Häviöllisen integraalin laskentamenettely on samanlainen kuin juoksevan integraalin yleinen toiminta. її-kuvauksessa esittelemme oikean triviaalialueen ymmärtämisen:

Ajanvaraus 9.1. Triviaalialuetta V, jota ympäröi suljettu pinta S, kutsutaan säännölliseksi, koska:

1. olla suora, yhdensuuntainen akselin kanssa Oz, joka piirretään alueen sisäisen pisteen läpi ylittäen S:n kahdessa pisteessä;
2. koko alue V projisoidaan Oxy-tasolle säännöllisellä kahden maailman alueella D;
3. voiko alueen V osalla, joka näkyy siinä tasossa, yhdensuuntainen sen kanssa, onko se koordinaattitasoista, olla teho 1) ja 2).

Katsotaan oikeaa aluetta V, rajaan pohjan ja yläosan pinnoilla z=χ(x,y) ja z=ψ(x,y) ja projisoidaan Oxu y -tasolle, oikea alue D, keskimmäinen jonka rajoissa x muuttuu a:sta b:hen, sitä ympäröivät käyrät y=φ1(x) ja y=φ2(x) (kuva 1). Olkoon f(x, y, z) jatkuva funktio alueella V.

Ajanvaraus 9.2. Sitä kutsutaan funktion f(x, y, z) kolminkertaiseksi integraaliksi alueella V muodossa:

Trirazovy іntegra maє tі zh vlastivostі, shcho і dvorazovy. Pererakhuyemo їх ilman vahvistusta, hajun sirpaleet nousevat esiin samalla tavalla kuin jaardikohtaisen integraalin putoaminen.

Häviöllisen integraalin laskenta.

Lause 9.1. Säännöllisen alueen V funktion f(x,y,z) kolmoisintegraali on sama kuin saman alueen kolmoisintegraali:

. (9.3)

Tuominen.

Rozіb'ёmo alueen V tasot, yhdensuuntaiset koordinaattitasojen kanssa, n säännöllisillä alueilla. Todі z teho 1 huutaa

missä on funktion f(x,y,z) kolmikertainen integraali alueella .

Vikoristovuyuchin kaava (9.2), eteenpäin suuntautuva pariteetti voidaan kirjoittaa uudelleen yhdellä silmäyksellä:

Funktion f (x, y, z) jatkuvuuden ymmärtäminen on selvää, mikä on yhtälön yhtälön oikealla puolella olevan integraalisumman välissä ja on yhtä suuri kuin kolmas integraali. Sitten siirryttäessä rajalle, jolloin otamme:

mitä piti tuoda.

Kunnioittaminen.

Samalla tavalla kuin alivirtaintegraalin putoaminen, voidaan tuoda, että integrointijärjestyksen muuttaminen ei muuta kolmikertaisen integraalin arvoa.

peppu. Integraalin de V laskeminen on kolmiopyramidi, jonka kärjet ovat pisteissä (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) ja (0, 0, 1). Її projektio Oxy-tasolle є tricutnik, jonka kärjet (0, 0), (1, 0) ja (0, 1). Alhaalta aluetta rajaa alue z = 0 ja ylhäältä alue x + y + z = 1. Siirrytään kolmoisintegraaliin:

Kaksoisintegraalin etumerkistä voidaan syyttää kertoimia, jotka eivät ole muuttuvassa integraatiossa:

Käyräviivaiset koordinaattijärjestelmät triviaalassa.

1. Sylinterimäinen koordinaattijärjestelmä.

Pisteen sylinterimäiset koordinaatit Р(ρ,φ,z) – pisteen Ohu-tason projektion ja annetun pisteen z applikaattorin pääkoordinaatit ρ, φ (kuva 2).

Kaavat siirtymiselle sylinterimäisistä koordinaateista suorakulmaisiin koordinaatteihin voidaan asettaa seuraavasti:

x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (9.4)

1. Pallomainen koordinaattijärjestelmä.

Pallokoordinaateissa pisteen sijainti avaruudessa ilmaistaan ​​lineaarisella koordinaatilla ρ - etäisyys pisteestä karteesisen koordinaattijärjestelmän napoihin (tai pallomaisen järjestelmän napoihin), φ - napareuna positiivisten välillä. pіvvіssyu Ox ja pisteen projektio Oxy-tasolle ja θ - positiivisen Oz:n ja kaksois-OP:n välinen kutom (kuva 3). Kenen kanssa

Annettu kaava siirtymiselle pallomaisista koordinaateista suorakulmaiseen:

x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ. (9.5)

Jacobian ja yogo geometrinen zmist.

Katsotaanpa villi trendi korvata muutokset metrointegraalissa. Ohun tasaisella alueella D on annettu Nehai, jota ympäröi viiva L. Oletetaan, että х і у є ovat yksiarvoisia ja keskeytyksettä erottuvia uusien muuttuvien u:n ja v:n funktioita:

x = φ(u, v), y = ψ(u, v). (9.6)

Katsotaan suorakaiteen muotoista koordinaattijärjestelmää Ouv, pistettä P(u, v), joka osoittaa P(x, y) alueelta D. Kaikki tällaiset pisteet muodostavat alueen D lähellä tasoa Ouv, Minua ympäröi viiva L?. Voidaan sanoa, että kaavat (9.6) muodostavat yksi-yhteen vastaavuuden alueiden D ja D pisteiden välille. Millä viivoilla u = const että

v = const Ouv-tasolla on samanlainen kuin Ohu-tason viivat.

Näemme Ouv-tasossa suorakaiteen muotoisen maidanin ΔS, jota reunustavat suorit u = const, u + Δu = const, v = const і v + Δv = const. Їy vіdpovidatimé kaareva maidanchik ΔS lähellä Ohun tasaista (kuva 4). Maidanchiksin analyysialueet merkitään ΔS ja ΔS. Kun ciomu ΔS = Δu Δv. Tunnemme alueen ΔS. Merkittävää on, että kaarevan chotyrikutnikin kärjet P1, P2, P3, P4 de

P1(x1, y1), x1 = φ(u, v), y1 = ψ(u, v);

P2(x2, y2), x2 = φ(u+Δu, v), y2 = ψ(u+Δu, v);

P3(x3, y3), x3 = φ(u+Δu, v+Δv), y3 = ψ(u+Δu, v+Δv);

P4(x4, y4), x4 = φ(u, v+Δv), y4 = ψ(u, v+Δv).

Pienten zbіlshennya Δu і Δv vіdpovіdmi tasauspyörästöjen vaihtaminen. Todi

Millä chotirikutnik P1 P2 P3 P4 voidaan ottaa suunnikkaana ja alue voidaan osoittaa analyyttisen geometrian kaavalle:

(9.7)

Ajanvaraus 9.3. Varianttia kutsutaan funktioiden φ(x, y) ja ψ(x, y) funktionaaliseksi muunnelmaksi tai jakobiseksi.

Siirtymällä rajalle yhtäläisyydellä (9.7), otamme pois geometrisen jakobilaisen siirtymän:

joten Jacobian-moduuli on raja äärettömän pienten neliöiden S ja S välillä.

Kunnioittaminen. Samalla tasolla voidaan määritellä jakobilaisen ymmärrys ja sen geometrinen merkitys n-maailmaavaruudelle: että x1 = φ1(u1, u2,…,un), x2 = φ2(u1, u2,…,un) ,…, xn = φ(u1 , u2, ..., un), sitten

(9.8)

Tämän avulla Jacobian moduuli antaa rajan "obsyagiv" pienten avaruuden alueiden x1, x2, ..., xn ja u1, u2, ..., un välillä.

Muutosten korvaaminen useissa integraaleissa.

Dolіdzhuєmo zagalny vpadok zameni zmini z butt podvіynogo іntegral.

Olkoon jatkuva funktio z = f(x,y) alueella D, sama arvo funktiolle z = F(u, v) alueella D, de

F(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v)). (9.9)

Katsotaanpa kokonaissummaa

Oikealla oleva deintegraalisumma otetaan alueen D yli. Siirtyminen rajalle, kun otetaan pois kaava koordinaattien muuntamisesta pyyhkäisyintegraalissa.

Kokeile integraaleja. Rungon tilavuuden laskeminen.
Koeintegraali sylinterimäisinä koordinaatteina

Kolme päivää dekaanin toimistossa taivas makasi Pіthagoras-vaatteiden housuissa,
Fikhtengoltsin käsissä on määrä trimaveja, että valkoisen valon joogi on elossa,
He sidoivat kolmannen integraalin ja käärivät ruumiin matriisiin,
Ja rukouksen sijainen on kuin nahabnik luettuaan Bernoullin lauseen.

Kadonneet integraatiot ovat sellaisia, joita ei voi enää pelätä =) Koska jos luet koko tekstin, niin se on parempi kaikkeen, mitä olet tehnyt väärin "ylivoimaisten" integraalien teoria ja käytäntö, yhtä hyvin kuin riippuvat integraalit. Ja siellä, de podvіyny, lähellä ja kadonnut:

Todellakin, mitä siinä on pelättävää? Integraali on pienempi, integraali suurempi.

Katsotaanpa levyä:

- kolminaisuuden integraalin kuvake;
- Pidіntegralna kolminkertainen vaihtotoiminto;
- Dobutok tasauspyörästö.
- Integraatioalue.

Erityisen huomionarvoista gallerian integrointi. Yakscho sisään alleviivattu integraali voitti litteä figuuri, sitten tässä - avartava runko , yaka, tiedäthän päällä. Tässä arvossa sinun sisäelinten arvaaman rikos on syyllinen orientoitumiseen pääpinnat ja muista voittaa yksinkertaisimmat trivimir-nojatuolit.

Deyakiat olivat nolostuneita, viisaita…. Valitettavasti artikkelia ei voida kutsua "hyödyllisiksi integraaleiksi nukkeille", ja se on tarpeen tietää / muistaa jotain. Ale, ei mitään kauheaa - kaikki julkaisujen materiaali saavutettavimmassa muodossa hallitaan lyhyellä aikavälillä!

Mitä kadonneen integraalin laskeminen tarkoittaa, ja mitä se vaati?

Laske kadonnut integraali - tse tarkoittaa tiedä KILO:

Yksinkertaisimmalla tavalla, jos kolmas integraali on numeerisesti kehittyneempi suhteessa kehoon. І deisno, vіdpovidno to liittäminen, tvir one äärettömän pieni kehon alkeis "ceglinkan" tilavuus. Ja kolmas integraali on yhtenäinen kaikki qi äärettömän pieniä hiukkasia alueittain, jonka jälkeen kehon tilavuuden integraali (kokonais)arvo tulee ulos: .

Lisäksi kolmas integraali on tärkeä fyysisiä ohjelmia. Ale noin tse pіznіshe - oppitunnin 2. osassa, omistautuminen integraalien lisähäviöiden laskeminen, jolle muuttujan funktio on vakio vakiona ja on keskeytymätön pallolla. Tässä artikkelissa voimme nähdä yksityiskohtaisesti velvoitteen merkityksen, koska subjektiivinen arvioni havaitaan 6-7 kertaa useammin.

Kuinka ratkaista kadonnut integraali?

Vіdpovid on loogisesti viplivає edellisestä kohdasta. On tarpeen nimittää kehon ohitustilaus minä menen toistamme integraalit. Sen jälkeen ratkaistaan ​​peräkkäin kolmella yksittäisellä integraalilla.

Yak bachite, koko keittiö on enemmän ja enemmän nagaduє taustalla olevat integraalit, Vuodesta tієyu vіdminnіstyu, scho samaan aikaan meille on annettu dodatkova rozmіrnіst (karkeasti näyttävä, korkeus). Yksittäin, monet teistä ovat jo arvannut kuinka integraalien häviöt rikkovat.

Tehdään yhteenveto siitä, mitä olemme menettäneet:

peppu 1

Ole ystävällinen, kirjoita leimalla paperille:

Anna neuvoja seuraavaa ateriaa varten. Chi tietää Sinä, mitkä ovat pinnat asettaa qi tasaiseksi? Chi zrozumіly olet epävirallinen zmіst tsikh rivnyan? Chi yavlyaєєєєєєєєєєєєV, jakki і pinta raztashovanі avaruudessa?

Heti kun shilyatsya vulgaariin vіdpovіdі "enemmän nі, nizh niin", niin obov'yazkovo opratsyut oppitunti, muuten et pääse pidemmälle!

Ratkaisu: vikoristikaava

Jotta schob z'yasuwati kehon ohitustilaus minä menen toistamme integraalit on välttämätöntä (kaikki on nerokkaan yksinkertaista) ymmärtää, mitä se oli. Ja on hienoa laittaa nojatuolit sellaiseen ruusuun rikkaissa vipadoissa.

Mielen takana kehoa ympäröivät kilkompinnat. Miksi aloittaa tyylikäs? Lausun seuraavan tilauksen diy:

On the cob on kuviteltavissa yhdensuuntainen ortogonaalinen kehon projektio koordinaattitasolle. Sanoin ensimmäisen kerran, mikä on projektion nimi, lol =)

Jos suunnittelu on tarkoitus toteuttaa suuressa mittakaavassa, niin Pershissä pinnat, yakі yhdensuuntainen tsієї akselin kanssa. Arvaa millaisia ​​pintoja älä kosta kirjaimia "ze". Tutkitulla johtajalla on kolme:

- Rivnyannya asettaa koordinaattialueen, kuinka kulkea kokonaisuuden läpi;
- Rivnyannya asettaa koordinaattialueen, kuinka kulkea kokonaisuuden läpi;
- yhtäläinen tehtävä tasainen "tasainen" suora yhdensuuntainen akselin kanssa.

Shvidshe kaikesta, shukana-projektio tulossa trikutnik:

Mahdollisesti kaikilla ei ollut jäljellä käsitystä siitä, minne mennä. Näytä, että kaikki tulee ulos näytön näytöstä ja pysyy suoraan siirrossasi ( tobto. tule ulos, sinä ihmettelet kolmatta maailman pedon tuolia). Kehon Doslіdzhuvane-laajennukset löytyvät nahkaisesta kolmiosaisesta "käytävästä" ja sen heijastus naimovіrnіshe є varjostetun trikutnikin alueelle.

Suhtaudun erityisesti siihen, mitä vietimme lisää tekosyitä projektiolle ja varoitukset "neishvidshe", "nayimovirnishe" olivat vipadkovy. Oikealla siinä, että kaikkia pintoja ei ole vielä analysoitu, ja voi olla niin, että niistäkin "löydetään" osa tricutnikista. Kuin pohjustusta kysyt pallo keskitetty koordinaattien tähkäiseen, jonka säde on pienempi kuin yksi, esimerkiksi pallo – її projektio tasoon (sarake ) En toista "nakry" varjostettua aluetta, ja kehon projektiota ei kutsuta trikooksi (kolo "zrіzhe" youmu gostrі kuti).

Lavan toiselta puolelta se on z’yasovuєmo, chim vartaloa ympäröi peto, alhaalta alhaalta ja vikonuemo nojatuolin avaruus. Käännymme mieleen ja ihmettelemme pintaa, ikään kuin pinta olisi poissa. Tasoitus asettaa itse koordinaattitason ja vaaitus - parabolinen sylinteri, maistaa uudelleen edellä tasainen ja kulkee kokonaisuuden läpi. Tässä luokassa kehon projektio on diisno є trikutnik.

Ennen puhetta täällä ilmestyi ylimaallinen ajattele - uudessa polttimossa ei ole obov’yazkovo sisällyttää tasaisia ​​tasoja, pinnan sirpaleita, jotka työntyvät ulos abskissa-akselista, ja niin runko sulkeutuu. Se tarkoittaa, että tällä hetkellä emme olisi voineet kastaa projektiota - trikutnik "piirrettiin" vasta tasoitusanalyysin jälkeen.

Parabolisen sylinterin fragmentti on kuvattu tarkasti:

Vikonannya-nojatuolin jälkeen z kehon ohittaminen ei ongelmia!

Pään takaosassa on merkittävää järjestys, jossa projektio kulkee (Parhaan käden avulla ohjataan kahden maailman nojatuoleja). Tse ujo TÄYSIN NIIN, jak i sisään alemmat integraalit! Arvaamalla laserosoitin että tasaisen alueen skannaus. Valitse "perinteinen" ensimmäinen ohitusmenetelmä:

Dali ottaa viehättävän sytyttimen käsiinsä, ihmettelee nojatuolin trivimiriä ja tiukasti alamäkeen valistaa potilasta. Muutokset tulevat kehoon pinnan kautta ja poistuvat siitä pinnan kautta. Tässä järjestyksessä kehon ohitusjärjestys:

Jatketaan toistuviin integraatioihin:

1) Aloita seuraava "Z"-integraalista. Vikoristovuemo Newton-Leibnizin kaava:

Kuvittele "game"-integraalin tulos:

Mitä tapahtui? Itse asiassa ratkaisu pelkistettiin osaintegraaliksi ja itse - kaavaksi. sylinterimäisen palkin tilavuus! Tietää paremmin:

2)

Kunnioita rationaalista tekniikkaa kolmannen integraalin ratkaisemiseksi.

Vidpovid:

Laskelma voidaan kirjoittaa ylös ja "yhdelle riville":


Mutta tällä tavalla ole varovainen - jos voitat swidkostissa, uhkaat jollain muulla, ja jos sinulla on tärkeä takapuoli, on enemmän mahdollisuuksia anteeksiantoon.

Huomio tärkeästä ravinnosta:

Miksi on työskenneltävä nojatuolissa, jotta mielen pää ei vaadi heidän vikonanniaansa?

Voit juoda chotirmaa poluilla:

1) Piirrä saman kappaleen projektio. Paras vaihtoehto on, että on mahdollista vikonoida kaksi kunnollista nojatuolia, älä valittaa, ryöstää loukkaantuneita nojatuoleja. Suosittelen meitä eteenpäin.

2) Piirrä lisää vartaloa. Sopii, jos vartalo on kömpelö, että ilmeinen projektio. Joten esimerkiksi kolmirivinen nojatuoli oli juuttunut valittuun peppuun. Tässä on kuitenkin miinus - 3D-kuvan mukaan projektion ohitusjärjestystä ei ole kätevä määrittää, ja näin olen vain iloinen hyvällä harjoittelulla olevista ihmisistä.

3) Näytä enemmän projektiota. Tezh ei huono, mutta noin obov'yazkovі dodatkovі pisletovі komentari, nizh zamezhena alue raznih storіnista. Valitettavasti kolmas vaihtoehto on usein hämmentävä - jos on liian myöhäistä, se on liian suuri muiden ongelmien ratkaisemiseksi. І takі sovelletaan mi so razglyademom.

4) Liiku ilman nojatuolia. Jokaisen on välttämätöntä esittää ajatuksen runko ja kommentoida muotoa/muotoa kirjallisesti. On hyvä valita yksinkertaisimmat, kunnes chi zavdan, de vikonannya sekä nojatuoli on tärkeä. Mutta silti on parempi, jos haluat käyttää luonnosllisia pieniä, "tavoiteratkaisun" sirpaleet voidaan hylätä.

Tule elimelle itsenäistä apua:

peppu 2

Laske tappiointegraalin avulla kehon tilavuus pintojen ympäröimänä

klo tähän nimenomaiseen tyyppiin integraatioalue on tärkeämpää epäsäännöllisyydestä ja hinta on lyhyempi - ilman epäsäännöllisyyksiä asettaa 1. oktantin, mukaan lukien koordinaattitasot ja epätasaisuudet - napіvspіr, kuinka kostaa koordinaattien tähkä (käänteinen)+ itse alue. "Pysty" taso on levitetty paraboloidi parabolilla ja nojatuolibashanissa on tarpeen herättää voikukkia. Kenelle on tarpeen tietää lisäviitepiste, yksinkertaisemmin sanottuna paraabelin huippu. (Näemme merkityksen ja rozrakhovuyemo vіdpovidne "z").

Jatketaan ymmärtämistä:

peppu 3

Laske häviöintegraalin avulla kehon tilavuus, jota ympäröivät määrätyt pinnat. Vikonati nojatuoli.

Ratkaisu: kaava "viconati of the nomchati" antaa meille deak vapauden, ale, parempaa kaikkeen, siirtäen tilavan nojatuolin vikonannyn. Projektiota ei kuitenkaan voi myöskään lopettaa, se ei ole helpoin asia tässä.

Dotrimuёmosya vіdpratsovanoї aikaisempi taktiikka pinnat, ikään kuin yhdensuuntainen sovelluksen akselin kanssa. Tällaisten pintojen tasoitusta ei pidä kostaa vaihtamalla selkeästi "Z":

- Rivnyannya asettaa koordinaattitason kulkemaan koko ( jakki asunnossa on määritetty "samalle nimelle" on yhtä kuin);
- yhtäläinen tehtävä tasainen, kulkea "saman rivin" läpi "tasainen" suora yhdensuuntainen akselin kanssa.

Vitsailevaa vartaloa ympäröi tasainen pohja ja parabolinen sylinteri peto:

Kootaan menettely kehon ohittamiseksi, jolla "iksovі" ja "igrokovі" integraation välillä, luulisin, että on parempi laulaa kahden maailman nojatuolien takana:

Tällä tavalla:

1)

Kun integrointi "iplayerin" taakse - "ix" katsotaan vakioksi, niin vakio tulee syyttää integraalin merkistä.

3)

Vidpovid:

Joten, unohtamatta hieman, zdebіlshogo otmany tulos vähän (ja navit shkіdlivo) zvіryati z trivimirnym nojatuolit, oskolki z great ymovіrnіstyu vinikne illuusio velvoittaa, Tietoja Yaku I rozpov_shche oppitunnilla Volyymivartalokääre. Tarkastelun johtajan vartaloa arvioiden olin siis erityisen onnekas, että uudessa "kuutiota" on enemmän kuin 4.

Hyökkäävä perse itsenäiselle näkemykselle:

peppu 4

Laske häviöintegraalin avulla kehon tilavuus, jota ympäröivät määrätyt pinnat. Tämän kehon nojatuolin työ ja sen heijastus koneeseen.

Zrazok suunniteltu tehtäväksi oppitunnille.

Ei ole harvinaista, jos trivimir-tuolin vikonnanny on vaikeampaa:

peppu 5

Häviöllisen integraalin avulla tietää kappaleen tilavuus, jonka sitä ympäröivät pinnat antavat.

Ratkaisu: projektio tässä on kömpelö, mutta ohitusjärjestyksen yli, sinun on mietittävä Kuinka valita ensimmäinen menetelmä, niin luku on jaettava 2 osaan, mikä väistämättä uhkaa sumin laskemista kaksi Kolminaisuuden integraalit. Jollekin, jolla on rikkaampi näkökulma, on toinen tie. Se voidaan nähdä ja visualisoida tämän kehon heijastuksesta nojatuoliin:

Pyydän uudelleen tällaisten kuvien tarkkuutta, kierrän ne suoraan omista käsikirjoituksistani.

Valitsemme kannattavamman järjestyksen hahmon ohittamiseksi:

Nyt oikealle vartalon taakse. Alhaalta sitä ympäröi tasainen alue, pedosta - tasainen alue, jotta se kulkee koko ordinaatin läpi. Ja kaikki ei olisi mitään, mutta loput asunnosta on liian jyrkkiä, eikä alueella ole niin helppoa kiertää. Valinta tässä on kadehdittava: joko korurobotti on pienikokoinen (koska se oli ohut tehdäkseen ohuesta), tai nojatuoli on noin 20 senttimetriä korkea (se ja ne, jotka mahtuvat).

Ale ja kolmas, rauhallisesti venäläinen tapa ratkaista ongelma on maalinteko =) ja litteä sivulle, litteä pohjalle ja litteä pedolle.

"Pystysuuntainen" integrointi on ilmeisesti seuraava:

Lasketaan kehon tilavuus unohtamatta, että ohitimme projektion pienemmällä laajennetulla tavalla:

1)

Vidpovid:

Kuten muistat, proponing on zavdannya kehon ei ole kallista sata taalaa, usein ympäröi tasainen alla. Mutta se ei ole sääntö, joten sinun on oltava valmis - voit viettää päivän, de tilo roztashovani pid tasainen. Joten jos esimerkiksi katsot asuntoa valitussa zamіstissa, niin ruumis on symmetrisesti edustettuna alemmassa tilassa ja sitä ympäröi litteä alhaalta ja tasainen pedolle!

On helppo vaihtaa toiseen nähdäksesi saman tuloksen:

(Muista, että on välttämätöntä kiertää tiukasti alamäkeen!)

Lisäksi "rakastunut" tasaiseen voi ilmestyä eteen ei oikealle, yksinkertaisin takapuoli: säkki, piilotettu enemmän kuin tasainen - joogavelvoitteen laskennassa sinun ei tarvitse katsoa eteen.

Näemme kaikki nämä näkymät, mutta toistaiseksi itsenäisen näkemyksen tehtävä on samanlainen:

peppu 6

Häviöllisen integraalin avuksi tietää vartalosta, pintojen ympäröimänä

Lyhyesti sanottuna ratkaisu on havainnollistaa oppitunti.

Siirrytään toiseen kappaleeseen, jossa on yhtä suosittuja materiaaleja:

Koeintegraali sylinterimäisinä koordinaatteina

Sylinterimäiset koordinaatit - ce, itse asiassa, polaarikoordinaatit avaruudessa.
Sylinterimäisessä koordinaattijärjestelmässä pisteen sijainti avaruudessa määräytyy pisteen napakoordinaateilla - pisteen projektiolla tasolle ja itse pisteen applikaatiolla.

Siirtyminen trivimeerisestä karteesisesta järjestelmästä sylinterimäiseen koordinaattijärjestelmään suoritetaan seuraavilla kaavoilla:

Sataviisikymmentä muunnostamme näyttää tältä:

Minä, ilmeisesti, yksinkertaisella tavalla, joka näkyy helposti tässä artikkelissa:

Golovne, älä unohda lisäkerrointa "er" ja järjestä oikein polariteetti integroinnin välillä kun ohitetaan projektio:

peppu 7

Ratkaisu: saman luokan dotrimuєmosya diy: katsomme eteenpäin tasapuolisesti, joinakin päivinä "Z" muuttuu Täällä on vain yksi. projektio sylinterimäinen pinta alueella є "samanniminen" colo .

Neliöt ympäröivät shukane-vartaloa pohjasta ja petoa ("riippua" jooga sylinteristä) ja ne on suunniteltu colo:

Mustassa trivimir-nojatuolissa. Suurin vaikeus piilee pinta-alassa, ikään kuin sylinteri olisi kierretty "vinon" konepellin alle, jonka jälkeen mennään elipiä. Selvitetään tämä uudelleenkirjoitus analyyttisesti: jolle kirjoitetaan uudelleen toiminnallisen näkymän taso ja laskemme funktion arvon ("korkeus") pisteissä, joita kysymme, ikään kuin makaamme väliprojektiossa:

Näyttää siltä, ​​​​että tiedät nojatuolin kohdat ja huolellisesti (eikä niin, kuten minä =)) zadnuєmo їх rivi:

Kappaleen projektio tasoon on sylinterimäiseen koordinaattijärjestelmään siirtymisen nopeuden argumentin pituus ja pituus:

Tiedämme pinnan kohdistuksen sylinterimäisissä koordinaateissa:

Noudata nyt kehon ohitusmenettelyä.

Katsotaanpa pään takaosaa projektiosta. Kuinka määrittää ohituksen järjestys? Juuri näin osaintegraalien laskeminen napakoordinaateissa. Tässä viini on alkeellista:

"Pystysuuntainen" integraatio on myös ilmeinen - se tulee kehoon tason kautta ja poistuu siitä tason kautta:

Jatketaan toistuviin integraatioihin:

Jolle kerroin "er" laitetaan välittömästi "oma"-integraaliin.

Vinik yak zavzhd on helpompi murtautua oksien läpi:

1)

Otamme hyökkäyksen integraalin tuloksen:

Eikä tässä ole unohdettu, että fi on tärkeä vakiona. Ale tse laulutuntiin asti:

Vidpovid:

Samanlainen tehtävä itsenäiselle visiolle:

peppu 8

Laske tappiointegraalin avulla pintojen ympäröimän kappaleen tilavuus. Tämän rungon Vikonati-nojatuoli ja sen projektio aukiolle.

Zrazok hieno muotoilu kuin oppitunti.

On varmaa, että saman sanan tehtävien mielessä ei puhuta siirtymisestä sylinterimäiseen koordinaattijärjestelmään, eikä henkilön tiedetä kamppailevan tärkeiden integraalien kanssa karteesisissa koordinaateissa. ... Tai ehkä se ei tule olemaan - vaikka se olisi kolmas, rauhallisesti venäläinen tapa ratkaista ongelmia.

Kaikki vasta alkaa! ...hyvässä mielessä =)

peppu 9

Häviöllisen integraalin avuksi tietää vartalosta, pintojen ympäröimänä

Säädyllisesti ja mielenkiinnolla.

Ratkaisu: kokonainen rajallinen pintaі elliptinen paraboloidi. Lukijat, jotka tuntevat kunnioittavasti artikkelin materiaalit Avaruuden pääpinnat, jo esitelty, ikään kuin katsoisi kehoa, mutta käytännössä taitetut vipadit jäävät usein ansaan, joten teen raportin analyyttisestä maailmasta.

Tunnemme takana olevat viivat, joilla pinnat on sävytetty. Rakennamme ja rakennamme seuraavan järjestelmän:

Ensimmäisestä yhtälöstä lähtien voimme nähdä toisemme termein:

Tämän seurauksena kaksi juurta poistetaan:

Kuvittele, että tiedät, onko järjestelmä yhtäläinen:
tähdet huutavat
Otzhe, juuri vіdpovіdaє yksi piste - koordinaattien tähkä. Luonnollisesti - jopa toppien yläosat nousevat ylös.

Kuvitellaan nyt toinen juuri - sama, onko järjestelmä tasa-arvoinen:

Mikä on geometrinen korvaus tulokselle? "Korkeudessa" (lähellä tasoa) paraboloidi ja kartio on sävytetty pitkin cola- yksi säde, joka on keskitetty pisteeseen.

Kun paraboloidin "kuppi" sisältää kartion "suppilon", rauhoitella lopullinen pinta tulee ylittää katkoviivalla (köynnöksen takana on etänäkymä meistä tästä kulmasta katsottuna):

Kehon projektio tasossa colo jonka keskipiste on säteen 1 koordinaattien tähkällä, jota en uskaltanut kuvata tämän tosiasian ilmeisyyden kautta (suojakirje kommentti robimo!). Ennen puhetta tuolin kahdessa etutuolissa projektiot voitiin lyödä, ei haittaa.

Lieriömäisiin koordinaatteihin siirryttäessä standardikaavat voidaan kirjoittaa yksinkertaisimmalla ilmeellä ja arkipäiväisten ongelmien projisoinnin ohittamiseksi:

Tiedämme lieriömäisen koordinaattijärjestelmän pinnan kohdistuksen:

Koska ongelma koskee kartion yläosaa, se voidaan nähdä:

"Scanuemo body" alhaalta ylämäkeen. Vaihda valo siirtyäksesi ennen uutta läpi elliptinen paraboloidi ja poistu päätypinnan läpi. Tässä järjestyksessä kehon ohituksen "pystysuuntainen" järjestys:

Toinen oikea tekniikka:

Vidpovid:

Ei ole harvinaista, jos kehoa pyydetään olemaan ympäröimättä sitä pinnoilla, mutta ilman epäsäännöllisyyksiä:

peppu 10

Geometrinen zmist säännönvastaisuuksien laajuus, selitin kuulemma samassa todistavassa artikkelissa. Tilan pääpinnat.

Tse zavdannya haluat ja kätkeä parametrin, mutta salli tarkan nojatuolin, joka inspiroi kehon tärkeän ulkonäön. Ajattele kuin vikonati pobudova. Lyhyesti sanottuna ratkaisu on todistaa se - kuin opetus.

... no, mitä, onko se kilohaili? Ajattelen oppitunnin lopettamista, mutta sitten arvaan mitä haluat lisää =)

peppu 11

Laske häviöllisen integraalin avulla annetun kappaleen tilavuus:
, De - Positiivisempi luku.

Ratkaisu: epätasaisuus aseta sarake, jonka keskipiste on koordinaattien tähkällä, säteen ja epätasaisuuksien mukaan - Pyöreän sylinterin "sisäisyys" kaikella säteen symmetrialla. Tässä järjestyksessä runkoa, ikään kuin kuiskaa, ympäröi pyöreä sylinteri sivulla ja pallomaiset segmentit, jotka ovat symmetrisiä pintaan nähden ylhäältä ja alhaalta.

Otamme maailman perusyksiköksi nojatuolin:

Tarkemmin sanottuna joogaa pitäisi kutsua pieneksi vauvaksi, akselin mittasuhteen sirpaleet eivät ole parempia. Prote, oikeudenmukaisuuden, mielen vuoksi, ei ollut tarpeen nostaa mitään, ja tällainen esimerkki näytti aivan riittävän.

Osoittaakseni kunnioitusta, että tässä ei ole obov'yazkovo z'yasovuvati korkeutta, sellaisessa sylinterissä, joka roikkuu "hatun" takaa - ota vain kompassi käsiisi ja merkitse sarake, jonka keskipiste on koordinaattien täyttöön. 2 cm:n säteellä, silloin poikkipalkin pisteet sylinterin kanssa näkyvät itsestään .

1. Sylinterimäiset koordinaatit ovat joukko polaarisia koordinaatteja xy-tasossa ja merkittävästä suorakulmaisesta aplikaattorista z (kuva 3).

Olkoon M(x, y, z) riittävä piste avaruudessa xyz, P on pisteen M projektio tasolle xy. Piste M määräytyy yksiselitteisesti lukujen kolminaisuuden avulla - pisteen P napakoordinaatit, z - pisteen M aplikatiivit. Kaavat, jotka kutsuvat niitä karteesisiksi, voivat näyttää

Jacobian käyminen (8)

peppu 2.

Laske integraali

de T - pintojen ympäröimä alue

Ratkaisu. Siirrämme integraalin pallomaisiin koordinaatteihin kaavojen (9) avulla. Sama integrointialue voidaan asettaa epäsäännöllisyyksien kanssa

Ja se tarkoittaa

peppu 3 Tunne kehon tilavuus, reunustettu:

x 2 + y 2 + z 2 \u003d 8,

Maemo: x 2 + y 2 + z 2 \u003d 8 - pallo, jonka säde on R \u003d v8 ja jonka keskipiste on pisteessä O (000),

Kartion yläosa z2 = x2 + y2 Oz:n ja kärjen symmetrialla pisteessä O (kuva 2.20).

Tiedämme kartion pallon poikkipalkin linjan:

І sirpaleita mielelle z? 0 siis

Ympyrä R=2, joka sijaitsee lähellä tasoa z=2.

Juuri niin (2.28)

de alue u reunustaa peto

(osa palloa),

(Kartion osa);

alue U projisoidaan Ohun alueen alueelle D - säde 2.

Myös sylinterimäisten koordinaattien integraalin siirtämiseksi asteittain voittokaavat (2.36):

Muutosten välillä r on merkitsevä etäisyyden D v mukaisesti sarakkeen R=2 ulkopuolella keskipisteessä O, samalla tavalla: 0?c?2p, 0?r?2. Tällä tavalla sylinterimäisten koordinaattien alue U on merkitty etenevällä epäsäännöllisyydellä:

Kunnioitamme sitä

Zavantage talletustiedostoista

Potentiaalinen integraali.

Hallitse ruokaa.

Johdonmukainen integraali, voiman jooga.

Muutosten korvaaminen kolmannessa integraalissa. Häviöllisen integraalin laskenta sylinterimäisinä koordinaatteina.

Häviöllisen integraalin laskenta pallokoordinaateissa.

Tule toimintoon u= f(x,y,z) suljetulle alueelle V tilaa R 3. Rozib'ёmon alue V kunnollinen sijoitus n alkeelliset suljetut alueet V 1 , … ,V n, scho V 1 , …,  V n ilmeisesti. Merkittävästi d- suurin alueiden halkaisija V 1 , … ,V n. Ihon alueella V k valitse hyvä kohta P k (x k ,y k ,z k) ja varastointi kokonaissumma toimintoja f(x, y,z)

S =

Nimittäminen.Kokeiluintegraali toiminnon tyyppi f(x, y,z) alueen mukaan V kutsutaan integraalien väliseksi summaksi
yakscho vin isnuє.

sellaisella tavalla,

(1)

Kunnioittaminen. Integraalinen summa S talletus alueen hajottamiseksi V valitse piste P k (k=1, …, n). Jos raja on kuitenkin olemassa, se ei estä alueen hajottamista V valitse piste P k. Jos verrataan alivariantin ja inkrementaalisten integraalien nimitystä, on niissä helppo käyttää samaa analogiaa.

Riittävät perustelut häviöiselle integraalille. Koeintegraalia (13) käytetään funktiona f(x, y,z) on reunustettu sisään V olen keskeytyksettä sisällä V, kruunun takana lopullinen määrä möykky-sileitä pintoja, mätää V.

Potry integraalin voimateot.

1) Yakscho Z- Numeerinen vakio siis

3) Additiivisuus alueittain. Yakscho alue V jaettu alueisiin V 1 і V 2 siis

4) Sopiva vartalo V dorivnyuє

(2 )

Häviöllisen integraalin laskenta suorakulmaisina koordinaatteina.

Älä viitsi D kehon projektio V asunnossa xOy, pinta z=φ 1 (x,y),z=φ 2 (x, y) ympäröivät kehon V sen alapuolella on selvä. Tse tarkoittaa mitä

V = {(x, y, z): (x, y)D , φ 1 (x,y)≤ z ≤ φ 2 (x,y)}.

Sellaista ruumista kutsutaan z- Sylinterimäinen. Kokeiluintegraali (1) z- sylinterimäinen runko V lasketaan siirtymällä toistuvaan integraaliin, joka lasketaan yhteen integraalin saranoidusta tyypistä:

(3 )

Tässä rungon toistetussa integraalissa lasketaan muutoksen sisäinen lauluintegraali z, jossa x, y vvazhayutsya välitön. Lasketaan alempi integraali näkymä valitusta toiminnosta alueittain D.

Yakscho V x- sylinterimäinen tai y- lieriömäinen runko, korjaa sitten kaavaan

Ensimmäiselle kaavalle D  kehon projektio V koordinaattitasolle yOz, ja toisessa - lentokoneessa xOz

Käytä. 1) Laske kehon kokonaismäärä V, pintojen ympäröimänä z = 0, x 2 + y 2 = 4, z = x 2 + y 2 .

Ratkaisu. Lasketaan tappiointegraalin avuksi kaavan (2) takana

Siirrytään toistuvaan integraaliin kaavan (3) jälkeen.

Älä viitsi D-kolo x 2 +y 2 ≤ 4, φ 1 (x , y ) = 0, φ 2 (x , y )= x 2 +y 2. Todi, joka seuraa kaavaa (3), otetaan

Tämän integraalin laskemiseksi siirrymme napakoordinaatteihin. Kun timu kolo D muuttua kasvottomaksi

D r = { (r , φ ) : 0 ≤ φ < 2 π , 0 ≤ r ≤ 2} .

2) Tilo V pintojen ympäröimänä z=y , z=-y , x= 0 , x= 2, y= 1. Laske

Neliöt z=y , z=-y ympäröidä vartaloa alhaalta ja pedolle tasaisesti x= 0 , x= 2 ympäröi vartaloa takaa ja edestä, ja tasainen y= 1 oikea käsi V-z- sylinterimäinen runko, joogaprojektio D asunnossa heiє suorakulmio OABC. Laitetaan se alas φ 1 (x , y ) = -y

Pystyintegraalin uudelleentyöstö suorakulmaisten koordinaattien muodossa napakoordinaatteihin
, yhdistetty suorakulmaisiin koordinaatteihin
,
, seuraa kaavaa

Mikä on integraatioalue
kahden vaihdon ympäröimänä
,
(
), jotka menevät ulos navoista, ne kaksi ovat vinoja
і
, niin taustalla oleva integraali lasketaan kaavalla

.

peppu 1.3. Laske kuvion pinta-ala, jota ympäröivät seuraavat viivat:
,
,
,
.

Ratkaisu. Alueen pinta-alan laskemiseen
kiihdytetään kaavalla:
.

Kuvitteellinen alue (Kuva 1.5). Kenelle muunnamme käyrät: , , , . Siirrytään napakoordinaatteihin: , . . Napakoordinaatistossa alue kuvataan yhtäläisillä:

.

1.2. Potentiaaliset integraalit

Kolmansien integraalien pääpotenssit ovat analogisia alempien integraalien potenssien kanssa.

Karteesisissa koordinaateissa kolmas integraali tulee kirjoittaa seuraavasti:

.

Yakscho
, sitten kolmas integraali alueen yli numeerisesti suurempi kehon tilavuus :

.

Häviöllisen integraalin laskenta

Anna integraatioalueen sitä ympäröivät alhaalta ja pedolle selkeästi yksiselitteiset katkeamattomat pinnat
,
, lisäksi alueen projektio koordinaattitasolle
є tasainen alue
(Kuva 1.6).

Sama kiinteiden arvojen kanssa voimassa olevat hakemukset alueen piste muuttaa rajoilla. Todi otrimuemo: . Mikä sitä paitsi projektio tarkoittavat epäsäännöllisyyksiä , , de - yksiselitteinen keskeytymättömät toiminnot päällä , sitten

.

peppu 1.4. Laskea
, de - kiinteä, tasaisten ympäröimä:

	, , , ( , , ). Ratkaisu. Integrointialue on pyramidi (kuva 1.7). Alueen projektio є trikutnik , suorilla viivoilla , , (Kuva 1.8). klo Applikoitu piste tyydyttää hermostuneisuutta sille .
	Järjestetään integraatio tricoutnikille , otettu

Koeintegraali sylinterimäisinä koordinaatteina

Kun vaihdat suorakulmaisiin koordinaatteihin
sylinterimäisiin koordinaatteihin
(Kuva 1.9), pov'yazanih z
spіvvіdneshennya
,
,
, lisäksi

	, ,, kolmas integraali muunnetaan seuraavaksi: peppu 1.5. Laske kehon tilavuus pintojen ympäröimänä: , , . Ratkaisu. Kehon tilavuus, mistä vitsailla dorivnyuє .
	Integrointialueet ovat osa sylinteriä, jota ympäröi tasainen pohja. , mutta peto on litteä (Kuva 1.10). Alueen projektio є kolo koordinaattien keskipisteenä ja yhdellä säteellä. Siirrytään sylinterimäisiin koordinaatteihin. , , . klo Applikoitu piste , tyydyttää hermostuneisuutta tai sylinterimäisinä koordinaatteina:

Alue
, jota ympäröi kaareva
, odotan innolla, muuten
osoitteessa tsimu polar kut
. Toukokuu tuloksia

.

2. Kenttäteorian elementit

Arvataan etukäteen kuinka kaarevat ja pintaintegraalit lasketaan.

Käyräviivaisen integraalin laskeminen käyriin osoitettujen funktioiden koordinaattien yli , pelkistetään muodon ensimmäisen integraalin laskemiseen

kuinka kiero annetaan parametrisesti
näyttää käyrän tähkä , a
- Її päätepiste.

Pintaintegraalin laskenta funktiona
, merkitty kaksipuoleiseen pintaan , lasketaan yhteen aliarvioitu integraali, esimerkiksi mieli

,

kuin pinta , määritetty tasa-arvoisille
, joka on yksilöllisesti projisoitu koneeseen
alueelle
. Tässä - leikataan yhden normaalivektorin väliin pintaan ja kaikki
:

.

Kuluttaa mielet pään puolella pinnan määräytyy kaavan (2.3) etumerkin valinnan perusteella.

Ajanvaraus 2.1. vektorikenttä
kutsutaan pisteen vektorifunktioksi
heti määrätyltä alueelta її:

vektorikenttä
jolle on tunnusomaista skalaariarvo - ero:

Ajanvaraus 2.2. virtaus vektorikenttä
pinnan läpi kutsutaan pintaintegraaliksi:

,

de - yksi normaalivektori pinnan valitulle puolelle , a
- skalaari doboot vector_v і .

Ajanvaraus 2.3. liikkeeseen vektorikenttä

päällä suljettu käyrä kutsutaan käyräviivaiseksi integraaliksi

,

de
.

Ostrogradsky-Gaussin kaava asettaa linkin vektorikenttävirran välille suljetun pinnan läpi ja alan ero:

de - Yläpuolella suljetun silmukan ympäröimä , a - Yksi normaalivektori pintaan. Suoraan normaalisti, ääriviivan suorasta ohituksesta voi olla hyötyä .

peppu 2.1. Laske pintaintegraali

,

de - Zovnishnya osa kartiosta
(
), jonka lentokone näkee
(Kuva 2.1).

Ratkaisu. päällä alueella ainutlaatuisesti suunniteltu
asuntoja
, ja integraali lasketaan kaavan (2.2) jälkeen.

Yksi normaalivektori pintaan tiedämme kaavasta (2.3): . Tässä normaalille valitaan plusmerkki, sirpaleet leikataan keskellä ilmaa että normaalia - tyhmä minä, otzhe, voi olla negatiivinen. Vrakhovuyuchi sho , pinnalla hyväksyttävää

Alue
є kolo
. Siksi jäljellä olevassa integraalissa siirrymme napakoordinaatteihin, joille
,
:

peppu 2.2. Etsi vektorikentän divergenssi ja käyristymä
.

Ratkaisu. Kaavalle (2.4) otamme

Vektorikentän roottori tunnetaan kaavasta (2.5)

peppu 2.3. Tiedä vektorikentän arvo
osan alueesta läpi :
, roztashovanu ensimmäisellä oktantі
).

	Ratkaisu. Kaavan (2.6) voima . Edustamme osaa alueesta : , raztashovanu ensimmäisessä oktantissa. Tietyn alueen kohdistus tuulensuojassa saattaa näyttää (Kuva 2.3). Tason normaalivektori voi koordinoida: , yksi normaalivektori
	. . , , tähdet , otzhe,

de
- alueprojektio päällä
(Kuva 2.4).

Esimerkki 2.4. Laske vektorikentän vuo suljetun pinnan läpi , asettuu asuntoon
se osa kartiosta
(
) (Kuva 2.2).

Ratkaisu. Kiihdytetty Ostrogradsky-Gaussin kaavalla (2.8)

.

Tiedämme vektorikentän divergenssin kaava (2.4):

de
- obsyag kartio, yakim suoritettu іtegruvannya. Nopeuta kartion tilavuuden laskemista kotikaavalla
(- kartion pohjan säde, - Joogon korkeus). Mielemme vuoksi voimme kestää
. Jäännös

.

peppu 2.5. Laske vektorikentän kiertokulku
ääriviivaa pitkin , päällä peratiinia
і
(
). Tarkista tulos Stokes-kaavalla.

Ratkaisu. Peretina zaznachenih pinta є colo
,
(Kuva 2.1). Suoraan ohittamalla värinä, ääni ne schob ympäröivät sitä, alue jäi pahaa. Kirjataan muistiin ääriviivan parametrinen kohdistus :

tähdet

lisäksi parametri muutos ennen
. Kaavan (2.7) takana yhtälöistä (2.1) ja (2.10) otetaan

.

Esitetään nyt Stokesin kaava (2.9). Jakin pinta , venytetty ääriviivalle , voit ottaa osan alueesta
. Suoraan normaali
tsієї surfy zgodzhuєtsya z suoran piirin ohitus . Sovelluksen 2.2 laskelmien th vektorikentän roottori:
. Joten shukana-kierto

de
- alueen alue
.
- lähellä sädettä
, tähdet