Похідна функції заданої неявно.
Похідна параметрично заданої функції

У цій статті ми розглянемо ще два типових завдання, які часто зустрічаються в контрольні роботипо вищої математики. Для того, щоб успішно освоїти матеріал, необхідно вміти знаходити похідні хоча б на середньому рівні. Навчитися знаходити похідні практично з нуля можна на двох базових уроках та Похідна складної функції. Якщо з навичками диференціювання все гаразд, тоді поїхали.

Похідна функції, заданої неявно

Або коротше – похідна неявної функції. Що таке неявна функція? Давайте спочатку згадаємо саме визначення функції однієї змінної:

Функція однієї змінної-Це правило, за яким кожному значенню незалежної змінної відповідає одне і тільки одне значення функції.

Змінна називається незалежної змінноїабо аргументом.
Змінна називається залежною змінноюабо функцією .

Досі ми розглядали функції, задані в явномувигляді. Що це означає? Влаштуємо аналіз польотів на конкретних прикладах.

Розглянемо функцію

Ми бачимо, що ліворуч у нас самотній «гравець», а праворуч – тільки «ікси». Тобто функція у явному виглядівиражена через незалежну змінну.

Розглянемо іншу функцію:

Тут змінні та розташовані «впереміш». Причому ніякими способами неможливовисловити "ігрок" тільки через "ікс". Що за способи? Перенесення доданків із частини до частини зі зміною знака, винесення за дужки, перекидання множників за правилом пропорції та інших. Перепишіть рівність і спробуйте виразити «гравець» у вигляді: . Можна крутити-крутити рівняння годинником, але у вас цього не вийде.

Дозвольте познайомити: приклад неявної функції.

У курсі математичного аналізу доведено, що неявна функція існує(проте не завжди), у неї є графік (так само, як і у «нормальної» функції). У неявної функції так само існуєперша похідна, друга похідна і т.д. Як кажуть, усі права секс-меншин дотримані.

І цьому уроці ми навчимося знаходити похідну від функції, заданої неявно. Це не так складно! Усі правила диференціювання, таблиця похідних елементарних функцій залишаються у силі. Різниця в одному своєрідному моменті, який ми розглянемо зараз.

Так, і повідомлю хорошу новину – розглянуті нижче завдання виконуються за досить жорстким та чітким алгоритмом без каменю перед трьома доріжками.

Приклад 1

1) На першому етапі навішуємо штрихи на обидві частини:

2) Використовуємо правила лінійності похідної (перші два правила уроку Як знайти похідну? Приклади рішень):

3) Безпосереднє диференціювання.
Як диференціювати і зрозуміло. Що робити там, де під штрихами є «Ігреки»?

- просто до неподобства, похідна від функції дорівнює її похідній: .

Як диференціювати
Тут у нас складна функція. Чому? Начебто під синусом лише одна літера «ігрок». Але, річ у тому, що лише одна буква «ігрок» – САМА ЗА СЕБЕ Є ФУНКЦІЄЮ(Див. визначення на початку уроку). Отже, синус – зовнішня функція, – внутрішня функція. Використовуємо правило диференціювання складної функції :

Добуток диференціюємо за звичайним правилом :

Зверніть увагу, що теж складна функція, будь-який «ігрок з наворотами» – складна функція:

Саме оформлення рішення має виглядати приблизно так:


Якщо є дужки, то розкриваємо їх:

4) У лівій частині збираємо доданки, в яких є «ігрок» зі штрихом. У праву частину – переносимо все інше:

5) У лівій частині виносимо похідну за дужки:

6) І за правилом пропорції скидаємо ці дужки у знаменник правої частини:

Похідна знайдена. Готово.

Цікаво відзначити, що у неявному вигляді можна переписати будь-яку функцію. Наприклад, функцію можна переписати так: . І диференціювати її за щойно розглянутим алгоритмом. Насправді фрази «функція, задана у неявному вигляді» та «неявна функція» відрізняються одним смисловим нюансом. Фраза «функція, задана в неявному вигляді» більш загальна та коректна, – ця функція задана у неявному вигляді, але тут можна виразити «гравець» і уявити функцію у явному вигляді. Під словами «неявна функція» частіше розуміють «класичну» неявну функцію, коли «ігрек» висловити не можна.

Слід також зазначити, що «неявне рівняння» може неявно задавати відразу дві або навіть більшу кількість функцій, так, наприклад, рівняння кола неявно задає функції , , які визначають півкола. та нюансами, це була просто інформація для загального розвитку.

Другий спосіб вирішення

Увага!З другим способом можна ознайомитись лише в тому випадку, якщо Ви вмієте впевнено знаходити приватні похідні. Початківці вивчати математичний аналізта чайники, будь ласка, не читайте та пропустіть цей пунктІнакше в голові буде повна каша.

Знайдемо похідну неявної функції другим способом.

Переносимо всі складові в ліву частину:

І розглядаємо функцію двох змінних:

Тоді нашу похідну можна знайти за формулою
Знайдемо приватні похідні:

Таким чином:

Другий спосіб рішення дозволяє виконати перевірку. Але оформляти їм чистовий варіант завдання небажано, оскільки приватні похідні освоюють пізніше, і студент, який вивчає тему «Виробнича функція однієї змінної», знати приватні похідні як би ще не повинен.

Розглянемо ще кілька прикладів.

Приклад 2

Знайти похідну від функції, заданої неявно

Навішуємо штрихи на обидві частини:

Використовуємо правила лінійності:

Знаходимо похідні:

Розкриваємо всі дужки:

Переносимо всі доданки в ліву частину, інші – в праву частину:

Остаточна відповідь:

Приклад 3

Знайти похідну від функції, заданої неявно

Повне рішення та зразок оформлення наприкінці уроку.

Не рідкість, коли після диференціювання з'являються дроби. У таких випадках дробів потрібно позбавлятися. Розглянемо ще два приклади.

Приклад 4

Знайти похідну від функції, заданої неявно

Укладаємо обидві частини під штрихи та використовуємо правило лінійності:

Диференціюємо, використовуючи правило диференціювання складної функції та правило диференціювання приватного :

Розкриваємо дужки:

Тепер нам потрібно позбутися дробу. Це можна зробити і пізніше, але раціональніше зробити відразу. У знаменнику дробу знаходиться . Примножуємо на . Якщо докладно, то це виглядатиме так:

Іноді після диференціювання утворюється 2-3 дроби. Якби в нас був ще один дріб, наприклад, то операцію потрібно було б повторити – помножити кожен доданок кожної частинина

У лівій частині виносимо за дужку:

Остаточна відповідь:

Приклад 5

Знайти похідну від функції, заданої неявно

Це приклад самостійного рішення. Єдине, в ньому, перед тим як позбутися дробу, попередньо потрібно буде позбутися триповерховості самого дробу. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Похідна параметрично заданої функції

Не напружуємось, у цьому параграфі теж все досить просто. Можна записати загальну формулу параметрично заданої функції, але для того, щоб було зрозуміло, я відразу запишу конкретний приклад. У параметричної формі функція визначається двома рівняннями: . Часто рівняння записують під фігурними дужками, а послідовно: , .

Змінна називається параметромі може приймати значення від мінус нескінченності до плюс нескінченності. Розглянемо, наприклад, значення і підставимо їх у обидва рівняння: . Або по-людськи: «якщо ікс дорівнює чотирьом, то ігрок дорівнює одиниці». На координатній площині можна відзначити точку, і ця точка відповідатиме значенню параметра. Аналогічно можна знайти точку будь-якого значення параметра «те». Як і для «звичайної» функції, для американських індіанців параметрично заданої функції всі права також дотримані: можна побудувати графік, знайти похідні тощо. До речі, якщо потрібно побудувати графік параметрично заданої функції, можете скористатися моєю програмою .

У найпростіших випадках є можливість уявити функцію у явному вигляді. Виразимо з першого рівняння параметр: – і підставимо його до другого рівняння: . В результаті отримано звичайну кубічну функцію.

У «важчих» випадках такий фокус не прокочує. Але це не біда, тому що для знаходження похідної параметричної функції існує формула:

Знаходимо похідну від «гравця за змінною те»:

Всі правила диференціювання та таблиця похідних справедливі, природно, і для літери, таким чином, якоїсь новизни у самому процесі знаходження похідних немає. Просто подумки замініть у таблиці всі «ікси» на літеру «те».

Знаходимо похідну від «ікса за змінною те»:

Тепер тільки залишилося підставити знайдені похідні до нашої формули:

Готово. Похідна, як і сама функція, також залежить від параметра .

Що стосується позначень, то у формулі замість запису можна було просто записати без підрядкового індексу, оскільки це «звичайна» похідна «ікс». Але в літературі завжди зустрічається варіант, тому я не відхилятимуся від стандарту.

Приклад 6

Використовуємо формулу

У даному випадку:

Таким чином:

Особливістю знаходження похідної параметричної функції є той факт, що на кожному кроці результат вигідно максимально спрощувати. Так, у розглянутому прикладі при знаходженні я розкрив дужки під коренем (хоча міг цього не робити). Великий шанс, що при підстановці та формулі багато речей добре скоротяться. Хоча зустрічаються, звичайно, приклади і з кострубатими відповідями.

Приклад 7

Знайти похідну від функції, заданої параметрично

Це приклад самостійного рішення.

у статті Найпростіші типові завдання з похідноюми розглядали приклади, у яких потрібно було знайти другу похідну функції. Для параметрично заданої функції також можна знайти другу похідну, і вона за наступною формуле: . Цілком очевидно, що для того, щоб знайти другу похідну, потрібно спочатку знайти першу похідну.

Приклад 8

Знайти першу та другу похідні від функції, заданої параметрично

Спочатку знайдемо першу похідну.
Використовуємо формулу

В даному випадку:

Вчимося знаходити похідні функцій, заданих неявно, тобто заданих деякими рівняннями, що зв'язують між собою змінні xі y. Приклади функцій, заданих неявно:

,

Похідні функцій, заданих неявно, або похідні неявних функцій, досить просто. Зараз розберемо відповідне правило і приклад, а потім з'ясуємо, для чого взагалі це потрібно.

Щоб знайти похідну функції, заданої неявно, потрібно продиференціювати обидві частини рівняння по иксу. Ті доданки, в яких присутній тільки ікс, звернуться до звичайної похідної функції від іксу. А доданки з греком потрібно диференціювати, користуючись правилом диференціювання складної функції, оскільки ігрок - це функція від ікса. Якщо дуже просто, то в отриманій похідній доданку з іксом має вийти: похідна функції від ігрека, помножена на похідну від ігрека. Наприклад, похідна доданку запишеться як , похідна доданку запишеться як . Далі з цього потрібно висловити цей " гравець штрих " і буде отримана похідна функції, заданої неявно. Розберемо це з прикладу.

приклад 1.

Рішення. Диференціюємо обидві частини рівняння по іксу, вважаючи, що гравець - функція від ікса:

Звідси отримуємо похідну, яка потребує завдання:

Тепер дещо про неоднозначну властивість функцій, заданих неявно, і чому потрібні особливі правила диференціювання. У частині випадків можна переконатися, що підстановка в задане рівняння(Див. Приклади вище) замість грека його виразу через ікс призводить до того, що це рівняння звертається в тотожність. Так. наведене вище рівняння неявно визначає такі функції:

Після підстановки висловлювання ігрека в квадраті через ікс початкове рівняння отримуємо тотожність:

.

Вирази, які ми підставляли, вийшли шляхом розв'язання рівняння щодо гравця.

Якби ми стали диференціювати відповідну явну функцію

то отримали відповідь як у прикладі 1 - від функції, заданої неявно:

Але не будь-яку функцію, задану неявно, можна уявити у вигляді y = f(x) . Так, наприклад, задані неявно функції

не виражаються через елементарні функції, тобто ці рівняння не можна дозволити щодо гравця. Тому і існує правило диференціювання функції, заданої неявно, яке ми вже вивчили і далі послідовно застосовуватимемо в інших прикладах.

приклад 2.Знайти похідну функції, заданої неявно:

.

Виражаємо гравець штрих і - на виході - похідна функції, заданої неявно:

приклад 3.Знайти похідну функції, заданої неявно:

.

Рішення. Диференціюємо обидві частини рівняння з ікса:

.

приклад 4.Знайти похідну функції, заданої неявно:

.

Рішення. Диференціюємо обидві частини рівняння з ікса:

.

Виражаємо та отримуємо похідну:

.

Приклад 5.Знайти похідну функції, заданої неявно:

Рішення. Переносимо доданки в правій частині рівняння в ліву частину і праворуч залишаємо нуль. Диференціюємо обидві частини рівняння з ікса.

Розглянемо функцію y(x), яка записується неявним способом у загальному вигляді $F(x, y(x)) = 0$. Похідна неявної функції знаходиться двома способами:

1. Диференціюванням обох частин рівняння
2. За допомогою використання готової формули $ y" = - \frac(F"_x)(F"_y) $

Як знайти?

Спосіб 1

Не потрібно наводити функцію до явного вигляду. Потрібно відразу приступати до диференціювання лівої та правої частини рівняння $ x $. Варто звернути увагу, що похідна $y"$ обчислюється за правилом диференціювання складної функції. Наприклад, $(y^2)"_x = 2yy"$. Після знаходження похідної необхідно виразити $y"$ з отриманого рівняння і розмістити $y"$ у лівій частині.

Спосіб 2

Можна скористатися формулою, в якій використовуються в чисельнику і знаменнику похідні приватні неявної функції $ F(x,y(x)) = 0 $. Для знаходження чисельника беремо похідну по $ x $, а знаменника похідну по $ y $.

Другу похідну неявної функції можна знайти за допомогою повторного диференціювання першої неявної похідної функції.

Приклади рішень

Розглянемо практичні приклади рішень обчислення похідної неявно заданої функції.