Alamin ang mga coordinate ng orthogonal projection ng isang punto nang direkta. Projection ng isang punto sa isang tuwid na linya Mga coordinate ng isang projection ng isang punto sa isang tuwid na linya. Projection ng isang punto sa isang tuwid na linya - teorya, ilapat ang solusyon na iyon

Ang artikulong Tsya ay tumitingin sa pag-unawa sa projection ng isang punto sa isang tuwid na linya (lahat). Si Mi damo yoma ay hinirang para sa maliit na vikoristannya, na ipinapaliwanag ko; Vivchimo na paraan ng pagtatalaga ng mga coordinate ng projection ng isang punto sa isang tuwid na linya (sa isang flat o trivial space); Subukan natin ito.

Sa artikulong "Projection ng isang punto sa isang eroplano, mga coordinate" nagtaka kami kung ang disenyo ng isang figure ay dapat na maunawaan ng mga konsepto ng patayo o orthogonal na disenyo.

Ang lahat ng mga geometric na numero ay nakatiklop sa mga puntos; Samakatuwid, upang makapag-proyekto ng isang pigura sa isang tuwid na linya, kinakailangang isaalang-alang ang kakayahang mag-proyekto ng isang punto sa isang tuwid na linya.

Paghirang 1

Projection ng isang punto sa isang tuwid na linya- tse o ang punto mismo, dahil dapat itong nakahiga sa ibinigay na tuwid na linya, o ang batayan ng patayo na bumaba mula sa punto sa ibinigay na tuwid na linya.

Tingnan natin ang mga maliliit sa ibaba: ang punto H 1 ay nagsisilbing projection ng punto M 1 sa tuwid na linya a, at ang punto M 2, na nasa tuwid na linya, ay ang projection sa sarili nito.

Ang pagtatalaga ay mas tama para sa vipadka sa ibabaw at sa trivimer space.

Upang makuha ang projection ng point M 1 papunta sa tuwid na linya a sa eroplano, gumuhit ng isang tuwid na linya b, upang dumaan sa isang ibinigay na punto M 1 i ay patayo sa tuwid na linya a. Sa ganitong pagkakasunud-sunod, ang punto ng intersection ng mga linya a at b ay ang projection ng punto M 1 sa linya a.

Sa isang maliit na espasyo, ang projection ng isang punto sa isang tuwid na linya ay ihahatid ng punto ng cross line ng tuwid na linya a at ang eroplanong α, na dadaan sa punto M 1 patayo sa tuwid na linya a.

Ang halaga ng mga coordinate ng projection ng isang punto sa isang tuwid na linya

Tingnan natin ang mga kadena sa mga landscape ng disenyo sa patag at sa walang kuwentang kalawakan.

Bigyan kami ng gawain ng isang rectangular coordinate system O x y, point M1 (x1, y1) i straight line a. Kinakailangang malaman ang mga coordinate ng projection ng point M1 sa tuwid na linya a.

Dumaan tayo sa ibinigay na punto M 1 (x 1, y 1) ang tuwid na linya b patayo sa tuwid na linya a. Ang break point ay minarkahan bilang H1. Point H 1 ang magiging projection point ng point M 1 sa tuwid na linya a.

Mula sa paglalarawan, posible na bumalangkas ng isang algorithm na nagbibigay-daan sa iyo upang malaman ang mga coordinate ng projection ng point M 1 (x 1 y 1) sa tuwid na linya a:

Pagtitiklop ng mga tuwid na linya (dahil hindi ito tinukoy). Para sa zdіysnennya ts_єї dії nebhіdna navička skladannya pangunahing rivnyan sa flat;

Itala ang pagkakahanay ng tuwid na linya b (upang dumaan sa punto M 1 at patayo sa tuwid na linya a). Dito, ang artikulo tungkol sa pagkakahanay ng tuwid na linya, upang dumaan sa isang ibinigay na punto nang patayo sa ibinigay na tuwid na linya, ay pupunan;

Malinaw na ang mga coordinate ng projection ay kinuha bilang mga coordinate ng cross point ng mga tuwid na linya a at b. At dito, ang sistema ng pagkakapantay-pantay ay napatunayan, tulad ng mga bodega - pagkakapantay-pantay ng mga tuwid na linya a at b.

puwit 1

Sa eroplano O x y, ang ibinigay na punto M 1 (1, 0) ay ang tuwid na linya a (mas mataas na pagkakahanay - 3 x + y + 7 = 0). Kinakailangang tukuyin ang mga coordinate ng projection ng point M1 sa tuwid na linya a.

Solusyon

Ang pagkakahanay na ibinigay ng direktang linya, na, ayon sa algorithm, pumasa tayo sa pinakamaikling talaan ng pagkakahanay ng tuwid na linya b. Ang linya b ay patayo sa linya a, at samakatuwid ang normal na vector ng linya a ay ang direktang vector ng linya b. Pagkatapos ang direktang vector ng mga linya b ay maaaring isulat bilang b → = (3, 1). Isulat natin ang canonical alignment ng tuwid na linya b, ngunit kailangan din nating itakda ang mga coordinate ng punto M 1 sa pamamagitan ng tuwid na linya b:

Ang huling hiwa ay nagpapakita ng mga coordinate ng crosspoint ng mga tuwid na linya a at b. Mag-move on na tayo canonical rivnyan direktang b sa zagalny її katumbas:

x - 1 3 = y 1 ⇔ 1 (x - 1) = 3 y ⇔ x - 3 y - 1 = 0

Gumawa tayo ng isang sistema ng mga equalization mula sa itaas na mga equalization ng mga tuwid na linya a at b

3 x + y + 7 = 0 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 (- 3 x - 7 ) - 1 = 0 ⇔ ⇔ y = - 3 x - 7 x = - 2 ⇔ y = - 3 (- 2) - 7 x = - 2 ⇔ y = - 1 x = - 2

Buweno, inalis namin ang mga coordinate ng projection ng point M 1 (1, 0) sa tuwid na linya 3 x + y + 7 = 0: (- 2 , - 1) .

Mungkahi: (- 2 , - 1) .

Susuriin ang ulat kung kinakailangan upang ipahiwatig ang mga coordinate ng projection set point sa mga coordinate na linya at mga linyang parallel sa kanila.

Hayaan ang mga ibinigay na linya ng coordinate O x і O y, pati na rin ang punto M 1 (x 1, y 1). Napagtanto ko na ang projection ng isang naibigay na punto sa isang tuwid na linya na coordinate O x ng form na y = 0 ay magiging isang punto na may mga coordinate (x 1, 0) . Kaya ang projection ng ibinigay na punto sa line coordinate O y ay magiging coordinate 0 , y 1 .

Be-yaku medyo tuwid, parallel sa axis abscissa, maaari mong ilagay ito ng mali ligaw na selos B y + C \u003d 0 ⇔ y \u003d - C B, at tuwid, parallel sa y-axis - A x + C \u003d 0 ⇔ x \u003d - C A.

Pagkatapos ang mga projection ng point M 1 (x 1, y 1) sa tuwid na linya y \u003d - C B i x \u003d - CA ay nagiging mga puntos na may mga coordinate x 1, - C B i - CA A, y 1.

puwit 2

Kunin ang mga coordinate ng projection ng point M 1 (7, - 5) papunta sa coordinate line O y , at gayundin sa linya na parallel sa linya O y 2 y - 3 = 0 .

Solusyon

Isulat natin ang mga coordinate ng projection ng ibinigay na punto sa tuwid na linya O y: (0 - 5) .

Isulat natin ang pagkakahanay ng tuwid na linya 2 y - 3 = 0 yak y = 3 2 . Ito ay nagiging malinaw na ang projection ng ibinigay na punto sa tuwid na linya y = 3 2 na may coordinate matrix 7 3 2 .

Mungkahi:(0 , - 5) at 7 , 3 2 .

Hayaang magkaroon ng rectangular coordinate system ang trivial space O x y z , point M 1 (x 1 , y 1 , z 1) at straight line a . Alam natin ang mga coordinate ng projection ng point M1 sa tuwid na linya a.

Hahayaan nating dumaan ang eroplano α sa puntong M1 i patayo sa tuwid na linya a. Ang projection ng isang ibinigay na punto sa isang tuwid na linya a ay nagiging isang punto sa isang tuwid na linya a at isang eroplanong α. Batay dito, ipinakilala namin ang isang algorithm para sa halaga ng mga coordinate ng projection ng punto M 1 (x 1, y 1, z 1) sa tuwid na linya a:

Isinulat namin ang pagkakahanay ng tuwid na linya a (dahil hindi ito tinukoy). Upang maunawaan ang gawaing ito, kinakailangan na maging pamilyar sa artikulong ito tungkol sa pagkakahanay ng mga tuwid na linya sa espasyo;

Maaari ba nating itabi ang patag?

Alam namin ang mga coordinate ng projection ng point M 1 (x 1, y 1, z 1) sa tuwid na linya a - magkakaroon ng mga coordinate ng punto ng cross line ng tuwid na linya α at ang eroplano ng α (para sa tulong - ang artikulong "Mga coordinate ng punto ng cross line ng tuwid na linya ng eroplano").

puwit 3

Dahil sa isang right-angle coordinate system O x y z , i sa nіy - point М 1 (0, 1, - 1) i straight line a . Ang tuwid na linya a ay tumutugma sa canonical alignment: x + 23 = y - 6 - 4 = z + 11. Tukuyin ang mga coordinate ng projection ng point M1 sa tuwid na linya a.

Solusyon

Vykoristovuёmo vkazyvshee algorithm. Rivnyannya tuwid na linya, ang unang hakbang ay nilaktawan ng algorithm. Isulat natin ang pagkakahanay ng lugar na α. Kung saan ang mga coordinate ng normal na vector ng lugar ay makabuluhan. Mula sa ibinigay na mga canonical alignment ng tuwid na linya a, makikita natin ang mga coordinate ng direktang vector ng tuwid na linya: (3, - 4, 1), na magiging normal na vector ng lugar na α, patayo sa tuwid na linya a. Todi n → = (3, - 4, 1) ay ang normal na vector ng lugar na α. Sa ganitong pagkakasunud-sunod, ang eroplano ng α matime ay mukhang pantay:

3 (x - 0) - 4 (y - 1) + 1 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 3 x - 4 y + z + 5 = 0

Ngayon alam natin ang mga coordinate ng cross point ng tuwid na linya at ng eroplano α, kung saan mayroong dalawang paraan:

1. Ang mga gawain ng canonical alignment ay nagbibigay-daan sa iyo na gawin ang pagkakahanay ng dalawang eroplano, na magkakapatong, na kumakatawan sa tuwid na linya a:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ - 4 (x + 2) = 3 (y - 6) 1 (x + 2) = 3 (z + 1) 1 ( y - 6) = - 4 (z + 1) ⇔ 4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0

Upang malaman ang mga punto ng cross line ng tuwid na linya 4 x + 3 y - 10 \u003d 0 x - 3 z - 1 \u003d 0 at mga eroplano 3 x - 4 y + z + 5 \u003d 0

4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0 3 x - 4 y + z + 5 = 0 ⇔ 4 x + 3 y = 10 x - 3 z = 1 3 x - 4 y + z = - 5

Sa sa partikular na uri na ito vikoristovuєmo Cramer's method, ngunit maaari mong i-zasosuvat kung ito ay ruchny:

∆ = 4 3 0 1 0 - 3 3 - 4 1 = - 78 ∆ x = 10 3 0 1 0 - 3 - 5 - 4 1 = - 78 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 78 - 78 = 1 ∆ y = 4 10 0 1 1 - 3 3 - 5 1 = - 156 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 156 - 78 = 2 ∆ z = 4 3 10 1 0 1 3 - 4 - 5 = 0 ⇒ z ∆ 0 - 78 = 0

Sa ganitong paraan, ang projection ng isang naibigay na punto sa isang tuwid na linya a ay isang punto na may mga coordinate (1, 2, 0)

1. Sa batayan ng mga gawain ng mga canonical alignment, madaling isulat ang parametric alignment ng tuwid na linya sa espasyo:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ x = - 2 + 3 λ y = 6 - 4 λ z = - 1 + λ

Isipin natin sa antas ng eroplano, na makikita bilang 3 x - 4 y + z + 5 = 0 sa halip x , y і z їх expression sa pamamagitan ng parameter:

3 (- 2 + 3 λ) - 4 (6 - 4 λ) + (- 1 + λ) + 5 = 0 ⇔ 26 λ = 0 ⇔ λ = 1

Kalkulahin natin ang mga coordinate ng cross point ng tuwid na linya a at ang eroplanong α sa likod ng mga parametric alignment ng tuwid na linya a sa λ = 1:

x = - 2 + 3 1 y = 6 - 4 1 z = - 1 + 1 ⇔ x = 1 y = 2 z = 0

Kaya, ang projection ng isang naibigay na punto sa isang tuwid na linya a ay may mga coordinate (1, 2, 0)

Mungkahi: (1 , 2 , 0)

Mahalaga na ang mga projection ng punto M 1 (x 1 , y 1 , z 1) sa mga linya ng coordinate O x , O y і O z ay magiging mga puntos na may mga coordinate (x 1 , 0 , 0) , (0 , y 1 , 0 ) at (0 , 0 , z 1) ay wasto.

Paano mo naalala ang pagpapatawad sa teksto, maging mabait, tingnan ito at pindutin ang Ctrl + Enter

tumulong sa ibang tao online na calculator maaari mong malaman ang projection ng isang punto sa isang tuwid na linya. Umaasa kaming mag-ulat ng solusyon na may mga paliwanag. Upang makalkula ang projection ng isang punto sa isang tuwid na linya, itakda ang distansya (2- mukhang isang tuwid na linya sa eroplano, 3- mukhang isang tuwid na linya sa espasyo), ipasok ang mga coordinate ng puntong iyon elemento ng pagkakahanay sa kahon at pindutin ang "Verishity" na buton.

×

Advance

I-clear ang lahat ng kwarto?

Isara ang Clear

Mga tagubilin para sa pagpasok ng data. Ang mga numero ay ipinasok bilang mga buong numero (ilapat: 487, 5, -7623 thin.), ikasampung numero (hal. 67., 102.54 thin.) o mga fraction. Ang fraction ay kinakailangang ma-type sa paningin ng a / b, de a і b (b> 0) tsіlі o sampu-sampung numero. Ilapat ang 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 manipis.

Projection ng isang punto sa isang tuwid na linya - teorya, ilapat ang solusyon na iyon

Tingnan natin ang gawain sa two-world at three-world expanses.

1. Hayaang bigyan ng punto ang dalawang-mundo na espasyo M 0 (x 0 , y 0) diretso ako L:

Algorithm para sa projection ng isang punto sa isang tuwid na linya L para maghiganti ng ganito:

• direktang i-prompt L 1 upang dumaan sa punto M 0 i patayo sa tuwid na linya L,
• alamin ang span ng mga tuwid na linya Lі L 1 (punto M 1)

Tuwid na linya upang dumaan sa punto M 0 (x 0 , y 0) maaaring ganito ang hitsura:

Yumuko si Vіdkrієmo

(5)

Ipagpalagay natin ang halaga xі y sa 4):

de x 1 =mt"+x", y 1 =pt"+y".

Halimbawa 1. Alamin ang projection ng isang punto M 0 (1, 3) tuwid

Tobto. m=4, p=5. Mula sa pagkakahanay ng tuwid na linya (6) ay malinaw na ito ay dadaan sa punto M" (x", y")=(2, −3)(na madaling baguhin - ang pagpapalit sa halaga (6) ay tumatagal ng pagkakakilanlan na 0=0), pagkatapos. x"=2, y"=-3. Ipagpalagay natin ang halaga m, p, x 0 , y 0 ,x", y" sa 5"):

2. Hayaang bigyan ng punto ang trivi-worldly space M 0 (x 0 , y 0 , z 0) diretso ako L:

Ang kahulugan ng projection ng isang punto sa isang tuwid na linya L para maghiganti ng ganito:

• hikayatin ang flat α , upang dumaan sa punto M 0 i patayo sa tuwid na linya L,
• alamin ang lugar ng retin α diretso ako L(speck M 1)

Flatness ng eroplano na dumaan sa punto M 0 (x 0 , y 0 , z 0) maaaring ganito ang hitsura:

Yumuko si Vіdkrієmo

Ipagpalagay natin ang halaga xі y tungkol sa 9):

Ang projection ng isang punto sa isang tuwid na linya ay madaling gawin, at para sa nakaraang ilang mga operasyon, ang zero proximity ay kinakalkula bilang isang projection ng isang punto sa isang tuldok na tuwid na linya. Tingnan natin ang bilang ng mga aspetong ito ng magkasanib na gawain.

Hayaan itong dumiretso

i speck. Mahalaga, ang vector ng mga tuwid na linya w ay maaaring medyo mahaba. Ang tuwid na linya ay dumadaan sa punto , kung saan ang parameter t ay katumbas ng zero, at ang vector w ay maaaring tuwid. Kinakailangang malaman ang projection ng isang punto sa isang tuwid na linya. Isa lang ang solusyon. Mag-uudyok kami ng isang vector mula sa isang punto ng isang tuwid na linya patungo sa isang punto at isang computably scalar rigid vector at isang vector ng isang tuwid na linya w. Sa fig. 4.5.1 na nagpapakita ng direktang vector ng mga linya w, ibinigay na punto. Kung hahatiin natin ang scalar extension na ito sa haba ng vector w, aalisin natin ang haba ng projection ng vector sa isang tuwid na linya.

kanin. 4.5.1. Projection ng isang punto sa isang tuwid na linya

Kung hahatiin natin ang scalar extension sa parisukat ng haba ng vector w, pagkatapos ay aalisin natin ang haba ng projection ng vector sa tuwid na linya sa mga yunit ng haba ng vector w, kaya kinuha natin ang parameter t para sa ang projection ng punto papunta sa tuwid na linya.

Kaya, ang projection parameter ng isang punto sa isang tuwid na linya at ang radius-vector ng projection ; kalkulahin gamit ang mga formula

(4.5.3)

Kung ang haba ng vector w ay katumbas ng 1, kung gayon (4.5.2) hindi na kailangang ibawas mula sa punto hanggang sa projection sa curve sa itaas na slope ay kinakalkula bilang haba ng vector. Maaari mong kalkulahin ang distansya mula sa punto hanggang sa її projection sa isang tuwid na linya, hindi sa pamamagitan ng pagkalkula ng projection ng punto, ngunit sa pamamagitan ng pagpapabilis ng formula

Okremі falls.

Ang projection ng isang punto sa analytic curves ay maaari ding malaman nang walang kaalaman sa mga numerical na pamamaraan. Halimbawa, upang malaman ang projection ng punto sa huling hiwa, kinakailangan na isalin ang puntong ipino-project sa coordinate system ng end cut, i-project ang punto sa eroplano ng end cut at malaman ang parameter ng two-dimensional na projection ng ibinigay na punto.

Zagalny vpadok.

Hayaang kailangang malaman ang lahat ng mga projection ng isang punto sa isang hubog na linya.

(4.5.5)

Ang layunin ay upang maghiganti sa isang hindi kilalang halaga - ang parameter na t. Gaya ng nasabi na, ang pagkumpleto ng aling gawain ay hinati sa dalawang yugto. Sa unang yugto, ipinapahiwatig namin ang zero approximation ng mga parameter sa mga projection ng punto sa curve, at sa kabilang yugto, alam namin ang eksaktong mga halaga ng mga parameter sa curve, na nagtatalaga ng mga projection ng ibinigay na punto sa kurba hanggang sa linyang z