Aliintegraalilla on voima, joka on analoginen sing-integraalin tehon kanssa. Huomattavasti vähemmän kuin tärkeimmät:

1. Mitkä ovat toiminnot
integraatio alueella
, niin integrointi niihin on lisäksi määrä ja ero

2. Vakiokerrointa voidaan syyttää merkistä aluslangan kiinteä osa:

3. Yakscho
integroitu alueelle
, ja tämä alue on jaettu kahteen alueeseen, jotka eivät ole päällekkäisiä і
, sitten

.

4. Yakscho
і
integraatio alueella
, yakіy

, sitten

.

5. Mitä alueella on
toiminto
tyytyväinen epäjohdonmukaisuuksiin


de
і
 toimii dіysnі numerot, sitten

,

de – alueen alue
.

Näiden potenssien todistukset ovat analogisia yksinkertaisen integraalin toisten lauseiden todistuksen kanssa.

Pystyintegraalin laskenta suorakaiteen muotoisina suorakulmaisina koordinaatteina

Olkoon tarpeen laskea alla oleva integraali
, de alue - Suorakaiteen muotoinen, jolle on ominaista epäsäännöllisyydet ,.

Oletetaan, että
on katkeamaton samassa suorakulmiossa ja turpoaa uudessa tuntemattomassa arvossa, vaikka kappaleen tilavuuden integraali kantaan , reunustettu petolla päällä
, sivuilta - tasainen
,
,
,
:

.

Toiselta puolelta tällainen luku voidaan laskea sing-integraalin avulla:

,

de
- alue, jossa tämä kappale ylitetään tason kautta, joka kulkee pisteen läpi ja kohtisuorassa akseliin nähden
. Analyysin sirpaleet ristissä kaarevan puolisuunnikkaan kanssa
, jota ympäröi peto funktiokaaviolla
, de kiinteä ja , sitten

.

Z tsikh triokh yhtäläisyydet vyplivaє, scho

.

Myöhemmin alemman integraalin laskenta laskettiin kahden laulavan integraalin laskennaksi; laskettaessa "sisäistä integraalia" (kirjoitettu kaareihin) olla muuttumaton.

Kunnioittaminen. Voitko selittää, että loput kaavasta ovat oikein milloin
, sekä yhdellä silmäyksellä, jos toiminto
muuta ilmoitetun suorakulmion etumerkkiä.

Kaavan osan oikeuksia kutsutaan iteroiduksi integraaliksi ja nimetään seuraavasti:

.

Vastaavasti se voidaan osoittaa

.

Sen yläpuolella, mitä on sanottu, huudat

.

Tasa-arvon säilyttäminen tarkoittaa, että integraation tuloksen tulee olla integroitumisjärjestyksessä.

Tarkastellaksemme syvintä rinnettä, esitellään standardialueen ymmärtäminen. Suoraan akselille annettua standardia (tai oikeaa) aluetta kutsutaan sellaiseksi alueeksi, jolle sen tulee olla suora, yhdensuuntainen akselin keskipisteen kanssa, ei enää alueen välissä, kahdesta pisteestä alempana. Muuten näyttää siltä, ​​että alue kaatuu, että її Cordon on vain yksi tuulta suoraan.

On hyväksyttävää, että alue on ympäröity

jota ympäröi peto funktiokaaviolla
, alareunassa - funktion kaavio
. Tule R ( ,) - pienin suorakulmio, johon alue on asetettu
.

Mene alueelle
että keskeytymätön toiminto on määritetty
. Esittelemme uuden toiminnon:

,

samanlainen kuin underwire-integraalin tehot

.

Minä myöhemmin,

.

Oskіlki vіdrіzok
peittämään alueen
sitten myöhemmin,
klo


, mutta makaa vіdrіzkom asennossa, sitten
.

Kiinteillä voimme kirjoittaa:

.

Ensimmäinen ja kolmas integraali integroinnin oikealla puolella laskevat yhteen nollan

.

Otzhe,

.

Miksi on tarpeen käyttää kaavaa juoksevan integraalin laskemiseen standardiakselin alueen yli
linkin kautta toistuvaan integraaliin:

.

Yakscho alue
є vakio y suora akseli
hän näkyy epäjohdonmukaisuuksina ,

, samalla tavalla sen voi todistaa

.

Kunnioittaminen. Alueelle
, vakio y suorat akselit
і
, siellä on Vicons

Tässä kaavassa integrointijärjestys ja alilineaarisen integraalin laskentatunti muuttuvat.

Kunnioittaminen. Heti kun integrointialue lakkaa olemasta standardi (oikea) molemmilla koordinaattiakseleilla, її jaetaan standardialueiden summana ja edustaa integraali näiden alueiden integraatioiden summana.

peppu. Laske juokseva integraali
alueen mukaan
, jota ympäröivät viivat:
,
,
.

Ratkaisu.

Tsya-alue on tavallinen jakin schodo-akseli
, niin minä
.

Laskemme integraalin ottaen huomioon vakioakselin alueen
.

.

Kunnioittaminen. Kuinka laskea integraali, kun otetaan huomioon standardiakselin pinta-ala
, otamme saman tuloksen:

.

peppu. Laske juokseva integraali
alueen mukaan
, jota ympäröivät viivat:
,
,
.

Ratkaisu. Edustettavasti integraatioalue annetaan pienelle.

Tsya-alue on tavallinen schodo-akseli
.

.

peppu. Muuta toistuvan integroinnin integrointijärjestystä:

Ratkaisu. Kuvitellaanpa integraation alue.

Interintegraatiolinjoista tunnemme linjat, jotka sulkevat sisäänsä integraatioalueen: ,
,
,
. Voimme muuttaa integrointijärjestystä toimivina sisään ja tiedämme ylityskohdan:

,
,
.

Joten yhdellä intervalleista funktio ilmaisee kaksi analyyttistä viraasia, integraatioalue on jaettava kahteen alueeseen, ja veron toistuva integraali on kahden integraation summa.

.

1.1 Pystyintegraalin määritys

1.2 Osaintegraalin dominanssi

Aliintegraalin (joogo visnovok) voima on analoginen kerta-sing-integraalin tehon kanssa.

1°. Additiivisuus. Jos funktio f(x, y) on integroitu alueeseen D ja jos alue D lisäkäyrän Г ulkopuolella, alue nolla on jaettu kahteen linkkiin eikä sillä voi olla yhteisiä sisäisiä pisteitä alueella D 1 ja D 2, niin Lisäksi funktio f(x, y) on integroitu ihoon alueilta D 1 ja D 2

2°. Lineaarinen teho. Miten funktiot f(x, y) ja g(x, y) ovat integroitavissa avaruudessa D, vai mitä? minä? - olipa kyseessä puhenumerot, sitten funktio [? f (x, y) + ? g (x, y)] on lisäksi integroitu alueeseen D

3°. Aivan kuten funktiot f(x, y) ja g(x, y) on integroitu alueeseen D, niin näiden funktioiden lisäfunktiot on integroitu D:hen.

4°. Miten funktiot f(x, y) ja g(x, y) voidaan integroida alueeseen D ja ristiin f(x, y)? g(x, y), sitten

5°. Koska funktio f(x, y) on integroitu alueeseen D, niin th funktio |f(x, y)| integroitu D-alueelle

(Ilmeisesti | f (x, y) | D:n integrointi ei näytä f (x, y):n integrointia D:ssä.)

6°. Keskiarvon lause. Vaikka loukkaavat funktiot f(x, y) ja g(x, y) on integroitu alueeseen D, funktio g(x, y) on näkymätön (ei-positiivinen) kaikkialla tällä alueella, M ja m ovat täsmälleen funktion f( x, y) ylä- ja alaraja alueella D, silloin on olemassa luku?, joka tyydyttää m?:n epätasaisuuden? ? ? M i niin, että kaava on voimassa

Sokrema, koska funktio f(x, y) on jatkuva D ja alue D on kytketty, niin tässä toimialueella on sellainen piste (?, ?), Mikä? = f(?, ?), ja kaava näyttää tältä

7°. Tärkeä geometrinen voima. oleskelutila D

Olkoon kappale T (kuva 2.1) pedolle - alueen D alapuolella olevalle avaruudelle - kaavio keskeytymättömästä ja näkymättömästä funktiosta) z \u003d f (x, y,) sellaisena kuin se on osoitettu avaruuteen D, sivuilta - sylinterimäinen pinta, suora є alueen D välillä ja ovat yhdensuuntaisia ​​Oz-akselin kanssa. Tämän tyyppistä runkoa kutsutaan sylinterimäiseksi kappaleeksi.

1.3 Pystyintegraalin geometrinen tulkinta

1.4 Suorakulmion pystyintegraalin ymmärtäminen

Olkoon suorakulmiolle R = ? annettu riittävä funktio f(x, y) kaikkialla? (jako kuva 1).

Rosmariini segmentti? x? b n osittaissegmentillä apupisteen a = x 0 ulkopuolella< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.

Miksi halkaisu suorien viivojen avulla, yhdensuuntainen akselien Ox ja Oy kanssa, jakaa suorakulmion R n · p osasuorakulmioiksi R kl = ? (k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Osoitettu suorakulmion R jaolla, se on merkittävä symbolilla T. Annoimme sille jaon termin "suorakulmio" alle ymmärtääksemme suorakulmion, jonka sivut ovat yhdensuuntaiset koordinaattiakselien kanssa.

Ihon chastkovy-suorakulmiossa Rkl valitsemme täyden pisteen (?k,?l). Kun on asetettu ?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1, se on merkitsevä suorakulmion R kl alueen ?R kl:n kautta. Ilmeisesti AR kl = A x k y l.

kutsutaan funktion f(x, y) integraalisummaksi, joka antaa suorakulmion R tietyn jakauman T ja tietyn välipisteiden valinnan (? k, l) jakauman T osittaisilla suorakulmioilla.

Diagonaalia kutsutaan suorakulmion halkaisijaksi R kl . Symboli? Merkittävästi suurin kaikista yleisistä suoraleikkauksista R kl .

Lukua I kutsutaan integraalisummien (1) rajaksi pisteessä? > 0, kuinka se voi olla mikä tahansa positiivinen luku? voitko sanoa niin Päivämäärä?, mitä?< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство

| ? - Minä |< ?.

Funktiota f(x, y) kutsutaan integroiduksi (Riemannin mukaan) suorakulmiolla R, koska funktion at? integraalisummien välillä on lopullinen raja >0.

Määritettyä rajaa I kutsutaan funktion f(x, y) osaintegraaliksi suorakulmiolla R ja sitä merkitään jollakin seuraavista symboleista:

Kunnioittaminen. Eli aivan kuten kerta-sing-integraalille, todetaan, että funktio f(x, y) on integroitu suorakulmioon R ja on rajattu tälle suorakulmiolle.

Tämä antaa mahdollisuuden katsoa kauemmas funktioiden f(x, y) rajasta.

Alisteisten integraalien teho.

Osa aliintegraalien tehoista ilman välikäsiä huutaa ulos, jonka merkityksestä ymmärtäen integraalisummien voiman, mutta itse:

1. Mikä on funktio f(x, y) integroitu D, sitten kf(x, y) tezh se on integroitu tähän galusiin, lisäksi (24.4)

2. Mitä alueella on D integrointitoiminnot f(x, y)і g(x, y), niin nämä toiminnot integroidaan tähän galleriaan f(x, y) ± g(x, y), minä at

3. Miten integroitua alueella D toimintoja f(x, y)і g(x, y) nervnіst f(x, y)≤g(x, y), sitten

(24.6)

Lisätään lisää tehoa aliintegraaliin:

4. Yakscho alue D jaettu kahteen alueeseen D 1 ta D 2 ilman hehkuvia sisäisiä pisteitä ja toimintoja f(x, y) keskeytyksettä alueella D, sitten

(24.7) Tuominen . Integroitu summa alueittain D näet yhdellä silmäyksellä:

alueen jako D suoritetaan siten, että välillä D 1 ta D 2 on rakennettu taistelun osien väliin. Hikeä siirretään rajalle, samalla kun otetaan pois tasa-arvo (24,7).

5. Integraation aikaan päällä D toimintoja f(x, y) tämä toiminto on integroitu galukseeni | f(x, y) |, ja maє mistse nerіvnіst

(24.8)

Tuominen.

tähdet avuksi rajanylityspaikalla hermostuneisuuden varalta (24.8)

6. de S D– alueen alue D. Todiste siitä, mikä väite on poistettu, korvaamalla integraalisumman f(x, y)≡ 0.

7. Edelleen integroituna alueelle D toiminto f(x, y) tyydyttää hermostuneisuutta

m ≤ f(x, y) ≤ M,

sitten (24.9)

Tuominen.

Todistus suoritetaan rajasiirtymällä ilmeisestä epätasaisuudesta

Seuraus.

Kuinka hillitä hermostuneisuuden kaikki osat (24.9) päälle D, voit ottaa niin sanotun keskiarvolauseen:

Zokrema, keskeytymättömän toiminnan mielelle f sisään D alueella on sellainen piste ( x 0, y 0), kielellä yakіy f(x 0, y 0) = μ , sitten

-

Toinen keskiarvolauseen muotoilu.

Geometrinen zmist alempi integraali.

Katsotaan vartaloa V, jota ympäröi osittainen pinta, mitä yhtäläiset kysyvät z = f(x, y), projektio D tsієї pinta per taso hu pystysuorasta irti leikattu taulukkomainen lieriömäinen pinta, joka yhdistää pintojen väliset pisteet niiden ulokkeineen.

z = f(x, y)

V

y P i D Kuva 2.

Shukatimemo rungon tilavuus niiden sylintereiden tilavuuksien summan välissä, joiden pohjat ovat osat Δ Si alueilla D, ja korkeuden mukaan - vіdrіzki zavdovka f(Pi), pisteet Pi valehdella Δ Si. Ohitus rajalle, otrimaemo, scho

(24.11)

joka on ns. sylinterin integraalin vaikutuksen alaisena, pinnalla olevan pedon ympäröimänä z = f(x, y), ja alapuolella - alue D.

Alleviivausintegraalin laskeminen joogalinkin polun mukaan toiseen.

Perspektiivialue D, reunustaa viivoilla x=a, x=b(a< b ), de φ 1 ( X) ja φ 2 ( X) ilman taukoa [ a, b]. Ole sitten suora, yhdensuuntainen koordinaattiakselin kanssa klo ja kulkea alueen sisäpisteen läpi D, ylittää alueen kordonin kahdessa kohdassa: N 1 ta N 2 (kuvio 1). Kutsutaan tätä aluetta oikea sisään-

klo oikea akseli O klo. Samoin se on

y=φ 2 (x) on alue, joka on suoraan suorassa linjassa

N 2 akselia O X. Alue, oikein suoraan-

Nії molemmat koordinaattiakselit, teemme

D soita vain oikein. Esimerkiksi,

Oikea alue on esitetty kuvassa 1.

y=φ 1 (x) N 1

O a b x

Tule toimintoon f(x, y) keskeytyksettä alueella D. Katso Viraz

, (24.12)

sijoitus dvorazovym integraali toiminnon tyyppi f(x, y) alueen mukaan D. Lasketaan sisäinen integraali (käsivarsien luona) muuttamalla klo, huolimatta X postiynim. Tämän seurauksena näemme keskeytymätöntä toimintaa näkymä X:

Otrimanu-toiminto on integroitavissa X välissä a ennen b. Tämän seurauksena otamme numeron

Tuomme pihakohtaisen integraalin tärkeän voiman.

Lause 1. Yakscho alue D, korjaa suoraan eteenpäin klo, jaettu kahteen alueeseen D 1 ta D 2 suoraa, yhdensuuntainen akseli Pro klo abo-akselilla O X, sitten dvorazovy-integraali alueen päällä D enemmän samojen integraalien summia alueittain D 1 ta D 2:

Tuominen.

a) Mene suoraan eteenpäin x = c taukoja D päällä D 1 ta D 2, suoraan eteenpäin klo. Todi

+

+

b) Mene suoraan eteenpäin y=h taukoja D oikealla suoraan eteenpäin klo alueilla D 1 ta D 2 (kuvio 2). Merkittävästi läpi M 1 (a 1 , h) sitä M 2 (b 1 , h) suoran poikkiviivan pisteet y=h kordonista L alueilla D.

y Alue D 1 keskeytymättömien linjojen ympäröimänä

y=φ 2 (x) 1) y=φ 1 (x);

D 2 2) käyrä MUTTA 1 M 1 M 2 klo, sama kuin mitä kirjoitamme

hM 1 M 2 y=φ 1 *(x), de φ 1 *(X) = φ 2 (X) klo a ≤ x ≤ a 1 ta

A 1 D 1 Bb 1 ≤ x ≤ b, φ 1 *(X) = h klo a 1 ≤ x ≤ b 1 ;

3) suora x = a, x = b.

Alue D 2 linjojen ympäröimänä y=φ 1 *(x),

A y= φ 2 (X),a 1 ≤ x ≤ b 1 .

y=φ 1 (x) Voimme todistaa sisäiselle integraalille lauseen noin

integraation läpimurto:

O a a 1 b 1 b

+

Annetaan toinen s otrimanih іntegraіv v vyglyadі sumi:

+ + .

Oskilki φ 1 *(X) = φ 2 (X) klo a ≤ x ≤ a 1 ta b 1 ≤ x ≤ b, Ensimmäinen ja kolmas poistavat integraalit ja tasaavat nollaan. Otzhe,

I D = , sitten.

Aliintegraalin pääteho

Aliintegraalin (joogo visnovok) voima on analoginen kerta-sing-integraalin tehon kanssa.

1°. Additiivisuus. Mikä on toiminto f(x, y) integroituneena alueelle D ja alueena D avuksi käyrä G nolla-alue on jaettu kahteen linkkiin, eikä se vaimenna alueen korkeita sisäisiä pisteitä D 1 ta D 2, sitten toiminto f(x, y) integroitu ihoalueille D 1 ta D 2 lisäksi

2°. Lineaarinen teho. Mitä toimintoja f(x, y) sitä g(x, y) integraatio alueella D, a α і β - olipa kyseessä puhenumerot, sitten funktio [ α · f(x, y) + β · g(x, y)] on myös integroitu alueelle D, lisäksi

3°. Mitä toimintoja f(x, y) sitä g(x, y) integraatio alueella D, sitten näiden toimintojen lisätoiminnot integroidaan D.

4°. Mitä toimintoja f(x, y) sitä g(x, y) hyökkäävä yhdentyminen alueella D ja kaikkialla galleriassani f(x, y) ≤ g(x, y), sitten

5°. Mikä on toiminto f(x, y) integroituneena alueelle D, ne toimivat | f(x, y)| integroitu alueelle D, lisäksi

(Tietenkin integroinnin kanssa | f(x, y)| sisään D ei näytä integraatiota f(x, y) sisään D.)

6°. Keskiarvon lause. Mikä loukkaava toiminto f(x, y) sitä g(x, y) integraatio alueella D, toiminto g(x, y) on näkymätön (ei positiivinen) kaikkialla tässä galleriassa, Mі m- funktion tarkat ylä- ja alarajat f(x, y) alueella D, sitten on numero μ joka tyydyttää hermostuneisuuden m ≤ μ ≤ M ja niin, että kaava on voimassa

LIIKKUVAT INTEGRAALIT

luento 1

Jatkuvat integraalit.Alivirtaintegraalin tarkoitus on valta. Toistuvat integraatiot. Alempien integraalien linkit toistuviin integraaleihin. Sijoittaminen integroinnin väliin. Karteesisen koordinaattijärjestelmän taustalla olevien integraalien laskenta.

Osaintegraali syventää ymmärrystä sing-integraalista kahden muuttujan eri funktioissa. Tällä tavalla integraation päinvastoin tulee esiin tasaisena hahmona.

Älä viitsi D- Dejaka on suljettu, rajattu alue ja f(x,y) - riittävä toiminto, se on merkitty tässä galleriassa. Oletetaan, että alueiden välillä D lasketaan yhteen mielen yhtäläisten käyrien lopullisesta lukumäärästä y=f(x) tai x=g( y), de f(x) sitä g(y) ovat keskeytymättömiä toimintoja.

Rozib'ёmon alue D kunnollinen sijoitus n osa. alueella i-ї delyanki on merkityksellinen symbolilla D s i. Iholla dilyantsi, melkoinen fiilis on piste Pi, ja anna se ulos be-yak_y:ssä kiinnittäen karteesisen järjestelmän ma-koordinaatit ( x i, y i). Sklademo kokonaissumma toimintoa varten f(x,y) alueen mukaan D, jonka funktion arvo tunnetaan kaikissa kohdissa Pi, kertomalla їх kaksoiskaavioiden pinta-alalla Ds i Ja oletamme, että kaikki tulokset otetaan pois:

Nazvemo halk(G) alueita G suurin etäisyys alueen rajapisteiden välillä.

Integraali toiminnot f(x,y) alueella D kutsutaan rajaksi, missä määrin integraalisummien sarjaa (1.1) taukojen lukumäärän rajoittamattomalla lisäyksellä n (kenen luona). Kirjoita näin

Rakkaasti, scho, vzagali näennäinen, kokonaissumma asettaa toimintoja ja annettu integraatioalue D valitse piste Pi. Prote yakshcho podviyny іsnuє іsnuє, tse tarkoittaa, että vіdpovіdny іntegrаlny summien välillä ei ole mahdollista makaa nimettyjen chinnikіv välillä. Järjestyksessä(tai miltä näyttää, yleinen toiminto f(x,y) on integroitu verkkotunnukseen D), riittää, että boolin integraalifunktio keskeytyksettä tehtävägalleria integraatiossa.

Tule toimintoon f(x,y) integroituneena alueelle D. Tällaisten toimintojen kumulatiivisten summien välisiä sirpaleita ei voida kerätä integrointialueen jakamismenetelmällä, jakaminen voidaan suorittaa pysty- ja vaakaviivojen avulla. Todі enemmän liikemiehiä alueella D matime suoraleikkauksen näköinen, tällaisen dorivnyu D:n alue s i=D x i D y i. Siksi aluedifferentiaali voidaan kirjoittaa muodossa ds=dxdy. Otzhe, suorakulmaisessa koordinaatistossa integraalien alla voit kirjoittaa muistiin nähdessäsi

Kunnioittaminen. Kuten integrandifunktio f(x,y)º1, niin integraatioalueen aliintegraali on:

Merkittävää on, että alleviivatut integraatiot voivat olla yhtä voimakkaita kuin yksittäin integroituja. Heidän teot ovat merkittäviä.

Alisteisten integraalien teho.

1 0 .Lineaarinen teho. Integraalien toisen summan funktioiden summan integraali:

ja vakiokerroin voidaan syyttää integraalin etumerkistä:

2 0 .Lisävoimaa. Koska integrointialue D on jaettu kahteen osaan, osaintegraali on täydellisempi kuin iho-osan integraatioiden summa:

3 0 .Keskimääräinen lause. Mikä on toiminto f( x,y)on jatkuva alueella D, silloin galleriassa on sellainen piste(x, h) , mitä:

Lisäravitsemus: miten osaintegraalit lasketaan? Joogo voi olla suunnilleen virahuvati, tällä menetelmällä se on rikki tehokkaita menetelmiä kumulatiivisten summien taitettuja summia, jotka sitten lasketaan numeerisesti ylimääräisten vaalitarkastajien kanssa. Osaintegraalien analyyttisellä laskennalla ne pelkistetään kahdeksi sing-integraaliksi.