Algebarski i transcendentni brojevi. transcendental numbers transcendentalni brojevi

tj. za a = 1 poslužio nam je u svrhu zbroja geometrijske progresije. Pod pretpostavkom da je Gaussov teorem dokazan, pretpostavlja se da je a = a 1 jednak korijen (17),

Uzimajući u obzir virase s f(x) i članove pregrupiranja, uzimamo u obzir istovjetnost

f(x) = f(x) − f(a1) = (xn − a n 1 ) + an−1 (xn−1 − a n 1 −1 ) + . . . + a1 (x - a1).

(21) Sada pretražujući formulu (20), možemo vidjeti množitelj x − a 1 iz skin člana i onda okriviti Yogoa za luk, štoviše, stopala bogatog člana, koja je ostala u lukovima, postaju jedno manje. Pregrupiranjem novih članova uklanjamo istovjetnost

f(x) = (x − a1 )g(x),

gdje je g(x) bogati član koraka n − 1:

g(x) = xn−1 + bn−2 xn−2 + . . . + b1x + b0.

(Izračun koeficijenata, koji su poznati kroz b, ovdje smo pozvani.) Potrebno je upravo isti izračun udaljiti od polinoma g (x). Prema Gaussovom teoremu, kvadratni korijen a2 jednak je g(x) = 0, tako da je

g(x) = (x − a2 )h(x),

gdje je h(x) novi polinom koraka n − 2. Ponavljajući n − 1 puta

Iz istosti (22) ne samo oni koji su kompleksni brojevi a1, a2,

An je bit korijena jednakog (17), i onih koji nemaju drugih korijena jednakog (17). Istina, yakbi broj y bio je korijen jednakog (17), tada je s (22) slid bi

f(y) = (y - a1) (y - a2). . . (y - an) = 0.

Alemi Bachili (str. 115) da je dodavanje kompleksnih brojeva nuli na taj i više od toga način, kao jedan od množitelja nuli. Također, jedan od množitelja y−ar je jednak 0, pa je y = ar, što je potrebno postaviti.

§ 6.

1. Svrha je taj prehrambeni razlog. Bilo koji broj x naziva se algebarski broj;

130 MATEMATIČKI BROJEVNI SUSTAV pogl. II

de brojevi ai brojevi. Tako je, na primjer, broj 2 algebarski, onome što je zadovoljno jednakim

x2 − 2 = 0.

U istom rangu algebarskog broja, bilo da postoji korijen, bilo da je jednak, s cijelim koeficijentima trećine, četvrtine, petine, bilo da je svijet, i neovisno, osim toga, može se izraziti ili ne izraziti od strane radikala. Pojam algebarskog broja prirodno je shvaćanje pojma racionalnog broja, na način da potvrđuje okremy pad n = 1.

Nije svaki realni broj algebarski. Tse vipliva z ofensive, s Kantorom, teoremi: bezličnost svih brojeva algebre rachunkiva. Bo bezlich usikh brojevi dana je nerazlučivo, onda obov'yazkovo treba koristiti stvarne brojeve, jer oni nisu algebarski.

Istaknimo jednu od metoda rješavanja bezličnih algebarskih brojeva. Koža jednaka izgledu (1) jednaka ciljnom broju

h = | jedan | + | an-1 | +. . . + | a1 | + | a0 | +n,

stila radi, zovemo ga "visoki" jednak. Do skin fiksne vrijednosti n samo je posljednji broj jednak obliku (1) s visinom h. Koža od takvih jednakih može biti više od n korijena. Za to je moguće koristiti samo zadnji broj brojeva algebre, koji su generirani jednakostima s visinom h; otac, sve algebarski brojevi možete roztashuvati pri pogledu na slijed, nadmašujući glavu od njih, jer su rođeni jednake visine visine 1 zatim - visine 2 i tako dalje.

Ovaj dokaz identiteta neosobnih algebarskih brojeva uspostavlja osnovu realnih brojeva, jer oni nisu algebarski. Takvi se brojevi nazivaju transcendentalnim (od lat. transcendere - prijeći, okrenuti); Euler mu je dao takvo ime, koje smrdi "da prevrne čvrstoću metoda algebre".

Cantorov dokaz temelja transcendentalnih brojeva ne leži ispred onih konstruktivnih. Teoretski govoreći, bilo bi moguće inducirati transcendentalni broj za dodatnu dijagonalnu proceduru, koja se provodi preko eksplicitnog popisa desetaka ekspanzija svih brojeva algebre; Ali takav je postupak bio pošteđen svakog praktičnog značaja i ne bi doveo do broja koji bi se mogao napisati u desetom (ili bilo kojem drugom) dribu. Većina problema povezanih s transcendentalnim brojevima povezana je s dokazivanjem da su određeni, specifični brojevi (ovdje su brojevi p i e, o div. 319-322) transcendentalni.

**2. Liouvilleov teorem i konstrukcija transcendentnih brojeva. Dokaz utemeljenosti transcendentalnih brojeva dao je prije Cantora J. Liouville (1809–1862). Omogućuje nam da zapravo konstruiramo primjere takvih brojeva. Líouvilov dokaz je važniji, niži od Cantorovog dokaza, i nije iznenađujuće, krhotine za izgradnju stražnjice, upaljene naizgled, presavijene, niže da donesu temelj. Vodeći niže je Liouvilleov dokaz, možda manje izgleda kao izvježbani čitatelj, koji želi razumjeti dokaz s dovoljno znanja o elementarnoj matematici.

Kao što je pokazao Líouville, iracionalni algebarski brojevi imaju tu moć da se ne mogu aproksimirati racionalnim brojevima s ionako visokom razinom točnosti, samo ne uzimajte natpise razlomaka koje oni aproksimiraju, oni su izvanredno veliki.

Pretpostavimo da broj z zadovoljava jednadžbu algebre s cjelobrojnim koeficijentima

ali niste zadovoljni takvim niveliranjem niže razine. Todi

čini se da je sam x broj algebre stupnja n. Tako npr.

broj z \u003d 2 je broj algebre razine 2, tako da je razina x2 − 2 = 0 √ zadovoljena s razinom 2, ali ne i razina prve razine nije zadovoljena; broj z = 3 2 - razina 3, koja je zadovoljna s x3 - 2 = 0, ali nije zadovoljna (kako pokazujemo u odjeljku III) s razinom niže razine. Algebarski broj koraka n > 1

ne može biti racionalan, jer je racionalan broj z = p q

zadovoljava nivo qx − p = 0 korak 1. Koža iracionalan broj z se može, s određenim stupnjem točnosti, aproksimirati dodatnim racionalnim brojem; ne znači da uvijek možete naznačiti niz racionalnih brojeva

p1, p2,. . .

q 1 q 2

nije okružen rastućim transparentima, taj Volodya Tim-

Što što

p r → z. qr

Liouvilleov teorem je stverdzhuê: da broj algebre z koraka n > 1 ne postoji, ne bi mogao biti bliži

završiti velike barjake obov'yazkovo vykonuetsya nerívníst

Odlučili smo dokazati teorem teorema, a ranije ćemo pokazati kako se transcendentni brojevi mogu dodatno dobiti za nju. Pogledajmo broj

z = a1 10-1! + a2 10-2! + a3 10-3! +. . . + am · 10−m! +. . . = = 0,a1 a2 000a3 00000000000000000a4 000. . . ,

de ai označavaju određene brojeve od 1 do 9 (lakše bi bilo staviti sve ai jednake 1), a simbol n! . . n. Karakteristična snaga desetog proširenja takvog broja su oni koji su skupine, koji brzo rastu iza svoje dozhine, nule se uvlače u novu s okremi znamenkama, koje izgledaju kao nula. Značajno, kroz zm, kraj desetog pada, koji je podmiren, ako se svi članovi uzmu u rasporedu do am · 10−m! uključivo. Todi otkloniti nervozu

Pretpostavimo da je z broj algebre koraka n. Todi, poštujući nervozu Líouvillea (3) pq = zm = 22 sata! , krive smo majke

|z - zm | > 10(n+1)m!

pri visokim vrijednostima m. Usporedba preostale neravnine s nervozom (4) da

zvijezde slijede (n + 1) m! > (m + 1)! − 1 za veliki m. Alece nije u redu za vrijednosti m veće od n (neka čitatelj pokuša dati detaljan dokaz ove tvrdnje). Mi didshli super-oštrinu. Također, broj z je transcendentalan.

Ostaje još dovršiti Liouvilleov teorem. Pretpostavimo da je z broj algebre stupnja n > 1, koji zadovoljava jednadžbu (1), tako da je

f(zm ) = f(zm ) − f(z) = a1 (zm − z) + a2 (zm 2 − z2 ) + . . . + an (zm n − zn).

Obrada uvredljivih dijelova na zm − z i jezgrovanje algebarskom formulom

u n − v n = un−1 + un−2 v + un−3 v2 + . . . + uvn−2 + vn−1 , u − v

prihvacamo:

Kako je zm pravi z, onda kada dođete do velikog m, racionalno je broj zm uzeti u obzir z manji za jedan. Stoga, za doziranje velikog m, možete zaraditi ovako grubu procjenu:

N|an|(|z|+1)n−1 = M, (7)

štoviše, da bi bio desnoruk, broj M je konstantan, krhotine z se ne mijenjaju tijekom procesa dokazivanja. Vibero sada m parket super, shob

razlomak z m = p m standard q m viši, niži M; također qm

tako da je također bilo moguće vidjeti množitelj (x − zm ) iz polinoma f(x), i, također, z je bio zadovoljen s razinom donjeg donjeg n. Otzhe, f(zm) 6= 0. Ale broj na desnom dijelu jednakosti (9) Na takav način, zízstavlennya sívvídníshen (8) i (9) vyplyaê nerívníst

still warehouse zmíst zaznachení̈ teorem.

U nizu od nekoliko preostalih desetljeća, mogućnost aproksimacije algebarskih brojeva pomoću racionalnih probijala se daleko u daljinu. Na primjer, norveški matematičar A. Tue (1863–1922) otkrio je da Liouvilleova neravnina (3) može imati eksponent n + 1 zamijenjen manjim eksponentom n 2 + 1.

Siegel pokazuje da možete uzeti čak i manje (manje

s većim n) indikator 2 n.

Transcendentni brojevi oduvijek su bili tema, jer su zakovali poštovanje matematičara za sebe. Ale, do nedavnog sata sredine dana, poput tsíkaví moćnih sila, nije bilo mnogo takvih, instalirana je transcendentalna priroda takvog bula. (Zbog transcendentnosti broja p, kao što se događa u odjeljku III, postoji nemogućnost kvadriranja udjela uz pomoć ravnala i šestara.) U svom govoru na Pariškom međunarodnom matematičkom kongresu 1900 r. David Hilbert pjeva trideset matematičkih

problemi koji dopuštaju jednostavnu formulu, deyakí - navít zovsím elementarno i popularnije, iz nekog razloga ne samo da nije vilíshena, već navítí nije dala zgrada nego su je dopustili matematičari tíêí̈ ere. Qi "Hilbertovi problemi" dali su snažan poziv na buđenje razvoju matematike u narednom razdoblju. Mayzhe su svi smradovi bili dopušteni korak po korak, au bogatim vipadkah njihovo virishennia je bilo zbog jasno očitovanih uspjeha u smislu očiglednijih i lakših metoda. Jedan od problema s kojim se beznadni usudio uhvatiti u koštac

dokaz da broj

ê transcendentalan (chi wanta b iracionalan). Tri desetljeća nije bilo moguće izvršiti pritisak na takav pidhíd da se hrani s tuđe strane, što je potaknulo nadu u uspjeh. Zreshtoyu, Zígel i neovisno, mladi ruski matematičar A. Gelfond otkrio je nove metode za dokazivanje transcendentnosti bogatstva

brojevi, koji mogu značiti značenje matematike. Zokrema, ubacio se Bulo

transcendencija poput Hilbertovog broja 2 2 , i th cijeli broj u veliku klasu brojeva oblika ab , gdje je a algebarski broj, a je algebarski broj, a b je iracionalan algebarski broj.

DODATAK RAZDILU II

Algebra višekratnika

1. Vruća teorija. Koncept klase, sukupností, chi bezlični objekti - jedan od najtemeljnijih u matematici. Neosobno označava deaco moć ("atribut") A, koja je greška ili majke, ili ne majke analize kože objekta; ti objekti, poput moći A, čine bezličnost A. Dakle, kako vidimo svrhu broja koja je moć A u činjenici da opraštamo, tada se bezličnost A zbraja iz uobičajenog prosta broja brojevi 2, 3, 5, 7, . . .

Matematička teorija množenja proizlaze iz činjenice da je moguće uspostaviti nove množitelje za dodatne operacije (slično kao što novi brojevi nastaju iz brojeva za dodatnu operaciju savijanja tog množitelja). Vyvchennya operacije na množenjima postaju predmetom "višestruke algebre", jer može biti bogato koherentan s velikom numeričkom algebrom, želeći vidjeti zašto i u njoj. Činjenica da se metode algebre mogu pomaknuti do točke uključivanja nenumeričkih objekata, kao što su neosobni, ilu-

tok velike konvergencije ideja moderne matematike. U ostatku sata bilo je jasno da algebra množenja baca novo svjetlo na bogatu magiju matematike, na primjer, teoriju svijeta i teoriju imaginarnih stvari; vona korisna je i píd sat sistematizacije razumjeti matematiku da z'yasuvanní njihovih logičnih zv'yazkív.

Nadal, mislim na deak postiynu bezličnih objekata, prirodu takvog baiduzha, i kako to možemo nazvati univerzalnom impersonalnošću (ili svemirom mirkuvannya), i

A, B, C, . . . Ako je I množina svih prirodnih brojeva, tada A, recimo, može značiti odsutnost svih parnih brojeva, B - odsutnost svih neparnih brojeva, C - odsutnost svih prostih brojeva, i tako dalje. onda A može biti bespredmetna točka u sredini ovog uloga, B - bespredmetna točka u sredini drugog uloga, i tako dalje. Meta, kao da prati takav komad ekspanzije, zaklinje se na očuvanje te pozicije, da kožna moć A pokazuje puno elemenata iz I, koji će voditi snagu moći. U vremenima, kao što je A ê univerzalno vykonuvan autoritet, čiji zadnji dio možete poslužiti (kao što možete pronaći o brojevima), autoritet zadovoljava trivijalnu ekvivalenciju x = x, tada će u slučaju množitelja I biti sam I, element kože može imati takvu ovlast; s druge strane, poput A ê kao unutarnje supermoćne moći (na kshtalt x 6 \u003d x), tada nije potrebno osvetiti se elementima, to je "prazno" i označeno je simbolom.

Čini se da je množitelj A submultiplikator množitelja B, ukratko, “A ulazi kod B”, ili “B osvećuje A”, jer množitelj A nema takav element, što nije isto što i množitelj B.

A B ili B A.

Na primjer, bezlični A svih cijelih brojeva, koji je djeljiv s 10, višekratnik je bezličnog B svih cijelih brojeva, koji je djeljiv s 5, pa je i kožni broj, koji je djeljiv s 10, također djeljiv s 5. A B ne uključuje B A. maê mísce i te y ínshe, tada

Tse znači da element kože A ê u isto vrijeme i element B, í natrag, pa pomnožite A i B da biste zamijenili iste elemente.

Spivvídnoshennia A B mizhiny bogata onim što pogodite spívídnoshennia a 6 b mizh brojeva. Zokrema, očito trasirana

puše snagu ovog spívvídnoshennia:

1) A A.

2) Ako su AB i BA, onda je A = B.

3) Kao A B i B C, zatim A C.

Iz razloga spívvídnoshennia AB ponekad se nazivaju "po narudžbi". Golovna Vidmínniy Analizirano SPIVVISHENYNYA VID SPIVVISHENYNYA A 6 b MIZH u brojevima Polega u jednom, pijami ceremonijama (diSny) brojevima a í b nije na isti način analogna tvrdnja pogrešna. Na primjer, da je A bezličan, koji se sastoji od brojeva 1, 2, 3,

a B je množitelj, koji se sabira od brojeva 2, 3, 4,

tada nema vremena za A B, ili B A. Nema razloga reći da A, B, C, . . . množitelji I ê “djelomično uređeni”, isti kao efektivni brojevi a, b, c, . . .

uspostaviti "potpuno uređen" poredak.

S poštovanjem, među ostalim, da nema razlike između A i B, da, ako ne postoji množitelj A, množitelj I,

Snaga 4) može biti pomalo paradoksalna, ali, ako bolje razmislite, logično je podređena točnoj promjeni naznačenog znaka. Istina, spívvídnoshnya A je slomljen samo

u toj vipadki, kao da je prazna, mnogi su elementi zagubili element, koji nije osvetio b A; ali tako, poput praznog bezličnog, ne osvećujte se elementima, onda ne možete biti, da nije bilo A.

Sada su nam značajne dvije operacije množenja, koje formalno dopuštaju bogatim algebarskim autoritetima da dodaju to mnoštvo brojeva, želeći za svoje unutarnje zmísto zovsím vídminní víd tsikh aritmetika diy. Neka su A i B dva množitelja. Pod pojmovima, ili "logičkim zbrojem", A i B razumiju neosobno, koje je sastavljeno od tihih elemenata, koji se nalaze u A ili

u B (uključujući i one elemente koji se mogu naći u A i B). Ovaj množitelj je označen sa A + B. 1 Pod "peretinom", ili "logičkom tvorevinom", A i B se shvaćaju bezlično, koji su sastavljeni od tihih elemenata, koji se mogu naći u A i u B. Ovaj množitelj označen je s AB.2

Među važnim moćima algebre operacija A + B i AB, ofenziva je prevladana. Čitatelj može preokrenuti pravednost, ovisno o svrsi samih operacija:

Ponovna provjera svih ovih zakona najjednostavnija je desna logika. Na primjer, pravilo 10) kaže da su elementi bezlični, da ili A, ili A, ili bezlični A; pravilo 12) koje navodi da su bezlični elementi, ako su u A, a istovremeno su ili B ili C, bezlični elementi, ako su ili isto vrijeme u A i B, ili je vrijeme jedan sat u A i C vykoristovuyutsya u dokazivanju slične vrste pravila, ručno ilustrirana, kao da smo u mogućnosti zamisliti bezlični A, B, C, . . . u pogledu takvih figura na kvadratu, bit ćemo više poštovani u tom pogledu, kako ne bismo propustili logične mogućnosti, ako se radi o prisutnosti glavnih elemenata dvaju skupova, ili, naprotiv, o prisutnosti jednog skupa elemenata, ako se ne nalaze u drugom.

Čitatelj je, bez sumnje, izgubio poštovanje prema onima koji zakone 6), 7), 8), 9) i 12) zovu isto s poznatim komutativnim, asocijativnim i distributivnim zakonima zvučne algebre. Zvídsi viplivaê, scho tse pravila zvichaynoí̈ algebre, yakí z tsikh zakoni, učinkoviti u algebri skupova. Navpaki, zakoni 10), 11) i 13) ne postoje analozi izvorne algebre, a algebri daju mnogo jednostavnu strukturu. Na primjer, binomna formula u algebri množenja može se svesti na najjednostavniju jednakost

(A + B) n = (A + B) · (A + B). . . (A + B) = A + B,

kao pravno pitanje 11). Zakoni 14), 15) i 17) govore o onima da je potencija množine I u smislu broja ispred operacije zbrajanja tog broja slična potenciji brojeva 0 i 1 u smislu člana ispred rad s brojčanim brojevima i zbrajanje te množine. Ale zakon 16) nema analoga u numeričkoj algebri.

Ostaje da se zada još jedna operacija u algebri skupova. Neka je A submultiplikator univerzalnog množitelja I. Dakle, pod dodatkom A u I može se razumjeti impersonal svih elemenata od I, ako ne iu A. Za množitelj uvodimo vrijednost A0. Dakle, ako je I bezličan od svih prirodnih brojeva, a A bezličan od svih prostih brojeva, onda je A0 bezličan, što se zbraja iz svih skladišnih brojeva i broja 1. autoritet:

23) A00 = A.

24) Spivvídnenja A B 0A0.

25) (A + B) 0 = A0 B0. 26) (AB)0 = A0 + B0.

Ponovnu provjeru ovih ovlasti ponovno nadaemo chitachev.

Zakoni 1)-26) leže u osnovi algebre skupova. Smrad čudesne moći "dualnosti" u napadnoj senzaciji:

Kao u jednom od zakona 1)–26) zamijeni jedan za jedan

(za dermalni unos), tada se kao rezultat ponovno pojavljuje jedan od ovih zakona. Na primjer, zakon 6) pretvara se u zakon 7), 12) - u 13), 17) - u 16) pravedno. pupoljak. , "Dvíyna" í̈th teorem, koji proizlazi iz prvog za dodatna značenja permutacija simbola. Istina, krhotine dokaza

Cilj. II ALGEBRA MNOŽIN 139

prvi se teorem sastoji od uzastopne stagnacije (u različitim fazama usklađivanja koje treba provesti) zakona 1–26), zatim je stagnacija u završnim fazama "dva" zakona u skladištu dokaz " dvostruko” teorem. (Zbog pogona takve "dvostrukosti" u geometriji div. Odjeljak IV.)

2. Zastosuvannya matematička logika. Ponovna provjera zakona algebre množenja temeljila se na analizi logičkog smisla prevođenja A B i operacija A + B, AB i A0. Sada možemo preokrenuti ovaj proces i zakone 1)–26) smatrati osnovom za "algebru logike". Preciznije rečeno: taj dio logike, budući da postoje mnoge, ili, zapravo, iste, moći objekata koji se promatraju, može se svesti na formalni algebarski sustav temeljen na zakonima 1) –26). Logičko »pametno sveznanje« označava neosobno Ja; kožna moć A označava bezlično A, koje se sastoji od tihih objekata I, kao što to može biti moć. Pravila za prevođenje najlogičnije terminologije u jezik

U smislu algebre, postoji silogizam “Barbara”, što znači da “ako je svaki A ê B i svaki B ê C, onda je svaki A ê C”, izgleda jednostavno:

3) Ako su AB i BC, onda je AC.

Slično, “zakon otpora”, koji potvrđuje da “objekt ne može istodobno voditi i ne može voditi takvu moć”, bilježi gledatelj:

20) AA 0 = ,

a “zakon uključene trećine”, što će reći da je “predmet kriv za majku, ali ne i majka za đakona moći”, stoji:

19) A+A0=I.

Na ovaj način, taj dio logike, kako se vidi u terminima simbola, +, · í 0, može se interpretirati kao formalni sustav algebre, prema zakonima 1)–26). Na temelju logičke analize matematike i matematička analiza logike, stvorena je nova disciplina - matematička logika, kao ni jedna od njih ne prekorava proces burnog razvoja.

S aksiomatskog gledišta, zbog poštivanja te čudesne činjenice, koju potvrđuju 1)-26), zajedno s drugim teoremima algebre skupova, logično se može vidjeti iz dolazećih triju jednakosti:

27) A + B = B + A,

(A + B) + C = A + (B + C),

(A0 + B0) 0 + (A0 + B) 0 = A.

Očito je da se algebra umnožaka može motivirati kao deduktivna teorija, na temelju euklidske geometrije, na temelju ova tri stava, koja su prihvaćena kao aksiomi. Kao što je aksiomatski prihvaćeno, tada su operacija AB i propozicija A B definirane u terminima A + B i A0:

Drugi primjer matematičkog sustava, u kojem su kodirani svi formalni zakoni algebre množitelja, nazivamo sustavom od osam brojeva 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30: ovdje + b znači,

najveći, najmanji višekratnik a í b, ab - najveći dílnik a í b, a b - tvrdoća "b je podijeljena s a" i a0 - broj 30 a. Su-

Osnova takvih primjena uzrokovala je razvoj nečuvenih algebarskih sustava, koji zadovoljavaju zakone 27). Takvi se sustavi nazivaju "Booleove algebre" - u čast Georgea Boolea (1815.-1864.), engleskog matematičara i logičara, čija se knjiga "Istraživanje zakona mišljenja" pojavila 1854. godine.

3. Jedna od stanica prije teorije nepokretnosti. Algebra može biti puno bliža teoriji nepokretnosti i omogućuje vam da je pogledate u novom svijetu. Pogledajmo najjednostavniji primjer: napravimo vlastiti eksperiment od posljednjeg broja mogućih nasljedkiv, yakí svi misle kao "jednako sposobni". Eksperiment može biti, na primjer, u tome da možemo izvući kartu iz novog špila, koji je dobro promiješan. Ako je množitelj svih rezultata eksperimenta značajan kroz I, a A znači da je submultiplikator od I, tada se mogućnost da će rezultat eksperimenta ležati do submultiplikatora od A označava kao proširenje

p(A) = broj elemenata u A. broj elemenata u I

Ako smatramo da je broj elemenata u bilo kojem množitelju A n(A), tada se ostatak jednakosti može dati promatranjem

Ideje o algebri množine pojavljuju se kada se računaju mogućnosti, ako je moguće, poznavajući imotivnost jednih množina, računati imotivnost drugih. Na primjer, znajući dinamiku p(A), p(B) i p(AB), možemo izračunati dinamiku p(A + B):

Nije važno donijeti. Mi maêmo

n(A + B) = n(A) + n(B) − n(AB),

krhotine elemenata koji mogu biti zauzeti u isto vrijeme u A i B, tada se elementi iz AB uzimaju u obzir pri prebrojavanju zbrojeva n(A) + n(B), pa je stoga potrebno vidjeti n(AB) iz zbroja zbrojeva, pa je n(A + B) slovo dijeljenja ispravno. Zadržimo prijestupnike uvrijeđene dijelom ekvivalencije na n(I), oduzet ćemo spontanost (2).

Cíkavísha formula za izlazak, tako da postoje oko tri množitelja A, B, C z I.

p(A + B + C) = p[(A + B) + C] = p(A + B) + p(C) − p[(A + B)C].

Zakon (12) iz prethodnog paragrafa nam daje (A + B) C = AC + BC. Zvukovi vrište:

p[(A + B)C)] = p(AC + BC) = p(AC) + p(BC) − p(ABC).

Zamjenom u prethodnom redoslijedu vrijednosti p[(A + B)C] i vrijednosti p(A + B), preuzete iz (2), dolazimo do tražene formule:

p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(AB) − p(AC) − p(BC) + p(ABC). (3)

Kao opušak, možemo gledati napadni eksperiment. Tri broja 1, 2, 3 napisana su bilo kojim redom. Koje je značenje činjenice da je prihvaćeno da se jedna od znamenki temelji na prostoru iznad (u senzorskom numeriranju)? Neka je A bezlična permutacija, za koju bi broj 1 trebao zauzimati prvo mjesto, B - bezlična permutacija, za koju bi broj 2 trebao koštati drugo mjesto, C - bezlična permutacija, za koju bi broj 3 trebao koštati treće mjesto . Moramo izračunati p(A+B+C). shvatila sam da

p(A) = p(B) = p(C) = 2 6 = 1 3;

efektivno, kao da figura stoji na pravom mjestu, tada postoje dvije mogućnosti za preuređivanje rješenja dviju znamenki iz glavnog broja 3 2 1 = 6 mogućih permutacija tri znamenke. Dali,

Pravo. Unesite valjanu formulu za p(A + B + C + D) i pričekajte do eksperimenta koji uključuje 4 znamenke. Vidpovidna umovirníst dorívnyuê 58 = 0,6250.

Uobičajena formula za kombiniranje n umnožaka može izgledati

kombinacije za osvetu jedan, dva, tri, . . . , (n − 1) slovo iz broja A1 , A2 , . . .

an. Ova se formula može umetnuti nakon dodatne matematičke indukcije - kao što je formula (3) uvedena iz formule (2).

Iz formule (4) moguće je zbrajati pramenove, tako da ima n znamenki 1, 2, 3, . . . n napisano bilo kojim redoslijedom, tada je sposobnost prihvaćanja jedne od znamenki da se nasloni na odgovarajuće mjesto veća

štoviše, ispred preostalog člana stoji znak + ili −, označavajući one koji su u paru i koji nisu u paru. Zocrema, za n = 5

p5 = 1 − 2! + 3! − 4! +5! = 30 = 0,6333. . .

U VIII podjeli želimo znati da ako nema nekompatibilnosti viraz

1 1 1 1 Sn = 2! − 3! +4! − . . . ±n!

pragne između 1 e, čije značenje, s pet znakova iza Komi,

jedan 0,36788. Iz formule (5) je jasno da je pn = 1 − Sn, tada je zvijezda jasna, da je za n → ∞

pn → 1 − e ≈ 0,63212.

Riječ "transcendentalno" povezuje se s transcendentalnom meditacijom i raznim ezoterijama. Ali da bismo ispravno živjeli jogu, potrebno je kao minimum uskrsnuti jogu iz pojma "transcendentalno", a kao maksimum - naslutiti ulogu joge kod Kantovih robota i drugih filozofa.

Tse razumljivo nalikuje latinskom transcendens - "prijeći", "prijeći", "ići dalje". Općenito, vina su ona koja su bitno nedostupna empirijskim spoznajama, odnosno utemeljena na dokazima. Ponovno razmislite o izrazu viniklische filozofije neoplatonizma - utemeljitelj izravno Plotin koji je napravio vchennya o Jednom - svedobrom pershopochku, kao da je nemoguće prepoznati misli uz pomoć uma, bez pomoći osjetljivog uma. "Ne postoji jedan, nego otac Yogo" - objašnjava filozof.

Najnoviji pojam "transcendentalno" razvijen je u filozofiji Immanuela Kanta, de vin vikoristovuvsya za karakterizaciju, jasno neophodan za znanje i kako osjetiti naša tijela su osjetljiva, ostajući u načelu neprepoznatljiva, kako u praksi, tako i u teoriji. Proliferacija transcendencije - : znači ili nevidljivost, unutarnju vezu, bilo da je objekt sa samim objektom, ili prepoznavanje objekta na poseban certifikat. Na primjer, pretpostavimo da se Svesvijet kreacija, iza velike ideje, za nas smatrao transcendentnim - o novom možemo samo postavljati hipoteze. Pa ipak, kako sam ja to zamislio, to je istina, a posljedice za nas su imanentne, utječu na fizičke zakone i uvjete, koje možemo konzumirati. Stoga je u nekim teološkim konceptima Bog transcendentalan i nadvladava položaje koje je stvorio.

Stvarni govori još uvijek su dostupni apriornom znanju: na primjer, prostor i vrijeme, ideje o Bogu, dobroti i ljepoti, logičke kategorije. Tobto transcendentalni objekti, figurativno naizgled, "iza linije postavljene" u našem umu

Izjava o transcendentalnoj prirodi u matematici: transcendentalni broj je broj koji se ne može izračunati pomoću dodatne algebre ili algebarski (to jest, ne može biti korijen bogatog člana s višestrukim koeficijentima koji nije isti kao nula). Prije njih unesite, na primjer, brojeve π í e.

Razumijevanje, blisko "transcendentalnom", pa čak i izvan značenja - "transcendentalno". Na zatiljku je jednostavno označavao područje apstraktnih rimskih kategorija, a do kraja godine, podigavši ​​Kanta, pio mu je tjesteninu iz kose: bilo je nemoguće inducirati filozofski sustav samo na empirijskim podacima , ali nije znao istinu o tuđim smrtima. Da bi se okrenuli, filozofi su imali priliku priznati da su neki govori još uvijek dostupni apriornom znanju: na primjer, prostor i vrijeme, ideje o Bogu, dobroti i ljepoti, logičke kategorije. Da su transcendentalni objekti - tse, figurativno naizgled, "prije stavljeni iza uma" u našim umovima - s kojima su informacije o njima očigledne i ne vyplyvaet iz našeg znanja.

Postoji još jedno kontroverzno shvaćanje - transcendencija. U širem smislu riječ “vono” označava prijelaz u kordon između dva različita područja, posebice prijelaz iz sfere ovoga svijeta u sferu budućnosti, transcendentnog. Radi jednostavnosti, uzmimo primjer iz znanstvene fantastike: paralelni svijet za odlični ljudi- transcendentalna manifestacija. Ali ako je junak pio na svom paralelnom svjetlu, čini se da se rang očituje izgradnjom yoga spriymati, tse transcendencija. Sklopiviji primjer egzistencijalne filozofije: Jean-Paul Sartre, shvativši da je osoba transcendentna, krhotine neće ići izvan granica bilo koje moguće mokre istine: možemo navkolishniy svit s različitih strana, ali u svakom slučaju ne možemo se približiti punom prepoznavanju samih sebe. Ale, čovjek se odjednom može izgraditi do transcendencije: on transcendira da li je rijeka, dajući joj smisao. Transcendencija je važan element u religiji: ona pomaže ljudima da rastu u svojoj materijalnoj prirodi i dosegnu nešto strano.

Iz filozofije je pojam transcendentalnosti migrirao u psihologiju: švicarski psiholog Carl Jung razvio je pojam "transcendentalne funkcije" - iste funkcije koja ide uz tu neshvatljivost. Zocrema, transcendentalnu funkciju može nadvladati psihoanalitičar - pomoći pacijentu da analizira slike neviđenog (na primjer, sanjanje) i prikazati ih odjednom iz vlastitih psihičkih procesa.

Jakov govor

Netočno "Upisao sam se na tečaj transcendentalne meditacije." Upravo tako – “transcendentalno”.

Tako je, "Kad idem u hram, gledam nešto transcendentno."

Točno, “Umjetnost transcendencije poznaje nas objekte iz materijalnog svijeta, podsjećajući na njih najvećom svjetlošću.”

Ilja Ščurov

Matematičar Illya Shchurov o desecima razlomaka, transcendentnosti i iracionalnosti broja Pi.

Kako je "samoća" pomogla nadahnuti prvo mjesto i to veliko carstvo? Čime ste zaludili narod? Kakvu je ulogu odigrala u pojavi penija? Yak "jedan" ujedinjen s nulom, da vlada moderni svijet? Povijest samstva neraskidivo je povezana s poviješću europske civilizacije. Terry Jones je virushaya na duhovit način skuplje s metodom uzimanja zajedno čudesne povijesti našeg najjednostavnijeg broja. Uz pomoć računalne grafike u ovom programu, jedan oživljava u različitim oblicima. Iz povijesti samoće, postalo je jasno, zvijezde su se pojavile danas, i poput grešaka nule, vryatuvav u svjetlu potrebe za pobjedom rimskih brojeva.

Jacques Cesiano

Malo znamo o Diofantu. Pa, Vin je živ kod Oleksandriye. Nitko od grčkih matematičara nije to shvatio do 4. stoljeća, jer je to, ymovirno, živ sredinom 3. stoljeća. Glava Diofantovog robota, "Aritmetika" (Ἀριθμητικά), uzeta je na dio 13 "knjiga" (βιβλία) da bi se podijelila. Danas ih možda imamo 10, a u sebi: 6 za grčki tekst i 4 druga za srednji arapski prijevod, i nekoliko za srednji grčki knjiga: knjige I-III na grčkom, IV-VII na arapskom, VIII-X na grčkom . Diofantova "Aritmetika" je ispred plana, tek blizu 260. Teorije, naizgled istinite, ništa; Nema više općenitih uputa na početku knjige, više privatnog poštovanja drugih redatelja, ako je potrebno. "Aritmetika" već izgleda kao algebarski traktat. Diofant na klipu različite znakove, schob vyslovlyuvati nevidome taj yogo korak, također deakí račun; kao i svi algebarski simboli sredine, njegova simbolika nalikuje matematičkim riječima. Zatim, Diofant objašnjava kako riješiti problem pomoću metode algebre. Ali Diofantova zadaća nije algebarska u primarnom značenju, tako da se sve može svesti na visinu nedefinirane jednakosti, ili sustava takvih jednakosti.

George Shabat

Program predmeta: Povijest. Prve ocjene. Problem konzistencije kolca s njezinim promjerom. Neskíchenní redovi, stvoriti taj ínshí vrazi za π. Zbízhnist i njezina jakíst. Virazi, što da se osveti π. Nizovi koji brzo konvergiraju do π. Suvremene metode izračun π, broj računala. O iracionalnosti i transcendentnosti π i drugih brojeva. Predznanje nije potrebno za tečaj.

Dužnosnici sa Sveučilišta Oxford rekli su da bi rano uvođenje broja 0 za označavanje broja dana u nizu (kao u broju 101) trebalo uključivati ​​tekst indijskog rukopisa Bakhshalija.

Vasil Pispanen

Koga ne graviraju djeca u grupi "navedi najveći broj"? Milyoni, trillioni i ostali "-oni" se već glatko vide u mislima, ali mi ćemo pokušati riješiti "mastodonta" u matematici - Grahamov broj.

Viktor Klepcin

Pravi broj može se točno aproksimirati racionalnim. I ako to ljubazno učinimo, možemo li se približiti jedno drugome - je li to usklađeno s joga savijanjem? Na primjer, razbijanje deseti unos brojevi x na k-ta znamenka nakon toga oduzimamo blizinu x≈a/10^k s oprostom reda veličine 1/10^k. Vzagali sam, nakon što smo popravili banner q u frakciji koja se približava, definitivno možemo uzeti pristup s oprostom reda 1/q. A što možete učiniti bolje? Svima je poznato da blizina π≈22/7 daje oprost reda veličine 1/1000 - to je očito bolje, niže se može ispraviti. Zašto? Bili smo pošteđeni, zašto je π tako blizu ê? Čini se da za bilo koji iracionalni broj ê bezlični razlomci p / q, koji mu je bliži, manji 1 / q ^ 2. Tseverzhuê Dirichletov teorem - i mi pochnemo naravno íz njen troha nestandardni dokaz.

Godine 1980. Guinnessova knjiga rekorda ponovila je Gardnerove tvrdnje, dodatno potaknuvši interes javnosti do tog broja. Grahamov broj u ime broja puta više, niže inače dobro u kući veliki brojevi, dakle, kao googol, googolplex i navit više, manji Skewesov broj i Moserov broj. Istina, cijeli je svijet premali da bi netko mogao uzeti svoj deseti zapis Grahamova broja.

Dmitro Anosov

Predavanja čita Anosov Dmitro Viktorovich, doktor fizikalnih i matematičkih znanosti, profesor, akademik Ruske akademije znanosti. Ljetna škola "Moderna matematika", Dubna. 16.-18. travnja 2002

Nije moguće ispravno odgovoriti na hranidbeni lanac, krhotine serije brojeva ne maê gornju granicu. Dakle, do određenog broja, dovoljno je dodati još jedan, kako bi uzeo broj još više. Iako sami brojevi nisu ograničeni, njihova imena nisu tako bogata i bogata, tako da se većina zadovoljava imenima koja se zbrajaju iz manjih brojeva. Shvatio sam da u konačnom nizu brojeva, koje su ljudi nagomilali za svoja moćna imena, oni mogu biti najviše. Ali kako se zove i zašto je jednak? Hajde, probajmo to na neki način dokučiti i prepoznati zarazu, matematičari su došli do sjajnih brojki.

Broj je pozvan algebarski yakscho to je korijen deaky bogatog izraza s puno koeficijenata

a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0(tj. korijen jednakog a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0 =0, de a n, n-1, ..., a 1, a 0--- brojevi, n 1, a 0).

Bezlični algebarski broj je smisleno slovo .

Lako je vidjeti da li je racionalan broj algebarski. Istina, - korijen rijeke qx-p=0 s mnogo koeficijenata a 1 =qі a 0 =-p. Otzhe, .

Međutim, nisu svi algebarski brojevi racionalni: na primjer, broj je korijen jednakosti x 2 -2 = 0, otzhe, --- algebarski broj.

Stari sat je ostao netaknut, važan za matematičku prehranu: ? Manje od 1844., sudbina Líouvillea je prvi put navív primjer transcendentalnog (tobto. nealgebarskog) broja.

Prvog dana u mjesecu dokaz njegove transcendencije još je sklopiviji. Teorem je moguće izvesti na temelju transcendentnih brojeva na znatno jednostavniji način, ukazivanjem na ekvivalentnost i neekvivalentnost numeričkih množenja.

I sami, možemo reći, da su bezlični algebarski brojevi Rakhunkov. Međutim, krhotine svih realnih brojeva nisu jednake, možemo postaviti bazu nealgebarskih brojeva.

Međusobno nedvosmisleno razlikujemo i s desetak . Tse ima smisla, sho - Dobro je chi rakhunkovo. Ale oskilki , onda neskíchenno, otzhe, rakhunkovo.

Ajde - deyake broj algebre. Pogledajmo sve obogaćene izraze s brojem koeficijenata, čiji je korijen ê, i izaberimo sredinu bogatih izraza P minimalni korak (tako da neće biti korijen istog bogatog člana s cijelim koeficijentima manjeg koraka).

Na primjer, za racionalan broj, takav polinom može imati korak 1, a brojevi - korak 2.

Podijelimo sve koeficijente bogatog člana P njihovom najvećem spavaču. Oduzimamo polinom čiji je koeficijent istovremeno međusobno jednostavan (njihov najveći prag je 1). Zreshtoyu, kao viši koeficijent a n víd'êmniy, množimo sve koeficijente polinoma s -1 .

Oduzimanje bogatog člana (tj. bogatog člana s velikim koeficijentima, čiji je korijen broj, koji može biti najmanji mogući korak, međusobno jednostavnog koeficijenta i pozitivnog starijeg koeficijenta) naziva se minimalni bogati član broj.

Može se dokazati da je takav polinom jedinstveno dodijeljen: skin broj algebre može biti točno jedan minimalni polinom.

Broj stvarnih korijena polinoma nije veći od donjeg koraka. Također, možete numerirati (na primjer, za rast) korijene tako bogatog izraza.

Sada, bilo da se radi o broju algebre, bit će prepoznat po svom minimalnom bogatom članu (to jest, po skupu njegovih koeficijenata) i broju koji se razlikuje od ostalih korijena polinoma: (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k).

Kasnije smo za dermalni algebarski broj postavili razliku konačnog skupa cijelih brojeva, štoviše, iza njega jednoznačno slijedi ovaj skup (tako da su različiti skupovi dani različitim brojevima).

Svi prosti brojevi su numerirani redoslijedom rasta (nije bitno pokazati da su prebogati). Uklanjamo neoprostivi niz (pk): p1=2,p2=3, p3=5, p4=7, ... Sada skup cijelih brojeva (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k) možete staviti u vídpovidníst tvír

(Ovaj broj je pozitivniji i racionalniji, ali nemojte biti prirodni, čak ni u sredini brojeva a 0, a 1, ..., n-1, može biti negativan). S poštovanjem, da broj nije kratkotrajan, krhotine su jednostavni množitelji, koje treba unijeti prije postavljanja brojčane knjige i natpisa, razlike. Također je vrijedno poštivanja da su dva nekratka razlomka s pozitivnim brojevima i strofama jednaka, čak i ako su brojevi jednaki, to su jednake strofe.

Sada pogledajmo to s rezervom:

(a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k) =

Oskílki različiti brojevi algebre imaju različite skupove cijelih brojeva i različite skupove --- drugačiji racionalnih brojeva, onda smo ovim redoslijedom uspostavili međusobno nedvosmislenu valjanost između višestrukosti i s desetak . Stoga su bezlični algebarski brojevi značajni.

Krhotine bezličnih realnih brojeva se ne razlikuju, donijeli smo osnovu nealgebarskih brojeva.

Međutim, teorem rasuđivanja ne pokazuje kako odrediti što cijeli broj algebarski. I prehrana je ponekad važna za matematiku.

transcendentni broj

broj (díysne abo yavne), koji se ne zadovoljava nikakvim izjednačenjem algebre (Div. Algebraic equalization) s mnogo koeficijenata. U ovom rangu, T. h. su dodijeljeni algebarskim brojevima. Ísnuvannya T. H. prvi uspostavivši J. Liouville (1844). Prava točka za Liouvillea bio je th teorem, koji tvrdi da bilo koji red aproksimacije racionalnog razlomka s danim standardom th iracionalnom algebarskom broju ne može biti dovoljno visok. Najalgebarskiji broj a zadovoljava nereduciranu jednakost algebre n s mnogo koeficijenata, zatim za bilo koji racionalni broj samo pohraniti α ). Stoga je za dati iracionalni broj α moguće pokazati neosobne racionalne aproksimacije koje ne zadovoljavaju indukciju neravnomjernosti za bilo koji hі n(neki i tihi za sve blizu), zatim α ê T. h. Kundak takvog broja je da:

R. Kantor (1874), spomenuo da je bezličnost svih algebarskih brojeva razlučiva (tako da se svi algebarski brojevi mogu prenumerirati; div. Teorija višestrukosti), tada je bezličnost svih realnih brojeva nepromjenjiva. Zvučalo je poput bezličnog T. h.

Najvažniji zadatak teorije T. h. - tse z'yasuvannya da chi ê T. h. vrijednost analitičkih funkcija, koje mogu imati one druge aritmetičke aritmetičke moći s algebarskim vrijednostima argumenta. Zadatak koje obitelji stoji pred najvažnijom zadaćom suvremene matematike. U 1873 Š.

Godine 1882. njemački matematičar F. Lindemann došao je do značajnijeg rezultata: budući da je α broj algebre, tada eα - T. h. Lipdemanov rezultat značajno je pogoršao njemački matematičar K. Siegel (1930), koji je dokazao, na primjer, transcendentnost vrijednosti široke klase cilindričnih funkcija s vrijednostima argumenta algebre. Godine 1900. na matematičkom kongresu u Parizu D. Hilbert je među 23 neprikosnovena problema matematike istaknuo uvredljivu: chi je transcendentalni broj. α β , de α і β - algebarski brojevi, štoviše β - iracionalan broj, i, zokrema, chi ê transcendentalni broj e π α β bulu je prvi u privatnom obliku stavio L. Euler, 1744). Vanjsku verziju problema (u solidnom smislu) manje-više uzeo je u obzir 1934. A. O. Gelfond. Iz izjave Gelfonda, zokrema, jasno je da su sve desetice logaritama prirodnih brojeva (to jest, “tabularni logaritmi”) T. h. Metode teorije T. h.

Lit.: Gelfond A. O., Transcendentalni i algebarski brojevi, M., 1952.

Velika radijanska enciklopedija. - M: Radianska enciklopedija. 1969-1978 .

Čudite se takvom "transcendentnom broju" u drugim rječnicima:

Broj koji se ne zadovoljava nijednom jednakošću algebre s bilo kojim brojem koeficijenata. Transcendentalni brojevi ê: broj? 3,14159...; deseti logaritam bilo kojeg cijelog broja, koji nije predstavljen jedinicom s nulama; broj e = 2,71828 ... ta u ... Sjajno Enciklopedijski rječnik

- (latinski transcendere preći, okrenuti) tse recheve abo složeni broj, koji nije algebarski, drugim riječima, broj koji ne može biti korijen bogatog člana s mnogo koeficijenata. Zmist 1 Snaga 2 ... ... Wikipedia

Broj koji se ne zadovoljava nijednom jednakošću algebre s bilo kojim brojem koeficijenata. Transcendentni brojevi ê broj π = 3,14159...; deseti logaritam bilo kojeg cijelog broja, koji nije predstavljen jedinicom s nulama; broj e = 2,71828... ta in. Enciklopedijski rječnik

Broj koji ne zadovoljava istu algebru. ur níu s qílimi koeficijentima. T. godine. ê: broj PÍ = 3,14159...; deseti logaritam bilo kojeg cijelog broja, koji nije predstavljen jedinicom s nulama; broj e = 2,71828... ta in. Prirodna znanost. Enciklopedijski rječnik

Broj koji nije korijen istog bogatog člana s istim koeficijentima. Opseg takvih brojeva je nula realnih, kompleksnih i radijalnih brojeva. Ínuvannya koja je očito potaknula akciju T. h. obguruntuvav J. Liouville ... Matematička enciklopedija

Jednako, kao ne ê algebarski. Nazovite poravnanje cijena, koje se mogu prikazati, logaritamske, trigonometrijske, reverzibilne trigonometrijske funkcije, na primjer: Suvorishe oznake kao što je: Transcendentalno poravnanje cilja ... Wikipedia

Broj, otprilike 2,718, često se koristi u matematici i prirodnim znanostima. Na primjer, kada se radioaktivni govor pokvari, nakon završetka sata t, na kraju govornog perioda, gubi se dio, koji je skuplji e kt, de k broj, ... Collier Encyclopedia

E je matematička konstanta, osnova prirodnog logaritma, iracionalan i transcendentan broj. Drugim riječima, broj e naziva se Eulerov broj (ne brkati s tzv. Eulerovim brojevima prve vrste) ili Napierov broj. Označava se malim latiničnim slovom "e".

E je matematička konstanta, osnova prirodnog logaritma, iracionalan i transcendentan broj. Drugim riječima, broj e naziva se Eulerov broj (ne brkati s tzv. Eulerovim brojevima prve vrste) ili Napierov broj. Označava se malim latiničnim slovom "e".