a shukatimemo korijen bogatog člana srednjeg dilnika slobodnog člana.

Dijalozi broja 24:

2. Reverzibilno, chi je korijen broj 1 bogatog izraza.

Zbroj koeficijenata polinoma, također, broj 1 je korijen polinoma.

3. Podijelite vanjski obogaćeni izraz u binarni izraz koristeći Hornerovu shemu.

A) Zapišite prvi redak tablice koeficijenata izlaznog polinoma.

Oskílki član, scho osveta vídsutnya, za tim stolom stol, koji može imati koeficijent kada pišemo 0. Pišemo zli korijen znanja: broj 1.

B) Spremite prvi redak tablice.

U ostatku stupca, kao da je jasno, oduzeli smo nulu, svijet je posljednji bogati član podijelio u binom bez ekscesa. Koeficijenti polinoma koji rezultat ima ispod slike u plavoj boji u drugom redu tablice:

Lako je pogrešno shvatiti da brojevi 1 i -1 nisu korijeni bogatog pojma

C) Nastavljamo tablicu. Reverzibilno, chi je broj 2 kao korijen bogatog izraza:

Dakle, korak polinoma, koji se pojavljuje u rezultatu podčlana je jedan manji od koraka izlaznog bogatog člana, također broj koeficijenata i broj stupaca su jedan manji.

U ostatku stupca oduzeli smo -40 - broj koji se ne zbraja s nulom, stoga je bogati član podijeljen binarnim članom iz viška, a broj 2 nije korijen bogatog člana.

C) Reverzibilno, chi je broj -2 kao korijen bogatog izraza. Dakle, kao i do sada test nije bio daleko, da ne bi bilo muljanja sa koeficijentima, ja sam u nizu, da potvrđujem svoj test:

čudesno! Iz viška je oduzeta nula, zatim je bogati član podijeljen na binom bez viška, a broj -2 je korijen bogatog člana. Koeficijenti polinoma, koji u rezultatu dijeli polinom na binom u tablici slike u zelenoj boji.

Kao rezultat toga, oduzeli smo kvadratni trinom , čiji je korijen lako saznati iza Vietovog teorema:

Otzhe, korijen vanjskog oživljavanja:

{}

Prijedlog: ( }

Yakscho bogat član

Dovođenje

Neka su nam koeficijenti polinoma ê cijeli brojevi, a neka je broj a korijen th bogatog člana. Onome u kojem zvuk svijetli u svakom trenutku koeficijent se dijeli s a.

Poštovanje. Ovaj teorem vam zapravo omogućuje da znate korijen bogatijih članova viših koraka u tom slučaju, ako su koeficijenti ovih bogatih članova brojevi, a korijen je racionalni broj. Teorem se može preformulirati na sljedeći način: baš kao što znamo da su koeficijenti polinoma brojevi broja, a korijen yogoa je racionalan, tada racionalni korijen može biti samo kao de p kao dilnik broja (slobodan termin), a broj q je dilator broja (stariji coy) .

Teorem o cijelom korijenu,što da se osvetiš sebi

Kao što je broj α korijen bogatog pojma s više koeficijenata, tako je α dilnik jogijskog slobodnog pojma.

Dovođenje. Dođi:

P(x)=a 0 xⁿ +a 1 xⁿ -1 +…+a n-1 x +a n

bogat izraz s qlimi koeficijentima i qile brojem α - yogo korijen.

Tada se izjednačava vrijednost korijena P (α)=0;

a 0 αⁿ+a 1 αⁿ -1 +…+a n-1 α +a n =0.

Vinosyachi zagalny multiplikator α za lukove, oduzmite ekvivalenciju:

α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)+a n =0 , zvijezde

a n = -α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)

Krhotine broja a 0 , a 1 ,…a n-1 , an i α −tsílí, zatim lukovi trebaju biti cijeli broj, zatim, a n biti podijeljeno s α, kako je trebalo biti dovršeno.

Teorem je iznesen, ali se može formulirati na sljedeći način: broj korijena polinoma s brojem koeficijenata je dilator prvog slobodnog člana.
Na teoremu temelja, algoritam za traženje cjelobrojnog korijena obogaćenog člana s cijelim brojem koeficijenata:

2. Dodatkov teorem o vrijednosti korijena

Osim broja α-korijena bogatog člana P(x) s cjelobrojnim koeficijentima, zatim α-1-djelitelj broja P(1), α+1-djelitelj broja P(-1)

Dovođenje. 3 istovjetnost

xⁿ-yⁿ=(x-y)(xⁿ -1 +xⁿ -2 y+…+ xyⁿ -2 +yⁿ -1)

možete vidjeti da je iz broja brojeva b í c broj bⁿ-cⁿ djeljiv s b∙c. Pivo za svakog bogatog člana P maloprodaja

P (b)-P(c)= (a 0 b+a 1 bⁿ -1 +…+a n-1 b+a n)-(a 0 cⁿ+a 1 cⁿ -1 +…+a n-1 c +a n)=

=a 0 (bⁿ- cⁿ)+a 1 (bⁿ -1 -cⁿ -1)+…+a n-1 (b-c)

í, također, za polinom P sa zílimi koeficijentima í zílih brojeva b í c razlika P(b)-P(c) se dalje dijeli na b-c.

Podsjetimo se: za b = α, z = 1, P (α)-P (1) = -P (1), što znači da je P (1) podijeljeno s α-1. Slično tome, postoji i drugi pogled.

Hornerova shema

Teorema: Neka kratkoročni dríb p / q ê korijen jednak a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n =0 s više koeficijenata, isti broj q ê dilnik seniorskog koeficijenta a0, i broj R ê dilnik slobodan član an.

poštovanje 1. Budite korijen odnosa s brojem koeficijenata i dilnikom yogo besplatnog člana.

poštovanje 2.Kako je seniorski koeficijent jednak broju koeficijenata ceste 1, svi racionalni korijeni, kako je smrad poznat - broj.

Korijen bogatog člana. Korijen bogatog člana f(x)= a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n є x = c , pa što f (c)=0 .

Napomena 3. Yakscho x = c korijen bogatog člana , tada se bogati izraz može napisati kao: f(x)=(x−c)q(x) , de tse privatni pogled ispod bogatog člana f(x) u monom x-c

Možete dodatno podijeliti bogati član u monom koristeći Hornerovu shemu:

Yakscho f(x)=a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n , a0 ≠0 , g(x)=x−c , onda kad rozpodílí f (x) na g (x) privatno q(x) može izgledati q(x)=b 0 x n − 1 +b 1 x n − 2 + +b n−2 x+b n−1 , de b 0 = a 0 ,

b k = c b k − 1 + a k , k=1, 2, ,n−1. višak r znati formulu r=c b n − 1 +a n

Riješenje: Koeficijent na seniorskoj razini je jednak 1; 2; 3; četiri; 6; 12. Vikoristovuyuchi Hornerova shema, znamo da je broj korijena jednak:

Postoji jedan korijen izbora za Hornerovu shemu. onda to možete učiniti ovako x 3 −x 2 −8x+12=(x−2)(x 2 +x−6)=0 (x−2) 2 (x−3)=0 x=2;x=3