Vidite matricu te joge moći. Matrice. Prijeđite preko matrica. Dominacija operacija na matricama. Vidi matricu. Operacije savijanja i vizualizacije matrica

Matrice. Prijeđite preko matrica. Dominacija operacija na matricama. Vidi matricu.

Matrice može biti važna vrijednost u primijenjenoj matematici, koju je dopušteno napisati u jednostavnom obliku značajnog dijela matematički modeli objekata i procesa. Pojam "matrica" ​​pojavio se 1850. godine. Prije su se matrice pogađale u drevnoj Kini, kasnije u arapskim matematičarima.

Matrica A=Amn red m * n se zove pravocrtna tablica brojeva.

Elementi matrice aij, za koje se i=j nazivaju dijagonale i glavna dijagonala.

Za kvadratnu matricu (m=n), dijagonalu glave čine elementi a 11 , a 22 ,..., a nn .

Rivnistove matrice.

A=B samo redoslijed matrica Aі B međutim, to a ij = b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Prijeđite preko matrica.

1. Zbrajanje matrica - operacija element po element

2. Prikaz matrica - rad element po element

3. Dodavanje matrice broju je operacija element po element

4. Višestruki A*B matrica po pravilu red na vrhu(broj stupaca u matrici A može biti jednak broju redaka u matrici B)

Amk * Bkn = Cmn zašto element kože h ij matrice Cmn zbrojite zbroj elemenata i-tog retka matrice A i ostalih elemenata j-tog stupca matrice B, tobto.

Prikažimo operaciju množenja matrica na primjeru

5. Karike na nogama

m>1 stanica datum. A je kvadratna matrica (m=n) tobto. relevantan za kvadratne matrice

6. Transpozicija matrice A. Transponirana matrica se označava s A T ili A

Redovi i stupci bili su obilježeni po misijama

kundak

Moć operacija na matricama

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

Vidi matrice

1. Pravokutni: mі n- prilično pozitivne brojke

2. Kvadrat: m=n

3. Redak matrice: m=1. Na primjer, (1 3 5 7) - za mnoge praktične zadatke, takva matrica se naziva vektor

4. Matrica Stovpets: n=1. Na primjer

5. Dijagonalna matrica: m=nі a ij = 0, Kao i≠j. Na primjer

6. Samostalna matrica: m=nі

7. Nulta matrica: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Triko matrica: svi elementi ispod dijagonale naslova zbroje se do 0.

9. Simetrična matrica: m=nі a ij = a ji(da stoje jednaki elementi na simetričnim dijagonalama glave), a također A"=A

Na primjer,

10. Zakrivljena matrica: m=nі a ij =-a ji(Zato se na simetričnim glavnim dijagonalama nalaze protilenski elementi). Također, na dijagonali glave stoje nule (jer sa i=j može biti a ii =-a ii)

razumijem A"=-A

11. Hermitska matrica: m=nі a ii =-ã ii (ã ji- složeno - primljeno do a ji, onda. yakscho A=3+2i, zatim složeno - dobiveno Ã=3-2i)

Voditelj linearne algebre. Koncept matrice. Vidi matricu. Operacije s matricama. Razv'yazannya zadaci za transformaciju matrica.

U slučaju različitih matematičkih zadataka, majka se često dovodi desno s tablicama brojeva, koje se nazivaju matrice. Za dodatne matrice, ručno revidirati sustav linearnih poravnanja, revidirati bogate operacije s vektorima, revidirati različite zadatke računalne grafike i druge inženjerske zadatke.

Matrix se zove pravocrtna tablica brojeva, što osvetiti sprat m ryadkív ta deyaka kílkíst P stoptsiv. Brojke tі P nazivaju se matrični redovi. U isto vrijeme t = P, matrica se naziva kvadrat, a broj m = n- je u redu.

Nadal za snimanje matrica bit će blokiran ili dvostrukim grebenima ili okruglim lukovima:

Abo

Za kratku vrijednost matrice često ćete koristiti jedno veliko latinično slovo (na primjer A) ili simbol || a ij ||, a ponekad i s ružinim objašnjenjima: ALI = || a ij || = (aij), de (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n).

Brojke aij, koji ulaze u skladište date matrice, nazivaju se njeni elementi. Na postu aij prvi indeks і znači broj retka, a drugi indeks j- Broj stanice. U kvadratnoj matrici

(1.1)

uvesti pojmove glave i bočne dijagonale. Dijagonala glave matrice (1.1) naziva se dijagonala od 11 do 12 … ann ono što ide od gornjeg lijevog kuta matrice do donjeg desnog kuta matrice. Bočna dijagonala iste matrice naziva se dijagonala a n 1 a (n -1) 2… a 1 n ,šo ići od lijevog donjeg kuta do desnog gornjeg kuta.

Glavne operacije na matricama su one snage.

Prijeđimo na definiciju glavnih operacija na matricama.

Zbrajanje matrica. Sumy dvije matrice A = | a ij || , de і B = | | b ij || , de (i = 1, 2, ..., t, j = 1, 2, ..., n) jedan te isti poredak tі P zove se matrica C = || h ij || (i = 1,2, ..., t; j = 1, 2, ...., n) tihi red tі P, elementi h ij koji su dodijeljeni formuli

, de (i = 1, 2, ..., t, j = 1, 2, ..., n)(1.2)

Da bi se razumio zbroj dviju matrica, pravi se zapis Z \u003d A + U. Operacija presavijanja zbroja matrica naziva se njihovim presavijanjem. Otzhe, za imenovane:

+ =

Iz oznake zbroja matrica, odnosno iz formula (1.2), implicira se da operacija savijanja matrica može imati snagu, da operacija savijanja realnih brojeva i sama:

1) prebacivanje ovlasti: A + B = B + A,

2) s dobrom snagom: ( A + B) + C = A + (B + C).

Tsí vlasti ne dopuštaju dbati o redoslijedu prolaska dodatnih matrica prilikom presavijanja dva ili veći broj matrice.

Množenje matrice brojem. Dodatna matrica A = || a ij || , De (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) u govoru se broj l naziva matrica Z = | | h ij || (i = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n) elementi koji su dodijeljeni formuli:

, de (i = 1, 2, ..., t, j = 1, 2, ..., n)(1.3)

Za prepoznavanje izrade matrice za broj, sastavlja se zapis Z \u003d l A ili Z \u003d A l. Operacija zbrajanja stvaranja matrice broju naziva se množenje broja matrice.

Iz formule (1.3) jasno je da množenje matrice brojem može imati istu snagu:

1) s dobrom snagom poput numeričkog množitelja: (l m) A = l (m A);

2) rozpodílnoyu matrice zbroja snage shkodo: l (A + B) = l A + l B;

3) rozpodílnoyu snage shkodo sumi brojevi: (l + m) A = l A + m A

Poštovanje. Maloprodaja dvije matrice ALIі Na istim redom tі P prirodno nazvati takvu matricu W tihi red tі P, yak u sumí z matrix B daje matricu A. Za određivanje razlike između dviju matrica koristi se prirodni zapis: Š = A - Art.

Lako se zbuniti u onome što je drugačije W dvije matrice ALIі Na mozda buti otrimana za pravilo C \u003d A + (-1) B.

TV matrica ili množenje matrice.

Dobootcom Matrix A = | a ij || de (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) maê narudžbe, vídpovídno jednako tі n, na matricu B = | | b ij || , de (i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., p), maê narudžbe, vídpovídno jednako nі R, nazvana matrica Z = | | h ij || (i = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., p), scho maê narudžbe, vídpovídno jednako tі R elementi koji su dodijeljeni formuli:

de (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., p)(1.4)

Za znanje o stvaranju matrice ALI na matricu Na vicorist rekord C = A × B. Operacija savijanja matrice ALI na matricu Na naziva se množenje matrica.

Iz formuliranog vishche vznachennya viplivaê to matrica A se ne može pomnožiti matricom, potrebno je, schob broj stupaca matrice ALI više od broja redova u matrici Umjetnost.

Formula (1.4) je pravilo savijanja elemenata matrice C, što je stvaranje matrice ALI na matricu Umjetnost. Ovo se pravilo može usmeno formulirati: element c i j, koji stoji na sjecištu i-tog retka i j-tog stupca matrice C = AB, zbraja zbroj parnih kreacija istih elemenata u i-tom retku matrice A i j-tom stupcu matrice C = AB. matrica B.

Kao primjer postavljanja zadanog pravila uvodimo formulu za množenje kvadratnih matrica različitog reda.

× =

Formule (1.4) odišu takvom snagom za stvaranje matrice ALI na matricu NA:

1) dobra snaga: (AB) C = A (BC);

2) rozpodílna schodo sumi matrice snage:

(A + B) C = AC + BC ili A (B + C) = AC + AC.

Prehrana o permutaciji (premještanju) snage na stvaranje matrice A na matricu Na postaviti više smisla za kvadratne matrice A i B isti redoslijed.

Donesimo važne okremí vpadki matrice, za koje je fer i permutacija snage. Dvije matrice za stvaranje onih koji s pravom permutaciju vlasti, uobičajeno je zvati commuting.

Sredina kvadratnih matrica može se promatrati kao klasa dijagonalnih matrica, u koži ovih elemenata, ušivanje položaja dijagonale glave je jednako nuli. Dijagonalna matrica kože po redu P može izgledati

D= (1.5)

de d1, d2,… ,dn-yakí zavgodno brojevi. Lako je bačiti, da su brojevi među sobom jednaki, t j . d1=d2=… = d n onda za bilo koju kvadratnu matricu ALI narudžba P pravda je poštena A D = D A.

Sredine dijagonalnih matrica (1.5) sastavljene su od elemenata d1=d2=… = d n = = d Posebno važnu ulogu imaju dvije matrice. Prva od ovih matrica izlazi na d=1 nazvana matrica identiteta n e. Još jedna matrica za ulazak d=0 nazvana nulta matrica n reda, označava se simbolom Oh na takav način,

E= O=

Na temelju navedenog A E = E Aі AO = PRO A.Štoviše, to je lako pokazati

A E \u003d E A \u003d A, A O \u003d O A \u003d 0. (1.6)

Prva od formula (1.6) karakterizira posebnu ulogu jednostruke matrice E, slično vašoj ulozi, kao da igrate broj 1 kada množite prave brojeve. Koja je posebna uloga nulte matrice o, onda ne samo da pokazuje prijatelja formula (1.7), već i jednakost, koja je elementarno obrnuta

A+0=0+A=A.

Zaključno, vrijedno je poštovanja što se razumijevanje nulte matrice može uvesti za nekvadratne matrice (nula se naziva be-yaku matrica čiji su svi elementi jednaki nuli).

blok matrice

Recimo da Deakova matrica A = | a ij || uz pomoć vodoravnih i okomitih ravnih linija, razbijena je u okremí ravno izrezane stanice, koža s matricom manjih veličina i naziva se blokom vanjske matrice. U takvom vremenu razlog je sposobnost gledanja vanjske matrice. ALI poput nove (tzv. blok) matrice ALI = || A a b ||, elementi čiji su blokovi dodijeljeni. Oznake elemenata označavaju se velikim latiničnim slovom, subskript, ono što smrdi, vzagali prividno, matrice, a ne brojevi í (kao primarni numerički element) snabdijevaju se dvama indeksima, od kojih prvi označava broj red bloka, a drugi - broj bloka.

Na primjer, matrica

možete izgledati kao blok matrica

elementi poput ovih blokova:

Čudna je činjenica da glavne operacije s blok matricama slijede ista pravila, iza kojih smrad slijedi najznačajnije numeričke matrice, blokovi igraju ulogu elemenata.

Vizionarski koncept.

Pogledajmo lijepu kvadratnu matricu, bez obzira kojim redoslijedom P:

A= (1.7)

S takvom matricom kože povezujemo jednu numeričku karakteristiku, ja to zovem označitelj, istaknuti broj matrice.

Kako red n matrice (1.7) jednake 1, tada je ta matrica sastavljena od jednog elementa a ja j je označitelj prvog reda koji odgovara takvoj matrici, zovemo vrijednost elementa.

tada se znak drugog reda, koji pokazuje takvu matricu, naziva brojem koji je više a 11 a 22 - a 12 a 21 i označen je jednim od simbola:

Oče, za imenovane

(1.9)

Formula (1.9) je pravilo presavijanja varijable u drugačiji redoslijed nakon elemenata slične matrice. Verbalna formulacija ovog pravila je sljedeća: označitelj drugačijeg reda, druga matrica (1.8), skuplji maloprodajni dodatak elemenata, koji bi trebao stajati na dijagonali glave matrice, i dodatak elemenata, koji treba stajati na sekundarnoj dijagonali. Vođe drugog i višeg reda znaju široku zastosuvannya u satu savršenstva sustava linearnih linija.

Pogledajmo, kako namignuti operacije s matricama u sustavu MathCad . Najjednostavnije operacije matrične algebre MathCad implementira kao operatore. Pisanje operatora iza kulisa je što je moguće bliže izvornoj matematičkoj funkciji. Operator kože izražen je istim znakom. Pogledajmo matrične i vektorske operacije MathCad-a 2001. n x 1, Dakle, za njih vrijede sve operacije, kao i za matrice, koje nisu posebno zasićene (na primjer, takve operacije su ograničene samo na kvadratne matrice) n x n). Yakís díí dopušten samo za vektore (na primjer, skalarni twir), a yakís, bez obzira na isto pisanje, na drugačiji način na vektore i matrice.

Za dijalog odredite broj redaka i stupaca matrice.

q Kada se pritisne tipka OK, prikazuje se polje za unos elemenata matrice. Za unos elementa matrice, postavite pokazivač na oznaku pozicije i unesite broj ili broj puta s tipkovnice.

Da biste vikonate kao operaciju za dodatnu alatnu traku, trebate:

q pogledajte matricu i kliknite na ploči na gumb za rad,

q ili kliknite na gumb na panelu i unesite naziv matrice na poziciju vrijednosti.

Izbornik "Simboli" ima tri operacije - transpozicija, inverzija, oscilator.

Tse znači, na primjer, da možete izračunati indeks matrice upisivanjem naredbe Simboli/Matrice/Potpis.

Broj prvog retka (i prvog stupca) MathCAD matrice uzet je iz promjene ORIGIN. Za promocije obračun se vodi od nule. U matematičkoj notaciji često je uobičajeno zadržati vrijednost unosa 1. U MathCAD-u je broj redaka i stupaca unosa 1, potrebno je postaviti vrijednost promjene ORIGIN:=1.

Funkcije dodijeljene robotima iz rutina linearne algebre odabiru se u odjeljku "Vektori i matrice" dijaloškog okvira "Umetni funkciju" (vjerojatno se klikne gumbom na ploči "Standardi"). Njihove glavne funkcije bit će opisane u nastavku.

Transpozicija

Slika 2 Transpozicija matrice

MathCAD može dodati matrice, tako da ih možete vidjeti jednu po jednu. Za ove operatore crtaju se simboli <+> ili <-> očito. Matrice zbog majke istoga mira, inače ćete vidjeti podsjetnik o oprostu. Element kože je zbroj dviju matrica i zbroj ostalih elemenata matrica-adicija (straž na sl. 3).
Savijanje matrice, MathCAD podržava operaciju dodavanja matrice sa skalarnom vrijednošću, tobto. broj (zadnji sl. 4). Skin element rezultirajuće matrice jednak je zbroju izlaznog elementa matrice i skalarne vrijednosti.
Za unos simbola množenja potrebno je pritisnuti tipku sa zirochkom<*>ili ubrzati alatnu traku Matrica (Matrix), pritiskom na tipku točkasti umnožak (množenje)(Sl. 1). Množenje matrice označeno je točkom kratice, kao što je prikazano u dodatku na slici 6. Simbol množenja matrice može se odabrati na isti način kao i u skalarnim izrazima.
Drugi primjer, koji se može pomnožiti vektorom s redom matrice i, sada, redovi s vektorom, prikazan je na sl. 7. U drugom redu koji primjer pokazuje kako formula izgleda kada odaberete operator množenja Nema mjesta (zajedno). Međutim, isti operator množenja dijeli na dva vektora i to na drugačiji način .

Slične informacije.

Matrice. Vidi matricu. Operacije na matricama i joga moći.

Signifikantna matrica n-tog reda. N, Z, Q, R, C,

Matrica reda m * n naziva se pravokutna tablica od s brojeva, koji se mogu zamijeniti s m-redova i n - stupaca.

Rivnistove matrice:

Dvije matrice nazivamo jednakima jer je broj redaka i stupaca jedne od njih jednak broju redaka i stupaca druge i druge. el-ti tsikh matrice jednake.

Napomena: El-ty, yakí mogu imati iste indekse, ê vídpovídnimi.

Vidi matricu:

Kvadratna matrica: matrica se naziva kvadratnom, jer je broj redaka jednak broju stupaca.

Pravokutna: matrica se naziva pravokutna, jer broj redaka nije jednak broju stupaca.

Matrica reda: Matrica 1 * n (m = 1) može izgledati kao a11, a12, a13 i naziva se matrica reda.

Matrix stuppets:………….

Dijagonala: dijagonala kvadratne matrice, koja ide od gornjeg lijevog kuta do donjeg desnog kuta, koju čine elementi a11, a22 ... - naziva se dijagonala glave. (definicija: četvrtasta matrica sa svim elementima koji zbrojem daju nulu, krem ​​je miran, koji je raspoređen po dijagonali glave, naziva se dijagonalna matrica.

Sam: dijagonalna matrica naziva se jednostruka, jer su svi elementi postavljeni na dijagonalu glave i dodaju 1.

Gornji trikot: A = | | aij | | naziva se gornja triko matrica, pa je aij=0. Misli i>j.

Donji trikot: aij=0. ja

Nula: ce matrica El-ty kao dobra 0.

Operacije na matricama.

1. Transpozicija.

2. Množenje matrice brojem.

3. Preklopne matrice.

4. Množenje matrica.

Glavni sv-va podíí̈ nad matricama.

1.A+B=B+A (komutativnost)

2.A+(B+C)=(A+B)+C (asocijativnost)

3.a(A+B)=aA+aB (distributivnost)

4.(a+b)A=aA+bA (distributer)

5.(ab)A=a(bA)=b(aA) (asoots.)

6.AB≠BA (dan kome.)

7.A(BC)=(AB)C (pridruženo) Virobiv matrice su pobjedničke.

8.A(B+C)=AB+AC (razvodnik)

(B+C)A=BA+CA (distributer)

9.a(AB)=(aA)B=(aB)A

Označitelj kvadratne matrice je oznaka te joge moći. Raspored vyznachnika u redovima i redovima. Načini izračunavanja nominiranih.

Ako matrica ima red m>1, tada je označitelj te matrice broj.

Algebarski dodaci Aij el-ta aij matrica A naziva se minor Mij, množenja brojem

TEOREM 1: Značajna matrica A je dobar zbroj kreacija svih elemenata dovoljnog retka (stovptsya) s njihovim algebarskim dodacima.

Glavne ovlasti imenovanih.

1. Označivač matrice ne mijenja se u trenutku transpozicije.

2. Prilikom preslagivanja dva reda (stovptsiv), označitelj mijenja znak, ali se apsolutna vrijednost yoga ne mijenja.

3. Signifikantna matrica koja može imati dva identična retka (stowpts) jednaka 0.

4. Prilikom množenja retka (stovptsya) matrice s brojem ji, označitelj se množi s cijelim brojem.

5. Ako je jedan od redaka (stanica) matrice dodan 0, tada je indeks retka matrice jednak 0.

6. Iako su svi elementi i-tog retka (stowptsya) matrice predstavljeni promatranjem zbroja dviju dodatnih matrica, tada se isti znak može podnijeti gledanjem zbroja zbroja dviju matrica.

7. Imenovani se ne mijenja, tako da se elementima jednog stupca (retka) ispred množine doda još jedan element drugog stupca (retka). za isti broj.

8. Zbroj najvažnijih elemenata sljedećeg stupca (reda) voditelja na vrhu algebre elemenata sljedećeg stupca (reda) jednak je 0.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif" width="46" height="27">

Metode za izračunavanje glavnice:

1. Za definiciju chi prema teoremu 1.

2. Doveden do triko izgleda.

Značaj te snage okretne matrice. Izračun matrice prometa. Poravnanje matrice.

Oznaka: Kvadratna matrica reda n naziva se stožer matrice i istog reda i je dodijeljen

Da bi se matrica A temeljila na obrnutoj matrici potrebno je i dovoljno da ishodište matrice A bude 0.

Dominacija središnje matrice:

1. Jedinstvo: za matricu A ji reverzibilno - jedinstvo.

2. matrični označitelj

3. Operacija uzimanja transpozicije i uzimanja matrice rotacije.

Poravnanje matrice:

Neka su A i B dvije kvadratne matrice istog reda.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif" width="163" height="11 src=">

Razumijevanje linearnosti i neovisnosti stupaca matrice. Dominacija linearne zablude i linearna neovisnost sustava partnera.

Stovptsí A1, A2 ... An se nazivaju linearno ugar, jer to nije trivijalna linearna kombinacija, koja je bliža 0. stupcu.

Stupci A1, A2 ... An nazivaju se linearno nezavisnima, jer nisu trivijalna linearna kombinacija, koja je jednaka 0. stupcu.

Linearna kombinacija se naziva trivijalnom, jer su svi koeficijenti S(l) jednaki 0 ​​i nisu trivijalni na drugačiji način.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif" width="88" height="24">

2. da bi stupci bili linearno ugar, potrebno je i dovoljno, tako da oni moraju biti linearna kombinacija drugih stupaca.

Donesite 1 od stupaca s linearnom kombinacijom drugih stupaca.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif" width="79" linearno ugar, onda su svi stupci linearno ugar.

4. Kao što je sustav pragova linearno neovisan, tako je li podsustav i sam linearno neovisan.

(Sve što je rečeno o stovptsiv vrijedi i za redove).

Minori matrice. Osnovni mol. Rang matrice. Metoda je uokvirena minorima u izračunu ranga matrice.

Minor reda matrice A je označitelj elementa nekog sortiranja na stazi redaka i stupaca matrice A.

Ako su svi minori th reda matrice A = 0, onda postoji li minor reda do +1 ili čak 0.

Osnovni mol.

Rang matrice A je red baznog minora.

Metoda za okvir minora: - Odaberemo element različit od nule matrice A (ako ne postoji takav element, tada je rang A = 0)

Uokviren je molom prednjeg 1. reda molom 2. reda. (Ako ovaj minor nije jednak 0, tada je rang >=2) Ako je rang prvog minora 0, tada su vibracije minora 1. reda uokvirene drugim minorima 2. reda. (Ako su svi minori 2. reda = 0, tada je rang matrice = 1).

Rang matrice. Metode za određivanje ranga matrice.

Rang matrice A je redoslijed th osnovnog minora.

Metode izračuna:

1) Metoda obrubljivanja minora: - Odaberite element koji nije nula matrice A (ako takvog elementa nema, tada je rang = 0) - Uokvirite minor 1. reda naprijed s minorom 2. reda.. gif" width="40" >r+1 Mr +1=0.

2) Dovođenje matrice u postupni izgled: ova se metoda temelji na elementarnim transformacijama. Elementarnim transformacijama mijenja se rang matrice.

Sljedeće transformacije nazivamo elementarnim transformacijama:

Permutacija dva reda (stovptsiv).

Množenje svih elemenata broja deyago stovptsya (redova) nije =0.

Dodatak svim elementima sljedećeg retka (reda) elemenata sljedećeg retka (reda), naprijed pomnožen istim brojem.

Teorem o osnovnom minoru. Da je za jednakost nule označitelja potrebna dovoljna inteligencija.

Osnovni minor matrice A je minor najvećeg pred-tog reda dominantnog pogleda 0.

Bazni manji teorem:

Osnovni redovi (stovpts) su linearno neovisni. Je li redak (stovpets) matrice A linearna kombinacija osnovnih redaka (stovptsiv).

Redovi i stupci na čijoj mrežnici stoje osnovni minori nazivaju se bazično osnovnim redovima i stupcima.

a11 a12… a1r a1j

a21 a22….a2r a2j

a31 a32….a3r a3j

ar1 ar2 ….arr arj

ak1 ak2…..akr akj

Nužan i dovoljan um da bude jednak nuli označitelja:

U tu svrhu, vođa n-tog reda = 0, potrebno je i dovoljno, da redovi (stowpts) budu linearno ugar.

Sustavi linearnih vodova, njihova klasifikacija i oblik zapisa. Cramerovo pravilo.

Pogledajmo sustav 3-linearnih linija iz tria nevidomimi:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif" alt="(!LANG:(!LANG:l14image048" width="64" height="38 id=">!}!}

naziva arbitrom sustava.

Dodajemo još tri vođe u sljedećem rangu: zamjenjujemo redom D u nizu 1, 2 i 3 stupova stupa slobodnih članova

https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif" alt="(!LANG:(!LANG:l14image052" width="93" height="22 id=">!}!}

Dovođenje. Kasnije, pogledajmo sustav 3 jednaka iz tria nevídomimi. Množimo 1. poravnanje sustava dodavanjem algebre A11 elementa a11, 2. poravnanje s A21 i 3. s A31:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif" alt="(!LANG:(!LANG:l14image056" width="247" height="31 id=">!}!}

Pogledajmo kožu okova i desni dio tsy jednak. Prema teoremu o rasporedu arbitra za elemente 1. stupca

https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif" alt="(!LANG:(!LANG:l14image060" width="324" height="42 id=">!}!}

Slično, može se pokazati da i .

Nareshti se ne sjeća toga

Otzhe, otrimuemo ljubomora:.

Otac,.

Slično, prikazana je ekvivalencija i zvijezde i učvršćivanje teorema.

Sustavi linearnih linija. Umovljevo zbrajanje linearnog rivnjana. Kronecker-Capellijev teorem.

Rješenjem sustava algebarskih jednadžbi naziva se takva množina od n brojeva C1,C2,C3……Cn, da se pri potvrđivanju y sustav nalazi na prostoru x1,x2,x3…..xn

Sustav linearnih poravnanja algebre naziva se zajedničkim sustavom, kao da ne može imati jedno rješenje.

Split sustav se zove pjevanje, jer postoji samo jedno rješenje, a ono je nevidljivo, jer postoji bezlično rješenje.

Wash zbrajanje sustava linearnih algebarskih pravaca.

a11 a12 ……a1n x1 b1

a21 a22 ……a2n x2 b2

……………….. .. = ..

am1 am2…..amn xn bn

TEOREM: Da bi sustav od m linearnih poravnanja s n bio nepromjenjivo koherentan, potrebno je i dovoljno, da se rang proširene matrice poveća na rang matrice A.

Napomena: Ovaj teorem daje više od kriterija za osnovu rješenja, ali ne ukazuje na metodu traženja rješenja.

10 obroka.

Sustavi linearnih linija. Metoda osnovnog minora je divlji način ispitivanja svih rješenja linearnih sustava poravnanja.

A=a21 a22…..a2n

Osnovna sporedna metoda:

Neka je sustav spilna da je RgA=RgA'=r. Navedite osnovni minor natpisa u gornjem lijevom kutu matrice A.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="23" height="23 src= ">......gif" width="22" height="23 src=">......gif" width="46" height="23 src=">-…..-a

d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n)

… = …………..

Dr br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n)

https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" width="33" height="22 src=">

Ako je rang glavne matrice i analizirane matrice r=n, tada u ovom slučaju dj=bj í sustav ima samo jedno rješenje.

Uniformni sustavi pravocrtnih linija.

Sustav linearnih jednakosti algebre naziva se homogenim, jer su svi njegovi slobodni članovi jednaki nuli.

AX=0 – homogeni sustav.

AX \u003d B je heterogeni sustav.

Homogeni sustavi za svaku spavaću sobu.

X1 = x2 = .. = xn = 0

Teorem 1.

Homogeni sustavi mogu imati heterogena rješenja, ako je rang matrice sustava manji od broja nehomogenih.

Teorem 2.

Homogeni sustav n-linearnih jednadžbi s n-nepotpunim maê nula rješenja, ako je predznak matrice A jednak nuli. (detA=0)

Snaga rozvyazkív odnorodnyh sustava.

Bilo da se radi o linearnoj kombinaciji rješenja homogenog sustava i rješenja sustava.

α1C1 +α2C2; α1 i α2 su realni brojevi.

A(α1C1 + α2C2) = A(α1C1) + A(α2C2) = α1(AC1) + α2(AC2) = 0, tj. k. (A C1) = 0; (AC2) = 0

Za heterogeni sustav nema mjesta moći.

Temeljni sustav rješenja.

Teorem 3.

Budući da je rang matričnog sustava jednak n-neovisnom dorivnyu r, ovaj sustav može imati n-r linearno neovisnih rješenja.

Neka osnovni minor bude u gornjem lijevom kutu. Yakscho r< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr

C1 = (C11 C21 .. Cr1 , 1.0..0)

C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0)<= Линейно-независимы.

……………………..

Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr ,0, 0..1)

Sustav od n-r linearno neovisnih rješenja homogenog sustava linearnih jednadžbi s n-neovisnim rangovima r naziva se temeljni sustav rješenja.

Teorem 4.

Je li rješenje sustava linearnih poravnanja linearna kombinacija rješenja temeljnog sustava.

S = α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r

Yakscho r

12 obroka.

Zagalne rozvyazannya heterogeni sustav.

Spavanje (zag. nejednoliko.) \u003d Coo + Mid (privatno)

AX = B (heterogeni sustav); AX = 0

(ASoo) + ASch = ASch = B, dakle (ACoo) = 0

Spavanje = α1C1 + α2C2 +.. + αn-r Cn-r + Sch

Gausova metoda.

Metoda posljednjih vinifikacija nepoznatog (mijenjanja) - kod onih koji se uz pomoć elementarnih transformacija ravnopravni sustav dovode do ravnomjernog sustava stupnjevitog izgleda, od kojeg, polazeći od ostalih promjena, znati promjene.

Neka je a ≠ 0 (ako nije tako, onda permutacijom jednakih pogađaju koji).

1) uključujući promjenu x1 iz drugog, trećeg ... n-tog ranga, množenje prvog ranga s drugim brojem i zbrajanje rezultata u 2., 3. ... n-ti rang, tada uzimamo:

Sustav uzimamo jednako jak.

2) isključite promjenu x2

3) isključiti x3 promjenu, itd.

Nastavak procesa naknadnog isključivanja zamjena x4; x5 ... xr-1 uzima se za (r-1) usjev.

Broj nula preostalih n-r u jednakostima znači kako lijevi dio izgleda: 0x1 +0x2+..+0xn

Ako jedan od brojeva vr+1, vr+2... ne želi biti jednak nuli, onda je jednakost superjednaka i sustav (1) nije koherentan. U ovom redoslijedu, za koherentan sustav nalik na be, vr+1 … vm je jednako nuli.

Preostali n-r jednak je u sustavu (1; r-1) ê s istovjetnošću i ne može se uzeti u obzir.

Postoje dvije mogućnosti:

a) broj jednakih sustava (1; r-1) jednak je broju nepoznanica, pa je r = n (u ovom slučaju sustav izgleda lukavo).

b) r

Prijelaz sa sustava (1) na jednaki sustav (1; r-1) naziva se direktnim pomakom na Gaussovu metodu.

O promjeni promjene od sustava (1; r-1) - prekretnica do Gaussove metode.

Transformacija Gausa provodi se ručno, gradeći ih ne s jednakima, već s proširenom matricom njihovih koeficijenata.

13 obroka.

Slične matrice.

Pogledajmo samo kvadratne matrice reda n/

Matrica A se naziva slična matrica (A~B), budući da postoji takva nesingularna matrica S da je A=S-1BS.

Snaga takvih matrica.

1) Matrica A je slična sama sebi. (A~A)

Kao S=E, također EAE=E-1AE=A

2) Ako je A ~ B, onda je B ~ A

Yakscho A = S-1BS => SAS-1 = (SS-1) B (SS-1) = B

3) Ako je A~B i jedan sat B~C, tada je A~C

S obzirom da je A=S1-1BS1 i B=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3, de S3 = S2S1

4) Označivači sličnih matrica su jednaki.

Zadano je da je A ~ B, potrebno je dovesti da je detA=detB.

A=S-1 BS, detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (uskoro) = detB.

5) Mijenjaju se rangovi sličnih matrica.

Vlasní vektori i vlasní vrijednosti matrica.

Broj λ se naziva zadana vrijednost matrice A, jer je vektor X različit od nule (stupac matrice) takav da je AX = λ X, vektor X se naziva zadani vektor matrice A, a kombinacija svih vrijednosti naziva se spektar matrice A.

Moć moćnih vektora.

1) Pri množenju vektora potencije, broj se oduzima od vektora potencije od istih vrijednosti potencije.

AX = λ X; H≠0

α X => A (α X) \u003d α (AX) \u003d α (λ X) = \u003d λ (α X)

2) Mokri vektori s po parovima različitim vlažnim vrijednostima su linearno neovisni λ1, λ2,.. λk.

Neka je sustav sastavljen od jednog vektora, učinimo ga induktivnim:

C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn Xn = 0 (1) - pomnožiti s A.

C1 AX1 + C2 AX2 + .. + Cn AXn = 0

S1 λ1 H1 + S2 λ2 H2 + .. + Sn λn Hn = 0

Pomnožite s λn+1 i vidite

C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn Xn + Cn +1 Xn +1 = 0

S1 λ1 H1 +S2 λ2 H2 + .. +Sn λn Hn+ Sn+1 λn+1 Hn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1)Xn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn = 0

Obavezno schob S1 = S2 = ... = Sn = 0

Cn+1 Xn+1 λn+1 =0

Karakteristično jednaka.

A-λE se naziva karakteristična matrica za matricu A.

Da bi vektor X koji nije nula bio slobodni vektor matrice A, potrebno je spojiti slobodnu vrijednost, tako da je vektor X različit od nule rješenje homogenog sustava linearno-algebarskih jednadžbi (A - λE)X = 0

Netrivijalno rješenje sustava može biti, ako je det (A - XE) = 0 - karakteristično je jednako.

Čvrstoća!

Karakteristike takvih matrica su različite.

det(S-1AS - λE) = det(S-1AS - λ S-1ES) = det(S-1 (A - λE)S) = det S-1 det(A - λE) detS= det(A - λE)

Karakterističan bogati član.

det(A – λE) - funkcija parametra λ

det(A – λE) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA

Ovaj polinom se naziva karakteristični polinom matrice A.

Posljednji:

1) Kako su matrice A~B, tada je zbroj njihovih dijagonalnih elemenata povećan.

a11+a22+..+ann = v11+v22+..+vnn

2) Postoji mnogo snažnih vrijednosti sličnih matrica.

Yakscho izjednačavanje karakteristika matrice zbígayutsya, onda smrad neobov'yazkovo podíbní.

Za matricu A

Za matricu B

https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" width="92" height="38">

Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)(λ22 – λ)…(λnn – λ)= 0

Da bi se matrica A dijagonalizirala na red n, potrebno je da su korišteni linearno neovisni valni vektori matrice A.

Posljedica.

Iako su sve vrijednosti matrice A različite, ona je dijagonalizirana.

Algoritam za poznavanje vektora snage i vrijednosti snage.

1) preklopni karakteristično jednak

2) znamo korijen rívnyan

3) zbrajamo sustav izjednačavanja dodjele vašeg vektora.

λi (A-λi E)X = 0

4) znamo temeljni sustav rješenja

x1,x2..xn-r, de r - rang karakteristične matrice.

r = Rg(A - λi E)

5) vektor snage, vrijednosti snage λi bilježe se u pogledu:

X \u003d C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn-r Xn-r, de C12 + C22 + ... C2n ≠ 0

6) provjeriti može li se matrica svesti na dijagonalni izgled.

7) znamo Ag

Ag=S-1AS S=

15 obroka.

Osnova pravac, kvadrat, razmak.

http://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" Modul vektora je jednak nuli, čak i ako je vektor nula.

4.Orth vektor.

Orth ovog vektora naziva se vektor, koji je usmjeren s tim vektorom i može imati modul, što je najčešća jedinica.

Rivní vectori mayut rívní orti.

5. Presijeci između dva vektora.

Manji dio područja okružen je dvjema čvorištima koja dolaze iz iste točke i ispravljaju ih isti vektori.

Vektorska pohrana. Množenje vektora brojem.

1) Zbrajanje dva vektora

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │

2) Množenje vektora skalarom.

Novi vektor, koji se može nazvati sub-vektorom tog skalara, je:

a) = zbrajanje modula vektorskog množenja s apsolutnom vrijednošću skalara.

b) izravno paralelno s umnoženim vektorom, kao da je skalar pozitivan, i kao suprotnost, kao da je skalar negativan.

λ a(vektor)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │

Snaga linearnih operacija na vektorima.

1. Zakon komunikativnosti.

2. Zakon asocijativnosti.

3. Dodavanje nule.

a(vektor)+ō= a(vektor)

4. Spremište s posteljinom.

5. (αβ) = α(β) = β(α)

6; 7. Zakon distributivnosti.

Viraz vektor preko yogo modula i ort.

Najveći broj linearno neovisnih vektora naziva se baza.

Osnova na pravcu je bilo koji vektor.

Osnova na ravnini su dva nekalendarska vektora.

Osnova prostora je sustav od tri nekoplanarna vektora.

Koeficijent rasporeda vektora po stvarnoj bazi nazivamo komponente ili koordinate vektora u danoj bazi.

Vikonati zbog savijanja i množenja skalarom, a kao rezultat toga, biti će poduzet niz takvih diy:

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> nazivaju se linearni ugar, jer postoji netrivijalna linearna kombinacija, što je dobro?.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> nazivaju se neovisne o liniji, jer ne postoji netrivijalna kombinacija linija.

Dominacija linearnog ugara i nezavisnih vektora:

1) sustav vektora za zamjenu nultog vektora je linearno ugar.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> biti linearno ugar, potrebno je da vektor bude linearna kombinacija drugih vektora.

3) kako je dio vektora u sustavu a1(vektor), a2(vektor) ... ak(vektor) linearno-depozitni, onda su svi vektori linearno-depozitni.

4) kao i svi vektori.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">)

Linearne operacije u koordinatama.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height="12 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> .gif" height="11 src=">.gif" width="65" height="13 src=">

Snaga stvaranja skalara:

1. Komutativnost

3. (a;b)=0, parno i samo jednom, ako su vektori ortogonalni, ili ako su od vektora, oni su više ili manje 0.

4. Distributivnost (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c)

5. Različite skalarnu kreaciju a i b kroz njihove koordinate

https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" width="254" height="13 src=">

Kada vykonanní pranje (), h, l = 1,2,3

https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" width="176" height="21 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11"> i zove se treći vektor koji je zadovoljan nadolazećim jednakostima:

3. - prava

Moć vektorske kreativnosti:

4. Vektor vitvir koordinirati orts

Ortonormirana baza.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" width="41" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" width="41" height="11 src=">

Često se koriste 3 simbola za određivanje ortonormirane baze

https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" width="77" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" width="549" height="32 src=">

Yakscho je, dakle, ortonormirana baza

https://pandia.ru/text/78/365/images/image117_5.gif" width="116" height="15">- ravno poravnanje paralelna os OH

2) - poravnanje ravne linije paralelno s osi OS

2. Međusobno širenje 2 ravne linije.

Teorem 1

A) Todi je potrebno da dovoljno uzme u obzir ako se smrad nijansira na prvi pogled:

B) To je nužno i dovoljno za um onoga što je izravno paralelno s umom:

B) Što god je potrebno dovoljno mentalno onaj koji je izravno ljut u jednom umu:

3. Prijeđite s točke na ravnu liniju.

Teorema. Prijeđite s točke na ravnu crtu pomoću kartezijanskog koordinatnog sustava:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" width="34" height="11 src=">

4. Izrežite između dvije ravne linije. Operite okomitost.

Neka 2 izravne dodjele kartezijevom koordinatnom sustavu s velikim razinama.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" width="103" height="11 src=">

Yakscho, tada su ravne linije okomite.

24 obroka.

Područje u blizini prostora. Komplonarnost Umovovog vektora i ravnine. V_dstan v_d pokazuje na ravninu. Umov paralelizam i okomitost dviju ravnina.

1. Umovljeva komplonarnost vektora i ravnine.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="(!LANG:(!LANG:Bez'яний4.jpg" width="111" height="39">!}!}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" width="86" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif" width="148" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg" alt="(!LANG:(!LANG:Bez'яний5.jpg" width="88" height="57">!} !}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif" width="31" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif" width="328" height="24 src=">

3. Kut mizh 2 stana. Operite okomitost.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" width="132" height="11 src=">

Yakshcho, tada su ravnine okomite.

25 obroka.

Pravac u prostoru. Drugačije vidjeti poravnanje ravnih linija na otvorenom prostoru.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" width="111" height="19">

2. Vektor izravnog poravnanja u prostoru.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" width="44" height="29 src=">

4. Kanonska jednakost ravno.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" width="34" height="18 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="(!LANG:(!LANG:Bez'яний3.jpg" width="56" height="51">!}!}

S poštovanjem, elementi matrice ne mogu biti više od broja. Reci mi da opisuješ knjige, kako stajati na svojoj knjižnoj policiji. Neka policija čuva red i neka sve knjige stoje na pjevačkim mjestima. Tablica, kao pravilan opis vaše biblioteke (od policije i sljedećih knjiga o policiji), također će biti matrica. Ale, takva matrica neće biti numerička. Drugi primjer. Umjesto brojeva stoje različite funkcije, međusobno izjedene vrstom ugara. Otrimanova tablica naziva se i matrica. Drugim riječima, Matrix je, takoreći, presavijeni pravokutni stol sličan elementi. Ovdje i dalje govorimo o matricama, savijenim iz brojeva.

Zamijenite okrugle krakove za matrice za snimanje postavljanjem kvadratnih krakova ili ravnih okomitih linija.

(2.1*)

Imenovanje 2. Kao Virazi(1) m = n, onda razgovarati o kvadratna matrica, ali yakscho , zatim o pravokutan.

Vrijednost ugara m i n podijeljena je u posebne vrste matrica:

Najvažnija karakteristika kvadrat matrice ê ji vyznachnik ili determinanta, Ono što je formirano od elemenata matrice i naznačeno je

Očito je D E = 1; .

Imenovanje 3. Yakscho , zatim matrica A nazvao nedjevica ili ne osobito.

Imenovanje 4. Yakscho detA = 0, zatim matrica A nazvao virogena ili posebno.

Imenovanje 5. Dvije matrice A і B nazvao jednak ona piše A=B kao da smrad može biti isti, razlike i njihovi održivi elementi su jednaki,.

Na primjer, matrice i jednakosti, jer smrad je bliži svijetu i element kože jedne matrice je bliži sličnom elementu druge matrice. A os matrice i ne može se nazvati jednakom, iako su determinante obiju matrica jednake, i matrice su iste, ali ne i svi elementi koji stoje na istim točkama jednakosti. Matrice su različite, tako da je drugačiji svijet moguć. Prva matrica je 2x3, a druga 3x2. Iako je broj elemenata isti - 6, a sami elementi su isti 1, 2, 3, 4, 5, 6, ale smrad stoji na različitim mjestima u blizini matrice kože. A os matrice je unaprijed, zgídno z vznachennyam 5.

Imenovanje 6. Kako popraviti sprat matrice A a takav je i broj njegovih redaka, istih elemenata koji stoje na peretini oznaka stupaca i redaka za uspostavljanje kvadratne matrice n- red, preteča toga nazvao manji k- matrični poredak A.

kundak. Napišite tri minora u različitom redoslijedu matrice

Ugovoreni sastanak. Matrica rozmíru m'n, de m-broj redaka, n-broj stupaca, zove se tablica brojeva, slažući ih istim redoslijedom. Qi brojevi se nazivaju elementi matrice. Područje elementa kože nedvosmisleno je identificirano brojem reda i lopatice, na čijoj se mrežnici nalaze vene. Elementima matrice dodjeljuje se ij, gdje je i broj reda, a j broj reda.

Osnovne podjele nad matricama.

Matrica se može saviti u jedan red i u jedan stupac. Zapamtite, matrica se može saviti iz jednog elementa.

Ugovoreni sastanak. Ako je broj stupaca matrice jednak broju redova (m=n), tada se matrica naziva kvadrat.

Ugovoreni sastanak. Yakscho = , tada se poziva matrica simetričan.

kundak.- simetrična matrica

Ugovoreni sastanak. Kvadratna matrica se zove dijagonala matrica.

Ugovoreni sastanak. Dijagonalna matrica, koja ima manje od jedan na dijagonali glave:

= E, nazvao jednostruka matrica.

Ugovoreni sastanak. Matrica koja ispod dijagonale glave ima manje od nula elemenata naziva se gornja triko matrica. Ako matrica iznad dijagonale glave ima manje od nula elemenata, tada se zove donja triko matrica.

Ugovoreni sastanak. Dvije matrice su tzv jednak kao smrad jednog lutanja i vykonuêtsya mirnoće:

· Dodatne informacije matrice se izgrađuju do sljedećih operacija na svojim elementima. Vrhovni autoritet ovih operacija su oni koji smrde rezervirano samo za matrice iste veličine. Ovim redoslijedom moguće je označiti operaciju presavijanja te vizualne matrice:

Ugovoreni sastanak. torba (maloprodaja) matrica ê matrica, čiji su elementi zbroj (retail) elemenata izlaznih matrica.

Z \u003d A + B \u003d B + A.

Operacija množina (podílu) matrica, bilo da je proširena za određeni broj, reducira se na višestruki (podijeljen) element kože matrice s cijelim brojem.

a (A + B) \u003d aA ± aB

A(a±b) = aA ± bA

kundak. Zadana je matrica A = ; B = znati 2A + B.

2A = , 2A + B = .

· Ugovoreni sastanak: Tvorom Matrica se naziva matrica, čiji se elementi mogu izračunati pomoću sljedećih formula:

Iz inducirane oznake vidi se da je operacija množenja matrica dodijeljena samo matricama, tj. broj stupaca prvog jednak je broju redaka drugog.

kundak.

· Ugovoreni sastanak. Matrica B se zove transponirano matrica A, i prijelaz iz A u B transpozicija Na primjer, elementi retka skina matrice A zapisani su istim redoslijedom u stupcima matrice B.

A =; B = A T =;

Drugim riječima, = .

matrica preokreta.

Ugovoreni sastanak. Ovo su kvadratne matrice X i A istog reda, koje zadovoljavaju um:

de E jedna matrica istog reda kao matrica A, tada se matrica X naziva reverzibilan matrici A i dodjeljuje se A-1.

Skin kvadratna matrica sa središtem koje nije jednako nuli može imati obrnutu matricu i više od jedne.

matrica preokreta

Od vas se može tražiti takva shema:

Pa, onda se zove matrica nedjevica, i na drugi način - virogen.

Obrnuta matrica može se inducirati samo za nedjevičanske matrice.

Snažne matrice.

1) (A -1) -1 = A;

2) (AB) -1 = B -1 A -1

3) (AT) -1 = (AT -1) T .

Rang matrice nazvao pronalaženje reda u obliku nula u minorima matrice.

Za matricu reda m´n naziva se minor, red r osnova yakscho vin nije jednak nuli, ali svi manji su po redu r+1 i jednaka nuli, inače je potrebno to dokazati. r zbígaêtsya s manjim od brojeva m ili n.

Nazivaju se i stupci i redovi matrice na kojima stoji baza minor Osnovni, temeljni.

Matrica može imati mali broj različitih osnovnih minora, koji mogu imati isti redoslijed.

Važniji autoriteti elementarnih transformacija matrice su oni koji ne mijenjaju rang matrice.

Ugovoreni sastanak. Matrice, otrimani nakon elementarne transformacije, nazivaju se ekvivalent.

Zatim navedite što jednak matrice i ekvivalent matrice - razumjeti apsolutno drugačije.

Teorema. Najveći broj linearno neovisnih redaka u matrici jednaki su broju linearno neovisnih redaka.

Jer elementarna transformacija Ako ne mijenjate rang matrice, možete jednostavno pojednostaviti proces dodjele ranga matrice.

kundak. Odredite rang matrice.