1 kalkulahin ang mga hangganan. Isa pang hangganan ng himala. Algorithm para sa pagkalkula ng mga limitasyon

Iparinig ang isa pang limitasyon ng himala na isulat sa form na ito:

\begin(equation) \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e\end(equation)

Ang bilang na $e$, na ipinapakita sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay (1), ay hindi makatwiran. Ang pagtatantya ng halaga ng numerong ito ay: $ e \ approx (2 (,) 718281828459045) $. Kung papalitan ko ang $t=\frac(1)(x)$, ang formula (1) ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:

\begin(equation) \lim_(t\to(0))\biggl(1+t\biggr)^(\frac(1)(t))=e\end(equation)

Tulad ng para sa unang mahimalang hangganan, hindi mahalaga kung alin ang dapat palitan ang pagbabago $x$ sa formula (1) o palitan ang pagbabago $t$ sa formula (2). Ang Golovne ay isang vikonnannya ng dalawang isip:

Ang hakbang na substava (tobto viraz sa mga arko ng mga formula (1) at (2)) ay maaaring matukoy;
Ang tagapagpahiwatig ng hakbang (alinman sa $x$ para sa formula (1) o $\frac(1)(t)$ para sa formula (2)) ay maaaring hindi magkaroon ng hindi pagkakapare-pareho.

Upang sabihin na ang isa pang mahimalang boundary line ay ang insignificance ng $1^\infty$. Pakitandaan na ang formula (1) ay hindi tinukoy, tungkol sa mismong hindi pagkakapare-pareho ($+\infty$ o $-\infty$) ay matatagpuan. Sa mga sakit sa balat, ang formula (1) ay totoo. Para sa formula (2), ang $t$ ay maaaring baguhin sa zero bilang masama, i sa kanan.

Sasabihin ko sa iyo na ito ay isang maliit na kayumangging pamana mula sa isa pang mahimalang hangganan. Mag-apply ng isa pang wand ng isa pang mahimalang hangganan, tulad ng isang legacy mula sa bago, na mas sikat sa pag-istilo ng karaniwang karaniwang mga rosas at control robot.

Puwit #1

Kalkulahin sa pagitan ng $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7)$.

Kaagad na makabuluhan na ang batayan ng hakbang (iyon ay, $\frac(3x+1)(3x-5)$) ay hindi pareho:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(3x+1)(3x-5)=\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(3+\frac(1)(x))(3-\frac(5)(x)) =\frac(3+0)(3-0) = 1. $$

Sino ang may isang hakbang (viraz $4x+7$) ng perpektong hindi pagkakapare-pareho, tobto. $\lim_(x\to\infty)(4x+7)=\infty$.

Ang hakbang ng pragna ay nag-iisa, ang tagapagpahiwatig ng hakbang ay hanggang sa punto ng hindi pagkakapare-pareho, tobto. Tamang makikita natin ang $1^\infty$ na hindi gaanong mahalaga. Zastosuєmo formula para sa razkrittya cієї neznachennostі. Sa batayan ng hakbang ng formula, ang sumusunod ay $1+\frac(1)(x)$, at sa halimbawang iminungkahi namin, ang hakbang ng hakbang ay ang sumusunod: $\frac(3x+1) (3x-5)$. Sa unang gawaing iyon, pormal kong itinalaga ang virase $\frac(3x+1)(3x-5)$ upang tingnan ang $1+\frac(1)(x)$. Para sa cob dodamo at tingnan ang isa:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) $$

Slid vrahuvat, scho kaya magdagdag ng kalungkutan ay hindi posible. Para bang magdagdag ng kalungkutan sa aking kahihiyan, kung gayon ito ay kinakailangan at nakikita, upang hindi mabago ang kahulugan ng buong viraz. Para sa pagpapatuloy ng solusyon, ligtas iyon

$$ \frac(3x+1)(3x-5)-1 =\frac(3x+1)(3x-5)-\frac(3x-5)(3x-5) =\frac(3x+1- 3x+5)(3x-5) = frac(6)(3x-5). $$

$\frac(3x+1)(3x-5)-1=\frac(6)(3x-5)$, pagkatapos ay:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\ kaliwa(1+\frac(6)(3x-5)\kanan)^(4x+7) $$

Ipagpatuloy natin ang "pidganyannya". Ang virazi $1+\frac(1)(x)$ formula sa number book ay naglalaman ng 1, at sa aming virazi $1+\frac(6)(3x-5)$ ang number book ay naglalaman ng $6$. Upang makakuha ng $1$ mula sa numeral, ibaba natin ang $6$ mula sa banner para sa tulong ng nakakasakit na pagbabago:

$$ 1+\frac(6)(3x-5) =1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6)) $$

sa ganoong paraan,

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(6)(3x-5)\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(1)(\frac(3x-5)(6))\kanan)^(4x+7) $$

Ama, ang batayan ng hakbang, tobto. $1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))$, na idinisenyo upang magmukhang $1+\frac(1)(x)$, na kinakailangan para sa formula. Ngayon ay maaari naming pochnemo pratsyuvati іz pokanik hakbang. Igalang kung ano ang sinasabi ng formula, tulad ng showman ng hakbang at bannerman, gayunpaman:

Sa ibang pagkakataon, ang butt-marker ng hakbang at ang banner ay dapat dalhin sa parehong anyo. Upang isaalang-alang ang hakbang ng viraz $\frac(3x-5)(6)$, i-multiply lang ang indicator ng hakbang sa buong fraction. Naturally, upang mabayaran ang naturang multiplikasyon, posible na i-multiply ito sa isang mahusay na halaga, tobto. sa $frac(6)(3x-5)$. Ama, mangyaring:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\ ) infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(3x-5)(6)\cdot\frac(6)(3x- 5 )\cdot(4x+7)) =\lim_(x\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^( \ frac(3x-5)(6))\kanan)^(\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)) $$

Tingnan natin ang fraction na $\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)$, na pinagsama sa mga hakbang:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5) =\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot\left(4+\frac(7)(x)\right))(3-\frac(5)(x)) =6\cdot\ frac(4)(3)=8. $$

Vidpovid: $\lim_(x\to(0))\biggl(\cos(2x)\biggr)^(\frac(1)(\sin^2(3x)))=e^(-\frac(2) (9)) $.

Puwit #4

Maghanap sa pagitan ng $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)$.

Ang mga shards para sa $x>0$ ay maaaring $\ln(x+1)-\ln(x)=\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)$, pagkatapos ay:

$$ \lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\ kaliwa(\frac(x+1)(x)\kanan)\kanan) $$

Ang pagpapalawak ng mga fraction na $\frac(x+1)(x)$ sa kabuuan ng mga fraction na $\frac(x+1)(x)=1+\frac(1)(x)$ na kinukuha natin:

$$ \lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left (x\cdot\ln\left(1+\frac(1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(\ln\left(\frac(x+1) ) (x)\kanan)^x\kanan) =\ln(e) =1. $$

Vidpovid: $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)=1$.

Puwit #5

Maghanap sa pagitan ng $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))$.

Shards $\lim_(x\to(2))(3x-5)=6-5=1$ i $\lim_(x\to(2))\frac(2x)(x^2-4)= \ infty$, tama nating makikita ang $1^\infty$. Ang mga detalyadong paliwanag ay ibinibigay sa butt No. 2, agad na hinaluan ng mga maiikling solusyon. Pagkatapos palitan ang $ t = x-2 $, kukunin namin ang:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\left|\begin(aligned)&t=x-2 ;\;x=t+2\\t(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(2t+4)(t^2+4t))=\\ =\lim_(t\to(0) )\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t)\cdot 3t\cdot\frac(2t+4)(t^2+4t)) =\lim_(t\to(0) )\left(\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t))\right)^(\frac(6\cdot(t+2))(t+4)) =e^ 3.$$

Maaari mong kalasin ang puwit at gayundin, pagbabago ng vicarist: $t=\frac(1)(x-2)$. Ang pag-unawa, ikaw ay magiging iyong sarili:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\left|\begin(aligned)&t=\frac( 1) (x-2); x; =\lim_(t\to\infty)\kaliwa(1+\frac(3)(t)\kanan)^(t\cdot\frac(4t+2)(4t+1))=\\ =\lim_ (t\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(t)(3))\right)^(\frac(t)(3)\cdot\frac(3)(t) \cdot\frac(t\cdot(4t+2))(4t+1)) =\lim_(t\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(t)( 3))\kanan)^(\frac(t)(3))\kanan)^(\frac(6\cdot(2t+1))(4t+1)) =e^3. $$

Vidpovid: $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))=e^3$.

Puwit #6

Maghanap sa pagitan ng $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) $.

Malinaw kung bakit sinayang ng $\frac(2x^2+3)(2x^2-4)$ ang $x\to\infty$:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(2x^2+3)(2x^2-4) =\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(2+\frac(3)(x^2))(2-\frac(4)(x^2)) =\frac(2+0)(2 -0) = 1. $$

Sa ganitong pagkakasunud-sunod, sa gawain ng hangganan, posible sa kanan na may hindi kabuluhan ng isip $1^\infty$, na parang rozkriєmo para sa tulong ng isa pang mahimalang hangganan:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(2x^2+3)(2x^2-4)-1\right)^(3x)=\\ =\lim_(x\to \infty)\left(1+\frac(7)(2x^2-4)\right)^(3x) =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac (2x^2-4)(7))\kanan)^(3x)=\\ =\lim_(x\to\infty)\kaliwa(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4 ) )(7))\kanan)^(\frac(2x^2-4)(7)\cdot\frac(7)(2x^2-4)\cdot 3x) =\lim_(x\to\infty ) \kaliwa(\kaliwa(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4)(7))\kanan)^(\frac(2x^2-4)(7))\kanan)^ ( \frac(21x)(2x^2-4)) =e^0 =1. $$

Vidpovid: $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x)=1$.

Ano ang hangganan? Pag-unawa sa mga hangganan

Ang lahat ng walang sinisisi dito sa kaibuturan ng kaluluwa ay mauunawaan kung ano ang hangganan, ngunit sila lamang ang nakakaamoy "sa pagitan ng mga pag-andar" o "sa pagitan ng sunod-sunod", sisihin para sa madaling pagkawasak.

Wag ka nang lumaban, hindi mo na alam! Pagkatapos ng 3 oras ng pagbabasa ng mas mababang nakasulat, ikaw ay magiging literate.

Mahalaga minsan at para sa lahat na maunawaan kung ano ang dapat isipin, kung pinag-uusapan mo ang mga posisyon sa hangganan, kahulugan, sitwasyon at vzagali, kung pupunta ka sa buhay sa terminong hangganan.

Ang mga matatandang tao ay intuitively mag-isip, ngunit naiintindihan namin sa ilang butts.

butt muna

Hulaan natin ang mga hilera mula sa mga kanta ng grupong "Chayf": "... huwag dalhin sa gilid, huwag dalhin sa gilid ...".

butt iba

Walang alinlangan, kalimutan ang parirala tungkol sa borderline stand ng bagay sa kalawakan.

Ikaw mismo ay madaling gayahin ang ganitong sitwasyon sa mga madaling gamiting talumpati.

Halimbawa, bahagyang gumaling plastik na mangkok at hayaan її. Lumingon si Vaughn sa ibaba.

Ale є є ganoong borderline pohili na posisyon, sa kabila ng mga hangganan ng mga ito, ito ay isang pagkahulog lamang.

Well, alam ko ang kampo sa hangganan sa partikular na uri na ito- Maging mas tiyak. Mahalagang mag-isip.

Posibleng magmungkahi ng isang mayamang aplikasyon ng terminong hangganan: sa pagitan ng mga kakayahan ng tao, sa pagitan ng materyal na halaga, kung gayon.

Well, with the lawless, excited na kami ngayon)))

Ngunit sa parehong oras, tayo ay tatawagin sa pagitan ng mga sequence at sa pagitan ng mga function sa matematika.

Sa pagitan ng mga numerical sequence sa matematika

Boundary (numerical sequence) - isa sa mga pangunahing bagay na dapat maunawaan pagsusuri sa matematika. Daan-daan at daan-daang theorems ang nakabatay sa pag-unawa sa boundary transition, na nangangahulugan ng modernong agham.

Tingnan ang isang partikular na halimbawa para sa katumpakan.

Ito ay pinahihintulutan na magkaroon ng isang hindi mauubos na pagkakasunud-sunod ng mga numero, ang balat na kung saan ay kalahati ng laki ng harap, simula sa isa: 1, ½, ¼, ...

Kaya ang axis sa pagitan ng numerical sequence (dahil hindi ito totoo) ay, gayunpaman, mas tiyak.

Sa kurso ng proseso, ang balat ay lumapit sa kahalagahan ng pagkakasunud-sunod, hindi ito malapit sa numero ng kanta.

Hindi mahalaga kung hulaan mo na ito ay magiging zero.

Mahalaga!

Kung pinag-uusapan natin ang batayan ng hangganan (halaga ng hangganan), hindi ito nangangahulugan na ang sinumang miyembro ng sequence ay mas mahalaga sa halaga ng hangganan. Maaari lamang pragnet si Vіn sa bago.

Mula sa aming puwitan, mas napagtanto ko. Ang Skіlki brazіv mi ay hindi hinati isa-isa, ang mi ay hindi kailanman kumuha ng zero. Kung ang bilang ng dalawa ay mas mababa kaysa sa harap, ngunit hindi zero!

Interfacial function sa matematika

Sa mathematical analysis, nakakabaliw, mas mahalaga - ang pag-unawa sa pagitan ng mga function.

Nang hindi malalim sa teorya, sabihin natin ito: ang hangganan ng halaga ng isang function, na maaaring palaging nasa lugar ng halaga ng function mismo.

Kapag binago ang argumento, tatanggapin ng function ang anumang halaga, o maaaring hindi ito tanggapin.

Halimbawa, hyperbole 1/x walang halaga na zero sa parehong punto, ngunit hindi ito nakatakda sa zero sa tamang punto x sa inexcusability.

Calculator sa pagitan

Ang aming pamamaraan ay hindi makapagbibigay sa iyo ng ilang teoretikal na kaalaman, kung saan mayroong mga impersonal na makabuluhang libro.

Ale mi proponuєmo bilisan mo online na calculator sa pagitan, para sa tulong ng isang tao maaari mong ipantay ang iyong desisyon sa tamang opinyon.

Sa kabuuan, ang calculator ay mukhang isang bahagyang solusyon sa pagitan ng, zastosovuyuchi pinaka-madalas na Lopital ng panuntunan na may iba't ibang pagkita ng kaibhan ng numerator at ang pamantayan ng walang patid na punto o sa kabilang panig ng function.

Ang unang mahimalang hangganan ay tinatawag na tulad ng pagkakapareho:

\begin(equation)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation)

Kaya kung ang $ \ alpha \ to (0) $ ay maaaring $ \ sin \ alpha \ to (0) $, kung gayon tila ang unang himala ng hangganan sa pagitan ng mga kurba ay hindi maliwanag sa anyo ng $ \ frac (0) (0) $. Tila, sa pormula (1) ang pagpapalit ng nagbabagong $ \ alpha $ sa ilalim ng tanda ng sine і sa banner ay maaaring magulo, maging ito ay isang pagpapahayag, - dalawang isip ang nahuhulog sa kailaliman:

Vyslovlyuvannya sa ilalim ng pag-sign ng sine at sa pag-sign ng karaniwang isang oras upang tumalon zero, tobto. є insignificance ng form na $\frac(0)(0)$.
Virazi sa ilalim ng sign ng sine at ang standard sign run.

Kadalasan mayroon ding mga bakas mula sa unang mahimalang hangganan:

\begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation)

Labing-isang butts ang nakasulat sa ikatlong bahagi. Butt No. 1 na pagtatalaga sa patunay ng mga formula (2) - (4). Ilapat ang No. 2, No. 3, No. 4 at No. 5 upang sagutin ang desisyon kasama ang mga komento sa ulat. Ilapat ang No. 6-10 sa desisyon nang halos walang komento, ngunit ang ulat ng paliwanag ay ibinigay sa harap ng mga buto. Kapag nanalo, mayroong ilang mga trigonometric formula, na maaari mong malaman.

Iginagalang ko na ang pagkakaroon ng trigonometric function kasama ang hindi kabuluhan ng $\frac(0)(0)$ ay hindi pa nangangahulugan ng pagkahumaling sa unang mahimalang hangganan. Minsan maaari mong kumpletuhin ang mga simpleng pagbabagong trigonometriko, halimbawa, diva.

Puwit #1

Dalhin kung ano ang $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) Dahil $\tg\alpha = \frac (\sin\alpha)(\cos\alpha)$, kung gayon:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Skіlki $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ at $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , pagkatapos:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) Papalitan ko ang $ \ alpha = \ sin (y) $. Kung $\sin(0)=0$, isipin ang $\alpha\to(0)$ baka $y\to(0)$. Bilang karagdagan, іsnuє sa paligid ng zero, sa parehong $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, hanggang doon:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ nakumpleto.

c) Hayaan akong baguhin ang $ alpha = tg (y) $. Kung $\tg(0)=0$, isipin na ang $\alpha\to(0)$ at $y\to(0)$ ay katumbas. Bilang karagdagan, kung magbabatay ka sa paligid ng zero, sa paraang $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, kung gayon, umaasa sa mga resulta ng punto a), maaari nating:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ nakumpleto.

Rivnosti a), b), c) ay madalas na matagumpay sa pagkakasunud-sunod mula sa unang mahimalang hangganan.

Puwit #2

Kalkulahin sa pagitan ng $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( x+7))$.

Mga kaliskis na $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ i $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, kaya. Kung ang numerator at ang banner ng fraction ay agad na napunta sa zero, kung gayon maaari itong maging tama sa hindi kahalagahan ng form na $\frac(0)(0)$, kung gayon. viconano. Bilang karagdagan, malinaw na ang virazi sa ilalim ng tanda ng sine i sa banner ay tumatakbo (tobto vikonana i):

Otzhe, nasaktan isip, inilipat sa cob ng gilid, vikonan. Sa tsimu vyplivaє, scho zastosovna formula, tobto. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 )) = $1.

Vidpovid: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7)) = $1.

Puwit #3

Alamin ang $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Mga kaliskis na $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ at $\lim_(x\to(0))x=0$, ngunit maaari naming gamitin ang $\frac(0 ) ( 0) $, pagkatapos. viconano. Prote virazi sa ilalim ng tanda ng sine at pamantayan ay hindi makatakas. Narito ito ay kinakailangan upang magbigay ng isang viraz sa bannerman sa kinakailangang form. Ito ay kinakailangan para sa amin, kung ang flagman ay may isang roztashuvavsya $9x$ - pagkatapos ay magiging totoo ka. Sa katunayan, hindi kami nakakakuha ng multiplier na $9$ mula sa bannerman, na hindi ganoon kadaling ipakilala - i-multiply lang ang viraz mula sa bannerman ng $9$. Naturally, para mabayaran ang multiplikasyon ng $9$, kailangan mong i-multiply sa $9$ at hatiin:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x) $$

Ngayon, sa banner, na sa ilalim ng tanda ng sine, sila ay nagsisiksikan. Hugasan ang iyong isip para sa inter $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ vikonanі. Gayundin, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. At ang ibig sabihin ng tse ay:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9cdot(1)=9. $$

Vidpovid: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Puwit #4

Alamin ang $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

$\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ at $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, pagkatapos ay makikita natin nang tama na $ \frac( 0)(0)$. Gayunpaman, ang anyo ng unang mahimalang hangganan ay nasira. Ang chiselnik, na naghihiganti sa $\sin(5x)$, ay nangangahulugan ng pagkakaroon ng banner na $5x$. Sa sitwasyong ito, pinakamadaling hatiin ang numero sa $5x$, - at i-multiply sa $5x$. Bilang karagdagan, malamang na ang operasyon ay katulad ng isa na may pamantayan, pagpaparami nito at paghahati ng $\tg(8x)$ sa $8x$:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Kung ang pare-parehong $\frac(5)(8)$ ay mabilis sa $x$ i, kunin namin ang:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Igalang na ang $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ ay higit na masaya para sa unang wonderland. Para sa $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$, ang stagnant formula ay:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Vidpovid: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Puwit #5

Alamin ang $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Skіlki $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (hulaan na $\cos(0)=1$) at $ \ lim_(x\to(0))x^2=0$; Gayunpaman, upang zastosuvat ang unang mapaghimala hangganan, slid ang cosine sa numero ng libro, paglipat sa sines (upang kami ay zastosuvat ang formula) o tangents (kaya namin zastosuvat ang formula). Ang Zrobiti tse ay maaaring maging tulad ng mga pagbabagong-anyo:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\kaliwa(1-\cos^2(5x)\kanan)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\kanan)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Lumiko tayo sa hangganan:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\kanan) $$

Ang fraction na $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ ay malapit na sa form na iyon, na kinakailangan para sa unang mahimalang hangganan. Ang mga troch ay naitama gamit ang fraction na $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, pіdganyayuchi її pіd pershu mahimalang hangganan (fuck, scho vrazi sa number book at pіd sine dahil sa zbіgtisya):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

Lumiko tayo sa hangganan:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0 ) ))\kaliwa(25\cos(5x)\cdot\kaliwa(\frac(\sin(5x))(5x)\kanan)^2\kanan)=\=25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) = 25.$$

Vidpovid: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Puwit #6

Maghanap sa pagitan ng $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Mga kaliskis na $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ и $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, mi marahil mula mismo sa hindi kabuluhan ng $\frac(0)(0)$. Rozkriёmo її para sa tulong ng unang mahimalang hangganan. Para sa kung saan kami ay pumasa mula sa cosines sa sines. $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, pagkatapos ay:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Pagpasa sa gawain sa pagitan ng sinuses, matimemo:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ ) frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x ^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_( x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Vidpovid: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Puwit #7

Kalkulahin sa pagitan ng $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ para sa $\alpha\neq\ beta $.

Ang mga detalyadong paliwanag ay ibinigay nang mas maaga, dito ito ay simpleng makabuluhan na ang $\frac(0)(0)$ ay hindi gaanong mahalaga. Lumipat tayo mula sa mga cosine hanggang sa mga sine, matagumpay na formula

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Ang vicorist formula ay ipinapakita, ito ay kinakailangan:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0) \kanan| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\=-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta ) )(2)\kanan)\cdot\sin\kaliwa(x\cdot\frac(\alpha-beta)(2)\kanan))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac ) (\alpha-\beta)(2)\kanan))(x)\kanan)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left( x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot \frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\ alpha- \beta)(2)\right)=\\=-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac (\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0 )) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac (\alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Vidpovid: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alpha^2) (2) $.

Puwit #8

Maghanap sa pagitan ng $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

$\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (hulaan $\sin(0)=\tg(0)=0$) at $ \lim_( x\to(0))x^3=0$, pagkatapos ay maaari tayong mag-right-hand gamit ang hindi kabuluhan ng form na $\frac(0)(0)$. Rozkriemo її tulad nito:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\kanan)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) = frac(1)(2). $$

Vidpovid: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Puwit #9

Maghanap sa pagitan ng $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Mga kaliskis na $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ at $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3) (2) = 0 $, pagkatapos ay $ \ frac (0) (0) $ ay hindi umiiral. Bago iyon, sa pagpunta mo sa pambungad na її, manu-manong baguhin ang pagbabago sa naturang ranggo, upang ang bagong pagbabago ay ituwid sa zero (ibunyag na ang mga formula ay nagbabago ng $\alpha\sa 0$). Mas madaling ilagay ang pagbabago $t=x-3$. Gayunpaman, para sa kaginhawahan ng malalayong pagbabagong-anyo (maaalala mo palagi ang oras ng desisyon sa ibaba), maaari mong baguhin ang pagbabagong ito: $t=\frac(x-3)(2)$. Itatalaga ko na nasaktan kita sa pamamagitan ng pagpapalit ng zastosovnі sa partikular na sitwasyong ito, para lamang pahintulutan ang isang kaibigan na palitan siya nang mas kaunti ng mga fraction. $x\to(3)$, pagkatapos ay $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\kanan| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ sa(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Vidpovid: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Puwit #10

Hanapin sa pagitan ng $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2 ) $.

Maaaring makapag-renew ako mula sa tamang $\frac(0)(0)$. Bago iyon, habang papunta ka sa pambungad na її, manu-manong baguhin ang pagbabago sa naturang ranggo, upang ang bagong pagbabago ay maituwid sa zero (igalang na ang mga formula ay nagbabago ng $\alpha\to(0)$). Ang pinakamadaling paraan ay ang pagpasok ng change $t=\frac(\pi)(2)-x$. $x\to\frac(\pi)(2)$, pagkatapos ay $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\kaliwa|\frac(0)(0)\kanan| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0 ) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2)) ( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0)) \frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to ( 0))\kaliwa(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\kanan)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^ 2 ) = frac(1)(2). $$

Vidpovid: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) = frac(1)(2)$.

Stock #11

Maghanap sa pagitan ng $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\\ )pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

Hindi namin malalampasan ang unang mahimalang hangganan sa vipadk na ito. Upang magbigay ng paggalang: tulad ng sa una, kaya sa kabilang hangganan mayroon lamang mga trigonometric function ng numerong iyon. Kadalasan sa gayong mga butts ay masasabi ng isang prostit viraz, roztashovane sa ilalim ng tanda ng hangganan. Sa tulong ng isang nahulaan na pagpapatawad, na ang bilis ng deaky spіvmulnіnіnіnіnіnіnіnіnіє znikає. Mayroon akong nave na ito butt lamang sa isang paraan: ipakita na ang pagkakaroon ng trigonometriko function sa ilalim ng pag-sign ng hangganan ay hindi nangangahulugang ang unang mahimalang hangganan ay natigil.

Skіlki $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (hulaan $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) at $ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (hulaan mo na ang $\cos\frac(\pi)(2)=0$), kung gayon maaari tayong maging walang kabuluhan $ frac (0) (0) $. Gayunpaman, ang tse zovsіm ay hindi nangangahulugan na ito ay kinakailangan para sa amin upang lupigin ang unang mahimalang hangganan. Upang ipakita ang kawalang-halaga, sabihin ang katotohanan tungkol sa $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) = frac(1)(1+1) = frac(1)(2). $$

Katulad na paraan ng solusyon Reshnik Demidovich (No. 475). Hangga't sa kabilang hangganan, ang mga tulad ng sa harap na butts na hinati ko, maaaring hindi natin makita ang $\frac(0)(0)$. Bakit siya sinisisi? Ito ay dahil $ \ tg \ frac (2 \ pi) (3) = - \ sqrt (3) $ i $ 2 \ cos \ frac (2 \ pi) (3) = -1 $. Vikoristovuєmo tsі ibig sabihin sa paraan ng pagbabago ng virazіv sa numeral at sa bannerman. Ang meta ng aming mga aksyon: isulat ang kabuuan sa number book at ang banner sa harap ng paglikha. Bago ang talumpati, madalas sa mga hangganan ng isang katulad na uri, ang kapalit ng pagbabago ay chuckled, na may tulad na isang rosas, upang ang bagong pagbabago ay naituwid sa zero (div., halimbawa, butt No. 9 o No. 10 sa kabila). Gayunpaman, ang butt na ito ay walang kahulugan sa pagpapalit ng sensor, na gustong baguhin ang $t=x-\frac(2\pi)(3)$ para sa bazhanya ay malamya.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ ) cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\kanan))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\ kasalanan) \kaliwa(x-\frac(2\pi)(3)\kanan))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+ \frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi )(3 ))\frac(\sin\kaliwa(x-\frac(2\pi)(3)\kanan))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\\ =\lim_(x\ sa\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-frac(2\pi) (3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3)) (2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\ frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\ pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\ cdot\left( -\frac(1)(2)\kanan)) =-\frac(4 )(\sqrt(3)). $$

Yak bachite, hindi kami nagkaroon ng pagkakataon na zastosovuvat Persh mahimalang hangganan. Zvichayno, para sa bazhannya tse maaari kang magnakaw (div. tala sa ibaba), ngunit hindi mo ito maaaring ubusin.

Ano ang magiging solusyon sa unang himala ng mahimalang hangganan? Ipakita itago

Sa tagumpay ng unang mahimalang hangganan, kinakailangan:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\kaliwa(x-\frac(2\pi)(3)\kanan))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi ) (3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-frac(2\pi)(3)\) right ))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-frac(2\pi)(3))(2)) (\ frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\kanan) =1cdot(1)cdotfrac(1)(-2cdotfrac(sqrt(3)) )(2)\cdot\left(-\ frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Vidpovid: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3)) $.

Solusyon sa pagitan ng mga function online. Alamin ang boundary value ng function at ang functional sequence sa punto, kalkulahin hangganan ang halaga ng function sa hindi pagkakapare-pareho. maaari mong kalkulahin ang halaga ng isang serye ng numero at marami pang iba na magagamit mo ang aming online na serbisyo. Pinapayagan kaming malaman ang mga limitasyon ng mga function online nang mabilis at walang awa. Ikaw mismo ang pumasok baguhin ang mga function at sa pagitan, sa punto ng pagiging pragmatic, ang aming serbisyo ay isasagawa ang lahat ng mga kalkulasyon para sa iyo, sana ang simpleng pahayag na iyon. At para sa online na kaalaman pwede kang pumasok yak hanay ng numero, at analytic function, na maaaring palitan ang mga constant sa literal na paraan. Sa kasong ito, ang inter-functionality ng mistiming at constants ay natagpuan bilang mga pare-parehong argumento sa viraz. Ang aming serbisyo ay lumalabag kung ito ay natitiklop o hindi. inter online, ito ay sapat na upang ipahiwatig ang function at ang punto kung saan ito ay kinakailangan upang kalkulahin limitahan ang halaga ng function. Virakhovuyuchi interi online, maaari mong gamitin ang iba't ibang mga pamamaraan at ang mga patakaran ng kanilang virishhenya, kung saan ang resulta ay ibabawas mga solusyon sa pagitan ng online sa www.site, na magdadala sa iyo sa isang matagumpay na vikonnannya zavdannya - hindi mo malilimutan ang iyong mga pagpapatawad at typos. Kung hindi, maaari mo kaming tunay na pagkatiwalaan at mapanalunan ang aming resulta mula sa iyong robot, nang hindi gumugugol ng masyadong maraming oras sa independiyenteng pagkalkula ng mga inter-function. Pinapayagan namin ang pagpapakilala ng naturang mga halaga ng hangganan, bilang hindi pagkakapare-pareho. Kinakailangang ipakilala ang huling termino ng pagkakasunod-sunod ng numero www.site kalkulahin ang halaga interi online plus o minus inconsistency.

Ang isa sa mga pangunahing pag-unawa sa pagsusuri sa matematika ay limitasyon ng pag-andarі sa pagitan ng mga sequence sa punto ng hindi pagkakapare-pareho, mahalagang tandaan nang tama ang pagsulat sa pagitan. Sa aming serbisyo, walang stock ng pang-araw-araw na paghihirap. Isang desisyon ang ginagawa inter online lumalawak nang ilang segundo, tumpak at totoo. Ang pagbuo ng mathematical analysis ay nagsisimula sa pagtawid sa hangganan, sa pagitan vikoristovuyutsya halos sa lahat ng sangay advanced na matematika para sa mga limitasyon ng solusyon online Yakim, matematikam.ru.