Моменти інерції системи щодо центру та осі. Момент інерції тіла щодо осі. Тензор інерції та еліпсоїд інерції

Нехай є тверде тіло. Виберемо деяку пряму ГО (рис.6.1), яку називатимемо віссю (пряма OO може бути і поза тілом). Розіб'ємо тіло на елементарні ділянки (матеріальні точки) масами
, що знаходяться від осі на відстані
відповідно.

Моментом інерції матеріальної точки щодо осі (OO) називається добуток маси матеріальної точки на квадрат її відстані до цієї осі:

. (6.1)

Моментом інерції (МІ) тіла щодо осі (OO) називається сума добутків мас елементарних ділянок тіла на квадрат їх відстані до осі:

. (6.2)

Як бачимо момент інерції тіла є величина адитивна – момент інерції всього тіла щодо деякої осі дорівнює сумі моментів інерції окремих його частин щодо тієї ж осі.

В даному випадку

.

Вимірюється момент інерції в кг м 2 . Так як

, (6.3)

де  - Щільність речовини,
- Об `єм i- го ділянки, то

,

або, переходячи до нескінченно малих елементів,

. (6.4)

Формулу (6.4) зручно використовувати для обчислення однорідних МІТ тіл правильної форми щодо осі симетрії, що проходить через центр мас тіла. Наприклад, для МІ циліндра щодо осі, що проходить через центр мас, що паралельно утворює, ця формула дає

,

де т- Маса; R- Радіус циліндра.

Велику допомогу при обчисленні МІ тіл щодо деяких осей надає теорема Штейнера: МІ тіла Iщодо будь-якої осі дорівнює сумі МІ цього тіла I cщодо осі, що проходить через центр мас тіла та паралельної даної, та добутку маси тіла на квадрат відстані dміж вказаними осями:

. (6.5)

Момент сили щодо осі

Нехай на тіло діє сила F. Приймемо для простоти, що сила Fлежить у площині, перпендикулярній до деякої прямої ГО (рис.6.2, а), яку назвемо віссю (наприклад, це вісь обертання тіла). На рис. 6.2, а А- точка застосування сили F,
- точка перетину осі з площиною, у якій лежить сила; r- радіус-вектор, що визначає положення точки Ащодо точки Про"; O"B = b - плече сили. Плечем сили щодо осі називається найменша відстань від осі до прямої, де лежить вектор сили F(довжина перпендикуляра, проведеного з точки до цієї прямої).

Моментом сили щодо осі називається векторна величина, що визначається рівністю

. (6.6)

Модуль цього вектора. Іноді тому кажуть, що момент сили щодо осі – це витвір сили на її плече.

Якщо сила Fспрямована довільно, її можна розкласти на дві складові; і (Рис.6.2, б), тобто.
+, де - складова, спрямована паралельно осі ГО, а лежить у площині перпендикулярної осі. В цьому випадку під моментом сили Fщодо осі OO розуміють вектор

. (6.7)

Відповідно до виразів (6.6) та (6.7) вектор Мспрямований уздовж осі (див. рис.6.2, а,б).

Момент імпульсу тіла щодо осі обертання

П усть тіло обертається навколо деякої осі ГО з кутовою швидкістю
. Розіб'ємо це тіло подумки на елементарні ділянки з масами
, які знаходяться від осі відповідно на відстанях
і обертаються по колам, маючи лінійні швидкості
Відомо, що величина дорівнює
- Є імпульс i-Дільниці. Моментом імпульсу i-Дільниці (матеріальної точки) щодо осі обертання називається вектор (точніше псевдовектор)

, (6.8)

де r i- Радіус-вектор, що визначає положення i- Ділянки щодо осі.

Моментом імпульсу всього тіла щодо осі обертання називають вектор

(6.9)

модуль якого
.

Відповідно до виразів (6.8) і (6.9) вектори
і спрямовані по осі обертання (рис.6.3). Легко показати, що момент імпульсу тіла Lщодо осі обертання та момент інерції Iцього тіла щодо тієї ж осі пов'язані співвідношенням

. (6.10)

Моментом інерціїсистеми (тіла) щодо осі обертання називається фізична величина, що дорівнює сумі творів мас nматеріальних точок системи на квадрати їх відстаней до осі:

В разі безперервного розподілумас ця сума зводиться до інтегралу

Момент інерції матеріальної точки :

щодо цієї осі – скалярна величина, рівна добутку маси точки на квадрат відст. від цієї точки до осі (J=mr 2 m – маса точки; r – відстань від точки до осі)

Теорема Штейнера

Теорема Штейнера – формулювання

Відповідно до теореми Штейнера, встановлено, що момент інерції тіла при розрахунку щодо довільно осі відповідає сумі моменту інерції тіла щодо такої осі, яка проходить через центр мас і є паралельною даній осі, а також плюс добуток квадрата відстані між осями та маси тіла, за такою формулою (1):

Де у формулі приймаємо відповідно величини: d – відстань між осями ОО1║О'O1';
J0 – момент інерції тіла, розрахований щодо осі, що проходить крізь центр мас і визначатиметься співвідношенням (2):

J0 = Jd = mR2/2 (2)

Наприклад, для обруча на малюнку момент інерції щодо осі O'O',дорівнює

Момент інерції прямого стрижня завдовжки , вісь перпендикулярна до стрижня і проходить через його кінець.

10) момент імпульсу закон збереження моменту імпульсу

Моментом імпульсу (кількості руху) матеріальної точки А щодо нерухомої точки Оназивається фізична величина, яка визначається векторним твором:

де r- радіус-вектор, проведений з точки О в точку A, p=m v- Імпульс матеріальної точки (рис. 1); L- псевдовектор,

Рис.1

Моментом імпульсу щодо нерухомої осі zназивається скалярна величина L z , рівна проекції на цю вісь вектора моменту імпульсу, визначеного щодо довільної точки даної осі. Момент імпульсу L z залежить від положення точки Про осі z.

При обертанні абсолютно твердого тіла навколо нерухомої осі z, кожна точка тіла рухається по колу постійного радіуса r i зі швидкістю v i . Швидкість v i та імпульс m i v i перпендикулярні цьому радіусу, тобто радіус є плечем вектора m i v i . Отже, ми можемо записати, що момент імпульсу окремої частки дорівнює

і спрямований по осі у бік, що визначається правилом правого гвинта.

Закон збереження моменту імпульсуМатематично виражається через векторну сумувсіх моментів імпульсу щодо обраної осі для замкнутої системи тіл, яка залишається постійною, доки систему не впливають зовнішні сили. Відповідно до цього моменту імпульсу замкнутої системи в будь-якій системі координат не змінюється з часом.

Закон збереження моменту імпульсу є проявом ізотропності простору щодо повороту.

У спрощеному вигляді: якщо система знаходиться в рівновазі.

Основний закон збереження, динаміка твердого тіла

Динаміка твердого тіла

Обертання навколо нерухомої осі.Момент імпульсу твердого тіла щодо нерухомої осі обертання дорівнює

Напрямок проекції збігається з напрямом тобто. визначається за правилом свердла. Величина

називається моментом інерції твердого тіла щодо Продиференціювавши , отримаємо

Це рівняння називають основним рівнянням динаміки обертального руху твердого тіла довкола нерухомої осі. Обчислимо ще кінетичну енергію твердого тіла, що обертається:

та роботу зовнішньої сили при повороті тіла:

Плоский рух твердого тіла.Плоский рух є суперпозиція поступального руху центру мас і обертального руху на системі центру мас (див. разд. 1.2). Рух центру мас описується другим законом Ньютона і визначається результуючою зовнішньою силою (рівняння (11)). аналогічно моменту сил тяжіння, приклад 1 з 1.6). Кінетична енергія p align="justify"> плоского руху дорівнює рівняння Момент імпульсу щодо нерухомої осі, перпендикулярної площині руху, обчислюється за формулою (див. рівняння де - плече швидкості центру мас щодо осі, а знаки визначаються вибором позитивного напрямку обертання.

Рух із нерухомою точкою.Кутова швидкість обертання, спрямована вздовж осі обертання, змінює свій напрямок як у просторі, так і по відношенню до найтвердішого тіла. Рівняння руху

яке називають основним рівнянням руху твердого тіла з нерухомою точкою, дозволяє дізнатися, як змінюється момент імпульсу Так як вектор у загальному випадку не паралельний вектору

замикання рівнянь руху треба навчитися пов'язувати ці величини одна з одною.

Гіроскопи.Гіроскопом називають тверде тіло, що швидко обертається щодо своєї осі симетрії. Завдання про рух осі гіроскопа можна вирішувати у гіроскопічному наближенні: обидва вектори спрямовані вздовж осі симетрії. Врівноважений гіроскоп (закріплений у центрі мас) має властивість безінерційно його вісь перестає рухатися, як тільки зникає зовнішня дія (перетворюється на нуль). Це дозволяє використовувати гіроскоп для збереження орієнтації у просторі.

На важкий гіроскоп (рис. 12), у якого центр мас зміщений на відстань від точки закріплення діє момент сили тяжіння, спрямований перпендикулярно Так як і вісь гіроскопа здійснюють регулярне обертання навколо вертикальної осі (прецесія гіроскопа).

Кінець вектора обертається по горизонтальному колу радіусом, а з кутовою швидкістю.

Кутова швидкість прецесії залежить від кута нахилу осі а.

Закони збереження- фундаментальні фізичні закони, за якими за певних умов деякі вимірні фізичні величини, що характеризують замкнуту фізичну систему, не змінюються з часом.

· Закон збереження енергії

· Закон збереження імпульсу

· Закон збереження моменту імпульсу

· Закон збереження маси

· Закон збереження електричного заряду

· Закон збереження лептонного числа

· Закон збереження баріонного числа

· Закон збереження парності

Момент сили

Моментом сили щодо осі обертання називається фізична величина, що дорівнює добутку сили на її плече.

Момент сили визначають за такою формулою:

М - FI де F - сила, I - плече сили.

Плечем сили називається найкоротша відстань від лінії дії сили до осі обертання тіла.

Момент сили характеризує дії, що обертає сили. Ця дія залежить як від сили, так і від плеча. Чим більше плече, тим меншу силу треба докласти,

За одиницю моменту сили в СІ приймається момент сили 1 Н, плече якої дорівнює 1м - ньютон-метр (Н м).

Правило моментів

Тверде тіло, здатне обертатися навколо нерухомої осі, знаходиться в рівновазі, якщо момент сили М, що обертає його за годинниковою стрілкою, дорівнює моменту сили М2, що обертає його проти годинникової стрілки:

М1 = -М2 або F 1 ll = - F 2 l 2 .

Момент пари сил однаковий щодо будь-якої осі, перпендикулярної до площини пари. Сумарний момент М пари завжди дорівнює добутку однієї із сил F на відстань I між силами, яка називається плечем пари, незалежно від того, на які відрізки та /2 поділяє положення осі плече пари:

M = Fll + Fl2 = F (l1 + l2) = Fl.

Якщо тіло обертається навколо нерухомої осі zз кутовою швидкістю, то лінійна швидкість i-ї точки , R i- Відстань до осі обертання. Отже,

Тут I c– момент інерції щодо миттєвої осі обертання, що проходить через центр інерції.

Робота моменту сил.

Робота сил.
Робота постійної сили, що діє на тіло, що прямолінійно рухається
де - переміщення тіла, - сила, що діє на тіло.

У загальному випадку робота змінної сили, що діє на тіло, що рухається по криволінійній траєкторії . Робота вимірюється у Джоулях [Дж].

Робота моменту сил, що діє на тіло, що обертається навколо нерухомої осіде - момент сили, - кут повороту.
У загальному випадку .
Досконала нат тілом робота перетворюється на його кінетичну енергію.

Механічні коливання.

Коливання- повторюваний тією чи іншою мірою в часі процес зміни станів системи.

Коливання майже завжди пов'язані з поперемінним перетворенням енергії однієї форми прояву на іншу форму.

Відмінність коливання хвилі.

Коливання різної фізичної природи мають багато загальних закономірностей і тісно взаємопов'язані хвилями. Тому дослідженнями цих закономірностей займається узагальнена теорія коливань і хвиль. Принципова відмінність від хвиль: при коливаннях немає переносу енергії, це, так би мовити, «місцеві» перетворення енергії.

Характеристики коливань

Амплітуда (м)- максимальне відхилення величини, що коливається, від деякого усередненого її значення для системи.

Проміжок часу (Сік), Через який повторюються якісь показники стану системи (система здійснює одне повне коливання), називають періодом коливань.

Число коливань в одиницю часу називається частотою коливань ( Гц, с -1).

Період коливань та частота – зворотні величини;

У кругових чи циклічних процесах замість характеристики «частота» використовується поняття круговаабо циклічна частота (Гц, сек-1, об/сек), Що показує кількість коливань за час 2π:

Фаза коливань - визначає зміщення будь-якої миті часу, тобто. визначає стан коливальної системи.

Маятник мат фіз пруж

. Пружинний маятник- це вантаж масою m, який підвішений на абсолютно пружній пружині та здійснює гармонічні коливання під дією пружної сили F = -kx, де k - жорсткість пружини. Рівняння руху маятника має вигляд

З формули (1) випливає, що пружинний маятник здійснює гармонічні коливання згідно із законом х = Асоs(ω 0 t+φ) із циклічною частотою

та періодом

Формула (3) правильна для пружних коливань у межах, у яких виконується закон Гука, т. е. якщо маса пружини мала проти масою тіла. Потенційна енергія пружинного маятника, використовуючи (2) і формулу потенційної енергії попереднього розділу, дорівнює

2. Фізичний маятник- це тверде тіло, яке здійснює коливання під дією сили тяжіння навколо нерухомої горизонтальної осі, яка проходить через точку О, яка не збігається з центром мас тіла (рис. 1).

Рис.1

Якщо маятник із положення рівноваги відхилили на деякий кут α, то, використовуючи рівняння динаміки обертального руху твердого тіла, момент M сили, що повертає

де J - момент інерції маятника щодо осі, яка проходить через точку підвісу О, l – відстань між віссю та центром мас маятника, F τ ≈ –mgsinα ≈ –mgα - повертаюча сила (знак мінус вказує на те, що напрямки F τ і α завжди протилежні;sinα ≈ α оскільки коливання маятника вважаються малими, тобто маятника із положення рівноваги відхиляється на малі кути). Рівняння (4) запишемо як

Приймаючи

отримаємо рівняння

ідентичне з (1), рішення якого (1) знайдемо та запишемо як:

З формули (6) випливає, що при малих коливаннях фізичний маятник здійснює гармонічні коливання з циклічною частотою 0 і періодом

де введено величину L=J/(m l) - .

Точка О" на продовженні прямої ОС, яка віддалена від точки Про підвісу маятника на відстані наведеної довжини L, називається центром коливаньфізичного маятника (рис. 1). Застосовуючи теорему Штейнера на момент інерції осі, знайдемо

т. е. ГО" завжди більше ОС. Точка підвісу Про маятника і центр хитань О" мають властивість взаємозамінності: якщо точку підвісу перенести в центр коливань, то колишня точка Про підвіс буде новим центром коливань, і при цьому не зміниться період коливань фізичного маятника.

3. Математичний маятник- це ідеалізована система, що складається з матеріальної точки масою m, яка підвішена на нерозтяжній невагомій нитці, яка коливається під дією сили тяжіння. Хороше наближення математичного маятника є невелика важка кулька, яка підвішена на довгій тонкій нитці. Момент інерції математичного маятника

де l- Довжина маятника.

Оскільки математичний маятник є окремим випадком фізичного маятника, якщо припустити, що вся його маса зосереджена в одній точці - центрі мас, то, підставивши (8) в (7), знайдемо вираз для періоду малих коливань математичного маятника

Зіставляючи формули (7) і (9), бачимо, що якщо наведена довжина L фізичного маятника дорівнює довжині lматематичного маятника, то періоди коливань цих маятників однакові. Значить, наведена довжина фізичного маятника- Це довжина такого математичного маятника, у якого період коливань збігається з періодом коливань даного фізичного маятника.

Гар. коливання та харак.

Коливанняминазиваються рухи чи процеси, що характеризуються певною повторюваністю у часі. Коливальні процеси мають поширення в природі і техніці, наприклад коливання маятника годинника, змінний електричний струм і т.д.

Найпростішим типом коливань є гармонійні коливання- коливання, при яких величина, що коливається, змінюється з часом за законом синуса (косинусу). Гармонічні коливання деякої величини s описуються рівнянням виду

де ω 0 - кругова (циклічна) частота, А - максимальне значення коливається величини, зване амплітудою коливання, φ - початкова фаза коливанняу момент часу t=0, (ω 0 t+φ) - фаза коливанняу час t. Фаза коливання є значення коливається в даний момент часу. Оскільки косинус має значення не більше від +1 до –1, то s може набувати значення від +А до –А.

Певні стани системи, яка здійснює гармонічні коливання, повторюються через проміжок часу Т, що має назву період коливання, За який фаза коливання отримує збільшення (зміна) 2π, тобто.

Величина, обернена до періоду коливань,

тобто число повних коливань, що відбуваються в одиницю часу, називається частотою коливань. Зіставляючи (2) та (3), знайдемо

Одиниця частоти - герц(Гц): 1 Гц – частота періодичного процесу, під час якого за 1 с відбувається один цикл процесу.

Амплітуда коливань

Амплітудою гармонійного коливання називається найбільше значенняусунення тіла від положення рівноваги. Амплітуда може приймати різні значення. Вона залежатиме від того, наскільки ми змістимо тіло в початковий час від положення рівноваги.

Амплітуда визначається початковими умовами, тобто енергією тілу, що повідомляється в початковий момент часу. Так як синус і косинус можуть набувати значення в діапазоні від -1 до 1, то в рівнянні повинен бути множник Xm, що виражає амплітуду коливань. Рівняння руху при гармонійних коливаннях:

x = Xm * cos (ω0 * t).

Згас. колив та їх хар

Затухаючі коливання

Згасанням коливань називається поступове зменшення амплітуди коливань з часом, обумовлене втратою енергії коливальною системою.

Власні коливання без загасання – це ідеалізація. Причини згасання можуть бути різні. У механічної системидо згасання коливань призводить наявність тертя. У електромагнітному контурі до зменшення енергії коливань призводять теплові втрати у провідниках, що утворюють систему. Коли витрачається вся енергія, запасена в коливальній системі, коливання припиняться. Тому амплітуда загасаючих коливаньзменшується, доки стане рівної нулю.

де β – коефіцієнт згасання

У нових позначеннях диференціальне рівняння загасаючих коливань має вигляд:

. де β – коефіцієнт згасання, де ω 0 - Частота незатухаючих вільних коливань без втрат енергії в коливальній системі.

Це лінійне диференціальне рівняння другого порядку.

Частота загасаючих коливань:

У будь-якій коливальній системі згасання призводить до зменшення частоти і відповідно до збільшення періоду коливань.

(Фізичний сенс має тільки речовий корінь, тому).

Період загасаючих коливань:

.

Сенс, який вкладався в поняття періоду для коливань, що не згасають, не підходить для загасаючих коливань, оскільки коливальна система ніколи не повертається у вихідний стан через втрати коливальної енергії. За наявності тертя коливання йдуть повільніше: .

Періодом загасаючих коливаньназивається мінімальний проміжок часу, протягом якого система проходить двічі положення рівноваги щодо одного напрямі.

Амплітуда загасаючих коливань:

Для пружинного маятника.

Амплітуда загасаючих коливань – величина не постійна, а змінюється згодом тим швидше, що більше коефіцієнт β. Тому визначення для амплітуди, дане раніше для вільних коливань, що загасають, для загасаючих коливань треба змінити.

При невеликих згасаннях амплітудою загасаючих коливаньназивається найбільше відхилення від положення рівноваги у період.

Зміна амплітуди загасаючих коливань відбувається за експоненційним законом:

Нехай за час τ амплітуда коливань зменшиться в "e" раз ("е" - основа натурального логарифму, е? 2,718). Тоді, з одного боку, а з іншого боку, розписавши амплітуди А зат. (t) та А закл. (t+τ), маємо . З цих співвідношень випливає βτ = 1, звідси

Вимушені коливань.

Моментом інерції тіла (системи) щодо цієї осі Oz (або осьовим моментом інерції) називається скалярна величина, різна сумі творів мас усіх точок тіла (системи) на квадрати їх відстаней від цієї осі:

З визначення випливає, що момент інерції тіла (або системи) щодо будь-якої осі є позитивною величиною і не дорівнює нулю.

Надалі буде показано, що осьовий момент інерції грає при обертальному русі тіла таку ж роль, яку маса при поступальному, тобто осьовий момент інерції є мірою інертності тіла при обертальному русі.

Відповідно до формули (2) момент інерції тіла дорівнює сумі моментів інерції всіх його частин щодо тієї ж осі. Для однієї матеріальної точки, що знаходиться на відстані від осі, . Одиницею виміру моменту інерції у СІ буде 1 кг (у системі МКГСС - ).

Для обчислення осьових моментів інерції можна відстані точок від осей виражати через координати цих точок (наприклад, відстань від осі Ох буде і т. д.).

Тоді моменти інерції щодо осей визначатимуться формулами:

Часто під час розрахунків користуються поняттям радіуса інерції. Радіусом інерції тіла щодо осі називається лінійна величина, що визначається рівністю

де М – маса тіла. З визначення випливає, що радіус інерції геометрично дорівнює відстані від осі тієї точки, в якій треба зосередити масу всього тіла, щоб момент інерції однієї цієї точки дорівнював моменту інерції всього тіла.

Знаючи радіус інерції, можна за формулою (4) знайти момент інерції тіла і навпаки.

Формули (2) і (3) справедливі як твердого тіла, так будь-якої системи матеріальних точок. У разі суцільного тіла, розбиваючи його на елементарні частини, знайдемо, що в межі сума, яка стоїть на рівні (2), звернеться в інтеграл. В результаті, враховуючи, що де - густина, а V - обсяг, отримаємо

Інтеграл тут поширюється весь об'єм V тіла, а щільність і відстань h залежить від координат точок тіла. Аналогічно формули (3) для суцільних тіл набудуть вигляду.

Формулами (5) та (5) зручно користуватися при обчисленні моментів інерції однорідних тіл правильної форми. При цьому густина буде постійною і вийде з-під знака інтеграла.

Знайдемо моменти інерції деяких однорідних тіл.

1. Тонкий однорідний стрижень довжиною l і масою М. Обчислимо його момент інерції щодо осі перпендикулярної до стрижня і проходить через його кінець А (рис. 275). Направимо вздовж АВ координатну вісь. Тоді для будь-якого елементарного відрізка довжини d величина , а маса , де - маса одиниці довжини стрижня. В результаті формула (5) дає

Заміняючи його значенням, знайдемо остаточно

2. Тонке кругле однорідне кільце радіусом R і масою М. Знайдемо його момент інерції щодо осі перпендикулярної площини кільця і ​​проходить через центр С (рис. 276).

Так як всі точки кільця знаходяться від осі на відстані, то формула (2) дає

Отже, для кільця

Очевидно, такий самий результат вийде для моменту інерції тонкої циліндричної оболонки масою М і радіусом R щодо її осі.

3. Кругла однорідна пластина або циліндр радіусом R і масою М. Обчислимо момент інерції круглої пластини щодо осі перпендикулярній пластині і через її центр (див. рис. 276). Для цього виділимо елементарне кільце радіусом та шириною (рис. 277, а). Площа цього кільця, а маса де - маса одиниці площі пластини. Тоді за формулою (7) для виділеного елементарного кільця буде для всієї пластину

Введені формулами (3.26), (3.27) величини виявляються суттєво необхідними щодо динаміки обертальних рухів твердого тіла чи системи тел. Ці характеристики інерції залежать як від початку координат, так і від напрямів обраних координатних осей. Однак у цій точці тіла шість величин разом із сумарною масою Мповністю визначають його інерцію. Інакше кажучи, знаючи ці величини, можна знайти момент інерції щодо осі довільного напрямку та відцентровий момент інерції для пари нових (повернутих) осей, а також, за відомої геометрії тіла, перейти до інерційних характеристик, визначених для іншого початку координат. Нехай потрібно знайти момент інерції відносного заданого напрямку (осі ξ ), що характеризується ортом. Моментом інерції системи матеріальних точок щодо осі називається сума творів мас цих точок на квадрати їх відстаней до осі

Легко збагнути, що квадрат відстані h,, Можна підрахувати за формулою (рис. 53)

(3.28)

Запишемо отриманий вираз (3.29) інакше

Ми змінили порядок співмножників у другому скалярному творі та відкинули дужки; перше робити можна, а друге? У цьому з'явилася нова величина , у якій два вектори перемножуються, але з скалярно і векторно, а якимось новим способом; таке множення називається діадним(або тензорним), а сам твір - діадою, яка є тензор другого рангу. Аналітичне визначення тензора полягає в наступному: сукупність Зn величин (у тривимірному просторі), що перетворюються при повороті координатної системи як добутку n координат, називається тензором n-го рангу. За цим визначенням діада буде тензором 2-го рангу, вектор -тензором 1-го рангу, а скалярна величина - тензором нульового рангу.Очевидно, що діада не зміниться при перестановці її співмножників – це симетрична діада . Більш загальний випадок отримаємо, перемножуючи два різних вектори, наприклад, ; діада вже не буде симетричною і переставляти співмножники у неї не можна:

Так як вектори і можна уявити у вигляді

то діада може бути записана у вигляді суми дев'яти доданків

(3.30)

Тут ….. елементарні діади , а коефіцієнти при них називаються складовими або компонентами тензора . Тензор другого рангу (діаду) можна записати у вигляді квадратної матриці. Так, для тензора (3.30)

(3.31)

Хоча розгорнутий вид (3.30) тензора і не має табличного виду (3.31), проте положення кожної складової в таблиці встановлюється відразу по її множнику - елементарній діаді: лівий орт вказує рядок, а правий орт - стовпець, орти відповідають положенню даної складової в матриці ( 3.31). Тепер легко зрозуміти нерівність; перестановка співмножників у діаді означає заміну рядків стовпцями (і навпаки) у матриці (3.31), а тензор буде транспонованимпо відношенню до початкового тензора. З теорії матриць відомо, що квадратну матрицю (3.31) можна помножити праворуч на вектор-стовпець або зліва на вектор-рядок. Запис тензора у формі (3.30) дозволяє ці операції звести до скалярного множення ортів. Тензор другого рангу можна помножити скалярно як праворуч, так і ліворуч. а; при цьому результат буде різним, так як при правому множенні тензора на вектор з'являтимуться скалярні твори правих ортів елементарних діад на орти вектора, а при лівому множенні вектора на тензор в скалярних творах братимуть участь ліві орти елементарних діад. В результаті залишаться орти елементарних діад, які не брали участь у скалярних творах, тому скалярний добуток тензора та вектора буде векторною величиною. Легко збагнути, що де означає транспонований тензор. У разі симетричного тензора транспонований тензор дорівнює початковому і різниця між правим та лівим творами зникає. У нашому випадку симетричний тензор та його розгорнутий вираз типу (3.29) виявляється простіше:

Якщо тензор (другого рангу) множити скалярно на вектори і ліворуч, і праворуч, то брати участь у скалярних творах будуть як ліві, і праві орти елементарних діад, й у результаті вийде скалярна величина. Саме це ми маємо у формулі (3.29). Записуючи цю формулу у вигляді

де тензор представлений вище у вигляді (3.32), відразу розуміємо, що в результаті подвійного скалярного перемноження (3.33) зникають ті доданки, в яких зустрічаються твори (скалярні) різних ортів. Складники, що залишаються, легко написати відразу; це будуть ті самі компоненти тензора , як і представлені у формулі (3.32), тільки орти у цій формулі слід замінити на відповідні проекції вектора . Тоді отримаємо

Порівнюючи результат (3.34) із формулою (3.38а), переконуємось і законності опускання дужок у формулі (3.29). Найпростішим тензором другого рангу буде одиничний тензор:

(3.35)

Неважко збагнути, що діагональні елементи матриці, відповідної тензору (3.35), будуть одиницями, інші, недіагональні - нулями. Назва «одиничний тензор» цілком виправдано, оскільки, помножуючи на нього будь-який вектор (праворуч або ліворуч - це байдуже), ми знову отримаємо вектор :

Ця властивість одиничного тензора призводить до наступного цікавого співвідношення:

(3.36)

Співвідношення (3.36) і (3.29) дозволяють написати формулу (3.28).

= (3.38)

Величина

= , (3.39)

що увійшла у вираз для (формула 3.38), являє собою тензор інерції твердого тіла в точці. Вводячи цей тензор, переписуємо формулу (3.38) для моменту інерції щодо осі , заданим напрямкоморта, в дуже простому вигляді

У всіх чотирьох випадках ми розглядали моменти інерції тіла щодо осі, що проходить через центр інерції цих тіл. За допомогою теореми Штейнер можна знайти моменти інерції тіл щодо інших довільних осей, що буває необхідно, бо обертання не завжди буває щодо центру інерції.

Теорема Штейнера:

Момент інерції тіла щодо довільної осі дорівнює сумі його моменту інерції щодо осі, що проходить через центр мас і паралельно даної, і добутку маси тіла на квадрат відстані між осями

(- відстань між осямізиc).

Доведення:

(за визначенням)

Видно що
(за визначенням)

(Т.к.
)

Таким чином,

§14. Основне рівняння динаміки обертального руху

Нехай до твердого тіла з нерухомою віссю обертання у певній точці прикладена сила
.

Тоді, якщо точка А здійснює елементарне переміщення , то елементарна робота сили дорівнює Уявимо силу у вигляді суми двох сил, одна з яких паралельна осі обертанняz( ), а інша перпендикулярна осіz( ).

Тоді елементарна робота.

Крапка , Як і всі точки тіла, рухається по колу, площина якої перпендикулярна осіz, а значить
з'єднує дві точки цього кола і також лежить у площині, перпендикулярній осіz, а значить і вектору , тобто.
. Отже,
,

де - Кут між векторами і
.

Розглянемо вид зверху.

В силу того, що : . Вектор через небагато . , як кути із взаємно перпендикулярними променями.

де
.

Опр.

Величина , Рівна відстані від лінії, вздовж якої діє сила, до осі обертання, називається плечем сили.

Опр.

Величина добутку проекції сили на площину обертання ( ) і плеча сили називається моментом сили щодо осі обертанняz.

Якщо сила
, прикладена до тіла, призводить до збільшення кута повороту (тобто до обертання тіла за вибраним позитивним напрямом обертання), то момент такої сили є величиною позитивної. Якщо ж сила призводить до зменшення кута, то момент сили негативний. Виходячи з того, що величина елементарної роботи дорівнює
, то, відповідно до теореми про кінетичну енергію (

), прирівнюючи праві частини рівнянь отримаємо:

(Т.к.
і
)

Це і є основний закон динаміки обертального руху.

Формулювання закону:

Момент сили щодо осі обертання дорівнює добутку моменту інерції щодо цієї осі та кутового прискорення.

Легко можна показати, що якщо на тіло, закріплене навколо осі обертання, діє безліч сил з різними моментами, то сума алгебри сил щодо осі обертання дорівнює добутку моменту інерції щодо цієї осі і кутового прискорення:

§15. Момент імпульсу.

Закон збереження моменту імпульсу

Поступальний рух	Обертальний рух
Продовжуючи аналогію можна припустити, що

-Момент імпульсу обертається навколо осіzтела.

Дійсно

=>
=>
, Видно, якщо
, то

Таким чином, якщо алгебраїчна сума моментів всіх сил, прикладених до тіла, щодо осі обертання дорівнює 0, момент імпульсу щодо цієї осі є величина постійна.

Легко довести, що так само зберігається момент імпульсу системи тіл, що обертаються навколо даної осі з різними кутовими швидкостями , а не тільки одного твердого тіла.

Закон збереження моменту імпульсу:

Момент імпульсу замкнутої системи тіл щодо довільної осі є постійна величина.

Наприкінці розглянемо окремі випадки у вирішенні завдань щодо моменту імпульсу тіла, розмірами якого, проти відстанню до осі обертання, можна знехтувати.

1. Матеріальна точка обертається по колу.

2. Якщо точкове тіло рухається у довільному напрямку щодо осі обертання.

, де - Відстань від лінії, спрямованої вздовж швидкості тіла до осі.