Дії sa mga matrice at їх vyzniki. Ang mga pangunahing operasyon sa mga matrice (folding, multiplying, transposing) ay ang parehong kapangyarihan. Pagpaparami ng matrix
Mga matrice. Ilipat sa mga matrice. Pangingibabaw ng mga operasyon sa mga matrice. Tingnan ang matrix.
Mga matrice ay maaaring isang mahalagang halaga sa inilapat na matematika, na pinapayagang isulat sa isang simpleng anyo ng isang makabuluhang bahagi mga modelo ng matematika mga bagay at proseso. Ang terminong "matrix" ay lumitaw noong 1850. Noong nakaraan, ang mga matrice ay nahulaan sa sinaunang Tsina, nang maglaon sa mga Arabic mathematician.
Matrix A=Amn order m * n ay tinatawag na rectilinear table ng mga numero.
Mga elemento ng matrix aij , kung saan ang i=j ay tinatawag na dayagonal i pangunahing dayagonal.
Para sa isang square matrix (m=n), ang head diagonal ay binubuo ng mga elemento a 11 , a 22 ,..., a nn .
Rivnist matrice.
A=B ang pagkakasunod-sunod lang ng matrices Aі B gayunpaman, iyon a ij = b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)
Ilipat sa mga matrice.
1. Pagdaragdag ng mga matrice - elemento-by-element na operasyon
2. Pagtingin sa mga matrice - pagpapatakbo ng elemento-by-element
3. Ang pagdaragdag ng matrix sa isang numero ay isang elemento-by-element na operasyon
4. Maramihan A*B matrix ayon sa panuntunan hilera sa itaas(ang bilang ng mga column sa matrix A ay maaaring katumbas ng bilang ng mga row sa matrix B)
Amk * Bkn = Cmn bakit ang elemento ng balat h ij matrice Cmn idagdag ang kabuuan ng mga elemento ng i-th row ng matrix A at ang iba pang elemento ng j-th column ng matrix B, tobto.
Ipakita natin ang operasyon ng multiplying matrices sa halimbawa
5. Mga link sa paanan
m>1 cell petsa. Ang A ay isang square matrix (m=n) tobto. may kaugnayan para sa mga square matrice
6. Matrix transposition A. Ang isang transposed matrix ay tinutukoy ng A T o A
Ang mga row at column ay ginunita ng mga misyon
puwit
Kapangyarihan ng mga operasyon sa mga matrice
(A+B)+C=A+(B+C)
λ(A+B)=λA+λB
A(B+C)=AB+AC
(A+B)C=AC+BC
λ(AB)=(λA)B=A(λB)
A(BC)=(AB)C
(λA)"=λ(A)"
(A+B)"=A"+B"
(AB)"=B"A"
Vidi matrices
1. Parihaba: mі n- medyo positibong mga numero
2. Square: m=n
3. Matrix row: m=1. Halimbawa, (1 3 5 7) - para sa maraming praktikal na gawain, ang naturang matrix ay tinatawag na vector.
4. Matrix Stovpets: n=1. Halimbawa
5. Diagonal matrix: m=nі isang ij = 0, gusto i≠j. Halimbawa
6. Nag-iisang matrix: m=nі
7. Zero matrix: a ij =0, i=1,2,...,m
j=1,2,...,n
8. Tricot matrix: lahat ng elemento sa ibaba ng head diagonal ay katumbas ng 0.
9. Symmetric matrix: m=nі a ij = isang ji(upang tumayo ng pantay na mga elemento sa simetriko na mga diagonal ng ulo), at gayundin A"=A
Halimbawa,
10. Skew matrix: m=nі a ij =-a ji(Iyon ang dahilan kung bakit sa simetriko pangunahing mga diagonal mayroong mga elemento ng protilene). Gayundin, sa head diagonal stand zeros (dahil sa i=j siguro a ii =-a ii)
Naintindihan ko A"=-A
11. Hermitian matrix: m=nі a ii =-ã ii (ã ji- kumplikado - natanggap hanggang sa isang ji, pagkatapos. yakscho A=3+2i, pagkatapos ay kumplikado - nakuha Ã=3-2i)
Pagtuturo. Para sa mga online na solusyon ito ay kinakailangan upang itakda ang matrix variable. Sa isa pang yugto, kakailanganing linawin ang laki ng mga matrice. Mga pinapayagang operasyon: multiplication (*), add (+), add (-), reverse matrix A^(-1), step down (A^2, B^3), transpose matrix (A^T).
Mga pinapayagang operasyon: multiplication (*), add (+), add (-), reverse matrix A^(-1), step down (A^2, B^3), transpose matrix (A^T).
Upang makita ang listahan ng mga operasyon, gamitin ang wicker speck na may coma (;). Halimbawa, para sa vikonannya tatlong operasyon:
a) 3A + 4B
b) AB-BA
c) (A-B) -1
kailangan mong isulat ito ng ganito: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)
Ang matrix ay isang rectangular numerical table, na may m row at n column, kaya ang matrix ay maaaring ilarawan sa eskematiko sa pamamagitan ng pagtingin sa isang parihaba.
Zero matrix (null matrix) pangalanan ang matrix, lahat ng mga elemento na katumbas ng zero at nakatakda sa 0.
Nag-iisang matris ay tinatawag na square matrix
Dalawang matrice A at B ay pantay yakscho baho ng parehong laki at їх vіdpovіdnі elemento іvnі.
Virogen matrix ang matrix ay tinatawag, na katumbas ng zero (Δ = 0).
Makabuluhan pangunahing mga operasyon sa matrices.
Pagdaragdag ng mga matrice
appointment. Ang kabuuan ng dalawang matrice A = | | a i k | | i B=||b i k || ang parehong laki ay tinatawag na matrix C=||c i k || tahimik ang kanilang mga sarili razmіrіv, mga elemento tulad ng perebuvayut para sa formula c i k =a i k + b i k . Ipinapakita bilang C=A+B.Halimbawa 6 . .
Ang pagpapatakbo ng mga natitiklop na matrice ay lumalawak sa bilang ng mga karagdagan. Malinaw, A+0=A .
Muli, hinihikayat ka naming magtiklop ng higit sa isang matrix na may parehong laki; para sa mga matrice ng iba't ibang pagpapalawak, ang operasyon ng pagdaragdag ay hindi itinalaga.
Vision matrix
appointment. Pagtitingi B-A ang isang matrix B at A na may parehong laki ay tinatawag na isang matrix C na ang A+C=B.Pagpaparami ng mga matrice
appointment. Karagdagang matrix A=||a i k || ang bilang na α ay tinatawag na matrix C = | |appointment. Magbigay ng dalawang matrice A=||a i k || (i=1,2,...,m; k=1,2,...,n) i B=||b i k || (k=1,2,...,n; j=1,2,...,p), saka, ang bilang ng mga column sa A ay katumbas ng bilang ng mga row sa B . Ang doboot A hanggang B ay ang matrix C=||c i k ||, ang mga elemento nito ay nasa likod ng formula 
.
Ipinapakita bilang C=A·B.
Sa eskematiko, ang pagpapatakbo ng multiplying matrices ay maaaring katawanin bilang mga sumusunod: 
at ang panuntunan para sa pagkalkula ng elemento ng paglikha: 
Pidkremlimo chop isang beses, scho priblut a · b MAє Sens Todi Tilki Todi, kung ang bilang ng mga hakbang ng unang dorivnika Kilkosti ay ang iba, sa ilalim ng gawain ng creative, ang bilang ng pinagsama rolled roller Maaari mong suriin ang resulta ng multiplikasyon sa pamamagitan ng isang espesyal na online calculator.
Halimbawa 7. Binigyan ng matrix 
і 
. Alamin ang mga matrice C = A B at D = B A.
Solusyon.
Magalang naming ginagamit ang A B, ngunit ang bilang ng mga column A ay katumbas ng bilang ng mga row B.
Sa paggalang, ang vipadku ay may A·B≠B·A , kung gayon. dobutok matrices anticommutatively.
Alam natin ang B A (multiple possible).
Halimbawa 8 . Binigyan ng matrix 
. Alamin ang 3A 2 - 2A.
Solusyon.
.
; 
.
.
Ito ay isang makabuluhang katotohanan.
Sa lumalabas, ang pagdaragdag ng dalawang dobleng zero na numero ay hindi katumbas ng zero. Para sa mga matrice, ang sitwasyon ay maaaring magkatulad o hindi, upang ang produksyon ng mga non-zero matrice ay maaaring lumitaw na katumbas ng mga null matrice.
Sa paggalang, ang mga elemento ng isang matrix ay maaaring hindi hihigit sa isang numero. Ipaalam sa amin na inilalarawan mo ang mga aklat, kung paano manindigan sa iyong police police. Hayaang panatilihin ng pulisya ang kaayusan at ang lahat ng mga libro ay tumayo sa mga lugar ng pag-awit. Ang talahanayan, bilang isang wastong paglalarawan ng iyong aklatan (sa pamamagitan ng pulisya at pagsunod sa mga libro sa pulisya), ay magiging isang matrix din. Ale, hindi magiging numerical ang ganyang matrix. Pangalawang halimbawa. Sa halip na mga numero ay nakatayo sa iba't ibang mga pag-andar, kinakain sa kanilang mga sarili ng isang uri ng fallow. Ang talahanayan ni Otriman ay tinatawag ding matrix. Sa madaling salita, ang Matrix, kumbaga, ay isang hugis-parihaba na mesa, nakatiklop katulad mga elemento. Dito at higit pa ay pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga matrice, na nakatiklop mula sa mga numero.
Palitan ang mga bilog na braso para sa pagtatala ng mga matrice sa pamamagitan ng paglalagay ng mga parisukat na braso o tuwid na patayong mga linya.
 |
(2.1*) |
Paghirang 2. Parang Virazi(1) m = n, tapos pag-usapan parisukat na matris, pero yakscho , pagkatapos ay tungkol sa hugis-parihaba.
Ang fallow value ng m at n ay nahahati sa mga espesyal na uri ng matrice:
Ang pinakamahalagang katangian parisukat matrices є її vyznachnik o determinant, Ano ang nabuo mula sa mga elemento ng matrix at ipinahiwatig
Malinaw na D E = 1; .
Paghirang 3. Yakscho , pagkatapos ay ang matrix A tinawag hindi birhen o hindi lalo.
Paghirang 4. Yakscho detA = 0, pagkatapos ay ang matrix A tinawag virogenous o lalo na.
Paghirang 5. Dalawang matrice A і B tinawag pantay sumusulat siya A=B na parang ang baho ay maaaring pareho, ang mga pagkakaiba at ang їх mabubuhay na mga elemento ay pantay,.
Halimbawa, matrices at equals, dahil ang baho ay mas malapit sa mundo at ang elemento ng balat ng isang matrix ay mas malapit sa katulad na elemento ng isa pang matrix. At ang axis ng matrix i ay hindi matatawag na pantay, kahit na ang mga determinant ng parehong mga matrice ay pantay, at ang mga matrice ay pareho, ngunit hindi lahat ng mga elemento na nakatayo sa parehong mga punto ng pantay. Magkaiba ang mga matrix, kaya posible ang ibang mundo. Ang unang matrix ay 2x3, at ang iba pang 3x2. Kahit na ang bilang ng mga elemento ay pareho - 6 at ang mga elemento mismo ay pareho 1, 2, 3, 4, 5, 6, ale mabaho upang tumayo sa iba't ibang mga lugar malapit sa balat matrix. At ang axis ng matrix ay advance, zgіdno z vznachennyam 5.
Paghirang 6. Paano ayusin ang sprat ng matrix A at ganoon ang bilang ng mga hilera nito, ang parehong mga elemento na nakatayo sa retina ng mga pagtatalaga ng mga haligi at mga hilera upang magtatag ng isang parisukat na matrix n- ika-utos, pangunahan niyan tinawag menor de edad k- pagkakasunud-sunod ng matrix A.
puwit. Sumulat ng tatlong menor de edad sa ibang pagkakasunud-sunod ng matrix
Sa paksang ito, ang mga naturang operasyon ay isasaalang-alang, tulad ng pagdaragdag ng input matrix, pag-multiply ng isang matrix sa isang numero, pag-multiply ng isang matrix sa isang matrix, pag-transpose ng isang matrix. Usі znachennya, scho vikoristovuyutsya sa ts_y side, kinuha mula sa harap na mga paksa.
Natitiklop ang visual matrix na iyon.
Ang kabuuan ng $A+B$ matrice $A_(m\times n)=(a_(ij))$ at $B_(m\times n)=(b_(ij))$ ay ang matrix $C_(m\ beses n) =(c_(ij))$, kung saan $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ para sa lahat ng $i=\overline(1,m)$ i $j=\overline(1 ,n) $.
Maglagay ng katulad na pagtatalaga para sa iba't ibang matrice:
Ang pagkakaiba sa pagitan ng $A-B$ matrice $A_(m\times n)=(a_(ij))$ at $B_(m\times n)=(b_(ij))$ ay ang matrix $C_(m\times n )=( c_(ij))$, de $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ para sa lahat ng $i=\overline(1,m)$ at $j=\overline(1,n )$.
Paliwanag bago ang post $i=\overline(1,m)$: show\hook
Ang entry na "$i=\overline(1,m)$" ay nangangahulugan na ang $i$ parameter ay nagbabago mula 1 hanggang m. Halimbawa, ang notation na $i=\overline(1,5)$ ay tumutukoy sa mga kung saan ang parameter na $i$ ay kumukuha ng value na 1, 2, 3, 4, 5.
Mangyaring bigyang-pansin ang katotohanan na ang mga operasyon ng pagdaragdag at pag-eehersisyo ay inilaan lamang para sa mga matrice na may parehong laki. Vzagali, pagdaragdag at vіdnіmannya matrice - mga operasyon, malinaw na intuitively, mas ibig sabihin ng baho, sa katunayan, ito ay mas mababa summation o mas halata elemento.
Puwit #1
Tatlong matrice ang ibinigay:
$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \-5 & 4 \end(array) \right). $$
Chi maaari mo bang malaman ang matrix na $A+F$? Alamin ang mga matrice na $C$ at $D$, ibig sabihin, $C=A+B$ at $D=A-B$.
Matrix $A$ para mag-sweep ng 2 row at 3 column (sa madaling salita, ang expansion ng $A$ matrix ay $2\times 3$), at matrix $F$ para mag-sweep ng 2 row at 2 row. Ang mga pagpapalawak ng mga matrice na $A$ at $F$ ay hindi nakatakas, kaya maaari nating idagdag ang mga ito nang sama-sama. ang operasyong $A+F$ para sa mga matrice na ito ay hindi itinalaga.
Hayaang mapalawak ang mga matrice na $A$ at $B$, kaya. ang data ng matrix ay dapat na katumbas ng bilang ng mga hilera at stovptsiv, ang operasyon ng pagdaragdag sa kanila ay kinakailangan.
$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array ) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+ ( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$
Alam namin ang matrix $D=A-B$:
$$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(array) \right) $$
Vidpovid: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.
Pagpaparami ng matrix sa isang numero.
Ang karagdagang matrix na $A_(m\times n)=(a_(ij))$ para sa numerong $\alpha$ ay ang matrix na $B_(m\times n)=(b_(ij))$, kung saan $b_( ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ para sa lahat ng $i=\overline(1,m)$ at $j=\overline(1,n)$.
Tila mas simple, i-multiply ang matrix sa numero - nangangahulugan na i-multiply ang elemento ng balat ng ibinigay na matrix sa buong numero.
Puwit #2
Binigyan ng matrix: $ A = \ left (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Alamin ang mga matrice $ 3 cdot A $, $ -5 cdot A $ i $ - A $.
$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( array) (ccc) 3cdot(-1) & 3cdot(-2) & 3cdot 7 \ 3cdot 4 & 3cdot 9 & 3cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \ -20 & -45 & 0 \end(array)\kanan). $$
Ang notasyong $-A$ ay maikling notasyon para sa $-1\cdot A$. Kaya, para malaman ang $-A$, kailangan mong i-multiply ang lahat ng elemento ng matrix na $A$ sa (-1). Sa esensya, nangangahulugan ito na ang tanda ng lahat ng elemento sa matrix na $A$ ay binago sa pagpapahaba:
$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ kaliwa(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$
Vidpovid: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.
Dobutok dalawang matrice.
Ang layunin ng mga operasyong ito ay mahirap at, sa unang tingin, hindi makatwiran. Sasabihin ko sa iyo sa likod ng ulo ang isang mas seryosong appointment, at pagkatapos ay iuulat namin kung ano ang ibig sabihin nito at kung paano ito gagawin.
Ang subset ng matrix $A_(m\times n)=(a_(ij))$ papunta sa matrix $B_(n\times k)=(b_(ij))$ ay ang matrix $C_(m\times k )=(c_(ij))$, para sa isang elemento ng balat $c_(ij)$ mga elemento i-th mga hilera ng matrix $A$ sa mga elemento ng j-th column ng matrix $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \; \; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$
Ang pagpaparami ni Pokrokov ng mga matrice ay kinuha mula sa puwitan. Gayunpaman, pakitandaan na hindi lahat ng matrice ay maaaring i-multiply. Kung gusto nating i-multiply ang matrix $A$ sa matrix na $B$, kung gayon kinakailangan na mag-recoil, upang ang bilang ng mga column sa matrix $A$ ay katumbas ng bilang ng mga row sa matrix $B$ ( madalas na tinatawag ang ganitong mga matrice pleasezhenimi). Halimbawa, ang matrix na $A_(5\times 4)$ (ang matrix ay may 5 row at 4 row), hindi maaaring i-multiply sa matrix na $F_(9\times 8)$ (9 row at 8 row), ang numero ng mga hilera ng $A matrix $ ay hindi katumbas ng bilang ng mga hilera sa matrix na $ F $, iyon lang. $4\neq 9$. At ang multiplikasyon ng $A_(5\times 4)$ matrix sa $B_(4\times 9)$ matrix ay posible, ngunit ang bilang ng mga column sa $A$ matrix ay mas malaki kaysa sa numero ng mga hilera sa $B$ matrix. Sa kasong ito, ang resulta ng pag-multiply ng mga matrice na $A_(5\times 4)$ at $B_(4\times 9)$ ay magiging matrix na $C_(5\times 9)$, na sasaklaw sa 5 row at 9 mga hanay:
Puwit #3
Binigyan ng matrix: $ A = \ left ( \ begin (array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \ dulo (array) \right)$ i $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right ) $. Alamin ang matrix $C = A\cdot B$.
Ang pagkakasunud-sunod ng magnitude ay makabuluhan para sa pagpapalawak ng matrix $C$. Kung ang matrix na $A$ ay $3\beses 4$, at ang $B$ ay $4\beses 2$, ang matrix na $C$ ay $3\beses 2$:
Pagkatapos, bilang resulta ng pagdaragdag ng mga matrice na $A$ at $B$, halili nating kinukuha ang matrix na $C$, na binubuo ng tatlong row at dalawang column: $ C = \ left ( \ begin (array) ( cc) c_ (11) at c_ ( 12) \c_(21) at c_(22) \c_(31) at c_(32) \end(array) \right)$. Tulad ng para sa kahulugan ng mga elemento, maaari mong tingnan ang paksa sa harap: "Mga Matrice. Tingnan ang matrix. Mga pangunahing termino", on the cob, ang kahulugan ng mga elemento ng matrix ay ipinaliwanag. Ang aming meta ay upang malaman ang mga halaga ng lahat ng mga elemento sa $C$ matrix.
Tingnan natin ang elementong $c_(11)$. Upang kunin ang elementong $c_(11)$, kailangang malaman ang kabuuan ng mga nilikha ng mga elemento ng unang hilera ng matrix na $A$ at ang unang column ng matrix na $B$:
Upang malaman ang elementong $c_(11)$, kailangang i-multiply ang mga elemento ng unang hilera ng matrix na $A$ sa pangalawang elemento ng unang column ng matrix na $B$, pagkatapos. ang unang elemento ay ang una, ang isa ay ang isa, ang ikatlo ay ang pangatlo, ang ikaapat ay ang ikaapat. Inaasahan ang pag-withdraw ng mga resulta:
$$ c_(11)=-1cdot (-9)+2cdot 6+(-3)cdot 7 + 0cdot 12=0. $$
Ipinagpapatuloy namin ang solusyon at alam namin ang $c_(12)$. Kung saan mangyayari mong paramihin ang mga elemento ng unang hilera ng matrix na $A$ at ang isa pang hilera ng matrix na $B$:
Katulad sa harap, marahil:
$$ c_(12)=-1cdot 3+2cdot 20+(-3)cdot 0 + 0cdot (-4)=37. $$
Ang lahat ng mga elemento ng unang hilera ng matrix $C$ ay matatagpuan. Lumipat tayo sa isa pang hilera, na nagsisimula sa elementong $c_(21)$. Para malaman ito, i-multiply ang mga elemento ng isa pang row ng matrix $A$ at ang unang column ng matrix na $B$:
$$ c_(21)=5cdot (-9)+4cdot 6+(-2)cdot 7 + 1cdot 12=-23. $$
Ang pagsulong na elementong $c_(22)$ ay kilala sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga elemento ng isa pang hilera ng matrix na $A$ sa ikalawang hanay ng mga elemento ng isa pang hilera ng matrix na $B$:
$$ c_(22)=5cdot 3+4cdot 20+(-2)cdot 0 + 1cdot (-4)=91. $$
Upang malaman ang $c_(31)$ i-multiply ang mga elemento ng ikatlong row ng matrix na $A$ sa mga elemento ng unang column ng matrix $B$:
$$ c_(31)=-8cdot (-9)+11cdot 6+(-10)cdot 7 + (-5)cdot 12=8. $$
Una, ang halaga ng elementong $c_(32)$ ay kailangang i-multiply sa mga elemento ng ikatlong hilera ng matrix na $A$ sa iba pang mga elemento ng isa pang column ng matrix na $B$:
$$ c_(32)=-8cdot 3+11cdot 20+(-10)cdot 0 + (-5)cdot (-4)=216. $$
Ang lahat ng elemento ng matrix na $C$ ay matatagpuan, hindi sapat na isulat na $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \- -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( array) \right)$ . Abo, magsusulat ulit ako:
$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \-23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$
Vidpovid: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \-23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.
Bago ang pagsasalita, kadalasan ay walang kahulugan na iulat ang kahalagahan ng elemento ng balat sa resulta ng matrix. Para sa mga matrice, ang bilang nito ay maliit, mahahanap mo ito tulad nito:
$$ \left(\begin(array) (cc) 6 & 3 \- -17 & -2 \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 4 & 9 \\ - 6 at 90 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 6cdot(4)+3cdot(-6) & 6cdot(9)+3cdot(90) ) \\ -17\cdot (4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(array) \right) =\left (\begin(array) ( cc) 6 & 324 \- -56 & -333 \end(array) \right) $$
Pakitandaan na ang multiplication ng matrices ay non-commutative. Tse ay nangangahulugan na sa ligaw na vapadka $A\cdot B\neq B\cdot A$. Para lamang sa ilang uri ng matrice, kung paano pangalanan permutasyon(kung hindi man ay nagko-commute), katumbas ng $A cdot B = B cdot A $. Ang napaka non-commutativity ng multiplication, ito ay kinakailangan upang ipakita kung paano namin multiply sa pamamagitan ng multiply na chi at isa pang matrix: sa kanan, chi ay masama. Halimbawa, ang pariralang "multiply the offending part of the $3E-F=Y$ parity by the matrix $A$ is right-handed" ay nangangahulugan na kinakailangang kunin ang sumusunod na parity: $(3E-F)\dot A= Y\cdot A$.
Ang matrix $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, para sa mga elemento i.e. $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.
Tila mas simple, upang makuha ang transposed matrix na $A^T$, kinakailangan para sa panlabas na matrix na $A$ na palitan ang mga column ng mga double row na sumusunod sa prinsipyong ito: unang hilera - maging unang hilera; buv another row - tumayo sa ibang row; maging pangatlong hanay - maging pangatlong hakbang at iba pa. Halimbawa, alam natin ang transposed matrix sa matrix $A_(3\times 5)$:
Maliwanag, dahil ang output matrix ay maliit na $3\beses 5$, ang transposed matrix ay $5\beses 3$.
Mga aktwal na katangian ng mga operasyon sa mga matrice.
Dito ipinaparating na ang $ alpha $, $ beta $ ay mga decimal na numero, at ang $ A $, $ B $, $ C $ ay mga matrice. Para sa mga unang awtoridad ng chotirioh, na ipinahiwatig ang pangalan, ang reshta ay maaaring pangalanan sa pamamagitan ng pagkakatulad sa unang chotirma.
Sa artikulong ito, maaari nating piliin kung paano isakatuparan ang operasyon ng pagdaragdag sa mga matrice ng parehong pagkakasunud-sunod, ang pagpapatakbo ng pagpaparami ng isang matrix sa isang numero at ang pagpapatakbo ng pagpaparami ng mga matrice sa parehong pagkakasunud-sunod, sa axiomatically, maaari nating ilagay ang kapangyarihan ng mga operasyon, at talakayin din ang priyoridad ng mga operasyon sa mga matrice. Kaayon ng teorya, ginagabayan namin ang mga solusyon sa ulat ng mga aplikasyon, kung saan isinasagawa ang mga operasyon sa mga matrice.
Lubos na iginagalang na ang lahat ng sinabi sa ibaba ay ibinaba sa mga matrice, ng mga elemento tulad ng є dіysnі (o kumplikado) na mga numero.
Navigation sa gilid.
Ang pagpapatakbo ng natitiklop na dalawang matrice.
Itinalagang operasyon ng natitiklop na dalawang matrice.
Ang pagpapatakbo ng pagdaragdag ay itinalaga LAMANG PARA SA MGA MATRIX NG ISANG ORDER. Sa madaling salita, imposibleng malaman ang kabuuan ng mga matrice ng iba't ibang dimensionality, at imposibleng magsalita tungkol sa pagtitiklop ng matrix ng variant dimensionality. Kaya hindi mo maaaring pag-usapan ang kabuuan ng matrix at ang numero o ang kabuuan ng matrix at anumang iba pang elemento.
appointment.
Kabuuan ng dalawang matrice i - ang matrix, ang mga elemento kung saan ay katumbas ng kabuuan ng mga kaukulang elemento ng matrice A at B, tobto.
Kaya, ang resulta ng pagpapatakbo ng natitiklop na dalawang matrice ay isang matrix ng parehong pagkakasunud-sunod.
Ang kapangyarihan ng pagpapatakbo ng mga natitiklop na matrice.
Anong uri ng kapangyarihan ang maaaring gumana ng folding matrices? Sa kadena, madaling makakuha ng mga sagot, depende sa kabuuan ng dalawang matrice ng isang naibigay na pagkakasunud-sunod at paghula sa kapangyarihan ng pagpapatakbo ng mga natitiklop na real (abo complex) na mga numero.
- Para sa mga matrice A, B at C ng parehong pagkakasunud-sunod, ang kapangyarihan ng pagkakaugnay ay katangian ng pagdaragdag ng A + (B + C) = (A + B) + C.
- Para sa mga matrice ng unang pagkakasunud-sunod, mayroong isang neutral na elemento pagkatapos ng karagdagan, na isang zero matrix. Kaya ang kapangyarihan ng A+O=A ay makatarungan.
- Para sa isang non-zero matrix A ng isang ibinigay na order, ang matrix (-A) kasama ang kabuuan nito ay isang zero matrix: A + (-A) = O .
- Para sa mga matrice A i ng order na ito, ang kapangyarihan ng commutativity ng folding A + B = B + A ay totoo.
Nang maglaon, ang mga impersonal na matrice ng isang naibigay na pagkakasunud-sunod ay nagbubunga ng isang additive na Abel group (Abelian group tulad ng folding algebra operation).
Pagdaragdag ng mga matrice - solusyon ng mga aplikasyon.
Tingnan natin ang halimbawa ng isang nakatiklop na matrix.
puwit.
Hanapin ang kabuuan ng matrices i 
.
Solusyon.
Ang mga order ng matrice A at B ay nadagdagan at nadagdagan ng 4 ng 2, upang maisagawa namin ang operasyon ng pagdaragdag ng isang matrix i bilang isang resulta, kunin ang matrix ng order 4 ng 2. Ito ay kinakailangan upang idisenyo ang pagpapatakbo ng natitiklop na dalawang matrice, pagdaragdag ng higit pang elemento sa pamamagitan ng elemento: 
puwit.
Hanapin ang kabuuan ng dalawang matrices 
і 
Ang mga elemento ay mga kumplikadong numero.
Solusyon.
Oskіlki order ng matrices ay pantay, maaari naming vikonat dodavannya. 
puwit.
Vikoite dodavannya tatlong matrices 
.
Solusyon.
Isinalansan namin ang matrix A z B, pagkatapos ay aalisin namin ang matrix, dodamo Z: 
Alisin ang zero matrix.
Ang operasyon ng pagpaparami ng isang matrix sa isang numero.
Itinalagang operasyon ng pagpaparami ng isang matrix sa isang numero.
Ang operasyon ng pagpaparami ng isang matrix sa isang numero ay itinalaga PARA SA ISANG MATRIX NG ANUMANG ORDER.
appointment.
Pagdaragdag ng isang matrix at isang decimal (o kumplikado) na numero- ang buong matrix, ang mga elemento na lumilitaw na i-multiply sa mga katumbas na elemento ng output matrix sa numero , iyon ay.
Sa ganitong pagkakasunud-sunod, ang resulta ng pagpaparami ng isang matrix sa isang numero є ay isang matrix ng parehong pagkakasunud-sunod.
Ang kapangyarihan ng pagpapatakbo ng pagpaparami ng isang matrix sa isang numero.
Mula sa kapangyarihan ng pagpapatakbo ng pagpaparami ng isang matrix sa isang numero, posible na ang pagpaparami ng isang zero matrix sa isang numero ng zero ay nagbibigay ng isang zero matrix, at ang pagdaragdag ng isang karagdagang numero at isang zero matrix ay isang zero matrix.
Pagpaparami ng matrix sa isang numero - ilapat ang talatang iyon.
Tingnan natin ang operasyon ng pagpaparami ng isang matrix sa isang numero sa mga puwit.
puwit.
Maghanap ng karagdagang numero 2 at matrix 
.
Solusyon.
Upang i-multiply ang matrix sa isang numero, kailangan mong i-multiply ang elemento sa buong numero: 
puwit.
Hanapin ang multiplikasyon ng matrix sa numero.
Solusyon.
Pinaparami namin ang elemento ng balat ng ibinigay na matrix sa buong numero: 
Ang operasyon ng pagpaparami ng dalawang matrice.
Nakatuon na operasyon ng pagpaparami ng dalawang matrice.
Ang pagpapatakbo ng pagpaparami ng dalawang matrice A at B ay naaangkop lamang para sa pagkahulog, kung ang bilang ng mga haligi sa matrix A ay katumbas ng bilang ng mga hilera sa matrix B.
appointment.
I-reboot ang matrix A sa pagkakasunud-sunod ng matrix Sa pagkakasunud-sunod- tulad ng isang matrix ng ika-3 order, ang elemento ng balat ay ang pinakamahalagang kabuuan ng mga elemento ng i-th row ng matrix sa mga katulad na elemento ng j-th column ng matrix B, pagkatapos, 
Kaya, ang resulta ng pagpapatakbo ng pagpaparami ng isang matrix sa pagkakasunud-sunod ng isang matrix ay isang matrix sa pagkakasunud-sunod.
Pagpaparami ng isang matrix sa pamamagitan ng isang matrix - solusyon ng mga aplikasyon.
Tingnan natin ang pagpaparami ng mga matrice sa mga butt, pagkatapos nito ay magpapatuloy tayo sa pagbabalik-tanaw ng mga kapangyarihan ng pagpapatakbo ng mga multiplying matrice.
puwit.
Hanapin ang lahat ng mga elemento ng matrix C, kung paano pumunta tungkol sa multiply matrices 
і 
.
Solusyon.
Ang pagkakasunud-sunod ng matrix A ay nadagdagan ng p = 3 ng n = 2, ang pagkakasunud-sunod ng matrix ay nadagdagan ng n = 2 ng q = 4, at ang pagkakasunud-sunod ng matrix ay magiging p = 3 ng q = 4 . Binilisan ang pormula
Patuloy, kinukuha namin ang halaga ng i sa 1 hanggang 3 (mga kaliskis p=3) para sa balat j sa 1 hanggang 4 (mga kaliskis q=4), at n=2 sa aming kaso, pagkatapos 
Kaya, ang lahat ng mga elemento ng matrix Z at ang matrix ay kinakalkula, kapag nagpaparami ng dalawang ibinigay na matrice, maaaring magmukhang 
.
puwit.
I-digitize ang multiplier matrix 
.
Solusyon.
Ang mga order ng mga panlabas na matrice ay nagpapahintulot sa amin na isagawa ang pagpapatakbo ng pagpaparami. Bilang resulta, maaari tayong kumuha ng matrix ng order 2 by 3. 
puwit.
Binigyan ng matrix 
. Maghanap ng mga karagdagang matrice A at B, pati na rin ang mga matrice B at A.
Solusyon.
Kung ang pagkakasunud-sunod ng matrix ay 3 sa pamamagitan ng 1, at ang matrix ay 1 sa pamamagitan ng 3, kung gayon ang A⋅B ay ang pagkakasunud-sunod ng 3 sa pamamagitan ng 3, at ang karagdagang matrix B at A ay ang pagkakasunud-sunod ng 1 sa pamamagitan ng 1. 
Yak bachite, . Ito ay isa sa mga kapangyarihan ng pagpapatakbo ng multiplying matrices.
Ang kapangyarihan ng pagpapatakbo ng multiplying matrices.
Kung ang mga matrice A, B at C ay pareho ang pagkakasunud-sunod, kung gayon ang mga sumusunod ay totoo kapangyarihan ng pagpapatakbo ng multiplying matrices.
Ang sumusunod ay ang halaga na, para sa iba't ibang mga order, ang pagdaragdag ng zero matrix sa matrix A ay nagbibigay ng zero matrix. Nagbibigay din ang Dobutok A ng zero matrix, upang ang mga order ng magnitude ay nagbibigay-daan sa pagpapatakbo ng mga multiply na matrice.
Ang mga mid-square matrice ay tinatawag na gayon permutation matrice, Ang pagpaparami ng operasyon ay commutative, kaya . Ang butt ng permutation matrice ay isang pares ng single matrice, maging ito ay isa pang matrix ng parehong pagkakasunud-sunod, kaya ito ay patas.
Priyoridad ng mga operasyon sa mga matrice.
Ang mga operasyon ng pagpaparami ng isang matrix sa isang numero at pagpaparami ng isang matrix sa isang matrix ay binibigyan ng pantay na priyoridad. Sa mismong oras na iyon ng operasyon, ang priyoridad ay mas mataas, ang mas mababang operasyon ay ang pagtitiklop ng dalawang matrice. Sa ganitong pagkakasunud-sunod, ang multiplikasyon ng matrix ay binibilang ng bilang ng multiplikasyon ng mga matrice, at pagkatapos ay ang pagdaragdag ng mga matrice ay isinasagawa. Gayunpaman, ang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon sa mga matrice ay maaaring tahasang italaga para sa isang karagdagang arko.
Gayundin, ang priyoridad ng mga operasyon sa mga matrice ay katulad ng priyoridad na itinalaga sa mga operasyon ng pagdaragdag at pagpaparami ng mga tunay na numero.
puwit.
Binigyan ng matrix 
. Alamin mula sa mga ibinigay na matrice na itinalaga sa dії 
.
Solusyon.
Magsisimula tayo sa pamamagitan ng pagpaparami ng matrix A sa matrix B:
Ngayon pinarami namin ang isang solong matrix ng isa pang order E ng dalawa: 
Nagdagdag kami ng dalawang bawas na matrice:
Ang operasyon ng pagpaparami ng tinanggal na matrix ng matrix A ay nawala:
Pakitandaan na ang mga operasyon na tumitingin sa mga matrice ng parehong pagkakasunud-sunod A at B ay hindi kinakailangan. Ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang matrice ay mahalagang kabuuan ng matrix A at mga matrice, na pinarami sa harap ng minus one: 
.
Ang pagpapatakbo ng pagbuo ng isang parisukat na matrix sa natural na mundo ay hindi sapat sa sarili, ngunit mga shards ng sunud-sunod na pagpaparami ng mga matrice.
Magdala tayo ng bag.
Tatlong operasyon ang itinalaga sa mga impersonal na matrice: pagdaragdag ng mga matrice ng parehong pagkakasunud-sunod, pag-multiply ng isang matrix sa isang numero, at pag-multiply ng mga matrice ng parehong pagkakasunud-sunod. Ang pagpapatakbo ng pagdaragdag sa mga impersonal na matrice ng isang naibigay na order ay bumubuo ng isang pangkat ng Abel.
Sigasig...