Podintegral ima snagu, analognu snazi ​​sing integrala. Znatno manje od glavnih:

1. Koje su funkcije
integracija u regiji
, onda je integracija u njih iznos i razlika, štoviše

2. Za predznak se može okriviti konstantni množitelj underwire integral:

3. Yakscho
integrirani u regiji
, a ovo područje je podijeljeno na dva područja koja se ne preklapaju і
, onda

.

4. Yakscho
і
integracija u regiji
, u yakíy

, onda

.

5. Što je u okolici
funkcija
zadovoljan nedosljednostima


de
і
djela díysní brojevi, onda

,

de – područje regije
.

Dokazi ovih potencija analogni su dokazu drugog teorema za jednostavni integral.

Izračun vertikalnog integrala u pravokutnim Kartezijevim koordinatama

Neka je potrebno izračunati temeljni integral
, područje - Pravokutni, koji karakteriziraju nepravilnosti ,.

Pretpostavimo da
neprekinuto u istom pravokutniku i nabuvaj u novu nepoznatu vrijednost, iako je integral volumena tijela s osnovom , obrubljen zvijeri na vrhu
, sa strane - stanovi
,
,
,
:

.

S druge strane, takva se brojka može izračunati uz pomoć sintetskog integrala:

,

de
- područje presijecanja ovog tijela s ravninom koja prolazi kroz točku a okomito na os
. Krhotine analize ukrštene s krivolinijskim trapezom
, okružen zvijeri s grafom funkcije
, de fiksni, i , onda

.

Z tsikh triokh jednakosti vyplivaê, scho

.

Od sada je izračun osnovnog integrala bio izračun dva sing integrala; pri izračunavanju "unutarnjeg integrala" (napisano u lukovima) biti nepromjenjiv.

Poštovanje. Možete li objasniti da je ostatak formule točan kada
, kao i na prvi pogled, ako funkcija
promijenite predznak naznačenog pravokutnika.

Prava dijela formule nazivaju se iterirani integral i označavaju se na sljedeći način:

.

Slično se može pokazati da

.

Nad izrečenim kukate

.

Preostala jednakost znači da rezultat integracije treba pasti u red integracije.

Da bismo pogledali najdublji nagib, uvedimo razumijevanje standardnog područja. Standardno (ili ispravno) područje koje je izravno dano osi naziva se takvo područje, za koje bi trebalo biti ravno, paralelno sa središtem osi, isprekidano između područja ne više, niže u dvije točke. Inače, čini se, prevrćući samu regiju, da je njezin kordon samo jedan povjetarac.

Prihvatljivo je da je regija okružena

koji je okružen zvijeri s grafom funkcije
, na dnu - graf funkcije
. Ajde R ( ,) - minimalni pravokutnik u kojem je položeno područje
.

Idi na područje
dodijeljena je ta neprekinuta funkcija
. Predstavimo novu funkciju:

,

slično ovlastima underwire integrala

.

ja, kasnije,

.

Oskílki vídrízok
pokriti područje
zatim, kasnije,
na


, ali ležati u vídrízkom položaju, zatim
.

S fiksnim možemo napisati:

.

Tada prvi i treći integral na desnoj strani integracije daju zbroj nuli

.

Otzhe,

.

Zašto je potrebno koristiti formulu za izračunavanje tekućeg integrala preko područja standardne osi
putem poveznice na ponovljeni integral:

.

regija Yakscho
ê standardna y ravna os
ona se pokazuje kao nedosljednosti ,

, slično, to se može dokazati

.

Poštovanje. Za regiju
, standardne y ravne osi
і
, bit će vicona

Za ovu formulu dolazi do promjene redoslijeda integracije i sata izračuna sublinearnog integrala.

Poštovanje.Čim područje integracije prestane biti standardno (ispravno) na obje koordinatne osi, ona se raspada na zbroj standardnih područja i predstavlja integral kao zbroj integracija u tim područjima.

kundak. Izračunajte tekući integral
po regiji
, okruženo linijama:
,
,
.

Riješenje.

Tsya područje je standardna jaka schodo os
, pa ja
.

Izračunavamo integral, uzimajući u obzir područje standardne osi
.

.

Poštovanje. Kako izračunati integral, uzimajući u obzir područje standardne osi
, uzimamo isti rezultat:

.

kundak. Izračunajte tekući integral
po regiji
, okruženo linijama:
,
,
.

Riješenje. Reprezentativno, regija integracije je dana malom.

Tsya područje je standardna os schodo
.

.

kundak. Promjena redoslijeda integracije za ponovljenu integraciju:

Riješenje. Zamislimo regiju integracije.

Od međuintegracijskih linija poznajemo linije koje zatvaraju područje integracije: ,
,
,
. Da bismo promijenili redoslijed integracije, možemo kao funkcije u i znamo točku prijelaza:

,
,
.

Dakle, na jednom od intervala, funkcija izražava se s dva analitička vira, tada se područje integracije mora podijeliti na dva područja, a ponovljeni integral poreza zbroj je dviju integracija.

.

1.1 Određivanje vertikalnog integrala

1.2 Dominacija podintegrala

Dominacija podintegrala (onog yogo visnovoka) analogna je dominaciji jednokratnog pjevnog integrala.

1°. Aditivnost. Ako je funkcija f(x, y) integrirana u domenu D i ako je domena D izvan dodatne krivulje G, područje nule je podijeljeno na dvije veze, a ako nema zajedničkih unutarnjih točaka domene D 1 i D 2, tada je funkcija f(x, y) integrirana u kožu iz područja D 1 i D 2, štoviše

2°. Linearna snaga. Kako su funkcije f(x, y) i g(x, y) integrabilne u prostoru D, ha? ja? - bili to brojevi govora, zatim funkcija [? f (x, y) + ? g (x, y)] također je integriran u domenu D, štoviše

3°. Kako su funkcije f(x, y) i g(x, y) integrabilne u domeni D, onda su dodatne funkcije tih funkcija integrabilne u D.

4°. Kako se funkcije f(x, y) i g(x, y) mogu integrirati u domenu D i križati f(x, y)? g(x, y), tada

5°. Budući da je funkcija f(x, y) integrirana domenom D, onda je ta funkcija |f(x, y)| integrirani u regiju D, štoviše

(Očito, integracija | f (x, y) | D ne pokazuje integraciju f (x, y) u D.)

6°. Teorem srednje vrijednosti. Iako su napadne funkcije f(x, y) i g(x, y) integrirane u domeni D, funkcija g(x, y) je nevidljiva (nepozitivna) posvuda u ovom krugu, M i m su točni gornje i donje granice funkcije f( x, y) u području D, tada postoji broj? koji zadovoljava neravnomjernost m? ? ? M i tako da formula vrijedi

Dakle, budući da je funkcija f(x, y) kontinuirana D, a domena D je povezana, onda u ovoj domeni postoji takva točka (?, ?), Što? = f(?, ?), a formula izgleda ovako

7°. Važna geometrijska snaga. dnevni prostor D

Neka je tijelo T (sl. 2.1) dano prostoru, ispod područja D, zvijeri - graf neprekinute i nevidljive funkcije) z \u003d f (x, y,) kako je dodijeljeno prostoru D, sa strane - cilindrična površina, izravna ê između područja D, i paralelne su s osi Oz. Tijelo ove vrste naziva se cilindrično tijelo.

1.3 Geometrijska interpretacija vertikalnog integrala

1.4 Razumijevanje okomitog integrala pravokutnika

Neka je dovoljna funkcija f(x, y) posvuda pridružena pravokutniku R = ? (div. sl. 1).

Ružmarin segment a? x? b za n parcijalnih odsječaka iza pomoćne točke a = x 0< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.

Zašto je cijepanje pomoću ravnih linija, paralelnih s osi Ox í Oy, cijepanje pravokutnika R na n · p djelomičnih pravokutnika R kl = ? (k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). U oznaci podjele pravokutnika R označava se simbolom T. Pod pojmom "pravokutnik" dali smo podjelu pravokutnika sa stranicama paralelnim s koordinatnim osama.

Na skin chastkovy pravokutnik Rkl, biramo punu točku (?k,?l). Stavljajući ?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1, značajno je kroz ?R kl površine pravokutnika R kl . Očito je ?R kl = ?x k ?y l .

naziva se integralni zbroj funkcije f(x, y), koji daje danu distribuciju T pravokutnika R i dani izbor međutočaka (? k, l) na parcijalnim pravokutnicima distribucije T.

Dijagonala se naziva promjer pravokutnika R kl . Simbol? Značajno najveći od promjera svih uobičajenih rektoreza R kl.

Broj I zove se granica integralnih suma (1) na? > 0, kako to može biti bilo koji pozitivan broj? možete li tako reći datum?, Što u?< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство

| ? - ja |< ?.

Funkcija f(x, y) se zove integrirana (prema Riemannu) na pravokutniku R, jer postoji konačna granica između I integralnih suma funkcije na? >0.

Označena granica I naziva se podintegral funkcije f(x, y) pomoću pravokutnika R i označava se jednim od sljedećih simbola:

Poštovanje. Dakle, kao i za jednokratni integral, utvrđuje se da je funkcija f(x, y) integrirana na pravokutniku R i da je na tom pravokutniku opisana.

To daje mogućnost da se gleda dalje od granice funkcija f(x, y).

Potencija subordiniranih integrala.

Dio snage podintegrala bez sredine izbija iz značenja čije razumijevanje te snage integralnih suma, ali sebe:

1. Što je funkcija f(x, y) integrirani u D, onda kf(x, y) tezh je integriran u ovaj galusi, štoviše (24.4)

2. Što je u okolici D integracijske funkcije f(x, y)і g(x, y), tada su te funkcije integrirane u ovu galeriju f(x, y) ± g(x, y), ja u

3. Kako se integrirati u regiju D funkcije f(x, y)і g(x, y) nerívníst f(x, y)≤g(x, y), onda

(24.6)

Dodajmo više snage pod-integralu:

4. Područje Yakscho D podijeljen u dvije regije D 1 ta D 2 bez svjetlećih unutarnjih točkica i funkcije f(x, y) neprekinuto u regiji D, onda

(24.7) Dovođenje . Integralni zbroj po regijama D možete vidjeti na prvi pogled:

de podjela regije D provedena na način da između D 1 ta D 2 se gradi između dijelova bitke. Prenijeti znoj do granice, a oduzeti jednakost (24,7).

5. U trenutku integracije na D funkcije f(x, y) ova je funkcija integrirana u moj galus | f(x, y) |, i maê mistse nerívníst

(24.8)

Dovođenje.

zvjezdice za pomoć na graničnom prijelazu u slučaju opsjednute nervoze (24.8.)

6. de S D– područje regije D. Dokaz koje tvrdnje se oduzima, zamjenjujući integralni zbroj f(x, y)≡ 0.

7. Još uvijek integrirani u regiju D funkcija f(x, y) utažuje nervozu

m ≤ f(x, y) ≤ M,

zatim (24.9)

Dovođenje.

Dokaz se provodi graničnim prijelazom s očitih neravnina

Posljedica.

Kako obuzdati sve dijelove nervoze (24.9) na D, možete uzeti takozvani teorem srednje vrijednosti:

Zokrema, za nesmetano funkcioniranje uma f u D postoji takva točka u regiji ( x 0, y 0), u yakíy f(x 0, y 0) = μ , onda

-

Druga formulacija teorema o srednjoj vrijednosti.

Geometrijski zmist donji integral.

Da vidimo tijelo V, okružen djelomičnom plohom, ono što se pita jednakima z = f(x, y), projekcija D tsíêí̈ površina po ravnini hu tabularna cilindrična ploha, odsječena od okomitih, koja svojim izbočinama spaja točke između ploha.

z = f(x, y)

V

g P i D sl.2.

Shukatimemo volumen tijela kao između zbroja volumena cilindara, čije su baze dijelovi Δ Si regije D, i po visinama - vídrízki zavdovka f(Pi), de bodova Pi laž Δ Si. Prolazak do granice s, otrimaemo, scho

(24.11)

koji je pod utjecajem integrala tzv. cilindra, okruženog zvijeri na površini z = f(x, y), a ispod - područje D.

Izračunavanje podcrtanog integrala putem yoge veze do drugog.

Perspektivno područje D, obrubljena linijama x=a, x=b(a< b ), de φ 1 ( x) i φ 2 ( x) bez pauze na [ a, b]. Zatim neka bude ravna, paralelna s koordinatnom osi na i prolaze kroz unutarnju točku područja D, prelazeći kordon regije na dvije točke: N 1 ta N 2 (slika 1). Nazovimo ovo područje ispraviti u na-

na ispravna osovina O na. Slično tome, jest

y=φ 2 (x) postoji područje koje je točno u ravnoj liniji

N 2 osi O x. Regija, točno u izravnom

Níí obje koordinatne osi, hoćemo

D samo nazovi kako treba. Na primjer,

Ispravno područje prikazano je na sl.1.

y=φ 1 (x) N 1

O a b x

Ajde funkcija f(x, y) neprekinuto u regiji D. Pogledajte Viraz

, (24.12)

rang dvorazovym integral vrsta funkcije f(x, y) po regiji D. Izračunajmo unutarnji integral (stojeći na krakovima) promjenom na, bez obzira na x postiynim. Kao rezultat, vidimo neprekinutu funkciju pogled x:

Otrimanu funkcija je integrabilna za x između a prije b. Kao rezultat, uzimamo broj

Donosimo važnu moć yard-wise integrala.

Teorem 1. regija Yakscho D, ispravite ravno naprijed na, podijeljen u dva područja D 1 ta D 2 ravno, paralelna os profesionalac na oko osi O x, zatim dvorazovy integral nad regijom D više zbrojeva istih integrala po regijama D 1 ta D 2:

Dovođenje.

a) Samo naprijed x = c pauze D na D 1 ta D 2, ravno naprijed na. Todi

+

+

b) Idite ravno naprijed y=h pauze D s desne strane ravno na regije D 1 ta D 2 (slika 2). Značajno kroz M 1 (a 1 , h) to M 2 (b 1 , h) točke križnice pravca y=h od kordona L regije D.

g Regija D 1 okružen neprekinutim linijama

y=φ 2 (x) 1) y=φ 1 (x);

D 2 2) krivulja ALI 1 M 1 M 2 Na, jednako onome što zapišemo

hM 1 M 2 y=φ 1 *(x), de φ 1 *(x) = φ 2 (x) na a ≤ x ≤ a 1 ta

A 1 D 1 Bb 1 ≤ x ≤ b, φ 1 *(x) = h na a 1 ≤ x ≤ b 1 ;

3) ravno x = a, x = b.

Regija D 2 okružena linijama y=φ 1 *(x),

A y= φ 2 (x),a 1 ≤ x ≤ b 1 .

y=φ 1 (x) Unutarnjem integralu možemo dokazati teorem o

probijanje integracije:

O a a 1 b 1 b

+

Dajmo još jedan s otrimanih íntegraív v vyglyadí sumi:

+ + .

Oskilki φ 1 *(x) = φ 2 (x) na a ≤ x ≤ a 1 ta b 1 ≤ x ≤ b, Prvi i treći oduzimaju integrale i izjednačuju se s nulom. Otzhe,

I D = , zatim .

Glavna snaga podintegrala

Dominacija podintegrala (onog yogo visnovoka) analogna je dominaciji jednokratnog pjevnog integrala.

1°. Aditivnost. Koja je funkcija f(x, g) integrirani u regiju D i kao područje D za krivulju pomoći G nulto područje je podijeljeno u dvije veze i ne prigušuje visoke unutarnje točke regije D 1 ta D 2 , zatim funkcija f(x, g) integrirana u područja kože D 1 ta D 2, štoviše

2°. Linearna snaga. Koje funkcije f(x, g) to g(x, g) integracija u području D, a α і β - bili to brojevi govora, zatim funkcija [ α · f(x, g) + β · g(x, g)] također je integriran u regiju D, štoviše

3°. Koje funkcije f(x, g) to g(x, g) integracija u području D, tada su dodatne funkcije tih funkcija integrirane u D.

4°. Koje funkcije f(x, g) to g(x, g) ofenzivna integracija u regiji D i posvuda u mojoj galeriji f(x, g) ≤ g(x, g), zatim

5°. Koja je funkcija f(x, g) integrirani u regiju D, te funkcije | f(x, g)| integrirani u regiji D, štoviše

(Naravno, uz integraciju | f(x, g)| u D ne pokazujući integraciju f(x, g) u D.)

6°. Teorem srednje vrijednosti. Kakva uvredljiva funkcija f(x, g) to g(x, g) integracija u području D, funkcija g(x, g) je nevidljiv (nepozitivan) posvuda u ovoj galeriji, Mі m- točne gornje i donje granice funkcije f(x, g) u regiji D, onda postoji broj μ koji zadovoljava nervozu m ≤ μ ≤ M a tako da formula vrijedi

POKRETNI INTEGRALI

predavanje 1

Trajni integrali.Svrha podvodnog integrala je snaga. Ponovljene integracije. Veze nižih integrala na ponovljene. Postavljanje između integracije. Izračun temeljnih integrala Kartezijevog koordinatnog sustava.

Subintegral je produbljivanje razumijevanja inte- grala u različitim funkcijama dviju varijabli. Na taj će način obrnuto integriranje biti prisutno kao ravna figura.

dođi D- Dejaka je zatvoreno, omeđeno područje, i f(x,y) - dovoljna funkcija, istaknula je ova galerija. Pretpostavimo da između regija D zbrajaju se iz konačnog broja krivulja, koje su dali jednaki umovi g=f(x) ili x=g( g), de f(x) to g(g) su neprekinute funkcije.

Rozib'ëmo regija D pristojan rang na n dio. područje ja-í̈ delyanki ima značenje simbolom D s i. Na koži dilyantsi, prilično vibra je točka pi, I maknimo se odatle u bilo kojoj fiksaciji Kartezijevog sustava koordinata ( x i ,y i). Sklademo integralni zbroj za funkciju f(x,y) po regiji D, za koju je vrijednost funkcije poznata u svim točkama Pi, množeći ih s površinom dvostrukih ploha Ds ja I pretpostavljamo da su svi rezultati oduzeti:

Nazvemo promjer(G) područja G najveća udaljenost između graničnih točaka regije.

Sastavni funkcije f(x,y) u području D naziva se granica, u kojoj mjeri niz integralnih suma (1.1) uz neograničeno povećanje broja prekida n (kod koga). Zapiši ovako

Dragi, scho, vzagali naizgled, integralni iznos za postavljene funkcije i zadano područje integracije D odaberite točku Pi. Prote yakshcho podviyny ísnuê ísnuê, tse znači, da između vídpovídíkh íntegralny zbrojeva nije moguće ležati između imenovanih chinnikív. U redu(ili, kako se čini, opća funkcija f(x,y) integrirana u domenu D), dovoljno je da je integralna funkcija bool neprekidan na integraciji galerije zadataka.

Ajde funkcija f(x,y) integrirani u regiju D. Krhotine između kumulativnih zbrojeva za takve funkcije ne mogu se akumulirati metodom cijepanja područja integracije, cijepanje se može izvesti uz pomoć okomitih i vodoravnih linija. Todí više gospodarstvenika regije D matime ravnog kroja izgleda, područje takvog dorivnuê D s i=D x i D y i. Stoga se diferencijal površine može napisati kao ds=dxdy. Otzhe, u kartezijevom koordinatnom sustavu pod integralima možete zapisati na vidiku

Poštovanje. Kao funkcija integrand f(x,y)º1, tada je podintegral površine regije integracije:

Značajno je da podcrtane integracije mogu biti iste snage, kao i pojedinačno integrirane. Djela njihova su značajna.

Potencija subordiniranih integrala.

1 0 .Linearna snaga. Integral zbroja funkcija drugog zbroja integrala:

a konstantni množitelj može se okriviti za predznak integrala:

2 0 .Dodatna snaga. Budući da je područje integracije D podijeljeno na dva dijela, tada je subintegral potpuniji od zbroja integracija preko kožnog dijela:

3 0 .Srednji teorem. Koja je funkcija f( x,y)je kontinuirana u području D, onda postoji takva točka u galeriji(x, h) , što:

Daljnja post prehrana: kako se izračunavaju subintegrali? Yogo se može virahuvati približno, s ovom metodom je slomljen učinkovite metode presavijeni zbrojevi kumulativnih zbrojeva, koji se zatim numerički izračunavaju s dodatnim EOM-om. Analitičkim izračunom subintegrala, oni se svode na dva jednostruka integrala.