Друга достатня ознака існування екстремуму. Зростання та зменшення функції на інтервалі, екстремуми. Достатня ознака екстремуму

Точка екстремуму функції - це точка області визначення функції, в якій значення функції набуває мінімального або максимального значення. Значення функції у цих точках називаються екстремумами (мінімумом і максимумом) функції.

Визначення. Крапка x1 області визначення функції f(x) називається точкою максимуму функції якщо значення функції в цій точці більше значень функції в досить близьких до неї точках, розташованих праворуч і ліворуч від неї (тобто виконується нерівність f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 максимум.

Визначення. Крапка x2 області визначення функції f(x) називається точкою мінімуму функціїякщо значення функції в цій точці менше значень функції в досить близьких до неї точках, розташованих праворуч і зліва від неї (тобто виконується нерівність f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). У цьому випадку кажуть, що функція має у точці x2 мінімум.

Допустимо, точка x1 - точка максимуму функції f(x). Тоді в інтервалі до x1 функція зростаєтому похідна функції більше нуля ( f "(x) > 0 ), а в інтервалі після x1 функція зменшується, отже, і похідна функціїменьше нуля ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Допустимо також, що точка x2 - точка мінімуму функції f(x). Тоді в інтервалі до x2 функція зменшується, а похідна функції менше нуля ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 функція зростає, а похідна функції більше нуля ( f "(x)> 0). У цьому випадку також у точці x2 похідна функції дорівнює нулю чи немає.

Теорема Ферма (необхідна ознака існування екстремуму функції). Якщо точка x0 - точка екстремуму функції f(x) , то в цій точці похідна функції дорівнює нулю ( f "(x) = 0) або не існує.

Визначення. Точки, у яких похідна функції дорівнює нулю чи немає, називаються критичними точками .

приклад 1.Розглянемо функцію.

У точці x= 0 похідна функції дорівнює нулю, отже, точка x= 0 є критичною точкою. Однак, як видно на графіку функції, вона зростає у всій області визначення, тому точка x= 0 не є точкою екстремуму цієї функції.

Таким чином, умови про те, що похідна функції в точці дорівнює нулю або не існує, є необхідними умовами екстремуму, але не достатніми, оскільки можна навести й інші приклади функцій, для яких ці умови виконуються, але функція екстремуму у відповідній точці не має. Тому потрібно мати достатні ознаки, що дозволяють судити, чи є в конкретній критичній точці екстремум і який саме - максимум чи мінімум.

Теорема (перша достатня ознака існування екстремуму функції).Критична точка x0 f(x) якщо при переході через цю точку похідна функції змінює знак, причому, якщо знак змінюється з "плюса" на "мінус", то точкою максимуму, а якщо з "мінуса" на "плюс", то точкою мінімуму.

Якщо ж поблизу точки x0 , ліворуч і праворуч від неї, похідна зберігає знак, то це означає, що функція або тільки зменшується, або тільки зростає в околиці точки x0 . В цьому випадку в точці x0 екстремуму немає.

Отже, щоб визначити точки екстремуму функції, потрібно виконати таке :

1. Знайти похідну функцію.
2. Прирівняти похідну нулю та визначити критичні точки.
3. Подумки чи папері відзначити критичні точки на числової осі і визначити знаки похідної функції отриманих інтервалах. Якщо знак похідної змінюється з " плюса " на " мінус " , то критична точка є точкою максимуму, і якщо з " мінуса " на " плюс " , то точкою мінімуму.
4. Обчислити значення функції у точках екстремуму.

приклад 2.Знайти екстремуми функції .

Рішення. Знайдемо похідну функції:

Прирівняємо похідну нулю, щоб знайти критичні точки:

.

Так як для будь-яких значень "ікса" знаменник не дорівнює нулю, то дорівнює нулю чисельник:

Отримали одну критичну точку x= 3. Визначимо знак похідної в інтервалах, розмежованих цією точкою:

в інтервалі від мінус нескінченності до 3 - знак мінус, тобто функція зменшується,

в інтервалі від 3 до плюс нескінченності – знак плюс, тобто функція зростає.

Тобто, точка x= 3 є точкою мінімуму.

Знайдемо значення функції у точці мінімуму:

Таким чином, точку екстремуму функції знайдено: (3; 0), причому вона є точкою мінімуму.

Теорема (друга достатня ознака існування екстремуму функції).Критична точка x0 є точкою екстремуму функції f(x) , якщо друга похідна функції у цій точці не дорівнює нулю ( f ""(x) ≠ 0 ), причому, якщо друга похідна більша за нуль ( f ""(x) > 0 ), то точкою максимуму, а якщо друга похідна менша за нуль ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Примітка 1. Якщо у точці x0 звертаються в нуль і перша, і друга похідні, то в цій точці не можна судити про наявність екстремуму на підставі другої достатньої ознаки. У цьому випадку потрібно скористатися першою достатньою ознакою екстремуму функції.

Зауваження 2. Друга достатня ознака екстремуму функції не застосовується і тоді, коли в стаціонарній точці перша похідна не існує (тоді не існує і друга похідна). У цьому випадку також потрібно скористатися першою достатньою ознакою екстремуму функції.

Локальний характер екстремумів функції

З наведених визначень випливає, що екстремум функції має локальний характер – це найбільше та найменше значення функції порівняно з найближчими значеннями.

Припустимо, ви розглядаєте свої заробітки у відрізку часу завдовжки один рік. Якщо у травні ви заробили 45 000 рублів, а у квітні 42 000 рублів і в червні 39 000 рублів, то травневий заробіток - максимум функції заробітку в порівнянні з найближчими значеннями. Але у жовтні ви заробили 71 000 рублів, у вересні 75 000 рублів, а у листопаді 74 000 рублів, тому жовтневий заробіток - мінімум функції заробітку порівняно з найближчими значеннями. І ви легко бачите, що максимум серед значень квітня-травня-червня менший за мінімум вересня-жовтня-листопада.

Говорячи узагальнено, на проміжку функція може мати кілька екстремумів, причому може виявитися, що будь-який мінімум функції більший за будь-який максимум. Так, для функції зображеної малюнку вище, .

Тобто не слід думати, що максимум і мінімум функції є, відповідно, її найбільшим і найменшим значеннями на всій частині, що розглядається. У точці максимуму функція має найбільше значення лише в порівнянні з тими значеннями, які вона має у всіх точках, досить близьких до точки максимуму, а в точці мінімуму - найменше значення лише в порівнянні з тими значеннями, які вона має у всіх точках, досить близьких до точки мінімуму.

Тому можна уточнити наведене вище поняття точок екстремуму функції та називати точки мінімуму точками локального мінімуму, а точки максимуму – точками локального максимуму.

Шукаємо екстремуми функції разом

приклад 3.

Рішення. Функція визначена і безперервна на всій числовій прямій. Її похідна існує також на всій числовій прямій. Тому в даному випадкукритичними точками є лише ті, у яких , тобто. , звідки та . Критичними точками та розбивають всю область визначення функції на три інтервали монотонності: . Виберемо в кожній з них по одній контрольній точці та знайдемо знак похідної у цій точці.

Для інтервалу контрольною точкою може бути: знаходимо. Взявши в інтервалі точку, отримаємо, а взявши в інтервалі точку, маємо. Отже, в інтервалах і , а в інтервалі . Згідно з першою достатньою ознакою екстремуму, в точці екстремуму немає (оскільки похідна зберігає знак в інтервалі), а в точці функція має мінімум (оскільки похідна при переході через цю точку змінює знак з мінуса на плюс). Знайдемо відповідні значення функції: , а . У інтервалі функція зменшується, оскільки у цьому інтервалі , а інтервалі зростає, оскільки у цьому інтервалі .

Щоб уточнити будову графіка, знайдемо точки перетину його з осями координат. При отримаємо рівняння , коріння якого і , тобто знайдено дві точки (0; 0) та (4; 0) графіка функції. Використовуючи всі отримані відомості, будуємо графік (див. на початку прикладу).

Для самоперевірки при розрахунках можна скористатися онлайн похідних калькулятором .

приклад 4.Знайти екстремуми функції та побудувати її графік.

Області визначення функції є вся числова пряма, крім точки , тобто. .

Для скорочення дослідження можна скористатися тим, що ця функція парна, оскільки . Тому її графік симетричний щодо осі Ойта дослідження можна виконати тільки для інтервалу.

Знаходимо похідну та критичні точки функції:

1) ;

2) ,

але функція зазнає розриву в цій точці, тому вона не може бути точкою екстремуму.

Таким чином, задана функціямає дві критичні точки: і . Враховуючи парність функції, перевіримо за другою достатньою ознакою екстремуму лише точку. Для цього знайдемо другу похідну і визначимо її знак при: отримаємо. Так як і , то є точкою мінімуму функції, при цьому .

Щоб скласти повніше уявлення про графік функції, з'ясуємо її поведінку на межах області визначення:

(тут символом позначено прагнення xдо нуля праворуч, причому xзалишається позитивним; аналогічно означає прагнення xдо нуля зліва, причому xзалишається негативним). Таким чином, якщо , то . Далі, знаходимо

,

тобто. якщо то .

Точка перетину з осями графік функції не має. Малюнок – на початку прикладу.

Для самоперевірки при розрахунках можна скористатися онлайн похідних калькулятором .

Продовжуємо шукати екстремуми функції разом

Приклад 8.Знайти екстремуми функції.

Рішення. Знайдемо область визначення функції. Так як має виконуватися нерівність, то одержуємо.

Знайдемо першу похідну функції.

Дуже важливу інформаціюпро поведінку функції надають проміжки зростання та спадання. Їхнє перебування є частиною процесу дослідження функції та побудови графіка. До того ж точкам екстремуму, в яких відбувається зміна зі зростання на спадання або з зменшення на зростання, приділяється особлива увага при знаходження найбільшого та найменшого значення функціїна деякому інтервалі.

У цій статті дамо необхідні визначення, сформулюємо достатню ознаку зростання та зменшення функції на інтервалі та достатні умови існування екстремуму, застосуємо всю цю теорію до вирішення прикладів та завдань.

Навігація на сторінці.

Зростання та зменшення функції на інтервалі.

Визначення зростаючої функції.

Функція y=f(x) зростає на інтервалі X якщо для будь-яких і виконується нерівність. Інакше кажучи – більшого значення аргументу відповідає більше значення функції.

Визначення спадної функції.

Функція y=f(x) зменшується на інтервалі X якщо для будь-яких і виконується нерівність . Інакше кажучи – більшого значення аргументу відповідає менше значення функції.

ПРИМІТКА: якщо функція визначена і безперервна в кінцях інтервалу зростання або спадання (a;b) , тобто при x = a і x = b, то ці точки включаються в проміжок зростання або спадання. Це не суперечить визначенням зростаючої та спадної функції на проміжку X .

Наприклад, з властивостей основних елементарних функцій знаємо, що y=sinx визначено і безперервна всім дійсних значень аргументу. Тому з зростання функції синуса на інтервалі ми можемо стверджувати про зростання на відрізку .

Крапки екстремуму, екстремуми функції.

Точку називають точкою максимумуфункції y=f(x) , якщо всім x з її околиці справедливо нерівність . Значення функції у точці максимуму називають максимумом функціїі позначають.

Точку називають точкою мінімумуфункції y=f(x) , якщо всім x з її околиці справедливо нерівність . Значення функції у точці мінімуму називають мінімумом функціїі позначають.

Під околицею точки розуміють інтервал , де - Досить мале позитивне число.

Точки мінімуму та максимуму називають точками екстремуму, а значення функції, що відповідають точкам екстремуму, називають екстремумами функції.

Не плутайте екстремуми функції з найбільшим та найменшим значеннямфункції.

На першому малюнку найбільше значення функції на відрізку досягається в точці максимуму і дорівнює максимуму функції, а на другому малюнку - найбільше значення функції досягається в точці x = b, яка не є точкою максимуму.

Достатні умови зростання та зменшення функції.

На підставі достатніх умов (ознак) зростання та зменшення функції знаходяться проміжки зростання та зменшення функції.

Ось формулювання ознак зростання та зменшення функції на інтервалі:

• якщо похідна функції y=f(x) позитивна для будь-якого x з інтервалу X, то функція зростає на X;
• якщо похідна функції y=f(x) негативна будь-якого x з інтервалу X , то функція зменшується на X .

Таким чином, щоб визначити проміжки зростання та зменшення функції необхідно:

Розглянемо приклад знаходження проміжків зростання та зменшення функції для роз'яснення алгоритму.

приклад.

Знайти проміжки зростання та зменшення функції .

Рішення.

На першому кроці потрібно знайти область визначення функції. У прикладі вираз у знаменнику має звертатися в нуль, отже, .

Переходимо до знаходження похідної функції:

Для визначення проміжків зростання та зменшення функції за достатньою ознакою вирішуємо нерівності і на області визначення. Скористайтеся узагальненням методу інтервалів. Єдиним дійсним коренем чисельника є x = 2 а знаменник звертається в нуль при x = 0 . Ці точки розбивають область визначення інтервали, у яких похідна функції зберігає знак. Зазначимо ці точки на числовій прямій. Плюсами та мінусами умовно позначимо інтервали, на яких похідна позитивна чи негативна. Стрілки знизу схематично показують зростання або зменшення функції на відповідному інтервалі.

Таким чином, і .

У точці x=2 функція визначена і безперервна, тому її слід додати до проміжку зростання і до проміжку спадання. У точці x=0 функція не визначена, тому цю точку не включаємо в інтервали, що шукаються.

Наводимо графік функції зіставлення з нею отриманих результатів.

Відповідь:

Функція зростає при , зменшується на інтервалі (0; 2] .

Достатні умови екстремуму функції.

Для знаходження максимумів і мінімумів функції можна користуватися будь-якою із трьох ознак екстремуму, звичайно, якщо функція задовольняє їхні умови. Найпоширенішим і найзручнішим є перший з них.

Перша достатня умова екстремуму.

Нехай функція y=f(x) диференційована в околиці точки, а в самій точці безперервна.

Іншими словами:

Алгоритм знаходження точок екстремуму за першою ознакою екстремуму функції.

• Знаходимо область визначення функції.
• Знаходимо похідну функції області визначення.
• Визначаємо нулі чисельника, нулі знаменника похідної та точки області визначення, в яких похідна не існує (усі перераховані точки називають точками можливого екстремуму, проходячи через ці точки, похідна може змінювати свій знак).
• Ці точки розбивають область визначення функції проміжки, у яких похідна зберігає знак. Визначаємо знаки похідної кожному з інтервалів (наприклад, обчислюючи значення похідної функції у будь-якій точці окремо взятого інтервалу).
• Вибираємо точки, в яких функція безперервна і, проходячи через які, похідна змінює знак – вони є точками екстремуму.

Занадто багато слів, розглянемо краще кілька прикладів знаходження точок екстремуму та екстремумів функції за допомогою першого достатньої умовиекстремуму функції.

приклад.

Знайти екстремуми функції.

Рішення.

Областю визначення функції є все безліч дійсних чисел, Крім x = 2 .

Знаходимо похідну:

Нулями чисельника є точки x = -1 і x = 5 знаменник звертається в нуль при x = 2 . Відзначаємо ці точки на числовій осі

Визначаємо знаки похідної кожному інтервалі, при цьому обчислимо значення похідної у кожній з точок кожного інтервалу, наприклад, у точках x=-2, x=0, x=3 і x=6 .

Отже, на інтервалі похідна є позитивною (на малюнку ставимо знак плюс над цим інтервалом). Аналогічно

Тому над другим інтервалом ставимо мінус, над третім – мінус, над четвертим – плюс.

Залишилося вибрати точки, у яких функція безперервна та її похідна змінює знак. Це і є точки екстремуму.

У точці x=-1 функція безперервна і похідна змінює знак із плюсу на мінус, отже, за першою ознакою екстремуму, x=-1 – точка максимуму, їй відповідає максимум функції .

У точці x=5 функція безперервна і похідна змінює знак з мінуса на плюс, отже, x=-1 – точка мінімуму, їй відповідає мінімум функції .

Графічні ілюстрації.

Відповідь:

ЗВЕРНІТЬ УВАГУ: перша достатня ознака екстремуму не вимагає диференційності функції у самій точці .

приклад.

Знайдіть точки екстремуму та екстремуми функції .

Рішення.

Областю визначення функції є вся безліч дійсних чисел. Саму функцію можна записати у вигляді:

Знайдемо похідну функції:

У точці x=0 похідна немає, оскільки значення односторонніх меж при прагненні аргументу до нуля не збігаються:

У той же час, вихідна функція є безперервною в точці x=0 (див. розділ дослідження функції на безперервність):

Знайдемо значення аргументу, при якому похідна звертається до нуля:

Зазначимо всі отримані точки на числовій прямій і визначимо похідний знак на кожному з інтервалів. Для цього обчислимо значення похідної у довільних точках кожного інтервалу, наприклад, при x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

Тобто,

Таким чином, за першою ознакою екстремуму, точками мінімуму є , точками максимуму є .

Обчислюємо відповідні мінімуми функції

Обчислюємо відповідні максимуми функції

Графічні ілюстрації.

Відповідь:

.

Друга ознака екстремуму функції.

Як бачите, ця ознака екстремуму функції потребує похідної як мінімум до другого порядку в точці .

Перший достатній ознака екстремуму формулюється з урахуванням зміни знака першої похідної під час переходу через критичну точку. Про другу ознаку екстремуму йтиметься нижче в § 6.4.

Теорема (перша ознака екстремуму) : Якщох 0 - Критична точка функціїу=f(x) і в деякій околиці точких 0 , переходячи через неї зліва направо, похідна змінює знак на протилежний, тох 0 є точкою екстремуму. Причому якщо знак похідної змінюється з «+» на «-», тох 0 – точка максимуму, аf(x 0 ) – максимум функції, а якщо похідна змінює знак із «-» на «+», тох 0 – точка мінімуму, аf(x 0 ) - Мінімум функції.

Розглянутий екстремум носить локальний(Місцевий) характер і стосується деякої малої околиці критичної точки.

Точки екстремуму і точки розриву ділять область визначення функції інтервали монотонності.

Приклад 6.3.У прикладі 6.1. ми знайшли критичні точки х 1 =0 і х 2 =2.

З'ясуємо, чи справді у цих точках функція у=2х 3 -6х 2 +1 має екстремум. Підставимо в її похідну
значення х, взяті зліва і праворуч від точки х 1 =0 у досить близькому околиці, наприклад, х=-1і х = 1. отримаємо. Оскільки похідна змінює знак із «+» на «-», то х 1 =0 - точка максимуму, а максимум функції
. Тепер візьмемо два значення х = 1 і х = 3з околиці іншої критичної точки х 2 =2 . Вже показано, що
, а
. Оскільки похідна змінює знак із «-» на «+», то х 2 =2 - Точка мінімуму. А мінімум функції
.

Щоб знайти найбільше та найменше значення функції безперервної на відрізку
потрібно обчислити її значення у всіх критичних точках і кінцях відрізка, та був вибрати їх найбільше і найменше.

6.3. Ознаки опуклості та увігнутості графіка функції. Точки перегину

Графік диференційованої функції називаєтьсяопуклимна інтервалі, якщо він розташований нижче за будь-яку свою дотичну на тому інтервалі;увігнутим (опуклим вниз)якщо він розташований вище будь-якої дотичної на інтервалі.

6.3.1. Необхідні та достатні ознаки опуклості та увігнутості графіка

а) Необхідні ознаки

Якщо графік функціїу=f(x) опуклий на інтервалі(a, b) , то друга похідна
на цьому інтервалі; якщо графікувігнутий на(a, b) , то
на(a, b) .

П усть графік функції у=f(x) опуклий (a, b) (Рис.6.3а). Якщо дотична ковзає вздовж опуклої кривої зліва направо, її кут нахилу зменшується (
), разом з тим зменшується і кутовий коефіцієнт дотичної, а значить, зменшується перша похідна
на (a, b) . Але тоді похідна першої похідної як похідна спадної функції має бути негативною, тобто
на (a, b) .

Якщо графік функції увігнутийна (a, b) , То, міркуючи аналогічно, бачимо, що при ковзанні дотичної вздовж кривої (рис. 6.3б) кут нахилу дотичної зростає (
), зростає разом із і кутовий коефіцієнт, отже, і похідна. І тоді похідна від похідної як зростаючої функції має бути позитивною, тобто
на (a, b) .

б ) Достатні ознаки

Якщо для функціїу=f(x) у всіх точках деякого інтервалу буде
, то графік функціїувігнутий на цьому інтервалі, а якщо
, тоопуклий .

«Правило дощу» : Щоб запам'ятати який знак другої похідної пов'язувати з опуклою, а який із увігнутою дугою графіка, рекомендуємо запам'ятати: плюс вода у увігнутій луночці, «мінус вода» - у опуклій луночці (рис. 6.4).

Крапка графіка безперервної функції, в якій змінюється опуклість на увігнутість чи навпаки, називаєтьсяточкою перегину .

Теорема (достатня ознака існування точки перегину).

Якщо у точці функція
двічі диференційована та друга похідна в цій точці дорівнює нулю або не існує, і якщо при переході через точку друга похідна
змінює знак, то точка є точка перегину. Координати точки перегину
.

Точки, у яких друга похідна перетворюється на нуль чи немає, називаються критичними точками другого роду.

Приклад 6.4.Знайти точки перегину та визначити інтервали опуклості та увігнутості кривої
(Крива Гауса).

Р ешение.Знаходимо першу та другу похідні:
,. Друга похідна існує за будь-яких . Прирівнюємо її нулю і вирішимо отримане рівняння
, де
тоді
, звідки
,
- Критичні точки другого роду. Перевіримо зміну знака другої похідної під час переходу через критичну точку
. Якщо
наприклад,
, то
, а якщо
наприклад,
, то
тобто друга похідна змінює знак. Отже,
- абсциса точки перегину, її координати
. Через парність функції
, крапка
, симетрична точка
, теж буде точкою перегину.

Теорема (перша достатня умова екстремуму). Нехай у точці функція безперервна, а похідна під час переходу через точку змінює знак. Тоді - точка екстремуму: максимуму, якщо знак змінюється з "+" на "-", і мінімуму, якщо з "-" на "+".

Доведення.Нехай при і за .

За теоремою Лагранжа , де .Тоді якщо , то ; тому й , отже, , або . Якщо ж, то; тому й , отже, або .

Отже доведено, що у будь-яких точках поблизу , тобто. – точка максимуму функції.

Доказ теореми точки мінімуму проводиться аналогічно. Теорема доведена.

Якщо під час переходу через точку похідна не змінює знак, то точці екстремуму немає.

Теорема (друга достатня умова екстремуму). Нехай у точці похідна функції, що двічі диференціюється, дорівнює 0 (), а її друга похідна в цій точці відмінна від нуля () і безперервна в деякій околиці точки . Тоді - точка екстремуму; при цьому точка мінімуму, а при цьому точка максимуму.

Алгоритм знаходження екстремумів функції за допомогою першої достатньої умови екстремуму.

1. Знайти похідну.

2. Визначити критичні точки функції.

3. Дослідити знак похідної ліворуч та праворуч від кожної критичної точки та зробити висновок про наявність екстремумів.

4. Знайти екстремальні значення функції.

Алгоритм знаходження екстремумів функції за допомогою другої достатньої умови екстремуму.

1. Знайти похідну.

2. Знайти другу похідну.

3. Знайти ті точки, у яких .

4. У цих точках визначити знак.

5. Зробити висновок про існування та характер екстремумів.

6. Знайти екстремальні значення функції.

приклад.Розглянемо . Знайдемо . Далі, при і за . Досліджуємо критичні точки за допомогою першої достатньої умови екстремуму. Маємо, що за і при , і при . У точках і похідна змінює свій знак: при "+" на "-" і при "-" на "+". Це означає, що у точці функція має максимум, а точці – мінімум; . Для порівняння досліджуємо критичні точки за допомогою другої достатньої умови екстремуму. Знайдемо другу похідну. Маємо: , а це означає, що у точці функція має максимум, а точці – мінімум.

Поняття асимптоти графіка функції. Горизонтальні, похилі та вертикальні асимтоти. приклади.

Визначення. p align="justify"> Асимптотою графіка функції називається пряма, що володіє тією властивістю, що відстань від точки до цієї прямої прагне до нуля при необмеженому видаленні точки графіка від початку координат.

Розрізняють вертикальні (рис. 6.6 а), горизонтальні (рис. 6.6 б) та похилі (рис. 6.6 в) асимптоти.

На рис. 6.6а зображена вертикальна асимптота.

На рис 6.6б - горизонтальна асимптота.

На рис. 6.6в - похила асимптота.

Теорема 1.У точках вертикальних асимптот (наприклад, ) функція зазнає розриву, її межа зліва і праворуч від точки дорівнює :

Теорема 2.Нехай функція визначена за досить великих і існують кінцеві межі

І .

Тоді пряма є похилою асимптотою графіка функції.

Теорема 3.Нехай функція визначена за досить великих і існує межа функції. Тоді пряма є горизонтальна асимптота графіка функції.

Горизонтальна асимптота є окремим випадком похилої асимптоти, коли . Тому, якщо в якомусь напрямку крива має горизонтальну асимптоту, то в цьому напрямі немає похилої і навпаки.

приклад.Знайти асимптоти графіка функції.

Рішення. У точці функція не визначена, знайдемо межі функції ліворуч і праворуч від точки:

; .

Отже, – вертикальна асимптота.

Загальна схема дослідження функцій та побудови їх графіків. приклад.

Загальна схема дослідження функції та побудови її графіка.

1. Знайти область визначення.

2. Дослідити функцію на парність – непарність.

3. Знайти вертикальні асимптоти та точки розриву (якщо є).

4. Дослідити поведінку функції у нескінченності; знайти горизонтальні та похилі асимптоти (якщо є).

5. Знайти екстремуми та інтервали монотонності функції.

6. Знайти точки перетину графіка з осями координат і, якщо це потрібно для схематичної побудови графіка, знайти додаткові точки.

7. Схематично збудувати графік.

Детальна схемадослідження функції та побудови графіка .

1. Знайти область визначення .

a. Якщо є знаменник, він повинен звертатися в 0.

b. Підкорене вираз кореня парного ступеня має бути неотрицательным (більше чи дорівнює нулю).

c. Підлогарифмічний вираз має бути позитивним.

2. Дослідити функцію на парність – непарність.

a. Якщо , то функція парна.

b. Якщо , то функція непарна.

c. Якщо не виконано ні, ні , то – функція загального вигляду.

3. Знайти вертикальні асимптоти та точки розриву (якщо є).

a. Вертикальна асимптота може виникнути лише на межі області визначення функції.

b. Якщо (або ), то вертикальна асимптота графіка .

4. Дослідити поведінку функції у нескінченності; знайти горизонтальні та похилі асимптоти (якщо є).

a. Якщо , то горизонтальна асимптота графіка .

b. Якщо і то пряма є похилою асимптотою графіка.

c. Якщо межі, зазначені в п. a, b, існують тільки при односторонньому прагненні до нескінченності (або ), то отримані асимптоти будуть односторонніми: лівосторонніми при і правосторонніми при .

5. Знайти екстремуми та інтервали монотонності функції.

a. Знайти похідну.

b. Знайти критичні точки (ті точки, де чи де немає).

c. На числовій осі відзначити область визначення та її критичні точки.

d. На кожному з одержаних числових інтервалів визначити знак похідної.

e. По знаках похідної зробити висновок про наявність екстремумів у та їх тип.

f. Знайти екстремальні значення.

g. По знаках похідної зробити висновок про зростання та зменшення.

6. Знайти точки перетину графіка з осями координат і, якщо це потрібно для схематичної побудови графіка, знайти додаткові точки.

a. Щоб знайти точки перетину графіка з віссю , треба розв'язати рівняння . Точки , де нулі , будуть точками перетину графіка з віссю .

b. Точка перетину графіка з віссю має вигляд. Вона існує, лише якщо точка входить у область визначення функції .

8. Схематично збудувати графік.

a. Побудувати систему координат та асимптоти.

b. Відзначити екстремальні точки.

c. Відзначити точки перетину графіка з осями координат.

d. Схематично побудувати графік так, щоб він проходив через зазначені точки та наближався до асимптотів.

приклад.Дослідити функцію та схематично побудувати її графік.

2. - функція загального виду.

3. Оскільки і , то прямі є вертикальними асимптотами; точки і є точками розриву. , при не входить до області визначення функції