Кодові послідовності Волша, їх формування. Матриці Адамара. Застосування послідовностей Уолша у системах зв'язку. Функції Волша. Основні визначення. Способи впорядкування функцій Уолша Функції уолшу та їх властивості
Курс: Теорія інформації та кодування
Тема: ДВІЙКОВО-ОРТОГОНАЛЬНІ СИСТЕМИ БАЗИСНИХ ФУНКЦІЙ
Вступ
1. ФУНКЦІЇ РАДЕМАХЕРА
2. ФУНКЦІЇ ВУЛША
3. ПЕРЕТВОРЕННЯ ВУЛША
4. ДИСКРЕТНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ ВУЛША
Список літератури
Вступ
Широке використання спектрально-частотного представлення процесів для дослідження сигналів і систем (перетворення Фур'є) пов'язані з тим, що з гармонійних впливах коливання зберігають свою форму під час проходження через лінійні ланцюга (системи) і від вхідних лише амплітудою і фазою. Цю властивість використовують низку методів дослідження систем (наприклад, частотні методи).
Але при реалізації алгоритмів, що використовують перетворення Фур'є на ЕОМ, необхідно виконувати велику кількість операцій множення (мільйони та мільярди), що займає велику кількість машинного часу.
У зв'язку з розвитком засобів обчислювальної техніки та застосування їх для обробки сигналів широко використовуються перетворення, що містять як ортогональний базис шматково-постійні, знакозмінні функції. Ці функції легко реалізуються за допомогою засобів обчислювальної техніки (апаратно або програмно) та їх використання дозволяє мінімізувати час машинної обробки (за рахунок виключення операції множення).
До таких перетворень можна віднести перетворення Уолша і Хаара, які широко використовуються в галузі управління та зв'язку. В області комп'ютерної техніки ці перетворення використовуються при аналізі та синтезі пристроїв логічного типу, комбінаційних схем особливо використовують великі та надвеликі інтегральні схеми (ВІС та НВІС), що містять сотні тисяч елементів, що виконують різні логічні функції. Перетворення Уолша і Хаара використовують кусочно-постійні функції Уолша, Радемахера, та інших., що набирають значення ±1, чи Хаара, що набирають значення ±1 і 0 на інтервалі визначення [-0,5, 0,5] чи .
Всі ці системи взаємопов'язані і кожну з них можна отримати як лінійну комбінацію з іншої (наприклад: система Радемахера - складова частина системи Уолша). Позначення функцій, пов'язаних з авторами цих функцій:
Волша - Walsh - wal(n, Q),
Хаара-Haar-har(l, n, Q),
Радемахера - Rademacher - rad(m, Q),
Адамара - Hadamard - had(h, Q),
Співали - Paley - pal(p, Q).
Всі ці системи функції є системи двоично-ортогональних базисних функцій.
1. Функції Радемахера
Функції Радемахера можна визначити за такою формулою:
rad(m,Q) = sign, (1)
де 0 £ Q< 1 - Інтервал визначення; m- Номер функції; m= 0, 1, 2, ...
Для m = 0функція Радемахера rad(0, Q) = 1.
Знакова функція sign(x)визначається співвідношенням
Функції Радемахера це періодичні функції із періодом 1, тобто.
rad(m,Q) = rad(m,Q+1).
Перші чотири функції Радемахера показано на рис. 1.
Рис. 1. Функції Радемахера
Дискретні функції Радемахера визначаються дискретними значеннями Qу точках відліку. Наприклад: Rad(2,Q) = 1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1.
Функції Радемахера ортогональні, ортонормовані (3) але є непарними, а значить, не утворюють повну систему функцій, тому що існують інші функції ортогональні функцій Радемахера (наприклад: rad(m,Q) = sign)тому їх застосування обмежене.
(3)
Повними двоично-ортогональними системами базисних функцій є системи функцій Уолша і Хаара.
2. Функції Уолша
Функції Уолша є повною системою ортогональних, ортонормованих функцій. Позначення: wal(n, Q), де n- Номер функції, при цьому: n = 0, 1,... N-1; N = 2 i; i = 1, 2, ....
Перші 8 функцій Уолша наведено на рис. 2.
1
Рис. 2. Функції Уолша
Функція Уолша має ранг та порядок. Ранг число одиниць у двійковому поданні n. Порядок - максимальний номер розряду двійкового представлення, що містить одиницю. Наприклад, функція wal(5,Q)має ранг-2 а порядок -3 ( n = 5Þ 101).
Функції Уолша мають властивість мультиплікативності. Це означає, що добуток будь-яких двох функцій Волша також є функцією Волша: wal (k, Q) wal (l, Q) = wal (p, Q),де p = kÅ l.У зв'язку з можливістю застосування до функцій Уолша логічних операцій, вони широко використовуються в багатоканальному зв'язку з поділом за формою (використовується також тимчасовий, частотний, фазовий і т. д. поділ), а також апаратури формування та перетворення сигналів на базі мікропроцесорної техніки.
Функції Уолша можна отримати як функцію Радема-хера, номер яких відповідає коду Грея номера функції Уолша. Відповідності для перших 8 функцій Уолша наведено у табл. 1.
Таблиця 1
| N | Двійковий | Співвідношення | |
| 0 | 000 | 000 | wal(0,Q)=1 |
| 1 | 001 | 001 | wal(1,Q)=rad(1,Q) |
| 2 | 010 | 011 | wal(2,Q)=rad(1,Q)×rad(2,Q) |
| 3 | 011 | 010 | wal(3,Q)=rad(2,Q) |
| 4 | 100 | 110 | wal(4,Q)=rad(2,Q)×rad(3,Q) |
| 5 | 101 | 111 | wal(5,Q)=rad(1,Q)×rad(2,Q)×rad(3,Q) |
| 6 | 110 | 101 | wal(6,Q)=rad(1,Q)×rad(3,Q) |
| 7 | 111 | 100 | wal(7,Q)=rad(3,Q) |
Існують різні способи впорядкування функцій Уолша: по Уолшу (природне), по Пелі, Адамару. Нумерація функцій Уолша за різних способів упорядкування (n - по Уолшу; p - по Пелі; h - по Адамару) наведена в табл. 2.
При впорядкуванні по Пелі номер функції визначається як номер двійкового коду Грея прочитаний як звичайний двійковий код. Таке впорядкування називається діадичним.
При упорядкування за Адамаром номер функції визначається як двійкове представлення номера функції Уолша системи Пелі, прочитане в зворотному порядкутаке впорядкування називається природним.
Таблиця 2
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| p | 0 | 1 | 3 | 2 | 6 | 7 | 5 | 4 |
| h | 0 | 4 | 6 | 2 | 3 | 7 | 5 | 1 |
Як очевидно з таблиці, різні системи використовують одні й самі функції Уолша у різній послідовності, які рівнозначні подання сигналів, але відрізняються лише властивості розкладання (наприклад, функції Уолша - Пели сходяться швидше). При цьому кожному виду впорядкувань відповідають певні формули.
3. Перетворення Уолша
Розглянемо спектральне уявлення сигналів з допомогою базису Уолша. Аналогічно з рядом Фур'є ряд Уолша має вигляд:
, (4)
де спектр Уолша
. (5)
Для перевірки правильності розрахунку спектральних коефіцієнтів може бути використана рівність Парсеваля
.
Якщо обмежитися Nчленами в розкладанні, то отримаємо зрізаний ряд Уолша:
,(6)
де tÎ ; N=T/Dt; t =a Dtпри t® ¥ a® ¥ , a- Зсув по осі;
wal(n,Q)після перетворення аргументів.
Для практичних розрахунків можна використати формулу:
.
де: 
; (7)
r- ранг спектрального коефіцієнта з номером a (кількість двійкових розрядів числа a у яких є 1).
i- номер підінтервалу визначення функції x(t);
При цьому Г iприймає значення ±1 або 0 залежно від того чи змінює Wa(i/N)у точці i/Nзнак із "+" на "-",c "-" на "+" або знак не змінюється.
приклад 1.Розкласти функцію x(t) = atв ряд за впорядкованими по Пелі функціями Уолша при N = 8, T = 1, a = 1.
Рішення:Визначимо Ф(t):
.
Визначимо спектральні коефіцієнти з урахуванням функцій Волша впорядкованим за Пелі за формулою (7)
C0 = aT/2;
C 1 = -aT/2 + 0 +0 + 0 +2(aT/4) + 0 + 0 + 0 = -aT/4;
C 2 = -aT/2 + 0 + 4aT/64) + 0 - 16aT/64 + 0 +36aT/64 +0 =-aT/8;
C 3 = aT/2 + 0 + 4aT/64) + 0 + 0 + 0 - 36aT/64 +0 = 0;
C 4 =-aT/2 + aT/64 - 4aT/64 + 9aT/64 - 16aT/64 + 25aT/64 –
- 36aT/64 + 49aT/64 =-aT/16;
C5 = C6 = C7 = 0.
Ряд Волша - Пелі має вигляд:
.
Апроксимація функції x(t) = atпри а=1і t=1отриманим рядом наведено на рис. 3.
Рис. 3. Апроксимація функції x(t)=atпоруч Волша – Пелі
4. Дискретне перетворення Уолша
Дискретне перетворення Уолша (ДПУ) проводиться у разі використання дискретних функційВолша Wa(i/N)Þ Wal(n, Q)і виконується над ґратчастими сигналами x(i), при цьому кількість відліків Nмає бути двійково-раціональним, тобто. N = 2 n, де n = 1, 2,..., i- Визначає номер точки дискретного інтервалу визначення a= 0, 1,..., N-1.
Формули дискретного ряду Уолша мають вигляд:
,(9)
де дискретний спектр Волша
. (10)
Для перевірки правильності розрахунку спектральних коефіцієнтів може бути використана рівність Парсеваля:
(11)
Графік дискретної функції Уолша, упорядкованих по Пелі наведено на рис.
Інженери вибирали сигнали, застосування яких має поліпшити основні характеристики систем (якість зв'язку, стійкість до перешкод), покладаючись лише на свою інтуїцію. Поворотним моментом стало створення теорії формування, обробки та передачі сигналів. Вона дозволяє визначити ефективність використання конкретного ансамблю (безліч) сигналів, базуючись лише на знанні їх авто-і взаємокореляційних характеристик.
Базові поняття
Кодові послідовності, які у CDMA-системах передачі сигналу, складаються з N елементарних символів (чіпів). Кожен інформаційний символ сигналу складається з однієї N-символьної послідовністю, яка називається «розширювальної» (spreading sequence), оскільки «результуючий» сигнал випромінюється в ефір з навмисно розширеним спектром. Виграш як зв'язок залежить як від числа символів (довжини) послідовності, так і від характеристик сукупності сигналів, насамперед – їх взаємокореляційних властивостей та способу модуляції.
Довжина послідовності.У вітчизняній літературі сигнали, основа яких значно більше одиниці (B=TF>>1, де T – тривалість елемента сигналу, F – смуга частот), зазвичай називаються складними. По відношенню до вихідного (інформаційного) складний сигнал є шумом з практично однаковою спектральною щільністю потужності.
Відомо, що чим сильніше «розтягнуть» спектр сигналу в ефірі, тим менша його спектральна щільність. Завдяки цій властивості сигнали з великою базою можуть застосовуватися в «чужій» (вже зайнятій) смузі частот «на вторинній основі», надаючи на працюючу там систему як завгодно малу дію.
Характеристики.Вся сукупність кодових послідовностей, що використовуються в CDMA, ділиться на два основні класи: ортогональні (квазіортогональні) та псевдовипадкові послідовності (ПСП) з малим рівнем взаємної кореляції (рис. 1).
В оптимальному CDMA-приймачі сигнали, що надходять на його вхід, які, по суті, являють собою адитивний білий гаусівський шум, завжди обробляються за допомогою кореляційних методів. Тому процедура пошуку зводиться до знаходження сигналу максимально корелюваного з індивідуальним кодом абонента. Кореляція між двома послідовностями (x(t)) та (y(t)) здійснюється шляхом перемноження однієї послідовності на зрушену в часі копію іншої. Залежно від виду послідовності у CDMA-системах застосовуються різні способи кореляції:
- автокореляція, якщо псевдовипадкові послідовності, що перемножуються, мають однаковий вигляд, але зрушені в часі;
- взаємна, якщо ПСП мають різні види;
- періодична, якщо зсув між двома ПСП є циклічним;
- аперіодична, якщо зсув не є циклічним;
- на частині періоду, якщо результат перемноження включає лише сегменти двох послідовностей певної довжини.
Щоб отримати виграш як зв'язок при використанні будь-якого зі способів кореляційної обробки, необхідно, щоб ансамбль сигналів мав «хороші» автокореляційні властивості. Бажано, щоб сигнали мали єдиний автокореляційний пік, інакше можлива хибна синхронізація з бокового пелюстку автокореляційної функції (АКФ). Зауважимо, що чим ширше спектр сигналів, що випромінюються, тим вже центральний пік (основна пелюстка) АКФ.
Пари кодових послідовностей підбираються так, щоб взаємна кореляційна функція (ВКФ) мала мінімальне значення при попарній кореляції. Це гарантує мінімальний рівень взаємних перешкод.
Отже, вибір оптимального ансамблю сигналів CDMA зводиться до пошуку такої структури кодових послідовностей, в якій центральний пік АКФ має найбільший рівень, а бічні пелюстки АКФ і максимальні викиди ВКФ по можливості мінімальні.
Ортогональні коди
Залежно від способу формування та статистичних властивостей ортогональні кодові послідовності поділяються на власне ортогональні та квазіортогональні. Відмітна ознака послідовності – коефіцієнт взаємної кореляції pij, який у випадку змінюється від -1 до +1.
Теоретично сигналів доведено, що гранично досяжне значення коефіцієнта взаємної кореляції визначається за умови
Мінімальне значення ВКФ забезпечує коди, у яких коефіцієнти кореляції будь-яких пар послідовностей є негативними ( трансортогональні коди). Коефіцієнт взаємної кореляції ортогональнихпослідовностей, за визначенням, дорівнює нулю, тобто. о? ij = 0. При великих значеннях N різницю між коефіцієнтами кореляції ортогональних і трансортогональних кодів практично можна знехтувати.
Існує кілька способів генерації ортогональних кодів. Найбільш поширений - за допомогою послідовностей Уолша довжиною 2 n, які утворюються на основі рядків матриці Адамара
Багаторазове повторення процедури дозволяє сформувати матрицю будь-якого розміру, для якої характерна взаємна ортогональність всіх рядків та стовпців.
Такий спосіб формування сигналів реалізований у стандарті IS-95, де довжина послідовностей Уолша обрана рівною 64. Зауважимо, що відмінність між рядками матриці Адамара і послідовностями Уолша полягає лише в тому, що останні використовуються уніполяні сигнали виду (1,0).
На прикладі матриці Адамара легко проілюструвати принцип побудови трансортогональних кодів. Так, можна переконатися, що з матриці викреслити перший стовпець, що з одних одиниць, то ортогональні коди Уолша трансформуються в трансортогональні, які для будь-яких двох послідовностей число розбіжностей символів перевищує кількість збігів рівно одиницю, тобто. о? ij = -1/(N-1).
Інший важливий різновид ортогональних кодів – біортогональнийкод, що формується з ортогонального коду та його інверсії. Головна перевага біортогональних кодів у порівнянні з ортогональними – можливість передачі сигналу у вдвічі меншій смузі частот. Скажімо, біоортогональний блоковий код (32,6), що використовується в WCDMA, дозволяє передавати сигнал транспортного формату TFI.
Зазначимо, що ортогональним кодам притаманні два важливі недоліки.
1. Максимальна кількість можливих кодів обмежена їх довжиною (у стандарті IS-95 число кодів дорівнює 64), а відповідно, вони мають обмежений адресний простір.
Для розширення ансамблю сигналів поряд із ортогональними використовуються квазіортогональніпослідовності. Так, у проекті стандарту cdma2000 запропоновано метод генерації квазіортогональних кодів шляхом множення послідовностей Уолша на спеціальну функцію, що маскує. Цей метод дозволяє за допомогою однієї такої функції отримати набір квазіортогональних послідовностей Quasi-Orthogonal Function Set (QOFS). За допомогою m маскуючих функцій та ансамблю кодів Уолша довжиною 2 n можна створити (m+1) 2 n QOF-послідовностей.
2. Ще один недолік ортогональних кодів (не виняток – і застосовувані у стандарті IS-95) у тому, що функція взаємної кореляції дорівнює нулю лише «у точці», тобто. за відсутності тимчасового зсуву між кодами. Тому такі сигнали використовуються лише у синхронних системах і переважно у прямих каналах (від базової станції до абонента).
Можливість адаптації системи CDMA до різних швидкостей передачі забезпечується за рахунок використання спеціальних ортогональних послідовностей зі змінним коефіцієнтом розширення спектру (OVSF, Orthogonal Variable Spreading Factor), які називаються кодами змінної довжини. При передачі CDMA-сигналу, який створювався за допомогою такої послідовності, швидкість чіпа залишається постійною, а інформаційна швидкість змінюється кратно двом. У стандартах 3-го покоління пропонується використовувати як OVSF-коди ортогональні коди Голда з кратними швидкостями передачі (multirate). Принцип їхньої освіти досить простий; його пояснює рис. 3 де наведено кодове дерево, що дозволяє будувати коди різної довжини.
Кожен рівень кодового дерева визначає довжину кодових слів (коефіцієнт розширення спектра, SF), причому кожному наступному рівні можливе число кодів подвоюється. Так, якщо на рівні 2 може бути утворено лише два коди (SF=2), то на рівні 3 генеруються вже чотири кодові слова (SF=4) і т.д. Повне кодове дерево містить вісім рівнів, що відповідає коефіцієнту SF=256 (на малюнку показано лише три нижні рівні).
Отже, ансамбль OVSF-кодів перестав бути фіксованим: залежить від коефіцієнта розширення SF, тобто. власне – від швидкості каналу.
Слід зазначити, що не всі комбінації кодового дерева можуть бути реалізовані одночасно в одній і тій же соті CDMA-системи. Головна умова вибору комбінації – неприпустимість порушення їхньої ортогональності.
Псевдовипадкові послідовності
Поряд з ортогональними кодами ключову роль в CDMA-системах грають ПСП, які хоч і генеруються детермінованим чином, мають всі властивості випадкових сигналів. Однак вони вигідно відрізняються від ортогональних послідовностей інваріантністю до тимчасового зсуву. Існує кілька видів ПСП, які мають різними характеристиками. Просто кажучи, сьогодні з'явилися технічні засоби, здатні «вивести» будь-який ансамбль послідовностей із заданими властивостями.
m-послідовності
Одне з найпростіших і надзвичайно ефективних засобівгенерації двійкових детермінованих послідовностей - використання регістру зсуву (РС) Послідовність на виході n-розрядного РС зі зворотним зв'язком завжди періодична, причому її період n (кількість тактів, через яке схема повертається у вихідний стан) не перевищує 2 n .
Теоретично, використовуючи n-розрядний регістр і належним чином підібрану логіку зворотного зв'язку, можна отримати послідовність будь-якої довжини N в межах від 1 до 2 n включно. Послідовність максимальної довжини, або m-послідовність, матиме період 2 n -1.
Функція автокореляції m-послідовності є періодичною та двозначною:
Рівень побічних максимумів автокореляційної функції (рис. 4) не перевищує значення
Коди Голдаформуються шляхом посимвольного додавання за модулем 2 двох m-послідовностей (рис. 5). У проекті WCDMA специфіковано три типи кодів Голда: первинний та вторинний ортогональні коди Голда (обидва завдовжки 256 біт) та довгий код.
Ортогональні коди Голду створюються на основі m-послідовності довжиною 255 біт з додаванням одного надлишкового символу. Первинний синхрокод має аперіодичну автокореляційну функцію та використовується для початкового входження до синхронізму. Вторинний синхрокод є немодульований ортогональний код Голда, який передається паралельно з первинним синхрокодом. Кожен вторинний синхрокод вибирається із 17 різних кодів Голда (C1,...,C17).
Довгий код для прямого каналу є фрагментами коду Голда довжиною 40 960 чіпів. Система зв'язку з урахуванням WCDMA асинхронна, і сусідні базові станції використовують різні коди Голда (всього їх 512), повторювані кожні 10 мс. Асинхронний принцип роботи базових станцій робить незалежними від зовнішніх джерел синхронізації. Передбачається застосовувати довгий код і в зворотному каналі, проте тільки в тих стільниках, де не задіюється режим детектування багато користувачів.
Сімейство кодів Касамімістить 2 до послідовностей з періодом 2 n-1. Вони вважаються оптимальними в тому сенсі, що для будь-якої «переважної» пари забезпечується максимальне значення автокореляційної функції, що дорівнює (1+2 к).
Кодові послідовності Касами реалізуються за допомогою трьох послідовно включених регістрів зсуву (u, v і w) з різними зворотними зв'язками (рис. 6), кожен з яких формує свою m-послідовність. Щоб отримати кодові послідовності Касами із заданими властивостями, послідовності v та w повинні мати різні зрушення.
Коди Касамі довжиною 256 біт використовуються в якості коротких послідовностей у зворотному каналі (проект WCDMA) в тих стільниках, в яких застосовується детектування багато користувачів.
Послідовності Баркера
Псевдовипадкові послідовності з малим значенням аперіодичної АКФ здатні забезпечити синхронізацію сигналів, що передаються і приймаються за досить короткий проміжок часу, зазвичай рівний довжині самої послідовності. Найбільшу популярність здобули послідовності Баркера (див. таблицю).
Ефективність послідовностей з аперіодичною АКФ прийнято оцінювати показником якості F, що визначається як відношення квадратів синфазних складових сигналу до суми квадратів його розфазованих складових. Таким чином, мірою ефективності аперіодичної кореляції двійкової послідовності є показник якості.
Функціями Уолша називається сімейство функцій, що утворюють ортогональну систему, що приймають значення лише 1 і -1 по всій області визначення.
У принципі, функції Уолша можуть бути представлені в безперервній формі, але частіше їх визначають як дискретні послідовності з 2^n (\displaystyle 2^(n))22цув елементів. Група з (\displaystyle 2^(n))2^n функцій Уолша утворює матрицю Адамара.
Функції Уолша набули широкого поширення в радіозв'язку, де з їх допомогою здійснюється кодовий поділ каналів (CDMA), наприклад, таких стандартах стільникового зв'язку, як IS-95, CDMA2000 або UMTS.
Система функцій Уолша є ортонормованим базисом і, як наслідок, дозволяє розкладати сигнали довільної форми до узагальненого ряду Фур'є.
Узагальненням функцій Уолша у разі більш як двох значень є функції функції Віленкіна - Крестенсона.
М-послідовності. Спосіб формування та властивості М-послідовностей. Застосування М-послідовностей у системах зв'язку
Нині серед бінарних кодових послідовностей великої довжини найбільшого поширення набули М-послідовності, послідовності Лежандра, кодові послідовності Голда і Кассамі, кодові послідовності Уолша, нелінійні кодові послідовності.
Переваги М-послідовностей великої довжини полягає у зменшенні рівня періодичних бічних пелюсток функції невизначеності М-послідовностей зі зростанням її довжини L. Максимальний рівень періодичної бічної пелюстки ВКФ М-послідовності обернено пропорційний довжині послідовності (1/L).
M-послідовності
Вище було згадано, що оптимальними розширення спектра сигналу є послідовності максимальної довжини або М-послідовностями. Такі послідовності формуються за допомогою цифрових автоматів, основним елементом яких є зсув регістр з осередками пам'яті Т1, Т2, …, Т k(Малюнок 2).
Рисунок 2 – Цифровий автомат формування М-послідовності
Тактові імпульси надходять на всі осередки одночасно з періодом , пересуваючи за один такт символи, що зберігаються в цих осередках, в сусідні справа осередки. Позначимо літерами символи, що зберігаються у відповідних осередках на такому. - символ на вході першого осередку; значення цього символу формується за допомогою лінійного рекурентного співвідношення
Відповідно до значення символу в комірці з номером множиться на коефіцієнт і складається з рештою аналогічних творів. Як символи, так і коефіцієнти можуть мати значення 0 або 1; операції підсумовування у своїй виконуються по модулю 2. Якщо коефіцієнт , то символ комірки у формуванні значення суми бере участь.
Якщо прийняти зміст осередків регістру зсуву за вихідний стан, то через тактів цей стан знову матиме місце. Якщо при цьому реєструвати послідовність символів тієї комірки, то довжина цієї послідовності дорівнюватиме . На наступних тактах ця послідовність знову повториться тощо. Число називається періодом послідовності. Значення при фіксованій довжині регістра зсуву залежить від числа та розташування відводів. Для кожного значення можна вказати кількість відводів та їх положення, при яких період послідовності, що отримується, виявляється максимальним. Як вихідний можна взяти будь-який стан регістру зсуву (крім нульової комбінації); зміна вихідного стану викликає лише зсув послідовності. Послідовності з максимально можливим періодом при фіксованій довжині регістру називають М-послідовностями. Їх період (довжина).
Структурну схему автомата, що формує М-послідовності, прийнято задавати характерним багаточленом:
у якому завжди , . У табл. 1 для зазначені набори значень коефіцієнтів цього полінома, що визначають послідовності максимальної довжини. Знання вектора 
дозволяє однозначно вказати структуру цифрового автомата, що формує відповідну поліному (1.16) М-послідовність:
– якщо , то вихід комірки з номером регістра зсуву підключений до суматора за модулем 2;
– якщо , то вихід осередку з номером регістру зсуву не підключений до суматора за модулем 2. (довгий код для скремблювання та ідентифікації рухомих станцій)
М. Ю. Васильєва, Ф. В. Коннов, І. І. Ісмагілов
ДОСЛІДЖЕННЯ НОВИХ ПОРЯДОКІВ ДИСКРЕТНИХ ФУНКЦІЙ ВУЛША
ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ В АВТОМАТИЗОВАНИХ СИСТЕМАХ УПРАВЛІННЯ
Ключові слова: дискретні функції Уолша, різницево-упорядкована система, обробка та передача даних,
автоматизовані системи керування.
Пропонується новий метод упорядкування систем дискретних функцій Уолша, представлені властивості нових упорядкувань, розглянуто можливість застосування синтезованих упорядкувань дискретних функцій Уолша автоматизованих системах управління.
Keywords: дискретні функції Walsh, different-ordered system, processing and transfer data, automated control systems.
Новим методом ордерації систем суперечок Walsh функцій, зображень властивостей нових орденінгів, можливість application of synthesized discrete Walsh functions in automatic control systems.
Вступ
Повсюдний розвиток інформаційних мереж та систем, включаючи автоматизовані системи управління (АСУ) різних рівнів, обчислювальні мережі, системи автоматизованого проектування, збору та обробки даних, автоматизації експерименту, масового
обслуговування, телеметричні комплекси, інформаційно-довідкові системи, мережі зв'язку та ін, призвело до суттєвого зростання інформаційних потоків між територіально розподіленими джерелами та одержувачами повідомлень та зберігання все більших обсягів інформації різного виду в базах даних. Для підвищення ефективності використання комунікаційних та інформаційно-обчислювальних ресурсів зазначених систем застосовуються різні методи та засоби.
Серед них дуже важливу роль відіграють методи скорочення надмірності даних, що забезпечують стиснення обсягів інформації, що передається або запам'ятовується. Це дозволяє значно розвантажити канали зв'язку та системи обробки та зберігання даних за рахунок виключення непотрібних або дублюючих відомостей, що еквівалентно підвищенню пропускних здібностей систем збору, передачі та обробки даних або збільшення ємності пристроїв, що запам'ятовують.
p align="justify"> Серед існуючих методів скорочення надмірності даних особливе місце займають методи стиснення, що застосовують різні математичні перетворення. Найбільш часто вживаними при скороченні та передачі даних в автоматизованих системах управління виробництвом та технологічними процесами є
перетворення Фур'є, Уолша та Хаара. Кожна з яких має низку переваг, наприклад, застосування перетворень Уолша та Хаара дозволяє значно спростити та прискорити обробку інформації.
Широке використання ряду перетворень у прикладних задачах, полягає у можливості їх обчислення за допомогою швидких алгоритмів, які мають істотно меншу
обчислювальної складністю порівняно з класичними алгоритмами перетворень.
У статті розглядається комплекс питань, пов'язаних із застосуванням перетворень Уолша: наводиться побудова нових упорядкувань функцій Уолша, дослідження їх властивостей, розглядається застосування функцій Уолша у виконанні перетворень.
Короткий огляддискретних функцій Уолша та їх упорядкувань
Ортонормована повна система прямокутних функцій була введена Уолшом. На відміну від тригонометричних гармонік, за якими функція розкладається в класичний ряд Фур'є, функції Уолша є прямокутними хвилями, які в багатьох завданнях обробки сигналів кращі
синусоїдальних хвиль. Більшою мірою це пов'язано з простим видом функцій Уолша, кожна з яких набирає всього два значення (+1 і -1), що набагато спрощує їх реалізації на ЕОМ.
Дискретні перетворення Волша (ДПУ) ґрунтуються на дискретних функціях Волша (ДФУ), які утворюються рівномірними вибірками безперервних функцій Волша. Загальна кількістьзвітів у ДФУ має бути N = 2п, де п – будь-яке ціле позитивне число.
У цифровій обробці сигналів використовуються перетворення в різних
упорядкуваннях систем ДФУ. До найвідоміших впорядкувань у практиці обробки сигналів ДФУ у системі належать такі: секвентивне впорядкування (Уолша-Качмажа); діадічне
упорядкування (Уолша-Пелі); упорядкування в
відповідно до розташування рядків у матриці
Адамара (Уолша-Адамара).
Беручи за основу системи безперервних функцій Уолша з різним порядком виконання функції, отримуємо відповідно матриці ДПУК (дискретні перетворення Уолша-Качмажа), ДПУП (дискретні перетворення Уолша-Пелі) та ДПУА (дискретні перетворення Уолша-Адамара).
ДФУ можна описати аналітично, висловивши їх через дискретні функції Радемахера. Нехай
j = £ ік2 - номер функції в системі, а і = £ ік2 к=0 до к=0 К
Номер відліку, тоді згадані вище матриці перетворень мають вигляд:
Матриця ДПУК
матриця ДПУП
(- 1)до £ 0ік^к(і)
(- 1)к£ 0ікіп-к
матриця ДПУА
(- 1)к£ 0ікік
де -т = - нормувальний коефіцієнт; л/І
РоШ = Ь = ^п-к+1 ф-!п-к' до =1,2 п,
де ® - знак додавання за модулем 2.
Зазначимо, що двійкові комбінації виду
Ч0(-).Ч1С-)...Рп(-) або Рп(-),Рп-1(-), -,Р0(-)
називають відповідно кодом Грея, або інверсним кодом Грея числа -
Для матриць Волша-Адамара справедливе наступне розбиття на підматриці.
Реккурентну формулу (4) можна також виразити у вигляді кронекерівського твору матриць:
НАР до = НАР 0 НАР до 1. 2к 2 2к-1
Матриці (1-2) можна отримати переупорядкування рядків матриці Уолша-Адамара, так як між упорядкуваннями дискретної системи Уолша розмірності N існують певні залежності, які в матричній формі мають наступний вигляд:
РАЬм = Б^НАР^
WALN = Б^РАІ.
матриця двійково-інверсних перестановок;
Матриця перестановки за зворотним двійковим кодом Грея.
Наведемо у короткій формі основні властивості ДФУ. Для ДФУ справедливі такі властивості, властиві безперервним функціямУолша:
1. Ортогональність. Функції Уолша
ортогональні на інтервалі, і навпаки.
6. Мультиплікативність. Твір двох функцій Уолша дорівнює нової функції Уолша з цієї системи.
7. Порядок та ранг функцій Уолша. Функції Волша зручно характеризувати двома параметрами, пов'язаними з двійковим поданням їх номерів. Перший визначає максимальний номер ненульового двійкового розряду числа - і називається порядком р; другий – ранг функції Уолша г – показує число двійкових розрядів, у яких число Ш має одиниці. Номер функції Уолша г-го рангу умовно позначають як -(г) і записують у десятковій системі числення:
де К (к = 1,2, ..., г) - номер розряду двійкового коду Ш, що містить одиницю. Область зміни всіх ^к (8) повинна задовольняти наступній системі рівностей:
М1 = 0,1, ..., п - г -1;
М 2 = І + 1, . ., п _ р;
Для рангу та порядку функцій Уолша справедлива така властивість: ранг
твори функцій Уолша вбирається у суми їх рангів; порядок твору не перевищує максимальний із порядків співмножників. Справедливість цієї властивості випливає із властивостей підсумовування за модулем 2.
До системи ДФУ віднесено до класу монорізнісних дискретних ортогональних базисів. При вивченні низки властивостей базисів цього класу дуже корисні їх параметри та характеристики, докладно розглянуті у цій роботі. Підхід до їх введення заснований на тому, що будь-який коефіцієнт перетворення в класі базисів може бути представлений у вигляді виваженої суми кінцевих різниць відповідних порядків
перетворюваного вектора £
р(і)= £ і = 0,М -1,
де Р(I) - I-ий коефіцієнт перетворення; Дк -оператор кінцевої різниці до-го порядку;
ы(|,-) = ы(|,Ы-1 -^ -Ш) - 1-а вагова функція; d| -
деяке ціле число.
І тут базисні вектори моноразностных дискретних базисів формуються послідовностями операторів кінцевої різниці відповідних порядків. Надалі у роботі оперуватимемо параметром, названим диференціальним порядком базисної функції d|,
під яким матимемо на увазі порядок операторів кінцевої різниці, що формують цю функцію.
Зазначимо, що диференціальний порядок конкретної функції Уолша пов'язані з її структурними властивостями і залежить від місця розташування системі, тобто від упорядкування базисних функцій.
Важливими є також такі властивості:
8. Для систем ДФУ, упорядкованих за Адамаром та Пелі, диференціальні порядки функцій рівні
Отже,
їх рангам: кількість
З = гкі, і = 0,М-1.
(к = 0, п) чк
диференціального порядку дорівнює величині Сп -числу поєднань з п до.
9. Відома властивість розкладів дискретних статечних поліномів за системою Уолша-Пелі, яку можна переформулювати наступним
чином: спектр дискретного полінома к-ого (к = 0,п) ступеня містить компоненти, що відповідають базисним функціям не вище до-ого
диференційного порядку. Зазначимо, що аналогічне твердження буде справедливим і для розкладів системи Уолша-Адамара.
10. Спектральні коефіцієнти сигналів, що досить добре описуються дискретними статечними поліномами невисоких порядків, в межах груп, що відповідають базисним функцій Уолша-Пелі одного диференціального порядку, зменшуються за абсолютною величиною зі зростанням їх порядкових номерів.
Синтез різницево-упорядкованої системи дискретних функцій Уолша
Пропонований метод упорядкування систем
ДФУ розмірності N = 2п полягає у наступному. Будується розбиття безлічі порядкових номерів функцій Уолша вихідної системи I = (0,1 N -1)
на (п +1) підмножин, кожний з яких включає номери функцій з однаковими диференціальними порядками.
|(0) = (0), і = 0,
І(і) = (2М + 2М2 +... + 2М: м1 = 0,п - і,
^2 - +1,п - I +1, ... ^ | - ^| 1+1,п - 1), I - 1,п - 1,
1(п) – (2п – 1), I – п.
Потім сформовані підмножини мають у своєму розпорядженні в порядку збільшення диференціальних порядків відповідних функцій, тобто в результаті отримуємо безліч Л - ЦЛ^.-Лп), для якого
справедливі такі співвідношення: Л п і: - 0 і Л - Сп,1 - 0,п.
Вочевидь, що і визначає перестановку функцій Уолша у системі |0 1 ... N - 1]
Отримана внаслідок цієї перестановки система ДФУ характеризуватиметься тим, що функції у ній розташовуються групами у порядку зростання їх диференціальних порядків. З цієї причини назвемо цю систему ДФУ по-різному.
Для вектора перестановки
послідовності дотримуватимемося
позначення Рп = (Р0, Р1 .... Рм-1), де
р| - ш|,1 - 0^-1. Перестановку з використанням
цього вектора назвемо перестановкою за диференціальними порядками базисних функцій (коротко-перестановкою Б).
Розглянемо впорядкування системи Уолша-Пелі з допомогою запропонованого способу. Аналіз диференціальних порядків функцій Уолша-Пелі показав, що вектор Рп може бути представлений у вигляді поєднання ряду підвекторів:
Рп - (рп0), рп1), рп2),., рпп)), (13)
Рп,к = 1,п-1, - підвектори,
рекурентними співвідношеннями: Рі(к)= |(2і -1), і=к,
Рі(і) = (2і - 1),і = 1, п;
обумовлені
^(Р-к), 2і-1 + Р,- 1)),і = до +1, п,
Вектори Рп розмірності N - 2п,п -1,5 відповідні перестановочним
послідовностей, представлені в табл. 1.
Зверху підкреслено групи
коефіцієнтів парних, а знизу – непарних диференціальних порядків.
Таблиця 1 – Вектори значень перестановної послідовності
п Вектор Рп
3 {0,1,2,4,3,5,6,7}
4 {0,1,2,4,8,3,5,6,9,10,12,7,11,13,14,15}
5 {0,1,2,4,8,16,3,5,6,9,10,12,17,18,20,24, 7,11,13,14,19,21,22,25,26,28,15,23,27,29,30,31}
З урахуванням введеного вектора значень перестановної послідовності різницево-
упорядковану систему ДФУ (РЦ^0))(=о можна описати так:
pldN(i) = palN(pj), i = 0,N
де раї^(і) - і-я функція Волша-Пелі.
S^PAL^, (І6)
Матриця D-перестановок,
елементи якої формуються так:
[о, у решті випадків.
Слід зазначити, що наведене вище впорядкування системи ДФУ отримано на основі системи Волша-Пелі. Вибір як базисної системи Уолша-Пелі обумовлений легкістю
отримання аналітичного опису для перестановної послідовності та матричного співвідношення, що формує запропоноване впорядкування системи ДФУ.
Різні варіантипо-різному
упорядкованих систем можуть бути отримані при виборі як базисних інших систем Уолша. Аналіз диференціальних порядків функцій Волша-Адамара і Волша-Пелі показав, що вектор значень перестановної послідовності Рр при виборі як опорні матриці Волша-Адамара також може бути представлений у вигляді об'єднання ряду підвекторів (13-14) - (табл. 2).
На основі отриманого вектора значень перестановної послідовності різницеві
описати так:
упорядковані системи ДФУ
hddN() = hadN (pj)i = 0,N -1
де hadN (0 - відповідно 1-е функції Уолша-Адамара).
Таблиця 2 - Групи диференціальних порядків систем Волша-Пелі та Волша-Адамара при N=8
j hadn,j PALn,j di pj pldn ,j di
Про ТОВ ТОВ Про ТОВ
І ООІ ІОО І 4 ІОО І
2 ОІО ОІО І 2 ОІО І
3 ОІІ ІІО 2 І ООІ І
4 ІОО ООІ І 6 ІІО 2
З ІОІ ІОІ 2 З ІОІ 2
6 ІІО ОІІ 2 3 ОІІ 2
7 ІІІ ІІІ 3 7 ІІІ 3
Матричний запис для введеної системи ДФУ має такий вигляд:
Наприклад, явний вид матриці HDDN для N = 2 має такий вигляд:
11 1 1 1 1 1 1 0
1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1
11 -1 -1 1 1 -1 1
1 1 1 1 -1 -1 -1 1
1 -1 -1 1 1 -1 1 2
1 -1 1 -1 -1 1 1 2
1 -1 -1 1 1 -1 1 2
1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 3
диференціальний порядок базисної функції, розташованої у відповідному рядку матриці.
Точна оцінка М загальної кількостірізницевоупорядкованих систем ДФУ за умови, що групи базисних функцій будуть розташовуватися в порядку підвищення їх диференціальних порядків, може бути визначена за такою формулою:
М = П (СП!). (18)
У роботі розглянуто можливість отримання матричного запису іншого варіанта різницево-упорядкованої системи ДФУ. При цьому використовується пошарово-кронекерівське
твір матриць.
Зупинимося на питанні нумерації різницево-упорядкованих ДФУ у системі. Тут у ряді випадків зручніше оперувати двозначною індексацією базових функцій. Наприклад, для розглянутих у роботі систем ДФУ вона запроваджується так:
pld2n(i) = pld2n(l,j), i = 0,N -1, i = bnl-1 + j, l є (0,1,..., n) j є(,1,... , СП -1).
Очевидно, що індекс l дорівнює диференціальному порядку базисного вектора, а індекс j – його порядковому номеру у відповідній групі. Співвідношення, що описує залежність між двома видами індексації, не залежить від варіанта різницевоупорядкованої системи ДФУ.
Зауважимо, що матриці PAL^ і DOWN
збігаються N=2,4, а PLD^ = DOWN для N=8.
Властивості різницево-упорядкованих систем дискретних функцій Уолша
властивості
окремі введені впорядкування
Розглянемо перетворень щодо систем ДФУ.
1. Для різницево-упорядкованих систем ДФУ
справедливі якості ДФУ 1-7.
2. Відома властивість 8 (розкладання дискретних
статечних поліномів за системою Уолша-Пелі і Уолша-Адамара) стосовно аналізованих різницево-упорядкованих систем ДФУ можна
сформулювати наступним чином: спектр
дискретного полінома к-ой (к = 0,П) ступеня розкладається за базисними функціями не вище за к-ой групи.
Розглянута властивість у разі
впорядкування функцій Волша-Пелі можна записати у вигляді наступного співвідношення:
р(|,|) = 0,1> до, (20)
де Р(і)= £ 10(,і)
3. Важливою є властивість 9, яка
також справедливо для різницево-упорядкованих систем ДФУ: спектральні коефіцієнти сигналів, що досить добре описуються дискретними
статечними поліномами невисоких порядків, у межах груп, відповідних базисним функцій одного диференціального порядку, зменшуються за абсолютною величиною зі зростанням їх порядкових номерів.
Отримані при цих упорядкуваннях матриці функцій Уолша є несиметричними,
винятком є очевидні випадки матриць для порядків N = 2, 4.
4. Відзначимо наступну властивість, спектри
дискретних статечних поліномів низьких порядків у базисах різницево-упорядкованих ДФУ
характеризуються більшим ступенем локалізації ненульових компонентів у їх початкових ділянках.
Проілюструємо характер розподілу ненульових компонент спектрів дискретних статечних поліномів 1(1) до (к = 1,2) ступеня для N=16 в
базисах різних систем ДФУ.
Попередньо введемо індикаторний вектор спектра Б = (з^...^^-), визначаючи його елементи так
Б| = |0, р(|)=про, (21)
де Р(1) - йий коефіцієнт перетворення. Одновимірні дискетні статечні поліноми 10) визначаються функціями виду
f(j) = Е аі]", ] = 0,И-1, к є г,
1 = (0,1, ..., м -1).
При виборі моделей сигналів часто обмежуються поліноміальною моделлю малих ступенів (к е г 5). Це пов'язано з тим, що нею
може бути ефективно описаний широкий клас реальних сигналів кінцевих інтервалах.
Формули розрахунку коефіцієнтів перетворення Р(і) одновимірного поліноміального сигналу в матричному вигляді матимуть такий вигляд:
де - матриця ДПУ в упорядкуванні ДФУ, що використовується;
1 = | г (|), | = ти-1) - вектор вихідних даних;
Р = р(1), I = 0^-11 - вектор спектральних
коефіцієнтів, Т – знак транспонування.
Індикаторні вектори спектрів у базисі Уолша-Адамара, Уолша-Качмажа, Уолша-Пелі та різницево-упорядкованих ДФУ для поліномів ступеня к=1 і к=2 мають вигляд:
(1,1,1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0) - для базису Волша-Адамара;
(1,1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1) - для базису Волша-Качмажа;
(1,1,1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0) - для базису Волша-Пелі;
(1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0) - для базису
різницево-упорядкованих ДФУ.
(1,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1,0,1,0,0,0) - для базису Волша-Адамара;
(1,1,1,1,1,0,1,1,1,0,0,0,1,0,1,1) - для базису Волша-Качмажа;
(1,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1,0,1,0,0,0) - для базису Волша-Пелі;
(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0) - для базису
різницево-упорядкованих ДФУ.
Проілюструємо характер розподілу ненульових компонентів спектрів дискретних статечних двовимірних поліномів 1(1, ) к-ого (к = 1,2) ступеня для N1* N2=8x8 в базисах ДФУ.
Ш) = X X араїр]а,
де I = 0, ^ -1,] = 0, ^ -1, до е 2 ^ 1,
^-1 = (о,1, ^-1) .
При цьому обмежимося двовимірними поліноміальними моделями низьких ступенів через те, що вони є основою низки алгоритмів цифрової обробки сигналів.
Наведемо формули прямого
перетворення двовимірного поліноміального сигналу у векторно-матричній формі:
Р = HNTfHN, (25)
де 1 = (1 (1,]), I = 0, -1,] = 0, -1) - матриця
вихідних даних;
Р = "Р(І),1 = 0, ^-1, ] = 0^2 -1) - матриця
спектральних коефіцієнтів
Індикаторні вектори спектрів для випадків при к=1 показані на рис. 1,
1 I 1 I про I 1 I □ I □ I □ I 1
00000000 1 0 0 0 0 0 0 0
00000000 1 0 0 0 0 0 0 0
Рис. 1 - Індикаторні вектори спектрів при к=1 у базисі: Уолша-Адамара, Уолша-Качмажа
00000000 00000000 00000000 00000000
Рис. 2 - Індикаторні вектори спектрів при к=1 у базисі: Уолша-Пелі, різницево-упорядкованих
Індикаторні вектори спектрів для випадків, що розглядаються, при к=2 показані на рис. 3,
11111110 1110 10 0 0 1110 10 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1110 10 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00000000
Рис. 3 - Індикаторні вектори спектрів при к=2 у базисі: Уолша-Адамара, Уолша-Качмажа
1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I про
Рис. 4 - Індикаторні вектори спектрів при к=2 у базисі: Уолша-Пелі, різницево-упорядкованих
З цих прикладів видно, що спектри дискретних статечних поліномів низьких порядків у базисах різницево-упорядкованих ДФУ
характеризуються більшим ступенем локалізації ненульових компонентів у їх початкових ділянках. Отримані властивості перетворень по різницевоупорядкованих системах ДФУ мають важливе значення для їх додатків у системах управління та системах зв'язку.
1 0 □ 0 0 0 0 0
1 0 0 □ 0 0 □ 0
□ 0 0 □ 0 0 □ 0
Застосування синтезованих упорядкувань дискретних функцій Волша в АСУ
Успішному використанню перетворень Уолша у сфері управління та зв'язку сприяло вивчення таких питань: властивості функцій Уолша; властивості спектрів Волша; загальні питаннязастосування функцій Уолша у виконанні перетворень; алгоритми швидкого перетворення Волша; обчислення кореляційних функцій та виконання згорток на базі функцій Уолша; застосування функцій Уолша на дослідження випадкових процесів; використання функцій Уолша під час побудови цифрових фільтрів.
Завдяки загальним властивостям 1-7 із відомими ДФУ (в упорядкуваннях Уолша-Качмажа, Уолша-Пелі, Уолща-Адамара) синтезовані різницево-упорядковані
системи ДФУ можуть знайти ефективне застосування у сфері автоматичного управління технологічними процесами. Наприклад, є актуальним застосування перетворень Уолша при аналізі динаміки лінійних та нелінійних систем, розробці систем оптимального управління, моделюванні процесів, ідентифікації об'єктів, розробці ряду спеціальних пристроїв автоматики.
Практично важливим для АСУ є попереджене X. Хармутом використання функцій Уолша для формування сигналів, що передаються лініями радіозв'язку. Функції Уолша застосовані розробки багатоканальних систем зв'язку, у яких одночасно передаються різні сигнали кожному каналу зв'язку. Використання різницево-упорядкованих систем ДФУ (властивість 2) дозволить забезпечити багатопотокову обробку даних, при цьому кожен потік включатиме елементи групи трансформант відповідного
диференціального порядку, що значно прискорило обробку даних.
В даний час для вирішення багатьох завдань в АСУ технологічними процесами та виробництвом застосовується вейвлет-
перетворення. Наприклад, у ВАТ "Татнефть" вейвлет-перетворення використовується для придушення шумів і стиснення масивів даних з глибинних манометрів або при передачі динамограм отриманих з датчиків динамометрування на диспетчерський пункт. У багатьох випадках недостатній ступінь стиснення даних при виконанні ДПУ стримує широке застосування даних перетворень. Властивість 2 отримана для різницево-упорядкованих систем ДФУ дозволить значно збільшити ступінь стиснення даних та сприяє застосуванню у вищезазначених задачах.
Однією з важливих завдань АСУ є завдання передачі даних каналами зв'язку. При цьому широкого поширення набули 8СЛЕЛ-
системи. Відомі також рішення, в яких функції 8СЛЕЛ-системи реалізовані за допомогою інтернет-програмування, у ВАТ «Газ-Сервіс» (Республіка Башкортостан) впроваджено в експлуатацію кілька автоматизованих систем дистанційного моніторингу обладнання газорозподільної мережі. Для передачі даних через мережу ефективне застосування можуть знайти різницево-упорядковані системи ДФУ (властивість 4).
У роботі авторами були запропоновані алгоритми з використанням перетворень Уолша та порівняльний аналізїхня ефективність. Використання в представлених алгоритмах передачі даних різницево-упорядкованих систем ДФУ дозволить забезпечити послідовну передачу потоків вихідних даних за високої швидкості обробки та передачі даних через мережу.
Отримані властивості нових упорядкувань дискретних функцій Уолша мають важливе значення для їх додатків у системах керування та системах зв'язку. Синтезовані різницево-упорядковані
Завантаження...