Redoslijed neosobnih prirodnih brojeva. Pojam prirodnog broja i nule. Izražavanje "jednako", "manje", "veće" na bezličnim prirodnim brojevima Razumijevanje prehrane za matematičku analizu
Alternativa prirodnom nizu N je bezlični prirodni broj koji ne mijenja prirodni broj a, pa je N = (x | x N i x a).
Na primjer, N ce bezlični prirodni brojevi, pa ne mijenjati 7, tako. N = (1,2,3,4,5,6,7).
Značajno dvije najvažnije potencije u prirodnom nizu:
1) Be-yaky vídrízok N osveta usamljenost. Tsya vlastivistvo viplivaê íz vyznachennya vídrízka prirodne serije.
2) Ako broj x nestane od protivnika N í x a, onda broj x + 1 dolazi iza njih i nestaje u N .
Bezlich A naziva se kítsevim, kao da je jednak istom pandanu N prirodnog niza. Na primjer, bez lica I vrhovi trikutnika, bez lica smrdi su jednaki N = (1,2,3), tj. A~B~N .
Kako je broj A neprazan i jednak N, prirodni broj a nazivamo brojem elemenata množitelja A i pišemo n(A) = a. Na primjer, ako je A višestrukost vrhova trikoa, tada je n(A) = 3.
Ako nije prazan, kítsev bezlích jednak je jednom i više od jednog vídrízka prirodnog niza, tobto. skin endian plural I može se staviti u jedinstveno jednak broj a, tako da je bezlično A međusobno jednoznačno u broju N.
Namirenje međusobnog i jednoplemstva je etika nepodnošljivih nepodnošljivih višelivo i u prirodnom redu do jestivog pluga rakhunka A. Zkilka Iza obožavanja istog broja. U jednoj klasi će se reducirati svi jednoelementni množitelji, u drugoj - dvoelementni, itd. Prvi broj se može promatrati kao krajnja moć klase prinčeva jednake snage. U ovom poretku, s teoretsko-višestrukog gledišta, prirodni broj je glavna potencija klase terminalnih množitelja.
Broj 0 također može biti teoretski množitelj - treba ga postaviti na prazan množitelj: n() = 0.
Također, prirodan broj kao obilježje veličine može se promatrati iz dvije pozicije:
1) kao broj elemenata u skupu A, osvojen za rahunka;
2) koliko je moćna moć klase kítsevyh jednako jakih mnoštva.
Uspostavljanje veza između konačnih množenja i prirodnih brojeva omogućuje nam davanje teorijske zamagljenosti množitelja "manje".
Ako je a = n(A), b = n(B), tada je broj a manji od broja b, čak i ako je množitelj A jednak submultiplikatoru potencije množitelja. A ~ B, de B, B, B (slika 1). Abo ako u prirodnom nizu N ê dobijmo puno snage vídrízka N, tobto. N N .
Brojevi a í b jednaki, yakscho smrdi jednaki su jednakim višekratnicima: a = k A~B de n(A) = a, n (B) = k. Na primjer, 2 = 2, jer n(A) = 2, n(B) = 2, A = (a, b), B = (z, x), A~B.
Dominacija pojma “manje” za prirodne brojeve također je slična teoretskom zamagljivanju množitelja: tranzitivnost i antisimetričnost ovog pojma povezana je s njim, koji je tranzitivan i antisimetričan pojmu “postaje množitelj”.
Pokazuje se da je multiteorijska interpretacija “manje” za prirodne brojeve, a to je 2
Uzmimo množitelj A, da osvetimo 2 elementa, i množitelj B, da osvetimo 5 elemenata, tobto. n(A) = 2, n(B) = 5. Na primjer, A = (a, b), B = (c, d, e, f, r). Iz množitelja B možete vidjeti podumnožnik, jednaki množitelj A: na primjer B = (c, d) í A ~ B.
Pravednost nad N
Tsyu nerívníst možete pogledati malu 2. Hajde, 2 je broj nabora, a 5 je broj kvadrata. Ako stavite krugove na kvadrate, tada je sigurno da je dio kvadrata ostao nedovršen.
Otzhe, broj nabora je manji od broja kvadrata, tobto. 2
Teorijski smisao nejednakosti 0
Poravnanje brojeva u tečaju matematike razvija se na različite načine - temelji se na svim pristupima koje smo razmatrali prije tumačenja izraza "manje".
Teoremi o "najvećem" i "najmanjem" broju
Teorem 4 (o “najmanjem” broju). Da nije prazan, okružen dnom bezličnih brojeva, osveti najmanji broj. (Ovdje, kao i u slučaju prirodnih brojeva, riječ "višestruki" zamijenjena je riječju "višestruki" E
Dovođenje. Neka je O A Z i A obrubljen odozdo, tobto. 36? Zva? A(b)< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.
Hajde sad LA.
Todi Ua e Af< а) и, значит, Уа А(а - Ь >O).
Napravimo bezlično M od svih brojeva u obliku a - b, de probígaê bezlično A, tobto. M \u003d (s [c \u003d a - b, a E A)
Očito je da bezlično M nije prazno, krhotine A 74 0
Jak je viši, M C N . Kasnije, slijedeći teorem o r a l n o m h i s l e (54, pogl. III), množitelj M ima najmanji prirodni broj m. A, i krhotine t najmanje u M, onda Wah? Na< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.
Teorem 5 (o "najvećem" cijelom broju). Budi nešto ne prazan, okruži zvijer bezličnih brojeva, da osvetiš najveći broj.
Dovođenje. Neka je O 74 AC Z i A okruženo zvijeri s brojem b, dakle. ? ZVa i A(a< Ь). Тогда -а >b za sve brojeve a? ALI.
Kasnije, množitelj M (z g \u003d -a, a? A) nije prazan i okružen je brojem (-6) ispod. Prema prethodnom teoremu, množitelj M ima najmanji broj, tj. as? ICC? M (z< с).
Tse znači što Wah? Kao< -а), откуда Уа? А(-с >a)
Z. Različiti oblici metode matematičke indukcije cijelih brojeva. Teorem o podíl íz višak
Teorem 1 (prvi oblik metode matematičke indukcije). Neka P(s) - pojedinačni predikat, dodjele višekratnicima Z cijelih brojeva., 4 . Na isti način Za deyaky BROJ i Z prijedlog P (o) í Za dovoljan cijeli broj K > a z P (K) slid P (K -4- 1), tada je prijedlog P (g) točan Za sve brojeve z > a (pa je na množitelju Z ê prava formula za izračunavanje predikata:
P(a) cibulya > + 1)) Vus > aP(s)
za bilo koji fiksni cijeli broj a
Dovođenje. Neka su tvrdnje P (c) istinite za sve, da idu za umom teorema, tobto.
1) P(a) - istinito;
2) KK SC na + također vrijedi.
Nekako neprihvatljivo. Pretpostavimo da postoji takav broj
b> a, sho RF) - zdravo. Očito je da je a, oskílki R (a) istinito. Zadovoljavajuće bezlično M = (z?> a, P (z) - hibno).
Todi bezlich M0, oskílki L? M i M dolje su obrubljeni brojem a. Kasnije, nakon teorema o na i m e n n m e l e l o m h i sl (teorem 4, 2), množitelj M ima najmanji broj c. Zvídsi z\u003e a, sho, moj crni, povlačeći s - 1\u003e a.
Recimo da je R(s-1) istinit. Ako je c-1 = a, tada je P (c-1) istinit na temelju uma.
Neka je c-1 > a. Todi pripuschennya, scho R (s-1) - hibno, povlačeći iza sebe posjed s 1? M, što ne može biti nego, broj s je najmanji u M.
U ovom redoslijedu, s - 1> a i P (c - 1) - istinito.
Zamislite prijedlog P((c- 1) + 1) iz prijedloga P((c- 1) + 1) - to je istina. R(s) - istina. Tse superechit izbor broja c, oskílki? Teorem je dovršen.
S poštovanjem, ovaj je teorem bliska posljedica Korolara 1 Peanovih aksioma.
Teorem 2 (još jedan oblik metode matematičke indukcije cijelih brojeva). Neka P (s) - deaky jedan-m_sny predshsatp, vizna-dan) na više Z cijelih brojeva. Međutim, prijedlog P (c) vrijedi za decimalni cijeli broj K i za odgovarajući cijeli broj s. Ispraviti prijedlog P (c) Za sve cijele brojeve koji zadovoljavaju nepravilnosti K< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >Prije.
p align="justify"> Dokaz ovog teorema je bogat, pa ponavljam dokaz sličnog teorema za prirodne brojeve (Teorem 1, 55, Ch.III).
Teorem 3 (treći oblik metode matematičke indukcije). Neka P(s) - jedan jedini predikat, dodjele na množitelju Z cílís CHÍSí. Ako je P(c) istinito Za sve brojeve decimalnog množitelja M od nula prirodnih brojeva i Za dovoljan cijeli broj a C je istinito P(a) tada je P(a - 1) istinito, tada je prijedlog P(c) istina Za sve brojeve.
Dokaz je analogan dokazu dvostrukog teorema za prirodne brojeve.
Proponuemo yogo ko cicava pravo.
Vrijedno je napomenuti da je u praksi treći oblik matematičke indukcije sve izraženiji, sve niži. Objašnjeno je da je za njenu zastosuvannya potrebno znati beskonačni submultiplikator M množitelja prirodnih brojeva, to će biti jasno u teoremu. Poznavanje takvog množitelja može se činiti teškim zadacima.
No, prednost trećeg oblika pred ostalima je u tome što se dodatni prijedlog P (c) dovodi na sve cijele brojeve.
Ispod ciljamo kundak zastosuvanya trećeg oblika ". Ale, back to back, damo je još jedno razumijevanje puno poštovanja.
Ugovoreni sastanak. Apsolutna vrijednost cijelog broja a je broj dodijeljen prema pravilu
0, ako je O a, ako je > O
A yakscho a< 0.
Otzhe, kao 0, dakle? N.
Čitatelju se sugerira da on ima pravo takvu moć dovesti do apsolutne veličine:
Teorem (o preljevu). Za bilo koji broj brojeva a i b, de b 0, isnuê i prije toga, postoji samo jedan par brojeva q U m takav da je a r: bq + T L D.
Dovođenje.
1. Osnovica oklade (q, t).
Neka a, b? Z i 0. Pokazuje se da postoji par brojeva q i
Dokaz se provodi indukcijom u trećem obliku za veličinu a s fiksnim brojem b.
M = (mlm = n lbl, n? N).
Očito je da je M lt izraz f: N M, koji je određen pravilom f (n) = nlbl za bilo koji n? N je bijekcija. Tse znači da M N, to. M-nejasno.
Recimo da od određenog broja a? M (í L-fiksna) tvrdnja teorema o bazi para brojeva q í t je istinita.
Istina, neka bude a (- M. Todi a pf! za pravi p?
Ako je b > 0, tada je a \u003d n + O. Uzimajući sada u obzir q \u003d n i m O, uzimamo potreban par brojeva q i m.< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q
Zrobimo sada uvodni dodatak. Pretpostavimo da je iz dovoljnog cijelog broja s (i dovoljnog fiksnog b 0) tvrdnja teorema točna. je par brojeva (q, m) takav da
Može se pokazati da je ispravnije i za broj (z 1). Z je jednako s \u003d bq -4 - viplivaê bq + (t - 1). (jedan)
Moguće padove.
1) t\u003e 0. Todí 7 "- 1\u003e 0. U ovom trenutku, stavljajući - t - 1, uzimamo z - 1 - bq + Tl, de para (q, 7" 1,) očito zadovoljava um
0. Todi h - 1 bq1 + 711 de q1
Bez prakse moguće je da 0< < Д.
U ovom redoslijedu, čvrstoća je istinita i za okladu na brojeve
Prvi dio teoreme je završen.
P. Pojedinačna oklada q í itd.
Pretpostavimo da je za brojeve a i b 0 moguće uspostaviti dva para brojeva (q, m) i (q1, kako bismo zadovoljili umove (*)
Da vidimo da smradovi bježe. Ma daj
i a bq1 L O< Д.
Zvídsi vyplivaê, scho b(q1 -q) t-7 1
Pretpostavimo sada da je q ql, zatim q - q1 0, zvijezde lq - q1l 1. - q11 D. (3)
Vodnocha íz nerívnosti 0< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.
U r a f n i n nya:
1. Dovršite dokaze teorema 2 i 3 od 5 1.
2. Dovršite korolar 2 iz teorema 3, 1.
3. Za zbrajanje, koliki je zbroj NS Z, što se zbraja od zadanih brojeva u obliku< п + 1, 1 >(n? N), zatvoreni način presavijanja tog množenja.
4. Neka N znači iste one bezlične stvari na koje imate pravo 3. Donesite ono što vidite j: M ugađa umovima:
1) j - bíêktsíya;
2) j(n + m) = j(n) + j(m) i j(nm) = j(n) j(m) za bilo koje brojeve n, m , i (H, +,).
5. Dovršite dokaz teorema 1 od 2.
6. Da bismo dokazali da za bilo koji broj brojeva a, b vrijede sljedeće implikacije:
7. Reci prijatelju onu trećinu teorema iz Z.
8. Dokazati da broj Z cijelih brojeva ne osvećuje brojeve nula.
Književnost
1. Bourbaki N. Teorija višestrukih. M.: Svit, 1965.
2. Vinogradiv I. M. Osnove teorije brojeva. M.: Nauka, 1972. Z. Demidov I. T. Daj aritmetiku. M: Učpedgiz, 1963.
4. Kargapolov M. I., Merzlyakov Yu. I. Osnove teorije grupa.
M: Nauka, 1972.
5. Kostrikin A. I. Uvod u algebru. M: Nauka, 1994.
b. Kulikov L. Ya. Algebra i teorija brojeva. M: Vishcha. škola, 1979.
7. Kurosh A.G. Tečaj najnaprednije algebre. M: Nauka, 1971.
8. Lyubetsky V. A. Osnovni pojmovi školske matematike. M: Prosvitnitstvo, 1987.
9. Lyapin ES. to u. Upravo iz teorije grupa. M: Nauka, 1967.
10. Malcev A. I. Algebarski sustavi. M: Nauka, 1970.
11. MenDelson Ege. Uvod u matematičku logiku. M: Nauka, 1971.
12. Nechaev V. I. Numerički sustavi. M: Prosvitnitstvo, 1975.
13. Novikov P.S. Elementi matematičke logike. M. Nauka, 1973.
14. Petrova V. T. Predavanja iz algebre i geometrije.: U 2 god.
CHL. M: Vlados, 1999.
15. Sochasni zasjeda školski matematički tečaj Avt. kredit: Vilenkin N.Ya., Dunichev K.I., Kalltzhnin LA, Stolyar A.A. M: Prosvitnitstvo, 1980.
16. L. A. Kushnir, Elementi algebre. M: Nauka, 1980.
17. Stom R.R. Bezličnost, logika, aksiomatske teorije. M.; Osvita, 1968. (monografija).
18. Stolyar A. A. Logički uvod u matematiku. Minsk: VISCHII. škola, 1971.
19. V. P. Filippov, Algebra i teorija brojeva. Volgograd: VGPÍ, 1975.
20. Frenkel A., Bar-Hilel I. Dajte teoriju višestrukih. M: Svit, 1966.
21. Fuchs L. Chastkovo sustavi naručivanja. M.: Svit, 1965.
U početku viđeno
Volodimir Kostjantinovič Kartašov
UVODNI TEČAJ MATEMATIKE
Glavna pomoć
Urednička priprema O. I. Molokanova Izvorni izgled dizajnirao O. P. Boshchenko
„PR 020048 od 20.12.96
Međusobno potpisani 28.08.99. Format 60x84/16. Druk ured. bum. vrsta. M 2. Uel. slika l. 8.2. Uč.-pogled. l. 8.3. Naklada 500 primjeraka. Čarolija 2
Vidavnitstvo "Zmina"
Prirodni broj je cijeli broj, kao da pobjeđuje za rahunka predmeta. Vono viniklo z praktične potrebe naroda. Razvoj razumijevanja prirodnog broja može se podijeliti u niz faza: 1. stari ljudi, da bi prevladali beznačajnost, uspostavili su bitno: npr. uloške, prste na rukama. Nedolik - por_vnyuvani mnozhini vinni buli ali jedan sat dostupan za pregled. 2. Bezlich - posrednici, na primjer, kamenje, kornjače, štapići. Koncept kílkíst je složeniji. Í brojevi vezani za određene predmete. 3. Izgled broja (oznaka broja vidljivim znamenkama). Rođenje matematike. Aritmetika kao znanost nastala je u zemljama starog porijekla - Kini, Indiji, Egiptu, udaljeni razvoj u Grčkoj. Izraz "prirodni broj" prvi put je korišten u rimskim učenjima Boetiusa. Rakhunok je potrebno odrediti puno novca. Rozíb'êmo sve kílkísní množitelje na klasi ekvivalencije, na primjer, u jednoj klasi ekvivalencije. vidjeti bezlične vrhove trikutnika, stranice kvadrata, bezlična slova riječi svjetlost. Ako nastavite s ovim procesom, onda kroz one koji imaju ekvivalent - sve je jednako jako. Kíntseví umnožiti vyyavlyatsya za nastavu. Da. teoretski - množina kílkísnogo prirodnog broja - ê zagalna vlastívíst kíntsevíh ínevílíh ínnosílníh mnízhiny. Klasa kože ima svoj broj. Nula je postavljena na prazan množitelj.
Brojeve A i B nazivamo jednakima, jer su jednakog broja.
Takva metoda stagnira u razredima kob.
Tehnika rada na zadacima koji otkrivaju specifična značenja aritmetičkog diy.
Aritmetički zadaci u nastavi matematike zauzimaju značajno mjesto. Mayzhe pola sata prije sat vremena nastave matematike biti uveden u završetak zadatka. Sva velika duhovna i prosvjetljujuća rola, koju smrad igra pod satom dječjeg obrazovanja. Aritmetički zadaci Virishennya pomažu otkriti osnovno razumijevanje aritmetičkih radnji, konkretizirati ih i povezati s životnom situacijom pjevanja. Zavdannya preuzeti razumjeti matematiku, Vídnosin, zakoni. Kada je zadatak ispunjen, djeca razvijaju dosta poštovanja, opreza, logičnija misao, Mova, kmítlivist. Cilj je razviti takve procese kognitivne aktivnosti kao što su analiza, sinteza, usklađivanje i usavršavanje.
U procesu rješavanja aritmetičkih zadataka učenici uče planirati i kontrolirati svoje aktivnosti, otvaraju prihvaćanje, samokontrolu (ponovna provjera zadataka, zatim ocjenjivanje zadataka) kolebaju se u svojoj aroganciji, volji, razvijaju interes do točke. rješavanja zadataka. Velika je uloga virishennya zavdana u pripremanju djece za život, za budućnost radna aktivnost. Prilikom rješavanja sižejnih zadataka, učenici počinju prelaziti između predmeta i vrijednosti na „jezik matematike“. U računskim zadacima pobjeđuje brojčana građa, koja nadahnjuje uspjeh zemlje u raznim galerijama narodne države, kulture i znanosti. Tse spryaê proširiti horizonte učenika, obogaćen novim znanjem o aktualnoj radnji. Uminnyam vyrishuvati aritmetička zavdannya uchní opanovuyut s velikim poteškoćama.
Razlozi oprostnih zadataka djece vape za nama pred posebnostima njihova uma. U procesu navchannya rozv'azannyu zadataka treba jedinstveno rastegnuti na vrhu zadatka prvog uma, potrebno je pročitati pristup rozv'yazannya zadataka, orijentirati se na jednostavnu životnu situaciju, opise zadatak, U procesu rada na bilo kojem aritmetičkom problemu možete vidjeti sljedeće faze:
1. Radite na upravitelju zadataka.
2. Poshuk rješavanje problema.
3. Rješavanje problema.
4. Formuliranje mišljenja.
5. Revidiranje rješavanja problema.
6. Daleko od robota preko vrhunskih zadataka.
Mislim na poštovanje sljedećeg za pričvršćivanje robota nad zmistom tvornice, tobto. nad razumijevanjem situacije u zadacima, uspostavljanje ugara između danima i šukanima. Redoslijed rada na osvajanju zadatka;
a) analiza neznalica i viraziva;
b) čitanje teksta koji je zadao nastavnik i učenje;
c) zapisnik o obavljanju zadatka;
d) ponavljanje prehrambenog zadatka.
Vyraznym čitanje teksta voditelja sljedeće studije. Potrebno je zapamtiti da djeca posebno trebaju čitati promotivnu lektiru, ne mogu sama pravilno pročitati zadatak, ne mogu složiti logične glasove i sl.
Redoslijed konkretizacije zadatka za dopunske predmete, šablone i malu djecu u praksi robotike u školama širokog opsega oblikovan je u obliku zadavanja zadatka:
1. Oblik bilješke je skraćen, kada se u tekstu zadatka pišu brojčani podaci i to samo nekoliko riječi i riječi, koliko je potrebno za razumijevanje logičkog smisla zadatka.
2. Kratkostrukturni oblik pisma, ako se kožni logički dio zadatka piše iz novog reda.
3. Shematski oblik zapisa.
4. Grafički oblik pisanja.
Budući da je funkcija kontrole kod djece oslabljena, tada ponovno ispitivanje rozvyazannya zavdannya može biti osvijetljeno, i th wihovne značenje. U mlađim razredima potrebno je:
1. Verbalno formulirajte zadatke, lutajući po predmetima.
2. Ponovno razmotrite realnost situacije.
3. Ponovno razmotrite primjerenost uma i hrane biljke. Ponovno provjeravanje rješenja zadataka na druge načine ji vyshennya moguće je od 4. razreda.
Za kontrolu ispravnosti izrade zadatka potrebno je odabrati i djelovati na elemente programiranog treninga. Ovaj element je još otrcaniji tim, da ću još jednom uzeti u obzir ispravnost či i oprost vlastitih postupaka. Za oprost odluke vina, postoje novi načini trešnje.
Učitelju u školi najvjerojatnije će se pjevati da je rozvyazannya avdannya prosvijetljena učenjima. Bolje je da on obavi posao popravljanja završetka ovog zadatka. Rad na fiksnim zadacima može se provoditi na različite načine.
1. Postavite sveučilišnu hranu da spasite dan.
2. Proponuetsya rozpovísti all rozvyazannya zadoví z obg̀runtuvannyam vyboru díy.
3. Stavite hranu do okremih diy chi hrane. Za učenike je važan broj varijanti analognih zadataka, a važno je razumijevanje predmetne situacije između njih. Tsíy metí í služiti izdaleka kao robot nad zadacima zadatka, kao što vidite koliko je važno formirati početak zadatka ove vrste. Za bolje razumijevanje predmeta, zadatka, podloga između podataka i šukanja, savršenstvo zadatka iz kredita dnevnih brojčanih podataka, ispisanih ne brojevima, već riječima. Pazite da pokažete da su najbolji učitelji naširoko pobjednici kao jedna od metoda podučavanja zadataka organiziranja zadataka od strane samih učitelja.
Redoslijed zadataka pomaže djeci da bolje razumiju životno-praktični značaj zadatka, da bolje razumiju njegovu strukturu, te da nauče razlikovati zadatak od različitih vrsta, razumjeti odluku. Redoslijed zadataka provodi se paralelno s rješavanjem pripremljenih zadataka. Dosvid da će oprez pokazati da je lakše za uchnív chastkovo presavijeni zadatak. Slid za poticanje formiranja učenja voditelja različitih parcela. Tse spryaê razvitku í̈hnyoí̈ vyavlyaet pomilovanje, ínítsiativi. Još je neugodnije ako za pohranu ravnatelja škole dobiju materijal koji "nabave" za sat vremena ekskurzije, iz dovídnikív, novina, časopisa itd. Učenici viših razreda trebaju naučiti pisati i pisati poslovne dokumente vezane uz ove i druge rosrahunke. Na primjer, napišite pismo odobrenja, ispunite obrazac za novčanu narudžbu. Sva viša imenovanja mogu se naširoko koristiti pri slavljenju svih vrsta zadataka.
Jednostavan računski zadatak naziva se zadatak, kao da treba riješiti jedan računski zadatak. Oprostite zavdannya da igra super-primarnu ulogu sata nastave matematike. Najjednostavniji zadaci omogućuju vam da proširite osnovna znanja i konkretizirate aritmetičke funkcije, formulirate te i druge matematičke pojmove. Oprosti redoslijed naloga za sklapanje skladišta, kasnije, oblikovanjem vminnya virishuvati í̈x, učitelj priprema učenike za otvaranje naloga za sklapanje.
Na temelju dermalnog priminga naučiti upoznati nove vrste najjednostavnijih zadataka. Njihovo postupno uvođenje objašnjava se različitim stupnjem problema matematičkog razumijevanja, procesom kultiviranja tihih aritmetičkih procesa, otkriva se konkretno rješenje takvog smrada. Ne manje poštovanja prema učitelju pri izboru čelnika čija je zasluga i konkretizacija te časti. Nareshti, čitač konkretizirati zmíst zavdannya, rozkrivayuchi zalezhnistí mízh dannymi da shukanimi za dodatne oblike kratke snimke.
Završetak rada najboljih čitača pokazuje da pripremu za rješavanje aritmetičkih zadataka treba započeti od poboljšanja razvoja praktičnog učenja, usmjeravajući ih na potrebnu učinkovitost. Naučeno je potrebno voditi u toj životnoj situaciji, u kojoj je moguće napredovati, ponavljati aritmetičke zadatke, raditi na promjeni. Štoviše, ove situacije nisu sljedeća stvar koja će se stvarati dio po dio, manje je vjerojatno da će se okrenuti i oduzeti poštovanje učenika. Nastavnik organizira čuvanje promjenjivog broja elemenata u predmetnim mnoštvima umjesto posuda. bud., sho priyaê razvitku yavlen uchnív pro kílkíst to znajomstvo njihovo íz sing termínologiêyu, yak zstrínetsya s verbalnom formulacijom zadatka: postalo je, sve je izgubljeno, uzeli su to, povećalo se, promijenilo se itd. Potrebno je organizirati takvu razigranu i praktičnu aktivnost učenika, kako bi, budući neprekidni sudionici ove aktivnosti, a također i posterigayuchi, učenici sami mogli raditi visnovku na kremastoj kapi kože; povećao se broj elemenata množitelja ili se promijenio broj elemenata množitelja, te neka operacija koja verbalnim virazom pokazuje povećanje ili promjenu. Ova faza pripremnog rada započinje radom na brojevima prve desetice i poznavanjem aritmetičkih radnji, rješenjima i preklopnim primjenama operacija iz predmetnih množina.
Prije svega, na početku učenja aritmetičkih zadataka, učitelj je kriv za jasno otkrivanje sebe, kao i znanje, potrebno je dati te vještine učenicima. Za rješavanje zadatka, naučiti dužnosti aritmetičke aritmetike, poslušati, a zatim pročitati zadatak, ponoviti zadatak iz hrane, za kratku bilješku, napamet, vidjeti komponente skladišta u zadatku, provjeriti zadatak i poništiti točnost. sloma. Na 1. satu učenici počinju provjeravati zadatak ukora vrećice i viška. Qi zadatka upisuju se prije početka sata početka brojeva prve desetice. Na početku rozvyazannya zadatak je bio promijeniti zbroj istih dodankiva, na podilu na jednakom dijelu chi podila nakon zmista, nakon čega je slijedio spiratis na razumijevanju dnevnih aritmetičkih procesa množitelja i podila . Prije otvaranja poretka razlika između učenja, potrebno je dati razumijevanje poretka objekata u jednoj ukupnosti, dvije objektivne ukupnosti, veličina, brojeva, uspostavljajući njihovu s-sličnost u istoj liniji ekvivalencije. i nervoza. Ajmo spojiti, ili spoji, aritmetički zadaci se zovu zadaci, kao dvoje ljudi ne mogu više aritmetički procesi. Psihološka istraživanja razvoja značajki zadataka aritmetičkog skladišta pokazuju da djeca ne prepoznaju jednostavne zadatke u kontekstu novog zadatka skladišta. Priprema rada do završetka skladišnih poslova provodi se sustavom prava, priznanja i naredbi obrazovnih ustanova do završetka skladišnih poslova. Prije završetka upravitelja skladišta, možete prijeći na isto mjesto, ako se predomislite, da su znanstvenici svladali raspored jednostavnih zadataka uz pomoć trikova, ako odete do upravitelja skladišta, sami možete staviti zajedno jednostavan zadatak raspjevanog uma. Kada rozv'yazanní skladištenje zavdan uchní povinní ili da danih staviti hranu ili hranu za dobivanje podataka. Također u pripremnom razdoblju, tobto. rastezanjem zadnje prve sudbine, one na klipu druge sudbine, učenje, slijedeći učenja zadatka:
1. Operite hranu prije nego što bude spremna.
2. Od hrane zbrojite zadatak, skupljajući dnevne brojčane podatke.
Sklapanje jednostavnih i skladišnih zadataka, učenje korak po korak učenja iz skladišnih zadataka je jednostavno, čak i ako ste ih još točnije riješili, imate pravo presavijati sklopive zadatke. Tse prihvaća najkraće svladavanje pogleda jednostavnih zadataka, poboljšava ih kako bi ih razlikovao od skladišnih zadataka i pomaže učenicima analizirati zadatke. Kada vyríshenní skladište zavdan uchnív sled nauchit zagalnyh priyom_v rad z zavdannyam; vminnyu analizirati zmist zadatke, vidjeti u danim podacima, shukane (utvrditi što je potrebno prepoznati u zadatku), ovisno o tome koji se podaci ne koriste za pregled na čelu prehrane u zadatku. U praksi je rad škole vjeran samom sebi korištenjem rada s karticama, zadacima u kojima je propisan redoslijed rada na zadacima. Kada je narudžba završena, odluka se zapisuje s prehranom ili se snima i objašnjava djelovanje kože. Varijantnost navedenog načina slaganja zadataka zadane vrste osigurava se varijantnim slaganjem zadataka s različitim tipovima, fabulama, rješenjima koje pripremaju i slažu sami učenici, zadacima zadane vrste s tipovima zadataka koji su prethodno riješeni, i tako dalje.
1. Objasnite metodu brojanja za vipadkív 40 + 20, 50-30, 34 + 20, 34 + 2, 48-30, 48-3 mora se brojati sa sto koncentracijom.
1) 40+20= 4d+2d=6d=60
2) 50-30 = 5d-3d = 2d = 20
3) 34+20= 3d+4od+2d=5d 4ed=54
4) 34+2 \u003d 3d + 4od + 2od \u003d 3d 6od \u003d 36
5) 48-30 \u003d 4d + 8od-3d \u003d 1d 8ed \u003d 18
6) 48-3= 4d+8od-3d=4d 5d=45
Usí priyomi i brojanje usní i vykonuyutsya na temelju za redove preklapanja i vídnímannya.
Kako se pokazalo, bezbrojni prirodni brojevi mogu se poredati za dodatni "manje" izraz. Ali treba istaknuti pravila aksiomatske teorije, tako da cilj nije samo određen, nego i poboljšan na temelju već zadanih u ovoj teoriji razumijevanja. Uplatom "manje" kroz dodatak možete učiniti više.
Ugovoreni sastanak. Broj a manji je od broja b (a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.
Za tsikh umove reći isto, scho broj b više a ona piše b > a.
Teorem 12. Za bilo koje prirodne brojeve aі b može biti jedna i samo jedna od tri održive mogućnosti: a = b, a > b, a < b.
Dokaz ovog teorema je izostavljen. Z íêí̈ teorema je očito, što je to
a ¹ b, te chi a< b, ili a > b tobto. vídnoshennia "manje" može biti moć pov'yazaností.
Teorem 13. Yakscho a< b і b< с. zatim a< с.
Dovođenje. Ovaj teorem izražava moć tranzitivnosti sugerirajući "manje".
pa jak a< b і b< с. onda, u svrhu imenovanja "manje", postoje takvi prirodni brojevi prije i što b \u003d a + i c \u003d b + I. Ale todi h = (a + k)+ / í na temelju asocijativnosti presavijanja uzima se: h \u003d a + (do +/). Oskilki do + ja - je onda prirodan broj a< с.
Teorem 14. Yakscho a< b, nije to istina b< а. Dovođenje. Tsya teorem izražava snagu antisimetrija vodnosini "manje".
Krenimo od početka, što za bilo koji prirodni broj a nemoj-!>! ■ ) njezina ostavka a< a. Nemojmo to prihvatiti, tobto. što a< а maê mistse. Todi, za potrebe plavog "manje", postoji takav prirodni broj S,što a+ h= a, a ne zamijeniti teorem 6.
Sada recimo to yakscho a< b, onda to nije istina b < a. Nemojmo to prihvatiti, tobto. što yakscho a< b , onda b< а pobijediti. Popis jednakosti u teoremu 12 a< а, što je nemoguće.
Dakle, kao što kažemo, "manje" je antisimetrično i tranzitivno i može imati moć u odnosu na linearni poredak, ali bezličnost prirodnih brojeva linearno poredano bez lica.
Od oznake "manje" može se uvesti joga moći u kuću moći množitelja prirodnih brojeva.
Teorem 15. Od svih prirodnih brojeva, jedan je najmanji broj, tobto. ja< а для любого натурального числа a¹1.
Dovođenje. dođi a - biti prirodan broj. Zatim postoje dvije mogućnosti: a = 1 ta a ¹ 1. Yakscho a = 1, onda je to prirodan broj b, za koje slijedi jedan a: a \u003d b " \u003d b + ja = 1+ b, tobto, u svrhu vodnosini "manje", 1< a. Otzhe, bilo prirodno više 1 chi više od 1. Abo, usamljenost je najmanji prirodni broj.
Uvođenje “manje” povezano je sa savijanjem i množenjem brojeva snagom monotonije.
Teorem 16.
a \u003d b => a + c \u003d b + c da je a c \u003d b c;
a< b =>a + c< b + с и ас < bс;
a > b => a + c > b + c i ac > bc.
Dovođenje. 1) Pravednost ove čvrstoće očituje se iz jedinstva savijanja i umnažanja.
2) Yakscho a< b,
onda je to prirodan broj k,što a
+ k = b.
Todi b+ c = (a + k) + c = a + (k + c) = a + (c+ do)= (a + c) + k. Vlasnički kapital b+ c = (a + c) + to znači da a + c< b
+ S.
Dakle, to se podrazumijeva a< b =>as< bс.
3) Biti donesen na isti način.
Teorem 17(Obrnuti teorem 16).
1) a+ c = b + c ili ac ~ bc-Þ a = b
2) a + c< Ь + с ili as< prije KristaÞ a< Ь:
3) a + c > b+ w o ac > bcÞ a > b.
Dovođenje. Donosimo npr. što as< bс Sljedeći a< b Nemojmo to prihvatiti, tobto. da teorem nije pobjednički. Todi can't buti, scho a = b. na to da bi i tada ljubomora bila pobjednička ac = bc(teorem 16); ne mogu biti ja a> b, bilo kako bilo ac > bc(Teorem!6). Stoga, što se tiče teorema 12, a< b.
Iz teorema 16 i 17 može se uvesti pravilo član-po-član zbrajanja i množenja nepravilnosti. Izostavljamo ga.
Teorem 18. Za bilo koje prirodne brojeve aі b; je također prirodan broj n, koji p a.
Dovođenje. Za koga a naći takav broj P, što n > a. Za koga je dovoljno uzeti n = a + 1. Množenje pojma po pojmu nejednakosti P> aі b> 1, prihvatljivo pb > a.
Gledajući autoritete, može se vidjeti plavo "manje" koje označava važne singularnosti množitelja prirodnih brojeva, koje induciramo bez dokaza.
1. Ní za jedan prirodni broj a nema takvog prirodnog broja P,što a< п < а +
1. Tsya moć se zove u moći
diskretnost bezlični prirodni brojevi, i brojevi aі a + 1 ime sudski.
2.
Be-yak nije prazan množitelj prirodnih brojeva da se osveti
najmanji broj.
3. Yakscho M- Prazan broj bezličnih prirodnih brojeva
i isti je broj b,što za sve brojeve x s M neće pobijediti
staloženost x< b, zatim u bezličnom Mê većina.
Ilustriranje snage 2 i 3 na stražnjici. dođi M- anonimni dvoznamenkasti brojevi. pa jak Mê množitelj prirodnih brojeva í za sve brojeve< 100, то в множестве M najveći broj je 99. M, - Broj 10.
Na ovaj način, uvođenje "manje" dopušteno je pogledati (i dovesti u red vipadkiv) značaj broja snaga množitelja prirodnih brojeva. Zokrema, linearno je raspoređena, diskretna, najmanje 1.
S postavkom “manje” (“više”) za prirodne brojeve, mlađi školarci su upoznati sa samim početkom učenja. I često, u redoslijedu yogo multiplikatorsko-teorijskih tumačenja, definicija koju smo dali u okviru aksiomatske teorije implicitno je potvrđena. Na primjer, učenici mogu objasniti da je 9 > 7, krhotine 9 - ne 7 + 2. Često i implicitno pobjednička moć monotonije preklapanje i umnažanje. Na primjer, djeca objašnjavaju da je “6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».
pravo
1, Zašto se bezlični prirodni brojevi ne mogu poredati uz pomoć plave "iza crte"?
Formulirajte viziju a > b i dokazati da je i tranzitivan i antisimetričan.
3. Reci mi što je to a, b, c- prirodni brojevi, tada:
a) a< b Þ ас < bс;
b) a+ h< b + su> a< Ь.
4. Neki teoremi o monotonosti zbrajanja i množenja mogu
vykoristovuvaty mladi školarci, vykonuyuchi zavdannya "Porívnya, ne vykonuyuchi izračunati":
a) 27+8...27+18;
b) 27-8...27-18.
5. Poput snage množitelja prirodnih brojeva, mladi školarci implicitno pobjeđuju, pobjeđuju na istom zadatku:
A) Zapišite brojeve, npr. veći, manji 65, manji, manji 75.
B) Imenujte sljedeći broj prema datumu prije broja 300 (800,609,999).
C) Navedi najmanji i najveći troznamenkasti broj.
Vidnimannya
Na aksiomatska motivacija Poznato je da teorija prirodnih brojeva zvuči kao operacija koja se vraća na zalihu.
Ugovoreni sastanak. Obzirom na prirodne brojeve a i b zove se operacija, koja pameti godi: a - b = s samo i samo nekoliko, ako je b + c = a.
Broj a - b zove razlika brojeva a i b, broj a- promijeniti, i broj b- vidio.
Teorem 19. Varijacije prirodnih brojeva a- bísnuê todí í manje od todí, ako b< а.
Dovođenje. Neka maloprodaja a- bísnuê. Todi, za naznačenu maloprodaju postoji takav prirodni broj S,što b + c = a, a to znači b< а.
Yakshcho b< а, tada je u svrhu imenovanja "manje" također prirodni broj koji b + c = a. Todi, za dogovorenu maloprodaju, c \u003d a - b, tobto. maloprodaja a - bísnuê.
Teorem 20. Koja je razlika između prirodnih brojeva aі b Siguran sam, postoji samo jedan.
Dovođenje. Prihvatljivo je da postoje dva različite vrijednosti razlika brojeva aі b;: a - b= c₁і a - b= c₂, štoviše c₁ ¹ c₂ . Todi za određene trgovce, možda: a = b + c₁,і a = b + c₂ : . Pogledajte što slijedi b+ s ₁ \u003d b + c ₂ : a na temelju teoreme 17 moguće je uklopiti c₁ = c₂. Došli su do točke propusta, dakle, nije u redu, ali teorem je točan.
Vyhodyachi z vznachennya raznitsí prirodnih brojeva koji smetaju njezinu ísnuvannya, možete slijediti pravilo vídomí vídnímannya brojeva iz sumi i sumi iz brojeva.
Teorem 21. dođi a. bі h- prirodni brojevi.
ali yakscho a > c, zatim (a + b) - c \u003d (a - c) + b.
b) Yakscho b > c. zatim (a + b) - h - a + (b - c).
c) Yakscho a > c i b > c. onda možete koristiti li-yaku iz ovih formula.
Dovođenje. U puta a) razlika u brojevima aі císnuê, oskelki a > c. Značajno ju je kroz x: a - c \u003d x. zvijezde a = c + x. Yakscho (a+ b) - c \u003d y. zatim, za dogovorenu cijenu, a+ b = h+ na. Predstavljamo u qiu mirnoću zamíst a viraz h + x:(h + x) + b = c + y. Ubrzavamo moć asocijativnosti kako bismo dodali: c + (x + b) = c+ na. Promijenimo ovu mirnoću na temelju snage monotonije, dodajući, uzimamo:
x + b = g.. Zamijenjeno u danskoj ekvivalentnosti x s viraz a - c, ajmo majko (a - G) + b = y. U ovom rangu smo dovedeni, scho yakscho a > c, tada je (a + b) - c = (a - c) + b
Slično, dokaz se provodi u slučaju b).
Rezultat teorema može se formulirati kao pravilo koje se lako pamti: da bi se broj uzeo iz zbroja, dovoljno je uzeti broj iz jednog skladišnog zbroja i rezultatu dodati više suplemenata.
Teorem 22. dođi a, b i c - prirodni brojevi. Yakscho a > b+ c, dakle a- (b + c) = (a - b) - c ili a - (b + c) \u003d (a - c) - b.
Dokaz ove teorije sličan je dokazu teorema 21.
Teorem 22 može se formulirati kao vizualno pravilo, da bi se razmotrio zbroj brojeva iz broja, dovoljno je uzeti u obzir zbroj brojeva u nizu, jedan po jedan.
Na klip matematičari vyznachennya vídnímannya yak díí, zvorotnogo dodavannya, na pogled, zvuk, ne daju, ali su stalno koristuyutsya, pochinayuchi z vykonannya díy preko jednoznamenkastih brojeva. Naučite dobro razumjeti ono što imate za reći o naborima i osvojite međusobne odnose pri računanju. Vidite, na primjer, od broja 40 broj 16, naučite označavati ovako: „Pogledajte broj 16 od 40 - što znači znati takav broj, kada ga savijate s brojem 16, unesite 40; ovaj broj će biti 24, dakle 24 + 16 = 40. Srednja vrijednost. 40 - 16 = 24".
Pravila za tumačenje brojeva iz zbroja i zbroja iz brojeva u tečaju matematike ê teorijska osnova Izračunajte ostale prihode. Na primjer, vrijednost virase (40 + 16) - 10 može se znati, ne samo brojanjem zbroja u krakovima, nego zatim brojenjem broja 10 iz njega, ali u takvom rangu;
a) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:
b) (40 + 16) - 10 = 40 + (16-10) = 40 + 6 = 46.
pravo
1. Chi je točan, koji je prirodni broj kože za izlazak iz neprekinute usamljenosti?
2. Zašto je logička struktura teorema 19 posebna? Možete li pobjedonosno formulirati riječi "potrebno da je dovoljno"?
3. Donesite što:
ali yakscho b > c, zatim (a + b) - c \u003d a + (b - c);
b) yakscho a > b + c, onda a - (b+ c) = (a – b) – str.
4. Chi može, bez računanja, recimo, značenje takvih virazív dorivnyuvatimut:
a) (50 + 16) - 14; d) 50+ (16 -14 ),
b) (50 - 14) + 16; e) 50 - (16 - 14);
c) (50 - 14) - 16, f) (50 + 14) - 16.
a) 50 - (16 + 14); d) (50 - 14) + 16;
b) (50 - 16) + 14; e) (50 - 14) - 16;
c) (50 - 16) - 14; e) 50 - 16-14.
5. Yakí snaga vídnímannya ê teorijska osnova napredovanja priyomív računa, scho vychayutsya na tečaju matematike:
12 - 2-3 12 -5 = 7
b) 16-7 \u003d 16-6 - P;
c) 48 - 30 \u003d (40 + 8) - 30 \u003d 40 + 8 \u003d 18;
d) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.
6. Opišite moguće metode izračuna vrijednosti na vidiku. a - b- h i ilustrirati ih na određenim kundacima.
7. Reci mi što b< а i biti svaka prirodna c virna staloženost (a - b) c \u003d ac - bc.
Vkazivka. Dokaz se temelji na aksiomu 4.
8. Izračunajte vrijednost virazu, bez brojanja slova. Vidpovidi omot.
a) 7865 × 6 - 7865 × 5; b) 957 × 11 - 957; c) 12×36 - 7×36.
Podil
Pod aksiomatskom teorijom prirodnih brojeva, rozpodil zvuči kao operacija, okrenuta množenju.
Ugovoreni sastanak. Podjela prirodnih brojeva a i b je operacija koja zadovoljava um: a: b \u003d s todi i samo todi, prije ako b× h = a.
Broj a:b nazvao privatni brojevima aі b, broj a dilimim, broj b- dilnik.
Kako se čini, nije potrebno razlikovati prirodne brojeve od neosobnih prirodnih brojeva, a nema tako očitih znakova privatne osnove, kao što je to potrebno za maloprodaju. Ê tilki potreban um osnovu privatnog.
Teorem 23. Da bismo privatno stvorili dva prirodna broja aі b potrebno b< а.
Dovođenje. Čuvajte privatne prirodne brojeve aі b Znam to. je takav prirodan broj c da bc = a. Oskílki za bilo koji prirodni broj 1 vrijedi nerívníst 1 £ S, zatim, množenje uvredljivog dijela prirodnim brojem b, poduzete b£ prije Krista. pivo prije Krista \u003d a, otzhe, b£ a.
Teorem 24. Koliko su privatni prirodni brojevi aі bísnuê, postoji samo jedan.
Dokaz teorema sličan je dokazu teorema o jedinstvu razlike prirodnih brojeva.
Vykhodyachi z vyznachennya dijelova prirodnih brojeva koji smetaju yogo ísnuvannya, možete zaokružiti pravilo prema sumi (maloprodaja, stvaranje) na broju.
Teorem 25. Koje su brojke aі b podijeliti brojem S, onda taj iznos a + b dijeliti sa, i više privatno a+ b po broju S, jedan zbroj privatnih a na hі b na h, onda. (a + b):c = a: c + b:S.
Dovođenje. Oskílki broj a podijeliti na S, onda je ovo prirodan broj x = a; h, što a = cx. Slično postojećem prirodnom broju y = b:S,što
b= su. Ale todi a + b = cx+ su \u003d - s (x + y). Tse znači što a + b podijeljeno sa c, osim toga, to je privatnije, što se oduzima kod širenja sumi a+ b na broj c, koji je skuplji x + y, tobto. sjekira + b: c.
Rezultat teorema može se formulirati pomoću pravila dijeljenja zbroja s brojem: da bi se zbroj podijelio s brojem, dovoljno je zbroj podijeliti s brojem kožnih dodataka i oduzeti rezultate.
Teorem 26. Kao prirodni brojevi aі b podijeliti brojem hі a > b zatim maloprodaja a - b biti podijeljeno s c, štoviše, privatno je, dobiveno kada se razlika podijeli s brojem c, privatnije, dobiveno kada se razlika podijeli a na hі b do c, tobto. (a - b): c \u003d a: c - b: c.
Dokaz ovog teorema provodi se slično kao i dokaz prethodnog teorema.
Ovaj se teorem može formulirati kao pravilo za dijeljenje razlike na broj: za Osim toga, da bi se razlika podijelila s brojem, dovoljno je podijeliti s cijelim brojem, što se mijenja i vidi se iz prvog privatnog viđenja prijatelja.
Teorem 27.Što je prirodni broj a biti djeljiv s prirodnim brojem c, tada za svaki prirodni broj b tvir ab podijeliti na str. U slučaju bilo kakve privatnosti, što se oduzima kada širite kreativnost ab na broj z , jedna dobutka privatnog a na S, ja broj b: (a × b): c - (a: c) × b.
Dovođenje. pa jak a podijeliti na S, tada postoji prirodan broj x koji kao= x, zvijezde a = cx. Umnoživši uvredljive dijelove ljubomore po b, poduzete ab = (cx) b. Oskílki plural asocijativno, dakle (cx) b = c(x b). Zvídsi (a b): c \u003d x b \u003d (a: c) b. Teorem se može formulirati kao pravilo za daljnje dijeljenje broja na broj: podijelite broj s brojem, podijelite broj s jednim od množitelja i oduzmite rezultat, pomnožite s drugim množiteljem.
Za razumnog matematičara, podil je dodijeljen kao operacija preokreta, za divlji izgled, ne daje zvuk, ali oni se stalno koriste, počevši od prvih lekcija znanja o podilu. Naučite kriviti dobar razlog, da je dao razloge za množenje i pobjedničke međuodnose tijekom izračuna. Na primjer, on je podijelio 48 sa 16, učenici kažu ovo: „Podijeliti 48 sa 16 znači znati takav broj, kad ga pomnožimo sa 16, dobit ćemo 48; ovaj broj će biti 3, krhotine 16 × 3 = 48. Također, 48: 16 = 3.
pravo
1. Donesite što:
a) samo razlomak prirodnih brojeva a b ako jest, onda postoji samo jedan;
b) poput brojeva a b pretplatiti se na hі a > b zatim (a - b): c \u003d a: c - b: c.
2. Što može potvrditi da su svi podaci točni:
a) 48:(2×4) = 48:2:4; b) 56:(2×7) = 56:7:2;
c) 850:170 = 850:10:17.
Koje je pravilo za pogoršanje ovih vipadkív? Formulirajte jogu i donesite je.
3. Yakí moć podílu ê teorijska osnova za
vikonanna nadolazećih dana, propovijedao školarcima klasa klipa:
Kako možete, bez ovisnosti o dnu, reći da će značenja takvih riječi biti ista:
a) (40 + 8): 2; c) 48:3; e) (20 + 28): 2;
b) (30 + 16): 3; d) (21 +27): 3; f) 48:2;
Chi vírní ívností:
a) 48:6:2 = 48: (6:2); b) 96:4:2 = 96: (4-2);
c) (40 - 28): 4 = 10-7?
4. Opišite moguće načine izračuna vrijednosti virusa
um:
a) (a+ prije Krista; b) a:b: S; u) ( a × b): s .
Predložene metode i ilustracije na određenim opušcima.
5. Na racionalan način saznati značenje izraza; vlastiti
díí omot:
a) (7 × 63): 7; c) (15 × 18):(5× 6);
b) (3 × 4× 5): 15; d) (12 × 21): 14.
6. Zaokružite sljedeće korake i dno na dupli broj:
a) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 = 50 + 3 = 53;
b) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 = 49;
c) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:
d) (560 × 32): 16 = 560 (32:16) = 560x2 = 1120.
7. Ne mlati se ispod kauča, pronađi najracionalnije
na privatan način; odaberite način pranja:
a) 495:15; c) 455:7; e) 275:55;
6) 425:85; d) 225:9; e) 455:65.
Predavanje 34
1. Anonimni broj nepoznatih brojeva. Snaga množine tsilih nevid'emnyh brojeva.
2. Razumijevanje prirodnog niza brojeva i elemenata konačnog množitelja. Redni i kílkísní prirodni brojevi.
Sve do suvereniteta specijalnosti
1. Linearni (vektorski) prostor nad poljem. primijeniti. Pod svemirom, najjednostavnija moć. Linearni i nezavisni vektori.
2. Osnova i mir vektorski prostor. Matrica koordinata sustava vektora. Prijelaz s jedne osnove na drugu. Izomorfizam vektorskog prostora.
3. Algebarsko zatvaranje polja kompleksnih brojeva.
4. Prsten cijelih brojeva. Redoslijed cijelih brojeva. Teoremi o "najvećem" i "najmanjem" broju.
5. Grupirajte, primijenite grupu. Najjednostavnije grupe snaga. Podskupine. Homomorfizam i izomorfizam grupa.
6. Glavna snaga lažnih brojeva. Oprostite na brojevima. Beskonačnost bezličnih prostih brojeva. Kanonski raspored dioničkog broja je ta jedinstvenost.
7. Kronecker-Capellijev teorem (kriterij cjelovitosti sustava linearne rijeke).
8. Glavne karakteristike prometnica. Povna koja je inducirana sustavom v_drahuvan modulo. Kíltse kíltse v_drahuvan za modul. Eulerov teorem i Fermat.
9. Dodatak teorije porívnyan na vysnovku znak je lažnosti. Zvernennya zvichaynogo razlomak do desetine i imenovanje posljednjeg yogo razdoblja.
10. Uspješnost eksplicitnog korijena polinoma s efektivnim koeficijentima. Dogodilo se na polju realnih brojeva s bogatim terminima.
11. Linearno poravnanje s jednom promjenom (kriterij rozvyaznosti, načini rozvyazannya).
12. Ravni sustavi niveleta. Metoda naknadnog isključenja je nepoznata.
13. Kiltse. Nanesite kobilicu. Najjednostavnija snaga kílets. Pidkiltse. Homomorfizmi i izomorfizmi prstena. Polje. Primjer navodnjavanja. Najjednostavnija snaga. Minimalnost polja racionalnih brojeva.
14. Prirodni brojevi (temelji aksiomatske teorije prirodnih brojeva). Teoremi o "najvećem" i "najmanjem" prirodnom broju.
15. Bogati segmenti preko terena. Teorem o podíl íz višak. Najveći suradnički dilnik dvaju bogatih članova, moć tog načina spoznaje.
16. Binarni blues. Prijedlog ekvivalencije. Klase ekvivalencije, faktor multiplikator.
17. Matematička indukcija za prirodne i cijele brojeve.
18. Dominacija međusobno prostih brojeva. Najmanje značajan višekratnik brojeva, moć tog načina saznanja.
19. Polje kompleksnih brojeva, numerička polja. Geometrijski izgled trigonometrijski oblik složeni broj.
20. Teorem o podíl íz višku za cijele brojeve. Najveća zbirka brojeva brojeva, moć tog načina spoznaje.
21. Linearni operatori vektorskog prostora. Kernel i slika linearnog operatora. Algebra linearnih operatora u vektorskom prostoru. Vrijednosti snage i vektori snage linearnog operatora.
22. Atenska transformacija stana, njihova vlast je način zavdannya. Skupina atenskih transformacija ravnine i njezine podskupine.
23. Bagatokutniki. Trg Bagatokutnik. Teorem razuma i jedinstva.
24. Ekvivalentnost i ravnomjernost bagatokutnikiv.
25. Geometrija Lobačevskog. Nesupernost sustava aksioma geometrije Lobačevskog.
26. Pojam paralelizma u geometriji Lobačevskog. Međusobno širenje ravnog područja Lobačevskog.
27. Formule ruhív. Klasifikacija ruševina područja. Dodatki za rozvyazannya zadatke.
28. Međusobno širenje dvaju ravni, ravnih ravni, dvaju ravnih ravni u blizini prostranstva (u analitičkom prikazu).
29. Projektivna transformacija. Teorem razuma i jedinstva. Formule projektivnih transformacija.
30. Skalar, ne vektor stvoriti zmíshane vektori, njihovi dodaci razvoju zadataka.
31. Weylov sustav aksioma trivimetrijskog euklidskog prostora i njezina zmistovna nesupernost.
32. Ruhi područja i yoga moći. Grupa ruševina stan. Teorem utemeljenja i jedinstva kretanja.
33. Projektivna ravnina tog njenog modela. Projektivna transformacija, moć. Grupa promjena dizajna.
34. Reformacija sličnosti stanu, njihova vlast. Skupina transformacija sličnih ravnini i njezine podskupine.
35. Glatke površine. Prvi kvadratni oblik površine je zastosuvannya.
36. Paralelno projiciranje te joge moći. Slike ravnih i prostranih figura u paralelnoj projekciji.
37. Glatke linije. Zakrivljenost krivulje prostora je ista.
38. Elips, hiperbola i parabola kao konačna parabola. Kanonska jednakost.
39. Usmjerivačka snaga elipse, hiperbole i parabole. Polarno poravnanje.
40. Pod utjecajem nekih točaka ravne crte snaga tog izračuna. Skladno podijeljene parne točkice. Povniy chotirikutnik i joga moći. Dodatak rozvyazannya zadacima na pobudova.
41. Pascalov i Brianchonov teorem. Poljaci i polari.
Dobra hrana matematička analiza
Entuzijazam...