Aksiomi realnih brojeva. Praćenje aksioma teorije brojeva

Govorni brojevi, koji se označavaju kroz (tzv. R ruban), uvedena je operacija zbrajanja (“+”), tako da je skin par elemenata ( x,g) s bezličnim govornim brojevima koji se stavljaju na element vídpovídníst x + g z tsíêí̈ w množitelj, naslovi sumo xі g .

Aksiomi pluraliteta

Uvodi se operacija množenja (“·”), pa skin par elemenata ( x,g) za neosobne govorne brojeve staviti element (inače skraćeno, xg) s tsíêí̈ w množitelj, naslovi stvaranja xі g .

Zvyazok dodavannya da množina

Aksiomi po narudžbi

Na zadatku reda "" (manje od jedan), zatim za okladu x, y vykonuêtsya želeći biti jedan od umova abo.

Zv'yazok kako bi to preklapanje

Zvyazok vídnoshennia red da množina

Aksiom kontinuiteta

Komentar

Ovaj aksiom znači da xі Y- dva prazna množitelja realnih brojeva tako da postoji bilo koji element x nemojte prevrnuti niti jedan element Y, tada između njih možete umetnuti govorni broj. Za racionalni brojevi ovaj aksiom nije pobjednički; klasični kundak: prepoznatljivo pozitivni racionalni brojevi i vidljivo do bezličnosti x oni brojevi, čiji je kvadrat manji od 2, a drugi - do Y. Todi mizh xі Y ne može umetnuti racionalan broj (nije racionalan broj).

Ovo je ključni aksiom koji osigurava sigurnost i time omogućuje matematičku analizu. Za ilustraciju njegove važnosti, dopustite mi da istaknem dvije temeljne implikacije iz njega.

Naslijeđe aksioma

Bez posredničkog aksioma, đakoni su važni za snagu današnjih brojeva, na primjer,

jedinstvo nule,
jedinstvo proliferativnog i virulentnog elementa.

Književnost

Zorić V. A. Matematička analiza. Svezak I. M.: Fazis, 1997., 2. dio.

div. također

Posilannya

Zaklada Wikimedia. 2010. godine.

Vidi također "Aksiomatika realnih brojeva" u drugim rječnicima:

Govor, koji je pravi broj, matematička je apstrakcija, koja vinikla z zahtijeva korištenje geometrijskih i fizičkih veličina potrebnog svijeta, kao i izvođenje takvih operacija kao što je vađenje korijena, izračun logaritama, rješenja.

Govor, či stvarni brojevi je matematička apstrakcija, čemu služiti, zokrema, očitovanje te sličnosti vrijednosti fizikalnih veličina. Takav se broj može intuitivno predstaviti kao opis položaja točke na ravnoj liniji.

Wikirječnik ima članak "aksiom" Aksiom (na grčkom ... Wikipedia

Aksiom, jer se koristi u raznim aksiomatskim sustavima. Aksiomatika realnih brojeva Hilbertova aksiomatika Euklidske geometrije Aksiomatika Kolmogorovljeve teorije imovirnosti ... Wikipedia

Sustav brojeva

Pretpostavimo da se prirodni niz pojavio za prijenos objekata. Ali ako želimo raditi s objektima, tada su nam potrebne aritmetičke operacije s brojevima. Tobto, ako želimo presavijati jabuku ili podijeliti kolač, moramo prevesti broj brojeva.

Sramotno je što je nakon uvođenja operacija + í * u jezik prirodnih brojeva potrebno dodati aksiome koji označavaju snagu ovih operacija. Aletodes i bezlični prirodni brojevi tezh šireći se.

Čudimo se kako se bezlični prirodni brojevi šire. Najjednostavnija operacija, jer je bila potrebna za jednu od prvih - ce dodavannya. Ako želimo imenovati dodatnu operaciju, potrebno je odrediti povratak na nju - rješenje. Istina je, kao što znamo, da kao rezultat zbrajanja, na primjer, 5 i 2, tada smo krivi za dodavanje redoslijedu tipa: što treba dodati 4, uzeti 11. vimagatimut vminnya viroblyat i zvorotnu diyu - vídnímannya. Ale, yakscho dodavannya prirodni brojevi ponovno dati prirodni broj, tada gledanje prirodnih brojeva daje rezultat koji ne stane u N. Trebamo više brojeva. Po analogiji s razumnom vizijom veći broj manji boulo uveo je pravilo vidnímannya z manje veće - tako se pojavio broj negativnih brojeva.

Dopunjujući prirodni niz operacijama + í - mi, dolazimo do bezličnih cijelih brojeva.

Z=N+operacije(+-)

Sustav racionalnih brojeva kao mov aritmetika

Sada pogledajmo ovo za preklapanje diu - množina. Zapravo, ovo je bagatarase dodatak. Í dodatni broj cijelih brojeva popunjava se cijelim brojem.

Ale, obrnuta operacija na višestruki - tse podíl. Ali daleko od toga da uvijek daje dobar rezultat. I opet smo pred dilemom - ili prihvatiti kao da se rezultat ne može “shvatiti”, ili pogoditi broj novog tipa. Pa su okrivili racionalne brojeve.

Uzmimo sustav cijelih brojeva i dopunimo ga aksiomima, koji određuju operaciju množenja i dna. Oduzimamo sustav racionalnih brojeva.

Q=Z+operacije(*/)

Oče, jezik racionalnih brojeva ti omogućuje da radiš sve aritmetičke operacije preko brojeva. Jezik prirodnih brojeva nije bio dovoljan.

Uvedimo aksiomatski sustav racionalnih brojeva.

Ugovoreni sastanak. Bezlično Q naziva se bezličnošću racionalnih brojeva, poput elemenata - racionalnih brojeva, dok se napredujući sklop umova naziva aksiomatikom racionalnih brojeva:

Aksiomi operacije savijanja. Za be-like-naručenu okladu x,y elementi Q deyaky element x+yÎQ, rangovi u zbroju xі na. Kada pobijedite, razmišljajte ovako:

1. (Isnuvannya nula) Iznuê element 0 (nula) tako da za bilo koji x OQ

x+0=0+x=X.

2. Za bilo koji element x Q Q glavni element - x O Q (suprotno x) tako da

x+ (-X) = (-X) + x = 0.

3. (Komutativnost) Za što god x,y O Q

4. (Asocijativnost) Za bilo koji x, y, z Q

x + (y + z) = (x + y) + z

Aksiomi operacije množenja.

Za be-like-naručenu okladu x, y elementi od Q dodijeljeni stvarnom elementu huÎ P, naslovi stvaranja xі g. Kada pobijedite, razmišljajte ovako:

5. (Isnuvannya pojedinačni element) Iznuê element 1 Q takav da za god x O Q

x . 1 = 1. x = x

6. Za bilo koji element x Q Q , ( x≠ 0) glavni element x-1 ≠0 tako da

X. x -1 = x -1. x = 1

7. (Asocijativnost) Za biti-stvari x, y, z O Q

x . (na . z) = (x . y) . z

8. (Komutativnost) Za štogod x, y O Q

Aksiom zv'azku presavijen i umnožen.

9. (Distributivni) Za štogod x, y, z O Q

(x+y) . z=x . z+y . z

Aksiomi su na redu.

Budite kao dva elementa x, y, Q Q početak na kraju retka ≤. Kada pobijedite, razmišljajte ovako:

10. (x≤na)L ( na≤x) ó x=y

11. (X≤y) L ( y≤ z) => x≤z

12. Za be-jakah x, y O Q ili x< у, либо у < x .

Postavka< называется строгим неравенством,

Omjer = naziva se jednakost Q elemenata.

Aksiom zv'yazku dodavannya taj red.

13. Za bilo koji x, y, z nQ, (x £ y) z x+z £ y+z

Aksiom zv'yazku mnozhennya taj red.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) z (0 £ x´y)

Arhimedov aksiom vječnosti.

15. Ako je a > b > 0, imamo m N i n Q tako da je m ³ 1, n< b и a= mb+n.

*****************************************

Dakle, sustav racionalnih brojeva je Zemova aritmetika.

Prote, uz praktične zadatke brojanja, film nije dovoljan.

Aksiomatska metoda u matematici.

Osnovno razumijevanje i razumijevanje aksiomatske teorije prirodnog niza. Imenovanje prirodnog broja.

Zbrajanje prirodnih brojeva.

Povećanje prirodnih brojeva.

Potencija množitelja prirodnih brojeva

Vídnímannya raspodíl prirodni brojevi.

Aksiomatska metoda u matematici

Aksiomatskim poticajem nadopunjuje se neka vrsta matematičke teorije pjevati pravila:

1. Deyakí razumjeti teoriju vibirayutsya poput glavni ona je prihvaćena bez naloga.

2. Formuliran aksiomi, koje prihvaćaju ove teorije bez dokaza, koje imaju moć razumjeti glavne.

3. Koža razumije teoriju, kako se ne bi osvetila na popisu glavnih, daje se ugovoreni sastanak, za novi, razlaže se yogo zmist za pomoć glavnih i prednja ovomu razumjevanju.

4. Glavni prijedlog teorije, koji se ne može promaći popisom aksioma, može se iznijeti na vidjelo. Takvi prijedlozi nazivaju se teoremi te ih donijeti na temelju aksioma i teorema, koje treba preraditi.

Sustav aksioma može biti:

a) bezobzirno: mi smo krivi za buti vpevnení, scho, roblyachi razní vysnovki z danog sustava aksioma, a ne doći do superechnosti;

b) nezavisna: nijedan od aksioma nije kriv za slijeđenje drugih aksioma sustava.

u) opet, čak i unutar ovog okvira, uvijek je moguće donijeti chi tvrtke, koja je yogo navedena.

Prvi dokaz aksiomatske motivacije teorije treba uzeti u obzir Euklidovom knjigom o geometriji u Yogou "Cobs" (3. stoljeće e.). Značajan doprinos razvoju aksiomatske metode koja nadahnjuje geometriju i algebru razvio je N.I. Lobačevskog i E. Galoisa. Na primjer, 19. sv. Talijanski matematičar Peano razbio je sustav aksioma za aritmetiku.

Osnovno razumijevanje i razumijevanje aksiomatske teorije prirodnog broja. Imenovanje prirodnog broja.

Kao glavno (neznačajno) razumijevanje u deakíy mnogostrukosti N izabrati zatvarač , i navít vikoristovuyutsya teoretsko-višestruko razumijevanje, í navít pravila logike.

Element koji slijedi element bez prekida a, označavati a".

Naizgled, "bez posrednika za praćenje" zadovoljni su nadolazećim aksiomima:

Aksiomi Peano:

Aksiom 1. Kod bezličnih N ísnuê element, bez sredine nije uvredljivo ni za jedan element nema množitelja. Nazovimo jogu usamljenost koji simboliziraju 1 .

Aksiom 2. Za element kože a h N osnovni pojedinačni element a" , neumoljivo napreduje za a .

Aksiom 3. Za element kože a h Nísnuê ne više od jednog elementa, za koji slijedi bez posrednika a .

Aksiom 4. Budite kao multiplikator M bezličan N spívpadê z N , yakscho maê snaga: 1) 1 osvetiti se M ; 2) od čega a osvetiti se M , sljedeće, što ja a" osvetiti se M.

Imenovanje 1. Bezlich N , za čije elemente je ugrađen zatvarač „Odmah slijedi", koji zadovoljava aksiome 1-4, zove se bezlíchchu prirodni brojevi, i elementi joge - prirodni brojevi.

Ova imenovana osoba nema ništa za reći o prirodi elemenata multiplikatora N . Dakle, možete biti tamo. Vibirayuchi poput bezličnog N dan je specifičan množitelj, na koji je dana specifična referenca "bez posredničkog praćenja", što zadovoljava aksiome 1-4, uzimamo model ovog sustava aksiomi.

Standardni model Peanovog sustava aksioma je niz brojeva, koji je korijen procesa povijesnog razvoja sukcesije: 1,2,3,4,... Prirodni niz počinje od broja 1 (aksiom 1 ); iza prirodnog broja kože odmah slijedi jedan prirodni broj (aksiom 2); kožni prirodni broj ne slijedi više od jednog prirodnog broja (aksiom 3); počevši od broja 1 i idući redom do prirodnih brojeva koji idu jedan za drugim, uzimamo sve množitelje brojeva (aksiom 4).

Otzhe, razvili smo aksiomatski pobudov sustav prirodnih brojeva s izborom glavnog vodnosiny "bez posrednika pratiti za" taj aksiom, u nekim opisima yoge moći. Malo dalje o pobudovljevoj teoriji prijenosa osvrnite se na potencije prirodnih brojeva i operacija iz njih. Smrad može biti rozkrití na imenovanim i teorema, tobto. uveden dnevnim logičkim putem uvođenja “bez srednjeg razmatranja”, i aksioma 1-4.

Prvo što treba razumjeti, kao što uvodimo nakon oznake prirodnog broja, je zatvarač "odmah naprijed" , yake često vikoristovuyut za sat vremena da pogledate ovlasti prirodne serije.

Imenovanje 2.Što je prirodni broj b pratiti bez posrednika prirodni broj a, taj broj a nazvao izravno naprijed(inače prednja strana) broj b .

Vídnoshennia "pereduê" maê pored vlasti.

Teorem 1. Jedinica nema prirodni broj naprijed.

Teorem 2. Koža je prirodan broj a, Vídmínne víd 1, maê jedan broj za prosljeđivanje b, pa što b"= a.

Aksiomatsko obrazloženje teorije prirodnih brojeva ne vidi se ni u srednjoj ni u srednjoj školi. Prote dominion vídnosiní "bez posredničkog praćenja", kao što je bilo u Peanovim aksiomima, je predmet proučavanja u tečaju matematike. Već na prvom satu sat vremena je da pogledate brojeve prvih deset, jasno je, kao što možete dobiti kožni broj. Kod koga se riječi "slid" i "before" razumiju. Koža je novi broj kao nastavak uvrnutog zaokreta prirodnog niza brojeva. Naučite se preispitati u tsiom, scho s brojem kože, to je isto, i više od jednog, da je prirodni niz brojeva neiscrpan.

Zbrajanje prirodnih brojeva

Za pravila poticanja aksiomatske teorije, koja označava zbrajanje prirodnih brojeva, potrebno je izvršiti, zamjensko, "odmah slijedi", razumijem "prirodni broj"і "prethodni broj".

Viperedimo vyznachennya presavijeni napredovanjem mirkuvannyami. Kako do bilo kojeg prirodnog broja a dodajte 1, zatim uzmite broj a", nemilosrdno napreduje dalje a, onda. a+ 1= a" I, zatim, uzimamo pravilo dodavanja 1 bilo kojem prirodnom broju. Ale yak dodati a prirodni broj b, vídmínne víd 1? Ubrzavamo nadolazeću činjenicu: ako vidimo da je 2 + 3 = 5, tada je zbroj 2 + 4 = 6, koji bez posrednika slijedi iza broja 5. Ovim redom je 2 + 4 = 2 + 3 " =(2+3)". U vrućem izgledati možda, .

Ova činjenica je osnova za označavanje prirodnih brojeva u aksiomatskoj teoriji.

Imenovanje 3. Zbrajanje prirodnih brojeva zove se algebarska operacija koja može biti moćna:

Broj a + b nazvao zbroj brojeva aі b , i sami brojevi aі b - dodani.

OMSK DRŽAVNO PEDAGOŠKO SVEUČILIŠTE
ISPOSTAVA OmDPU kod G. TARI
LBC radi za odluke uredništva i nakladništva
22. 73. ogranak OmDPU u blizini metroa Tari
Ch67

Preporuke su priznate studentima pedagoških sveučilišta, budući da predaju disciplinu "Algebra i teorija brojeva". U okviru ove discipline u 6. semestru razvija se odjeljak "Brojevi sustava". Ove preporuke uključuju materijal o aksiomatskom obrazloženju za sustave prirodnih brojeva (Peanov sustav aksioma), sustave cijelih brojeva i racionalne brojeve. Tsya aksiomatika omogućuje vam da bolje razumijete što je takav broj, kao jedan od glavnih za razumijevanje školskog tečaja matematike. Za najkraću asimilaciju gradiva predlaže se uvođenje relevantnih tema. Na primjer, preporuke i preporuke, izjave, zadaci.

Recenzent: dr. sc., prof. Dalinger V.A.

Potpisano prijatelju - 22.10.98

Novinski papir
Naklada 100 primjeraka.
Operativna metoda jedni za druge
OmDPU, 644099, Omsk, nab. Tuhačevski, 14
filija, 644500, Tara, ul. Škilna, 69

1. PRIRODNI BROJEVI.

Uz aksiomatsko obrazloženje sustava prirodnih brojeva, važno je uzeti u obzir razumijevanje množitelja, plave, funkcije i druga multiteorijska shvaćanja.

1.1 Peanov sustav aksioma i najjednostavniji zaključci.

Uobičajeno shvaćanje u aksiomatskoj teoriji Peano je bezlični N (kako se naziva bezličnost prirodnih brojeva), posebno broj nula (0) iz nove i binarne relacije "slijedi" N, koji se označava sa S ( a) (ili ().
AKSIOM:
1. ((a(N) a"(0 (Ovo je prirodni broj 0, koji ne slijedi nijedan broj.))
2. a=b (a"=b"
3. a "=b" (a=b (prirodni broj kože slijedi nakon više od jednog broja.)
4. (aksiom indukcije) Kao multiplikator M(N i M zadovoljava dva uma:
A) 0(M;
B) ((a(N) a(M ® a)(M, tada je M=N).
U funkcionalnoj terminologiji, ze znači da je S:N®N neaktivan. Iz aksioma 1 jasno je da S:N®N fermentacija nije sur'aktivna. Aksiom 4 je osnova za dokazivanje teškog rada "metodom matematičke indukcije".
Značajno djeluje moć prirodnih brojeva, koji bez posrednika vape za aksiomima.
Potencija 1. Koža je prirodni broj a(0 iza jednog i više brojeva.
Dovođenje. Značajno kroz M bezlične prirodne brojeve, scho nestaju nula i svi prirodni brojevi, koža bilo koje sljedbe za bilo koji broj. Dovoljno je pokazati da je M=N, jedinica je vidljiva iz aksioma 3. Dokažimo aksiom indukcije 4:
A) 0(M - brzim množiteljem M;
B) čak a(M, oni a"(M, više a" slijede a.
Srednja vrijednost iz aksioma 4 M=N.
Snaga 2. Kao a (b, zatim "(b").
Moć se dovodi metodom "iz neprihvatljivog", aksiom 3. Slično, takva se moć donosi 3, aksiom 2.
Snaga 3. Kao "(b), zatim (b.)"
Potencija 4. ((a(N)a(a". (Nema prirodnog broja koji slijedi).)
Dovođenje. Neka je M=(x(x(N, x(x))). ) u takvom rangu aksioma Umov A) 4 0(M - pobjeda. Ako je x(M, onda x(x"), tada 2 x" ((x)" je na snazi, a tse znači da Umov B) x ( M ® x"(M. Aletodski slijedi aksiom 4 M=N."
Neka (- dvojka potencije prirodnih brojeva. Činjenica da broj a ima potenciju (, zapiši ((a)).
Zadatak 1.1.1. Dopustite mi da vam kažem da je aksiom 4 označavanja neosobnih prirodnih brojeva bliži naprednoj tvrdoći: za bilo koju vrstu autoriteta (, kao ((0) i, onda).
Zadatak 1.1.2. Unarna operacija (: a(=c, b(=c, c(=a)) definirana je na ovaj način na troelementnom množitelju A=(a,b,c).)
Zadatak 1.1.3. Neka A \u003d (a) - jednoelementni množitelj, a (= a) Yaki s Peanovim aksiomima istine na množitelju A s operacijom (?)
Zadatak 1.1.4. Na višestrukosti od N značajna unarna operacija je značajna, bez obzira tko. Objasnite što će vrijediti za Peanove aksiome formulirane u terminima operacije.
Zadatak 1.1.5. Dođi. Dokažite da je A zatvoren koristeći operaciju (. Preokrenite istinitost Peanovih aksioma na množitelju A s operacijom (.).
Zadatak 1.1.6. Dođi, . Međutim, značajno je na A unarna operacija. Kako su Peanovi aksiomi istiniti na množitelju A operacije?

1.2. Nesuperelektivnost i kategoričnost Peanova sustava aksioma.

Sustav aksioma naziva se nenadmašnim, budući da je s njezinim aksiomima nemoguće dovesti teorem T, a njen transverzalni (T. Podrazumijeva se da super-učinkoviti sustavi aksioma ne mogu imati istu vrijednost u matematici, jer u takvom teoriji moguće je donijeti sve što Stoga je nedostatak veličanstvenosti sustava aksioma apsolutno bitan.
Yakshcho u Aksiomatskom teoretu nije iznio teorem t í í̈ í̈ í̈ í̈ í̈ í̈ í̈ ne znači, sustav aksi nije preopterećen; na činjenicu da tumačenje sustava aksioma u očito nesuperjednakoj teoriji S, tada sam sustav aksioma nije superjednak.
Za Peanov sustav aksioma može se graditi mnoštvo različitih tumačenja. Osobito je bogato tumačenjem teorije višestrukosti. Jedno od takvih tumačenja je značajno. Prirodnim brojevima možemo uzeti višekratnike (, ((), ((())), (((())),..., nulu ćemo razlikovati brojem (. (M), jedinim elementom takav i takav M. U ovom redoslijedu, ("=((), (()"=((()) i tako dalje)). je malen: pokazuje da je sustav Peanovih aksioma iako je teorija višestrukih nije superlativ, ali je još važniji dokaz nesuperliteta sustava aksioma teorije višestrukih.
Sustav aksioma koji nije superlativan naziva se nezavisnim, jer se aksiom kože ovog sustava ne može dokazati kao teorem na temelju drugih aksioma. Iznijeti na vidjelo taj aksiom
(1, (2, ..., (n, ((1))
dovoljno da se dokaže da je sustav aksioma nenadmašan
(1, (2, ..., (n, (((2))
Istina je, jako (bilo je moguće odstupati od ostalih aksioma sustava (1), tada je sustav (2) bio superpametan, krhotine toga bile bi istinite za teorem (i aksiom ((.)).
Također, da bi se došlo do neovisnosti aksioma (od ostalih aksioma sustava (1), dovoljno je potaknuti tumačenje sustava aksioma (2).
Neovisnost sustava aksioma velika je neobov'yazkova. Ponekad ćemo, kako bismo izbjegli dokaz "važnih" teorema, stvoriti nadsvjetski (depozitni) sustav aksioma. Međutim, "zayv" aksiomi olakšavaju uvid u ulogu aksioma u teoriji, kao i unutarnje logičke veze između različitih podjela teorije. Osim toga, pobudova ínterpretatsíy za nepostojeće sustave aksioma značajno je presavijena, niža za neovisne; čak i ako morate preispitati valjanost "zayvih" aksioma. Od razloga za ishranu ugara, među davnim aksiomima, davan je prvi značaj. Pokušajte to dovesti u svoje vrijeme da 5. postulat u Euklidovoj aksiomatici "Ne postoji više od jedne ravne crte koja prolazi točkom A paralelno s pravom crtom" (", ê po teoremu (leži u drugim aksiomima) i doveo do zaključka geometrije Lobačevskog).
Nesuperskriptivni sustav naziva se deduktivno novim, kao da se propozicija A dane teorije može donijeti ili proglasiti, tada ili A, ili (A je teorem dane teorije. aksiom se naziva Deduktivna povnota - tezh ne obov'yazkova vimoga, na primjer, sustav aksioma teorije grupa, teorije teritorija, teorije navodnjavanja - nije istina, krhotine se temelje na i kíntseví i neskínchenní grupama, kíltsya, poljima, zatim u ovim teorije koje ne možete pitati, ne možete iznijeti prijedlog.: "Grupa (kíltse, polje) za osvetu kíltse kílkíst elemenata".
Treba napomenuti da se u bogatim aksiomatskim teorijama (samim, u neformaliziranim) neosobne tvrdnje ne mogu točno uzeti u obzir, te je nemoguće donijeti deduktivnu cjelovitost sustava aksioma takve teorije. Druga se promjena često naziva kategoričkom. Sustav aksioma naziva se kategorički, pa bilo da su dvije interpretacije izomorfne, tako da postoji takva međusobno nedvosmislena razlika između više objekata cob i drugih interpretacija Kategoričnost - tezh neobov'yazkova uma. Na primjer, sustav aksioma teorije grupa nije kategorički. Razlog je taj što Kintsev grupa ne može biti izomorfna neskinirana grupa. Međutim, s aksiomatizacijom teorije numeričkog sustava, kategorička priroda obov'yazkova; Na primjer, kategoričnost sustava aksioma, koji označava prirodne brojeve, znači da, do izomorfizma, postoji samo jedan prirodni niz.
Donesimo kategoričnost Peanovog sustava aksioma. Neka su (N1, s1, 01) i (N2, s2, 02) dvije interpretacije Peanovog sustava aksioma. Treba navesti takav biektivni (međusobno jednoznačni) izraz f: N1®N2, za koji treba misliti:
a) f(s1(x)=s2(f(x)) za bilo koji x N1;
b) f(01) = 02
Ako su unarne operacije s1 i s2 povrijeđene istim potezom, onda umova a) prepisati
a) f(x()=f(x)(.
Značajno na multiplikatoru N1(N2)
1) 01f02;
2) kako xfy, x(fy(.
Promijenimo, čemu služi fermentacija N1 u N2, onda za dermalno x s N1
(((y(N2)xfy(1)
Značajno kroz M1 bezlične elemente x N1, za neke umove (1) pobjeđuju. Todi
A) 01 (Ml z 1);
B) x(M1 ® x((M1 na temelju 2) i potencije 1 točke 1).
Prema tome, prema aksiomu 4, moguće je da je M1=N1, a tse i znači da je uvođenje f ê fermentacija N1 N2. Pri cimu z 1) očito je da je f (01) = 02. Umov 2) se piše ovako: f(x)=y, zatim f(x()=y(. Zvuči kao f(x()=f(x)(. Također, za odraz f, zamislite )) i b.
Značajno kroz M2, bezlične tihe elemente N2, kožu bilo kojeg od njih u obliku jednog i samo jednog elementa N1 kada se prikaže f.
Krhotine f(01)=02, zatim 02 ê. Ako je tako x(N2 í x(01), tada za potenciju 1 stavka 1 x slijedi trenutni element c z N1 í tada f(x)=f(c()=f(c)((02. Srednja vrijednost, 02 f) rang jednog elementa 01, zatim 02 (M2.
Samo naprijed y(M2 í y=f(x), gdje je x jedna praslika elementa y. Zatim, na temelju a) y(=f(x)(=f(x()), tada y( ê slika elementa x ) (. Neka je c pre-slika elementa y(, tada je f(c)=y(. Skilki y((02, tada je c(01 í c) prednji element, što ima smisla kroz d.)) Tada je y( =f( c)=f(d()=f(d)(, zbog aksioma 3 y=f(d)). M2 ® y
Sva predgrčka matematika ima malo empirijskog karaktera. Svi elementi teorije utapali su se u masi empirijskih pristupa izradi praktičnih zadataka. Grci su ovom empirijskom materijalu dali logičku analizu, pokušali pronaći vezu između različitih empirijskih podataka. Za kojega cjelokupni smisao za geometriju ima veliku ulogu Pitagore i njezine škole (5. stoljeće nove ere). Ideje aksiomatske metode jasno su izražene u učenjima Aristotela (4. stoljeće nove ere). Prote, praktičan razvoj ovih ideja proveo je Euklid u jogi "Cobs" (3. stoljeće nove ere).
Mogu se navesti tri oblika aksiomatskih teorija.
jedan). Zmistovna aksiomatika, kao da je bila jedna do sredine prošlog stoljeća.
2). Napívformalna aksiomatika, scho vinil u posljednjoj četvrtini prošlog stoljeća.
3). Formalna (ili formalizirana) aksiomatika, datum njezina rođenja može se uzeti kao 1904. godina, ako je D. Hilbert objavio svoj poznati program o osnovnim principima formalizirane matematike.
Novi oblik kože nije blokiran sprijeda, ali s razvojem i bistrenjem, isto vrijedi i za razvoj novog oblika kože, niže sprijeda.
Zmistovna aksiomatika karakterizirana je činjenicom da se može razumjeti intuitivno jasno prije formuliranja aksioma. Dakle, u "Cobovima" Euklida, pod točkom razumijevanja, oni koji su intuitivno samoočigledni pod tim razumijevanjima. U isto vrijeme, postoji veliki jezik, i velika intuitivna logika, koja je više nalik Aristotelu.
Formalne aksiomatske teorije također imaju snažan jezik i intuitivnu logiku. Međutim, prvi shvaćatelji se ne oslanjaju na isti intuitivni osjećaj, karakteriziraju ih samo aksiomi. Sam Tim pokreće strogoću, krhotine intuicije raspjevanim svijetom pobjeđuju strogoću. Osim toga, pospanost raste, jer će teorem o koži, donesen u takvoj teoriji, biti pošten u svakom tumačenju. Jasno u obliku formalne aksiomatske teorije - Hilbertove teorije, uključene u knjigu "Imagine Geometry" (1899). Stražnjici nap_vformalnih teorija također su teorija kílets i druge teorije, predstavljene u tečaju algebre.
Temelj formalizirane teorije je izračun govora, koji se razvija u tijeku matematičke logike. Na vídmínu víd zmístovnoí̈ napívformalíí̈ aksiomatiki, vídmínu víd zmístovnoí̈ í̈ napívformalíí aksiomatike, u formalízirovaníy teoríí̈ vykoristovuêê osoblíchna symbolíchna mova. Abeceda teorije je postavljena za sebe, tako da je dvojka bezličnih simbola, koji igraju istu ulogu kao slova u izvornom jeziku. Bilo da se radi o kíntseva nizu simbola naziva se viraz ili riječ. Među virusima postoji klasa formula, a točan kriterij koji omogućuje prepoznavanje kožnog virusa naznačen je formulom. Formule igraju istu ulogu kao i govor velikog jezika. Deyakí formule goloshuyutsya aksioma. Osim toga, postavljaju se logična pravila vizije; Takvo pravilo znači da je iz stvarne kombinacije formula cijela formula bez sredine. Dokaz samog teorema je kraj lanca formula, ostatak formule je sam teorem, a kožna formula je ili aksiom, ili je teorem donesen ranije, inače pjeva iz sredine naprijed formule koplja na jednom od pravila promatranja. U ovom rangu ne bismo trebali zastupati dokaze o valjanosti dokaza: inače danski lanciugê dokaz, ili ê, nema sumnivnyh dokaza. Na poveznici s CIM-om, aksiomatika je formalizirana kako bi se navikla na posebno suptilne zamke priminga matematičke teorije, ako očigledna intuitivna logika može dovesti do oprosta, koji su glavni rang kroz netočnosti i dvosmislenosti našeg velikog pokreta.
Dakle, kako se u formalizaciji teorije o virusu kože može reći da je to formula, tada se mogu uzeti u obzir i bezlični prijedlozi formalizirane teorije. S tim u vezi, načelno je moguće raščlaniti argument o dokazu deduktivnog uma, kao i o dokazu nepovršnosti, ne ulazeći u tumačenje. Na nekoliko najjednostavnijih načina možete vidjeti razliku. Na primjer, nedostatak površnosti izračuna se provodi bez tumačenja.
U neformaliziranim teorijama impersonalne propozicije nisu jasno definirane, stoga se razlog za dokazivanje nepovršnosti, bez odlaska na tumačenje, glupo stavlja. Oni isti vrijede i hranu o dokazu deduktivne povnoti. Međutim, kako se čuo takav prijedlog neformalizirane teorije, jer ga je nemoguće donijeti ili postaviti, onda je teorija, očito, deduktivno netočna.
Aksiomatska metoda odavno je uspostavljena ne samo u matematici, već iu fizici. Prvo, pokušajte izravno, Aristotel je to pokušao učiniti, ali je također korigirao vlastitu aksiomatsku metodu u fizici, isključivši Newtonove robote iz mehanike.
U vezi s burnim procesom matematizacije znanosti nalazi se i proces aksiomatizacije. Nijedna od aksiomatskih metoda ne nalazi se u raznim odjelima biologije, na primjer, u genetici.
Mogućnosti aksiomatske metode nisu beskrajne.
Značajno je da ne treba zaboraviti na formaliziranje teorija kako bismo izgubili intuiciju. Sama teorija je formalizirana bez ikakvog tumačenja željenog značenja. Krivnja za to je niska veza između formalizirane teorije i interpretacije. Osim toga, kao iu formaliziranim teorijama, postavlja se pitanje nesuperabilnosti, neovisnosti i potpunosti sustava aksioma. Ukupnost sve takve hrane postaje bit druge teorije, kako se naziva metateorija formalizirane teorije. Na temelju formalizirane teorije, metateorija jezika najvažniji je svakodnevni jezik, a logičko zrcaljenje provodi se po pravilima prirodne intuitivne logike. Na taj se način intuicija, koja je opet preuzeta iz formalizirane teorije, ponovno pojavljuje u metateoriji.
Ali glavna slabost aksiomatske metode nije u tsomi. Ranije se već razmišljalo o programu D. Hilberta, jer je postavio temelje za formaliziranu aksiomatsku metodu. Hilbertova glavna ideja je napraviti klasičnu matematiku kao formaliziranu aksiomatsku teoriju, donijeti ne-superabilnost. Međutim, program se u svojim glavnim točkama pokazao utopističkim. Godine 1931. poznati austrijski matematičar K. Gödel razvio je svoje poznate teoreme, iz kojih je jasno stajalo da kršenje glavnih zadataka koje je postavio Hilbert nije objavljeno. Yomu je otišao dalje od pomoći svoje metode kodiranja kako bi naučio za pomoć formulama formalizirane aritmetike i donio pomoć metateorije da te formule nisu vidljive u formalizaciji aritmetike. Na ovaj se način formalizirana aritmetika činila deduktivno netočnom. Iz Gödelovih rezultata bilo je očito da čak i ako je nedokaziva formula uključena u broj aksioma, tada postoji još jedna nedokaziva formula koja izražava istu točnu tvrdnju. Sve je to značilo da je ne samo sva matematika, već i učenje aritmetike - najjednostavniji dio, nemoguće formalizirati. Zokrema, Gödel, nadahnuvši formulu koja potvrđuje tvrdnje "Formalizirana aritmetika je nenadmašna" i pokazujući da se ni formula ne može pokazati. Ova činjenica znači da se nesavršenost formalizirane aritmetike ne može dovesti do sredine same aritmetike. Dakle, možete potaknuti jaku formaliziranu teoriju i nju tako što ćete donijeti ne-superitet formalizirane aritmetike, a također kriviti još važnije o ne-superitetu nove teorije.
Gödelovi rezultati ukazuju na valjanost aksiomatske metode. I, što je još važnije, podstav za pesimistične visnovkív u teoriji spoznaje onoga koji ne zna istinu, - ne. Činjenica da su utvrđene aritmetičke istine, koje se ne mogu dovesti do formalizacije aritmetike, ne znači očitovanje nepoznavanja istina i ne znači zamračenost ljudske misli. Vin znači samo da se mogućnosti našeg uma ne bi smjele svesti na procedure, da će biti više formalizirane, te da ljudi još moraju testirati i pronalaziti nove principe dokazivanja.

1.3. Pohranjivanje prirodnih brojeva

Operacije slaganja i množenja prirodnih brojeva sustavom Peanovih osi nisu postulirane, već umjesto operacija.
Ugovoreni sastanak. Zbrajanje prirodnih brojeva naziva se binarna algebarska operacija + na množitelju N, koja može biti moćna:
1s. ((a(N)a+0=a);
2c. ((a, b (N) a + b (= (a + b)).
Blaming nutrition - što je takva operacija, ali ako jest, što je onda?
Teorema. Zbrajanje prirodnih brojeva je nužno i samo jedno.
Dovođenje. Binarna operacija algebre na višestrukosti N je fermentacija (:N(N®N. Potrebno je dovesti da postoji samo jedna fermentacija (:N(N®N s potencijama: 1)) ((x(N) ((x,0)= x ; 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y))). 0) )=x; ).
Značajno na množitelj N, binarni izraz fx po umovima:
a) 0fxx;
b) kako yfxz, y(fxz(.
Promijenimo, čemu služi N u N, pa za kožu y z N
(((z(N) yfxz (1)
Značajno, kroz M, množitelj prirodnih brojeva y, za koje umovi (1) pobjeđuju. Dakle, razmislite a) vyplyaê, scho 0 (M, a z um b) i snaga 1 p. i znači da je fx fermentacija N u N. Za koju fermentaciju razmislite:
1() fx(0)=x - s a);
2() fx((y)=fx(y() - kroz b).
Tim je sam donio obrazloženje foldanja.
Mi donosimo jedinstvo. Neka su + i (- kao dvije binarne operacije algebre na skupovima N s potencijama 1c i 2c. Potrebno je dovesti da
((x, y(N) x + y = x(y)
Dovoljno je fiksno da je broj x i značajan kroz S bezličnih prirodnih brojeva y, za koje ravnomjernost
x+y=x(y(2)
pobijediti. Skílki zgídno 1s x+0=x í x(0=x, tada
A) 0 (S
Sada neka y(S, tako da jednakost (2) pobijedi. Dakle x+y(=(x+y)(, x(y(=(x(y))(í x+y=x(y, tada) ) aksiomi 2 x+y(=x(y(, da bi razum pobijedio)
B) y(S ® y((S.)
Dakle, aksiomom 4 S=N, čime je završen dokaz teorema.
Dovedimo vlasti u dodavannya.
1. Broj 0 je neutralni element zbrajanja, pa je a+0=0+a=a za kožni prirodni broj a.
Dovođenje. Staloženost a+0=a vrišti iz uma 1s. Donosimo jednakost 0+a=a.
Značajno kroz M bezličnih brojeva, koji neće pobijediti. Očito, 0+0=0 i 0(M. Neka je a(M, zatim 0+a=a.) Tada je 0+a(=(0+a)(=a(i, aka, a((M) ) Otzhe, M=N, kako i potrebno je donijeti.
Daj nam lemu.
Lema. a(+b=(a+b)(.
Dovođenje. Neka je M neosobni broj svih prirodnih brojeva b, za koje vrijedi jednakost a(+b=(a+b)(vrijedi za bilo koju vrijednost a.):
A) 0(M, krhotine a(+0=(a+0)(;);
C) b(M ® b((M. Definitivno, budući da je b(M i 2c) moguće)
a(+b(=(a(+b))(=((a+b)()(=(a+b()(,
pa b ((M. Srednje, M = N, što trebam ponijeti).
2. Zbrajanje prirodnih brojeva je komutativno.
Dovođenje. Neka je M=(a(a(N(((b(N)a+b=b+a))) Reci mi da je M=N. Možda:
A) 0(M - cijena 1.
C) a(M ® a((M)
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(.)).
Srednja vrijednost a((M, i iz aksioma 4 M=N).
3. Zbrajanje asocijativno.
Dovođenje. dođi
M=(c(c(N(((a,b(N))(a+b)+c=a+(b+c))
Potrebno je dovesti da je M=N. Dakle (a+b)+0=a+b i a+(b+0)=a+b, tada 0(M. Neka je s(M, zatim (a+b)+c=a+(b+c) ) .
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c())).
Srednja vrijednost c((M i prema aksiomu 4 M=N).
4. a+1=a(, de 1=0(.
Dovođenje. a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. Ako je b(0), tada je ((a(N)a+b(a)).
Dovođenje. Neka je M=(a(a(N(a+b(a)) 0+b=b(0, tada 0(M)). 2 p.1 (a+b)((a(inače a( +b) (a)) znači a((M í M=N)).
6. Ako je b(0, tada je ((a(N)a+b(0))
Dovođenje. Ako je a=0, tada je 0+b=b(0, ako je a(0 í a=c(, tada je a+b=c(+b=(c+b))((0. Dakle, y je koji vrijeme a) + b (0.
7. (Zakon savijanja trihotomije). Za sve prirodne brojeve a i b istinita je samo jedna i samo jedna od tri sličnosti:
1) a = b;
2) b=a+u de u(0;
3) a=b+v de v(0.
Dovođenje. Fiksiramo određeni broj a i on je značajan kroz M množitelj svih prirodnih brojeva b, za koji je jedna od konotacija 1), 2), 3) pobjednička. Potrebno je dovesti da je M=N. Neka je b = 0. Ako je a=0, tada je 1), a ako je a(0, samo 3), tada je a=0+a. Otzhe, 0 (M.
Sada je prihvatljivo da je b(M, tako da je inverz od a jedan od inverza od 1), 2), 3). Ako je a=b, tada je b(=a(=a+1, zatim za b(računa se pomak 2).) Ako je b=a+u, tada je b(=a+u(, zatim za b(pomak računa se) 2 ) Ako je a=b+v, tada su moguće dvije deklinacije: v=1 i v(1. Ako je v=1, tada je a=b+v=b", tada je za b" obrnuti omjer 1 uzeto. i v(1 , zatim v=c", de c(0 i zatim a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c, de c(0, pa za b " imamo konverzu 3). Kasnije smo doveli da b (M ® b "(M, i, također M = N, pa da li su a i b, želi se koristiti jedan od suglasnika 1), 2), 3). ne mogu se pobijediti odjednom. spívvídnoshennia 2) i 3), zatim mali b a = (a + u) + v = a + + (u + v), ali to je nemoguće kroz moć 5 i 6. Snaga broja 7 je privedena kraju.
Zadatak 1.3.1. Neka je 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9))). Reci mi 3+5 = 8, 2+4=6.

1.4. MNOŽENJE PRIRODNIH BROJEVA.

Imenovanje 1. Množenje prirodnih brojeva naziva se takva binarna operacija (na množitelju N, za koji se računa um:
1u. ((x(N) x(0=0);
2g. ((x, y(N)x(y)=x(y+x).
Opet branim prehranu - zašto je takva operacija i kako je, što je onda jedino?
Teorema. Operacija množenja prirodnih brojeva je samo jedna.
Dokaz se može provesti na isti način kao i za dodatni dokaz. Potrebno je poznavati takav izraz (:N(N®N), kao
1) ((x(N)) ((x,0)=0;
2) ((x, y (N) ((x, y")) = ((x, y) + x).
Fiksiramo priličan broj x. Također je moguće za kožu x(N ísnuvannya vírazhennya fx: N®N s autoritetom
1") fx(0)=0;
2") ((y(N) fx(y")=fx(y)+x,
zatim funkcija ((x,y), koja je jednaka ((x,y)=fx(y) i zadovoljava umove 1) i 2).
Kasnije se dokaz teorema penje do dokaza baze te jedinice za skin x funkcije fx(y) s potencijama 1") i 2"). Postavimo broj N vrijednosti u skladu sa sljedećim pravilom:
a) broj nula je postavljen na broj 0,
b) kako je broju y dan broj c, onda je broj y (broj c + x jednak).
Razmotrimo ponovno da u takvoj postavci kožni broj y može biti jedna slika: i značajno je da je moguće pretvoriti N u N. Značajno je da se kroz M bezličnost svih prirodnih brojeva y može formirati jedna slika. Zamislite a) da je aksiom 1 točan, tako da je 0(M. Neka su y(M. Zamislite b) i aksiom 2 jasni da je y((M. Dakle, M=N, pa je naš dokaz N) u N, značajno - neznatno u smislu fx, tada fx(0)=0 zbog a) i fx(y()=fx(y)+x - zbog b).
Kasnije je potvrđen razlog za operaciju množenja. Dopustite mi da sada (i (- budu dvije binarne operacije na množitelju N s potencijama 1y i 2y. Ostaje reći da ((x,y(N) x(y=x(y)) Fiksiramo priličan broj x i nemoj))
S=(y?y(N(x(y=x(y)))
Preskoči kroz 1y x(0=0 í x(0=0, zatim 0(S. Neka je y(S), zatim x(y=x(y))
x(y(=x(y+x=x(y+x=x(y(
i, zatim, y((S. Dakle, S=N, niži i, dokaz teorema završava).
Značajno mnogo đakona moći.
1. Neutralni element je obično broj 1=0(, dakle ((a(N) a(1=1(a=a))).
Dovođenje. a(1=a(0(=a(0+a=0+a=a)) Na ovaj način je završena jednakost a(1=a. N) (1(a=a). Dakle, 1 (0=0, tada 0(M. Neka je a(M, tada 1(a=a)). Tada je 1(a(=1(a+1=a +1=) a(, i, otzhe, a( (M. Dakle, iz aksioma 4 M=N, koje je bilo potrebno donijeti).
2. Za skup sajmova, pravi distribucijski zakon, dakle
((a,b,c(N) (a+b)c=ac+bc).
Dovođenje. Neka je M=(c(c(N(((a,b(N))(a+b)c=ac+bc))). , tada je 0(M. Dakle, c(M, tada (a+b) c=ac+bc), tada (a + b)(c(= (a + b)c +(a + b) = ac + bc +a+b=(ac+a)+(bc+b)= ac(+bc(.) Dakle, c((M í M=N).
3. Množenje prirodnih brojeva je komutativno, odnosno ((a,b(N) ab=ba).
Dovođenje. Hajde da to ispravimo za b (N jednako 0 (b = b (0 = 0. Jednako b (0 = 0)) je jasno 1y. Neka je M = (b (b (N (0 (b = 0))) ) 0 =0, zatim 0(M. Dakle, b(M, zatim 0(b=0, zatim 0(b(=0(b+0=0)) i, također, b((M. Dakle, M= N, onda je jednakost 0(b=b(0 dovedena do svih b(N. Idemo dalje) S=(a (a(N(ab=ba))). a) (S, tada je ab = ba. Tada je a (b = (a + 1) b = ab + b = ba + b = ba (, tada a ((S. Dakle S = N), što je potrebno dovesti) .
4. Višestruko distributivno preklapanje. Tsya dominion viplivaê z dominion 3 i 4.
5. Množina je asocijativna, odnosno ((a, b, c (N) (ab) c = a (bc)).
Dokaz se provodi, kao i kod skladišta, indukcija na s.
6. Ako je a(b=0, zatim a=0 i b=0, tada N nema djelitelja nule.
Dovođenje. Neka je b(0 í b=c(. Ako je ab=0, tada je ac(=ac+a=0, predznaci slijede stepen 6 stavke 3, pa je a=0).
Zadatak 1.4.1. Neka je 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9))). Reci mi što 2(4 =8, 3(3=9.
Neka su n, a1, a2, ..., an prirodni brojevi. Zbroj brojeva a1, a2,...,an zove se broj, kako se kroz njega oznacuje umovima; za svaki prirodni broj k
Podskup brojeva a1, a2,...,an je prirodan broj, jer se označava s i i označava umovima: ; za svaki prirodni broj k
Kako je taj broj označen kroz.
Zadatak 1.4.2. Donesite što
a);
b);
u);
G);
e);
e);
i);
h);
і) .

1.5. RED SUSTAVA PRIRODNIH BROJEVA.

Izjava "slijedi" je antirefleksivna i antisimetrična, ali nije tranzitivna i ne slijedi taj redoslijed. Redoslijed značajno mijenjamo, oslanjajući se na zbrajanje prirodnih brojeva.
Imenovanje 1. a
Odredište 2. a(b (((x(N) b=a+x)).
Perekonaêmosya, scho vídnoshennia Vídznachimo deyaki vlastností prirodni brojevi, povyazanih íz vídnosinami ínoností í nerívností.
1.
1.1 a=b (a+c=b+c).
1.2 a = b (ac = bc).
1.3a
1.4a
1.5 a+c=b+c (a=b).
1.6ac=bc(c(0(a=b).
1.7a+c
1.8ac
1.9a
1.10a
Dovođenje. Dominacija 1.1 i 1.2 odišu jedinstvenošću operacija savijanja i množenja. Yakscho a
2. ((a(N) a
Dovođenje. Oskils a(=a+1, zatim a
3. Najmanji element N je 0, a najmanji element N\(0) je broj 1.
Dovođenje. Dakle ((a(N) a=0+a, tada je 0(a, i, stoga je 0 najmanji element od N.) Zatim, kao x(N\(0), tada je x=y(, y( N ) , inače x = y + 1. Odgovor je da ((x (N \ (0)) 1 (x, dakle 1 je najmanji element u N \ (0)).
4. Prijedlog ((a, b (N) ((n (N)) b (0 (nb> a)).
Dovođenje. Očito, za svaki prirodni a postoji i prirodni broj n, koji
a Takav broj ê, na primjer, n = a (. Dahl, ako je b (N \ (0), tada za potenciju 3
1(b(2)
Z (1) i (2) na temelju potencija 1.10 i 1.4 uzeti aa.

1.6. REALNI RED SUSTAVA PRIRODNIH BROJEVA.

Imenovanje 1. Kao kožni neprazni submultiplikator uređenog množitelja (M; Ponovno razmotrite da je novi poredak linearan. Neka su a i b dva elementa iz cijelog uređenog množitelja (M; Lema) . 1) a
Dovođenje.
1) a((b (b=a(+k, k(N)(b=a+k(, k((N\(0)))
2) a(b(b=a+k, k(N)(b(=a+k(, k((N\(0)))
Teorema 1. Prirodni red na skupu prirodnih brojeva je viši red.
Dovođenje. Neka M bude prazan od bezličnih prirodnih brojeva, a S je nematerijalnost nižih brojeva u N, pa je S = (x (x (N (((m (M)) x (m)). sljedeće, 0(S .. Yakby je pobijedio i ostali Umovljevi aksiomi 4 n(S(n((S, zatim mali b S=N)).
Teorem 2. Ako postoji neprazna granica za zvijer bezličnih prirodnih brojeva, možda postoji najveći element.
Dovođenje. Neka je M neprazna granica između zvijeri bezličnih prirodnih brojeva, a S je bezličnost gornjih kordona, pa je S=(x(x(N((m(M)) m(x)).) Značajno kroz x0, najmanji element od y S. Ako je m
Zadatak 1.6.1. Donesite što
a);
b);
u).
Zadatak 1.6.2. Hajde (- deak potencija prirodnih brojeva i k - više od prirodnog broja. Donesi što
a) biti kao prirodan broj može biti stepen (kao što samo 0 može biti stepen za bilo koji n (0
b) da li je prirodan broj, veći ili jednak k, maê stepen (, ako samo k maê tsyu stepen i za bilo koji n (k (n) s izostavljanjem, scho n maê stepen (, sljedeći, scho broj n + 1 također Volodya tsíêyu moć).;
c) da li je prirodan broj, veći ili jednak k, može imati snagu (jer samo k može imati snagu i za bilo koji n (n>k) je dopuštenje, da su svi brojevi t, dodijeljeni mentalnim k (t

1.7. PRINCIP INDUKCIJE.

Vikoristovuyuchi povryadkovannost sustava prirodnih brojeva, možete donijeti takav teorem, jedan od temelja metoda dokazivanja, naslova metodom matematičke indukcije.
Teorem (princip indukcije). Usí vyslovlyuvannya s sekvencom A1, A2, ..., An, ... ê ístnymi, yakshcho vykonuyutsya mind:
1) A1 je istinit;
2) kako koristiti Ak s k
Dovođenje. Dopušteno je ne prihvatiti: mislite 1) i 2) da biste pobijedili, ali ako teorem nije istinit, tada nećemo dopustiti ê bezlično M = (m (N (N \ (0), Am - hibno)). element, koji ima smisla u smislu n. mentalno 1) A1 je istina, a An je loš, tada 1(n, i, aka, 1)
Za potvrdu metodom indukcije mogu se uočiti dva stupnja. Na prvom stupnju, koji se zove osnova indukcije, preokreće se mentalitet uma 1). S druge strane pozornice, koja se zove indukcijski lonac, um se dovodi u svijest 2). Najčešće se prelaze vipadi, ako se dokazuje istinitost An, nije moguće koristiti pobjedonosnost istine Ak na k
kundak. Dovesti nejednakost Plaća = Sk. Potrebno je donijeti istinitost konstelacije Ak=(Sk Slijed potrošnje, kako je opisano u teoremu 1, može doći iz predikata A(n) dodijeljenog skupu N ili podskupu Nk=(x( x(N, x(k)), gdje je k fiksni prirodni broj.
Dakle, ako je k=1, tada je N1=N(0), a numeriranje se može provesti za dodatne jednakosti A1=A(1), A2=A(2), ..., An=A(n), .. Ako je k(1, tada se niz pojavljivanja može uzeti iz dodatnih parnosti A1=A(k), A2=A(k+1), ..., An=A(k+n-1), . .Vidpovidno takvim vrijednostima, teorem 1 može se formulirati u drugačijem obliku.
Teorem 2. Predikat A(m) je također istinit na množitelju Nk, tako da znate:
1) A(k) je istinito;
2) kako koristiti A(m) za m
Zadatak 1.7.1. Reći ću vam da ovakva jednakost ne odlučuje u galeriji prirodnih brojeva:
a) x + y = 1;
b) 3x = 2;
c) x2 = 2;
d) 3x+2=4;
e) x2+y2=6;
f) 2x+1=2y.
Zadatak 1.7.2. Donesite, pobjednički princip matematičke indukcije:
a) (n3+(n+1)3+(n+2)3)(9;
b);
u);
G);
e);
e).

1.8. VIDCHITANNYA I DELENNYA PRIRODNI BROJEVI.

Oznaka 1. Razlika prirodnih brojeva a i b je takav prirodan broj x da je b+x=a. Razlika prirodnih brojeva a i b označava se kroz a-b, a operacija razlike razlike naziva se razlika. Vídnimannya nije operacija algebre. Tse vyplyvaê iz nastupnoí̈ teorem.
Teorem 1. Maloprodaja a-b je jedina razlika i samo jedna, ako je b(a. Ako postoji razlika, onda je samo jedna).
Dovođenje. Ako je b(a, onda za oznaku reference (ako je prirodni broj x, onda je b+x=a. Ale ce i znaci da je x=a-b. da je b + x = a. Alece znaci da je b (a .
Mi donosimo jedinstvo maloprodaja a-b. Neka je a-b=x i a-b=y. Isto vrijedi i za termine 1 b+x=a, b+y=a. Zvídsi b+x=b+y í, također, x=y.
Odredište 2. Razlomak dva prirodna broja a i b(0) zove se prirodni broj c takav da je a = bc.
Teorem 2. Privatniji je od jednog.
Dovođenje. Hajde = x to = y. Isto vrijedi i za termine 2 a=bx i a=by. Zvídsi bx=by í, također, x=y.
Vrijedno je napomenuti da se operacije obavljene tom prilikom mogu računati doslovno na isti način kao i kod školskih pomoćnika. To znači da su u paragrafima 1-7, na temelju Peanovih aksioma, postavljeni teorijski temelji aritmetike prirodnih brojeva, a daljnji razvoj naknadno se uspostavlja u srednjoškolskom kolegiju matematike iu sveučilišnom kolegiju "Algebra i brojevi". Teorija".
Zadatak 1.8.1. Opravdajte takve tvrdnje, priznajući da su sve razlike koje su navedene u njihovim formulama jasne:
a) (a-b)+c=(a+c)-b;
b) (a-b) (c = a (c-b (c);
c) (a+b)-(c+b)=a-c;
d) a-(b+c)=(a-b)-c;
e) (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d);
e) (a-b)-(c-d)=a-c;
g) (a+b)-(b-c)=a+c;
h) (a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c);
i) a-(b-c)=(a+c)-b;
to) (a-b)-(c+d)=(a-c)-(b+d);
k) (a-b)(c+d)=(ac+ad)-(bc+bd);
l) (a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc);
m) (a-b)2=(a2+b2)-2ab;
o) a2-b2=(a-b)(a+b).
Zadatak 1.8.2. Ispraviti nadolazeće nevolje, priznati da je sve privatno, da su navedene u danoj formuli, jasno je.
a); b); u); G); e); e); i); h); i); do); l); m); n); oko); P); R).
Zadatak 1.8.3. Dokazati da majke dvaju različitih prirodnih rješenja ne mogu biti toliko jednake: a) ax2+bx=c (a,b,c(N); b) x2=ax+b (a,b(N); c) 2x= ax2 + b(a,b(N).
Zadatak 1.8.4. Odriješi prirodne brojeve jednake:
a) x2+(x+1)2=(x+2)2; b) x + y = x (y; c); d) x2+2y2=12; e) x2-y2 = 3; e) x + y + z = x (y (z.
Zadatak 1.8.5. Dokazati da u sferi prirodnih brojeva ne postoji tako jednako rješenje: a) x2-y2=14; b) x-y = xy; u); G); e) x2=2x+1; f) x2 = 2y2.
Zadatak 1.8.6. Razotkrivanje prirodnih brojeva neravnina: a) ; b); u); d) x+y2 Zadatak 1.8.7. Recite mi da je u carstvu prirodnih brojeva, početak prevrtanja fer: a) 2ab(a2+b2; b) ab+bc+ac(a2+b2+c2; c) c2=a2+b2 (a2+b2 +c2 1.9.KILKISNIY SMRT prirodni brojevi.
Stvarno, prirodne brojeve treba postaviti kao glavni rang rahunke elemenata, a koji treba postaviti u račun prirodnih brojeva teoretski po Peanu.
Odredište 1. Anonimno (x(x(N, 1(x(n)) naziva se za razliku od prirodnog niza) i označava se kroz (1; n ()).
Imenovanje 2. Kíntsevoj množitelj se naziva da li je množitelj, jednak bilo kojem brojaču prirodnog niza, a također i prazan množitelj. Bezlich, kao i ne ê kítsevim, naziva se neoguljen.
Teorem 1 na mokro(Tobto podmnozhini, vídmíny víd A).
Dovođenje. Kako je A=(, teorem je istinit, nema praznih fragmenata praznih višekratnika. Neka je A((í A jednako teško (1,n((A((1,n()).)) Možemo dokazati teorem indukcijom na n. Yaksho n= 1, tada A((1,1(, tada koristimo jedan submultiplikator množitelja A je prazan množitelj). Bilo je jasno da A(i, također, za n=1 , teorem je točan. Pretpostavimo da je teorem točan za n=m, tada su svi množitelji terminala jednake snage u vjetru (1,m(, ne razmišljajte o jednakim snagama u vjetru). inverzno)) (1, m+1(u A. Ako je ((k) poznato po ak, k=1,2,...,m+1, tada se bezlično A može napisati kao A=(a1, a2, ...) ) , am, am+1) Naš je cilj dokazati da A nema jednako jake višestruke snage.
Pogledajmo množitelje A1 = A (am + 1) i B1 = B (am + 1). Budući da je f(am+1)=am+1, tada funkcija f zdíysnyuvatime bioaktivno prikazuje množitelj A1, pomoću množitelja B1. U ovom rangu, bezlični A1 bit će jednak svom moćnom višestrukom B1. Ale oskílki A1((1,m(, ne zamjenjuju dopuštenje indukcije).
Zaključak 1. Nepostojanje prirodnih brojeva nije ograničeno.
Dovođenje. Iz Peanovih aksioma jasno je da je S:N®N\(0), S(x)=x(objektivno) fermentiran.
Zaključak 2. Ako kíntsev multiplikator A nije prazan, jednak je jednom i samo jednom pandanu prirodnog niza.
Dovođenje. Neka je A((1,m(í A((1,n(. Todí) (1,m(((1,n(, zbog teorema 1 je jasno), pa je m=n.)).
Posljednje 2 omogućuje unos oznake.
Oznaka 3. Kako je A((1,n(, onda prirodni broj n nazivamo broj elemenata u množitelju A), a postupak uspostavljanja međusobno jednoznačne sličnosti između množitelja A i (1,n (nazivamo broj) elemenata u množitelju A. Broj prirodnih elemenata višekratnika praznog upiši) broj nula.
O veličini značenja rahunke za praktični život govori zayve.
Poštovana, poznavajući računicu prirodnog broja, bilo bi moguće izračunati operaciju množenja kroz samo zbrajanje:
.
Za sada nismo poslali ovuda kako bismo pokazali da sama aritmetika nije potrebna u smislu računanja: smisao prirodnog broja je potreban samo u dodacima aritmetici.

1.10. SUSTAV PRIRODNIH BROJEVA KAO DISKRETNO OBRNUTO JE UREĐENI BAGATO.

Pokazali smo da su neosobni prirodni brojevi kompatibilni s prirodnim poretkom i cjelokupnim poretkom. Ako je tako, ((a(N) a
1. za bilo koji broj a(N ísnuê sudídnê koji dolazi nakon njega 2. za bilo koji broj a(N \ (0) ísnuê suídnê yoma ispred vas) Cijeli poredak bezličnog (A;()) s potencijama 1 i 2 naziva se memo diskretni ciklus Čini se da je poredak s potencijama 1 i 2 karakteristična snaga sustava prirodnih brojeva.element i, također, aksiom 1 Peano pobjeđuje).
Dakle, to je poput linearnog poretka, tada za svaki element a postoji jedan element koji ga slijedi i ne više od jednog naprijed sudidnog elementa. razmislite:
1) a0(M, gdje je a0 najmanji element od A;
2) a(M (a((M.))
Recimo da je M=N. Dopušteno nije prihvaćeno, tada je A\M((. Značajno, kroz b, najmanji element u A\M.
Donijeli smo i mogućnost drugog označavanja sustava prirodnih brojeva.
Ugovoreni sastanak. Sustav prirodnih brojeva zove li se višestrukost u cjelini, na kojoj se broje umovi:
1. za bilo koji element, postoji sljedeći element koji napreduje iza njega;
2. za bilo koji element, najmanje vidljiv element, glavni sudski element.
ísnuyut ínshí pídhodi odredište sustava prirodnih brojeva, na koje mi ovdje ne zupinaêmosya.

2. TSILI I RACIONALNI BROJEVI.

2.1. ZNAČAJ I MOĆ SUSTAVA BROJEVA.
Čini se da u umu intuitivnog uma ne postoji cijeli broj, a prsten je u stanju saviti taj množitelj, štoviše, prsten je osveta prirodnim brojevima. Razumjelo se da nema zaklinjanja u kíltsí tsílih brojeva, kao da bi se osvetilo svim prirodnim brojevima. Čini se da se qi moći može postaviti kao osnova za striktno označavanje sustava brojeva. U točkama 2.2 i 2.3 bit će donijeta ispravnost takvog označavanja.
Imenovanje 1. Sustav brojeva naziva se algebarski sustav, za koji je um:
1. Algebarski sustav ê kíltse;
2. Anonimnost prirodnih brojeva treba uzeti u obzir, štoviše, zbrajanje tog množenja u kíltsí na podumnošku uzima se iz zbrajanja tog množitelja prirodnih brojeva, tobto
3. (umova minimalnost). Z je minimum za uključivanje množitelja s potencijom 1 i 2. Drugim riječima, da bi se osvetili prirodni brojevi, tada je Z0=Z.
Imenovanju 1 može se dati aksiomatski karakter. Prvi pojmovi u ovoj aksiomatskoj teoriji bit će:
1) Anonimni Z, čiji se elementi nazivaju cijelim brojevima.
2) Poseban cijeli broj, jer se naziva nula i označava se kroz 0.
3) Trojni vídnosini + ta (.
Preko N, kao i obično, bezlični prirodni brojevi označeni su preklapanjem (i množenjima (. Naime, do oznake 1, sustav cijelih brojeva naziva se takav sustav algebre (Z; +, (, N) ), za koje su sljedeći aksiomi pobjednički):
1. (Aksiomi kíltsya.)
1.1.
Ovaj aksiom znači da je + ê binarna operacija algebre na skupu Z.
1.2. ((a,b,c(Z) (a+b)+c=a+(b+c)).
1.3. ((a, b (Z) a + b = b + a).
1.4. ((a(Z) a+0=a, pa se broj 0 može dodati kao neutralni element).
1.5. ((a(Z)((a((Z) a+a(=0), tako da za skin cijeli broj postoji suprotan broj a()).
1.6. ((a,b(Z))((! d(Z) a(b=d)).
Ovaj aksiom znači da je množenje binarna operacija algebre na množitelju Z.
1.7. ((a, b, c(Z)) (a(b)(c = a((b(c))).
1.8. ((a, b, c (Z) (a + b) (c = a (c + b (c, c ((a + b)) = c (a + c (b))
2. (Aksiomi veze Z sa sustavom prirodnih brojeva.)
2.1. N(Z.
2.2. ((a, b (N) a + b = a (b).
2.3. ((a, b(N)) a(b = a(b).
3. (Aksiom minimalnosti.)
Ako je Z0 kraj prstena Z i N(Z0, tada je Z0=Z.
Značajno djeluje snaga brojevnog sustava.
1. Broj kože može se prikazati promatranjem razlike između dva prirodna broja. Izgled je višeznačan, štoviše, z=a-b i z=c-d, de a, b, c, d (N, oboje i samo ako je a+d=b+c).
Dovođenje. Znakovito, kroz Z0, nepostojanje svih cijelih brojeva, kože bilo kojeg od njih, izgleda kao dva prirodna broja. Očito, ((a(N) a=a-0, i, aka, N(Z0).
Idemo x,y(Z0, zatim x=a-b, y=c-d, de a,b,c,d(N. Zatim x-y=(a-b)-(c-d)=(a+d)-(b + c )=(a(d)-(b(c)), x(y=(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)=(a(c(b(d))- ( a(d(b(c). Može se vidjeti da je x-y, x(y(Z0 i, nadalje, Z0 je podskup prstena Z, da se osveti bezličnom N.)).
2. Prsten cijelih brojeva je komutativni prsten s jedinicom, a nula prstena je prirodni broj 0, a jedinica prstena je prirodni broj 1.
Dovođenje. Neka x,y(Z. Vrijedi na stepen 1 x=a-b, y=c-d, de a,b,c,d(N.) Tada je x(y=(a-b)((c-d)=(ac+bd)- (ad) +bc)=(a(c(b(d))-(a(d(b(c)), y(x=(c-d))(a-b)=(ca+db)-(da+ cb )=(c( a(d(b)-(d(a(c(b))). Dakle, zbog komutativnosti množenja prirodnih brojeva odgovara da je xy=yx. Komutativnost množenja u doveden je prsten Z. 2 vyplyvayut iz uvredljivih očitih jednakosti, u kojima su kroz 0 i 1 poznati prirodni brojevi nula i jedan: x+0=(a-b)+0=(a+(-b))+ 0=(a+0)+(-b) =(a(0)+ (-b) = a-b = x x (1 = (a-b) (1 = a (1-b (1 = a (1-b) 1 = a-b = x)))

2.2. ÍSNUVANNYA SUSTAV CILIK BROJ.

Sustavu brojeva dodijeljen je 2.1 kao minimum za uključivanje prstena, koji osvećuje prirodne brojeve. Vikaê pitanya - što je isti kíltse? Drugim riječima, sustav aksioma s 2.1 je super-pojednostavljen. Da bi se dovela do ne-supernosti sustava aksioma, potrebno je inducirati tumačenje u jasno ne-nadzornoj teoriji. Takvu teoriju uzima u obzir aritmetika prirodnih brojeva.
Opet je potrebno objasniti interpretaciju sustava aksioma 2.1. Ostavimo se bezličnog. Za koga su bezlični značajno dvije binarne operacije i binarna postavka. Ako se zbrajanje tog množenja parova svodi na zbrajanje tog množenja prirodnih brojeva, onda je za prirodne brojeve zbrajanje tog množenja parova komutativno, asocijativno, a množenje je distributivno slično zbrajanju. Razmotrimo ponovno, na primjer, komutativnost zbrajanja parova: +===+.
Pogledajmo snagu vídnoshennia ~. Oskílki a + b = b + a, zatim ~, zatim postavljanje ~ refleksno. Ako je ~, tada je a+b1=b+a1, tada je a1+b=b1+a, tada je ~. Otzhe, postavljanje ~ simetrično. Samo naprijed ~ i ~. Također vrijede jednakosti a+b1=b+a1 i a1+b2=b1+a2. Zbrajanjem brojeva jednakosti oduzimamo a + b2 = b + a2, zatim ~. Otzhe, postavljanje ~ također tranzitivno í, otzhe, ê ekvivalent. Odredit će se klasa ekvivalencije koja osvećuje par. U ovom rangu, klasa ekvivalencije može se dodijeliti vašem vlastitom paru i s njim
(1)
Anonimnost svih klasa ekvivalencije značajna je kroz. Naš zadatak je pokazati da će množitelj u slučaju navedene operacije presavijanja i množenja biti interpretacija sustava aksioma iz 2.1. Operacije na bezličnima značajne su jednakostima:
(2)
(3)
Ako je i, tada na množitelju N vrijedi jednakost a+b(=b+a(, c+d(=a+c(,)), jednakost (a+c)+(b(+d( )=(b ) +d)+(a(+c(), što je, na temelju (1), prihvatljivo, što znači da ekvivalencija (2) označava jedinstvenu operaciju zbrajanja množitelja, tako da kao ne lagati u izboru parova, što znači dodataka) i jedinstvenost množenja klasa Na ovaj način se jednakosti (2) i (3) pripisuju višestrukosti binarnih operacija algebre.
Oskílki klase zbrajanja i množenja mogu se izgraditi do parova savijanja i množenja, ove operacije su komutativne, asocijativne i klase množenja su distributivno lake savijanja. Iz jednakosti proizlazi da je klasa neutralni element načina savijanja, a klasa kože je proliferativna klasa. Dakle, množitelj je krug, pa se računaju aksiomi grupe 1 iz 2.1.
Pogledajmo kíl'tsí podmnozhina. Ako je a(b, onda preko (1) , a ako je a
Na bezličnom, binarnost je značajna (slijede (; sama, nakon klase, nakon klase, de x (ê prirodan broj, dolazi nakon x. Klasa, dolazi nakon prirodno označenog kroz). klasa slijedi klasu i prije nje je samo jedan.
Pogledajmo sliku. Očito je da je svrha fermentacije biaktivna i um f(0)= , f(x()==(=f(x)(.)). ;, () Drugim riječima, algebra (;, () je interpretacija Peanovog sustava aksioma. Proizlazi iz izomorfnih algebri, tako da s dužnim poštovanjem možete smatrati da je sam impersonalni N submnožen. ) \u003d a + c, a (c \u003d ac, što znači da je dodavanje tog Zbrajanjima i množenjima prirodnih brojeva dodaje se množenje u kíltsi na podumnošku N. Dakle, instalirano je zbrajanje aksioma skupine 2.
Hajde Z0 - budi kao kíltse pídkíltse, scho da osvetiš bezličnog N i. S poštovanjem, scho th, otzhe,. Ale oskílki Z0 - kílce, tada razlika između ovih klasa može biti i s kíltsu Z0. Z jednakosti -= (= fit, sho (Z0 í, aka, Z0=. Donosi se nesuperitetnost sustava aksioma iz točke 2.1).

2.3. JEDINSTVO SUSTAVA BROJEVA.

Imam samo jedan sustav brojeva za svoj intuitivni um. Tse znači da sustav aksioma, koji označava brojeve brojeva, može biti kategoričan, tako da interpretacija sustava aksioma može biti izomorfna. Kategoričan i znači da, do izomorfizma, postoji samo jedan sustav brojeva. Perekonayemosya, scho tse true so.
Neka su (Z1;+,(,N) i (Z2;(,(,N)) dvije interpretacije sustava aksioma iz točke 2.1.) ispunjeni neposlušnim i kremom za sve elemente x i y iz prstena Z1 poštenje
(1)
. (2)
S poštovanjem, krhotine N(Z1 i N(Z2, dakle
, a(b=a(b. (3)
Neka x(Z1 í x=a-b, de a,b(N. Postavite element x=a-b na element u=a(b, de) , zvijezde z (3) a(d=b(c í, otzhe, a(b=c(d)) to znači da je naša sposobnost pada kao predstavnika elementa x kao razlike između dva prirodna broja i cim prikazana u f: Z1® Z2, f(a-b)=a(b. Shvaćajući da je v(Z2 í v=c(d), onda v=f(c-d).) izraz f je sur'jektivan.
Ako je x = a-b, y = c-d, de a, b, c, d (N í f (x) = f (y), tada je a (b = c (d). Alethodí a (d = b (d, c) ) sila (3) a+d=b+c, dakle a-b=c-d Donijeli smo, da je jednakost x=y vidljiva iz jednakosti f(x)=f(y), tada je izraz f je neaktivan.
Ako je a(N, tada je a=a-0 í f(a)=f(a-0)=a(0=a.) Dakle, prirodni brojevi nisu nasilni kada je f pretjerano. Daleko, kao x=a-b , y=c-d , de a, b, c, d (N, tada x + y = (a + c) - i f (x + y) = (a + c) ((b + d) = (a (c) ) (( b (d)=(a(b)((c(d)=f(x)+f(y)). Pravednost jednakosti (1) je dokazana. Reverzibilna jednakost (2). Vage f( xy)=(ac+ bd) )((ad+bc)=(a(c(b(d))((a(d(b(c))), a na drugoj strani f(x)(f( y))=(a (b)((c (d)=(a(c(b(d))((a(d(b(c))). Dakle, f(xy)=f(x) (f(y)) , čime je završen dokaz kategoričnosti sustava aksioma br.) 2.1.

2.4. VRIJEDNOST I SNAGA SUSTAVA RACIONALNIH BROJEVA.

Anonimni Q racionalni brojevi u zadanom intuitivnom rozumínní polju, za neke bezlične Z cijele brojeve ê pídkíltsem. Kada je očito da je Q0 potpolje polja Q, da se osveti brojevima, tada je Q0 = Q.
Imenovanje 1. Sustav racionalnih brojeva je takav sustav algebre (Q; +, (; Z), za koji se koristi um:
1. algebarski sustav (Q; +, () ê polje;
2. prsten Z cijelih brojeva ê pídkíltsem polje Q;
3. (minimalno) ako potpolje Q0 polja Q osvećuje potpolje Z, tada je Q0=Q.
Ukratko, sustav racionalnih brojeva je minimum za uključeno polje za osvetu broja brojeva. Možete dati više izvješća o aksiomatskoj definiciji sustava racionalnih brojeva.
Teorema. Kožni racionalni broj x može se predstaviti kao dva privatna cijela broja, dakle
, de a, b (Z, b (0. (1)
Izgled je dvosmislen, štoviše, de a, b, c, d (Z, b (0, d (0)).
Dovođenje. Značajno u smislu Q0, postoje neosobni racionalni brojevi, kao što se vidi u (1). Da završimo pomirenje, dakle Q0 = Q. Hajde, de a, b, c, d (Z, b (0, d (0). Tada je za snagu polja moguće: , a za c (0) Srednja vrijednost Q0 zatvorena je na broju različitom od nule, i, tada, ê potpolje polja Q. Dakle, ako je broj a moguće prikazati na vidiku, tada je Z (Q0. Zbog činjenice da je minimalan i očit , Q0 = Q. Dokaz drugog dijela očitog teorema.

2.5. TEMELJI SUSTAVA RACIONALNIH BROJEVA.

Sustav racionalnih brojeva označen je kao minimalno polje za osvetu broja brojeva. Zvichayno vinikaê pitanya - chi ísnuê takvo polje, da chi ê ê nesuperechlivuyu sustav aksioma, scho vyznaê racionalni brojevi. Da bi se potvrdila nesuperitetnost, potrebno je inducirati tumačenje sustava aksioma. Kod koga je moguće spiralizirati osnovu sustava cijelih brojeva. Uzmimo trenutak za tumačenje Z(Z\(0) kao nepromjenjivog broja. Dvije binarne operacije algebre značajne su na množitelju
, (1)
(2)
taj binarni
(3)
Dotsílníst sama takva oznaka operacija i vídnosiní ~ vyplyaê z da u íy íyínpretatsíí, kao što ću biti, nekoliko riječi su privatnije.
Lako je zamisliti da su operacije (1) i (2) komutativne, asocijativne i da se množe distributivno. Sve moći moći su poštovane na temelju viših moći zbrajanja tog množenja brojeva. Pereverimo, na primjer, asocijativnost više parova: .
Slično, ponovno se smatra da je razlika ~ ê ekvivalentna, i, prema tome, bezlični Z(Z \ (0)) je podijeljen u klase ekvivalencije. u parovima i na temelju uma (3) uzimamo:
. (4)
Naš zadatak je označiti operaciju presavijanja tog množitelja u množitelj, tako da je to polje. Broj operacija značajan je jednakostima:
, (5)
(6)
Dakle, onda ab1=ba1 pa cd1=dc1, zatim množenjem vrijednosti jednakosti, uzimamo (ac)(b1d1)=(bd)(a1c1), a tse znači da će nas Tse promijeniti od one koja je jednako (6) ) učinkovito označava nedvosmislenu operaciju na bezličnoj klasi, kao što je ležati u izboru predstavnika klase kože. Slično se revidira jedinstvenost operacije (5).
Budući da se klase zbrajanja i množenja mogu svesti na savijanje i množenje parova, tada su operacije (5) i (6) komutativne, asocijativne i distributivne i mogu se zbrajati.
Od jednakosti, propisano je da je klasa neutralni element kada se nadopunjuje, a za klasu kože koristi se element protella yoma. Slično tome, očito je da je klasa neutralni element pluraliteta, a za kožu je klasa korektivna klasa. Također, ê područje rada (5) i (6); prvi Umov na dogovorenom bodu 2.4 pobjeđuje.
Pogledajmo bezličnu distancu. Očito,. Bezličnost je zatvorena gledanjem te množine i, kasnije, terenskim pidkilima. Točno,. Pogledajmo viziju, . Sur'jektivnost ove manifestacije je očita. Ako je f(x)=f(y), tada je x(1=y(1 ili x=y. Značenje f i injektivno. Osim toga, izomorfna kíltsya, moguće je razumjeti da je Z kílce subkílcem polja, tako da um je tučen 2 na imenovanu klauzulu 2.4. polja i, dođi. Bo, ah, onda. Ale oskílki - polje, zatim privatni tsikh elementi tezh leže na terenu. Tim je to sam iznio, što je, dakle, tobto. Završena je osnova sustava racionalnih brojeva.

2.6. JEDINSTVO SUSTAVA RACIONALNIH BROJEVA.

Ako postoji samo jedan sustav racionalnih brojeva u modernom intuitivnom smislu, tada aksiomatska teorija racionalnih brojeva, kako se ovdje pojavljuje, može biti kategorična. Kategoričan i znači da, do izomorfizma, postoji samo jedan sustav racionalnih brojeva. Pokažimo da je to istina.
Neka su (Q1;+, (; Z) i (Q2; (, (; Z)) - kao dva sustava racionalnih brojeva.
(1)
(2)
za bilo koje elemente x i y iz polja Q1.
Privatni elementi a i b u polju Q1 bit će označeni s, au polju Q2 - s a:b. Budući da je Z ê pídkíltse kozhny s polív Q1 í Q2, tada za bilo koji broj brojeva a í b ekvivalentnost
, . (3)
Hajde i de, . Zadanom elementu x pridružujemo element y=a:b iz polja Q2. Ako je jednakost istinita u polju Q1, tada teorem iz točke 2.4 u prstenu Z pobjeđuje jednakost ab1=ba1, inače, zbog (3), jednakost, a slično za isti teorem, jednakost a: b=a1:b1 vrijedi u polju Q2. Tse znači da ćemo dodijelivši elementu polja Q1 element y=a:b iz polja Q2 prikazati, .
Svaki element iz polja Q2 može se prikazati kao a:b, de, otzhe, ê rang elementa iz polja Q1. Otzhe, vodobrazhennya f ê sur'êktivnym.
Da, onda u polje Q1 i isto. Na taj način, fermentacija f ê bíêktivnym i svi tsílí brojevi postaju neposlušni. Jednakosti (1) i (2) moraju biti pravedne. Recimo a,b,c,d(Z, b(0, d(0). Tada i, znakovi zbog (3) f(x+y)=f(x)(f(y). Slično, i zvijezde.
Izomorfizam interpretacija (Q1; +, (; Z) i (Q2; (, (; Z)) napreduje.

VÍDPOVIDI, VKAZIVKI, RIŠENNYA.

1.1.1. Riješenje. Neka aksiomi uma 4 budu istiniti (takva snaga prirodnih brojeva da ((0) i. Učinimo to. Ako M zadovoljava moći aksioma 4, krhotine ((0) (0(M i. Otzhe), M=N , tada biti poput prirodnog ).broj je moćan (. Natrag. Prihvatljivo je da za to postoji li snaga ili ne (od toga ((0) i, sljedeći. Neka je M submultiplikator od N, da 0(M i.) Pokazat će se da je M = N. Uvedimo snagu (, s poštovanjem. Todi ((0), oskílki, i.) Otzhe, M=N.
1.1.2. Presuda: Točna tvrdnja 1. i 4. aksioma Peana. Potvrda 2. aksioma Hibnea.
1.1.3. Presuda: istinita tvrdnja 2,3,4 Peanova aksioma. Potvrda 1. aksioma Hibnea.
1.1.4. Točne tvrdnje 1, 2, 3 Peanovi aksiomi. Izjava 4. aksioma Hibnea. Vkazívka: donijeti, scho zadovoljan mogućnostima aksioma 4, formuliranog u smislu operacije, ale.
1.1.5. Vkazívka: da biste dokazali istinitost aksioma 4, pogledajte submultiplikator M z A, jer zadovoljava umove: a) 1 ((M, b) i bezlično.
1.1.6. Točna tvrdnja Peanovih 1,2,3 aksioma. Izjava 4. aksioma Peana Hibnea.
1.6.1. a) Odluka: Molim vas, javite mi ako je 1 ujutro. Leđa. Ajde jesam
1.6.2. a) Odluka: Prihvatljivo. Preko M, svi brojevi su značajno bezlični, tako da ne mogu biti moćni (. Prema pretpostavci, M((. Na temelju teorema 1, M ima najmanji element n(0). Bilo da je to broj x
1.8.1. f) Označite str. e) i str. c): (a-c)+(c-b)=(a+c)-(c+b)=a-b, također, (a-b)-(c-b)=a-c.
h) Osvojite moć.
l) Označite str. b).
l) Označite točke b) i točke h).
1.8.2. c) Maêmo, otzhe,. Otac,.
d) Maemo. Otac,.
i).
1.8.3. a) Kao (i (različito rješenje jednako ax2+bx=c), tada a(2+b(=a(2+b(.)) . Točno ((. Međutim (2=a(+b>a(, također, (>a.))).
c) Nehai (i (- različiti korijeni jednakog i (>(. Todí 2((-()=(a(2+b))-(a(2+b))=a((-())( ( (+( ) Kasnije, a((+()=2), ali (+(>2), kasnije, a((+()>2), što je nemoguće).
1.8.4. a) x = 3; b) x = y = 2 c) x=y(y+2), y je prirodan broj; d) x = y = 2; e) x = 2, y = 1; f) Točno do permutacija x=1, y=2, z=3. Rješenje: Na primjer, recimo x(y(z. Zatim xyz=x+y+z(3z, dakle xy(3.) Dakle xy=1, onda x=y=1 í z=2+z, dakle) Nemoguće: ako je xy = 2, onda je x = 1, y = 2. U tom slučaju je 2z = 3 + z, tada je z = 3. Ako je xy = 3, tada je x = 1, y = 3. Tada je 3z = 4+z , dakle z=2, kako bi se superponirao dodatak y(z.
1.8.5. b) Ako je x=a, y=b cijepanje, tada je ab+b=a, tada. a>ab, što je nemoguće. d) Ako je x=a, y=b cijepanje, tada je b
1.8.6. a) x=ky, de k,y - dovoljno prirodnih brojeva i y(1. b) x - dovoljan prirodan broj, y=1. c) x je prilično prirodan broj y=1. d) Ne postoji rješenje. e) x1 = 1; x2=2; x3=3. f) x>5.
1.8.7. a) Ako je a = b, onda je 2ab = a2 + b2. Hajde, na primjer, a

KNJIŽEVNOST

1. Redkov M.I. Numerički sustavi. /Metodičke preporuke za kolegij "Brojevni sustavi". Dio 1. - Omsk: OmDPÍ, 1984. - 46s.
2. Ershova T.I. Numerički sustavi. / Metodički razvoj za praktičnu upotrebu. - Sverdlovsk: SDPI, 1981. - 68s.