Zavdannya, mitä sinä ymmärrät aluslangan kiinteä osa.

On hyväksyttävää, että elementtien toiminto on määritetty ja kirjoita summa muistiin

kuten sitä kutsutaan integraaliksi.

K: Sing-integraalin alla (o.i.) funktiona ja valintana

Nimitys:

Numeroita kutsutaan integroiduiksi (Rіmanin mukaan) .

T. іsnuvannya: Mielillesi, sho.

Vіdpovіdno o.i:n nimittämiseen asti. on tärkeää, että integraali voidaan tallettaa muotoon

Vіdpovіdno cl.17.1.1 ja 17.1.2 asti ja o. kirjoitamme ylös kaavat kaarevan puolisuunnikkaan pinta-alalle: , robottivoimat

osoitteessa:

Aliintegraalin, integraalisummien ymmärtäminen.

Underwire-integraalin perusta niin, että interintegraalisumma annetulle on ilmeinen, koska raja antaa sylinterimäisen kappaleen tilavuuden. Kuitenkin tse mirkuvannya ei є suvorim. Korkeammilla karkaisukursseilla on tarpeen tuoda esiin ja kutsua lause subvertkaalisen integraalin perusteella.

Lause іsnuvannya. Sillä olipa se funktio ilman keskeytyksiä suljetulla alueella, jossa voin mitata a, on aliintegraali, niin että on integraalien välinen summa, jolla on rajoittamaton lisäys mielen pienten maidanchikkien määrässä, että iho niistä vedetään pilkuksi. Tsya-rajaa ei voida tallettaa alueen hajottamiseksi, mutta puolelta, ei pisteiden valintaan.

Nadalі mi vzglyaditimemo ei toimi, ilman keskeytyksiä integraation alalla.

Perustuslauseesta voimme esimerkiksi jakaa alueen pieniksi suorakulmioiksi, joiden sivut ovat suorat koordinaattiakselien suuntaiset (kuva 230). Kun timu. Vibirayuchi potim iholla pieni peräsuolen pisteillä voimme kirjoittaa, zgіdno z nimityksiä subvertical integraali

Sen perustelemiseksi, että taustalla oleva integraali voidaan saada, mielen summan välillä, vikoristin merkin nimi on myös merkki

Virazia kutsutaan suorakulmaisten koordinaattien neliön elementiksi ja suorakulmion lisäneliöksi, jonka sivut ovat samansuuntaiset koordinaattiakselien kanssa.

On tärkeää, että kun integroitu pussi taitetaan, maidanit, jotka liittyvät alueiden väliseen alueeseen, eivät muodosta suorakulmioita. Voidaan kuitenkin todeta, että anteeksipyyntö tällaisten maidanchikkien korvaamisesta neliöiden välissä olevilla neliöillä vähennetään nollaan.

Alisteisten integraalien voima

Aliintegraalin (joogo visnovok) dominanssi on analoginen kerta-lauluintegraalin dominanssin kanssa.

1°. Additiivisuus. Mikä on toiminto f(x, y) integroituneena alueelle D ja alueena D avuksi käyrä G nolla-alue on jaettu kahteen linkkiin, eikä se vaimenna alueen korkeita sisäisiä pisteitä D 1 ta D 2, sitten toiminto f(x, y) integroitu ihoalueille D 1 ta D 2 lisäksi

2°. Lineaarinen teho . Mitä toimintoja f(x, y) sitä g(x, y) integraatio alueella D, a α і β - olipa kyseessä puhenumerot, sitten funktio [ α · f(x, y) + β · g(x, y)] on myös integroitu alueelle D, lisäksi

3°. Mitä toimintoja f(x, y) sitä g(x, y) integraatio alueella D, sitten näiden toimintojen lisätoiminnot integroidaan D.

4°. Mitä toimintoja f(x, y) sitä g(x, y) hyökkäävä yhdentyminen alueella D ja kaikkialla galleriassani f(x, y) ≤ g(x, y), sitten

5°. Mikä on toiminto f(x, y) integroituneena alueelle D, ne toimivat | f(x, y)| integroitu alueelle D, lisäksi

(Tietenkin integroinnin kanssa | f(x, y)| sisään D ei näytä integraatiota f(x, y) sisään D.)

6°. Keskiarvon lause. Mikä loukkaava toiminto f(x, y) sitä g(x, y) integraatio alueella D, toiminto g(x, y) on näkymätön (ei positiivinen) kaikkialla tässä galleriassa, Mі m- funktion tarkat ylä- ja alarajat f(x, y) alueella D, sitten on numero μ joka tyydyttää hermostuneisuuden m ≤ μ ≤ M ja niin, että kaava on voimassa

Zocrema, funktiona f(x, y) toimii keskeytyksettä D, ja alue D zv'yazkova, niin tässä galleriassa on sellainen kohta ( ξ , η ), mitä μ = f(ξ , η ), ja kaava (11) näyttää

LIIKKUVAT INTEGRAALIT

luento 1

Jatkuvat integraalit.Alivirtaintegraalin tarkoitus on valta. Toistuvat integraatiot. Alempien integraalien linkit toistuviin integraaleihin. Sijoittaminen integroinnin väliin. Karteesisen koordinaattijärjestelmän taustalla olevien integraalien laskenta.

Osaintegraali syventää ymmärrystä sing-integraalista kahden muuttujan eri funktioissa. Tällä tavalla integraation päinvastoin tulee esiin tasaisena hahmona.

Älä viitsi D- Dejaka on suljettu, rajattu alue ja f(x,y) - riittävä toiminto, se on merkitty tässä galleriassa. Oletetaan, että alueiden välillä D lasketaan yhteen viimeisestä käyrien määrästä, vertaisten toimeksiantoja mieleen y=f(x) tai x=g( y), de f(x) sitä g(y) ovat keskeytymättömiä toimintoja.

Rozib'ёmon alue D kunnollinen sijoitus n osa. alueella i-ї delyanki on merkityksellinen symbolilla D s i. Iholla dilyantsi, melkoinen fiilis on piste Pi, ja anna se ulos be-yak_y:ssä kiinnittäen karteesisen järjestelmän ma-koordinaatit ( x i, y i). Sklademo kokonaissumma toimintoa varten f(x,y) alueen mukaan D, jonka funktion arvo tunnetaan kaikissa kohdissa Pi, kertomalla їх kaksoiskaavioiden pinta-alalla Ds i Ja oletamme, että kaikki tulokset otetaan pois:

Nazvemo halk(G) alueita G suurin etäisyys alueen rajapisteiden välillä.

Integraali toiminnot f(x,y) alueella D kutsutaan rajaksi, missä määrin integraalisummien sarjaa (1.1) taukojen lukumäärän rajoittamattomalla lisäyksellä n (kenen luona). Kirjoita näin

On syytä huomata, että ilmeisesti tietyn funktion ja tietyn integraatioalueen integraalisumma on esteenä alueen laajentamiselle. D valitse piste Pi. Prote yakshcho podviyny іsnuє іsnuє, tse tarkoittaa, että vіdpovіdny іntegrаlny summien välillä ei ole mahdollista makaa nimettyjen chinnikіv välillä. Järjestyksessä(tai miltä näyttää, yleinen toiminto f(x,y) on integroitu verkkotunnukseen D), riittää, että boolin integraalifunktio keskeytyksettä tehtävägalleria integraatiossa.

Tule toimintoon f(x,y) integroituneena alueelle D. Tällaisten toimintojen kumulatiivisten summien välisiä sirpaleita ei voida kerätä integrointialueen jakamismenetelmällä, jakaminen voidaan suorittaa pysty- ja vaakaviivojen avulla. Todі enemmän liikemiehiä alueella D matime suoraleikkauksen näköinen, tällaisen dorivnyu D:n alue s i=D x i D y i. Siksi aluedifferentiaali voidaan kirjoittaa muodossa ds=dxdy. Otzhe, suorakulmaisessa koordinaatistossa integraalien alla voit kirjoittaa muistiin nähdessäsi

Kunnioittaminen. Kuten integrandifunktio f(x,y)º1, niin integraatioalueen aliintegraali on:

Merkittävää on, että alleviivatut integraatiot voivat olla yhtä voimakkaita kuin yksittäin integroituja. Heidän teot ovat merkittäviä.

Alisteisten integraalien teho.

1 0 .Lineaarinen teho. Integraalien toisen summan funktioiden summan integraali:

ja vakiokerroin voidaan syyttää integraalin etumerkistä:

2 0 .Lisävoimaa. Koska integrointialue D on jaettu kahteen osaan, osaintegraali on täydellisempi kuin iho-osan integraatioiden summa:

3 0 .Keskimääräinen lause. Mikä on toiminto f( x,y)on jatkuva alueella D, silloin galleriassa on sellainen piste(x, h) , mitä:

Lisäravitsemus: miten osaintegraalit lasketaan? Joogo voi olla suunnilleen virahuvati, tällä menetelmällä se on rikki tehokkaita menetelmiä kumulatiivisten summien taitettuja summia, jotka sitten lasketaan numeerisesti ylimääräisten vaalitarkastajien kanssa. Osaintegraalien analyyttisellä laskennalla ne pelkistetään kahdeksi sing-integraaliksi.

Ripustettavat integraalit teekannuille

Tämä oppitunti esittelee suurenmoisen aiheen useista integraaleista, joista opiskelijat kuulevat toisen kurssin. Siirrä se kolminkertaisilla integraaleilla voit zalyakate verhoilijaa ei korkeammalle, alemmalle ero on yhtä suuri tuolle vіdrazulle, katsotaanpa ruokaa: no, mikä se on? Zvichayno, deakim tulee olemaan johdonmukainen, ja rehellisesti sanottuna olen panetellut hieman nimeämistilastoja - jotta voisin oppia virishuvati podvіynі іntegrali, on välttämätöntä äiti deyakі noviisi. Ensinnäkin, jos aiot integroida, sinun on luonnollisesti integroitava. Logiikka. Otzhe, sinun on tiedettävä sovellusten kehittämiseen merkityksettömiä integraaleja tuo määrä lineaariset integraalit kuuma bi keskitasolla. Hyvä uutuus on se, että voimakkain voimin he ovat integroituneet suurempiin vipadkiviin tehdäkseen sen yksinkertaisesti.

Kenelle tulee kovaa? Ymmärsin oikealta. Tim, joka joi paljon olutta ensimmäisten lukukausien aikana. Normaalit opiskelijat voivat kuitenkin olla ylikuormitettuja - sivustolla on kaikki materiaalit aukkojen täyttämiseksi tai käsittämättömästi. Käytät vain yli tunnin. Possilannya niistä, yakі liukastui vyvchiti tai toista, dodavatimutsya pіd tunti statti.

Alkutunnilla keskustellaan vaihe vaiheelta seuraavista perushetkistä:

– Alivirtaintegraalin ymmärtäminen

– Integraatioalue. Integraatioalueen ohitusjärjestys. Kuinka muuttaa ohituksen järjestystä?

Sen jälkeen, kun ymmärrät koko Aasian HYVIN, voit siirtyä artikkeliin Kuinka laskea aliarvioitu integraali? Levitä liuos. Lisäksi on laajempi tehtävä juoksevan integraalin laskeminen napakoordinaateissa että tyypillinen täydennys noin merkitys tasaisen rajatun hahmon painopisteen kannalta.

Aloitetaan röyhkeästä ruoasta - mitä se on?

Alivirtaintegraalin ymmärtäminen

Tietämättömän henkilön alivarianttiintegraali kirjoitetaan seuraavasti:

Katsotaanpa termejä ja määritelmiä:
- Pystyintegraalin kuvake;
- Integrointialue (tasainen kuva);
- Kahden muuttujan integraalinen funktio, usein se on yksinkertainen;
- Tasauspyörästön merkit.

Mitä aliarvioidun integraalin laskeminen tarkoittaa?

Laske taustalla oleva integraali - tse-keskiarvo tiedä KILO. Yksinkertaisin numero:

І vkray bazhano know yogo oikein =)

Tulos (luku) voi olla negatiivinen. Ja nolla voidaan syöttää helposti. Erityisesti zupinivsya tiettynä hetkenä, oskolki chimalo opiskelijat olivat levoton, jos tulet ulos "jotain muuta ihmeellistä."

Bagato, joka muistaa sen "upea" arvo integraali- Tezh-numero. Täällä se vain on niin. Underwire-integraalissa on іsnuє i vіdminny geometrinen zmist, Ale noin tse pіznіshe, usumu svіy tunti.

Kuinka laskea aliarvioitu integraali?

Taustalla olevan integraalin laskemiseksi on tarpeen kutsua se seuraavasti toistamme integraalit. Zrobiti tse mahdollista kaksi tapaa. Hyökkäävän menetelmän suurin laajennus:

Varajäsen elintarvikehuolto on tarpeen perustaa välillä integraatio. Lisäksi ulkoisen integraalin ravitsemukselliset merkit ovat yksin - tse numeroita, ja sisäisen integraalin ravitsemusmerkkien alajohdot ovat toimintoja odnієї zminnoї , scho tallettaa "iks" muodossa.

Ota tähdet integraation välillä? Haju on makaa v_d tsgogossa, kuten tietyn alueen pään mielelle. Alue on upea litteä figuuri, jonka kanssa tarttuit toistuvasti yhteen esimerkiksi silloin, kun tasaisten kuvioiden numeroidut alueet tai vartalokääreiden määrän laskeminen. Nezabar osaa asettaa integraation rajat oikein.

Tämän jälkeen, kun siirtyminen toistuviin integraaleihin päätetään, suoritetaan seuraava laskenta ilman välikäsiä: ensin otetaan sisäinen integraali ja sitten ulompi. Yksi toisensa jälkeen. Zvіdsi nimi - iteratiiviset integraalit.

Karkeasti näyttävästi tehtävänä on laskea kahden lauluintegraalin laskentaan asti. Kuinka kaikki ei ole niin johdonmukaista ja pelottavaa, ja kuinka törmäsit "yksittäiseen" sing-integraaliin, mitä sinun täytyy erottaa kahdesta integraalista ?!

Toinen tapa siirtyä iteroituihin integraaleihin on yksinkertaisempi:

Mikä on muuttunut? Integrointijärjestys on muuttunut: nyt sisempi integraali otetaan "ix":lle ja ulompi - "iplayer". Integroinnin välillä, merkitty tähdillä - ole erilainen! Yksi kerrallaan ulomman integraalin - tse - tähdet numeroita, ja sisäisen integraalin alla olevat tähdet ovat kääntötoiminnot, scho valehtelee muodossa "igrok".

Mikä bi mi ei valinnut tapaa siirtyä toistuviin integraatioihin, jäännösääni obov'yazkovo viide että itse:

Ole kiltti, muista vallan tärkeys, koska se on mahdollista vikoristovuvati, zokrema, uudelleen varmentamiseen ratkaisu.

Algoritmi aliintegraalin ratkaisemiseksi:

Järjestämme tiedot: missä järjestyksessä tehtävää pitäisi tarkastella?

1) Tuoli on viskosoitava. Ilman nojatuolia tehtävänä ei ole rikkoutua. Tarkemmin sanottuna et voita, mutta se on samanlainen kuin sekillä pelattava peli. Kuvaa alue nojatuolissa litteänä hahmona. Useimmiten hahmo on yksinkertainen ja sitä ympäröivät viivat, paraabelit, hyperbolit jne. Pätevä että shvidku tekhnіku pobudovі koslene voidaan hallita tunneilla Alkeisfunktioiden graafit ja peruspotenssit, grafiikan geometrinen muunnos. Otzhe, ensimmäinen vaihe on nojatuolin vikonati.

2) Määritä integraatioiden välillä ja siirry toistuviin integraatioihin.

3) Ota sisäinen integraali

4) Ota nykyinen integraali ja vähennä erotus (luku).

Integraatioalue. Integraatioalueen ohitusjärjestys.
Kuinka muuttaa ohituksen järjestystä?

Tässä kappaleessa voimme nähdä tärkeimmän ruoan - kuinka mennä toistuviin integraatioihin ja oikein sijoittaa integraatioiden väliin. Kuten enemmän sanottiin, voit tehdä sen seuraavasti:

Pidän tästä:

Käytännössä hankalimpien tehtävien oppiminen johtaa eniten vaikeuksiin, ja opiskelijat usein eksyvät integroitumisprosessiin. Katsotaanpa konkreettista esimerkkiä:

peppu 1

Ratkaisu: Visualisoidaan nojatuolin integrointialue:

Zvichayna litteä figuuri eikä mitään erikoista.

Nyt näen sinulle ihonhoitotyökalun - kaivutikun, laserosoittimen. Tehtävänä on skannata varjostetun alueen ihopiste:

Edistä laseria läpäisemään integraatioalueen tiukasti alamäkeen, sinun on viimeisteltävä tilauksesi alempi litteitä hahmoja. Promin siirtyä alueelle koko abskissan kautta, kuten yhtäläiset pyytävät, ja poistumaan alueelta paraabelin (punainen nuoli) kautta. Koko alueen valaisemiseksi tarvitset jyrkästi vihainen oikealle piirrä vkazіvka vzdovzh osі vіd 0-1 (vihreä nuoli).

Otzhe, mitä tapahtui:
"Іgrek" muuttuu 0:sta arvoon ;
"ix" muuttuu 0:sta 1:ksi.

Tehtävien osalta edellä sanotaan olevan kirjoitettu epäjohdonmukaisuuksien varalta:

Nimeä epäjohdonmukaisuustiedot ohittaen integraation gallerian tai vain integroinnin järjestys

Kun olemme selvittäneet ohitusjärjestyksen, voimme siirtyä alivirtaintegraalista iteroituihin integraaleihin:

Puolet tehtävästä on suoritettu. Nyt on tarpeen siirtyä iteroituihin integraaleihin eri tavalla. Kenelle sinun pitäisi tietää keskeiset toiminnot. Kuka tuntee oppitunnin toisen kappaleen Volyymivartalokääre se on helpompaa. Tarkastellaan toimintoja, jotka määrittävät alueen . Se on vielä yksinkertaisempaa, siirry sitten paluufunktioihin, mikä tarkoittaa sanomista "iksi" kautta "igreeks". Yksi toiminto, de є minä "iks" ja "iplayer", є.

Yakscho, lisäksi:
kääntöfunktio asettaa paraabelin oikean puolen;
Käänteistoiminto asettaa paraabelin vasemman kulman.

Ei ole harvinaista syyttää sumnivia, akselia, esimerkiksi paraabelin vasemman tai oikean puolen merkkitoimintoa? Erojen yhteenveto on vielä yksinkertaisempaa: ota esimerkiksi parabolinen piste (oikeasta neulasta) ja aseta koordinaatit suoralle viivalle, esimerkiksi samalle viivalle:

Oikea tasa-arvo on otettu pois, tästä lähtien funktio osoitetaan paraabelin oikealle, mutta ei vasemmalle.

Enemmän kuin se tsyu kaiku(ajatuksia mustalla) viettää iltaa sen jälkeen, kun olet siirtynyt paluufunktioihin. En lainaa mitään tuntiin, mutta laulan anteeksi rannikolla!

Integraatioalue ohitetaan toisella tavalla:

Nyt voimme leikata laserosoittimen levoruch Näytä gallerian integrointi. Promin laserpassialue jyrkästi vihainen oikealle. klo tähän nimenomaiseen tyyppiin v mene alueelle parabolisen neulan kautta ja poistu alueelta suoran linjan kautta, kuten yhtäläiset (punainen nuoli) asettavat. Koko alueen skannaamiseksi laserilla on suoritettava vzdovzh-akseli tiukasti alamäkeen syötä 0–1 (vihreä nuoli).

Tällä tavalla:
"iks" muuttuu arvosta 1;
"Іgrek" muuttuu 0:sta 1:ksi.

Menettely sääntöjenvastaisuuksiksi kirjattavan alueen ohittamiseksi:

Sitten siirtyminen toistuviin integraatioihin on seuraava:

Vidpovid voidaan kirjoittaa näin:

Jälleen kerran veikkaan, että jäännöstulosta ei voida laskea sen mukaan, missä järjestyksessä alueet ohitettiin (kelpoisuus määritettiin tälle). Se on kuitenkin vielä kaukana lopullisesta tuloksesta, nyt meidän tehtävämme ei ole enää sijoittaa integraatiota oikein.

peppu 2

Tanskan osaintegraali integraatioalueen kanssa. Siirry toistuviin integraatioihin ja laajenna integraatioiden välillä kahdella tavalla.

Tämä on esimerkki itsenäisestä ratkaisusta. Herätä tuoli asiantuntevasti ottamaan suoraa linjaa kiertotiellä(tähdet ja minne loistaa laserosoittimella). Zrazok hieno muotoilu kuin oppitunti.

Suurin osa tyypillisiä tehtäviä trochit kutistuvat eri kaavassa:

peppu 3

Indusoi integraatioalue

Ratkaisu: Mielelle annettiin ensimmäinen tapa ohittaa alue. Päätökset alkavat uudelleen tuolista. Täällä alue ei makaa hopealautasella tummalla oblyamіvkoylla, vaan rohkaisemaan sinua olemaan luomatta erityisiä vaikeuksia. Kämmenselässä "knіmaєmo" toimii integroinnista: , . Funktio asettaa mielivaltaisesti suoran, mutta mitä funktio asettaa? Vaihdetaanpa troch:
- lähellä keskustaa säteen 2 koordinaattien tähkällä. Funktio w asettaa yläviivan (älä unohda, jos summaat sen, voit aina asettaa pisteen, joka sijaitsee ylä- tai alaviivalla).

Ihmettelemme ulomman integraalin välillä: "ix" muuttuu arvosta -2 arvoon 0.

Vikonaemo nojatuolit:

Tarkemmin sanottuna olen osoittanut nuolilla ensimmäisen tavan ohittaa alue, joka puolestaan ​​kertoo mielen iteratiiviset integraalit: .

Nyt on tarpeen muuttaa alueen ohitusjärjestystä, jota varten siirrymme kääntötoimintoihin (eli "iksi" kautta "іgreki"):

Ei kauan sitten järjestimme toiminnon uudelleen panoksen tasolle, sanotaan "iks":
Tämän seurauksena tarvitaan kaksi keskeistä toimintoa:
- Oikean pivkolon allekirjoittaminen;
- Merkittävä leva pіvkolo.
Tiedän saman, aivan kuin syyttäisin sumnivia, ota piste ja sano, vasen ja oikea.

Muuta alueen ohituksen järjestystä:

Zgidno toisella tavalla, laser promin tulla sisään alueelle levoruch leijonan läpi pivkolo i mennä oikeakätisesti suoran viivan kautta (punainen nuoli). Samaan aikaan laserin asettaminen suoritetaan ordinaattien akselilla ylämäkeen syötä 0 - 2 (vihreä nuoli).

Tässä järjestyksessä tilaus alueen ohittamiseksi:

Zagal voidaan kirjoittaa vihje:

peppu 4

Tämä on esimerkki itsenäisestä ratkaisusta. Peppu ei ole enää taitettava, mutta kunnioita sitä, että menettely kourallisen tehtävien ohittamiseksi eri tavalla! Miksi työskennellä sellaisessa vipadkahissa? Ensinnäkin tuolien vaikeuksia syyttäen, tuolin sirpaleet saavat verenvuototoiminnon aikataulun yhtäkkiä vihjailemaan itseäni. Suosittelen seuraavaa tilausta: otamme ensin "ensisijaisen" toiminnon (sanomme "gravets" ja "iks"). Annamme sinulle aikataulun "extreme"-toiminnolle (voit aina hemmotella, jos haluat krapkovoa). Vastaavasti voimme käyttää suurempaa yksinkertaista lineaarifunktiota: voimme "haudata" ja johtaa suoraa.

Analysoimme interintegraatiorakoja: menemme keskialueelle i:n kautta ja poistumme :n kautta. Kun teet kaiken oikein, voit siirtyä "kreikkalaiseen" sileyteen -1:stä 0:aan. Koska olet määrittänyt tuoliin integraatioalueen, muuta erikoisvaikeuksien varastossa kulkujärjestystä. Zrazok suunnitteli ratkaisun oppitunnille.

Samanlainen perse selvitän hieman myöhemmin.

Navіt yakscho olet ymmärtänyt kaiken hyvin, ole ystävällinen, älä kiirehdi, mene suoraan eteenpäin juoksevan integraalin laskemiseen asti. Kiertotien järjestys on rikas, ja on tärkeää saada käsiinsä joitain päitä, se on enemmän, en ole vielä katsonut kaikkea!

Etuosan chotyroh-papuissa integraatioalue nähtiin kokonaisuutena 1., 2., 3. ja 4. koordinaattineljänneksissä. Miksi odottaa noin? Ei, ilmeisesti.

peppu 5

Muuta integroinnin järjestystä

Ratkaisu: Se on kuin tuoli, jolla funktion kuvaaja on itse asiassa kuutioinen paraabeli, ei vain "makaa kyljellä":

Alueen ohitusjärjestys, joka ohjaa iteroidut integraalit , merkitty nuolilla. On kunnioitettava, että tuolin vikonnannyn aikana maalattiin vielä yksi rajattu hahmo (levoruch ordinaattien akselilla). Siksi meidän pitäisi kunnioittaa alueen yhdentymistä - alueen osalta voitte antaa anteeksi väärän luvun.

Siirrytään takaisin paluufunktioihin:
- tarvitsemme paraabelin oikean pään;

Muutetaan alueen ohituksen järjestystä. Kuten muistat, toisella tapaa ohittaa alue on tarpeen skannata alue oikealla olevan laserkytkimen avulla. Ale täällä posterіgaєtsya cіkava rіch:

Kuinka korjata vastaavissa tilanteissa? Tällaisissa tapauksissa jaa integrointialue kahteen osaan ja laske iho-osaan toistuva integraatiosi yhteen:

1) Jos "painovoima" muuttuu arvosta -1 arvoon 0 (vihreä nuoli), syötä alueelle kuutioparaabelin kautta ja poistu suoran linjan kautta (punainen nuoli). Siksi alueen ohitusjärjestys on seuraava:

2) Jos "painovoima" muuttuu 0:sta 1:ksi (ruskea nuoli), mene välittömästi alueelle parabolisen neulan kautta ja poistu tuon hyvin suoran viivan kautta (punainen nuoli). Sitten järjestys alueen ohittamiseksi on seuraava:

Toistin toistetut integraalit:

Laululla ja useilla integraaleilla on tietty voima additiivisuus jotta ne voidaan taittaa, mikä tietyllä tavalla ja seuraavaksi kasvaa:
- Ja akseli ja kävelymme alueella eri tavalla, katsoen kahden integraalin summaa.

Vidpovid kirjoita näin:

Mikä kiertämisjärjestys on ilmeisin? Zvichayno se, joka kirjain annetaan tehtävän mielessä - lasket kaksi kertaa vähemmän!

peppu 6

Muuta integroinnin järjestystä

Tämä on esimerkki itsenäisestä ratkaisusta. Uuden kohdalla on pivkol, jonka analyysiä kerrottiin käyneen läpi liitteessä 3. Ratkaisu laadittiin kuin oppitunti.

Ja heti, obіtsyane zavdannya, jos tehtäväluettelo on toinen tapa ohittaa alue:

peppu 7

Muuta integroinnin järjestystä

Ratkaisu: Jos menettely tehtävien ohittamiseksi eri tavalla, ennen herätystuolia, on siirryttävä "ylempiin" toimintoihin. Kenen takapuolella on kaksi potilasta transformaatiota varten: i.
Lineaarisella funktiolla kaikki on yksinkertaista:

Funktion kuvaaja on paraabeli, jolla on kanonisuusvaatimus.

Virazimo "iplayer" - "ix":

Otamme paraabelista kaksi nastaa: i. Yaku heiltä vibrati? Yksinkertaisin asia on nähdä nojatuolin vikonaatti. Jos olet unohtanut analyyttisen geometrian materiaalin paraabelista, niin krapkovolle voidaan tehdä yksi loukkaus:

Jälleen kerran kunnioitan sitä tosiasiaa, että tässä nojatuolissa oli ripaus litteitä hahmoja ja on tärkeää valita figuuri! Vitsailevien hahmojen valinnassa he auttavat sinua muiden integraalien yhdistämisessä:
, jolloin älä unohda mitä suunnanvaihtofunktio asettaa kaikki paraabeli.

Nuolet, jotka osoittavat kuvien kiertotien, osoittavat tarkasti integraatioiden integroinnin rajat .

Dosit shvidko opit tekemään tällaisen analyysin mielessäsi ja tiedät integraatioalueen tarpeen.

Jos kuva löytyy, ratkaisun viimeinen osa on vielä yksinkertaisempi, muutamme alueen ohitusjärjestystä:

Paluufunktiot ovat jo tiedossa ja tarvittava toimenpide alueen ohittamiseksi:

Ehdotus:

Viimeinen esimerkki kappaleesta itsenäistä kehitystä varten:

peppu 8

Muuta integroinnin järjestystä

Ulkoisesti ratkaisu on, että se on samanlainen kuin oppitunti.

Aloitetaan tarkastelemalla alivarianttiintegraalin laskentaprosessia ja tutustumalla siihen geometrisesti monimutkaisesti.

Aliintegraali on numeerisesti parempi kuin litteän hahmon pinta-ala (integraatioalueet). Aliintegraalin yksinkertaisin muoto, jos kahden muuttuvan funktio on: .

Voimme katsoa pään takaosaan pahamaineisella ilmeellä. Samalla liikut, kaikki on todella yksinkertaista! Laske litteiden lukujen pinta-ala, linjojen ympäröimänä. Laulua varten on tärkeää, että sinulla on vіdrіzku. Kuvien alueet ovat numeerisesti edistyneempiä:

Kuvaamme alueen nojatuolissa:

Valitse ensimmäinen tapa ohittaa alue:

Tällä tavalla:

І kerran tärkeä tekninen temppu: toistuvia integraaleja voidaan syöttää. Ensinnäkin sisäinen integraali, sitten ulompi integraali. Suosittelen vahvasti tanskalaista tapaa näille teekannuille.

1) Laske sisäinen integraali, jolla integrointi suoritetaan muutokselle "gravet":

Ei-merkittävyyden integraali tässä on yksinkertaisin ja kauempana voittoisa banaali Newton-Leibnitzin kaava samalla erolla, että integraatioiden välillä ei ole numeroita, vaan funktioita. Pään takaosa asetettiin "igrok" (alkuperäinen toiminto) ylärajaan, sitten alaraja

2) Ensimmäisestä pisteestä vähennetty tulos on lisättävä nykyiseen integraaliin:

Isompi kompakti tallenne koko ratkaisusta näyttää tältä:

Otrimanin kaava - tämä on täsmälleen toimiva kaava litteän hahmon alueen laskemiseksi "äärimmäisen" lauluintegraalin avulla! Ihaile oppituntia Pinta-alan laskenta lauluintegraalin avulla, Siellä se on iholla croci!

Tobto, tehtävänä laskea pinta-ala alalankaintegraalin avulla harvat välittävät lauluintegraalin avuksi! Itse asiassa se on sama!

On selvää, että se ei ole syyllinen vaikeuksiin! Katson pieniä peppuja, sinun sirpaleitasi, itse asiassa useammin kuin kerran, jotka ovat juuttuneet yhteen näiden tehtävien kanssa.

peppu 9

Laske aluslangan integraalin avulla litteän hahmon pinta-ala, jota ympäröivät viivat,

Ratkaisu: Kuvaamme alueen nojatuolissa:

Kuvan pinta-ala lasketaan kaavan subvertkaalisen integraalin avulla:

Valitse seuraava tilaus ohittaaksesi alueen:

Täällä ja edelleen, en viivyttele kuinka katsoa alueella, ensimmäisen kappaleen sirpaleet tuotiin vielä selvemmin esiin.

Tällä tavalla:

Kuten olen jo osoittanut, kansalaisten on helpompi laskea toistetut integraalit nopeammin, minkä lisään menetelmään:

1) Newton-Leibnizin kaavojen takana oleva rivi analysoidaan sisäisellä integraalilla:

2) Tulos, josta on vähennetty ensimmäinen krokki, korvataan olemassa olevalla integraalilla:

Kohta 2 - itse asiassa tasaisen asennon alueen rebuffointi sing-integraalin avulla.

Ehdotus:

Akseli on niin huono ja naїvne zavdannya.

Cicavi-peppu itsenäiselle kirsikalle:

peppu 10

Laske aluslangan integraalin avulla litteän hahmon pinta-ala, jota ympäröivät viivat,

Vilaus oppitunnin lopullisesta suunnitteluratkaisusta.

Prikladakhissa 9-10 on huomattavasti tärkeämpää voittaa ensimmäinen tapa ohittaa alue, juoda enemmän lukemista, ennen puhetta, voit muuttaa ohitusjärjestystä ja laskea alueen toisella tavalla. Jos et anna anteeksi, näet luonnollisesti oman merkittävän alueesi.

1.1 Pystyintegraalin määritys

1.2 Osaintegraalin dominanssi

Aliintegraalin (joogo visnovok) dominanssi on analoginen kerta-lauluintegraalin dominanssin kanssa.

1°. Additiivisuus. Jos funktio f(x, y) on integroitu alueeseen D ja jos alue D lisäkäyrän Г ulkopuolella, alue nolla on jaettu kahteen linkkiin eikä sillä voi olla yhteisiä sisäisiä pisteitä alueella D 1 ja D 2, niin Lisäksi funktio f(x, y) on integroitu ihoon alueilta D 1 ja D 2

2°. Lineaarinen teho. Miten funktiot f(x, y) ja g(x, y) ovat integroitavissa avaruudessa D, vai mitä? minä? - olipa kyseessä puhenumerot, sitten funktio [? f (x, y) + ? g (x, y)] on lisäksi integroitu alueeseen D

3°. Koska funktiot f(x, y) ja g(x, y) ovat integroitavissa alueella D, niin näiden funktioiden lisäfunktiot ovat integroitavissa D:ssä.

4°. Miten funktiot f(x, y) ja g(x, y) voidaan integroida alueeseen D ja ristiin f(x, y)? g(x, y), sitten

5°. Koska funktio f(x, y) on integroitu alueeseen D, niin th funktio |f(x, y)| integroitu D-alueelle

(Ilmeisesti | f (x, y) | D:n integrointi ei näytä f (x, y):n integrointia D:ssä.)

6°. Keskiarvon lause. Vaikka loukkaavat funktiot f(x, y) ja g(x, y) on integroitu alueeseen D, funktio g(x, y) on näkymätön (ei-positiivinen) kaikkialla tällä alueella, M ja m ovat täsmälleen funktion f( x, y) ylä- ja alaraja alueella D, silloin on olemassa luku?, joka tyydyttää m?:n epätasaisuuden? ? ? M i niin, että kaava on voimassa

Sokrema, koska funktio f(x, y) on jatkuva D ja alue D on kytketty, niin tässä toimialueella on sellainen piste (?, ?), Mikä? = f(?, ?), ja kaava näyttää tältä

7°. Tärkeä geometrinen voima. oleskelutila D

Olkoon kappale T (kuva 2.1) pedolle - alueen D alapuolella olevalle avaruudelle - kaavio keskeytymättömästä ja näkymättömästä funktiosta) z \u003d f (x, y,) sellaisena kuin se on osoitettu avaruuteen D, sivuilta - sylinterimäinen pinta, suora є alueen D välillä ja ovat yhdensuuntaisia ​​Oz-akselin kanssa. Tämän tyyppistä runkoa kutsutaan sylinterimäiseksi kappaleeksi.

1.3 Pystyintegraalin geometrinen tulkinta

1.4 Suorakulmion pystyintegraalin ymmärtäminen

Olkoon suorakulmiolle R = ? annettu riittävä funktio f(x, y) kaikkialla? (jako kuva 1).

Rosmariini segmentti? x? b n osittaissegmentillä apupisteen a = x 0 ulkopuolella< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.

Tsomu razbittya suorien viivojen avuksi, yhdensuuntaiset akselit Ox і Oy jakaa suorakulmion R n · p osasuorakulmioiksi R kl = ? (k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Osoitettu suorakulmion R jaolla, se on merkittävä symbolilla T. Annoimme sille jaon termin "suorakulmio" alle ymmärtääksemme suorakulmion, jonka sivut ovat yhdensuuntaiset koordinaattiakselien kanssa.

Ihon chastkovy-suorakulmiossa Rkl valitsemme täyden pisteen (?k,?l). Kun on asetettu ?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1, se on merkitsevä suorakulmion R kl alueen ?R kl:n kautta. Ilmeisesti AR kl = A x k y l.

kutsutaan funktion f(x, y) integraalisummaksi, joka antaa suorakulmion R tietyn jakauman T ja tietyn välipisteiden valinnan (? k, l) jakauman T osittaisilla suorakulmioilla.

Diagonaalia kutsutaan suorakulmion halkaisijaksi R kl . Symboli? Merkittävästi suurin kaikista yleisistä suoraleikkauksista R kl .

Lukua I kutsutaan integraalisummien (1) rajaksi pisteessä? > 0, kuinka se voi olla mikä tahansa positiivinen luku? voitko sanoa niin Päivämäärä?, mitä?< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство

| ? - Minä |< ?.

Funktiota f(x, y) kutsutaan integroiduksi (Riemannin mukaan) suorakulmiolla R, koska funktion at? integraalisummien välillä on lopullinen raja >0.

Nimettyä rajaa I kutsutaan funktion f(x, y) osaintegraaliksi suorakulmiolla R ja se on merkitty jollakin seuraavista symboleista:

Kunnioittaminen. Eli aivan kuten kerta-sing-integraalille, todetaan, että funktio f(x, y) on integroitu suorakulmioon R ja on rajattu tälle suorakulmiolle.

Tämä antaa mahdollisuuden katsoa kauemmaksi funktioiden f(x, y) rajasta.

Aliintegraalilla on voima, joka on analoginen sing-integraalin tehon kanssa. Huomattavasti vähemmän kuin tärkeimmät:

1. Mitkä ovat toiminnot
integraatio alueella
, niin integrointi niihin on lisäksi määrä ja ero

2. Vakiokertoja voidaan syyttää alimuunnosintegraalin etumerkistä:

3. Yakscho
integroitu alueelle
, ja tämä alue on jaettu kahteen alueeseen, jotka eivät ole päällekkäisiä і
, sitten

.

4. Yakscho
і
integraatio alueella
, yakіy

, sitten

.

5. Mitä alueella on
toiminto
tyytyväinen epäjohdonmukaisuuksiin


de
і
 toimii dіysnі numerot, sitten

,

de – alueen alue
.

Näiden potenssien todistukset ovat analogisia yksinkertaisen integraalin toisten lauseiden todistuksen kanssa.

Pystyintegraalin laskenta suorakaiteen muotoisina suorakulmaisina koordinaatteina

Olkoon tarpeen laskea alla oleva integraali
, de alue - Suorakaiteen muotoinen, jolle on ominaista epäsäännöllisyydet ,.

Oletetaan, että
on katkeamaton samassa suorakulmiossa ja turpoaa uudessa tuntemattomassa arvossa, vaikka kappaleen tilavuuden integraali kantaan , reunustettu petolla päällä
, sivuilta - tasainen
,
,
,
:

.

Toiselta puolelta tällainen luku voidaan laskea sing-integraalin avulla:

,

de
- alue, jossa tämä kappale ylitetään tason kautta, joka kulkee pisteen läpi ja kohtisuorassa akseliin nähden
. Analyysin sirpaleet ristissä kaarevan puolisuunnikkaan kanssa
, jota ympäröi peto funktiokaaviolla
, de kiinteä ja , sitten

.

Z tsikh triokh yhtäläisyydet vyplivaє, scho

.

Tästä lähtien perusintegraalin laskenta oli kahden sing-integraalin laskentaa; laskettaessa "sisäistä integraalia" (kirjoitettu kaareihin) olla muuttumaton.

Kunnioittaminen. Voitko selittää, että loput kaavasta ovat oikein milloin
, sekä yhdellä silmäyksellä, jos toiminto
muuta ilmoitetun suorakulmion etumerkkiä.

Kaavan osan oikeuksia kutsutaan iteroiduksi integraaliksi ja nimetään seuraavasti:

.

Vastaavasti se voidaan osoittaa

.

Sen yläpuolella, mitä on sanottu, huudat

.

Tasa-arvon säilyttäminen tarkoittaa, että integraation tuloksen tulee olla integroitumisjärjestyksessä.

Tarkastellaksemme syvintä rinnettä, esitellään standardialueen ymmärtäminen. Suoraan akselille annettua standardia (tai oikeaa) aluetta kutsutaan sellaiseksi alueeksi, jolle sen tulee olla suora, yhdensuuntainen akselin keskipisteen kanssa, ei enää alueen välissä, kahdesta pisteestä alempana. Muuten näyttää siltä, ​​että alue kaatuu, että її Cordon on vain yksi tuulta suoraan.

On hyväksyttävää, että alue on ympäröity

jota ympäröi peto funktiokaaviolla
, alareunassa - funktion kaavio
. Tule R ( ,) - pienin suorakulmio, johon alue on asetettu
.

Mene alueelle
että keskeytymätön toiminto on määritetty
. Esittelemme uuden toiminnon:

,

samanlainen kuin underwire-integraalin tehot

.

Minä myöhemmin,

.

Oskіlki vіdrіzok
peittämään alueen
sitten myöhemmin,
klo


, mutta makaa vіdrіzkom asennossa, sitten
.

Kiinteillä voimme kirjoittaa:

.

Ensimmäinen ja kolmas integraali integroinnin oikealla puolella laskevat yhteen nollan

.

Otzhe,

.

Miksi on tarpeen käyttää kaavaa juoksevan integraalin laskemiseen standardiakselin alueen yli
linkin kautta toistuvaan integraaliin:

.

Yakscho alue
є vakio y suora akseli
hän näkyy epäjohdonmukaisuuksina ,

, samalla tavalla sen voi todistaa

.

Kunnioittaminen. Alueelle
, vakio y suorat akselit
і
, siellä on Vicons

Tässä kaavassa integrointijärjestys ja alilineaarisen integraalin laskentatunti muuttuvat.

Kunnioittaminen. Heti kun integrointialue lakkaa olemasta standardi (oikea) molemmilla koordinaattiakseleilla, її jaetaan standardialueiden summana ja edustaa integraali näiden alueiden integraatioiden summana.

peppu. Laske juokseva integraali
alueen mukaan
, jota ympäröivät viivat:
,
,
.

Ratkaisu.

Tsya-alue on tavallinen jakin schodo-akseli
, niin minä
.

Laskemme integraalin ottaen huomioon vakioakselin alueen
.

.

Kunnioittaminen. Kuinka laskea integraali, kun otetaan huomioon standardiakselin pinta-ala
, otamme saman tuloksen:

.

peppu. Laske juokseva integraali
alueen mukaan
, jota ympäröivät viivat:
,
,
.

Ratkaisu. Edustettavasti integraatioalue annetaan pienelle.

Tsya-alue on tavallinen schodo-akseli
.

.

peppu. Muuta toistuvan integroinnin integrointijärjestystä:

Ratkaisu. Kuvitellaanpa integraation alue.

Interintegraatiolinjoista tunnemme linjat, jotka sulkevat sisäänsä integraatioalueen: ,
,
,
. Voimme muuttaa integrointijärjestystä toimivina sisään ja tiedämme ylityskohdan:

,
,
.

Joten yhdellä intervalleista funktio ilmaisee kaksi analyyttistä viraasia, integraatioalue on jaettava kahteen alueeseen, ja veron toistuva integraali on kahden integraation summa.

.